北师大版高中数学选修4-5《不等式选讲》全套教案

选修4-5 不等式选讲 班级____________ 姓名________________第1课时 不等式的基本性质(学案)一、学习目标：1.复习比较两个实数大小的几何意义和代数意义；2.复习、归纳不等式的基本性质，学会证明这些性质，并会利用不等式的性质解决一些简单的比较大小的问题；3.通过对不等式的实数大小的比较和不等式性质的证明，培养学生逻辑推理、逻辑论证的能力.二、试一试：(一).引例：生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为_____，加入m 克糖 后的糖水浓度为__________，要说明糖水更甜，只要证________________即可。

怎么证呢?（二）不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的_____________即可。

当00a ,b >>时，我们还可以用求商的方法来比较两个实数的大小，即：2、不等式的基本性质：性质1.__________________________________________________________________. 性质2.__________________________________________________________________. 性质3.__________________________________________________________________. 推论.__________________________________________________________________.性质4.__________________________________________________________________.推论1.__________________________________________________________________. 推论2.__________________________________________________________________. 推论3.__________________________________________________________________. 推论4.__________________________________________________________________.三、练一练：1.已知a>b ，c<d ，求证：a-c>b-d ．2.已知a>b>0，c<0，求证：b ca c >。

高中数学北师大版选修4-5不等式选讲第一章《平均值不等式》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
知识与技能
(1).回顾和复习平均值不等式(两个).
(2).理解三个正数的平均值不等式.了解n个正数的平均值不等式.
(3).会运用三个正数的平均值不等式求一些特定函数的最值.
过程与方法
(1).经历从两个实数的重要不等式到基本不等式的复习回顾,从而循序渐进的过渡到三个正数实数的平均值不等式的过程,不断逐步提高学生的类比、猜测、分析、归纳、概括的能力;
(2).通过平均值不等式的推导和运用,进一步掌握证明的综合法,并渗透等价转化的数学思想方法和运用条件的数学严谨性。

情感、态度与价值观
在动手探讨和证明平均值不等式的学习过程中,培养学生的类比、猜测、分析、归纳、概括的能力;亲身经历平均值不等式的获得过程,感受数学的连续美,同时养成扎实严谨的学习习惯,增强学生战胜困难的意志品质和锲而不舍的钻研精神.
2学情分析
知识方面
(1)在必修5学生已经学习了基本不等式,并初步理解了基本不等式的意义和利用基本不等式解决问题的方法,具备主动探究平均值不等式的基础;
(2)根据学习类比推理的经验,学生对基本不等式有了一定的认识,会继续往下猜测,所以,将猜测的结果理性化将会是对他们的一个挑战;
学生自身方面
(1)我所教授的班级是理科实验班,他们数学基础相对好一点,思维比较活跃,对新鲜事物有一定的好奇心和探索欲望,对老师的讲授敢于质疑,有自己的想法和主见,愿意自己去探索是什么和为什么,并且具备了初步的探索能力;
(2)对数学猜测的学习只是停留在表面,对猜测的形成过程不重视,所以无法深刻理解;。

《绝对值的不等式的解法及应用》教学设计
【教学目标】
1 掌握含有两个有绝对值的不等式的解法，
2 掌握含参数绝对值不等式的解法
3 通过教学，体会数形结合、等价转化的数学思想方法．
【教学重点】
含有绝对值的不等式的解法．
【教学难点】
理解绝对值不等式解法的灵活运用．
【教学方法】
本节课主要采用数形结合法与讲练结合法．首先复习绝对值的概念和绝对值不等式的基本性质，然后师生共同探讨两个绝对值不等式的解法，从而逐步引导学生学习简单的含有绝对值的不等式的解法．。

