三角形的特性(例3、例4)

《三角形的特性》优秀课堂导入案例案例一：实物导入师（拿着一个三角尺）：同学们，看老师手里拿的是什么？对，是三角尺。

大家观察一下，这个三角尺有什么特点呢？它为什么叫三角尺呢？今天我们就一起来探索三角形的特性。

案例二：图片导入师：同学们，老师给大家展示一些图片（出示埃菲尔铁塔、金字塔、自行车车架等图片），请大家仔细观察这些图片，看看它们有什么共同的特点呢？生：都有三角形。

师：非常棒！那大家想一想，为什么这些物体中都有三角形呢？三角形有什么特殊的地方吗？今天我们就来学习三角形的特性。

案例三：游戏导入师：同学们，我们来玩一个游戏。

老师这里有一些小棒，大家试着用这些小棒摆一摆图形，看看谁能摆出三角形。

（学生动手摆图形）师：大家都摆好了吗？现在请同学们观察一下你们摆的三角形，说一说三角形有什么特点呢？生：有三条边、三个角、三个顶点。

师：很好！那三角形还有哪些特性呢？我们一起来探索一下。

案例四：问题导入师：同学们，老师有一个问题想考考大家。

如果我们要做一个最坚固的框架，你觉得用什么形状比较好呢？有的同学可能会说正方形，有的同学可能会说长方形，还有的同学可能会说三角形。

那到底哪种形状最坚固呢？今天我们就来学习三角形的特性，一起寻找答案。

案例五：故事导入师：同学们，老师给大家讲一个故事。

在很久很久以前，有一个三角形王国，那里的居民都是三角形。

有一天，三角形王国遇到了一场大灾难，其他形状的怪物要来攻击他们。

三角形们团结一致，利用自己的特性成功地抵御了怪物的攻击。

大家想知道三角形有哪些特性吗？那就让我们一起走进三角形的世界吧。

人教版五年级下册数学知识点归纳三角形的特性与分类人教版五年级下册数学知识点归纳三角形的特性与分类在数学学习中，三角形是一个重要的基础概念。

在五年级下册人教版数学课程中，我们学习了关于三角形的特性与分类。

本文将对这一知识点进行归纳总结。

一、三角形的定义三角形是由三条线段组成的一种图形，其中的线段称为三角形的边，而它们所对的角则称为三角形的内角。

三角形的边有可能相等，角也有可能相等。

二、三角形的特性1. 三角形的内角和定理三角形的内角和等于180度。

换句话说，三角形的三个内角的度数之和永远等于180度。

2. 三角形的外角和定理三角形的外角和等于360度。

换句话说，三角形的三个外角的度数之和永远等于360度。

3. 三角形的边的特性三角形的任意两边之和大于第三边。

换句话说，如果三条线段无法满足这个条件，它们就无法组成三角形。

4. 三角形的边长与角度的关系由三个角决定的三角形，它们的边长是互相关联的。

例如，如果三个角的度数都相等，那么三角形的三边也会相等。

三、三角形的分类基于边长和角度的特性，我们可以将三角形分为不同的类型。

1. 根据边长的分类- 等边三角形：三条边都相等的三角形。

- 等腰三角形：两条边相等的三角形。

- 普通三角形：没有边相等的三角形。

2. 根据角度的分类- 直角三角形：其中一个内角为90度的三角形。

- 钝角三角形：其中一个内角大于90度的三角形。

- 锐角三角形：三个内角都小于90度的三角形。

3. 根据边长与角度的分类- 等腰直角三角形：既有两条边相等又有一个90度角的三角形。

- 等腰钝角三角形：既有两条边相等又有一个大于90度的角的三角形。

- 等腰锐角三角形：既有两条边相等又有三个内角都小于90度的三角形。

四、实例分析举例说明以上所学的知识，我们可以观察以下三角形：- 边长相等的三角形：等边三角形- 两条边相等的三角形：等腰三角形- 有一个90度角的三角形：直角三角形- 有一个钝角的三角形：钝角三角形- 有一个大于90度的角的三角形：钝角三角形通过实例分析，我们可以更好地理解和应用三角形的特性与分类。

