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高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语专项训练题单选题1、设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ）A ．–4B ．–2C ．2D ．4答案：B分析：由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值. 求解二次不等式x 2−4≤0可得：A ={x|−2≤x ≤2}，求解一次不等式2x +a ≤0可得：B ={x|x ≤−a 2}. 由于A ∩B ={x|−2≤x ≤1}，故：−a 2=1，解得：a =−2. 故选：B.小提示：本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2、已知集合M ={x |1−a <x <2a }，N =(1,4)，且M ⊆N ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(−∞,2]B ．(−∞,0]C ．(−∞,13]D ．[13,2] 答案：C分析：按集合M 是是空集和不是空集求出a 的范围，再求其并集而得解.因M ⊆N ，而ϕ⊆N ，所以M =ϕ时，即2a ≤1−a ，则a ≤13，此时 M ≠ϕ时，M ⊆N ，则{1−a <2a 1−a ≥12a ≤4 ⇒{a >13a ≤0a ≤2，无解，综上得a ≤13，即实数a 的取值范围是(−∞,13].故选：C3、设全集U ={−3,−2,−1,0,1,2,3}，集合A ={−1,0,1,2}, B ={−3,0,2,3}，则A ∩(∁U B )=（ ）A ．{−3,3}B ．{0,2}C ．{−1,1}D ．{−3,−2,−1,1,3}答案：C分析：首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.由题意结合补集的定义可知：∁U B={−2,−1,1}，则A∩(∁U B)={−1,1}.故选：C.小提示：本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.4、下面四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R，4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为（）A．3B．2C．1D．0答案：D分析：对于①，计算判别式或配方进行判断；对于②，当x2＝2时，只能得到x为±√2，由此可判断；对于③，方程x2＋1＝0无实数解；对于④，作差可判断.解：x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题.当且仅当x＝±√2时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题.对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题.4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题.∴①②③④均为假命题.故选：D小提示：此题考查特称命题和全称命题真假的判断，特称命题要为真，只要有1个成立即可，全称命题要为假，只要有1个不成立即可，属于基础题.5、已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z}，T={t|t=4n+1,n∈Z}，则S∩T=（）A．∅B．S C．T D．Z答案：C分析：分析可得T⊆S，由此可得出结论.任取t∈T，则t=4n+1=2⋅(2n)+1，其中n∈Z，所以，t∈S，故T⊆S，因此，S∩T=T.故选：C.6、若集合U={0,1,2,3,4,5},A={0,2,4}，B={3,4}，则(∁U A)∩B=（）．A．{3}B．{5}C．{3,4,5}D．{1,3,4,5}答案：A分析：根据补集的定义和运算求出∁U A，结合交集的概念和运算即可得出结果.由题意知，∁U A={1,3,5}，又B={3,4}，所以(∁U A)∩B={3}.故选：A7、集合A={x|x<−1或x≥3}，B={x|ax+1≤0}若B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．[−13,1)B．[−13,1]C．(−∞,−1)∪[0,+∞)D．[−13,0)∪(0,1)答案：A分析：根据B⊆A，分B=∅和B≠∅两种情况讨论，建立不等关系即可求实数a的取值范围．解：∵B⊆A，∴①当B=∅时，即ax+1⩽0无解，此时a=0，满足题意．②当B≠∅时，即ax+1⩽0有解，当a>0时，可得x⩽−1a，要使B⊆A，则需要{a>0−1a<−1，解得0<a<1．当a<0时，可得x⩾−1a，要使B⊆A，则需要{a<0−1a⩾3，解得−13⩽a<0，综上，实数a的取值范围是[−13,1)．故选：A．小提示：易错点点睛：研究集合间的关系，不要忽略讨论集合是否为∅.8、已知集合满足{1,2}⊆A⊆{1,2,3}，则集合A可以是（）A．{3}B．{1,3}C．{2,3}D．{1,2}答案：D分析：由题可得集合A可以是{1,2}，{1,2,3}.∵{1,2}⊆A⊆{1,2,3}，∴集合A可以是{1,2}，{1,2,3}.故选：D.多选题9、下列存在量词命题中真命题是（）A．∃x∈R,x≤0B．至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数C．∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数D．∃x0∈Z,1<5x0<3答案：ABC分析：结合例子，逐项判断即可得解.对于A，∃x=0∈R，使得x≤0，故A为真命题.对于B，整数1既不是合数，也不是素数，故B为真命题；对于C，若x=π，则x∈{x|x是无理数}，x2是无理数，故C为真命题.对于D，∵1<5x0<3,∴15<x0<35，∴∃x0∈Z,1<5x0<3为假命题.故选：ABC.10、对任意实数a、b、c，给出下列命题，其中真命题是（）A．“a=b”是“ac=bc”的充要条件B．“a>b”是“a2>b2”的充分条件C．“a<5”是“a<3”的必要条件D．“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件答案：CD分析：利用特殊值法以及充分条件、必要条件的定义可判断A、B选项的正误；利用必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用充要条件的定义可判断D选项的正误.对于A，因为“a=b”时ac=bc成立，ac=bc且c=0时，a=b不一定成立，所以“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件，故A错；对于B，a=−1，b=−2，a>b时，a2<b2；a=−2，b=1，a2>b2时，a<b.所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故B错；对于C，因为“a<3”时一定有“a<5”成立，所以“a<3”是“a<5”的必要条件，C正确；对于D“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，D正确.故选：CD.小提示：本题考查充分条件、必要条件的判断，考查了充分条件和必要条件定义的应用，考查推理能力，属于基础题.11、非空集合A具有下列性质：①若x，y∈A，则xy∈A；②若x，y∈A，则x+y∈A.下列选项正确的是（）A．−1∉A B．20202021∉AC．若x，y∈A，则xy∈A D．若x，y∈A，则x−y∉A答案：AC分析：若−1∈A，利用条件可得当x=−1∈A，y=0∈A时，不满足xy∈A，可判断A，利用条件可得若x≠0且x∈A，进而得2020∈A，2021∈A，可判断B，利用题设可得若x，y∈A，则xy∈A，x−y=1∈A可判断CD.对于A，若−1∈A，则−1−1=1∈A，此时−1+1=0∈A，而当x=−1∈A，y=0∈A时，−1显然无意义，不满足xy∈A，所以−1∉A，故A正确；对于B，若x≠0且x∈A，则1=xx∈A，所以2=1+1∈A，3=2+1∈A，以此类推，得对任意的n∈N∗，有n∈A，所以2020∈A，2021∈A，所以20202021∈A，故B错误；对于C，若x，y∈A，则x≠0且y≠0，又1∈A，所以1y ∈A，所以xy=x1y=∈A，故C正确；对于D，取x=2，y=1，则x−y=1∈A，故D错误.故选：AC.填空题12、设集合A={1,2,a}，B={2,3}.若B⊆A，则a=_______.答案：3分析：由题意可知集合B是集合A的子集，进而求出答案.由B⊆A知集合B是集合A的子集，所以3∈A⇒a=3，所以答案是：3.13、在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k= 0，1，2，3，4；给出下列四个结论:①2015∈[0]；②−3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a,b属于同一‘类’”的充要条件是“a−b∈[0]”.其中，正确结论的个数．．是_______.答案：3分析：根据2015被5除的余数为0，可判断①；将−3=−5+2，可判断②；根据整数集就是由被5除所得余数为0，1，2，3，4，可判断③；令a=5n1+m1，b=5n2+m2，根据“类”的定理可证明④的真假.①由2015÷5=403，所以2015∈[0]，故①正确；②由−3=5×(−1)+2，所以−3∉[3]，故②错误；③整数集就是由被5除所得余数为0，1，2，3，4的整数构成，故③正确；④假设a=5n1+m1，b=5n2+m2，a−b=5(n1−n2)+m1−m2，a，b要是同类.则m1=m2，即m1−m2=0，所以a−b∈[0]，反之若a−b∈[0]，即m1−m2=0，所以m1=m2，则a，b是同类，④正确；所以答案是：3小提示：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，正确理解新定义“类”是解答的关键，以及进行简单的合情推理，属中档题.14、设P为非空实数集满足：对任意给定的x、y∈P（x、y可以相同），都有x+y∈P，x−y∈P，xy∈P，则称P为幸运集.①集合P={−2,−1,0,1,2}为幸运集；②集合P={x|x=2n,n∈Z}为幸运集；③若集合P1、P2为幸运集，则P1∪P2为幸运集；④若集合P为幸运集，则一定有0∈P；其中正确结论的序号是________答案：②④解析：①取x=y=2判断；②设x=2k1∈P,y=2k2∈P判断；③举例P1={x|x=2k,k∈Z},P2={x|x=3k,k∈Z}判断；④由x、y可以相同判断；①当x=y=2，x+y=4∉P，所以集合P不是幸运集，故错误；②设x=2k1∈P,y=2k2∈P，则x+y=2(k1+k2)∈A,x−y=2(k1−k2)∈A,xy=2k1⋅k2∈A，所以集合P是幸运集，故正确；③如集合P1={x|x=2k,k∈Z},P2={x|x=3k,k∈Z}为幸运集，但P1∪P2不为幸运集，如x=2,y=3时，x+y=5∉P1∪P2，故错误；④因为集合P为幸运集，则x−y∈P，当x=y时，x−y=0，一定有0∈P，故正确；所以答案是：②④小提示：关键点点睛：读懂新定义的含义，结合“给定的x、y∈P（x、y可以相同），都有x+y∈P，x−y∈P，xy∈P”，灵活运用举例法.解答题15、已知集合A={x|x=m+√6n,其中m,n∈Q}．(1)试分别判断x1=−√6，x2=√2−√3+√2+√3与集合A的关系；(2)若x1，x2∈A，则x1x2是否一定为集合A的元素？请说明你的理由．答案：(1)x1∈A，x2∈A(2)x1x2∈A，理由见解析分析：（1）将x1，x2化简，并判断是否可以化为m+√6n，m,n∈Q的形式即可判断关系.（2）由题设，令x1=m1+√6n1，x2=m2+√6n2，进而判断是否有x1x2=m+√6n，m,n∈Q的形式即可判断.(1)x1=−√6=0+√6×(−1)∈A，即m=0,n=−1符合；x2=√(√3−1)22+√(√3+1)22=√6=0+√6×1∈A，即m=0,n=1符合.(2)x1x2∈A．理由如下：由x1，x2∈A知：存在m1，m2，n1，n2∈Q，使得x1=m1+√6n1，x2=m2+√6n2，∴x1x2=(m1+√6n1)(m2+√6n2)=(m1m2+6n1n2)+√6(m1n2+m2n1)，其中m1m2+6n1n2，m1n2+ m2n1∈Q，∴x1x2∈A.。
高中数学新人教A版选修2_1：第一章 1.2基础练习1．(2019年湖北恩施期末)使|x|＝x成立的一个必要不充分条件是()A．x≥0B．x2≥－xC．log2(x＋1)>0D．2x<1【答案】B【解析】∵|x|＝x⇔x≥0，∴选项A是充要条件．对于选项B，由x2≥－x得x≥0或x≤－1，故选项B是必要不充分条件．同理，选项C是充分不必要条件，选项D是既不充分也不必要条件．故选B．2．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当“直线a和直线b相交”时，“平面α和平面β相交”成立；当“平面α和平面β相交”时，“直线a和直线b相交”不一定成立．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A．3.(2020年山西太原模拟)已知a，b都是实数，那么“2a＞2b”是“a2＞b2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】若2a＞2b，则2a－b＞1，∴a－b＞0，∴a＞b.当a＝－1，b＝－2时，满足2a＞2b，但a2＜b2，故由2a＞2b不能得出a2＞b2，因此充分性不成立.若a2＞b2，则|a|＞|b|.当a＝－2，b ＝1时，满足a2＞b2，但2－2＜21，即2a＜2b，故必要性不成立.故选D.4．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要的条件是()A．a＞b＋1 B．a＞b－1C．a2＞b2D．a3＞b3【答案】A【解析】a>b＋1⇒a>b，a>b⇒/ a>b＋1.5．已知两个命题A ：2x ＋3＝x 2，B ：x 3x ＝x 2，则A 是B 的____________条件． 【答案】既不充分也不必要【解析】命题A 就是x ∈{x |2x ＋3＝x 2}＝{－1,3}；命题B 就是x ∈{x |x 3x ＝x 2}＝{0,3}．由于{－1,3}⃘{0,3}且{0,3}⃘{－1,3}，∴A 是B 的既不充分也不必要条件．6．(2019年重庆期末)设p ：12≤x ≤1；q ：(x －a )(x －a －1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎣⎡⎦⎤0，12 【解析】∵q ：a ≤x ≤a ＋1，p 是q 的充分不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12.7．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)．(1)p ：x >1；q ：x 2>1；(2)p ：a ＝3；q ：(a ＋2)(a －3)＝0； (3)p ：a >2；q ：a >5.解：(1)p ：x >1；q ：x >1或x <－1，所以p 是q 的充分不必要条件． (2)p ：a ＝3；q ：a ＝－2或a ＝3，所以p 是q 的充分不必要条件． (3)p 是q 的必要不充分条件．8．已知p ：1<2x <8，q ：不等式x 2－mx ＋4≥0恒成立．若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．解：p ：1<2x <8，即0<x <3. ∵p 是q 的充分条件，∴不等式x 2－mx ＋4≥0对任意x ∈(0,3)恒成立． ∴m ≤x 2＋4x ＝x ＋4x 对任意x ∈(0,3)恒成立．∵x ＋4x≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时，等号成立，∴m ≤4. 能力提升9．无穷等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和为S n (n ∈N *)，则“a 1＋d >0”是“{S n }为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若{S n }为递增数列，则对于n ≥2且n ∈N *，恒有a n >0，可得a 2＝a 1＋d >0.若a 1＋d >0，则只能推得a 2>0，不能推得{S n }是递增数列．所以“a 1＋d >0”是“{S n }为递增数列”的必要不充分条件．10.(多选题)下列各选项中， p 是q 的充要条件的是( )A.p ：m ＜－2或m ＞6，q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点B.p ：f (－x )f (x )＝1，q ：y ＝f (x )为偶函数C.p ：cos α＝cos β，q ：tan α＝tan βD.p ：A ∩B ＝A ，q ：【答案】AD【解析】对于A ，q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点q ：Δ＝m 2－4(m ＋3)＞0q ：m ＜－2或m ＞6p .对于B ，当f (x )＝0时，qp .对于C ，若α，β＝k π＋π2(k ∈Z )，则有cosα＝cos β，但没有tan α＝tan β，pq .对于D ，p ：A ∩B ＝Ap ：ABq ：11．下列命题：①“x >2且y >3”是“x ＋y >5”的充分不必要条件；②已知a ≠0，“b 2－4ac <0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0解集为R ”的充要条件； ③“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的充分不必要条件； ④“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的必要不充分条件． 其中真命题的序号为________． 【答案】①④【解析】①当x >2且y >3时，x ＋y >5成立，反之，不一定，如x ＝0，y ＝6.所以“x >2且y >3”是“x ＋y >5”的充分不必要条件．②不等式解集为R 的充要条件是a <0且b 2－4ac <0，故②为假命题．③当a ＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则a 1＝21，∴a ＝2.因此，“a＝2”是“两直线平行”的充要条件．④lg x ＋lg y ＝lg(xy )＝0，∴xy ＝1且x >0，y >0.所以“lg x ＋lg y ＝0”成立，xy ＝1必成立，反之不然，因此“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的必要不充分条件．综上可知真命题是①④.12．设函数f (x )＝lg(x 2－x －2)的定义域为集合A ，函数g (x )＝3x－1的定义域为集合B ．已知α：x ∈A ∩B ，β：x 满足2x ＋p ＜0，α是β的充分条件，求实数p 的取值范围．解：A ＝{x |x 2－x －2＞0}＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫3x－1≥0＝(0,3]，∴A ∩B ＝(2,3]． 设集合C ＝{x |2x ＋p ＜0}＝⎝⎛⎭⎫－∞，－p2，∵α是β的充分条件，∴A ∩B ⊆C ． ∴3＜－p2.解得p ＜－6.∴实数p 的取值范围是(－∞，－6)．。
