全等三角形辅助线二(同步)

全等三角形问题中罕有的帮助线的作法(有答案)泛论：全等三角形问题最重要的是结构全等三角形,结构二条边之间的相等,结构二个角之间的相等【三角形帮助线做法】图中有角等分线,可向双方作垂线. 也可将图半数看,对称今后关系现.角等分线平行线,等腰三角形来添. 角等分线加垂线,三线合一尝尝看.线段垂直等分线,常向两头把线连. 要证线段倍与半,延伸缩短可实验.三角形中两中点,衔接则成中位线. 三角形中有中线,延伸中线等中线.1.等腰三角形“三线合一”法：碰到等腰三角形,可作底边上的高,运用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线,使延伸线段与原中线长相等,结构全等三角形3.角等分线在三种添帮助线4.垂直等分线联络线段两头5.用“截长法”或“补短法”：碰到有二条线段长之和等于第三条线段的长,6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后组成等边三角形7.角度数为30.60度的作垂线法：碰到三角形中的一个角为30度或60度,可以从角一边上一点向角的另一边作垂线,目标是组成30-60-90的特别直角三角形,然后盘算边的长度与角的度数,如许可以得到在数值上相等的二条边或二个角.从而为证实全等三角形创造边.角之间的相等前提.8.盘算数值法：碰到等腰直角三角形,正方形时,或30-60-90的特别直角三角形,或40-60-80的特别直角三角形,常盘算边的长度与角的度数,如许可以得到在数值上相等的二条边或二个角,从而为证实全等三角形创造边.角之间的相等前提.罕有帮助线的作法有以下几种：最重要的是结构全等三角形,结构二条边之间的相等,二个角之间的相等.1)碰到等腰三角形,可作底边上的高,运用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“半数”法结构全等三角形．2)碰到三角形的中线,倍长中线,使延伸线段与原中线长相等,结构全等三角形,运用的思维模式是全等变换中的“扭转”法结构全等三角形．3)碰到角等分线在三种添帮助线的办法,（1）可以自角等分线上的某一点向角的双方作垂线,运用的思维模式是三角形全等变换中的“半数”,所考常识点经常是角等分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角等分线上的一点作该角等分线的垂线与角的双方订交,形成一对全等三角形.（3）可以在该角的双DCBAEDF CBA方上,距离角的极点相等长度的地位上截取二点,然后从这两点再向角等分线上的某点作边线,结构一对全等三角形.4)过图形上某一点作特定的等分线,结构全等三角形,运用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延伸,是之与特定线段相等,再运用三角形全等的有关性质加以解释．这种作法,合适于证实线段的和.差.倍.分等类的标题．6)已知某线段的垂直等分线,那么可以在垂直等分线上的某点向该线段的两个端点作连线,出一对全等三角形.特别办法：在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各极点的线段衔接起来,运用三角形面积的常识解答． 一.倍长中线（线段）造全等例 1.（“愿望杯”试题）已知,如图△ABC 中,AB=5,AC=3,则中线AD 的取值规模是_________.例2.如图,△ABC 中,E.F 分离在AB.AC 上,DE ⊥DF,D 是中点,试比较BE+CF 与EF 的大小.例 3.如图,△ABC 中,BD=DC=AC,E 是DC 的中点,求证：AD 等分∠BAE. 运用：1.（09崇文二模）以ABC ∆的双方AB.AC 为腰分离向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆,90,BAD CAE ∠=∠=︒衔接DE,M.N 分离是BC.DEEDCBADCBAPQCBA的中点．探讨：AM 与DE 的地位关系及数目关系．（1）如图①当ABC ∆为直角三角形时,AM 与DE 的地位关系是, 线段AM 与DE 的数目关系是; （2）将图①中的等腰RtABD∆绕点A 沿逆时针偏向扭转︒θ(0<θ<90)后,如图②所示,（1）问中得到的两个结论是否产生转变？并解释来由． 二.截长补短1.如图,ABC ∆中,AB=2AC,AD 等分BAC ∠,且AD=BD,求证：CD ⊥AC2.如图,AD ∥BC,EA,EB 分离等分∠DAB,∠CBA,CD 过点E,求证;AB ＝AD+BC. 3.如图,已知在ABC内,060BAC ∠=,040C ∠=,P,Q 分离在BC,CA 上,并且AP,BQ 分离是BAC ∠,ABC ∠的角等分线.求证：BQ+AQ=AB+BP4.如图,在四边形ABCD 中,BC ＞BA,AD ＝CD,BD 等分ABC ∠,求证：0180=∠+∠C A5.如图在△ABC 中,AB ＞AC,∠1＝∠2,P 为AD 上随意率性一点,求证;AB-AC ＞PB-PC 运用： 三.平移变换例1AD 为△ABC 的角等分线,直线MNDCBFED CBA⊥AD 于A.E 为MN 上一点,△ABC 周长记为A P ,△EBC 周长记为B P .求证B P ＞A P .例2如图,在△ABC 的边上取两点 D.E,且BD=CE,求证：AB+AC>AD+AE.四.借助角等分线造全等1.如图,已知在△ABC 中,∠B=60°,△ABC 的角等分线AD,CE订交于点O,求证：OE=OD2.如图,△ABC 中,AD 等分∠BAC,DG ⊥BC BC,DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC 于F.（1）解释BE=CF 的来由;（2）假如AB=a ,AC=b ,求AE.BE 的长. 运用：1.如图①,OP 是∠MON 的等分线,请你运用该图形画一对以OP 地点直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的办法,解答下列问题：（1）如图②,在△ABC 中,∠ACB 是直角,∠B =60°,AD .CE 分离是∠BAC .∠BCA 的等分线,AD .CE 订交于点F .请你断定并写出FE 与FD 之间的数目关系;（2）如图③,在△ABC 中,假如∠ACB 不是直角,而(1)中的其它前提不变,请问,你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立,请证实;若不成立,请解释来由. 五.扭转例1正方形ABCD 中,E 为BC 上的一点,F 为(第23题图)OP AMNEB CD F ACEFBD图①图②图③ACD 上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF 的度数.例2D 为等腰Rt ABC ∆斜边AB 的中点,DM ⊥DN,DM,DN 分离交BC,CA 于点E,F.（1）当MDN ∠绕点D 迁移转变时,求证DE=DF.（2）若AB=2,求四边形DECF 的面积例3如图,ABC ∆是边长为3的等边三角形,BDC ∆是等腰三角形,且0120BDC ∠=,以060角,使其双方分离交AB 于点M,交AC 于点N,衔接MN,则AMN ∆的周长为;运用： 1.已知四边形ABCD中,AB AD ⊥,BC CD ⊥,AB BC =,120ABC =∠,60MBN =∠,MBN ∠绕B 点扭转,它的双方分离交AD DC ，（或它们的延伸线）于E F ，．当MBN ∠绕B 点扭转到AE CF =时（如图1）,易证AE CF EF +=．当MBN ∠绕B 点扭转到AE CF ≠时,在图2和图3这两种情形下,上述结论是否成立？若成立,请赐与证实;若不成立,线段AE CF ，,EF 又有如何的数目关系？请写出你的猜测,不需证实．2.（西城09年一模）已知,PB=4,以AB 为一边作正方形（图1） A B CDEFM N（图2）C（图3）ABC DE F MNDC BAABCD,使P.D 两点落在直线AB 的两侧.(1)如图,当∠APB=45°时,求AB 及PD 的长;(2)当∠APB 变更,且其它前提不变时,求PD 的最大值,及响应∠APB 的大小.3.在等边ABC ∆的双方AB.AC 地点直线上分离有两点M.N,D 为ABC 外一点,且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC. 探讨：当M.N 分离在直线AB.AC 上移动时,BM.NC.MN 之间的数目关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．图1 图 2图3（I ）如图1,当点M.N 边AB.AC 上,且DM=DN 时,BM.NC.MN 之间的数目关系是; 此时=LQ; （II ）如图2,点M.N 边AB.AC 上,且当DM ≠DN 时,猜测（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜测并加以证实;（III ） 如图3,当M.N 分离在边AB.CA 的延伸线上时, 若AN=x ,则Q=（用x .L 暗示）． 参考答案与提醒 一.倍长中线（线段）造全等例 1.（“愿望杯”试题）已知,如图△ABC 中,AB=5,AC=3,则中线AD 的取值规模是_________.解：延伸AD 至E 使AE ＝2AD,连BE,由三角形性质知 AB-BE <2AD<AB+BE 故AD 的取值规模是1<AD<4EDF CBA例2.如图,△ABC 中,E.F 分离在AB.AC 上,DE ⊥DF,D 是中点,试比较BE+CF 与EF 的大小.解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延伸FD 至G 使FG ＝2EF,连BG,EG, 显然BG ＝FC,在△EFG 中,留意到DE ⊥DF,由等腰三角形的三线合一知 EG ＝EF在△BEG 中,由三角形性质知 EG<BG+BE 故：EF<BE+FC例 3.如图,△ABC 中,BD=DC=AC,E 是DC 的中点,求证：AD 等分∠BAE.解：延伸AE 至G 使AG ＝2AE,连BG,DG, 显然DG ＝AC,∠GDC=∠ACD 因为DC=AC,故∠ADC=∠DAC 在△ADB 与△ADG 中, BD ＝AC=DG,AD ＝AD,∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC ＝∠ADG故△ADB ≌△ADG,故有∠BAD=∠DAG,即AD 等分∠BAE 运用：1.（09崇文二模）以的双方AB.AC 为腰分离向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆,90,BAD CAE ∠=∠=︒衔接DE,M.N 分离是ABC ∆BC.DE的中点．探讨：AM与DE的地位关系及数目关系．∆为直角三角形时,AM与DE的地位关系是,（1）如图①当ABC线段AM与DE的数目关系是;（2）将图①中的等腰Rt ABD∆绕点A沿逆时针偏向扭转︒θ(0<θ<90)后,如图②所示,（1）问中得到的两个结论是否产生转变？并解释来由．C∴DE AM ⊥,DE AM 21=二.截长补短1.如图,ABC ∆中,AB=2AC,AD 等分BAC ∠,且AD=BD,求证：CD ⊥AC 解：（截长法）在AB 上取中点F,连FD△ADB 是等腰三角形,F 是底AB 中点,由三线合一知 DF ⊥AB,故∠AFD ＝90° △ADF ≌△ADC （SAS ）∠ACD ＝∠AFD ＝90°即：CD ⊥AC2.如图,AD ∥BC,EA,EB 分离等分∠DAB,∠CBA,CD 过点E,求证;AB ＝AD+BC解：（截长法）在AB 上取点F,使AF ＝AD,△ADE ≌△AFE （SAS ）∠ADE ＝∠AFE, ∠ADE+∠BCE ＝180° ∠AFE+∠BFE ＝180°CBA故∠ECB ＝∠EFB △FBE ≌△CBE （AAS ） 故有BF ＝BC 从而;AB ＝AD+BC3.如图,已知在△ABC 内,060BAC ∠=,040C ∠=,P,Q 分离在BC,CA 上,并且AP,BQ 分离是BAC ∠,ABC ∠的角等分线.BQ+AQ=AB+BP解：（补短法, 盘算数值法）延伸AB 至D,使BD BP,连DP在等腰△BPD 中,可得∠BDP ＝40° 从而∠BDP ＝40°＝∠ACP △ADP ≌△ACP （ASA ） 故AD ＝AC又∠QBC ＝40°＝∠QCB 故 BQ ＝QC BD ＝BP从而BQ+AQ=AB+BP4.如图,在四边形ABCD 中,BC ＞BA,AD ＝CD,BD 等分ABC ∠,求证： 0180=∠+∠C A解：（补短法）延伸BA 至F,使BF ＝BC,连△BDF ≌△BDC （SAS ） 故∠DFB ＝∠DCB ,FD ＝DC 又AD ＝CD故在等腰△BFD中∠DFB＝∠DAF故有∠BAD+∠BCD＝180°5.如图在△ABC中,AB＞AC,∠1＝∠2,P为AD上随意率性一点,求证;AB-AC＞PB-PC解：（补短法）延伸AC至F,使AF＝AB,连PD△ABP≌△AFP（SAS）故BP＝PF由三角形性质知PB－PC＝PF－PC < CF＝AF－AC＝AB－AC运用：剖析：此题衔接AC,把梯形的问题转化成等边三角形的问题,然后运用已知前提和等边三角形的性质经由过程证实三角形全等解决它们的问题.B∴FEC AED ∠=∠ 在ADE ∆与FCE ∆中CFE EAD ∠=∠,EF AE =,FEC AED ∠=∠∴FCE ADE ∆≅∆ ∴FC AD = ∴AE AD BC +=点评：此题的解法比较新鲜,把梯形的问题转化成等边三角形的问题,然后运用全等三角形的性质解决. 三.平移变换例1 AD 为△ABC 的角等分线,直线MN ⊥AD 于A.E 为MN 上一点,△ABC 周长记为A P ,△EBC 周长记为B P .求证B P ＞A P .解：（镜面反射法）延伸BA 至F,使AF ＝AC,连FEAD 为△ABC 的角等分线, MN ⊥AD 知∠FAE ＝∠CAE 故有△FAE ≌△CAE （SAS ） 故EF ＝CE在△BEF 中有： BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC 从而P B =BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=P A例 2 如图,在△ABC 的边上取两点 D.E,且BD=CE,求证：O ED CB AAB+AC>AD+AE.证实：取BC中点M,连AM并延伸至N,使MN=AM,连BN,DN.∵BD=CE,∴DM=EM,∴△DMN≌△EMA(SAS),∴DN=AE,同理BN=CA.延伸ND交AB于P,则BN+BP>PN,DP+PA>AD,相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD,各减去DP,得BN+AB>DN+AD,∴AB+AC>AD+AE.四.借助角等分线造全等1.