等边三角形的性质知识点总结等边三角形是指具有三条边都相等的三角形，不仅具有独特的形状，还有一些特殊的性质。

在本文中，我们将总结等边三角形的各种性质，以便更好地理解和应用它们。

一、等边三角形的定义等边三角形是指具有三条边都相等的三角形。

我们可以用以下表示来表示一个等边三角形：△ABC，其中AB = BC = AC二、等边三角形的特性1. 角度特性：等边三角形的每个角都是60度。

2. 边长特性：等边三角形的三条边长都相等。

3. 对称特性：等边三角形具有三轴对称。

也就是说，通过等边三角形的任意一条边的中点，可以将等边三角形分为两个完全相等的部分。

三、等边三角形的性质1. 高度性质：等边三角形的高度（垂直于底边的线段）也是等边三角形的中线和角平分线。

这意味着，通过一个顶点和底边的中点作垂直于底边的线段，这条垂线将等边三角形分为两个等腰三角形。

2. 内角性质：等边三角形的每个内角都是60度。

由于等边三角形的角度总和为180度，因此等边三角形的每个角都是60度。

3. 外角性质：等边三角形的每个外角都是120度。

外角是指从三角形的一个顶点出发，将与之相邻的两个内角的补角相加而得到的角度。

4. 重心性质：等边三角形的重心（三条中线的交点）与顶点的连线共同组成一条与底边平行的线。

换句话说，等边三角形的重心将等边三角形分成了高度相等的两个等腰三角形。

5. 外心性质：等边三角形的外心是指等边三角形三条边上的垂直平分线的交点。

等边三角形的外心到每个顶点的距离相等，且等于等边三角形一边的长度。

四、应用举例由于等边三角形具有以上提到的特性和性质，它在几何推理和计算中有着广泛的应用。

以下是一些例子：1. 利用等边三角形的角度特性，可以计算等边三角形内外角的度数。

2. 利用等边三角形的高度性质，可以计算等边三角形的高度和面积。

3. 利用等边三角形的重心性质，可以确定等边三角形内部的重心位置。

4. 利用等边三角形的外心性质，可以确定等边三角形外接圆的圆心位置。

第5讲 三角形三角形的特性概念由3条线段围成的图形叫做三角形各部分名称顶点顶点顶点边边角角角高特性顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高三角形具有稳定性两点间的距离三边关系两点间所有连线中线段最短三角形任意两边的和大于第三边三角形的分类三角形的内角和三角形的内角和是180°三角形内角和四边形内角和四边形的内角和是360°知识梳理知识点一：三角形的特性1. 由3条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。