选修4－5不等式选讲第2课时不等式的证明1 不等式证明的常用方法1 比拟法：比拟法是证明不等式的一种最根本的方法，也是一种常用方法，根本不等式就是用比拟法证得的．比拟法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负．比拟法证明不等式的步骤：作差商、变形、判断符号．其中的变形主要方法是分解因式、配方，判断过程必须详细表达．2 综合法：综合法就是从题设条件和已经证明过的根本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直到推出要证明的结论，即为“由因导果〞，在使用综合法证明不等式时，常常用到根本不等式．3 分析法：分析法就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，直至推出显然成立的不等式，即为“执果索因〞．2 不等式证明的其他方法和技巧1 反证法从否认结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否认是错误的，从而肯定结论是正确的证明方法．2 放缩法欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得A≥C1≥C2≥…≥C n≥B，利用传递性到达证明的目的．3 数学归纳法[备课札记]题型1用比拟法证明不等式例1求证：求证：1当∈R时，1＋24≥23＋2；2当a，b∈0，＋∞时，a a b b≥ab错误!解析：1证法一1＋24－23＋2＝23－1－＋1－1＝－123－－1＝－123－2＋－1＝－1[22－1＋－1]＝－1222＋2＋1＝－12[2＋错误!2＋错误!]≥0，∴1＋24≥23＋2证法二1＋24－23＋2＝4－23＋2＋4－22＋1＝－12·2＋2－12≥0，∴1＋24≥23＋22错误!＝a错误!b错误!＝错误!错误!，当a＝b时，错误!错误!＝1当a>b>0时，错误!>1，错误!>0，那么错误!错误!>1当b>a>0时，01综上可知，当a、b∈0，＋∞时，a a b b≥ab错误!成立．用比拟法证明不等式的一般步骤是：作差(商)—变形—判断—结论，而变形的方法一般有配方法、通分和因式分解错误!a>0，b>0，求证：错误!＋错误!≥错误!＋错误!证明：证法1∵错误!－错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＝错误!≥0，∴原不等式成立．证法2由于错误!＝错误!＝错误!＝错误!－1≥错误!－1＝1又a>0，b>0，错误!>0，∴错误!＋错误!≥错误!＋错误!题型2用分析法、综合法证明不等式例2设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2解析：证法一综合法∵a≥b>0，∴a2≥b2，那么3a2≥2b2，那么3a2－2b2≥0又a－b≥0，∴a－b3a2－2b2≥0，即3a3－2ab2－3a2b＋2b3≥0，那么3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，故原不等式成立．证法二分析法要证3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，只需证3a3＋2b3－3a2b－2ab2≥0，即3a2a－b＋2b2b－a≥0，也即a－b3a2－2b2≥0*∵a≥b>0，∴a－b≥0又a2≥b2，那么3a2≥2b2，∴3a2－2b2≥0，*式显然成立，故原不等式成立．综合法是由因导果，宜于表达，适合人们的思维习惯，但是，要求考生要有较强的观察与变形的能力分析法是执果索因，利于思考，但是表述格式要求严谨，二者各有所短，相互补充但凡能用分析法证明的不等式，一定可以用综合法证明错误!a>0，求证：错误!－错误!≥a＋错误!－2证明：要证错误!－错误!≥a＋错误!－2，只需证错误!＋2≥a＋错误!＋错误!，只需证a2＋错误!＋4＋4错误!≥a2＋错误!＋2＋2错误!错误!＋2，即证2错误!≥错误!错误!，只需证4错误!≥2错误!，即证a2＋错误!≥2，此式显然成立．∴原不等式成立．题型3放缩法在不等式中的应用例3设m是|a|，|b|和1中最大的一个，当||>m时，求证：|错误!＋错误!|m，∴||>|a|，||>|b|，||>1，∴|错误!＋错误!|≤|错误!|＋|错误!|＝错误!＋错误!，添加或减少项，利用有界性等(2)在用放缩法证明不等式时，“放〞和“缩〞均有一个度错误!假设实数、、满足＋2＋3＝aa为常数，求2＋2＋2的最小值．解：∵ 12＋22＋322＋2＋2≥＋2＋32＝a2，即142＋2＋2≥a2，∴2＋2＋2≥错误!，即2＋2＋2的最小值为错误!例4：假设a，b，c都是小于1的正数，求证：1－ab，1－bc，1－ca不可能同时大于错误!证明：假设1－ab，1－bc，1－ca同时大于错误!，∵1－a>0，b>0，∴错误!≥错误!>错误!＝错误!，同理错误!>错误!，错误!>错误!三个不等式相加得错误!>错误!，不可能，∴1－ab，1－bc，1－ca不可能同时大于错误!对于某些问题中所证结论假设是“都是〞“都不是〞“至多〞“至少〞等问题，一般用反证法有些题目虽不含此类要求(如此题)，但直接证明不易入手，也可考虑用反证法注意在否认时，需将“且〞改为“或〞例5：用数学归纳法证明：3n≥1＋2nn∈N*．证明：1n＝1时，3n＝3,1＋2n＝3，那么3n≥1＋2n成立．2假设n＝≥1，∈N*时命题成立．