如图,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角等分线AD,CE 订交于点O,求证：OE=OD,DC+AE =AC证实(角等分线在三种添帮助线,盘算数值法)∠B=60度,则∠BAC+∠BCA=120度;AD,CE均为角等分线,则∠OAC+∠OCA=60度=∠AOE=∠COD;∠AOC=120度.在AC上截取线段AF=AE,衔接OF.又AO=AO;∠OAE=∠OAF.则⊿OAE≌ΔOAF(SAS),OE=OF;AE=AF;∠AOF=∠AOE=60度.则∠COF=∠AOC-∠AOF=60度=∠COD;又CO=CO;∠OCD=∠OCF.故⊿OCD≌ΔOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2.如图,△ABC中,AD等分∠BAC,DG⊥BC且等分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.（1）解释BE=CF的来由;（2）假如AB=a,AC=b,求AE.BE的长.解：(垂直等分线联络线段两头)衔接BD,DCDG垂直等分BC,故BD＝DC因为AD等分∠BAC, DE⊥AB于E,DF⊥ACEDGFC BA于F,故有 ED ＝DF故RT △DBE ≌RT △DFC （HL ） 故有BE ＝CF. AB+AC ＝2AE AE ＝（a+b ）/2 BE=(a-b)/2 运用：1.如图①,OP 是∠MON 的等分线,请你运用该图形画一对以OP 地点直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的办法,解答下列问题：（1）如图②,在△ABC 中,∠ACB 是直角,∠B =60°,AD .CE 分离是∠BAC .∠BCA 的等分线,AD .CE 订交于点F .请你断定并写出FE 与FD 之间的数目关系;（2）如图③,在△ABC 中,假如∠ACB 不是直角,而(1)中的其它前提不变,请问,你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立,请证实;若不成立,请解释来由. 解：（1）FE 与FD 之间的数目关系为FD FE = （2）答：（1）中的结论FD FE =仍然成立.证法一：如图1,在AC 上截取AE AG =,贯穿连接FG ∵21∠=∠,AF 为公共边, ∴AGF AEF ∆≅∆(第23题图) OP A MN E B C D F ACEFBD图①图②图③FED CBA∴AFG AFE ∠=∠,FG FE =∵︒=∠60B ,AD .CE 分离是BAC ∠.BCA ∠的等分线 ∴︒=∠+∠6032∴︒=∠=∠=∠60AFG CFD AFE ∴︒=∠60CFG∵43∠=∠及FC 为公共边 ∴CFD CFG ∆≅∆ ∴FD FG = ∴FD FE =证法二：如图2,过点F 分离作AB FG ⊥于点G ,BC FH ⊥于点H ∵︒=∠60B ,AD .CE 分离是BAC ∠.BCA ∠∴可得︒=∠+∠6032,F 是ABC ∆的心坎 ∴160∠+︒=∠GEF ,FG FH =又∵1∠+∠=∠B HDF ∴HDF GEF ∠=∠ ∴可证DHF EGF ∆≅∆ ∴FD FE = 五.扭转例 1 正方形ABCD 中,E 为BC 上的一点,F 为CD 上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF 的度数.证实：将三角形ADF 绕点A 顺时针扭转90度,至三角形ABG图 1图 2则GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE,AF=AG,所以三角形AEF全等于AEG所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90所以∠EAF=45度例 2 D为等腰Rt ABC∆斜边AB的中点,DM⊥DN,DM,DN分离交BC,CA于点E,F.(1)当MDN∠绕点D迁移转变时,求证DE=DF.(2)若AB=2,求四边形DECF的面积.解：(盘算数值法)（1）衔接DC,D为等腰Rt ABC∆斜边AB的中点,故有CD⊥AB,CD＝DA CD等分∠BCA＝90°,∠ECD＝∠DCA＝45°因为DM⊥DN,有∠EDN＝90°因为 CD⊥AB,有∠CDA＝90°从而∠CDE＝∠FDA＝故有△CDE≌△ADF（ASA）故有DE=DF（2）S△ABC=2, S四DECF= S△ACD=1例3 如图,ABC∆是等腰三角形,且∆是边长为3的等边三角形,BDC60角,使其双方分离交AB于点M,∠=,以D为极点做一个0BDC120交AC于点N,衔接MN,则AMN∆的周长为;解：(图形补全法, “截长法”或“补短法”, 盘算数值法) AC 的延伸线与BD的延伸线交于点F,在线段CF上取点E,使CE＝BM∵△ABC为等边三角形,△BCD为等腰三角形,且∠BDC=120°,∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°,∠DCE=180°-∠ACD=180°-∠ABD=90°,又∵BM=CE,BD=CD,∴△CDE≌△BDM,∴∠CDE=∠BDM,DE=DM,∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°,∵在△DMN和△DEN中,DM=DE∠MDN=∠EDN=60°DN=DN∴△DMN≌△DEN,∴MN=NE∵在△DMA和△DEF中,DM=DE∠MDA=60°- ∠MDB=60°- ∠CDE=∠EDF (∠CDE=∠BDM)∠DAM=∠DFE=30° ∴△DMN ≌△DEN (AAS), ∴MA=FEAMN ∆的周长为AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6运用： 1.已知四边形ABCD中,AB AD ⊥,BC CD ⊥,AB BC =,120ABC =∠,60MBN =∠,MBN ∠绕B 点扭转,它的双方分离交AD DC ，（或它们的延伸线）于E F ，．当MBN ∠绕B 点扭转到AE CF =时（如图1）,易证AE CF EF +=．当MBN ∠绕B 点扭转到AE CF ≠时,在图2和图3这两种情形下,上述结论是否成立？若成立,请赐与证实;若不成立,线段AE CF ，,EF 又有如何的数目关系？请写出你的猜测,不需证实．解：（1）∵AD AB ⊥,CD BC ⊥,BC AB =,CF AE =∴CBF ABE ∆≅∆（SAS ）; ∴CBF ABE ∠=∠,BF BE =∵︒=∠120ABC ,︒=∠60MBN∴︒=∠=∠30CBF ABE ,BEF ∆为等边三角形 ∴BF EF BE ==,BE AE CF 21==∴EF BE CF AE ==+（图1） A B C D EF MN （图2）AB C DE F MN（图3）ABC DE F MN（2）图2成立,图3不成立.证实图2,延伸DC 至点K ,使AE CK =,衔接BK 则BCK BAE ∆≅∆∴BK BE =,KBC ABE ∠=∠ ∵︒=∠60FBE ,︒=∠120ABC ∴︒=∠+∠60ABE FBC ∴︒=∠+∠60KBC FBC ∴︒=∠=∠60FBE KBF ∴EBF KBF ∆≅∆ ∴EF KF = ∴EF CF KC =+ 即EF CF AE =+图3不成立,AE .CF .EF 的关系是EF CF AE =- 2.（西城09年一模）已知以AB 为一边作正方形ABCD,使P.D 两点落在直线AB 的两侧.(1)如图,当∠APB=45°时,求AB 及PD 的长;(2)当∠APB 变更,且其它前提不变时,求PD 的最大值,及响应∠APB 的大小.剖析：（1）作帮助线,过点A 作PB AE ⊥于点E ,在PAE Rt ∆中,已知APE ∠,AP 的值,依据三角函数可将AE ,PE 的值求出,由PB 的值,可求BE 的值,在ABE Rt ∆中,依据勾股定理可将AB 的值求出;求PD 的值有两种解法,解法一：可将PAD ∆绕点A 顺时针扭转︒90得到K ABCDE FMN图 2AB P '∆,可得AB P PAD '∆≅∆,求PD 长即为求B P '的长,在P AP Rt '∆中,可将P P '的值求出,在B P P Rt '∆中,依据勾股定理可将B P '的值求出;解法二：过点P 作AB 的平行线,与DA 的延伸线交于F ,交PB 于G ,在AEG Rt ∆中,可求出AG ,EG 的长,进而可知PG 的值,在PFG Rt ∆中,可求出PF ,在PDF Rt ∆中,依据勾股定理可将PD 的值求出;（2）将PAD ∆绕点A 顺时针扭转︒90,得到AB P '∆,PD 的最大值即为B P '的最大值,故当P '.P .B 三点共线时,B P '取得最大值,依据PB P P B P +'='可求B P '的最大值,此时︒='∠-︒=∠135180P AP APB ．解：（1）①如图,作PB AE ⊥于点E ∵PAE Rt ∆中,︒=∠45APB ,2=PA∴()1222===PE AE∵4=PB∴3=-=PE PB BE 在ABE Rt ∆中,︒=∠90AEB ∴1022=+=BE AE AB②解法一：如图,因为四边形ABCD 为正方形,可将将PAD ∆绕点A 顺时针扭转︒90得到AB P '∆,,可得AB P PAD '∆≅∆,B P PD '=,A P PA '=∴︒='∠90P PA ,︒='∠45P AP ,︒='∠90PB P ∴2='P P ,2=PA∴52422222=+=+'='=PB P P B P PD ;解法二：如图,过点P 作AB 的平行线,与DA 的延伸线交于F ,设DA 的延伸线交PB 于G ．EPA DCBP ′PA CBDEP ′PACBDP ′PACBD在AEGRt ∆中,可得310cos cos =∠=∠=ABE AE EAG AE AG ,31=EG ,32=-=EG PE PG在PFG Rt ∆中,可得510cos cos =∠=∠=ABE PG FPG PG PF ,1510=FG 在PDF Rt ∆中,可得（2）如图所示,将PAD ∆绕点A 顺时针扭转︒90,得到AB P '∆,PD 的最大值,即为B P '的最大值∵B P P '∆中,PB P P B P +'' ,22=='PA P P ,4=PB 且P .D 两点落在直线AB 的两侧∴当P '.P .B 三点共线时,B P '取得最大值（如图）此时6=+'='PB P P B P ,即B P '的最大值为6此时︒='∠-︒=∠135180P AP APB3.在等边ABC ∆的双方AB.AC 地点直线上分离有两点M.N,D 为ABC 外一点,且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC. 探讨：当M.N 分离在直线AB.AC 上移动时,BM.NC.MN 之间的数目关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．图1 图2图3（I ）如图1,当点M.N 边AB.AC 上,且DM=DN 时,BM.NC.MN 之G FP A CBDE间的数目关系是; 此时=LQ; （II ）如图2,点M.N 边AB.AC 上,且当DM ≠DN 时,猜测（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜测并加以证实;（III ） 如图3,当M.N 分离在边AB.CA 的延伸线上时, 若AN=x ,则Q=（用x .L 暗示）．剖析：（1）假如DN DM =,DNM DMN ∠=∠,因为DC BD =,那么︒=∠=∠30DCB DBC ,也就有︒=︒+︒=∠=∠903060NCD MBD ,直角三角形MBD .NCD 中,因为DC BD =,DN DM =,依据HL 定理,两三角形全等.那么NC BM =,︒=∠=∠60DNC BMD ,三角形NCD 中,︒=∠30NDC ,NC DN 2=,在三角形DNM 中,DN DM =,︒=∠60MDN ,是以三角形DMN 是个等边三角形,是以BM NC NC DN MN +===2,三角形AMN 的周长=++=MN AN AM QABAC AB NC MB AN AM 2=+=+++,三角形ABC 的周长ABL 3=,是以3:2:=L Q ．（2）假如DN DM ≠,我们可经由过程构建全等三角形来实现线段的转换.延伸AC 至E ,使BM CE =,衔接DE ．（1）中我们已经得出,︒=∠=∠90NCD MBD ,那么三角形MBD 和ECD 中,有了一组直角,CEMB =,DCBD =,是以两三角形全等,那么DE DM =,CDE BDM ∠=∠,︒=∠-∠=∠60MDN BDC EDN ．三角形MDN 和EDN中,有DE DM =,︒=∠=∠60MDN EDN ,有一条公共边,是以两三角形全等,NE MN =,至此我们把BM 转换成了CE ,把MN 转换成了NE ,因为CE CN NE +=,是以CN BM MN +=．Q与L 的关系的求法同（1）,得出的成果是一样的.图 1N MAD CB （3）我们可经由过程构建全等三角形来实现线段的转换,思绪同（2）过D 作MDB CDH ∠=∠,三角形BDM 和CDH 中,由（1）中已经得出的︒=∠=∠90MB DCH ,我们做的角CDH BDM ∠=∠,CD BD =,是以两三角形全等（ASA ）．那么CH BM =,DH DM =,三角形MDN 和NDH 中,已知的前提有DH MD =,一条公共边ND ,要想证得两三角形全等就须要知道HDN MDN ∠=∠,因为MDB CDH ∠=∠,是以︒=∠=∠120BDC MDH ,因为︒=∠60MDN ,那么︒-︒=∠60120NDH︒=60,是以NDH MDN ∠=∠,如许就组成了两三角形全等的前提．三角形MDN 和DNH 就全等了．那么BM AC AN NH NM -+==,三角形AMN 的周长+++=++=BM AB AN MN AM AN QAB AN BM AC AN 22+=-+．因为x AN =,L AB 31=,是以三角形AMN 的周长L x Q 322+=． 解：（1）如图1,BM .NC .MN 之间的数目关系：MN NC BM =+;此时32=LQ ．（2）猜测：结论仍然成立．证实：如图2,延伸AC 至E ,使BM CE =,衔接DE ∵CD BD =,且︒=∠120BDC ∴︒=∠=∠30DCB DBC 又ABC ∆是等边三角形 ∴︒=∠=∠90NCD MBD 在MBD ∆与ECD ∆中 ∴ECD MBD ∆≅∆（SAS ）E 图 2NMAD CB NA∴DE DM =,CDE BDM ∠=∠ ∴︒=∠-∠=∠60MDN BDC EDN 在MDN ∆与EDN ∆中 ∴EDN MDN ∆≅∆（SAS ） ∴BM NC NE MN +== 故AMN∆的周长=++=MN AN AM Q ()()AB AC AB NC AN BM AM 2=+=+++而等边ABC ∆的周长AB L 3= ∴3232==ABAB LQ（3）如图3,当M .N 分离在AB .CA 的延伸线上时,若x AN =,则L x Q 322+=（用x .L 暗示）．点评：本题考核了三角形全等的剖断及性质;标题中线段的转换都是依据全等三角形来实现的,当题中没有显著的全等三角形时,我们要依据前提经由过程作帮助线来构建于已知和所求前提相干的全等三角形.。

