五种辅助线助你证全等
姚全刚
在证明三角形全等时有时需添加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言往往是难点•下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们学习时参考.
一、截长补短
一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用
截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等.
例1.如图1，在△ ABC 中，/ ABC=60 ° , AD、CE 分别平分/ BAC、/ ACB .求证: AC=AE+CD .
分析：要证AC=AE+CD , AE、CD不在同一直线上.故在AC上截取AF=AE，则只要证明
CF=CD .
证明：在AC上截取AF=AE，连接OF.
•/ AD、CE 分别平分/ BAC、/ ACB，/ ABC=60 °
•••/ 1 + Z 2=60 ° ,A Z 4=Z 6= / 1 + Z 2=60 ° .
显然，△ AEO ◎△ AFO，•/ 5= / 4=60 ° ,•/ 7=180° — (/ 4+ / 5) =60 °
在厶DOC 与厶FOC 中，/ 6= / 7=60°，/ 2= / 3, OC=OC
•••△ DOC ◎△ FOC, CF=CD
• AC=AF+CF=AE+CD
截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等, 或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作
法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
例2:如图甲，AD// BC 点E在线段AB上，/ ADE=/CDE / DC=Z ECB 求证：
CD=AD F BC
思路分析：
1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。
2）解题思路：结论是CDAC+BC,可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CE，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。
解答过程：
证明：在CD上截取CF=BC如图乙
6 = CS
CE= CE
•••△ FCE^A BCE(SAS，
•••/ 2=Z 1。
又••• AD// BC
•••/ ADG-Z BCD：180°，
•••/ DC+Z CD=90°,
•••Z 2+Z 3=90°,Z 1 + Z 4=90°,
•••/ 3=Z 4。
在厶FDE与厶ADE中，
'“DE = SDE
DE = DE
Z3-Z4
•△ FDE^A ADE（ASA ,
•DF=DA
•/ CD=DF+CF,
•CD=AD F BC。
解题后的思考：遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长法或补短法：
截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；
补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
1）对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法将其放在一个三角形中证明。
2）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证明不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。
二、中线倍长
三角形问题中涉及中线（中点）时，将三角形中线延长一倍，构造全等三角形是常用的解题思路.
例3 •已知三角形的两边长分别为7和5，那么第三边上中线长X的取值范围是（）
分析：要求第三边上中线的取值范围，只有将将中线与两个已知边转移到同一个三角形
中，然后利用三角形的三边关系才能进行分析和判断.
解：如图2所示，设AB=7 , AC=5 , BC上中线AD=x • 延长AD至E,使DE = AD=x •
T AD是BC边上的中线，••• BD=CD
/ ADC= / EDB （对顶角）•△ ADC ◎△ EDB
• BE=AC=5
•••在△ ABE 中AB-BE V AE V AB+BE
即7-5 V 2x V 7+5 • 1 V x V 6
例4：已知在△ ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F,求证：AF=EF
提示：倍长AD至G,连接BG,证明△ BDG^A CDA 三角形BEG是等腰三角形
例5:已知：如图，在ABC中，AB 交AE于点F, DF=AC.
求证：AE平分BAC
提示：
方法1倍长AE至G，连结DG 方法2:倍长
FE至H，连结CH
例6:已知CD=AB，/ BDA= / BAD , AE 是厶ABD的中线，求证：/ C= / BAE
A
提示：倍长AE至F,连结DF ' 证明△ ABE^A FDE ( SAS 进而证明厶ADF^A ADC(SAS
AC，D、E 在BC上，且DE=EC 过D作
DF //BA
第1题图
久如图5, 2为厶ADCM 中绻求证’ AB+AC>2AE>fl
图5
队如图暫所示，AD 是△ABC 的中线* BE^ACTE,交AE 于F,且AE=EF ・ 求证！ AC=BF.
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5、分析：要证 AB+AC>2AD 由图想到：AB+BD>ADAC+CD>AD 所以有
由2AD 想到要构造2AD 即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去
I
AB+AC+BD+CD>AD+AD=2 BD+CD 故不能直接证出此题，而