即3≥1＋2，那么当n＝＋1时，3＋1＝3·3≥31＋2．又31＋2－[1＋2＋1]＝4，而4>0，那么31＋2>1＋2＋1，那么3＋1>1＋2＋1，即命题对于n＝＋1也成立．由1，2得命题对于一切正整数n都成立．与自然数n有关的不等式证明问题，如果用常规方法有困难，可以考虑利用数学归纳法来证明．在利用数学归纳法证明不等式时，在第二步骤中，要注意利用归纳假设．同时，这一步骤往往会涉及到分析法、放缩法等综合手段．错误!用数学归纳法证明：当n是不小于5的自然数时，总有2n>n2成立．证明：1 当n＝5时，25>52，结论成立．2 假设当n＝∈N，≥5时，结论成立，即有2>2，那么当n＝＋1时，左边＝2＋1＝2·2>2·2＝＋12＋2－2－1＝＋12＋－1－错误!－1＋错误!>＋12＝右边∴也就是说，当n＝＋1时，结论成立．∴由1、2可知，不等式2n>n2对n∈N，n≥5时恒成立．1 在a、b、m、n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，求am＋bnbm＋an的最小值．解：利用柯西不等式求解，am＋bnan＋bm≥错误!＋错误!2＝mn·a＋b2＝2·1＝2，且仅当错误!＝错误!m＝n时取最小值22 设、、∈R，且满足2＋2＋2＝1，＋2＋3＝错误!，求＋＋的值．解：由柯西不等式可知＋2＋32＝14≤2＋2＋2·12＋22＋32，因为2＋2＋2＝1，所以当且仅当错误!＝错误!＝错误!时取等号．此时＝2，＝3代入＋2＋3＝错误!得＝错误!，即＝错误!，＝错误!，所以＋＋＝错误!3 a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b证明：∵ 2a3－b3－2ab2＋a2b＝2a3－2ab2＋a2b－b3＝2aa2－b2＋ba2－b2＝a2－b22a＋b＝a＋ba－b2a＋b，又a≥b>0，∴a＋b>0，a－b≥0，2a＋b≥0，∴a＋ba－b2a＋b≥0，∴2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，∴2a3－b3≥2ab2－a2b4 设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1证明：1 ab＋bc＋ca≤错误!；2 错误!＋错误!＋错误!≥1证明：1 由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca由题设得a＋b＋c2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1所以3ab＋bc＋ca≤1，即ab＋bc＋ca≤错误!2 因为错误!＋b≥2a，错误!＋c≥2b，错误!＋a≥2c，故错误!＋错误!＋错误!＋a＋b＋c≥2a＋b＋c，即错误!＋错误!＋错误!≥a＋b＋c所以错误!＋错误!＋错误!≥11 正数a、b、c满足abc＝1，求证：a＋2b＋2c＋2≥27证明：a＋2b＋2c＋2＝a＋1＋1b＋1＋1c＋1＋1≥3·错误!·3·错误!·3·错误!＝27·错误!＝27当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立．2 函数f＝m－|－2|，m∈R，且f＋2≥0的解集为[－1，1]．1 求m的值；2 假设a，b，c∈R，且错误!＋错误!＋错误!＝m，求证：a＋2b＋3c≥9解：1 ∵ f＋2＝m－||≥0，∴||≤m，∴m≥0，－m≤≤m，∴f＋2≥0的解集是[－1，1]，故m＝12 由1知错误!＋错误!＋错误!＝1，a、b、c∈R，由柯西不等式得a＋2b＋3c ＝a＋2b＋3c错误!≥错误!·错误!＋错误!·错误!＋错误!·错误!2＝93 ，，∈R＋，且＋＋＝11 假设22＋32＋62＝1，求，，的值．2 假设22＋32＋t2≥1恒成立，求正数t的取值范围．解：1 ∵ 22＋32＋62错误!＋错误!＋错误!≥＋＋2＝1，当且仅当错误!＝错误!＝错误!时取“＝〞．∴ 2＝3＝6，又∵＋＋＝1，∴＝错误!，＝错误!，＝错误!2 ∵ 22＋32＋t2错误!≥＋＋2＝1，∴22＋32＋t2min＝错误!∵22＋32＋t2≥1恒成立，∴错误!≥1∴t≥64 1 求函数＝错误!＋错误!的最大值；2 假设函数＝a错误!＋错误!最大值为2错误!，求正数a的值．解：1 ∵错误!＋错误!2≤1＋1－1＋5－＝8, ∴错误!＋错误!≤2错误!当且仅当1·错误!＝1·错误!即＝3时，ma＝2错误!2 a错误!＋错误!2＝错误!2≤a2＋4＋1＋错误!－＝错误!a2＋4，由错误!a2＋4＝2021＝±2，又∵ a>0，∴a＝21 算术—几何平均不等式假设a1，a2，…，a n∈R＋，n>1且n∈N*，那么错误!叫做这n个正数的算术平均数，错误!叫做这n个正数的几何平均数．根本不等式：错误!≥错误!n∈N*，a i∈R＋，1≤i≤n．2 绝对值三角形不等式假设a、b是实数，那么||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|推论1：|a1＋a2＋…＋a n|≤|a1|＋|a2|＋…＋|a n|推论2：如果a、b、c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当a－bb －c≥0时，等号成立．3 柯西不等式假设a、b、c、d为实数，那么a2＋b2c2＋d2≥ac＋bd24 三角不等式设1、1、2、2∈R，那么错误!＋错误!≥错误!。

