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《数值分析》课程教学大纲课程代码：090141031课程英文名称：Numerical Analysis课程总学时：64 讲课：64 实验：0 上机：0适用专业：信息与计算科学专业大纲编写（修订）时间：2010.07一、大纲使用说明（一）课程的地位及教学目标《数值分析》是为信息与计算科学专业学生开设的必修课。
在实验方法和理论方法之后，科学计算已成为科学研究的第三种方法。
学习和掌握计算机上常用的数值计算方法已成为现代科学教育的重要内容。
通过本课程的学习，使学生了解和掌握这门课程所涉及的各种常用的数值计算公式、数值方法的构造原理及适用范围，为今后用计算机去有效地解决实际问题打下基础。
通过本课程的学习，学生将达到以下要求：1.掌握数值计算的基本理论和基本方法，提高数学素养；2.具有运用Matlab等工具进行具有一定难度和复杂度的数值解运算的技能，提高应用计算机进行科学与工程计算的能力；3.树立正确的算法设计理念；4.了解数值计算方法的新发展。
（二）知识、能力及技能方面的基本要求1.知识方面的基本要求：掌握算法的基本原理和思想，包括算法的构造、算法处理的技巧、误差分析、收敛性和稳定性等基本理论。
2．基本理论和方法：误差与有效数字定义、函数插值与逼近的方法、积分与微分的数值计算方法、线性方程组的直接解法、线性方程组的迭代法、非线性方程根的求解方法、常微分方程初值问题的数值解法等3.基本能力：使用各种数值方法解决实际计算问题。
不仅要学会“怎样算”，而且必须做到“真会算”，即不仅要知道问题的解是存在的，还必须能求出具体的结果。
具有应用计算机进行科学与工程计算和解决实际问题的能力。
（三）实施说明1．教学方法：课堂讲授中要重点对算法的构造、算法处理技巧和误差分析的讲解；采用启发式教学，培养学生思考问题、分析问题和解决问题的能力；引导和鼓励学生通过实践和自学获取知识，培养学生的自学能力；增加讨论课，调动学生学习的主观能动性；讲课要联系实际并注重培养学生的创新能力。
迭代法
迭代法也叫辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法(或者称为一次解法)，即一次性解决问题。
对非线性方程，利用递推关系式，从开始依次计算，来逼近方程的根的方法，若仅与有关，即，则称此迭代法为单步迭代法，一般称为多步迭代法；对于线性方程组，由关系从开始依次计算来过近方程的解的方法。
若对某一正整数，当时，与k 无关，称该迭代法为定常迭代法，否则称之为非定常迭代法。
称所构造的序列为迭代序列。
求通项公式的方法（用迭代法）已知数列{An},a1=2,an=2a(n-1)-1(n>或=2）求通项公式
an=2a(n-1)-1 an-1=2(a(n-1)-1 ) n>或=2
所以an-1 为等比数列
an-1=(a1-1)*2^(n-1)
an-1=2^(n-1)
an=2^(n-1)+1
牛顿迭代法求开方
数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
方法使用函数的泰勒级数的前面几项来寻找方程的根。
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收
敛。
另外该方法广泛用于计算机编程中。
用迭代法求平方根
对于A>1,求其平方根可构造用如下公式迭代：
f(x)=(1/a)(x+a/x),a=A/(A-1),迭代初值x0=[√A]+1,[x]为x的取整.如想求70的平方根,可令初值x0=9.
对于A1,用如上方法求出平方根后,在成10^(-n),即得结果.。
6.2 一元方程的不动点迭代法6.2.1 不动点迭代法及其收敛性设一元函数()f x 是连续的,为了求一元非线性方程()0(7.1)f x =的实根,先将它转换成等价形式(),(7.2)k x x j = 其中()k x j 是一个连续函数.然后构造迭代公式1(),0,1,.k k x x k j +== (7.3)L对于给定的初始值0x ,若由此迭代公式生成的序列{}k x 的极限存在,*lim k k x x ®¥=,则有**()x x j =,即*x 满足(6.2),从而按等价性,*x 也是方程(6.1)的根。
迭代式(6.3)称为基本迭代法,()x j 称为迭代函数, *x 称为()x j 的不动点,(6.3)式也称为不动点迭代法.迭代过程中,1k x +仅由k x 决定,因此,这是一种单步法。
把(6.1)式转换成等价形式(6.2)的方法很多,迭代函数的不同选择对应不同的迭代法,它们的收敛性可能有很大的差异.当方程有多个解时,同一迭代法的不同初值,也可能收敛到不同的根.举例说明如下。