全等三角形辅助线做法总结 图中有角平分线;可向两边作垂线.. 也可将图对折看;对称以后关系现..角平分线平行线;等腰三角形来添.. 角平分线加垂线;三线合一试试看..线段垂直平分线;常向两端把线连.. 要证线段倍与半;延长缩短可试验..三角形中两中点;连接则成中位线.. 三角形中有中线;延长中线等中线..一、截长补短法和;差;倍;分截长法：在长线段上截取与两条线段中的一条相等的一段;证明剩余的线段与另一段相 等截取----全等----等量代换补短法：延长其中一短线段使之与长线段相等;再证明延长段与另一短线段相等延长 ----全等----等量代换例如：1;已知;如图;在△ABC 中;∠C ＝2∠B;∠1＝∠2..求证：AB=AC+CD..2;已知：如图;AC ∥BD;AE 和BE 分别平分∠CAB 和∠DBA;CD 过点E ．求证：1AE ⊥BE ； 2AB=AC+BD ．二、图中含有已知线段的两个图形显然不全等或图形不完整时;添加公共边或一其中 一个图形为基础;添加线段构建图形..公共边;公共角;对顶角;延长;平行例如：已知：如图;AC 、BD 相交于O 点;且AB ＝DC;AC ＝BD;求证：∠A ＝∠D..三、延长已知边构造三角形例如：如图6：已知AC ＝BD;AD ⊥AC 于A ;BC ⊥BD 于B;求证：AD ＝BC四、遇到角平分线;可自角平分线上的某个点向角的两边作垂线“对折”全等例如：已知;如图;AC 平分∠BAD;CD=CB;AB>AD..求证：∠B+∠ADC=180..五、遇到中线;延长中线;使延长段与原中线等长“旋转”全等 例如：1如图;AD 为 △ABC 的中线;求证：AB ＋AC ＞2AD..三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半2;已知：AB=4;AC=2;D 是BC 中点;AD 是整数;求AD..3;如图;已知：AD 是△ABC 的中线;且CD=AB;AE 是△ABD 的中线;求证：AC=2AE.六、遇到垂直平分线;常作垂直平分线上一点到线段两端的连线可逆 ：遇到两组线段相等;可试着连接垂直平分线上的点 例如：在△ABC 中;∠ACB=90;AC=BC;D 为△ABC 外一点;且AD=BD;DE ⊥AC 交AC 的延长 线于E;求证：DE=AE+BC..七、遇到等腰三角形;可作底边上的高;或延长加倍法“三线合一”“对折”例如： 如图;ΔABC 是等腰直角三角形;∠BAC=90°;BD 平分∠ABC 交AC 于点D;CE 垂 直于BD;交BD 的延长线于点E..求证：BD=2CE..八、遇到中点为端点的线段时;延长加倍次线段例如：如图2：AD 为△ABC 的中线;且∠1＝∠2;∠3＝∠4;求证：BE ＋CF ＞EF九、过图形上某点;作特定的平行线“平移”“翻转折叠” 例如：如图;ΔABC 中;AB=AC;E 是AB 上一点;F 是AC 延长线上一点;连EF 交BC 于D; 若EB=CF..求证：DE=DF.. AD BCD CB A 110 图OC A EB D。