从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

这条对边叫做三角形的底。

三角形ABC ，具有稳定性。

2.三角形三边关系三角形任意两边的和大于第三边。

知识点二：三角形的分类 1.按角进行分类1个直角2个锐角1个钝角2个锐角直角三角形钝角三角形锐角三角形3个锐角：2. 按边进行分类三条边相等两条边相等三条边都不等等边三角形（正三角形）等腰三角形知识点三：三角形的内角和考点一：三角形的特性例1．（2019春•沛县月考）一个等腰三角形两条边的长度分别是5厘米和11厘米，这样的三角形有几个？周长是多少厘米？【分析】根据三角形三边的关系：两边之和大于第三条边，一个等腰三角形两条边的长度分别是5厘米和11厘米，只有一种情况：腰为11厘米，底为5厘米时，周长为11+11+5厘米．【解答】解：根据分析，这个等腰三角形的周长为：11+11+5＝27（厘米）答：有一个这样的三角形，周长分别为27厘米．【点评】此题关键利用三角形三边的关系，再根据三角形周长的计算方法，列式解答即可．1．（2019春•明光市期末）一个三角形的两边长分别是6厘米和9厘米，第三条边的长度一定大于3厘米，同时小于15厘米．【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可．【解答】解：9﹣6＜第三边＜9+6，即3＜第三边＜15．故答案为：3；15．【点评】解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答即可．2．（2018春•厦门期末）王老师给同学们准备了一些小棒，数量如图．选用其中的部分小棒搭成一个长方体．（1）长方体一共有12条棱，每组相对的棱有4条，因此，不可能选用8cm的小棒．（2）这个长方体相交于一个顶点的三条棱的长度分别是5cm、4cm和4cm．（3）计算这个长方体的表面积．【分析】（1）（2）根据长方体的特征即可求解；（3）根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式解答即可．【解答】解：（1）长方体一共有12条棱，每组相对的棱有4条，因此，不可能选用8cm的小棒．（2）这个长方体相交于一个顶点的三条棱的长度分别是5cm、4cm和4cm．（3）（5×4+5×4+4×4）×2＝（20+20+16）×2＝56×2＝112（平方厘米）答：这个长方体的表面积是112平方厘米．故答案为：12，4，8；5，4，4．【点评】此题主要考查长方体的表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．3．（2018春•射阳县月考）把一根12厘米的吸管剪成3段（每段都是整厘米数），摆成一个三角形，共有几种剪法，你能全部列举出来吗？【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可．【解答】解：三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边，且12＝3+4+5＝4+4+4＝2+5+5，符合题意的三角形各边分别为：①3、4、5；②4、4、4；③2、5、5；所以共有3种剪法，可以是3、4、5；4、4、4；2、5、5．【点评】围成三角形中任意两条边的和大于第三边，即最长边要小于总长度的一半，是判断三条线段能否围成一个三角形的关键．考点二：三角形的分类例2．（2020春•灯塔市期末）在点子图上按要求画图．【分析】根据平行四边形、梯形、直角三角形、等腰三角形的定义以及它们的特征，即可画图，因为没有规定的确切数据，所以此题答案不唯一．【解答】解：【点评】此题主要考查了常见的几种简单图形的定义以及画法．1．（2019春•肇州县校级期末）分一分，将正确答案的序号填在括号内．【分析】根据三角形按照角的大小分类情况，三角形按照角的大小分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角等于90°的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形；据此进行判断即可．【解答】解：锐角三角形：①④⑦直角三角形：②⑧钝角三角形：③⑤⑥故答案为：【点评】此题考查的目的是理解掌握三角形按照角的大小分类的情况及应用，要熟悉各类三角形的判定条件．2．（2018秋•醴陵市期末）（探究题）两个椭圆圈重合的部分应是什么三角形？【分析】有两个角相等的直角三角形是等腰直角三角形，据此解答．【解答】解：有两个角相等的直角三角形是等腰直角三角形；所以两个椭圆圈重合的部分应是等腰直角三角形．答：两个椭圆圈重合的部分应是等腰直角三角形．【点评】掌握等腰直角三角形的特点是解题的关键．3．（2016春•岑溪市期中）下面3个三角形被盖住了一个或两个角，你能知道各是什么三角形吗？【分析】根据三角形按角分类的特征可知，三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形，解答即可．【解答】解：观图可知：第一个三角形有一个角是直角，所以是直角三角形，第二个三角形有一个角是钝角，所以是钝角三角形第三个三角形有2个角是锐角，所以有可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形和直角三角形；故答案为：．【点评】正确理解锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的定义是解决此题的关键．考点三：三角形的内角和例3．（2020春•铁西区期末）写出下面∠C的度数．【分析】根据三角形内角和为180°，用内角和减去其余两个角的度数即可求出∠C的度数。

三角形第1节三角形的特征【知识梳理】1.认识三角形(1)画三角形在平面上任意画三个点(这三个点不在同一直线上)，用线段把每两个点连起来，所组成的图形就是三角形。

如下图：三角形ABC:(2)三角形各部分的名称观察所画的三角形你会发现，三角形由三条线段围成,这三条线段叫做三角形的三条边,每两条边所夹的角就是三角形的内角，三角形有3个内角，3个内角的顶点就是三角形的顶点，三角形共有三个顶点。

