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计算方法3_线性方程组迭代解法线性方程组的迭代解法是解决线性方程组的一种常见方法，常用于大规模的线性方程组求解。
该方法通过不断迭代更新解的近似值，直到满足一定的收敛准则为止。
线性方程组的迭代解法有很多种，其中最经典的是雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和超松弛迭代法。
本文将分别介绍这三种迭代解法及其计算方法。
雅可比迭代法是一种比较简单的线性方程组迭代解法，它的基本思想是先将线性方程组转化为对角占优的形式，然后通过迭代求解逐渐接近精确解。
雅可比迭代法的迭代公式为：其中，x^(k+1)是第k+1次迭代的近似解，n是未知数的个数，a_ij 是系数矩阵A的元素，f_i是方程组的右端向量的元素。
雅可比迭代法的计算步骤如下：1.将线性方程组转化为对角占优的形式，即保证矩阵A的对角元素绝对值大于其它元素的绝对值。
2.初始化向量x^(0)，设定迭代终止准则。
3.根据雅可比迭代公式，计算x^(k+1)。
4.判断迭代终止准则是否满足，如果满足，则停止迭代，返回近似解x^(k+1)；否则，继续进行下一次迭代。
高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进方法，它的基本思想是在每次迭代计算x^(k+1)时，利用已经计算出的近似解作为x的一部分。
高斯-赛德尔迭代法的迭代公式为：其中，x^(k+1)_i是第k+1次迭代的近似解中第i个未知数的值，x^(k)_i是第k次迭代的近似解中第i个未知数的值。
高斯-赛德尔迭代法的计算步骤如下：1.将线性方程组转化为对角占优的形式。
2.初始化向量x^(0)，设定迭代终止准则。
3.根据高斯-赛德尔迭代公式，计算x^(k+1)。
4.判断迭代终止准则是否满足，如果满足，则停止迭代，返回近似解x^(k+1)；否则，继续进行下一次迭代。
超松弛迭代法是对高斯-赛德尔迭代法的一种改进方法，它引入了松弛因子ω，通过调整参数ω的值，可以加快迭代的收敛速度。
超松弛迭代法的迭代公式为：其中，0<ω<2，x^(k+1)_i是第k+1次迭代的近似解中第i个未知数的值，x^(k)_i是第k次迭代的近似解中第i个未知数的值。
线性方程组的迭代式求解方法迭代法解方程的基本原理1.概述把 Ax=b 改写成 x=Bx+f ，如果这一迭代格式收敛，对这个式子不断迭代计算就可以得到方程组的解。
道理很简单：对 x^{(k+1)}=bx^{(k)}+f 两边取极限，显然如果收敛，则最终得到的解满足 \lim_{k\rightarrow\infty } x^{(k)}=x^*=Bx^*+f ，从而必然满足原方程 Ax^*=b 。
迭代方法的本质在于这一次的输出可以当作下一次的输入，从而能够实现循环往复的求解，方法收敛时，计算次数越多越接近真实值。
2.收敛条件充要条件：迭代格式 x=Bx+f 收敛的充要条件是 \rho (B)<1充分条件： \Vert B\Vert <1即 \Vert B\Vert <1 \Rightarrow \rho(B)<1\Leftrightarrow 迭代收敛一、Jacobi迭代法怎样改写Ax=b ，从而进行迭代求解呢？一种最简单的迭代方法就是把第i行的 x_i 分离出来(假定 a_{ii} \ne 0 )：\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j=b_i\Rightarrow x_i=\frac{b_i-\sum_{j=1,j\ne i}^{n}a_{ij}x_j}{a_{ii}}\quad \\这就是Jacobi(雅可比)迭代法。
迭代格式给定x^{(0)}=\left[x_1^{(0)},x_2^{(0)},\cdots,x_n^{(0)}\rig ht]^T ，则Jacobi法的迭代格式（也称分量形式）为x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\left ( {b_i-\sum_{j=1,j\ne i}^{n}a_{ij}x_j^{(k)}}\right),\quadi=1,2,\cdots,n\\矩阵形式设 A=D-L-U。
Jacobi法的矩阵形式（也称向量形式）为x^{(k+1)}=B_Jx^{(k)}+D^{-1}b\\其中迭代矩阵 B_J=D^{-1}(L+U)收敛条件\begin{eqnarray} \left. \begin{array}{lll} \VertB_J\Vert <1 \\ A 严格对角占优\\ A, 2D-A对称正定\end{array} \right \} \end{eqnarray} \Rightarrow \rho (B_J)<1\Leftrightarrow 迭代收敛特别地，若 A 对称正定且为三对角，则 \rho^2(B_J)=\rho (B_G)<1 。
实验4 解线性方程组的迭代法一、稀疏矩阵的生成和运算实验内容：稀疏矩阵相关命令的熟悉。
实验要求：1、熟悉sparse、full、nnz、spy等命令的使用方法.（实验报告）注意：spy使用时要加上输入参数，直接运行spy会出现与本课程无关的结果。
2、了解sprand命令的用法。
3、熟悉speye、condest、normest、spdiags等命令的使用方法，并生成107阶的三对角矩阵：（实验报告）二、大型稀疏线性方程组的求解实验内容：用不同的迭代法求解n阶大型稀疏矩阵Ax=b（n=1e+4）。
实验要求：（1）数学问题的生成：(a)使用sprand命令生成，稀疏度0.001，并通过spy观察矩阵的结构；(b)运行PPT第21页的两段代码，分别生成A，运行结果有什么区别？注意：如果用稠密方式生成矩阵，可能会导致内存不够。
（2）增大矩阵阶数到1e+6，使用MATLAB自带的pcg与“\”运算，以及分别Gauss消去法、Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法分别求解以下Sx=b，看看运算时间对比：（实验报告）b为全1向量，S为以下代码所生成：m=1000,n=m*m;eone=ones(m,1);s=spdiags([-eone,8*eone,-eone],[-1,0,1],m,m);E=speye(m);a1=blkdiag(kron(E,s));a2=spdiags([ones(n,1)],[m],n,n);A=a1-a2-a2';注意：pcg命令只适用于对称正定矩阵三、病态的线性方程组的求解实验内容：考虑方程组Hx=b的求解，其中系数矩阵H为Hilbert矩阵，首先给定解（例如取为各个分量均为1）再计算出右端b的办法给出确定的问题。
实验要求：（1）设定n=6，分别用Gauss消去法、Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解方程组，其各自的结果如何？各方法的误差比较如何？（实验报告）（2）逐步增大问题的维数100、1000、3000，仍然用上述的方法来解它们，计算的结果如何？计算的结果说明了什么？（实验报告）。