选修4_5 不等式选讲
课 题： 第15课时 利用柯西不等式求最大（小）值
三维目标：
重点难点：
教学设计：
一、引入：
1、柯西不等式：211212)(∑∑∑===≥n
i i i n i i n i i
b a b a 。

二、范例分析：
例1、把一条长是m 的绳子截成三段，各围成一个正方形。

怎样截法才能使这三个正方形的面积和最小？
例2、如图，等腰直角三角形AOB 的直角边为1，在这个三角形内任意取一点P ，过P 分别引三边的平行线，与各边围成以P 点为顶点的三个三角形（图中阴影部分），求这三个三角形面积和的最小值，以及取到最小值时点P 的位置。

分析：
三、小结：
四、练习：
五、作业：。

选修4-5 不等式选讲课 题： 不等式的基本性质 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。

《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。

要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。

而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。

本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。

人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。

还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。

生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>ab 即可。

怎么证呢? 二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

2、不等式的基本性质：①、如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。

平均值不等式-北师大版选修4-5 不等式选讲教案一、知识点回顾1. 不等式的定义不等式是指两个实数之间的大小关系的式子。

2. 不等式的性质不等式在进行推导时要注意以下性质：•加减同项•倍乘同项•变形3. 平均值不等式平均值不等式是指对于一组实数a1, a2, ……,an，其算术平均数与其几何平均数之间存在如下关系：(a1 + a2 + …… + an) / n ≥ (a1 × a2 × …… × an) ^ (1/n)当且仅当所有的a1～an都相等时等号成立。

二、练习题1. 已知正整数a、b、c和d，且a < b < c < d，那么以下哪个不等式成立？(A)(a + d) / 2 > (b + c) / 2(B)(a + d) / 2 < (b + c) / 2(C)(a + d) / 2 ≥ (b + c) / 2(D)(a + d) / 2 ≤ (b + c) / 2解答：由于a、b、c、d是正整数，且a < b < c < d，因此有：•b > a•c > b•d > c两边分别相加得：a + d >b + c两边同时除以2，得：(a + d) / 2 > (b + c) / 2因此选项（A）成立，其他选项均不成立。

2. 已知a、b是正整数，且a + b = 10，那么a×b的最大值是多少？解答：按照平均值不等式的形式，有：(a + b) / 2 ≥ (a × b) ^ (1/2)代入a + b = 10，得到：5 ≥ (a × b) ^ (1/2)两边平方，得：25 ≥ a × b因此a×b的最大值为25。

三、实例演练1. 元素平均值不等式已知正数1 ≤ x1 < x2 < …… < xn，证明：(x1 + x2 + …… + xn) / n ≥ (x1 × x2 × …… × xn) ^ (1/n)证明：当n=2时，式子变形为：(x1 + x2) / 2 ≥ (x1 × x2) ^ (1/2)两边平方得：(x1 + x2) ^ 2 / 4 ≥ x1 × x2化简得：(x1 - x2) ^ 2 ≥ 0该式显然成立，因此对于n=2时，原式成立。