高中数学第一章集合与常用逻辑用语考点专题训练单选题1、设全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,2},B={x∣x2−4x+3=0}，则∁U(A∪B)=（）A．{1,3}B．{0,3}C．{−2,1}D．{−2,0}答案：D分析：解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.由题意，B={x|x2−4x+3=0}={1,3}，所以A∪B={−1,1,2,3},所以∁U(A∪B)={−2,0}.故选：D.2、已知集合M={x|x=m−56,m∈Z}，N={x|x=n2−13,n∈Z}，P={x|x=p2+16,p∈Z}，则集合M，N，P的关系为（）A．M=N=P B．M⊆N=PC．M⊆N P D．M⊆N，N∩P=∅答案：B分析：对集合M,N,P中的元素通项进行通分，注意3n−2与3p+1都是表示同一类数，6m−5表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，即可得到结果.对于集合M={x|x=m−56,m∈Z}，x=m−56=6m−56=6(m−1)+16，对于集合N={x|x=n2−13,n∈Z}，x=n2−13=3n−26=3(n−1)+16，对于集合P={x|x=p2+16,p∈Z}，x=p2+16=3p+16，由于集合M,N,P中元素的分母一样，只需要比较其分子即可，且m,n,p∈Z，注意到3(n−1)+1与3p+1表示的数都是3的倍数加1，6(m−1)+1表示的数是6的倍数加1，所以6(m−1)+1表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，所以M⊆N=P.故选：B.3、下列各式中关系符号运用正确的是（）A．1⊆{0,1,2}B．∅⊄{0,1,2}C．∅⊆{2,0,1}D．{1}∈{0,1,2}答案：C分析：根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可.根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.故选：C.4、设a，b是实数，集合A={x||x−a|<1,x∈R}，B={x||x−b|>3,x∈R}，且A⊆B，则|a−b|的取值范围为（）A．[0,2]B．[0,4]C．[2,+∞)D．[4,+∞)答案：D分析：解绝对值不等式得到集合A,B，再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解.集合A={x||x−a|<1,x∈R}={x|a−1<x<a+1}，B={x||x−b|〉3,x∈R}={x|x<b−3或x>b+3}又A⊆B，所以a+1≤b−3或a−1≥b+3即a−b≤−4或a−b≥4，即|a−b|≥4所以|a−b|的取值范围为[4,+∞)故选：D5、设全集U={1,2,3,4,5}，集合M满足∁U M={1,3}，则（）A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M答案：A分析：先写出集合M,然后逐项验证即可由题知M={2,4,5},对比选项知，A正确,BCD错误故选:A6、已知集合A={(x,y)|x,y∈N∗,y≥x}，B={(x,y)|x+y=8}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．6答案：C分析：采用列举法列举出A∩B中元素的即可.由题意，A∩B中的元素满足{y≥xx+y=8，且x,y∈N∗，由x+y=8≥2x，得x≤4，所以满足x+y=8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A∩B中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.7、已知集合A={(x,y)||x|+|y|≤2,x∈Z,y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．10C．12D．13答案：D分析：利用列举法列举出集合A中所有的元素，即可得解.由题意可知，集合A中的元素有：(−2,0)、(−1,−1)、(−1,0)、(−1,1)、(0,−2)、(0,−1)、(0,0)、(0,1)、(0,2)、(1,−1)、(1,0)、(1,1)、(2,0)，共13个.故选：D.8、已知U=R，M={x|x≤2}，N={x|−1≤x≤1}，则M∩∁U N=（）A．{x|x<−1或1<x≤2}B．{x|1<x≤2}C．{x|x≤−1或1≤x≤2}D．{x|1≤x≤2}答案：A分析：先求∁U N，再求M∩∁U N的值.因为∁U N={x|x<−1或x>1}，所以M∩C U N={x|x<−1或1<x≤2}.故选：A.多选题9、已知集合A={0,1,2}，B={a,2}，若B⊆A，则a=（）A．0B．1C．2D．0或1或2答案：AB分析：由B⊆A，则B={0,2}或B={1,2}，再根据集合相等求出参数的值；解：由B⊆A，可知B={0,2}或B={1,2}，所以a=0或1.故选:AB.小提示：本题考查根据集合的包含关系求参数的值，属于基础题.10、已知集合A={x|x=2m−1,m∈Z}，B={x|x=2n,n∈Z}，且x1、x2∈A，x3∈B，则下列判断正确的是（）A．x1x2∈A B．x2x3∈BC．x1+x2∈B D．x1+x2+x3∈A答案：ABC分析：本题首先可根据题意得出A表示奇数集，B表示偶数集，x1、x2是奇数，x3是偶数，然后依次对x1x2、x2x3、x1+x2、x1+x2+x3进行判断，即可得出结果.因为集合A={x|x=2m−1,m∈Z}，B={x|x=2n,n∈Z}，所以集合A表示奇数集，集合B表示偶数集，x1、x2是奇数，x3是偶数，A项：因为两个奇数的积为奇数，所以x1x2∈A，A正确；B项：因为一个奇数与一个偶数的积为偶数，所以x2x3∈B，B正确；C项：因为两个奇数的和为偶数，所以x1+x2∈B，C正确；D项：因为两个奇数与一个偶数的和为偶数，所以x1+x2+x3∈B，D错误，故选：ABC.11、已知命题p:∃x∈R,ax2−4x−4=0，若p为真命题，则a的值可以为（）A．-2B．-1C．0D．3答案：BCD分析：根据给定条件求出p为真命题的a的取值范围即可判断作答，当a=0时，x=−1，p为真命题，则a=0，当a≠0时，若p为真命题，则Δ=16+16a≥0，解得a≥−1且a≠0，综上，p为真命题时，a的取值范围为a≥−1.故选：BCD12、已知集合A={x∈R|x2−3x−18<0}，B={x∈R|x2+ax+a2−27<0}，则下列命题中正确的是（）A．若A=B，则a=−3B．若A⊆B，则a=−3C．若B=∅，则a≤−6或a≥6D．若B A时，则−6<a≤−3或a≥6答案：ABC分析：求出集合A，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．A={x∈R|−3<x<6}，若A=B，则a=−3，且a2−27=−18，故A正确.a=−3时，A=B，故D不正确.若A⊆B，则(−3)2+a⋅(−3)+a2−27≤0且62+6a+a2−27≤0，解得a=−3，故B正确.当B=∅时，a2−4(a2−27)≤0，解得a≤−6或a≥6，故C正确.故选：ABC．13、已知集合P={1,2},Q={x|ax+2=0}，若P∪Q=P，则实数a的值可以是（）A．−2B．−1C．1D．0答案：ABD分析：由题得Q⊆P，再对a分两种情况讨论，结合集合的关系得解.因为P∪Q=P，所以Q⊆P.由ax+2=0得ax=−2，当a=0时，方程无实数解，所以Q=∅，满足已知；当a≠0时，x=−2a ，令−2a=1或2，所以a=−2或−1.综合得a=0或a=−2或a=−1.故选：ABD小提示：易错点睛：本题容易漏掉a=0. 根据集合的关系和运算求参数的值时，一定要注意考虑空集的情况，以免漏解.填空题14、已知集合A={x|3≤x<7}，C={x|x>a}，若A⊆C，求实数a的取值范围_______.答案：(−∞,3)分析：根据集合的包含关系画出数轴即可计算.∵A⊆C，∴A和C如图：∴a＜3.所以答案是：(−∞,3).15、若A＝{x|x2+（m+2）x+1＝0，x∈R}，且A∩R+＝∅，则m的取值范围是__．答案：m＞﹣4．解析：根据题意可得A是空集或A中的元素都是小于等于零的，然后再利用判别式以及韦达定理求解即可.解：A∩R+＝∅知，A有两种情况，一种是A是空集，一种是A中的元素都是小于等于零的，若A＝∅，则Δ＝（m +2）2﹣4＜0，解得﹣4＜m＜0 ，①若A≠∅，则Δ＝（m +2）2﹣4≥0，解得m≤﹣4或m≥0，又A中的元素都小于等于零∵两根之积为1，∴A中的元素都小于0，∴两根之和﹣（m+2）＜0，解得m＞﹣2∴m≥0，②由①②知，m＞﹣4，所以答案是：m＞﹣4．小提示：易错点点睛：本题考查利用交集的结果求参数，本题在求解中容易忽略A=∅的讨论，导致错解，同时本题也可以采取反面考虑结合补集思想求解.16、设集合A={−4，2m−1，m2}，B={9，m−5，1−m}，又A∩B={9}，求实数m=_____．答案：−3分析：根据A∩B={9}得出2m−1=9或m2=9，再分类讨论得出实数m的值.因为A∩B={9}，所以9∈A且9∈B，若2m−1=9，即m=5代入得A={−4，9，25}，B={9，0，−4}，∴A∩B={−4，9}不合题意；若m2=9，即m=±3．当m=3时，A={−4，5，9}，B={9，−2，−2}与集合元素的互异性矛盾；当m=−3时，A={−4，−7，9}，B={9，−8，4}，有A∩B={9}符合题意；综上所述，m=−3．所以答案是：−3解答题17、已知集合A={x|x2−ax+a2−19=0}，集合B={x|x2−5x+6=0}，集合C={x|x2+2x−8=0}．(1)若A∩B={2}，求实数a的值；(2)若A∩B≠∅，A∩C=∅，求实数a的值．答案：(1)−3(2)−2分析：（1）求出集合B={2,3}，由A∩B={2}，得到2∈A，由此能求出a的值，再注意3∉A检验即可；（2）求出集合C={−4,2}，由A∩B≠∅，A∩C=∅，得3∈A，由此能求出a，最后同样要注意检验．（1）因为集合A={x|x2−ax+a2−19=0}，集合B={x|x2−5x+6=0}={2,3}，且A∩B={2}，所以2∈A ，所以4−2a +a 2−19=0，即a 2−2a −15=0，解得a =−3或a =5．当a =−3时，A ={x |x 2+3x −10=0}={−5,2}，A ∩B ={2}，符合题意；当a =5时，A ={x |x 2−5x +6=0}={2,3}，A ∩B ={2,3}，不符合题意．综上，实数a 的值为−3．（2）因为A ={x |x 2−ax +a 2−19=0}，B ={2,3}，C ={x |x 2+2x −8=0}={−4,2}，且A ∩B ≠∅，A ∩C =∅，所以3∈A ，所以9−3a +a 2−19=0，即a 2−3a −10=0，解得a =−2或a =5．当a =−2时，A ={x |x 2+2x −15=0}={−5,3}，满足题意；当a =5时，A ={x |x 2−5x +6=0}={2,3}，不满足题意．综上，实数a 的值为−2．18、设α:m −1≤x ≤2m ，β:2≤x ≤4，m ∈R ，α是β的必要条件，但α不是β的充分条件，求实数m 的取值范围.答案：[2,3]分析：由题意可知α是β的必要不充分条件，可得出集合的包含关系，进而可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.由题意可知，α是β的必要不充分条件，所以，{x |m −1≤x ≤2m }{x |2≤x ≤4}，所以{m −1≤22m ≥4，解之得2≤m ≤3. 因此，实数m 的取值范围是[2,3].。
课时规范练2不等关系及简洁不等式的解法基础巩固组1.(2021安徽合肥模拟)已知a,b∈R,下列命题正确的是()A.若a>b,则|a|>|b|B.若a>b,则C.若|a|>b,则a2>b2D.若a>|b|,则a2>b22.已知集合A={x|(1-x)(1+x)≥0},集合B={y|y=2x,x<0},则A∩B=()A.(-1,1]B.[-1,1]C.(0,1)D.[-1,+∞)3.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=⌀,则实数a的取值范围是()A.{a|0<a<4}B.{a|0≤a<4}C.{a|0<a≤4}D.{a|0≤a≤4}4.(2021贵州贵阳测试)下列命题正确的是()A.若a>b,c>d,则ac>bdB.若ac>bc,则a>bC.若,则a<bD.若a>b,c>d,则a-c>b-d5.(2021重庆一中调研,文5)若a>1>b>-1,则下列不等式恒成立的是()A.a>b2B.C.D.a2>2b6.不等式<0的解集为()A.{x|1<x<2}B.{x|x<2,且x≠1}C.{x|-1<x<2,且x≠1}D.{x|x<-1或1<x<2}7.若不等式mx2+2mx-4<2x2+4x对任意x都成立,则实数m的取值范围是()A.(-2,2]B.(-2,2)C.(-∞,-2)∪[2,+∞)D.(-∞,2]〚导学号24190850〛8.(2021陕西西安模拟)已知存在实数a满足ab2>a>ab,则实数b 的取值范围是.9.已知关于x的不等式ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集,则a2+b2-2b的取值范围是.10.已知a∈R,关于x的不等式ax2+(1-2a)x-2>0的解集有下列四种说法:①原不等式的解集不行能为⌀;②若a=0,则原不等式的解集为(2,+∞);③若a<-,则原不等式的解集为;④若a>0,则原不等式的解集为∪(2,+∞).其中正确的个数为. 11.对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,则k的取值范围是.综合提升组12.(2021吉林长春模拟)若<0,则在下列不等式:①;②|a|+b>0;③a->b-;④ln a2>ln b2中,正确的不等式是()A.①④B.②③C.①③D.②④13.若关于x的不等式f(x)=ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=f(-x)的图象为()14.(2021河南郑州月考)已知实数x,y满足0<xy<4,且0<2x+2y<4+xy,则x,y的取值范围是()A.x>2,且y>2B.x<2,且y<2C.0<x<2,且0<y<2D.x>2,且0<y<2〚导学号24190851〛15.(2021江西九江模拟)若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是.创新应用组16.(2021辽宁大连模拟)已知函数f(x)=(ax-1)(x+b),假如不等式f(x)>0的解集是(-1,3),那么不等式f(-2x)<0的解集是()A.B.C.D.〚导学号24190852〛17.(2021湖北襄阳高三1月调研,文15)已知f(x)=若对任意x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,则t 的取值范围是.〚导学号24190853〛课时规范练2不等关系及简洁不等式的解法1.D当a=1,b=-2时,A不正确,B不正确,C不正确;对于D,a>|b|≥0,则a2>b2,故选D.2.C由题意得A={x|-1≤x≤1}=[-1,1],B={y|0<y<1}=(0,1),所以A∩B=(0,1),故选C.3.D由题意知当a=0时,满足条件.当a≠0时,由集合A={x|ax2-ax+1<0}=⌀,可知得0<a≤4.综上,可知0≤a≤4.4.C取a=2,b=1,c=-1,d=-2,可知A错误;当c<0时,ac>bc⇒a<b,∴B错误;∵,∴c≠0,又c2>0,∴a<b,C正确;取a=c=2,b=d=1,可知D错误.5.A对于A,∵-1<b<1,∴0≤b2<1.∵a>1,∴a>b2,故A正确;对于B,若a=2,b=,此时满足a>1>b>-1,但,故B错误;对于C,若a=2,b=-,此时满足a>1>b>-1,但,故C错误;对于D,若a=,b=,此时满足a>1>b>-1,但a2<2b,故D错误.6.D由于不等式<0等价于(x+1)·(x-1)(x-2)<0,所以该不等式的解集是{x|x<-1或1<x<2}.故选D.7.A原不等式等价于(m-2)x2+2(m-2)x-4<0,当m=2时,对任意x不等式都成立;当m-2<0时,Δ=4(m-2)2+16(m-2)<0,∴-2<m<2.综上,得m∈(-2,2].8.(-∞,-1)∵ab2>a>ab,∴a≠0.当a>0时,有b2>1>b,即解得b<-1;当a<0时,有b2<1<b,即无解.综上可得b<-1.9. ∵不等式ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集,∴a>0,b>0,且Δ=b2-4a2≤0.∴b2≤4a2.∴a2+b2-2b≥+b2-2b=≥-.∴a2+b2-2b的取值范围是.10.3原不等式等价于(ax+1)(x-2)>0.当a=0时,不等式化为x-2>0,得x>2.当a≠0时,方程(ax+1)(x-2)=0的两根分别是2和-,若a<-,解不等式得-<x<2;若a=-,不等式的解集为⌀;若-<a<0,解不等式得2<x<-;若a>0,解不等式得x<-或x>2.故①不正确,②③④正确.11.(-∞,1)函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的图象的对称轴方程为x=-.当<-1,即k>6时,f(x)的值恒大于零等价于f(-1)=1+(k-4)×(-1)+4-2k>0,解得k<3,故k不存在;当-1≤≤1,即2≤k≤6时,f(x)的值恒大于零等价于f+4-2k>0,即k2<0,故k不存在;当>1,即k<2时,f(x)的值恒大于零等价于f(1)=1+(k-4)+4-2k>0,即k<1.综上可知,当k<1时,对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零.12.C由于<0,故可取a=-1,b=-2.由于|a|+b=1-2=-1<0,所以②错误;由于ln a2=ln(-1)2=0,ln b2=ln(-2)2=ln 4>0,所以④错误.综上所述,②④错误,故选C.13.B(方法一)由根与系数的关系知=-2+1,-=-2,解得a=-1,c=-2.所以f(x)=-x2-x+2.所以f(-x)=-x2+x+2=-(x+1)(x-2),图象开口向下,与x轴的交点为(-1,0),(2,0),故选B.(方法二)由题意可画出函数f(x)的大致图象,如图.又由于y=f(x)的图象与y=f(-x)的图象关于y轴对称,所以y=f(-x)的图象如图.14.C由题意得由2x+2y-4-xy=(x-2)(2-y)<0,得又xy<4,可得故选C.15.(-∞,-2)不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2-4x-2)max.令g(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),∴g(x)<g(4)= -2,∴a<-2.16.A由f(x)>0的解集为(-1,3),易知f(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞),故由f(-2x)<0得-2x<-1或-2x>3,∴x>或x<-.17.[,+∞)(方法一)∵对任意x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,∴f(t+t)=f(2t)≥2f(t).当t<0时,f(2t)=-4t2≥2f(t)=-2t2,这不行能,故t≥0.∵当x∈[t,t+2]时,有x+t≥2t≥0,x≥t≥0,∴当x∈[t,t+2]时,不等式f(x+t)≥2f(x),即(x+t)2≥2x2,∴x+t≥x,∴t≥(-1)x对于x∈[t,t+2]恒成立.∴t≥(-1)(t+2),解得t≥.(方法二)当x<0时,f(x)=-x2单调递增,当x≥0时,f(x)=x2单调递增,∴f(x)=在R上单调递增,且满足2f(x)=f(x),∵不等式f(x+t)≥2f(x)=f(x)在[t,t+2]恒成立,∴x+t≥x在[t,t+2]上恒成立,即t≥(-1)x在x∈[t,t+2]恒成立,∴t≥(-1)(t+2),解得t≥,故答案为[,+∞).。