三角形全等辅助线————旋转与平移共同的特点：都有长度相等，且有一端点重合的线段中点旋转：A'CB等腰直角三角形, 等边三角形旋转CBAEBA正方形旋转FDCFEDCBA【精选例题】旋转中点类【例1】以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰R t A B D ∆和等腰R t A C E ∆，90BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图①当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是；线段AM 与DE 的数量关系是；（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转θ︒(090θ<< 后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．【例2】（顺义区2009一模第25题）已知：在Rt ABC ∆中，AB BC =，在Rt ADE ∆中，AD DE =，连结EC ，取EC 的中点M ，连结DM 和BM ．⑴若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图①，探索BM 、DM 的关系并给予证明；图1ABCDEM⑵如果将图①中的ADE ∆绕点A 逆时针旋转小于45︒的角，如图②，那么⑴中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．图2MEDCBA【例3】在四边形ABCD 中，设M , N 分别为CD , AB 的中点，求证(12MN AD BC +≤，当且仅当AD BC ∥时等号成立．N MDCBA【例4】如图所示，在ABC ∆的AB 边上取两点E 、F ，使AE BF =，连接CE 、CF ，求证：AC BC +>EC FC +．CBA O E F对角互补类【例5】如图，90ABC ∠=︒，BD 为ABC ∠的角平分线，将一三角板的直角顶点固定在点D ，另外两边分别交AB ，BC 于E ，F 两点，证明：DE DF =EDAB C【例6】如图，120ABC ∠=︒，BD 为ABC ∠的角平分线，60DEF ∠=︒且角的两边分别交AB ，BC 于E ，F 两点，证明：DE DF =ABCD【例7】如图，在四边形ABCD 中，90ADC ABC ∠=∠=︒，AD CD =，DP AB ⊥于P ，若四边形ABCD的面积为18，求DP 的长．PDCBA【例8】直角三角形ABC 中9068A AB BC ∠=︒==，，；P 为BC 的中点，ABC ∆绕着点P 逆时针旋转90︒到DEF ∆，求重叠部分PQKR 的面积．【例9】已知，在四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=︒，对角线AC 平分BAD ∠，在DA 的延长线上任取一点E ，连接EC ，作12ECF BCD ∠=∠，使CF 与AB 的延长线交于F ，连结EF ，请画出完整图形，探究：线段BF 、EF 、ED 之间具有怎样的数量关系，并说明理由DCBA【例10】（1）如图1，四边形ABCD 中，AB CB =，60ABC ∠=︒，120ADC ∠=︒，请你猜想线段DA 、DC 之和与线段BD 的数量关系，并证明你的结论；图1DBA（2）如图2，四边形ABCD 中，AB BC =，60ABC ∠=︒，若点P 为四边形ABCD 内一点，且120APD ∠=︒，请你猜想线段PA 、PD 、PC 之和与线段BD 的数量关系，并证明你的结论．P图2DC BA平移【例11】如图所示，在ABC ∆中，90B ∠=︒，M 为AB 上的一点，且AM BC =；N 为BC 上的一点，且CN BM =．连接AN 、CM 交于点P ，求证：45APM ∠=︒．PN M CBA【例12】 (07年北京中考如图，已知ABC ∆⑴请你在BC 边上分别取两点D 、E (BC 的中点除外，连结AD 、AE ，写出使此图中只存．．在两对．．．面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；CB A⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明AB AC AD AE +>+．⑴DE CB A【例13】如图14-1，ABC △的边BC 在直线l 上，AC BC ⊥，且AC BC =；EFP △的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =．（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP △沿直线l 向左平移到图14-2的位置时，EP 交AC 于点Q ，连结AP ，BQ ．猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP △沿直线l 向左平移到图14-3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ，连结AP ，BQ ．你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．A （E ）B C （F ） PlllB FC 图14-1图14-2图14-3平移加旋转【例14】如图，已知E 是正方形ABCD 的边AB 的中点，∠B 的外角∠CBG 的平分线BF 交DE 的垂线EF于F 。

全等三角形⑴----常见辅助线一.已知中点1.线段倍长（或作平行线）模型：如图，已知OA=OC,再倍长DO,使OB=OD,则△AOB≌△COD(SAS)⑴.如图，在△ABC中，D是BC边的中点.①.求证：AB+AC>2AD;②.若AB=5,AC=7,AD的取值范围为 .⑵如图，CE是△ACD中线，点B在AD的延长线上，BD=AC,∠ACD=∠ADC，求证：CE=12BC.⑶.如图，AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,点M为BC的中点，求证：DE=2AM.⑷.如图，四边形BEFC中，D为BC中点，∠EDF=90 ，求证：BE+FC>EF.CBDBBA C2.作垂线(知中点作垂线；证中点作垂线)模型：如图，OA=OB,BC ⊥CD,AD⊥CD,则△AOD ≌△BOC(AAS) ⑴.如图，△ABC 中，D 为BC 的中点.①在图中作出CM ⊥AD,BN⊥AD,垂足分别为点M,N; ②⑵求证：DM=DN; ③若AD=3，求AM+AN 的值.⑵.如图，CD 为△ABC 的角平分线，E,F 分别在CD,BD 上，且DA=DF,EF=AC.求证：EF ∥BC.⑶.如图，BC ⊥CE,BC=CE,AC ⊥CD,AC=CD,DE 交AC 的延长线于点M,M 是DE 的中点. ①求证：AB ⊥AC;②若AB=8，求CM 的长.⑷.如图，已知A(-2,1),C(0,2),且C 为线段AB 的中点，求点B 的坐标.DABCABA3.证中点【方法技巧】证线段的中点，常过线段的端点构造一组平行线，或过线段的两端点向过中点的线段作垂线，根据AAS 或ASA 构造全等三角形，证题关键往往是证明一组对应边相等.【作平行证中点】⑴.如图，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB，D,E 分别是AC 和AC 的延长线上的点，连接BD,BE,若AB=CE ，∠DBC=∠EBC.求证：D 是AC 的中点.⑵.如图，AB⊥AE,AB=AE,AC⊥AD,AC=AD,AH⊥DE 于点H,延长AH 交BC 于点M.求证：M 是BC 的中点.【作垂线证中点】⑶.如图，AB⊥AC,AB=AC,D 是AB 上一点，CE⊥CD,CE=CD,连接BE 交AC 于点F ，求证：F 是BE 的中点.⑷如图，A,B,C 三点共线，D,C,E 三点共线，∠A=∠DBC,EF⊥AC 于点F ，AE=BD. ①求证：C 是DE 的中点；②求证：AB=2CF.EBEB二、线段的和差处理 1.等线段代换法⑴如图，CD 为△ABC 的中线，M,N 分别为直线CD 上的点，且BM ∥AN. ①求证：AN=BM;②求证：CM+CN=2CD⑵如图，△ABC 中，∠BAC=90︒，AB=AC,AN 是过点A 的一条直线，且BM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N. ①求证：AM=CN ；②求证：MN=BM-CN.⑶如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，且AD 平分∠BAC,CE ⊥AB 于点E ，交AD 于点F. ①求证：BD=CD;②若AF=BC,求证：AC-CE=EF.⑷.如图，△ABC 中，AC=BC,∠ACB=90︒，D 为BC 延长线上一点，BF ⊥AD 于点F ，交AC 于点E.①求证：BE=AD ；②过C 点作CM ∥AB 交AD 于点M ，连接EM ，求证：BE=AM+EM.ABACBA B2.截长补短法（直接和间接）如图，△ABC中，∠CAB=∠CBA=45 ，CA=CB,点E为BC的中点，CN⊥AE交AB于点N.①求证：∠1=∠2；②求证：AE=CN+EN. （用多种方法）方法1：直接截长方法2：间接载长方法3：直接补短方法4：间接补短EBCA EBCA EBCA EBC A三、角平分线模型1.作垂线模型：如图，∠1=∠2，PA⊥OA,PB⊥OB,则PA=PB.⑴如图，△ABC中，CD是角平分线，AC=3,BC=5,求S△ACD∶S△BCD的值.⑵.如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且∠B+∠D=180︒，求证：AE=AD+BE.⑶.如图，△ABC中，AC>AB,F为BC的中点，FD⊥BC,交∠BAC的平分线于点D，DE⊥AC于点E.①求证：BD=CD;②求证：AB+AC=2AE;③直接写出-AC ABCE的值是 .⑷如图，△ABC中，AB=AC，D为△ABC外一点，且∠1=∠2，AB⊥BD于点M.①求证：AD平分△BDC的外角；②求-BD CDDM的值.21BAOPA BB CD2.截长补短模型：如图，若∠AOP=∠BOP,OA=OB，则△OAP≌△OBP⑴.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠B+∠D=180 ，求证：CD=CB.⑵.△ABC中，AB>AC,AD平分∠BAC，AE=AC，连DE.①求证：∠C>∠B;②若AB-AC=2,BC=3，求△BED的周长.⑶.如图，AD∥BC，E是CD上一点,且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=AD+BC⑷.如图，BC>AB,AD=CD，∠1=∠2，探究∠BAD与∠C之间的数量关系.(多种方法)C BBBBA3.角平分线+垂线：延长法模型：如图，若∠1=∠2，AC⊥OC，延长AC 交OB 于点B ，则△OCA≌△OCB. ⑴.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，CE⊥AD 于点E ，探究∠ACE，∠B，∠ECD 之间的数量关系.⑵.如图，在△ABC 中，AB<BC ，BP 平分∠ABC，AP⊥BP 于P 点，连接PC ，若△ABC 的面积为4，求△BPC 的面积.⑶.如图，在△AOB 中，AO=OB ，∠AOB=90 ，BD 平分∠ABO 交AO 于点D ，AE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ，求证：BD=2AE.⑷.如图，四边形ABCD 中，AD∥BC，AE,BE 分别平分∠DAB,∠CBA.①求证：AE⊥BE；②求证：DE=CE ；③若AE=4,BE=6,求四边形ABCD 的面积.BBA B四、半角与倍角模型⑴如图，已知AB=AC,∠BAC=90°,∠MAN=45°,过点C作NC⊥AC交AN于点N,过点B作BM⊥AB交AM 于点M，连接MN.①当∠MAN在∠BAC内部时，求证：BM+CN=MN.②如图，在①的条件下，当AM和AN在AB⑵如图，在△ABC中，CA=CB,∠ACB=120°,E为AB上一点，∠DCE=60°,∠DAE=120°,求证：DE-AD=BE.⑶如图，在△ABC中，CA=CB,∠ACB=120°,点E为AB上一点，∠DCE=∠DAE=60°,求证：AD+DE=BE.⑷.①如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是BC,CD上的点，且∠EAF=1 2∠BAD,求证：EF=BE+DF;②如图2，在①条件下，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点E,F分别运动到BC,CD延长线上时，则EF,BE,DF之间的数量关系是 .BN MDB A BC。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法（有答案）总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

三角形中两中点，连接则成中位线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1. 等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3. 角平分线在三种添辅助线4. 垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法” ：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6. 图形补全法：有一个角为60 度或120 度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30 、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30 度或60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8. 计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90 的特殊直角三角形，或40-60-80 的特殊直角三角形, 常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3）遇到角平分线在三种添辅助线的方法4）（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2 ）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