(3)认识三角形的底和高从一个三角形顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

这条对边叫做三角形的底。

因为三角形有三个顶点，过每个顶点都可以向对边做高，所以任意一个三角形都可以做三条高。

画高时必须由定点向它的对边画垂线，它们是相对的，当边长不够长时，可画虚线延长。

所画的高用虚线表示并且标上垂直符号。

三角形的三条高总是相交于一点的，这个交点或在三角形内部，或在三角形外部，或在三角形边上，在这里，三角形的内部和外部指的是三角形的三条边所围成的范围的内部或外部。

下一节中我们将学习三角形的分类，我们会发现三角形按角分可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，这三种类型的三角形的高的情况也各不相同，如下图所示：1锐角三角形的三条高（三条虚线）直角三角形的三条高（一条虚线加两条直角边）钝角三角形的三条高（三条虚线）为了表达方便我们用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点，这个三角形就表示成三角形ABC。

2.三角形的特性（1）三角形具有稳定性只要三角形的三条边的长度确定，这个三角形的形状和大小就会完全确定，不会改变，因此三角形具有稳定性，它能够起到固定物体的作用，使物体不容易变形。

3.三角形的三边关系（1）三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边（2）判断三条线段是否围成三角形，只要把最短的两条边相加与最长的比较即可，如果最短的两条边之和大于第三边，也就证明两边之和大于第三边。

【诊断自测】一、选择题21、下面三组线段中，不可能围成三角形的一组是（）。

《三角形的特性》知识清单一、三角形的定义由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。

三角形有三个顶点、三条边和三个角。

二、三角形的特性1、稳定性三角形具有稳定性，这是三角形的一个重要特性。

例如，生活中的自行车车架、篮球架、塔吊等都做成三角形的形状，就是利用了三角形的稳定性。

2、三边关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

如果三条线段能围成一个三角形，那么较短两条线段的长度之和一定大于第三条线段的长度。

例如，有三条线段分别长 3 厘米、4 厘米、5 厘米，因为 3 ＋ 4＞5，3 ＋ 5＞4，4 ＋ 5＞3，同时 5 3＜4，5 4＜3，4 3＜5，所以这三条线段可以围成一个三角形。

3、内角和三角形的内角和是 180°。

我们可以通过测量、剪拼、折叠等方法来验证三角形的内角和。

比如，将一个三角形的三个角剪下来，拼在一起，会发现正好组成一个平角，也就是 180°。

4、三角形的分类（1）按角分类①锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。

②直角三角形：有一个角是直角的三角形。

③钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。

（2）按边分类①等腰三角形：有两条边相等的三角形。

相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底。

两腰的夹角叫做顶角，腰和底的夹角叫做底角。

等腰三角形的两个底角相等。

②等边三角形：三条边都相等的三角形。

等边三角形也叫正三角形，它的三个角都相等，都是 60°。

三、三角形的高和底从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。

三角形有三条高。

锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有两条高是直角边，另一条高在三角形的内部；钝角三角形有一条高在三角形的内部，两条高在三角形的外部。

四、三角形在生活中的应用1、建筑领域在建筑设计中，三角形的稳定性被广泛应用。

例如，屋顶的三角架结构可以有效地分散重量，增强建筑物的稳定性。

第7讲三角形（一）知识点一：三角形的特性1、三角形的定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连或重合），叫三角形。