第1讲集合、常用逻辑用语[限时45分钟，满分60分]一、选择题(每小题5分，共40分)1．(2013·烟台一模)已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|－1＜x＜2}，则(∁R A)∩B等于A．{x|x＞－1}B．{x|－1＜x≤1}C．{x|－1＜x＜2} D．{x|1＜x＜2}解析∁R A＝{x|x≤1}，所以(∁R A)∩B＝{x|－1＜x≤1}，选B.答案 B2．(2013·东城模拟)若集合A＝{x|x≥0}，且A∩B＝B，则集合B可能是A．{1,2} B．{x|x≤1}C．{－1,0,1} D．R解析因为A∩B＝B，所以B⊆A，因为{1,2}⊆A，所以答案选A.答案 A3．若函数f(x)＝x2＋ax(a∈R)，则下列结论正确的是A．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数B．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数C．∃a∈R，f(x)是偶函数D．∃a∈R，f(x)是奇函数解析∵f′(x)＝2x－ax2＝2x3－ax2，∴A，B不正确．在C中，当a＝0时，f(x)＝x2是偶函数，C正确，显然f(x)不是奇函数，D不正确．答案 C4．(2013·丰台模拟)设全集U＝{1,3,5,7}，集合M＝{1，|a－5|}，∁U M＝{5,7}，则实数a的值为A ．2或－8B ．－2或－8C ．－2或8D ．2或8解析 因为∁U M ＝{5,7}，所以|a －5|＝3，即a －5＝3或a －5＝－3，即a ＝8或2，选D. 答案 D5．(2013·滨州一模)已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,4}，则(∁U B )∪A 等于 A ．{1,2} B ．{2,3,4} C ．{3,4}D ．{1,2,3}解析 因为A ＝{1,2}，B ＝{2,4}，所以∁U B ＝{1,3}， 即(∁U B )∪A ＝{1,2,3}，选D. 答案 D6．(2013·山东)给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 ∵綈p 是q 的必要而不充分条件，∴q ⇒綈p ，但綈p ⇏q ，其逆否命题为p ⇒綈q ，但綈q ⇏p ，因为原命题与其逆否命题是等价命题，故选A.答案 A7．(2013·云南师大附中模拟)已知条件p ：x 2－3x －4≤0；条件q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是A ．[－1,1]B ．[－4,4]C ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析 p ：－1≤x ≤4，记q ：3－m ≤x ≤3＋m (m ＞0)或3＋m ≤x ≤3－m (m ＜0)，依题意，⎩⎨⎧m ＞0，3－m ≤－1，3＋m ≥4或⎩⎨⎧m ＜0，3＋m ≤－1，3－m ≥4，解得m ≤－4或m ≥4.选C.答案 C8．(2013·烟台一模)已知命题p ：若(x －1)(x －2)≠0，则x ≠1且x ≠2；命题q ：存在实数x 0，使02x ＜0.下列选项中为真命题的是A ．綈pB ．(綈p )∨qC ．(綈q )∧pD ．q解析 命题p 为真，q 为假命题，所以(綈q )∧p 为真，选C. 答案 C二、填空题(每小题5分，共20分)9．(2013·德州一模)命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＝0”的否定是________．解析 全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＝0”的否定是∃x ∈R ，x 2－2x ≠0.答案 ∃x ∈R ，x 2－2x ≠010．(2013·合肥模拟)若集合A ＝{y |y ＝x 13，－1≤x ≤1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝2－1x ，0＜x ≤1，则A ∩B等于________．解析 A ＝{y |y ＝x 13，－1≤x ≤1}＝{y |－1≤y ≤1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝2－1x ，0＜x ≤1＝{y |y ≤1}， 所以A ∩B ＝{y |－1≤y ≤1}＝[－1,1]． 答案 [－1,1]11．设p ：xx －2＜0，q ：0＜x ＜m ，若p 是q 成立的充分不必要条件，则m 的取值范围是________．解析 不等式xx －2＜0等价于x (x －2)＜0，解之得0＜x ＜2，即p ：0＜x ＜2.又p 是q 成立的充分不必要条件，∴{x |0＜x ＜2}{x |0＜x ＜m }，故m ＞2. 答案 (2，＋∞)12．给定下列四个命题：①“x ＝π6”是“sin x ＝12”的充分不必要条件； ②若“p ∨q ”为真，则“p ∧q ”为真； ③若a ＜b ，则am 2＜bm 2； ④若集合A ∩B ＝A ，则A ⊆B .其中为真命题的是________(填上所有正确命题的序号)．解析 ①中由x ＝π6⇒sin x ＝12，但sin x ＝12⇏x ＝π6，故①为真命题． ②中p ∨q 为真，但p 、q 不一定全为真命题， 则推不出p ∧q 为真，故②为假命题． ③中当m 2＝0时不成立，故③为假命题． ④中A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，故④为真命题． 故答案为①④. 答案 ①④第2讲 函数、基本初等函数的图象性质[限时45分钟，满分60分]一、选择题(每小题5分，共45分) 1．函数f (x )＝3x1－x＋lg(2x －1)的定义域为 A ．(－∞，1)B ．(0,1]C ．(0,1)D ．(0，＋∞)解析 要使函数有意义，则有⎩⎨⎧ 2x－1＞01－x ＞0，即⎩⎨⎧x ＞0x ＜1，所以0＜x ＜1，即函数定义域为(0,1)，选C. 答案 C2．(2013·山东)已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)等于 A ．－2B ．0C ．1D ．2解析 因为f (x )是奇函数， 所以f (－1)＝－f (1)＝－2. 答案 A3．(2013·衡水模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－log 2x ，x ＞0，1－x 2，x ≤0，则不等式f (x )＞0的解集为 A ．{x |0＜x ＜1} B ．{x |－1＜x ≤0} C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |x ＞－1}解析 若x ＞0，由f (x )＞0得，－log 2x ＞0， 解得0＜x ＜1；若x ≤0，由f (x )＞0，得1－x 2＞0， 解得x 2＜1，即－1＜x ≤0. 综上－1＜x ＜1，选C. 答案 C4．(2013·济南一模)函数y ＝x －13x 的图象大致为解析 函数为奇函数，图象关于原点对称，所以排除C ，D. 当x ＝1时，y ＝0，当x ＝8时， y ＝8－38＝8－2＝6＞0，排除B ，选A. 答案 A5．(2013·浦东模拟)已知函数f (x )＝14x ＋2，若函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋n 为奇函数，则实数n 为A ．－12B ．－14C.14D ．0解析 据题意，y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋n ＝12142x ++＋n ，所以当x ＝0时，102142++＋n ＝0，解得n ＝－14. 答案 B6．(2013·玉溪模拟)若f (x )是偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x －1，则f (x －1)＜0的解集是A ．(－1,0)B ．(－∞，0)∪(1,2)C ．(1,2)D ．(0,2)解析 根据函数的性质作出函数f (x )的图象如图．把函数f (x )向右平移1个单位，得到函数f (x －1)，如图，则不等式f (x －1)＜0的解集为(0,2)，选D.答案 D7．(2013·玉溪一中月考)函数f (x )＝xx 2＋a的图象不可能是解析 当a ＝0时，f (x )＝x x 2＋a＝1x ，C 选项有可能． 当a ≠0时，f (0)＝xx 2＋a＝0，所以D 图象不可能，选D.答案 D8．(2013·海淀模拟)若x ∈R ，n ∈N ＋，定义E n x ＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n －1)，例如E 4－4＝(－4)·(－3)·(－2)·(－1)＝24，则f (x )＝x ·E 5x －2的奇偶性为A ．偶函数不是奇函数B ．奇函数不是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析 由题意知f (x )＝x E 5x －2＝x (x －2)(x －1)x (x ＋1)(x ＋2)＝x 2(x 2－4)(x 2－1)，所以函数为偶函数，不是奇函数，选A.答案 A9．(2013·潮州一模)定义域为R 的奇函数f (x )，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )＜0恒成立，若a ＝3f (3)，b ＝(log π3)·f (log π3)，c ＝－2f (－2)，则A ．a ＞c ＞bB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞b ＞c解析 设g (x )＝xf (x )，依题意得g (x )是偶函数， 当x ∈(－∞，0)时f (x )＋xf ′(x )＜0，即g ′(x )＜0恒成立，故g (x )在x ∈(－∞，0)单调递减， 则g (x )在(0，＋∞)上递增，a ＝3f (3)＝g (3)，b ＝(log π3)·f (log π3)＝g (log π3)，c ＝－2f (－2)＝g (－2)＝g (2)． 又log π3＜1＜2＜3，故a ＞c ＞b . 答案 A二、填空题(每小题5分，共15分)10．(2013·山东实验中学模拟)若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．解析 因为y ＝|a x －1|的图象是由y ＝|a x |向下平移一个单位得到，当a ＞1时，作出函数y ＝|a x －1|的图象如图，此时y ＝2a ＞2，如图只有一个交点，不成立．当0＜a ＜1时，0＜2a ＜2，要使两个函数的图象有两个公共点，则有0＜2a ＜1，即0＜a ＜12，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1211．(2013·海淀模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a x， x ＞0，ax ＋3a －8， x ≤0，若函数f (x )的图象经过点(3,8)，则a ＝________；若函数f (x )是 (－∞，＋∞)上的增函数，那么实数a 的取值范围是________．解析 若函数f (x )的图象经过点(3,8)， 则a 3＝8，解得a ＝2.若函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数， 则有⎩⎨⎧ a ＞1f (0)≤1，即⎩⎨⎧a ＞13a －8≤1，所以⎩⎨⎧a ＞1a ≤3，即1＜a ≤3，所以实数a 的取值范围是(1,3]． 答案 2 (1,3]12．(2013·西城模拟)已知函数f (x )的定义域为R .若∃常数c ＞0，对∀x ∈R ，有f (x ＋c )＞f (x －c )，则称函数f (x )具有性质P .给定下列三个函数：①f (x )＝2x ；②f (x )＝sin x ；③f (x )＝x 3－x . 其中，具有性质P 的函数的序号是________．解析 由题意可知当c ＞0时，x ＋c ＞x －c 恒成立，若对∀x ∈R ，有f (x ＋c )＞f (x －c )． ①若f (x )＝2x ，则由f (x ＋c )＞f (x －c )得2x ＋c ＞2x －c ，即x ＋c ＞x －c ，所以c ＞0，恒成立． 所以①具有性质P .②若f (x )＝sin x ，由f (x ＋c )＞f (x －c )得sin(x ＋c )＞sin(x －c )，整理cos x sin c ＞0，所以不存在常数c ＞0，对∀x ∈R ，有f (x ＋c )＞f (x －c )成立，所以②不具有性质P .③若f (x )＝x 3－x ，则由f (x ＋c )＞f (x －c )得由(x ＋c )3－(x ＋c )＞(x －c )3－(x －c )，整理得6x 2＋c 2＞2，所以当只要c ＞2，则f (x ＋c )＞f (x －c )成立，所以③具有性质P ，所以具有性质P 的函数的序号是①③.答案 ①③第3讲 函数与方程及函数的应用[限时45分钟，满分75分]一、选择题(每小题4分，共24分) 1．函数f (x )＝|x |－k 有两个零点，则 A ．k ＜0B ．k ＝0C ．k ＞0D ．0≤k ＜1解析 函数f (x )有两个零点，即方程|x |＝k 有两个不等的实数根，在同一坐标系内作出函数y ＝|x |和y ＝k 的图象，如图所示，可知当k ＞0时，二者有两个交点，即f (x )有两个零点．答案 C2．若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表那么方程x 3＋x 2－2x A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5解析 根据所给表格与函数零点的存在性定理可知f (1.375)f (1.438)＜0，即函数f (x )的零点在区间(1.375，1.438)内，故方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似根(精确到0.1)为1.4.答案 C3．(2013·惠州模拟)已知函数f (x )＝3x ＋x －9的零点为x 0，则x 0所在区间为 A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，52 解析 因为f (x )为增函数．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝27＋32－9＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝243＋52－9＞0.故选D. 答案 D4．已知f (x ＋1)＝f (x －1)，f (x )＝f (－x ＋2)，方程f (x )＝0在[0,1]内有且只有一个根x ＝12，则f (x )＝0在区间[0,2 013]内根的个数为A ．2 011B ．1 006C ．2 013D ．1 007解析 由f (x ＋1)＝f (x －1)，可知f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期是2， 由f (x )＝f (－x ＋2)可知函数f (x )关于直线x ＝1对称， 因为函数f (x )＝0在[0,1]内有且只有一个根x ＝12，所以函数f (x )＝0在区间[0,2 013]内根的个数为2 013个，选C. 答案 C5．设函数f (x )＝x 3－4x ＋a (0＜a ＜2)有三个零点x 1、x 2、x 3，且x 1＜x 2＜x 3，则下列结论正确的是A ．x 1＞－1B ．x 2＜0C ．0＜x 2＜1D ．x 3＞2解析 因为f (－3)＝a －15＜0，f (－1)＝3＋a ＞0，f (0)＝a ＞0，f (1)＝a －3＜0，f (2)＝a ＞0，所以函数的三个零点分别在(－3，－1)，(0,1)，(1,2)之间，又因为x 1＜x 2＜x 3，所以－3＜x 1＜－1,0＜x 2＜1＜x 3＜2，选C.答案 C6．(2013·滨州一模)定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12(x ＋1)，x ∈[0，1)，1－|x －3|，x ∈[1，＋∞)，则关于x 的函数F (x )＝f (x )－a,0＜a ＜1的所有零点之和为A ．1－2aB ．2a －1C ．1－2－aD ．2－a －1解析 当0≤x ＜1时，f (x )≤0.当x ≥1时，函数f (x )＝1－|x －3|，关于x ＝3对称，当x ≤－1时，函数关于x ＝－3对称，由F (x )＝f (x )－a ＝0，得y ＝f (x )，y ＝a .所以函数F (x )＝f (x )－a 有5个零点．当－1≤x ＜0时，0＜－x ≤1，所以f (－x )＝12log (－x ＋1)＝－log 2(1－x )，即f (x )＝log 2(1－x )，－1≤x ＜0.由f (x )＝log 2(1－x )＝a ，解得x ＝1－2a ，因为函数f (x )为奇函数，所以函数F (x )＝f (x )－a,0＜a ＜1的所有零点之和为x ＝1－2a ，选A.答案 A二、填空题(每小题5分，共15分)7．方程12log (a －2x )＝2＋x 有解，则a 的最小值为________．解析 方程12log (a －2x)＝2＋x 等价为⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋x＝a －2x ，即a ＝2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋x ＝2x ＋14×12x ≥22x ×14×12x ＝1，当且仅当2x ＝14×12x ，即2x ＝12，x ＝－1时取等号，所以a 的最小值为1. 答案 18．