专题12.12 三角形全等作辅助线模型（二）-截长补短（知识讲解）【典型例题】1、 阅读下面文字并填空：数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，2B C ∠=∠．求证：AB BD AC +=．李老师给出了如下简要分析：“要证AB BD AC +=就是要证线段的和差问题，所以有两个方法，方法一：‘截长法’如图2，在AC 上截取AE AB =，连接DE ，只要证BD =__________即可，这就将证明线段和差问题__________为证明线段相等问题，只要证出__________≌△__________，得出B AED ∠=∠及BD =_________，再证出∠__________=∠___________，进而得出ED EC =，则结论成立．此种证法的基础是‘已知AD 平分BAC ∠，将ABD △沿直线AD 对折，使点B 落在AC 边上的点E 处’成为可能．方法二：“补短法”如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =．只要证AF AC =即可．此时先证∠__________C =∠，再证出_________≌△_________，则结论成立．”“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．【答案】方法一：CE ；转化；ABD ；AED ；DE ；EDC ；C ；方法二：F ；AFD ；ACD【分析】方法一：在AC 上截取AE AB =，由SAS 可证ABD AED ∆≅∆可得B AED ∠=∠，BD=DE ，根据等角对等边得到CE=DE ，即可求证；方法二：延长AB 至点F ，使BF BD =，由AAS 可证AFD ACD ∆≅∆，可得AC=AF ，即可证明：方法一：在AC 上截取AE AB =，连接DE ，如图2∵AD 平分BAC ∠，∵BAD DAC ∠=∠，在ABD ∆和AED ∆中AE AB BAD DAC AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵ABD AED ∆≅∆，∵B AED ∠=∠，BD=DE ，∵2B C ∠=∠，∵2AED C ∠=∠而2AED C EDC C ∠=∠+∠=∠，∵EDC C ∠=∠，∵DE=CE ，∵AB+BD=AE+CE=AC ，故答案为：CE ；转化；ABD ；AED ；DE ；EDC ；C ；方法二：如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =，∵F BDF ∠=∠∵2ABD F BDF F ∠=∠+∠=∠∵2ABD C ∠=∠∵F C ∠=∠在AFD ∆和ACD ∆中FAD CAD F CAD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∵AFD ACD ∆≅∆，∵AC=AF ，∵AC=AB+BF=AB+BD ，故答案为：F ；AFD ；ACD ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于截长补短类辅助线，核心思想为数学中的转化思想，此类题的关键是要找到最长边和最短边，然后确定截取辅助线的方式． 举一反三：【变式】 数学课上，小白遇到这样一个问题：如图1，在等腰Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD AE =，求证ABE ACD ∠=∠；在此问题的基础上，老师补充：过点A 作AF BE ⊥于点G 交BC 于点F ，过F 作FP CD ⊥交BE 于点P ，交CD 于点H ，试探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，AFB ∠与HFC ∠有某种数量关系；小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：（1）求证ABE ACD ∠=∠；（2）猜想AFB ∠与HFC ∠的数量关系，并证明；（3）探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析；（2）HFC BFA ∠=∠，证明见解析；（3）BP AF PF =+，证明见解析【分析】（1）利用SAS 证明ABE ACD ≅可得结论；（2）设ABE ACD x ∠=∠=，推出=45BFA x ∠︒+，=45HFC x ∠︒+，即可证明HFC BFA ∠=∠；（3）过点C 作CM AC ⊥交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，证明∵ABE∵∵CAM ，得出BE AM =和M BEA ∠=∠，从而证明∵NFC∵∵MFC ，得到FM FN =和M FNC ∠=∠，可得PN=PE ，从而得出BP=AF+PF.（1）证明：∵在∵ABE 和∵ACD 中，==AB AC A A AE AD ⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩，ABE ACD ∴∆≅∆（SAS ）， ABE ACD ∴∠=∠；（2）设ABE ACD x ∠=∠=，AF BE ⊥，90BAF x ∴∠=︒-，()=9045=45BFA x x ∴∠︒-︒-︒+，ACD x ∠=，45HCF x ∴∠=︒-，FP CD ⊥，()9045=45HFC x x ∴∠=︒-︒-︒+，HFC BFA ∴∠=∠；（3）过点C 作CM AC ⊥交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，90BAF FAC ∠+∠=︒，90BAF ABG ∠+∠=︒，FAC ABG ∴∠=∠，在∵ABE 和∵CAM 中，===BAE ACM AB AC ABE CAM ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩， ABE CAM ∴∆≅∆（ASA ）， BE AM ∴=，M BEA ∠=∠，BFA MFC NFC ∠=∠=∠，FC FC =，45ACB BCM ∠=∠=︒，NFC MFC∴∆≅∆（ASA），∴=，M FNCFM FN∠=∠，∴∠=∠，FNC BEA∴=，PN PE=+-=+.∵BP BE PE AM PE AF FM PE=-=-=+-AF FN PN AF PF【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及等角对等边等知识点，解题的关键是根据截长补短法添加适当的辅助线，构造全等三角形证明结论，有一定难度.2、阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∵BAD=∵BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四边形ABCD的面积．解：延长线段CB到E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明∵BAE∵∵DAC，根据全等三角形的性质得AE=AC=2，∵EAB=∵CAD，则∵EAC=∵EAB+∵BAC=∵DAC+∵BAC=∵BAD=90°，得S四边形=S∵ABC+S∵ADC=S∵ABC+S∵ABE=S∵AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三ABCD角形EAC面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为cm2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∵G=∵N=90°，求五边形FGHMN 的面积．【答案】（1）2；（2）4【分析】（1）根据题意可直接求等腰直角三角形EAC 的面积即可；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，由（1）易证FGH FNK ≌，则有FK=FH ，因为HM=GH+MN 易证FMK FMH ≌，故可求解．【详解】（1）由题意知21=22ABC ADC ABC ABE AEC ABCD AC S SS S S S =+=+==四边形， 故答案为2；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，如图所示：FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∵G=∵N=90°，∴∵FNK=∵FGH=90°，∴FGH FNK ≌， ∴FH=FK ，又FM=FM ，HM=KM=MN+GH=MN+NK ，∴FMK FMH ≌，∴MK=FN=2cm ，∴12=242FGH HFM MFN FMK FGHMN S SS S S MK FN =++=⨯⋅=五边形． 【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定，关键是根据截长补短法及割补法求面积的运用．举一反三：【变式】在∵ABC中，∵ACB=2∵B，（1）如图∵，当∵C=90°，AD为∵ABC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．请证明AB=AC+CD；（2）∵如图∵，当∵C≠90°，AD为∵BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不要求证明；∵如图∵，当∵C≠90°，AD为∵ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．【答案】（1）证明见解析；（2）∵AB=AC+CD；∵AC+AB=CD，证明见解析．【分析】（1）首先得出∵AED∵∵ACD（SAS），即可得出∵B=∵BDE=45°，求出BE=DE=CD，进而得出答案；（2）∵首先得出∵AED∵∵ACD（SAS），即可得出∵B=∵BDE，求出BE=DE=CD，进而得出答案；∵首先得出∵AED∵∵ACD（SAS），即可得出∵B=∵EDC，求出BE=DE=CD，进而得出答案．（1）证明：∵AD为∵ABC的角平分线，∵∵EAD=∵CAD，在∵AED和∵ACD中，∵AE=AC，∵EAD=∵CAD，AD=AD，∵∵AED∵∵ACD（SAS），∵ED=CD，∵C=∵AED=90°，∵∵ACB=2∵B，∵C=90°，∵∵B=45°，∵∵BDE=45°，∵BE=ED=CD，∵AB=AE+BE=AC+CD；∵AB=AC+CD．理由如下：在AB上截取AE=AC，连接DE，∵AD为∵ABC的角平分线，∵∵EAD=∵CAD，在∵AED和∵ACD中，∵AE=AC，∵EAD=∵CAD，AD=AD，∵∵AED∵∵ACD（SAS），∵ED=CD，∵C=∵AED，∵∵ACB=2∵B，∵∵AED=2∵B，∵∵B+∵BDE=∵AED，∵∵B=∵BDE，∵BE=ED=CD，∵AB=AE+BE=AC+CD；∵AC+AB=CD．理由如下：在射线BA上截取AE=AC，连接DE，∵AD为∵EAC的角平分线，∵∵EAD=∵CAD，在∵AED和∵ACD中，∵AE=AC，∵EAD=∵CAD，AD=AD，∵∵AED∵∵ACD（SAS），∵ED=CD，∵ACD=∵AED，∵∵ACB=2∵B，∵设∵B=x，则∵ACB=2x，∵∵EAC=3x，∵∵EAD=∵CAD=1.5x，∵∵ADC+∵CAD=∵ACB=2x，∵∵ADC=0.5x，∵∵EDC=x，∵∵B=∵EDC，∵BE=ED=CD，∵AB+AE=BE=AC+AB=CD．【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质等知识，利用已知得出∵AED∵∵ACD是解题关键．3、（初步探索）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．（1）如图1，∵ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∵BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系；（灵活运用）（2）如图2，∵ABC为等边三角形，直线a∵AB，D为BC边上一点，∵ADE交直线a 于点E，且∵ADE＝60°．求证：CD＋CE＝CA；（延伸拓展）（3）如图3，在四边形ABCD中，∵ABC＋∵ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF＝BE＋FD，请直接写出∵EAF与∵DAB的数量关系．【答案】（1）DA=DC+DB，证明见详解；（2）见详解；（3）∵EAF=11802DAB︒-∠，证明见详解.【分析】（1）由等边三角形知AB=AC，∵BAC=60°，结合∵BDC=120°知∵ABD+∵ACD=180°，由∵ACE+∵ACD=180°知∵ABD=∵ACE，证∵ABD∵∵ACE得AD=AE，∵BAD=∵CAE，再证∵ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB；（2）首先在AC上截取CM=CD，由∵ABC为等边三角形，易得∵CDM是等边三角形，继而可证得∵ADM∵∵EDC，即可得AM=EC，则可证得CD+CE=CA；（3）在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，先判定∵ADG∵∵ABE，再判定∵AEF∵∵AGF，得出∵FAE=∵FAG，最后根据∵FAE+∵FAG+∵GAE=360°，进而推导得到2∵FAE+∵DAB=360°，即可得出结论．解答：DA=DC+DB，理由如下：（1）如图1，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，∵∵ABC是等边三角形，∵AB=AC，∵BAC=60°，∵∵BDC=120°，∵∵ABD+∵ACD=180°，又∵∵ACE+∵ACD=180°，∵∵ABD=∵ACE，∵∵ABD∵∵ACE（SAS），∵AD=AE，∵BAD=∵CAE，∵∵BAC=60°，即∵BAD+∵DAC=60°，∵∵DAC+∵CAE═60°，即∵DAE=60°，∵∵ADE是等边三角形，∵DA=DE=DC+CE=DC+DB ，即DA=DC+DB ；（2）证明：在AC 上截取CM=CD ，∵∵ABC 是等边三角形，∵∵ACB=60°，∵∵CDM 是等边三角形，∵MD=CD=CM ，∵CMD=∵CDM=60°，∵∵AMD=120°，∵∵ADE=60°，∵∵ADE=∵MDC ，∵∵ADM=∵EDC ，∵直线a∵AB ，∵∵ACE=∵BAC=60°，∵∵DCE=120°=∵AMD ，在∵ADM 和∵EDC 中，ADM EDC MD CDAMD ECD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∵∵ADM∵∵EDC(ASA)，∵AM=EC ，∵CA=CM+AM=CD+CE ；即CD+CE=CA.（3）∵EAF=11802DAB ︒-∠； 证明：如图3，在DC 延长线上取一点G ，使得DG=BE ，连接AG ，∵∵ABC+∵ADC=180°，∵ABC+∵ABE=180°，∵∵ADC=∵ABE ，又∵AB=AD ，∵∵ADG∵∵ABE （SAS ），∵AG=AE ，∵DAG=∵BAE ，∵EF=BE+FD=DG+FD=GF ，AF=AF ，∵∵AEF∵∵AGF （SSS ），∵∵FAE=∵FAG ，∵∵FAE+∵FAG+∵GAE=360°，∵2∵FAE+（∵GAB+∵BAE ）=360°，∵2∵FAE+（∵GAB+∵DAG ）=360°，即2∵FAE+∵DAB=360°， ∵∵EAF=11802DAB ︒-∠. 【点拨】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．举一反三：【变式1】 如图，AB CD ∥，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上，求证：BC AB CD =+.【分析】在BC 上取点F ，使BF=BA ，连接EF ，由角平分线的性质可以得出∵1=∵2，从而可以得出∵ABE∵∵FBE ，可以得出∵A=∵5，进而可以得出∵CDE∵∵CFE ，就可以得出CD=CF ，即可得出结论．证明：在BC 上取点F ，使BF=BA ，连接EF ，∵BE 、CE 分别是∵ABC 和∵BCD 的平分线，∵∵1=∵2，∵3=∵4，在∵ABE 和∵FBE 中，12AB FB BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵ABE∵∵FBE(SAS)，∵∵A=∵5，∵AB∵CD ，∵∵A+∵D=180°，∵∵5+∵D=180，∵∵5+∵6=180°，∵∵6=∵D ，在∵CDE 和∵CFE 中，634D CE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵CDE∵∵CFE(AAS)，∵CF=CD ．∵BC=BF+CF ，∵BC=AB+CD ．【点拨】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时运用截取法正确作辅助线是关键．【变式2】如图，在∵ABC 中，60BAC ∠=︒，40ACB ∠=︒，P 、Q 分别在BC 、CA上，并且AP 、BQ 分别是∵BAC 、∵ABC 的角平分线．求证：（1）BQ CQ =；（2）BQ AQ AB BP +=+．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由三角形的内角和就可以得出∵ABC ＝80°，再由角平分线的性质就可以得出∵QBC ＝40°，就有∵QBC ＝∵C 而得出结论；（2）延长AB 至M ，使得BM ＝BP ，连结MP ，根据条件就可以得出∵M ＝∵C ，进而证明∵AMP∵∵ACP 就可以得出结论．（1）证明：∵BQ 是ABC ∠的角平分线， ∵12QBC ABC ∠=∠． ∵180ABC ACB BAC ∠+∠+∠=︒，且60BAC ∠=︒，40ACB ∠=︒，∵80ABC ∠=︒， ∵180402QBC ∠=⨯︒=︒， ∵QBC C ∠=∠，∵BQ CQ =；（2）证明：延长AB 至M ，使得BM BP =，连结MP ．∵M BPM ∠=∠，∵∵ABC 中60BAC ∠=︒，40C ∠=︒，∵80ABC ∠=︒，∵BQ 平分ABC ∠，∵40QBC C ∠=︒=∠，∵BQ CQ =，∵ABC M BPM ∠=∠+∠，∵40M BPM C ∠=∠=︒=∠，∵AP 平分BAC ∠，∵MAP CAP ∠=∠，在∵AMP 和∵ACP 中，∵M C MAP CAP AP AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵AMP∵∵ACP ，∵AM AC =，∵AM AB BM AB BP =+=+，AC AQ QC AQ BQ =+=+，∵AB BP AQ BQ +=+【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．。