例6.4 求3()10f x x x =--=的一个实根.解 把()0f x =转换成两种等价形式312()()1,x x x x x j j ====-对应的迭代法分别为3111,0,1,.k k x x x k ++==-=L由于(1)1,(2)5f f =-=,即连续函数()f x 在区间[12]，内变号,从而[12]，为有根区间.取它的中点为初值,即令0 1.5,x =迭代结果列于表6-2.此方程有唯一实根* 1.32471795724475x =.显然,第一个迭代法收敛,第二个迭代法发散.表6-2k0 1 2 L 11 1()x j1.5 1.35720881 1.33086096 L 1.32471796 2()x j1.52.37500000 12.3964844 L ®+¥例 6.5 求2()20f x x =-=的根.解 把()0f x =转换成两种等价形式12()(),2x x x xj ==+ 对应的迭代法为112(),0,1,.2k k kx x k x +=+=L取初值01x =±,迭代结果分别收敛到*x =计算结果如表6-3所示表6-3k0 1 2 3 4 5 k x1 1.5 1.41666667 1.41421569 1.41421356 1.41421356 k x-1 -1.5 -1.41666667 -1.41421569 -1.41421356 -1.41421356由此可见,基本迭代法的收敛性质取决于迭代函数()x j 和初值0x 的选取.下面给出迭代法(6.3)的收敛性基本定理.定理6.1 设函数()x j 在闭区间[,]a b 上连续,并且满足(1) 对任意[,]x a b Î，有()[,];x a b j Î(2) 存在正数1,L <使对任意,[,],x y a b Î有 ()().x y L x y j j -£- (6.4)则对方程(6.2)有(1) 函数()x j 在闭区间[,]a b 上存在唯一的不动点*x ;(2) 对于任何初值0[,],x a b Î由迭代法(6.3)生成的序列{}k x 收敛到不动点*x ;(3) 有误差估计式*11k k k L x x x x L--£- -. (7.5) 证 令()()x x x y j =-,则由()[,]x a b j Î知,()0,()0a b y y £³.因为()x y 是连续函数,故它在[,]a b 上有零点,即()x j 在[,]a b 上有不动点*x .若()x j 在[,]a b 上有两个相异的不动点**12,,x x 则有 ********12121212()(),x x x x L x x x x j j -=-£-<-这是个矛盾式子,因此()x j 在[,]a b 上只有一个不动点.显然有[,],0,1,,k x a b k Î=L 进而****110()().k k k k x x x x L x x L x x j j ---=-£-££-L 从而*lim 0,k k x x ®¥-=即*lim .k x ®¥= 显然有111()()k k k k k k x x x x L x x j j +---=-£-，进而,对任何正整数p ,同理可得121111(1).k p k k p k p k k k kp k k x x x x x x x x LL x x +++-+++-+-£-++-+- £+++-L L 因为01L <<，从而110(1)1,k p k L L L L ¥--=-=>+++åL 11111k p k k k k k L x x x x x x L L++--£-£---. 令,p ®+¥由收敛性即得(6.5)式,定理得证.如果函数()x j 在(),a b 内可导,那么定理(6.1)中的条件(2)可用更强的条件'()1,(,)(7.6)x L x a b j £<"Î代替.事实上,若上式成立,则由微分中值定理，对任何,[,]x y a b Î都有()()'()()(),x y x y L x y j j j x -=-£-其中x 在x 于y 之间，从而条件（6.4）式成立。
§4.1 引 言绪论中讲到方程求根得二分法，但二分法收敛速度慢，有必要掌握新的方法。
§4.1.1迭代法的思想迭代法是一种逐次逼近法，使用某个固定公式（迭代公式）反复校正，逐步精确，直到满足精度。
迭代法求根分两步：1） 猜测初值 2）迭代如求解初值问题00')(),,(y x y y x f y ==用梯形公式111[(,)(,)2n n n n n n h y y f x y f x y +++≈++ （1） 看作关于1+n y 的函数方程，按欧拉公式提供猜测值),()0(1n n n n y x hf y y +=+，代入（1）得)],(),([2)0(11)1(1+++++=n n n n n n y x f y x f h y y 若)1(1+n y 仍不满足要求，则将它代入（1）式，继续得到校正值)2(1+n y ，写成迭代公式 )],(),([2)(11)1(1k n n n n n k n y x f y x f h y y ++++++= （2） 一般地，为了求一元非线性方程0)(=x f 的根，可以先将其转换为如下的等价形式()x x ϕ= （3）式（3）中连续函数()x ϕ称为迭代函数，其右端含未知数，不能直接求解。
先用根的某个猜测值0x 代入（3），构造迭代公式：()k k x x ϕ=+1。
如果迭代值k x 有极限，则称迭代收敛，极限值k k x x ∞→=lim *就是方程（3）的根。
几何意义P127图4-1为使迭代法有效，必须保证它的收敛行，()x ϕ满足什么条件，才能保证收敛？以最简单的线性迭代()d kx x +=ϕ，可以看出收敛的充分必要条件()1'<=k x ϕ。
几何意义P127图4-2,3,4,5。
§4.1.3 压缩映像原理设*x 是方程()x x ϕ=的根，则由微分中值定理 ))(()()(*'*1*k k k x x x x x x -=-=-+εϕϕϕ，如果存在10<≤L ，使得],[b a x ∈有()k k x x L x x L x -≤-⇒≤+*1*'ϕ，则迭代误差0e L e k k ≤，由于10<≤L ，故0→k e ，即迭代收敛。