(2013·滨州一模)定义在R 上的偶函数f (x )，且对任意实数x 都有f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1)时，f (x )＝x 2，若在区间[－1,3]内，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围是________．解析 由f (x ＋2)＝f (x )得函数的周期为2.由g (x )＝f (x )－kx －k ＝0，得f (x )＝kx ＋k ＝k (x ＋1)，分别作出函数y ＝f (x )，y ＝k (x ＋1)的图象，要使函数有4个零点，则直线y ＝k (x ＋1)的斜率0＜k ≤k AB ，因为k AB ＝1－03－(－1)＝14，所以0＜k ≤14，即实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，149．(2013·房山区一模)某商品在最近100天内的单价f (t )与时间t 的函数关系是f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 4＋22， 0≤t ＜40，t ∈N ，－t 2＋52， 40≤t ≤100，t ∈N ，日销售量g (t )与时间t 的函数关系是g (t )＝－t 3＋1093，0≤t ≤100，t ∈N .则这种商品的日销售额的最大值为________．解析 由条件可知，当0≤t ＜40，t ∈N 时，这种商品的日销售额为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 4＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 3＋1093，则当t ＝10或t ＝11时，y max ＝808.5；当40≤t ≤100，t ∈N 时，这种商品的日销售额为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 2＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 3＋1093，则当t ＝100时，y max ＝736. 答案 808.5三、解答题(每小题12分，共36分)10．某商品在近30天内每件的销售价格p (元)与时间t (天)的函数关系是p ＝⎩⎨⎧t ＋20， 0＜t ＜25，t ∈N ，－t ＋100， 25≤t ≤30，t ∈N .该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系是Q ＝－t ＋40,0＜t ≤30，t ∈N ，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？解析 由题意得y ＝pQ ＝⎩⎨⎧(－t ＋40)(t ＋20)， 0＜t ＜25，(－t ＋40)(－t ＋100)， 25≤t ≤30，所以当0＜t ＜25时，y max ＝f (10)＝900， 当25≤t ≤30时，y max ＝f (25)＝1 125， 综上所述，y max ＝f (25)＝1 125.所以这种商品的日销售金额的最大值为1 125元，是30天中的第25天．11．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R ，a ≠0)，f (－2)＝f (0)＝0，f (x )的最小值为－1. (1)求函数f (x )的解析式；(2)设函数h (x )＝12[()]n f x --－1，若函数h (x )在其定义域上不存在零点，求实数n 的取值范围． 解析 (1)由题意设f (x )＝ax (x ＋2)， ∵f (x )的最小值为－1，∴a ＞0，且f (－1)＝－1，∴a ＝1，∴f (x )＝x 2＋2x .(2)∵函数h (x )＝12[()]n f x --－1在定义域内不存在零点，必须且只须有n －f (x )＞0有解，且n －f (x )＝1无解．∴n ＞f min (x )，且n 不属于f (x )＋1的值域． 又∵f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∴f (x )的最小值为－1，f (x )＋1的值域为[0，＋∞)， ∴n ＞－1，且n ＜0， ∴n 的取值范围为(－1,0)．12．祖国大陆开放台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作实验区和台湾农业创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务．某台商到大陆创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万元．设f (n )表示前n 年的纯收入(f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额)．(1)从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案最合算？解析 (1)设从第n 年开始获取纯利润，则f (n )＝50n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n ＋n (n －1)2·4＋72＝－2n 2＋40n －72＞0， 整理得n 2－20n ＋36＜0，解得：2＜n ＜18， ∴从第三年开始获取纯利润．(2)方案1 年平均利润为f (n )n ＝－2n 2＋40n －72n ＝40－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋36n ≤40－4 n ·36n ＝16，当且仅当n ＝36n ，即n ＝6时取等号， ∴总利润为y 1＝16×6＋48＝144(万元)．方案2 纯利润总和为f (n )＝－2n 2＋40n －72＝－2(n －10)2＋128， ∴n ＝10时，f (n )max ＝128，∴总利润为y 2＝128＋16＝144(万元)． 由于方案1用时较短，故方案1最合算．第4讲 不等式[限时45分钟，满分75分]一、选择题(每小题4分，共24分) 1．下列不等式可以推出a ＜b 的是 A ．ac 2＜bc 2B.1a ＞1b C ．a 2＜b 2D.a c ＜b c解析 因为ac 2＜bc 2，所以c ≠0，即c 2＞0，故ac 2＜bc 2⇒a ＜b ，选A ；对于B ，当a ＝1，b ＝－1时，满足1a ＞1b ，但a ＞b ；对于C ，当a ＝1，b ＝－2时，满足a 2＜b 2，但a ＞b ；对于D ，当c ＜0时，有a ＞b .答案 A2．若点(a ，a )和点(a ＋2，a )分别在直线x ＋y －3＝0的两侧，则实数a 的取值范围是 A ．(－∞，1)∪(3，＋∞) B ．(1,3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 解析 据题意知(a ＋a －3)(a ＋2＋a －3)＜0，即(2a －3)(2a －1)＜0，解得12＜a ＜32，故选D. 答案 D3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－1， x ≥0，x 2－1， x ＜0，则满足不等式f (3－x 2)＜f (2x )的x 的取值范围为A ．[－3,0)B ．(－3,0)C ．(－3,1)D ．(－3，－3)解析 由函数图象可知，函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上是一条平行于x 轴的射线，则原不等式的解为⎩⎨⎧3－x 2＞2x ，2x ＜0，即x ∈(－3,0)，故选B.答案 B4．(2013·深圳模拟)已知a ＞0，c ＞0，设二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则1c ＋9a 的最小值为A ．3B.92C ．5D ．7解析 因为二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝16－4ac ＝0，即ac ＝4，1ac ＝14，又1c ＋9a ＝2 1c ×9a ＝29ac ＝294＝3，当且仅当1c ＝9a ，ac ＝4，即c ＝23，a ＝6时等号成立．答案 A5．(2013·潍坊一模)在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x y ≥12xx ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋12y 的最大值为A.14B.34C.56D.53解析 由z ＝x ＋12y 得y ＝－2x ＋2z .作出可行域如图阴影部分，平移直线y ＝－2x ＋2z ，由平移可知，当直线经过点C 时，直线y ＝－2x ＋2z 的截距最大，此时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12xx ＋y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y ＝13，代入z ＝x ＋12y 得z ＝23＋12×13＝56，选C.答案 C6．(2013·枣庄一模)设z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y ≥0x －y ≤00≤y ≤k，若z 的最大值为6，则z 的最小值为A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析 由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0的区域BCO ，平移直线y ＝－x ＋z ，由图象可知当直线经过C 时，直线的截距最大，此时z ＝6，由⎩⎨⎧ y ＝x y ＝－x ＋6解得⎩⎨⎧x ＝3y ＝3，所以k ＝3，解得B (－6,3)代入z ＝x ＋y 的最小值为z ＝－6＋3＝－3，选A.答案 A二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知不等式x 2＋mx ＋n ＜0的解集是{x |－1＜x ＜6}，则mx ＋n ＞0的解集是________．解析 据题意知x 2＋mx ＋n ＝0的两根为－1和6，由根与系数关系得m ＝－5，n ＝－6，则不等式mx ＋n ＞0为－5x －6＞0，其解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－65. 答案⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－65 8．(2013·杭州一模)若正数x ，y 满足2x ＋y －3＝0，则x ＋2yxy 的最小值为________． 解析 由题意：2x ＋y －3＝0⇒2x 3＋y3＝1，x ＋2y xy ＝2x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋y 3＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ＋53≥23·2＋53＝3. 答案 39．(2013·滨州一模)设实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2y ≤0，2x －y ≥0，x 2＋y 2－2x －2y ≤0，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为________．解析 由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z .作出不等式组对应的区域，平移直线y ＝－x ＋z ，由图象可知，当直线y ＝－x ＋z 与圆在第一象限相切时，直线y ＝－x ＋z 的截距最大，此时z 最大．直线与圆的距离d ＝|z |2＝2，即z ＝±4，所以目标函数z ＝x ＋y 的最大值是4.答案 4三、解答题(每小题12分，共36分)10．已知不等式ax 2－3x ＋2＞0的解集为{x |x ＜1，或x ＞b }． (1)求a 、b 的值；(2)解关于x 的不等式x 2－b (a ＋c )x ＋4c ＞0.解析 (1)由题意知a ＞0且1，b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的根， ∴a ＝1；又1×b ＝2a ，∴b ＝2.(2)不等式可化为x 2－2(c ＋1)x ＋4c ＞0， 即(x －2c )(x －2)＞0，当2c ＞2，即c ＞1时不等式的解集为{x |x ＜2，或x ＞2c }， 当2c ＝2，即c ＝1时不等式的解集为{x |x ≠2}，当2c ＜2，即c ＜1时不等式的解集为{x |x ＞2，或x ＜2c }， 综上：当c ＞1时不等式的解集为{x |x ＜2，或x ＞2c }， 当c ＝1时不等式的解集为{x |x ≠2}．当c ＜1时不等式的解集为{x |x ＞2，或x ＜2c }． 11．已知函数f (x )＝x 2＋12x ＋a ，a ∈R . (1)当a ＝－1516时，解不等式f (x )＜0；(2)当a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n时，若对任意n ∈N ＋，当x ∈(－∞，λ]时不等式f (x )≥0恒成立，求实数λ的取值范围．解析 (1)把a ＝－1516代入f (x )＝x 2＋12x ＋a ＜0得x 2＋12x －1516＜0，即16x 2＋8x －15＜0，分解因式得(4x －3)(4x ＋5)＜0，解之得－54＜x ＜34，所以不等式f (x )＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－54＜x ＜34. (2)当a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 时，由f (x )＝x 2＋12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≥0，得x 2＋12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，即x 2＋12x ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12n max 恒成立，因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12n max ＝12，即x 2＋12x ≥12在x ∈(－∞，λ]时恒成立．令y ＝x 2＋12x ，则y ＝x 2＋12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142－116，二次函数图象的开口向上，且对称轴为x ＝－14， 令y ＝x 2＋12x ＝12， 解得x ＝－1，或x ＝12，结合二次函数y ＝x 2＋12x 的图象可知，要使当x ∈(－∞，λ]时不等式x 2＋12x ≥12恒成立，则λ≤－1.12．城建部门计划在浑南新区建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形的休闲区A 1B 1C 1D 1(阴影部分)和环公园人行道组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米．(1)若设休闲区的长A 1B 1＝x 米，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S (x )的解析式； (2)要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？解析 (1)由A 1B 1＝x ，知B 1C 1＝4 000x ，S ＝(x ＋20)⎝ ⎛⎭⎪⎫4 000x ＋8＝4 160＋8x ＋80 000x (x ＞0)．(2)S ＝4 160＋8x ＋80 000x ≥4 160＋28x ·80 000x＝5 760， 当且仅当8x ＝80 000x ，即x ＝100时取等号．∴要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长为100米、宽为40米．第5讲 导数的简单应用[限时45分钟，满分75分]一、选择题(每小题4分，共24分)1．(2013·邯郸模拟)设a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x )，且f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为A ．y ＝3x ＋1B ．y ＝－3xC ．y ＝－3x ＋1D ．y ＝3x －3解析 函数的导数为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a －3)，若f ′(x )为偶函数，则a ＝0，所以f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3.所以f ′(0)＝－3.所以在原点处的切线方程为y ＝－3x ，选B.答案 B2．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其导函数f ′(x )的图象如图，则函数f (x )的极小值是A ．a ＋b ＋cB ．8a ＋4b ＋cC ．3a ＋2bD ．c解析 由导函数f ′(x )的图象知当x ＜0时，f ′(x )＜0，当0＜x ＜2时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )的极小值为f (0)＝c ，选D.答案 D3．曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 A.29B.19C.13D.23解析 y ′＝f ′(x )＝x 2＋1，在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43的切线斜率为k ＝f ′(1)＝2.所以切线方程为y －43＝2(x－1)，即y ＝2x －23，与坐标轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－23，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，所以三角形的面积为12×13×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23＝19，选B.答案 B4．函数f (x )＝x 3＋3x 2＋3x －a 的极值点的个数是A ．2B ．1C ．0D ．由a 确定 解析 函数的导数为f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x 2＋2x ＋1)＝3(x ＋1)2≥0，所以函数f (x )在定义域上单调递增，所以没有极值点，选C.答案 C5．若函数y ＝e (a －1)x ＋4x (x ∈R )有大于零的极值点，则实数a 的范围是A ．a ＞－3B ．a ＜－3C ．a ＞－13D ．a ＜－13解析 因为函数y ＝e (a －1)x ＋4x ，所以y ′＝(a －1)e (a －1)x ＋4(a ＜1)，所以函数的零点为x 0＝1a －1ln 4－a ＋1. 因为函数y ＝e (a －1)x ＋4x (x ∈R )有大于零的极值点，故1a －1ln 4－a ＋1＞0，得到a ＜－3，选B. 