初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解专题20全等三角形的辅助线问题【考点题型】考点题型一连接两点做辅助线典例1．把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC 交于点H（如图）．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．【解析】试题分析：要证明HG与HB是否相等，可以把线段放在两个三角形中证明这两个三角形全等，或放在一个三角形中证明这个三角形是等腰三角形，而图中没有这样的三角形，因此需要作辅助线，构造三角形．试题解析：HG=HB，证法1：连接AH，∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，∴∠B=∠G=90°，由题意知AG=AB，又AH=AH，∴Rt△AGH≌Rt△ABH（HL），∴HG=HB．证法2：连接GB，∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，∴∠ABC=∠AGF=90°，由题意知AB=AG，∴∠AGB=∠ABG，∴∠HGB=∠HBG，∴HG=HB．变式1-1．已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.(1)如图,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形.(2)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形画出图形,写出结论不证明.【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】(1)先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形；(2)根据题意画出图形,连接AD,构造△DAF≌△DBE.得出FD=ED ,∠FDA=∠EDB,再算出∠EDF=90°,即可得出△DEF是等腰直角三角形.【详解】解：（1）连结AD ,∵AB=AC ,∠BAC=90°,D为BC中点,∴AD⊥BC ,BD=AD ,∴∠B=∠BAD=∠DAC=45°,又∵BE=AF ,∴△BDE≌△ADF（SAS）,∴ED=FD ,∠BDE=∠ADF,∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°,∴△DEF为等腰直角三角形.（2）连结AD∵AB=AC ,∠BAC=90°,D 为BC 中点 , ∴AD=BD ,AD ⊥BC ,∴∠DAC=∠ABD=45°, ∴∠DAF=∠DBE=135°, 又∵AF=BE ,∴△DAF ≌△DBE （SAS ）,∴FD=ED ,∠FDA=∠EDB,∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°. ∴△DEF 为等腰直角三角形.变式1-2．如图，以O 为直角顶点作两个等腰直角三角形Rt OAB 和Rt OCD △，且点C 在线段AB 上（A B 、除外），求证：222AC BC CD +=【答案】证明见解析【分析】连接BD ，证明△AOC ≌△BOD （SAS ），得到△CBD 为直角三角形，再由勾股定理即可证明．【详解】解：连接BD ，∵△AOB 与△COD 为等腰直角三角形，∴AO=BO ，CO=DO ，∠AOB=∠COD=90°，∠A=∠ABO=45°，∴∠AOC+∠BOC=∠BOD+∠BOC∴∠AOC=∠BOD ，在△AOC 与△BOD 中，AO BO AOC BOD CO DO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC ≌△BOD （SAS ）∴∠A=∠OBD=45°，AC=BD ，∴∠ABO+∠OBD=90°，即∠CBD=90°，∴在Rt △CBD 中，222BD BC CD +=即222AC BC CD +=．考点题型二全等三角形 -倍长中线模型典例2．已知，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，点D 为边AB 的中点，AE CD ⊥分别交CD ，BC 于点F ，E ．（1）如图1，①若AB AC =，请直接写出EAC BCD ∠-∠=______；②连接DE ，若2AE DE =，求证：DEB AEC ∠=∠；（2）如图2，连接FB ，若FB AC =，试探究线段CF 和DF 之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）①45°；②见解析；（2）2CF DF =，理由见解析【分析】（1）①利用直角三角形两个锐角相加得90︒和三角形的外角等于不相邻的两个内角和的性质结合题干已知即可解题．②延长ED 至点G ，使得DG DE =，连接AG ，从而可证明ADG ≌BDE （SAS ），再利用全等的性质，可知DGA DEB ∠=∠，即可知道//AG BC ，所以GAE AEC ∠=∠，根据题干又可得到AE EG =，所以DGA GAE ∠=∠，从而得出结论．（2）延长CD 至点H ，使得DH DF =，连接BH ，从而可证明HDB ≌FDA △（SAS ），再利用全等的性质，可知BH AF =，90H AFD AFC ∠=∠=∠=︒，根据题干即可证明Rt HBF △≌Rt FAC △（HL ），即得出结论．【详解】（1）①∵90EAC ACD ∠+∠=︒，90AEC BCD ∠+∠=︒∴EAC BCD AEC ACD ∠-∠=∠-∠∵90EAC BAE ∠+∠=︒∴ACD BAE ∠=∠又∵AEC B BAE ∠=∠+∠∴EAC BCD B BAE ACD ∠-∠=∠+∠-∠∴45EAC BCD B ∠-∠=∠=︒故答案为45︒．②如图，延长ED 至点G ，使得DG DE =，连接AG ，∵点D 为AB 的中点，∴BD AD =，又∵ADG BDE ∠=∠，∴ADG ≌BDE ，∴DGA DEB ∠=∠，∴//AG BC ，∴GAE AEC ∠=∠，又∵2AE DE =，∴AE EG =，∴DGA GAE ∠=∠，∴DEB AEC ∠=∠．（2）2CF DF =．如图，延长CD 至点H ，使得DH DF =，连接BH ，∵AD BD =，ADF BDH ∠=∠，∴HDB ≌FDA △，∴BH AF =，90H AFD AFC ∠=∠=∠=︒，∵BF AC =．∴Rt HBF △≌Rt FAC △，∴2CF HF DF ==．变式2-1．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．（探究与发现）（1）如图1，AD 是ABC 的中线，延长AD 至点E ，使ED AD =，连接BE ，证明：ACD EBD △≌△．（理解与应用）（2）如图2，EP 是DEF 的中线，若5EF =，3DE =，设EP x =，则x 的取值范围是________．（3）如图3，AD 是ABC 的中线，E 、F 分别在AB 、AC 上，且DE DF ⊥，求证：BE CF EF +>．【答案】（1）见解析；（2）14x <<；（3）见解析【分析】（1）根据全等三角形的判定即可得到结论；（2）延长EP 至点Q ，使PQ PE =，连接FQ ，根据全等三角形的性质得到3FQ DE ==，根据三角形的三边关系即可得到结论；（3）延长FD 至G ，使得GD DF =，连接BG ，EG ，结合前面的做题思路，利用三角形三边关系判断即可．【详解】（1）证明：CD BD =，ADC EDB ∠=∠，AD ED =，ACD EBD ∴≌，（2）14x <<；如图，延长EP 至点Q ，使PQ PE =，连接FQ ，在PDE ∆与PQF ∆中，PE PQ EPD QPF PD PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，PEP QFP ∴∆≅∆，3FQ DE ∴==，在EFQ ∆中，EF FQ QE EF FQ -<<+，即53253x -<<+， x 的取值范围是14x <<；故答案为：14x <<；（3）延长FD 至G ，使得GD DF =，连接BG ，EG ，在DFC △和DGB 中，DF DG =，CDF BDG ∠=∠，DC DB =，(SAS)DFC DGB ∴≌，BG CF ∴=，在EDF 和EDG △中，DF DG =，90FDE GDE ∠=∠=︒，DE DE =，(SAS)EDF EDG ∴≌，EF EG ∴=，在BEG 中，两边之和大于第三边，BG BE EG ∴+>，又EF EG =，BG CF =，BE CF EF ∴+>变式2-2．倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段a 要满足两个条件：①线段a 一个端点是图中一条线段b 的中点；②线段a 与这条线段b 不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题．（应用举例）如图（1），已知：AD 为ABC ∆的中线，求证：2AB AC AD +>．简证：如图（2），延长AD 到E ，使得DE AD =，连接CE ，易证ABD ECD ∆≅∆，得AB =，在ACE ∆中，AC CE +>，2AB AC AD +>．（问题解决）（1）如图（3），在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，求证：AF EF =．（2）如图（4），在ABC ∆中，90,A D ∠=︒是BC 边的中点，E F 、分别在边AB AC 、上，DE DF ⊥，若3,4BE CF ==，求EF 的长．（3）如图（5），AD 是ABC ∆的中线，,AB AE AC AF ==，且90BAE FAC ∠=∠=︒，请直接写出AD 与EF 的数量关系_及位置关系_．【答案】,CE AE ；（1）详见解析；（2）5；（3）2EF AD =，EF AD ⊥【应用举例】由全等的性质可得AB=EC ，由三角形三边关系可得AC+CE>AE ，即AB+AC>2AD ；故答案为EC ，AE ；【问题解决】（1）由题意不难得到,ACD GBD ∆≅∆所以∠BGD=∠BED=∠AEF=∠DAC ，∴有AF=EF ；（2）延长ED 到G ，使DG=ED ，连结CG 、FG ，不难得到EF=FG ，另同（1）有△BDE ≌△CDG ，所以∠FCG=∠FCD+∠GCD=∠FCD+∠EBD=90°，CG=BE=3，由勾股定理可得FG 即EF 的长；（3）由全等三角形的性质可以得到解答．【详解】【应用举例】,CE AE【问题解决】()1如图()1延长AD 到G ，使得,DG AD =连接,BG易证,ACD GBD ∆≅∆得,BG AC G DAC =∠=∠，,BE AC =,BE BG ∴=,G BEG ∴∠=∠,BEG AEF ∠=∠,AEF EAC ∴∠=∠AF EF ∴=．()2如图()2，延长ED 到G ，使得,DG ED =连接,CG FG 、易证,BDE CDG ∆≅∆得,,CG BE ED GD B DCG ==∠=∠，,DE DF ⊥DF ∴垂直平分,EG,FE FG ∴=90,A ∠=︒90,B ACB ∴∠+∠=︒90,DCG ACB ∴∠+∠=︒即90,FCG ∠=︒在Rt FCG ∆中，3,4CG BE CF ===，5,FG ∴=5,EF ∴=()32EF AD EF AD =⊥，，理由如下：如图3，延长AD 到G ，使AD=DG ，延长DA 交EF 于P ，连结BG ，则不难得到△BGD≌△CAD，∴BG=AC，∠GBD=∠ACD，∠DGB=∠DAC，又AF=AC，∴BG=AF，∴∠ABG=∠ABD+∠GBD=∠ABD+∠ACD=180°-∠BAC=∠EAF，∴在△ABG和△EAF中，AB AEABG EAF BG AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABG≌△EAF，∴EF=AG=2AD，∠EFA=∠DGB=∠DAC，∵∠DAC+∠PAF=180°-∠FAC=180°-90°=90°，∴∠EFA+∠PAF=90°，∴∠APF=90°，∴EF⊥AD ．考点题型三全等三角形–旋转模型典例3．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D.(1)如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；(2)如图2，若α=60°时，点F是边AC中点，求证：四边形BFDE是平行四边形.【答案】（1）15°；（2）证明见解析.【分析】（1）如图1，利用旋转的性质得CA＝DA，∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，再根据等腰三角形的性质求出∠ADC，从而计算出∠CDE的度数；（2）如图2，利用直角三角形斜边上的中线性质得到BF＝12AC，利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC＝12AC，则BF＝BC，再根据旋转的性质得到∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，AC＝AD ，DE＝BC，从而得到DE＝BF，△ACD和△BAE为等边三角形，接着由△AFD≌△CBA得到DF＝BA，然后根据平行四边形的判定方法得到结论．【详解】解：（1）如图1，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△AED，点E恰好在AC上，∴∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，∵CA＝DA，∴∠ACD＝∠ADC＝12（180°−30°）＝75°，∠ADE=90°-30°=60°，∴∠CDE＝75°−60°＝15°；（2）证明：如图2，∵点F是边AC中点，∴BF＝12 AC，∵∠BAC＝30°，∴BC＝12 AC，∴BF＝BC，∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，AC＝AD，DE＝BC，∴DE＝BF，△ACD和△BAE为等边三角形，∴BE＝AB，∵点F为△ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC，易证得△AFD≌△CBA，∴DF＝BA，∴DF＝BE，而BF＝DE，∴四边形BEDF是平行四边形．变式3-1．给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．①求证：△BCE是等边三角形；②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．【答案】(1)正方形、矩形、直角梯形均可；(2)①证明见解析②证明见解析【分析】（1）根据定义和特殊四边形的性质，则有矩形或正方形或直角梯形；（2）①首先证明△ABC≌△DBE，得出AC=DE，BC=BE，连接CE，进一步得出△BCE 为等边三角形；②利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解．【详解】解：（1）正方形、矩形、直角梯形均可；（2）①∵△ABC≌△DBE，∴BC=BE，∵∠CBE=60°，∴△BCE是等边三角形；②∵△ABC≌△DBE，∴BE=BC，AC=ED；∴△BCE为等边三角形，∴BC=CE，∠BCE=60°，∵∠DCB=30°，∴∠DCE=90°，在Rt △DCE 中，DC 2+CE 2=DE 2，∴DC 2+BC 2=AC 2．变式3-2．如图，在ABC △中，90BAC ∠=︒，E 为边BC 上的点，且AB AE =，D 为线段BE 的中点，过点E 作EF AE ⊥，过点A 作AF BC ，且AF 、EF 相交于点F .（1）求证：C BAD ∠=∠（2）求证：AC EF =【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD ⊥BC ，由余角的性质可得∠C=∠BAD ；（2）由“ASA”可证△ABC ≌△EAF ，可得AC=EF ．【详解】（1）如图∵AB AE =，∴ABE ∆是等腰三角形 又∵D 为BE 的中点， ∴AD BE ⊥（等腰三角形三线合一） 在Rt ABC ∆和Rt DBA ∆中， ∵B 为公共角，90BAC BDA ∠=∠=︒， ∴C BAD ∠=∠.另解：∵D 为BE 的中点， ∵BD ED =，又AB AE =，AD AD =， ∴ADB ADE ∆≅∆，∴ADB ADE ∠=∠，又180ADB ADE ∠+∠=︒， ∴90ADB ADE ∠=∠=︒ ∴AD BC ⊥，在Rt ABC ∆和Rt DBA ∆中， ∵B 为公共角，90BAC BDA ∠=∠=︒， ∴C BAD ∠=∠.（2）∵AF BC ，∴EAF AEB ∠=∠，∵AB AE =，∴ABE AEB ∠=∠，∴EAF ABC ∠=∠，又∵90BAC AEF ∠=∠=∠︒， ∴BAC AEF ∆≅∆，∴AC EF =.考点题型四全等三角形– 垂线模型典例4．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：△ADC ≌△CEB ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，试问DE 、AD 、BE 的等量关系?并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）DE=AD-BE ，理由见解析【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE ，根据AAS 即可得到答案；（2）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC ，能推出△ADC ≌△CEB ，得到AD=CE ，CD=BE ，即可得到答案．【详解】解：（1）证明：如图1，∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE ，在△ADC 和△CEB 中， CDA BEC DAC ECB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；（2）结论：DE=AD-BE ．理由：如图2，∵BE ⊥EC ，AD ⊥CE ，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC ，在△ADC 和△CEB 中，ACD CBE ADC BEC AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ），∴AD=CE ，CD=BE ，∴DE=EC-CD=AD-BE ．变式4-1．在直角三角形ABC 中，90,30︒︒∠=∠=ACB BAC ，分别以AB 、AC 为边在ABC ∆外侧作等边ABE ∆和等边ACD ∆，DE 交AB 于点F ，求证：=EF FD .【答案】详见解析【分析】过点E 作EG AB ⊥于点G ，则有1122AG BG AE AB ===，再证 ()SAS ACB EGA ≅，得到EG AC =.从而得到90DAF DAC CAB ∠=∠+∠=︒，所以(AAS)ADF GEF ≅，即可完成证明。