不等式的性质-北师大版选修4-5 不等式选讲教案一、不等式的定义不等式是表示不等关系的数学式子。

在不等式中，我们主要会遇到以下三种符号：•大于号 >，表示大于的关系；•小于号 <，表示小于的关系；•不等于号≠，表示不等于的关系。

二、不等式的性质1. 加减不等式如果对不等式的两边同时加上（减去）同一个数，则不等式的关系不变。

例如：如果a < b，则有a + c < b + c。

2. 乘除不等式如果两边同时乘（除）以同一个正数，则不等式的关系不变。

例如：如果a < b 且 c > 0，则有ac < bc。

如果两边同时乘（除）以同一个负数，则不等式的关系会变化。

例如：如果a < b 且 c < 0，则有ac > bc。

需要注意的是，当两边同时乘（除）以同一个负数时，一定要颠倒不等式的方向。

3. 绝对值不等式对于任何实数a和b，都有|a + b| ≤ |a| + |b|。

根据这个不等式，我们可以推得以下两个结论：•|a - b| ≥ |a| - |b|;•|a - b| ≥ |b| - |a|。

4. 平方不等式对于任何实数a和b，有以下公式成立：•(a + b)² ≥ 4ab；•(a - b)² ≥ 0。

这两个公式分别叫做“算术-几何平均值不等式”和“平方差公式”。

需要注意的是，当取等号时，等号右边的值必须是非负实数，否则不等式就不成立了。

5. 根式不等式对于一般的不等式，有以下公式成立：√(a² + b²) ≥ |a| + |b|。

这个公式也叫做“柯西不等式”。

需要注意的是，当取等号时，等号右边的值必须是非负实数，否则不等式就不成立了。

三、例题讲解例题1已知x > 0，y < 0，则下列不等式中正确的是（）。

A. xy < 0B. x + y < xC. x - y < xD. x + y < 0解：由于x > 0 和 y < 0，因此可以得出以下不等式：xy < 0。

数学选修45不等式选讲教学设计选修课程背景本课程是数学选修模块中的一个重要部分，旨在通过对不等式的深度探究和研究，帮助学生掌握不等式的基本性质、方法和应用，增强学生的数学思维能力和解决问题的能力。

教学目标本课程的教学目标主要有以下三项：1.掌握不等式的基本概念和基本性质。

2.掌握不等式的求解方法，并能够灵活运用。

3.掌握不等式在各种问题中的应用方法。

教学内容第一部分：不等式的基本概念和基本性质1.不等式的定义和表示方法。

2.不等式的基本性质及其证明。

3.不等式的常见类型和特殊形式。

第二部分：不等式的求解方法1.不等式的变形和化简。

2.不等式的分析法和代数法求解。

3.不等式的图像法和几何法求解。

第三部分：不等式在问题中的应用1.利用不等式解决实际问题。

2.利用不等式证明数学定理。

3.利用不等式进行数学游戏和思维拓展。

教学方法1.讲授法：通过板书、示例和解题过程，使学生理解不等式的定义、性质和求解方法。

2.练习法：通过习题解析和课堂练习，帮助学生巩固知识点，提高解题技巧和能力。

3.探究法：通过引导学生自主思考、探究不等式的性质和应用，提高学生的创新性和独立思考能力。

4.案例法：通过案例分析，让学生了解不等式在实际问题中的应用，培养学生的实际解决问题的能力。

教学评价1.写作评价：要求学生在课后完成一篇题目相关的论文或报告，对所学知识进行总结和归纳，并提出自己的思考和建议。

2.课堂测验：每节课结束时进行小测验，测试学生对所学知识的掌握情况和解题能力，并在下节课回顾和分析小测验，让学生真正理解知识点和解题技巧。

3.期末考试：期末考试主要考查学生对不等式知识的理解、运用和综合能力，包含理论分析和实际解题两部分。

教学资源1.教材：使用教育部最新出版的选修45数学教材，包含了不等式相关的所有知识点和例题。

2.资料：收集整理相关的教学资料和习题集，供学生参考和练习。

3.工具：利用计算机提供的各种工具和软件进行图像展示和数学计算，提高教学效率和趣味性。