答案 B6．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．R 解析 令g (x )＝f (x )－(2x ＋4)，则g ′(x )＝f ′(x )－2＞0，∴g (x )在R 上单调递增．又∵g (－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0，∴g (x )＞0，即f (x )＞2x ＋4的解集为(－1，＋∞)．答案 B二、填空题(每小题5分，共15分)7．(2013·临沂模拟)若曲线f (x )＝x ，g (x )＝x a 在点P (1,1)处的切线分别为l 1，l 2，且l 1⊥l 2，则a 的值为________．解析f′(x)＝12x，g′(x)＝ax a－1，所以在点P处的斜率分别为k1＝12，k2＝a.因为l1⊥l2，所以k1k2＝a2＝－1，所以a＝－2.答案－28．函数f(x)＝x(e x－1)－12x2的单调增区间为________．解析f′(x)＝e x－1＋x·e x－x＝(e x－1)(x＋1)，令f′(x)＞0，解得x＜－1或x＞0，所以f(x)的单调增区间为(－∞，－1)和(0，＋∞)．答案(－∞，－1)和(0，＋∞)9．若函数f(x)＝x－a x＋ln x(a为常数)在定义域上是增函数，则实数a的取值范围是________．解析∵f(x)＝x－a x＋ln x在(0，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝1－a2x＋1x≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a≤2x＋2x.而2x＋2x≥22x×2x＝4，当且仅当x＝1x，即x＝1时等号成立，∴a≤4.答案(－∞，4]三、解答题(每小题12分，共36分)10．(2013·杭州一模)设函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋a ln x，(其中a＞0)．(1)当a＝1时，求函数f(x)的极小值；(2)当a＝4时，给出直线l1：5x＋2y＋m＝0和l2：3x－y＋n＝0，其中m，n为常数，判断直线l1或l2中，是否存在函数f(x)的图象的切线？若存在，求出相应的m或n的值，若不存在，说明理由．解析(1)当a＝1时，f′(x)＝2x－3＋1x＝(x－1)(2x－1)x，当0＜x＜12时，f′(x)＞0；当12＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0.所以当x＝1时，f(x)取极小值－2.(2)当a ＝4时，f ′(x )＝2x ＋4x －6.∵x ＞0，∴f ′(x )＝2x ＋4x －6≥42－6，故l 1中，不存在函数图象的切线．由2x ＋4x －6＝3得x ＝12与x ＝4，当x ＝12时，求得n ＝－174－4ln 2，当x ＝4时，求得n ＝4ln 4－20.11．(2013·惠州模拟)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝13x 3＋12x 2＋mx ＋n ，直线与函数f (x )，g (x )的图象都相切于点(1,0)．(1)求直线的方程及g (x )的解析式；(2)若h (x )＝f (x )－g ′(x )(其中g ′(x )是g (x )的导函数)，求函数h (x )的极大值．解析 (1)直线是函数f (x )＝ln x 在点(1,0)处的切线，故其斜率k ＝f ′(1)＝1，∴直线的方程为y ＝x －1.又因为直线与g (x )的图象相切，且切于点(1,0)，∴g (x )＝13x 3＋12x 2＋mx ＋n 在点(1,0)的导函数值为1，∴⎩⎨⎧ g (1)＝0g ′(1)＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1n ＝16，∴g (x )＝13x 3＋12x 2－x ＋16.(2)∵h (x )＝f (x )－g ′(x )＝ln x －x 2－x ＋1(x ＞0)，∴h ′(x )＝1x －2x －1＝1－2x 2－x x ＝－(2x －1)(x ＋1)x， 令h ′(x )＝0，得x ＝12或x ＝－1(舍)，当0＜x ＜12时，h ′(x )＞0，h (x )递增；当x ＞12时，h ′(x )＜0，h (x )递减，因此，当x ＝12时，h (x )取得极大值，∴[h (x )]极大＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＋14.12．(2013·大兴区一模)已知函数f (x )＝x －a (x －1)2，x ∈(1，＋∞)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)函数f (x )在区间[2，＋∞)上是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．解析 (1)f ′(x )＝(x －1)(－x ＋2a －1)(x －1)4，x ∈(1，＋∞)． 由f ′(x )＝0，得x 1＝1，或x 2＝2a －1.①当2a －1≤1，即a ≤1时，在(1，＋∞)上，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；②当2a －1＞1，即a ＞1时，在(1,2a －1)上，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，在(2a －1，＋∞)上，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．综上所述：a ≤1时，f (x )的减区间为(1，＋∞)；a ＞1时，f (x )的增区间为(1,2a －1)，f (x )的减区间为(2a －1，＋∞)．(2)①当a ≤1时，由(1)f (x )在[2，＋∞)上单调递减，不存在最小值；②当a ＞1时，若2a －1≤2，即a ≤32时，f (x )在[2，＋∞)上单调递减，不存在最小值；若2a －1＞2，即a ＞32时，f (x )在[2,2a －1)上单调递增，在(2a －1，＋∞)上单调递减，因为f (2a －1)＝a －1(2a －2)2＞0， 且当x ＞2a －1时，x －a ＞a －1＞0，所以x ≥2a －1时，f (x )＞0.又因为f (2)＝2－a ，所以当2－a ≤0，即a ≥2时，f (x )有最小值2－a ；2－a ＞0，即32＜a ＜2时，f (x )没有最小值．综上所述：当a ≥2时，f (x )有最小值2－a ；当a ＜2时，f (x )没有最小值．第6讲 导数的综合应用和定积分[限时45分钟，满分75分]一、选择题(每小题4分，共24分)1．(2013·山师大附中模拟)设a ＝⎠⎛01cos x d x ，b ＝⎠⎛01sin x d x ，下列关系式成立的是 A ．a ＞b B ．a ＋b ＜1 C ．a ＜b D ．a ＋b ＝1解析 a ＝⎠⎛01cos x d x ＝sin x |10＝sin 1， b ＝⎠⎛01sin x d x ＝(－cos x ) |10＝1－cos 1， 所以a ＝sin 1＞sin π6＝12.又cos 1＞cos π3＝12，所以－cos 1＜－12，b ＝1－cos 1＜1－12＝12，所以a ＞b ，选A.答案 A2．(2013·惠州模拟)如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x (x ＞0)图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E 的面积为A ．ln 2B ．1－ln 2C ．2－ln 2D ．1＋ln 2解析 S ＝1×1＋⎠⎛121y d y ＝1＋ln y |21＝1＋ln 2.故选D. 答案 D3．(2013·宿州模拟)方程x 3－6x 2＋9x －10＝0的实根个数是A ．3B ．2C ．1D ．0解析 设f (x )＝x 3－6x 2＋9x －10，f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)，由此可知函数的极大值为f (1)＝－6＜0，极小值为f (3)＝－10＜0，所以方程x 3－6x 2＋9x －10＝0的实根个数为1个，选C.答案 C4．(2013·郑州模拟)设函数f (x )＝x n＋x －1(n ∈N ＋，n ≥2)，则f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内 A ．存在唯一的零点x n ，且数列x 2，x 3，…，x n …单调递增B ．存在唯一的零点x n ，且数列x 2，x 3，…，x n …单调递减C ．存在唯一的零点x n ，且数列x 2，x 3，…，x n …非单调数列D ．不存在零点解析 f ′(x )＝nx n －1＋1，因为n ≥2，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所以f ′(x )＞0， 所以函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增． f (1)＝1＋1－1＝1＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋12－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －12.因为n ≥2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －12＜0， 所以函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上只有一个零点，选A. 答案 A5．(2013·诸城市高三月考)对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足1－x f ′(x )≤0，则必有 A ．f (0)＋f (2)＞2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)＜2f (1)D ．f (0)＋f (2)≥2f (1) 解析 当x ＜1时，f ′(x )＜0，此时函数递减．当x ＞1时，f ′(x )＞0，此时函数递增，即当x ＝1，函数取得极小值同时也是最小值f (1)，所以f (0)＞f (1)，f (2)＞f (1)，即f (0)＋f (2)＞2f (1)，选A.答案 A6．若直线y ＝m 与y ＝3x －x 3的图象有三个不同的交点，则m 的取值范围为A ．－2＜m ＜2B ．－2≤m ≤2C ．m ＜－2或m ＞2D ．m ≤－2或m ≥2 解析 y ′＝3(1－x )(1＋x )，由y ′＝0得x ＝±1，∴y 极大＝2，y 极小＝－2，∴－2＜m ＜2.答案 A二、填空题(每小题5分，共15分)7．由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝t 2，t ∈(0,1)所围成的图形(如图阴影部分)的面积的最小值为________．解析 S ＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＋⎠⎛t1(x 2－t 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2x －13x 3 |t 0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－t 2x |1t ＝43t 3－t 2＋13，t ∈(0,1)． S ′＝4t 2－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12，S (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数， 则S 最小＝S ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝43×18－14＋13＝14. 答案 148．函数y ＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取得最大值时，x 的值为________． 解析 y ′＝(x ＋2cos x )′＝1－2sin x ，令1－2sin x ＝0，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，x ＝π6. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，f ′(x )≥0，f (x )是单调增函数， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减．∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6. 答案 π69．(2013·盘锦模拟)若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．解析 由f (x )＝x 3－3x ＋a ＝0，得f ′(x )＝3x 2－3，当f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，由图象可知f 极大值(－1)＝2＋a ，f 极小值(1)＝a －2，要使函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，则有f 极大值(－1)＝2＋a ＞0，f 极小值(1)＝a －2＜0，即－2＜a ＜2，所以实数a 的取值范围是(－2,2)．答案 (－2,2)三、解答题(每小题12分，共36分)10．(2013·开封模拟)设函数f (x )＝2ln(x －1)－(x －1)2.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若关于x 的方程f (x )＋x 2－3x －a ＝0在区间[2,4]内恰有两个相异的实根，求实数a 的取值范围．解析 (1)f (x )的定义域为(1，＋∞)．f′(x)＝2x－1－2(x－1)＝2x(2－x)x－1.由f′(x)＞0得1＜x＜2，∴f(x)的单调递增区间为(1,2)．(2)∵f(x)＝2ln(x－1)－(x－1)2，∴f(x)＋x2－3x－a＝0⇔x＋a＋1－2ln(x－1)＝0. 即a＝2ln(x－1)－x－1，令h(x)＝2ln(x－1)－x－1.∵h′(x)＝2x－1－1＝3－xx－1，且x＞1，由h′(x)＞0得1＜x＜3，h′(x)＜0得x＞3.∴h(x)在区间[2,3]内单调递增，在区间[3,4]内单调递减．∵h(2)＝－3，h(3)＝2ln 2－4，h(4)＝2ln 3－5.又h(2)＜h(4)，故f(x)＋x2－3x－a＝0在区间[2,4]内恰有两个相异实根⇔h(4)≤a＜h(3)．即2ln 3－5≤a＜2ln 2－4.综上所述，a的取值范围是[2ln 3－5,2ln 2－4)．11．(2013·雅安模拟)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1.(1)若xf′(x)≤x2＋ax＋1，求a的取值范围；(2)证明：(x－1)f(x)≥0.解析(1)f′(x)＝x＋1x＋ln x－1＝ln x＋1x，xf′(x)＝x ln x＋1，题设xf′(x)≤x2＋ax＋1等价于ln x－x≤a.令g(x)＝ln x－x，则g′(x)＝1x－1.当0＜x＜1时，g′(x)＞0；当x≥1时，g′(x)≤0，所以x＝1是g(x)的最大值点，g(x)≤g(1)＝－1.综上，a的取值范围是[－1，＋∞)．(2)证明由(1)知，g(x)≤g(1)＝－1.即ln x－x＋1≤0.当0＜x＜1时，f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1＝x ln x＋(ln x－x＋1)≤0.当x ≥1时，f (x )＝ln x ＋(x ln x －x ＋1)＝ln x ＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x －1＝ln x －x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x －1x ＋1≥0. 所以(x －1)f (x )≥0.12．(2013·合肥模拟)已知函数f 1(x )＝12x 2，f 2(x )＝a ln x (其中a ＞0)．(1)求函数f (x )＝f 1(x )·f 2(x )的极值；(2)若函数g (x )＝f 1(x )－f 2(x )＋(a －1)x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 内有两个零点，求正实数a 的取值范围； (3)求证：当x ＞0时，ln x ＋34x 2－1e x ＞0.(说明：e 是自然对数的底数，e ＝2.718 28...)解析 (1)f (x )＝f 1(x )·f 2(x )＝12ax 2·ln x ，∴f ′(x )＝ax ln x ＋12ax ＝12ax (2ln x ＋1)(x ＞0，a ＞0)，由f ′(x )＞0，得x ＞e －12，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜e －12，故函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，e －12上单调递减，在(e －12，＋∞)上单调递增， 所以函数f (x )的极小值为f (e －12)＝－a 4e ，无极大值．(2)函数g (x )＝12x 2－a ln x ＋(a －1)x ，则g ′(x )＝x －a x ＋(a －1)＝x 2＋(a －1)x －a x ＝(x ＋a )(x －1)x， 令g ′(x )＝0.∵a ＞0，解得x ＝1，或x ＝－a (舍去)， 当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0，g (x )在(0,1)上单调递减； 当x ＞1时，g ′(x )＞0，g (x )在(1，＋∞)上单调递增．函数g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 内有两个零点， 只需⎩⎪⎨⎪⎧ g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＞0，g (1)＜0，g (e )＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 12e 2＋a －1e ＋a ＞0，12＋a －1＜0，e 22＋(a －1)e －a ＞0，- 31 - ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞2e －12e 2＋2e ，a ＜12，a ＞2e －e 22e －2，故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫2e －12e 2＋2e ，12.(3)证明 问题等价于x 2ln x ＞x 2e x －34.由(1)知f (x )＝x 2ln x 的最小值为－12e .设h (x )＝x 2e x －34，由h ′(x )＝－x (x －2)e x 得h (x )在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减． ∴h (x )max ＝h (2)＝4e 2－34. ∵－12e －⎝ ⎛⎭⎪⎫4e 2－34＝34－12e －4e 2＝3e 2－2e －164e 2 ＝(3e －8)(e ＋2)4e 2＞0，∴f (x )min ＞h (x )max ，∴x 2ln x ＞x 2e x －34， 故当x ＞0时，ln x ＋34x 2－1e x ＞0.。
