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B
A
C
1.连结AC
D
2.连结BD
构造全等三角形
构造两个等腰三角形
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3
Ⅰ.连结
典例2:如图,AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,AM⊥CD,
求证:点M是CD的中点.
连结AC、AD
A
构造全等三角形
B
E
C MD
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4
Ⅰ.连结
典例3:如图,AB=AC,BD=CD, M、N分别是BD、CD
2.如图,△ABC中,∠A=90o, D在AB的垂直平分线上, E在AC的垂直平分线上.若BC=6cm,求△ADE的周长.
AD+AE+DE
A
=BD+CE+DE
=BC
B
D
E
C
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17
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”
3.如图,A、A1关于OM对称, A、A2关于ON对称.
若A1
A 2
F
过点E作EF⊥BC
构造了: 全等的直角三角形且距离相等 C
思考: 你从本题中还能得到哪些结论?
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A E D
10
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
典例4:如图,OC 平分∠AOB, ∠DOE +∠DPE =180o,
求证: PD=PE.
A
过点P作PF⊥OA,PG ⊥OB
F
构造了:
D
全等的直角三角形且距离相等
B
A
E
DF
15
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“角平分线性质”
1.如图,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分∠CAB DE⊥AB.若AB=6cm,则△DBE的周长是多少?
BE+BD+DE
C D
=BE+BD+CD
=BE+BC
A
B E
=BE+AC
=BE+AE
=AB
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16
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”
=AB+ BM+AM+6
=13+6
B
N
M
C
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19
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“等腰三角形性质”
5.如图, △ABC中，BP、CP是△ABC的角平分线，MN//BC. 若BC=6cm, △AMN周长为13cm，求△ABC的周长.
A
AB+AC+BC
=AM+ BM+AN+NC+6
=AM+ MP+AN+NP+6
在证明过程中描述添法
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7
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
典例1:如图,△ABC中, ∠C =90o,BC=10,BD=6, AD平分∠BAC,求点D到AB的距离.
A
过点D作DE⊥AB
B
构造了: 全等的直角三角形且距离相等
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E D
C
8
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
典例2:如图,△ABC中, ∠C =90o,AC=BC, AD平分∠BAC,求证:AB=AC+DC.
=6cm,求△ABC的周长.
AB+AC+BC
A1
M
=A 1
B+
A 2
C+BC
=A A
12
O
B A
N C
A2
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18
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”
4.如图, △ABC中，MN是AC的垂直平分线. 若AN=3cm, △ABM周长为13cm，求△ABC的周长.
AB+BC+AC
A
=AB+ BM+MC+6
的中点，求证：∠AMB＝ ∠ANC
连结AD
A
构造全等三角形
B
C
M
N
D
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5
Ⅰ.连结
典例4:如图,AB与CD交于O, 且AB=CD，AD=BC， OB=5cm，求OD的长.
连结BD
AC
构造全等三角形
O
D
B
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6
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
目的:构造直角三角形,得到距离相等 适用情况:图中已经存在一个点X和一条线MN 语言描述:过点X作XY⊥MN 注意点:双添---在图形上添虚线
O
思考: 你从本题中还能得到哪些结论?
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C P
G EB
11
Ⅲ.垂直平分线上点向两端连线段
目的:构造直角三角形,得到斜边相等
适用情况:图中已经存在一条线段MN 和垂直平分线上一个点X
语言描述:连结XM和XN
注意点:双添---在图形上添虚线 在证明过程中描述添法
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12
Ⅳ.中线延长一倍
A
过点D作DE⊥AB
构造了:
E
全等的直角三角形且距离相等
B D
思考: (1)若AB=15cm,则△BED的周长是多少? (2)能否用截长补短法，在AB上截取AE=AC？
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C
9
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
典例3:如图,梯形中, ∠A= ∠D =90o, B
BE、CE均是角平分线,
来自百度文库
求证:BC=AB+CD.
M
P
N
=AM+AN+MN+6
B
C
=13+6
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20
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专题学习
----几何证明中常见的
“添辅助线”方法 ----“周长问题”的转化
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1
Ⅰ.连结
目的:构造全等三角形或等腰三角形 适用情况:图中已经存在两个点—X和Y 语言描述:连结XY 注意点:双添---在图形上添虚线
在证明过程中描述添法
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2
Ⅰ.连结
典例1:如图,AB=AD,BC=DC,求证:∠B=∠D.
目的:构造直角三角形,得到斜边相等
适用情况:图中已经存在一条线段MN 和垂直平分线上一个点X
语言描述:连结XM和XN
注意点:双添---在图形上添虚线 在证明过程中描述添法
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13
Ⅳ.中线延长一倍
1.已知，如图AD是△ABC的中线，
求证 A： D 1(AB AC ) A 2
延长AD到点E，使DE=AD，
连结CE.
C B
D
思考：若AB=3,AC=5，求AD的取值范围？
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E
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Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
2.如图,梯形中, ∠A= ∠D =90o, BE、CE均是角平分线,
求证:BC=AB+CD.
延长BE和CD交于点F
构造了:
全等的直角三角形
C
思考: 你从本题中还能得到哪些结论?
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