第三讲 几何之中位线(新)

平面几何中的中位线定理在平面几何中，中位线定理是一项重要的几何定理，它与三角形的中位线有关。

本文将介绍中位线定理的定义、推导及应用。

一、定义中位线是指一个三角形内连接一个顶点与对边中点的线段。

对于三角形ABC，连接顶点A与对边BC的中点D的线段AD称为三角形ABC的中位线。

二、中位线定理的推导为了证明中位线定理，我们首先定义一些相关的概念：- 定义1：三角形ABC的中位线AD与对边BC的交点为点E。

- 定义2：三角形ABC的中位线BE与对边AC的交点为点F。

- 定义3：三角形ABC的中位线CF与对边AB的交点为点G。

现在，我们来推导中位线定理：由于线段AD是三角形ABC的中位线，所以AD的中点为线段BC 的中点，即D是BC的中点。

根据线段分割定理，我们可以得到以下三个等式：1. BD = DC （D是BC的中点）2. AE = EC （E是AC的中点）3. AF = FB （F是AB的中点）我们将以上三个等式进行相加得到：BD + AE + AF = DC + EC + FB左侧的等式可以进一步简化：(BD + AF) + AE = (BC + FB) + EC由于BD + AF = BF，所以上述等式可以改写为：BF + AE = BC + EC同样地，我们也可以得到：CF + AG = AC + EAAD + BG = AB + FC接下来，我们将以上三个等式进行相加：(BF + CF) + (AE + AG) = (BC + AC) + (EC + EA)我们可以继续简化上述等式：BC + BE + AC + AE = BC + AC + EC + AE由于BC + AC = BA，AE + EC = AC，因此上述等式可以改写为：BA + BE = BA + AC经过化简，我们得到：BE = AC由此可见，中位线BE的长度等于对边AC的长度，即中位线定理得证。

三、中位线定理的应用中位线定理在实际问题中有着广泛的应用。

几何形的中位线和高线的性质和计算几何形是我们学习数学时经常遇到的一个重要概念。

在几何形中，中位线和高线是常被考察和应用的性质之一。

本文将介绍中位线和高线的概念及其性质，并提供一些计算的实例。

一、中位线的性质和计算中位线是指连接多边形两个相邻顶点之间的线段的中点的线段。

中位线的性质如下：1. 任何一条中位线都可以将多边形分成两个面积相等的部分。

这一性质可以通过数学证明或直观理解进行解释。

无论是正多边形还是不规则多边形，中位线所划分的两个部分的面积总是相等的。

这是因为中位线的中点恰好也是多边形重心的位置，重心是所有小三角形重心的连线的交点。

这就意味着通过中位线划分的两个部分形状相似，且它们的面积与它们边长的平方成正比。

2. 中位线的长度等于两个顶点间线段长度的一半。

这个性质可以通过中位线的定义直接得出。

由于中位线是连接两个相邻顶点的线段的中点，所以它一定等于两个顶点间线段长度的一半。

在实际计算中，如果已知多边形的顶点坐标，可以通过计算两点间距离的方法得到中位线的长度。

举例来说，对于一个三角形ABC，如果已知点A(1, 2)，点B(3, 4)，点C(5, 6)，我们可以先计算出边AB的中点D和边AC的中点E，然后通过计算线段DE的长度来得到中位线的长度。

二、高线的性质和计算高线是指从多边形的一个顶点向所在边的垂直线段。

高线的性质如下：1. 高线和所在边垂直相交。

这是高线最基本的性质，它与直角三角形的性质相似。

根据垂直的定义，高线和所在边的夹角一定是90度。

2. 任意两条高线交于多边形内部的点，且这一点到多边形各边的距离相等。

这个性质可以通过垂直的定义和等距离的定义进行证明。

由于各条高线都是从一个顶点开始向所在边作垂线，所以它们一定交于多边形的内部。

同时，交点到多边形各边的距离相等，即交点到多边形各边的最短距离相等。

在实际计算中，如果已知多边形的顶点坐标，可以通过计算两点间距离和垂足坐标的方法来计算高线的长度。

中位线非常讲解课前引入同学们好！今天我们所要学习的知识是初中几何的一个重要知识要点,可以这样说，正因为有了它,才使我们许多几何题目更富有趣味性和探究性，它就是我们要学习的三角形中位线。

希望同学们喜欢它，学好它。

新课讲解三角形的中位线1。

定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

如图1.在△ABC 中，点E ，F 分别是AB 、AC 的中点,则线段EF 就是ABC 的一条中位线。

图12。

定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.用符号语言表述为：如图1，在△ABC 中,点E ，F 分别是AB 、AC 的中点,则EF ∥BC ，并且12EF BC 。

3。

注意:（1）三角形的中位线与三角形的中线是两个不同的概念，三角形的中线是连结一个顶点与它对边中点的线段，而三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段。

显然，三角形的中位线与三角形的中线都是线段,一个三角形有三条中位线和三条中线。

（2）三角形中位线定理是证明两线段平行和线段的倍数关系的一个重要理论依据.这也即是三角形中位线定理的作用，在应用该定理时，应找出符合定理条件的基本图形.4.应用。