专题02 全等三角形的常见模型与辅助线全等模型之“K型图”1．（2021春•杭州期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E是对角线AC上的一点，连结BE，过点E作EF⊥BE交AD于点F．△BCE和△AEF的面积分别为S1和S2，若2S1＝3S2，则CE 的长为 ．2．（2021秋•北仑区期末）如图，等边三角形ABC中，放置等边三角形DEF，且点D，E分别落在AB，BC上，AD＝5，连结CF，若CF平分∠ACB，则BE的长度为 ．3．（2021秋•椒江区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点A的坐标（0，3），点B的坐标（﹣1，0），则点C的坐标是 ．4．（2021秋•嵊州市期末）【问题提出】（1）已知：如图1，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，点C在线段DE上，AC＝BC且AC⊥BC，求证：△ADC≌△CEB．【问题解决】（2）如图2，点D，C，E在直线l上．点A，B在l的同侧，AC⊥BC，若AD＝AC＝BC＝BE＝5cm，CD＝6cm，求CE的长．全等模型之“手拉手”5．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，已知△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠EBD＝50°，则∠AEB的度数为（ ）A．130°B．135°C．140°D．145°6．（2021秋•普陀区期末）如图，AB＝3，AC＝，连结BC，分别以AC、BC为直角边作等腰Rt△ACD和等腰Rt△BCE，连结AE、BD，当AE最长时，BC的长为（ ）A．2B．3C．D．7．（2020秋•萧山区期末）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，若∠AOB＝∠COD ＝60°．（1）求证：AC＝BD．（2）求∠APB的度数．8．（2022秋•杭州期末）如图，已知△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，连接BD、CE．（1）求证：△BAD≌△CAE；（2）若延长BD交CE于点F，试判断BF与CE的位置关系，并说明理由．全等辅助线之——倍长中线9．（2020秋•鄞州区期末）已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝4，AC＝6，则AD的取值范围是（ ）A．2＜AD＜10B．1＜AD＜5C．4＜AD＜6D．4≤AD≤610．（2021秋•龙泉市期末）如图，AB∥CD，点E是AD上的点，连结BE，CE，且∠BEC＝90°，BE平分∠ABC．以下结论中：①E是AD中点，②AB+CD＝BC，③AE＝CE，④＝，正确的个数为（ ）A．4B．3C．2D．111．（2021秋•北仑区期末）如图，已知AB∥CF，E为DF的中点．若AB＝13cm，CF＝7cm，则BD＝ cm．全等辅助线之——整体旋转12．（2021秋•海曙区期末）定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．（1）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，MN＞AM，MN＞BN，若AM＝2，MN＝3，则BN＝ ．（2）如图，在等腰直角ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，M、N为直线AB上两点，满足∠MCN ＝45°．①如图2，点M、N在线段AB上，求证：点M、N是线段AB的勾股分割点；②如图3，若点M在线段AB上，点N在线段AB的延长线上，AM＝，BN＝，求BM的长．13．（2020秋•萧山区期末）（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF ＝45°，延长CD到点G，使DG＝BE，连接EF，AG．求证：EF＝FG．（2）如图2，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN ＝45°，若BM＝1，CN＝3，求MN的长．1．（2022春•乐清市期末）如图，在直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，点A的坐标为（1，0），B点的坐标为（﹣1，4），点D在第一象限，则点C的坐标为（ ）A．（3，6）B．（4，6）C．（4，5）D．（5，2）2．（2021秋•江北区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，其坐标为（0，4），x轴上的一动点P从原点O出发，沿x轴正半轴方向运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．当t＝2时，点B的坐标为 ；当点B的横坐标为a 时，点B的纵坐标是 ．3．（2021秋•上城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上的一点，∠BAD＝28°，在AD的右侧作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE，DE，DE交AC于点O，若CE ∥AB，则∠DOC的度数为 ．4．（2021秋•镇海区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，连结DC，作DM⊥DC交AC于点M．若AB＝10，AM＝2，则CM＝ ．5．（2022秋•长兴县期末）如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝2，分别以AC，BC为边向外作正△ACD和正△BCE，连结AE，BD，当△ABC的边AC变化过程中，BD取最长时，则AC的长为 ．6．（2021秋•义乌市期末）如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且BE＝BF．（1）求证：△ABE≌△CBF；（2）若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．7．（2021秋•上城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，且DE⊥BC交AB于点F．（1）求证：△ADF是等腰三角形；（2）若AC＝10，BE＝3，F为AB中点，求DF的长．8．（2022秋•鄞州区期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.8m和2.4m，∠BOC＝90°．（1）△CEO与△ODB全等吗？请说明理由．（2）爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？（3）秋千的起始位置A处与距地面的高是　0.6　m．9．（2022秋•宁波期末）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连结BD，CE，则△ABD≌△ACE．（1）请证明图1的结论成立；（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数；（3）如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系．10．（2021秋•宁波期末）【证明体验】（1）如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连结BE．求证：△ACD≌△EBD．【迁移应用】（2）如图2，在△ABC中，AC＝5，BC＝13，D为AB的中点，DC⊥AC．求△ABC面积．【拓展延伸】（3）如图3，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC延长线上一点，BC＝CD，F是AB上一点，连结FD交AC于点E，若AF＝EF＝2，BD＝6，求ED的长．。