卜人入州八九几市潮王学校(时间是60分钟，总分值是80分)一、选择题(一共6个小题，每一小题5分，总分值是30分)p ：2n －1是奇数，q ：2n ＋1是偶数(n ∈Z)，那么以下说法中正确的选项是()A ．p 或者q 为真B ．p 且q 为真C ．非p 为真D ．非q 为假解析：由题设知：p 真q 假，故p 或者q答案：Ap ：∀x ∈R ，x >sin x ，那么p 的否认形式为()A ．p ⌝：∃x ∈R ，x <sin xB ．p ⌝：∀x ∈R ，x ≤sin xC ．p ⌝：∃x ∈R ，x ≤sin xD ．p ⌝：∀x ∈R ，x <sin x∀〞与“∃〞相对，那么p ⌝：∃x ∈R ，x ≤sin x .答案：Cp ∧q )A ．(p ⌝)∧(q ⌝)B ．(p ⌝)∨(q ⌝)C ．p ∨(q ⌝)D ．(p ⌝)∧q解析：∵p ∧q 为真，∴p 与q 都为真，∴p ⌝，q ⌝均为假，故p ∨(q ⌝答案：C4．〔2021·模拟〕以下说法中，正确的选项是()am 2<bm 2，那么a <b∃x ∈R ，x 2－x >0”的否认是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0” p ∨qpqD ．x ∈R ，那么“x >1”是“x >2”的充分不必要条件解析：“∃x ∈R ，x 2－x >0”∀x ∈R ，x 2－x ≤0”． 答案：B5．〔2021·质检〕)①∀x∈R，x4>x2；②假设p∧qp，q③∀x∈R，x3－x2＋1≤0”的否认是“∃x∈R，x3－x2＋1>0〞．A．0 B．1 C．2 D．3解析：①x＝0时，x4>x2不成立，①②假设p∧qp，q②③正确．答案：Bp：∃x∈R，(m＋1)(x2q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．假设p∧qm的取值范围为()A．m≥2B．m≤－2或者m>－1C．m≤－2或者m≥2D．－1＜m≤2解析：假设p∧qp与q①假设p假q真，那么⇒－1<m<2；②假设q假p真，那么⇒m≤－2；③假设q假p假，那么⇒m≥2.综上可得：m≤－2或者m＞－1.答案：B二、填空题(一共3小题，每一小题5分，总分值是15分)p：“∃x∈R＋，x>pq，那么q是“________〞；q的真假为________．(填“真〞或者“假〞)答案：∀x∈R＋，x≤假8．定义在R上的函数f(xx都有f(－x)＝f(x)，那么f(x)为偶函数〞的否认：______________________________.答案：假设存在实数x0，使得f(－x0)≠f(x0)，那么f(x)不是偶函数9．p(x)：x2＋2x－m>0，假设ppm的取值范围是________．解析：因为pm≤0，解得m≥3，又因为pm>0，解得m<8，所以实数m的取值范围是3≤m<8.答案：3≤m<8三、解答题(一共3小题，总分值是35分)10．用符号“∀〞与“∃(1)不等式x2－x＋≥0对一实在数x都成立；(2)存在实数x0，使得＝.解：(1)∀x∈R，x2－x＋≥0恒成立．x2－x＋＝(x－)2(2)∃x0∈R，使得＝.∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，∴≤＜.(1)相似三角形周长相等或者对应角相等；(2)9的算术平方根不是－3；(3)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．p∨q的形式，其中p：相似三角形周长相等，q：相似三角形对应角相等，因为p假q真，所以p∨q为真．p⌝为真．⌝的形式，其中p：9的算术平方根是－3，因为p假，所以pp∧q的形式，其中p：垂直于弦的直径平分这条弦．q：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧，因为p真q真，所以p∧q为真．p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”q：“∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”p且qa的取值范围．解：由“p且qpq假设pa≤x2恒成立，∵x∈[1,2]，∴a≤1.假设qx2＋2ax＋2－a＝0有实根，Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或者a≤－2，综上，实数a的取值范围为a≤－2或者a＝1.。
专题一集合与常用逻辑用语备考篇【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、集合的概念与运算1.理解集合的含义,能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)表示集合.2.理解集合之间的包含关系,能识别给定集合的子集,在具体问题中了解全集与空集的含义.3.理解两个集合的并集与交集的含义,并会求它们的交集与并集;理解给定一个集合的子集的补集含义,会求给定子集的补集;会用韦恩(Venn)图表示集合间的基本关系及运算.1.考查内容:从近五年高考看,本专题重点考查集合的交、并、补运算,所给的数集既有连续型(如2020新高考Ⅰ卷第1题直接给出了两个连续型集合,求它们的并集,而2020课标Ⅰ卷理数第1题则是先求出一元一次、一元二次不等式的解集,后给定了集合交集来求参数的值)、又有离散型的数集(如2020课标Ⅱ卷文数第1题与2020天津卷第1题);对充分条件、必要条件的考查常与其他知识结合(如2020北京卷的第9题以三角函数中的诱导公式为背景考查了充分、必要条件的推理判断);全(特)称命题的考查相对较少.2.本专题是历年必考的内容,在选择题、填空题中出现较多,多以给定的集合或不等式的解集为载体,以集合1.对于给定的集合,首先应明确集合的表示方法,对于描述法表述的集合,要明确集合的元素是什么(是数集、点集等),明确集合是不等式的解集,是函数的定义域还是值域,把握集合中元素的属性是重点.2.了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题;通过对概念的理解,会分析四种命题的关系,会写出一个命题的其他三个命题,并判断其真假.能用逻辑联结词正确地表达相关的数学命题.3.对于充分、必要条件的判断问题,必须明确题目中的条件与结论分别是什么,它们之间的互推关系是怎样的,要加强这方面的训练.4.关于全称命题与特称二、常用逻辑用语1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.语言和符号语言为表现形式,考查集合的交、并、补运算;也会与解不等式、函数的定义域、值域相结合进行考查.3.对于充分、必要条件的判断,含有一个量词的命题的否定可以与每一专题内容相关联,全称命题及特称命题是重要的数学语言,高考考题充分体现了逻辑推理的核心素养.命题,一般考查命题的否定.对含有一个量词的命题进行真假判断,要学会用特值检验.【真题探秘】命题立意已知给定的两个连续型的数集,求它们的并集.解题指导1.进行集合运算时,首先看集合是否最简,能化简先化简,再运算.2.注意数形结合思想的应用(1)离散型数集或抽象集合间的运算,常借助Venn图求解. (2)连续型数集的运算,常借助数轴求解,运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.拓展延伸1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到,解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意等号能否取到.3.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,关注对空集的讨论,防止漏解.4.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系:二是集合与集合的包含关系.5.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法.[教师专用题组]1.真题多维细目表考题涉分题型难度考点考向解题方法核心素养2020新高考Ⅰ,1 5单项选择题易集合的运算集合的并集运算数轴法数学运算2020新高考Ⅱ,1 5单项选择题易集合的运算集合的并集运算定义法数学运算2020课标Ⅰ理,2 5选择题易集合的运算解不等式、集合的交集运算定义法数学运算2020课标Ⅰ文,1 5选择题易集合的运算解不等式、集合的交集运算定义法数学运算2020北京,1 4选择题易集合的运算集合的交集运算定义法数学运算2020天津,1 5选择题易集合的运算集合的交、补集运算定义法数学运算2020天津,2 5选择题易充分、必要条件解不等式、充分、必要条件的判断定义法逻辑推理2020北京,9 4选择题难充分、必要条件诱导公式、角的终边位置与角大小关系、充分、必要条件的判断定义法逻辑推理风格.2.2020年新高考考查内容主要体现在以下方面:①新高考Ⅰ卷第1题,新高考Ⅱ卷第1题直接给出了两个集合求它们的并集或交集,课标Ⅰ卷理数则是需要求出一元一次、一元二次不等式的解集,同时通过它们的交集确定参数的值,北京卷与新高考Ⅰ卷相近,直接求两个给定集合的交集;②2020年新高考Ⅰ卷第5题以学生参加体育锻炼为背景考查了利用韦恩(Venn)图求两个集合交集中元素所占总体的比例问题,体现了集合的应用价值;③2020年北京卷第9题以三角函数中的诱导公式为背景考查了充分、必要条件的判断.3.在备考时还要适当关注求集合的补集运算,对含有一个量词的命题的真假判断,集合与充分、必要条件相结合的命题方式,在不同背景下抽象出数学本质的方法等.应强化在知识的形成过程、知识的迁移中渗透学科素养.§1.1 集合 基础篇 【基础集训】考点一 集合及其关系1.若用列举法表示集合A ={(x ,x )|{2x +x =6x -x =3},则下列表示正确的是 ( )A.A ={x =3,y =0}B.A ={(3,0)}C.A ={3,0}D.A ={(0,3)} 答案 B2.若集合M ={x ||x |≤1},N ={y |y =x 2,|x |≤1},则 ( ) A.M =N B.M ⊆N C.M ∩N =⌀ D.N ⫋M 答案 D3.已知集合A ={x ∈R|x 2+x -6=0},B ={x ∈R|ax -1=0},若B ⊆A ,则实数a 的值为 ( ) A.13或-12B.-13或12C.13或-12或0 D.-13或12或0答案 D4.已知含有三个实数的集合既可表示成{x ,x x,1},又可表示成{a 2,a +b ,0},则a 2021+b 2021等于 . 答案 -1考点二 集合的基本运算5.已知集合M ={x |-1<x <3},N ={x |-2<x <1},则M ∩N = ( )A .(-2,1)B .(-1,1)C .(1,3)D .(-2,3) 答案 B6.已知全集U =R,A ={x |x ≤0},B ={x |x ≥1},则集合∁U (A ∪B )=( ) A.{x |x ≥0} B.{x |x ≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}答案 D7.已知集合A={x|x2-2x-3>0},B={x|lg(x+1)≤1},则(∁R A)∩B= ()A.{x|-1≤x<3}B.{x|-1≤x≤9}C.{x|-1<x≤3}D.{x|-1<x<9}答案 C8.全集U={x|x<10,x∈N*},A⊆U,B⊆U,(∁U B)∩A={1,9},A∩B={3},(∁U A)∩(∁U B)={4,6,7},则A∪B=.答案{1,2,3,5,8,9}[教师专用题组]【基础集训】考点一集合及其关系1.(2018广东茂名化州二模,1)设集合A={-1,0,1},B={x|x>0,x∈A},则B= ()A.{-1,0}B.{-1}C.{0,1}D.{1}答案D由题意可知,集合B由集合A中为正数的元素组成,因为集合A={-1,0,1},所以B={1}.2.设集合A={y|y=x2+2x+5,x∈R},有下列说法:①1∉A;②4∈A;③(0,5)∈A.其中正确的说法个数是()A.0B.1C.2D.3答案C易知A={y|y≥4},所以①②都是正确的;(0,5)是点,而集合A中元素是数,所以③是错误的.故选C.3.(2020陕西西安中学第一次月考,1)已知集合A={x|x≥-1},则正确的是 ()A.0⊆AB.{0}∈AC.⌀∈AD.{0}⊆A答案D对于A,0∈A,故A错误;对于B,{0}⊆A,故B错误;对于C,空集⌀是任何集合的子集,即⌀⊆A,故C错误;对于D,由于集合{0}是集合A的子集,故D正确.故选D.4.(2019辽宁沈阳质量检测三,2)已知集合A={(x,y)|x+y≤2,x,y∈N},则A中元素的个数为()A.1B.5C.6D.无数个答案C由题意得A={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)},所以A中元素的个数为6.故选C.5.(2020广西桂林十八中8月月考,1)已知集合A={1,a},B={1,2,3},那么 ()A.若a=3,则B⊆AB.若a=3,则A⫋BC.若A⊆B,则a=2D.若A⊆B,则a=3答案B当a=3时,A={1,3},又因为B={1,2,3},所以A⫋B.若A⊆B,则a=2或3.故选B. 6.(2019辽宁师大附中月考,2)已知集合A={0,1},B={x|x⊆A},则下列集合A与B的关系中正确的是()A.A⊆BB.A⫋BC.B⫋AD.A∈B答案D因为x⊆A,所以B={⌀,{0},{1},{0,1}},则集合A={0,1}是集合B中的一个元素,所以A∈B,故选D.,x≠0},集合B={x|x2-4 7.(2020安徽江淮十校第一次联考,1)已知集合A={x|x=x+1x≤0},若A∩B=P,则集合P的子集个数为()A.2B.4C.8D.16答案B A={y|y≤-2或y≥2},B={-2≤x≤2},则P=A∩B={-2,2},所以P的子集个数为4,故选B.8.(2019广东六校9月联考,2)已知集合A={-1,1},B={x|ax+1=0},若B⊆A,则实数a的所有可能取值的集合为()A.{-1}B.{1}C.{-1,1}D.{-1,0,1}答案D因为B⊆A,所以当B=⌀,即a=0时满足条件;},又知B⊆A,当B≠⌀时,a≠0,∴B={x|x=-1x∈A,∴a=±1.∴-1x综上可得实数a的所有可能取值集合为{-1,0,1},故选D.易错警示由于空集是任何集合的子集,又是任何非空集合的真子集,所以遇到“A⊆B或A⫋B且B≠⌀”时,一定要注意讨论A=⌀和A≠⌀两种情况,A=⌀的情况易被忽略,从而导致失分.9.(2019河南豫南九校第一次联考,13)已知集合A={1,2,3},B={1,m},若3-m∈A,则非零实数m的值是.答案 2解析若3-m=1,则m=2,符合题意;若3-m=2,则m=1,此时集合B中的元素不满足互异性,故m≠1;若3-m=3,则m=0,不符合题意.故答案为2.考点二集合的基本运算1.(2019金丽衢十二校高三第一次联考,1)若集合A=(-∞,5),B=[3,+∞),则(∁R A)∪(∁R B)=()A.RB.⌀C.[3,5)D.(-∞,3)∪[5,+∞)答案D∁R A=[5,+∞),∁R B=(-∞,3),所以(∁R A)∪(∁R B)=(-∞,3)∪[5,+∞).2.(2019河南中原联盟9月联考,1)已知集合A={x|(x-1)·(x-2)>0},B={x|y=√2x-1},则A ∩B= ()A.[12,1)∪(2,+∞) B.[12,1)C.(12,1)∪(2,+∞) D.R答案A因为集合A={x|(x-1)(x-2)>0}={x|x<1或x>2},B={x|y=√2x-1}={x|x≥12},所以A∩B=[12,1)∪(2,+∞),故选A.3.(2018河北石家庄3月质检,1)设集合A={x|-1<x≤2},B={x|x<0},则下列结论正确的是()A.(∁R A)∩B={x|x<-1}B.A∩B={x|-1<x<0}C.A∪(∁R B)={x|x≥0}D.A∪B={x|x<0}答案B∵A={x|-1<x≤2},B={x|x<0},∴∁R A={x|x≤-1或x>2},∁R B={x|x≥0}.对于选项A,(∁R A)∩B={x|x≤-1},故A错误;对于选项B,A∩B={x|-1<x<0},故B正确;对于选项C,A∪(∁R B)={x|x>-1},故C错误;对于选项D,A∪B={x|x≤2},故D错误.故选B.名师点拨 对于集合的交、并、补运算,利用数轴求解能减少失误.4.(2020山东夏季高考模拟,1)设集合A ={(x ,y )|x +y =2},B ={(x ,y )|y =x 2},则A ∩B = ( ) A.{(1,1)} B.{(-2,4)} C.{(1,1),(-2,4)} D.⌀ 答案 C 本题主要考查集合的含义及集合的运算. 联立{x +x =2,x =x 2,消y 可得x 2+x -2=0,∴x =1或-2, ∴方程组的解为{x =1,x =1或{x =-2,x =4,从而A ∩B ={(1,1),(-2,4)},故选C .5.(2019山东济南外国语学校10月月考,1)已知R 为实数集,集合A ={x |(x +1)2(x -1)x>0},B ={x |(x +1)(x -12)>0},则图中阴影部分表示的集合为 ( )A.{-1}∪[0,1]B.[0,12]C.[-1,12]D.{-1}∪[0,12] 答案 D ∵(x +1)2(x -1)x>0,∴x ≠-1且x (x -1)>0,∴x <-1或-1<x <0或x >1,∴A ={x |x <-1或-1<x <0或x >1}. ∵(x +1)(x -12)>0,∴x >12或x <-1,∴B ={x |x >12或x <-1}.∴A ∪B ={x |x <-1或-1<x <0或x >12}.故图中阴影部分表示的集合为∁R (A ∪B )={-1}∪{x |0≤x ≤12},即{-1}∪[0,12].故选D .综合篇 【综合集训】考法一 集合间基本关系的求解方法1.(2021届江苏扬州二中期初检测,2)已知集合A ={x |x 2+x =0,x ∈R},则满足A ∪B ={0,-1,1}的集合B 的个数是( )A.4B.3C.2D.1 答案 A2.(2020山东滨州6月三模)已知集合M ={x |x =4n +1,n ∈Z},N ={x |x =2n +1,n ∈Z},则 ( ) A.M ⫋N B.N ⫋M C.M ∈N D.N ∈M 答案 A3.(2019辽宁沈阳二中9月月考,14)设集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22}.若A⊆(A∩B),则实数a的取值范围为.答案(-∞,9]考法二集合运算问题的求解方法}, 4.(2021届河南郑州一中开学测试,1)已知全集U=R,集合A={x|y=lg(1-x)},B={x|x=√x 则(∁U A)∩B= ()A.(1,+∞)B.(0,1)C.(0,+∞)D.[1,+∞)答案 D5.(2020浙江超级全能生第一次联考,1)记全集U=R,集合A={x|x2-4≥0},集合B={x|2x≥2},则(∁U A)∩B= ()A.