2、从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。

三角形只有3条高。

重点：三角形高的画法：一落二移三画四标3、三角形具有稳定性。

如：自行车的三角架，电线杆上的三角架。

4、三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边。

三角形任意两边之差小于第三边。

两边之差〈第三边〈两边之和。

判断三条线段能不能组成三角形，只要看最短的两条边的和是不是大于第三条边。

5、为了表达方便，用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点，三角形可表示成三角形ABC。

知识点二：三角形的分类1、按照角大小来分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。

2、按照边长短来分：三边不等的△，三边相等的△,等腰△（等边三角形或正三角形是特殊的等腰△）。

3、等边△的三边相等，每个角是60度。

（顶角、底角、腰、底的概念）4、三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。

5、有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。

6、有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。

7、每个三角形都至少有两个锐角；每个三角形都至多有1个直角；每个三角形都至多有1个钝角。

8、两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

9、三条边都相等的三角形叫等边三角形，也叫正三角形。

10、等边三角形是特殊的等腰三角形考点1：三角形的特性【典例1】（桐梓县期末）下面每组中三条线段，不能围成三角形的是（）A．5m、7m、9m B．7dm、5dm、ldmC．4cm、8cm、5cm【典例2】（桐梓县期末）下面形状中具有稳定性的是（）A．B．C．【典例3】（峄城区期末）把一根13厘米的小棒截成3根整厘米的小棒围成一个三角形．最长的一根小棒不能超过（）厘米．【典例4】（浦城县期末）动物王国举行围篱笆比赛，（）围的比较牢固．A．小熊B．公鸡C．小狗【典例5】（鄄城县期末）爷爷要给一块地围上篱笆，（）形状的篱笆稳固不易变形．A．B．C．D．【典例6】（微山县期末）下面三种物品，利用了三角形稳定性的是（）A．三角形花坛B．红领巾C．自行车的三角形车架考点2：三角形的分类【典例1】（邛崃市期末）如图中是锐角三角形．【典例2】（梁子湖区期末）在图中，一共有个钝角三角形，6个直角三角形，个等腰三角形，个等边三角形．【典例3】（灌阳县期末）红领巾按角分类属于三角形，按边分类属于三角形．．【典例4】（洪山区期末）三角形如果有两个角是锐角，就一定是锐角三角形．．（判断对错）综合练习一．选择题1．（宁化县期中）任意一个三角形中，（）有两个锐角。

三角形的特性三角形是几何学中最基本的图形之一，它具有许多独特的性质和特点。

本文将介绍三角形的各种特性，包括角度特性、边长特性、重要定理以及与其他几何图形的关系。

一、角度特性：三角形的内角和为180度三角形是由三条线段组成的闭合图形，它的内角和总是等于180度。

这意味着三角形的三个内角之和始终保持固定不变。

二、边长特性：三边关系及三边不等式在三角形中，三条边之间存在一定的关系。

根据三边关系，任意两边之和必须大于第三边。

例如，如果一个三角形的两边长分别为a和b，那么a + b必须大于第三边的长度。

这就是三角形的三边不等式。

三、重要定理：三角形的重心、垂心、外心和内心三角形有四个重要的定理，它们分别是重心定理、垂心定理、外心定理和内心定理。

1. 重心定理：三角形的三条中线交于一点，这个交点被称为三角形的重心。

重心将三角形分成六个小三角形，且每个小三角形的面积相等。

2. 垂心定理：三角形的三条高线交于一点，这个交点被称为三角形的垂心。

垂心到三角形三边的距离满足最短距离的性质。

3. 外心定理：三角形的三条垂直平分线交于一点，这个交点被称为三角形的外心。

外心是三角形外接圆的圆心，外接圆的半径等于外心到三角形任意顶点的距离。

4. 内心定理：三角形的三条角平分线交于一点，这个交点被称为三角形的内心。

内心是三角形内切圆的圆心，内切圆与三角形的三条边相切。

四、与其他几何图形的关系三角形与其他几何图形之间有着密切的关系。

以下是几个常见的例子：1. 等边三角形：三边长度相等的三角形被称为等边三角形，它的三个内角均为60度。

2. 直角三角形：具有一个90度角的三角形被称为直角三角形。

根据勾股定理，直角三角形的两条边的平方和等于斜边的平方。

3. 等腰三角形：具有两边长度相等的三角形被称为等腰三角形。

等腰三角形的两个底角相等。

4. 相似三角形：具有相同形状但大小不同的三角形被称为相似三角形。

相似三角形的对应边比值相等。

五、结语三角形是几何学中基础而重要的图形，它具有丰富的特性和特点。