例1.如图2所示，在△ABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且BD=CE ，M ，N 分别是BE 、CD 的中点，过M 、N 的直线交AB 于P ，交AC 于点Q 。

求证：AP=AQ.图2 图3 分析:欲证AP=AQ,可考虑证明APQ AQP ∠=∠.根据题设条件，可取BC 的中点F ，连结FM ，FN,（如图3)则MF 、NF 分别是BCE 和BCD 的中位线.利用BD=CE 易证FM=FN,从而12∠=∠,由平行线的性质可知1,2APQ AQP ∠=∠∠=∠，于是APQ AQP ∠=∠成立，进而结论成立.证明：取BC 的中点F ，连结FM ，FN ，（如图3）由条件知：MF 、NF 分别是BCE 和BCD 的中位线所以FM ∥AC ，FN ∥BD ，11,22FM CE FN BD == 所以1,2APQ AQP ∠=∠∠=∠又因为BD=CE ，所以 FM=FN所以，12∠=∠，所以APQ AQP ∠=∠，所以 AP=AQ评注:若已知条件中又中点，常取某一边中点，构造三角形的中位线，运用三角形中位线性质定理得到某些线段相等或角相等.尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

中位线定理中位线是在三角形或梯形中一条特殊的线段，与其所在的三角形或梯形有着特殊的关系。

用途：平面几何线段间的关系。

一、中位线概念：(1)三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

注意：三角形有三条中位线。

(2)梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

注意：（1）梯形中位线不是连接两底中点，是连接两腰中点。

（2）三角形有三条中位线，而梯形的中位线是唯一的。

二、定理介绍：(1)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半。

推论1：过三角形一边的中点作另一边的平行线，必平分第三边。

(2)梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

推论2：过梯形一腰的中点，作底边的平行线，必平分另一腰。

推论3：梯形的面积等于它的中位线和高的积。

三、定理证明：1）三角形中位线定理证明已知△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 两边中点。

求证DE 平行于BC 且等于2BC .2)梯形中位线证明已知梯形ABCD ，E 为AB 的中点，F 为CD 的中点，连接EF ，求证：EF 平行两底且等于两底和的一半。

思考：试证明推论1、2/3四、定理应用：1）三角形中位线定理在初中几何中的应用：三角形中位线有两个方面的特性：（1）平行于第三边，这是位置关系（2）等于第三边的一半，这是数量关系。

就第一个特性而言，可以得到三角形中位线定理的逆定理（经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边）。

我们利用这两个特性，能证明（求解）许多几何问题，一下举例说明它的具体应用。

一）证明问题1、证明角相等关系例1、已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC=BD，E、F分别为AB、CD中点，点O为AC，BD的交点，M、N为EF与BD，AC的交点。

求证：OM=ON.例2、已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N分别为AD、BC的中点，EF⊥MN交AB于E，交CD于F，求证：∠AEF=∠DFE.2、证明线段的倍分关系以及相等关系例3、如图，已知平行四边形ABCD 中，BD 为对角线，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连接EF ，交BD 于点M 点。

三角形中位线的性质引言在几何学中，三角形是最基本的几何形状之一。

三角形有很多有趣的特性和性质，其中一个重要的性质是中位线。

本文将介绍三角形的中位线的性质，并且通过几何推导和实例演示来解释这些性质。

什么是三角形中位线？首先，我们需要了解中位线的定义。

在三角形ABC中，中位线是从三角形的每个顶点到对应对边的中点的线段。

triangletriangle在上图中，AD、BE和CF是三角形ABC的中位线，其中D、E和F分别是边BC、AC和AB的中点。

第一性质：中位线与边的关系首先，我们来看中位线与边的关系。

我们可以发现，三角形的每条中位线分割对应的边成为两个相等的线段。

证明这一性质，我们以中位线AD为例。

连接点D和B，我们可以得到三角形ADB。

由于D是边BC的中点，根据线段的性质，我们可以得出AD=BD。

同样地，以中位线BE和CF为例，我们可以得出BE=EC和CF=AF。

因此，三角形的每条中位线都能将对应的边分割成两个相等的线段。

第二性质：中位线的交点三角形的中位线是由三个中位线构成的。

我们可以证明这三条中位线相交于一个点，这个点被称为三角形的重心。

我们以中位线AD和BE的交点为例。

我们可以证明这个交点C，是边AB的中点。

连接点C和A，以及点C和B，我们可以得到三角形ACB。

我们知道，BC是中位线，所以C是边AB的中点。

同样地，我们也可以证明中位线AD和CF的交点，以及中位线BE和CF的交点分别是边AC和BC的中点。

因此，中位线的交点是三角形边的中点，也就是三角形的重心。

第三性质：重心的性质重心是一个非常有趣的点，它拥有一些特殊的性质。

首先，重心到三角形的每个顶点的距离相等。

也就是说，重心到顶点的距离是相等的。

我们可以通过几何推导来证明这一性质。

以重心为原点，我们可以使用向量的方法来推导这个等式。

假设三角形的重心是点G，顶点分别是A、B和C。

我们使用向量表示，AG=a，BG=b，CG=c。

根据重心定义，可以得到AG=(2/3)AD，BG=(2/3)BE和CG=(2/3)CF。