[2,+∞)B.⌀C.[1,2)D.(1,2)答案 C6.(2021届湖湘名校教育联合体入学考,1)设全集U=A∪B={x|-1≤x<3},A∩(∁U B)={x|2<x<3},则集合B= ()A.{x|-1≤x<2}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|2<x<3}D.{x|2≤x<3}答案 B7.(2020山东德州6月二模,1)若全集U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,4},N={2,3,4},则集合(∁U M)∪(∁U N)等于()A.{5,6}B.{1,5,6}C.{2,5,6}D.{1,2,5,6}答案 D8.(2021届重庆育才中学入学考试,1)已知集合A={x|0<x<4,x∈Z},集合B={y|y=m2,m∈A},则A∩B= ()A.{1}B.{1,2,3}C.{1,4,9}D.⌀答案 A[教师专用题组]【综合集训】考法一集合间基本关系的解题方法1.已知集合M={1,m},N={n,log2n},若M=N,则(m-n)2015=.答案-1或0解析 因为M =N ,所以{1,m }={n ,log 2n }. 当n =1时,log 2n =0,则m =0,所以(m -n )2015=-1; 当log 2n =1时,n =2,则m =2,所以(m -n )2015=0.故(m -n )2015=-1或0.2.已知集合A ={x |x =2x +13,x ∈Z },B =,则集合A 、B 的关系为 . 答案 A =B 解析 A =,B ={x |x =13(2x +3),x ∈Z }.∵{x |x =2n +1,n ∈Z}={x |x =2n +3,n ∈Z},∴A =B.故答案为A =B.3.设集合A ={-2},B ={x |ax +1=0,a ∈R},若A ∩B =B ,则a 的值为 . 答案 0或12解析 ∵A ∩B =B ,∴B ⊆A. ∵A ={-2}≠⌀,∴B =⌀或B ≠⌀.当B =⌀时,方程ax +1=0无解,此时a =0,满足B ⊆A. 当B ≠⌀时,a ≠0,则B ={-1x }, ∴-1x∈A ,即-1x=-2,解得a =12.综上,a =0或a =12.4.已知集合A ={x |x <-1或x >4},B ={x |2a ≤x ≤a +3}.若B ⊆A ,则实数a 的取值范围为 .答案 (-∞,-4)∪(2,+∞)解析 ①当B =⌀时,只需2a >a +3,即a >3; ②当B ≠⌀时,根据题意作出如图所示的数轴.可得{x +3≥2x ,x +3<-1或{x +3≥2x ,2x >4, 解得a <-4或2<a ≤3.综上可得,实数a的取值范围为(-∞,-4)∪(2,+∞).考法二集合运算问题的求解方法1.(2017北京东城二模,1)已知全集U是实数集R.如图所示的韦恩图表示集合M={x|x>2}与N={x|1<x<3}的关系,那么阴影部分所表示的集合为()A.{x|x<2}B.{x|1<x<2}C.{x|x>3}D.{x|x≤1}答案D由题中韦恩图知阴影部分表示的集合是∁U(M∪N).∵M∪N={x|x>1},∴∁U(M∪N)={x|x≤1}.2.(2017安徽淮北第二次模拟,2)已知全集U=R,集合M={x|x+2a≥0},N={x|log2(x-1)<1},若集合M∩(∁U N)={x|x=1或x≥3},则()A.a=12B.a≤12C.a=-12D.a≥12答案C∵log2(x-1)<1,∴x-1>0且x-1<2,即1<x<3,则N={x|1<x<3},∵U=R,∴∁U N={x|x≤1或x≥3},又∵M={x|x+2a≥0}={x|x≥-2a},M∩(∁U N)={x|x=1或x≥3},∴-2a=1,解得a=-12.故选C.3.设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0},若(∁U A)∩B=⌀,则m=.答案1或2解析A={-2,-1},由(∁U A)∩B=⌀,得B⊆A,∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠⌀.∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}.①若B={-1},则m=1;②若B={-2},则-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且m=(-2)×(-2)=4,这两式不能同时成立,∴B≠{-2};③若B={-1,-2},则-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)×(-2)=2,由这两式得m=2.经检验,m=1和m=2符合条件.∴m=1或2.11。
第1讲集合的概念与运算[A级基础练]1．已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－5<x<5}，则( )A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆A D．A⊆B解析：选B.因为A＝{x|x>2或x<0}，因此A∪B＝{x|x>2或x<0}∪{x|－5<x<5}＝R.故选B.2．(2020·高考天津卷)设全集U＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{－3，0，2，3}，则A∩(∁U B)＝( )A．{－3，3} B．{0，2}C．{－1，1} D．{－3，－2，－1，1，3}解析：选C.方法一：由题知∁U B＝{－2，－1，1}，所以A∩(∁U B)＝{－1，1}，故选C.方法二：易知A∩(∁U B)中的元素不在集合B中，则排除选项A，B，D，故选C.3．已知集合A＝{x∈N*|x2－3x－4<0}，则集合A的真子集有( )A．7个B．8个C．15个D．16个解析：选A.因为集合A＝{x∈N*|x2－3x－4<0}＝{x∈N*|－1<x<4}＝{1，2，3}，所以集合A中共有3个元素，所以真子集有23－1＝7(个)．4．(2021·徐州模拟)已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|(x－4)(x＋2)≥0}，则∁R(A∪B)＝( )A．{x|－2≤x≤1}B．{x|1≤x≤4}C．{x|－2<x<1} D．{x|x<4}解析：选C.方法一：因为B＝{x|x≤－2或x≥4}，所以A∪B＝{x|x≤－2或x≥1}，故∁R(A∪B)＝{x|－2<x<1}，故选C.方法二：－2∈B，故－2∉∁R(A∪B)，排除A，D；2∈A，故2∉∁R(A∪B)，排除B.故选C.5．(2021·昆明市三诊一模) 已知集合A＝{x∈N|x2≤1}，集合B＝{x∈Z|－1≤x≤3}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．[1，3] B．(1，3]C．{－1，2，3} D．{－1，0，2，3}解析：选C.因为A＝{x∈N|x2≤1}＝{x∈N|－1≤x≤1}＝{0，1}，B＝{x∈Z|－1≤x≤3}＝{－1，0，1，2，3}，图中阴影部分表示的集合为(∁R A)∩B，∁R A＝{x|x≠0且x≠1}，所以(∁R A)∩B＝{－1，2，3}，故选C.6．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是( ) A．－1<a≤2B．a>2C．a≥－1 D．a>－1解析：选D.由A∩B≠∅知，集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示：易知a>－1.7．(多选)若集合A＝{x|x(x－2)≤0}，且A∪B＝A，则集合B可能是( )A．{－1} B．{0}C．{1} D．{2}解析：选BCD.因为A＝{x|x(x－2)≤0}，所以A＝[0，2]．因为A∪B＝A，所以B⊆A.由选项知有{0}A，{1}A，{2}A.故选BCD.8．(多选)已知集合A＝{x|－1<x≤3}，集合B＝{x||x|≤2}，则下列关系式正确的是( )A．A∩B＝∅B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}C．A∪∁R B＝{x|x≤－1或x>2}D．A∩∁R B＝{x|2<x≤3}解析：选BD.因为A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x||x|≤2}＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－1<x≤3}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|－1<x≤2}，A不正确；A∪B＝{x|－1<x≤3}∪{x|－2≤x≤2}＝{x|－2≤x≤3}，B正确；因为∁R B＝{x|x<－2或x>2}，所以A∪∁R B＝{x|－1<x≤3}∪{x|x<－2或x>2}＝{x|x<－2或x>－1}，C不正确；A∩∁R B＝{x|－1<x≤3}∩{x|x<－2或x>2}＝{x|2<x≤3}，D正确．9．已知集合A＝{1，3，m}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝________．解析：因为B⊆A，所以m＝3或m＝m.即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合元素的互异性可知m≠1，所以m＝0或3.答案：0或310．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝________．解析：由于A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，结合数轴，∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．答案：{x|0<x<1}11．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|y＝ln(2－x)}，则A∩B＝________，A∪B ＝________．解析：A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|y＝ln(2－x )}＝{x |2－x ＞0}＝{x |x ＜2}，则A ∩B ＝[－1，2)，A ∪B ＝(－∞，3]．答案：[－1，2) (－∞，3]12．已知集合A ＝{x |x －a ≤0}，B ＝{1，2，3}，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围为________． 解析：集合A ＝{x |x ≤a }，集合B ＝{1，2，3}，若A ∩B ≠∅，则1，2，3这三个元素至少有一个在集合A 中，若2或3在集合A 中，则1一定在集合A 中，因此只要保证1∈A 即可，所以a ≥1.答案：[1，＋∞)[B 级 综合练]13．(2021·百师联盟练习)已知实数集R ，集合A ＝{x |－1<x <0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫y ＝12x－1，则A ∩(∁R B )＝( )A ．{x |0<x ≤1}B ．{x |－1<x <0}C ．{x |－1<x ≤0}D ．{x |0<x <1}解析：选B.因为B ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫y ＝12x－1＝{x |2x－1>0}＝{x |x >0}，所以∁R B ＝{x |x ≤0}．因为A ＝{x |－1<x <0}，所以A ∩(∁R B )＝{x |－1<x <0}．故选B.14．设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为________．解析：当a >1时，A ＝(－∞，1]∪[a ，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，当且仅当a －1≤1时，A ∪B ＝R ，故1<a ≤2；当a ＝1时，A ＝R ，B ＝{x |x ≥0}，A ∪B ＝R ，满足题意；当a <1时，A ＝(－∞，a ]∪[1，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，又因为a －1<a ，所以A ∪B ＝R ，故a <1满足题意，综上知a ∈(－∞，2]．答案：(－∞，2][C 级 创新练]15．(多选)(2021·海南海口第四中学月考)设S 为实数集R 的非空子集．若对任意x ，y ∈S ，都有x ＋y ，x －y ，xy ∈S ，则称S 为封闭集．下列命题正确的是( )A ．自然数集N 为封闭集B ．整数集Z 为封闭集C ．集合S ＝{a ＋b 2|a ，b 为整数}为封闭集D ．若S 为封闭集，且1∈S ，则S 一定为无限集解析：选BCD.对于A 项，自然数集N 不是封闭集，如2，3∈N ，但2－3＝－1∉N ，故A 项错误；对于B 项，因为任意两个整数的和、差、积仍然是整数，所以整数集是封闭集，故B 项正确；对于C 项，设x ＝a 1＋b 12，y ＝a 2＋b 22，a 1，a 2，b 1，b 2∈Z ，则x ＋y ＝a 1＋a 2＋(b 1＋b 2)2∈S ，x －y ＝a 1－a 2＋(b 1－b 2)2∈S ，xy ＝(a 1＋b 12)·(a 2＋b 22)＝(a 1a 2＋2b1b2)＋(a1b2＋a2b1)2∈S，所以集合S＝{a＋b2|a，b为整数}为封闭集，故C项正确；对于D项，若S为封闭集，且1∈S，则1＋1＝2∈S，1－1＝0∈S，因此0－1＝－1∈S，以此类推，所有整数都属于S.而整数有无数个，所以S一定为无限集，故D项正确．16．如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A ＝{2x，0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________．解析：由题意可知－2x＝x2＋x，所以x＝0或x＝－3.而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x＝－3时，A＝{－6，0，6}，所以A∩B＝{0，6}．答案：{0，6}。
第1讲 集合的概念与运算1．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝(D)A ．(－3，－32)B ．(－3，32)C ．(1，32)D ．(32，3)(1)先化简集合A ，B ，再利用交集定义求解．因为x 2－4x ＋3<0，所以1<x <3，所以A ＝{x |1<x <3}．因为2x －3>0，所以x >32，所以B＝{x |x >32}．所以A ∩B ＝{x |32<x <3}．故选D.2．(2016·山东卷)设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1＜0}，则A ∪B ＝(C) A ．(－1,1) B ．(0,1)C ．(－1，＋∞)D ．(0，＋∞)由已知得A ＝{y |y ＞0}，B ＝{x |－1＜x ＜1}，则A ∪B ＝{x |x ＞－1}．故选C. 3．(2018·武汉调研测试)已知集合M ＝{x |x 2＝1}，N ＝{x |ax ＝1}，若N ⊆M ，则实数a 的取值集合为(D)A ．{1}B ．{－1，1}C ．{1，0}D ．{1，－1，0}M ＝{x |x 2＝1}＝{－1，1}，又N ⊆M ，则N ＝{－1}，{1}，∅满足条件，所以a ＝1，－1，0，即实数a 的取值集合为{1，－1，0}． 4．(2018·佛山一模)已知全集U ＝R ，集合A ＝{0，1，2，3，4}，B ＝{x |x 2－2x ＞0}，则图中阴影部分表示的集合为(A)A ．{0，1，2}B ．{1，2}C ．{3，4}D ．{0，3，4}因为B ＝{x |x 2－2x ＞0}＝{x |x ＞2或x ＜0}， 所以∁U B ＝{x |0≤x ≤2}，所以图中阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{0，1，2}．5．(2018·合肥高三质量检测)设集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则集合M 中元素个数为(B)A ．3B ．4C ．5D ．6因为M ＝{5，6，7，8}，所以M 中元素的个数为4. 6．(2016·天津卷)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{y |y ＝3x －2，x ∈A }，则A ∩B ＝ {1,4} .因为集合B 中，x ∈A ，所以当x ＝1时，y ＝3－2＝1； 当x ＝2时，y ＝3×2－2＝4； 当x ＝3时，y ＝3×3－2＝7； 当x ＝4时，y ＝3×4－2＝10. 即B ＝{1,4,7,10}．又因为A ＝{1,2,3,4}，所以A ∩B ＝{1,4}．7．设U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x |x 2＋mx ＝0，x ∈U }，若∁U A ＝{1,2}，则实数m ＝ －3 .因为∁U A ＝{1,2}，所以A ＝{0,3}，所以m ＝－3. 8．已知M ＝{x |－2≤x ≤5}，N ＝{x |a ＋1≤x ≤2a －1}． (1)若a ＝3时，则M ∪(∁R N )＝ R ；(2)若N ⊆M ，则实数a 的取值范围为 (－∞，3] .(1)当a ＝3时，N ＝{x |4≤x ≤5}，所以∁R N ＝{x |x <4或x >5}．所以M ∪(∁R N )＝R .(2)①当2a －1<a ＋1，即a <2时，N ＝∅，此时满足N ⊆M . ②当2a －1≥a ＋1，即a ≥2时，B ≠∅，由N ⊆M ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－2，2a －1≤5，所以2≤a ≤3.综上，实数a 的取值范围为(－∞，3]．9．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是(B)A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)由x －x 2>0，得0<x <1，所以A ＝(0,1)，由x 2－cx <0，且c >0，得0<x <c ，所以B ＝(0，c )， 因为A ⊆B ，所以c ≥1.10．(2018·福州期末)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝{x ∈R |12a ≤x ≤2a －1}，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是(A)A ．[1，＋∞)B ．[12，1]C ．[23，＋∞) D ．(1，＋∞)因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1.即实数a 的取值范围是[1，＋∞)．11．(2018·北京卷)设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax ＋y ＞4，x －ay ≤2}，则(D)A ．