全等三角形证明之辅助线讲义➢ 知识与方法梳理1. 为了解决几何问题，在原图的基础上另外添加的直线或线段称为辅助线．辅助线通常画成虚线．辅助线的原则：添加辅助线，构造新图形，形成新关系，建立已知和未知之间的桥梁，把问题转化成自己已经会解的情况． 辅助线的作用：①把分散的条件转为集中； ②把复杂的图形转化为基本图形．添加辅助线的注意事项：明确目的，多次尝试．2. 要证明边相等（或角相等），可以考虑证明它们所在的三角形全等；要证全等，需要找3组条件． ➢ 例题示范例：已知：如图，在△ABC 中，∠C =90°，D 是AB 边上一点，AD =AC ，过点D 作DE ⊥AB ，交BC 于点E ． 求证：CE =DE ． 【思路分析】 ① 读题标注：② 梳理思路：要证CE =DE ，考虑把这两条线段放在两个三角形中证全等，利用全等三角形对应边相等来证明．观察图形，发现不存在全等的三角形．结合条件，AC =AD ，∠C =∠ADE =90°，考虑连接AE ，证明△ACE ≌△ADE ． 【过程书写】 证明：如图，连接AE ∵DE ⊥AB ∴∠ADE =90° ∵∠C =90° ∴∠C =∠ADE在Rt △ACE 和Rt △ADE 中AE AE AC AD=⎧⎨=⎩（公共边）（已知）∴Rt △ACE ≌Rt △ADE （HL ） ∴CE =DE （全等三角形对应边相等）EDC AEDBAEDBCA➢练习题BFEAC D7. 已知：如图，BD ，CE 是△ABC 的高，点P 在BD 的延长线上，BP =AC ，点Q 在CE 上，CQ =AB ．判断线段AP 和AQ 的数量和位置关系，并加以证明．8. 已知：如图，∠B =∠D ，AB =CD ，AD ∥BC ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．求证：AF =CE ．9. 已知：如图，B ，C ，F ，E 在同一条直线上，AB ，DE 相交于点G ，且BC =EF ，GB =GE ，∠A =∠D ．求证：DC =AF ．10. 已知：如图，∠C =∠F ，AB =DE ，DC =AF ，BC =EF ．求证：AB ∥DE ．11. 已知：如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．求证：BE =DF ．QPEDCBACAEF B DDGC AB EFFEBAD CF E B A DC12. 已知：如图，在正方形ABCD 中，AD =AB ，∠DAB =∠B =90°，点E ，F 分别在AB ，BC 上，且AE =BF ，AF 交DE 于点G ． 求证：DE ⊥AF ．连接BM ，交CN 于点F ．有下列结论：①∠AMB =∠ANB ；②△ACE ≌△MCF ；③CE =CF ；④EN =FB ．其中正确结论的序号是_________________．【参考答案】1. 证明：如图，连接AD在△ABD 和△DCA 中AB DCBD CAAD DA =⎧⎪=⎨⎪=⎩（已知）（已知）（公共边） ∴△ABD ≌△DCA （SSS ）∴∠ABO=∠DCO （全等三角形对应角相等） 2. 证明：如图，连接AC∵AB ∥CDGFEDCBANM EB AFC∴∠CAB =∠ACD ∵AD ∥BC ∴∠DAC =∠BCA 在△ABC 和△CDA 中CAB ACDAC CABCA DAC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已证）（公共边）（已证） ∴△ABC ≌△CDA （ASA ）∴AB =CD ，BC =DA （全等三角形对应边相等） 3. 证明：如图，连接AC ，AD在△ABC 和△AED 中，AB AE B EBC ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已知）（已知） ∴△ABC ≌△AED （SAS ）∴AC =AD （全等三角形对应边相等） ∵F 是CD 的中点 ∴CF =DF在△ACF 和△ADF 中，AC AD AF AFCF DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩（已证）（公共边）（已证） ∴△ACF ≌△ADF （SSS ）∴∠CFA =∠DFA （全等三角形对应角相等） ∵∠CFA +∠DFA =180° ∴∠CFA =90° ∴AF ⊥CD4. 证明：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D∵AD ⊥BC∴∠ADB =∠ADC=90° 在△ADB 和△ADC 中，B CADB ADCAD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（公共边） ∴△ADB ≌△ADC （AAS ）∴AB =AC （全等三角形对应边相等） 5. 证明：如图，过点B 作BF ⊥AC 于点FA DBCFCBEDAAD B C6. ∵BC ⊥AD∴∠ACE =∠BCD =90° 在Rt △ACE 和Rt △BCD 中AE BD CE CD =⎧⎨=⎩（已知）（已知）∴Rt △ACE ≌Rt △BCD （HL ）∴∠CAE =∠CBD （全等三角形对应角相等） ∵∠ACE =90° ∴∠CAE +∠AEC =90° ∵∠AEC =∠BEF ∴∠CBD +∠BEF =90° ∴∠BFE =90° ∴AF ⊥BD7. 解：AP =AQ 且AP ⊥AQ ，理由如下：如图，∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ∴∠BEQ =∠BDC =∠ADP =90° ∴∠1+∠3=90° ∠2+∠4=90° ∵∠3=∠4 ∴∠1=∠2在△ABP 和△QCA 中54321QCB PE DA1 2 AB QC BP CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已知） ∴△ABP ≌△QCA （SAS ）∴AP =AQ （全等三角形对应边相等） ∠P =∠5（全等三角形对应角相等） ∵∠ADP =90° ∴∠P +∠PAD =90° ∴∠5+∠PAD =90° 即∠QAP =90° ∴AP =AQ 且AP ⊥AQ 8. 证明：如图，连接AC∵AD ∥BC ∴∠DAC =∠BCA 在△ABC 和△CDA 中，∴△ABC ≌△CDA （AAS ）∴BC =DA （全等三角形对应边相等） ∵E ，F 分别是AD ，BC 的中点 ∴1122BF BC DE AD ==， ∴BF =DE在△ABF 和△CDE 中，∴△ABF ≌△CDE （SAS ）∴AF =CE （全等三角形对应边相等）9. 证明：如图，过点G 作GH ⊥BE 于点H∵GH ⊥BE∴∠GHB =∠GHE =90° 在Rt △GHB 和Rt △GHE 中，BCA DAC B DAB CD （已证）（已知）（公共边）∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AB CD B DBF DE （已知）（已知）（公共边）=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩H FBA C GDGB GEGH GH=⎧⎨=⎩（已知）（公共边） ∴Rt △GHB ≌Rt △GHE （HL ）∴∠B =∠E （全等三角形对应角相等） ∵BC =EF ∴BC +CF =EF +CF 即BF =EC在△ABF 和△DEC 中，A DB EBF EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已证） ∴△ABF ≌△DEC （AAS ） ∴DC =AF10. 证明：如图，连接BE在△AEF 和△DBC 中，AF DCF CEF BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已知）（已知） ∴△AEF ≌△DBC （SAS ）∴AE =DB （全等三角形对应边相等） 在△ABE 和△DEB 中，AE DB AB DEEB BE =⎧⎪=⎨⎪=⎩（已证）（已知）（公共边） ∴△ABE ≌△DEB （SSS ）∴∠ABE =∠DEB （全等三角形对应角相等） ∴AB ∥DE11. 证明：如图，连接BDCD ABE F∵AB ∥CD ，AD ∥BC∴∠ABD =∠CDB ，∠ADB =∠CBD 在△ABD 和△CDB 中，ABD CDBBD DBADB CBD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已证）（公共边）（已证） ∴△ABD ≌△CDB （ASA ）∴AD =CB （全等三角形对应边相等） ∵E ，F 分别是AD ，BC 的中点 ∴DE =BF在△BED 和△DFB 中，DE BF ADB CBDBD DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（已证）（公共边） ∴△BED ≌△DFB （SAS ）∴BE =DF （全等三角形对应边相等） 12. 证明：如图，在△DAE 和△ABF 中AD BA DAE B AE BF =⎧⎪=⎨⎪=⎩（已知）∠∠（已知）（已知） ∴△DAE ≌△ABF （SAS ）∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等） ∵∠DAB =90° ∴∠2+∠3=90° ∴∠1+∠3=90° ∴∠AGD =90° ∴DE ⊥AF 13. B 14. ②③④CDA B E F ABCDEF G第7题图312。

全等三角形六种辅助线方法及例题全等三角形是初中数学中一个非常重要的概念，掌握全等三角形的判定方法和辅助线方法对于解题至关重要。

本文将介绍全等三角形的六种辅助线方法，并结合例题进行详细讲解。

一、辅助线法1.等角分线法：将三角形内角的平分线相互交点构成的点与三角形的另外一个顶点相连，得到一条辅助线。

这条辅助线将三角形分成两个等角的小三角形，从而得到相似或全等三角形。

2.中线法：将三角形任意两边的中点相连，得到三角形的中线。

相等的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。

3.高线法：将三角形内任意一条边的垂线向另外两边引出，得到三角形的高线。

相等的高线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。

4.角平分线法：将三角形内角的平分线相互交点构成的点相连，得到三角形的角平分线。

相等的角平分线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。

5.角平分线中垂线法：将三角形内角的平分线的中垂线相互交点构成的点相连，得到三角形的角平分线中垂线。

相等的角平分线中垂线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。

6.外心连线法：将三角形外接圆心与三角形三个顶点分别相连，得到三条辅助线。

这三条辅助线相等，将三角形分成三个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。

二、例题解析1.已知△ABC，点D,E分别为BC,AB边上的中点，连接AD，BE相交于点F，求证：△DEF≌△ABC。

解析：由题意可知，△ABC是由两个等腰三角形组成的，因此可使用中线法证明两个三角形的全等。

由于D，E分别是BC,AB边上的中点，因此DE是AC中线，即DE=1/2AC；同理，AE是BC中线，AF=1/2BC。

因此，△ADB和△AEC是等腰三角形，且AD=EC，AB=AB，∠BAC=∠BAC，因此△ADB≌△AEC。

又因为DE是AC中线，BF是AE中线，因此DE=1/2AC，BF=1/2AE。