对任意实数a ，(2，1)∈AB ．对任意实数a ，(2，1)∉AC ．当且仅当a ＜0时，(2，1)∉AD ．当且仅当a ≤32时，(2，1)∉A若点(2，1)∈A ，则不等式x －y ≥1显然成立，且同时要满足⎩⎨⎧≤->+,22,412a a 即⎪⎩⎪⎨⎧≥>,0,23a a 解得a >32.即点(2，1)∈A ⇒a >32，其等价命题为a ≤32⇒点(2，1)∉A 成立．12．(2019·海南二校联考)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱乒乓球运动但不喜爱篮球运动的人数为__7__人．设全集U 为某班30人，集合A 为喜爱篮球运动的15人，集合B 为喜爱乒乓球运动的10人，如图．设两者都喜欢的人数为x 人，则只喜爱篮球的有(15－x )人，只喜爱乒乓球的有(10－x )人，由此可得(15－x )＋(10－x )＋x ＋8＝30，解得x ＝3.所以10－x ＝7，即所求人数为7人．第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件1．(2018·肇庆模拟)命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的逆命题是(C) A ．若a >b ，则a ＋c ≤b ＋c B ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤b C ．若a ＋c >b ＋c ，则a >b D ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c2．(2017·天津卷)设θ∈R ，则“|θ－π12|＜π12”是“sin θ＜12”的(A)A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件因为|θ－π12|＜π12，所以－π12＜θ－π12＜π12，即0＜θ＜π6.显然0＜θ＜π6时，sin θ＜12成立．但sin θ＜12时，由周期函数的性质知0＜θ＜π6不一定成立．故0＜θ＜π6是sin θ＜12的充分而不必要条件．3．(2018·衢州期末)命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是(D) A ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数 B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数 C ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数 D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数其逆否命题为：若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数．4．“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的(B)A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件因为x ＞1⇒log 12(x ＋2)＜0，log 12(x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，所以x ＞1是log 12(x＋2)＜0的充分而不必要条件．5．(2018·广西柳州联考)已知p ：0<a <4，q ：函数y ＝ax 2－ax ＋1的值恒为正，则p 是q 的(A)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件对于q ，当a ＝0时，函数y ＝ax 2－ax ＋1＝1>0； 当a ≠0时，函数y ＝ax 2－ax ＋1的值恒正需满足： ⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，得0<a <4， 综上，a ∈[0,4)． 由，得p 是q 的充分不必要条件．6．命题“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为 若a ≤b ，则2a ≤2b －1 .7．设集合A ＝{1,2}，B ＝{1，a ，b }，则“a ＝2”是“A ⊆B ”的 充分不必要条件 条件．8．f (x )是R 上的增函数，且f (－1)＝－4，f (2)＝2，设P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}，Q ＝{x |f (x )<－4}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围为 (3，＋∞) .依题意P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}＝{x |f (x ＋t )<2}＝{x |f (x ＋t )<f (2)}，Q ＝{x |f (x )<－4}＝{x |f (x )<f (－1)}，因为f (x )是R 上的增函数，所以P ＝{x |x <2－t }，Q ＝{x |x <－1}，要使“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，需2－t <－1，解得t >3，所以实数t 的取值范围是(3，＋∞)．9．(2018·武汉调研测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，条件p ：a ≤b ＋c2，条件q ：A ≤B ＋C2，那么条件p 是条件q 成立的(A)A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件条件q ：A ≤B ＋C 2⇔A ≤π－A 2⇔A ≤π3.条件p ：a ≤b ＋c 2⇒cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥b 2＋c 2－（b ＋c 2）22bc ＝3b 2＋3c 2－2bc 8bc ≥12⇒0<A ≤π3.所以p ⇒q ，但q ≠> p .如A ＝60°，a ＝3，b ＝1，c ＝2，不能得到a ≤b ＋c2.所以p 是q 的充分不必要条件．10．(2018·聊城期末)已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1<1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是(B)A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1)因为3x ＋1<1，所以3x ＋1－1＝2－x x ＋1<0，即(x －2)(x ＋1)>0，所以x >2或x <－1.记A ＝{x |x ≥k }，B ＝{x |x >2或x<－1}，因为p 是q 的充分不必要条件，所以A B ，所以k >2. 11. (2018·抚州七校联考)下列选项中，说法正确的是(D) A ．若a >b >0，则ln a <ln bB ．向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2m －1)(m ∈R )垂直的充要条件是m ＝1C ．命题“∀n ∈N *,3n >(n ＋2)·2n －1”的否定是“∀n ∈N *,3n ≥(n ＋2)·2n －1” D ．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的，则命题“若f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点”的逆命题为假命题对于A ，因为y ＝ln x (x >0)是增函数，所以若a >b >0，则ln a >ln b ，故A 错误； 对于B ，若a ⊥b ，即(1，m )·(m,2m －1)＝0， 则m ＋m (2m －1)＝0，解得m ＝0，故B 错误；对于C ，命题“∀n ∈N *,3n >(n ＋2)·2n －1”的否定是“∃n ∈N *,3n ≤(n ＋2)·2n －1”，故C 错误；对于D ，“若f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点”的逆命题为“若f (x )在区间(a ，b )至少有一个零点，则f (a )·f (b )<0”是假命题．如函数f (x )＝x 2－2x －3在区间[－2,4]上的图象连续不断，且在区间(－2,4)内有两个零点，但f (－2)f (4)>0.故D 正确．12．(2016·浙江卷)已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b <0”是“f [f (x )]的最小值与f (x )的最小值相等”的(A)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件因为f (x )＝x 2＋bx ＝(x ＋b 2)2－b 24，当x ＝－b 2时，f (x )min ＝－b24，又f [f (x )]＝[f (x )]2＋bf (x )＝[f (x )＋b 2]2－b 24，当f (x )＝－b 2时，f [f (x )]min ＝－b24，当－b 2≥－b 24时，f [f (x )]可以取到最小值－b 24，即b 2－2b ≥0，解得b ≤0或b ≥2，故“b ＜0”是“f [f (x )]的最小值与f (x )的最小值相等”的充分不必要条件．第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．(2018·蚌埠三模)命题“∃x 0∈R ，使得ex 0>2x 30”的否定是(C)A ．∃x 0∉R ，e x 0>2x 30B ．∃x 0∈R ，e x 0≤2x 30 C ．∀x ∈R ，e x ≤2x 3 D ．∀x ∉R ，e x >2x 3 2．(2016·浙江卷)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是(D) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2 B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2 C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2 D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式为“∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2”．3．(2017·兰州市高考诊断考试)下列命题中，真命题为(D)A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．已知a ，b 为实数，则a ＋b ＝0的充要条件是ab＝－1D ．已知a ，b 为实数，则a >1，b >1是ab >1的充分不必要条件选项A 为假命题，理由是对∀x ∈R ，e x >0. 选项B 为假命题，不妨取x ＝2，则2x ＝x 2.选项C 为假命题，当b ＝0时，由a ＋b ＝0推不出ab＝－1.选项D 为真命题，若a >1，b >1，则ab >1，反之不成立，如a ＝3，b ＝12，故a >1，b >1是ab >1的充分不必要条件．故选D. 4.(2018·深圳一模)设有下面四个命题： p 1：∃n ∈N ，n 2>2n ；p 2：x ∈R ，x >1是x >2的充分不必要条件；p 3：命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题是“若sin x ≠sin y ，则x ≠y ”； p 4：p ∨q 是真命题，则p 一定是真命题． 其中真命题是(D) A. p 1，p 2 B ．p 2，p 3 C ．p 2，p 4 D ．p 1，p 3因为32>23，所以p 1为真命题；因为x >1≠> x >2，所以p 2为假命题；p 3为真命题；因为当q 为真命题，p 为假命题时，p ∨q 也是真命题．所以p 4为假命题．由此可知p 1，p 3为真命题．5．(2017·豫西五校4月联考)若定义在R 上的函数f (x )不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是(C)A ．∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )B ．∀x ∈R ，f (－x )＝－f (x )C ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)D ．∃x 0∈R ，f (－x 0)＝－f (x 0)由题意知，∀x ∈R ，f (－x )＝f (x )是假命题，则其否定为真命题，即∃x 0∈R ， f (－x 0)≠f (x 0)为真命题． 6．(2018·广州市一模)已知下列四个命题：p 1：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α；p 2：若f (x )＝2x －2－x ，则∀x ∈R ，f (－x )＝－f (x )；p 3：若f (x )＝x ＋1x ＋1，则∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)＝1；p 4：在△ABC 中，若A >B ，则sin A >sin B . 其中真命题的个数是(B) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4平面的斜线l 和平面内无数条平行直线垂直，p 1为假命题．因为f (－x )＝2－x －2x ＝－f (x )，所以p 2为真命题． 因为当x >0时，f (x )＝x ＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－1≥2(x ＋1)·1x ＋1－1＝1，取等号的条件为x ＋1＝1x ＋1，得到x ＝0∉(0，＋∞)，所以当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>1，不存在x 0，满足f (x 0)＝1，p 3为假命题． 在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，所以p 4为真命题． 故p 2和p 4为真命题，真命题个数为2.7．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是 对任意的x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠0 .8．(2018·烟台期末)若“∀x ∈[0，π3]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为 3 .由题意，原命题等价于tan x ≤m 在区间[0，π3]上恒成立，即y ＝tan x 在[0，π3]上的最大值小于或等于m ，又y ＝tan x 在[0，π3]上的最大值为3，所以m ≥3，即m 的最小值为 3.9．(2017·张掖一诊)下列说法正确的是(A)A ．若a ∈R ，则“1a<1”是“a >1”的必要不充分条件B ．“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的必要不充分条件C ．若命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2”， ﹁p 是真命题D ．命题“∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3>0”由1a <1，得a <0或a >1，反之，由a >1得1a <1. 所以“1a<1”是“a >1”的必要不充分条件，A 正确．由p ∧q 为真命题，知p ，q 均为真命题，所以p ∨q 为真命题．反之，由p ∨q 为真，得p 、q 至少有一个为真，但p ∧q 不一定为真．所以“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的充分不必要条件．故B 不正确．因为sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2，所以p 是真命题，所以﹁p 是假命题．故C 不正确．命题“∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3≥0”，故D 不正确．10．(2018·江西赣州第一次月考)已知命题p ：∀x ∈N *，(12)x ≥(13)x ，命题q ：∃x ∈N *,2x＋21－x＝22，则下列命题中为真命题的是(C)A. p ∧qB. （﹁p ）∧qC. p ∧（﹁q ）D. （﹁p ）∧﹁q ）对于命题p ：当x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝x n (n ∈N *)是增函数， 因为12>13，所以(12)n ≥(13)n ，所以(12)x ≥(13)x ，故命题p 是真命题；对于命题q ：由 2x ＋21－x ＝22，得(2x )2－22·2x ＋2＝0，所以2x ＝2，则x ＝12，因为12∉N *，所以命题q 是假命题．所以p ∧（﹁q ）为真．11．若命题“存在实数x ，使x 2＋ax ＋1<0”的否定为真命题，则实数a 的取值范围为 [－2,2] .(方法1)由题意，命题“对任意实数x ，使x 2＋ax ＋1≥0”是真命题， 故Δ＝a 2－4×1×1≤0，解得－2≤a ≤2.(方法2)若命题“存在实数x ，使x 2＋ax ＋1<0”是真命题，则Δ＝a 2－4×1×1>0，解得a >2或a <－2.故原命题实数a 的取值范围是取其补集，即[－2,2]． 12．(2018·华南师大附中模拟)设有两个命题：p ：关于x 的不等式a x >1(a >0，且a ≠1)的解集是{x |x <0}； q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R .如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则实数a 的取值范围是__(0，12]∪(1，＋∞)__．p ：“关于x 的不等式a x >1(a >0，且a ≠1)的解集是{x |x <0}”为真命题⇔0<a <1.q ：“函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ”为真命题⇔ax 2－x ＋a >0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0⇔a >12.因为“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，所以p ，q 一真一假． 当p 为真，q 为假时，⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a ≤12⇔0<a ≤12.当p 为假，q 为真时，⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >12⇔a >1.所以实数a 的取值范围是(0，12]∪(1，＋∞)．。
