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巧构三角形的中位线解题
巧构三角形的中位线解题是一种解决几何问题方法，即在一个三
角形中由三条不同的边或一边上找到中位线，以解决相关问题。
巧构三角形的中位线解题分为几个步骤：
第一步：根据提供的给出的三条边或者一边的长度，画出三角形
的外观。
第二步：对半分开三个角，将其分成两个小三角形。
第三步：画出小三角形的中线，求出这两个小三角形的中心角度。
第四步：在三角形中心点画一条竖直线，使其顶点正好夹在两个
小三角形的中心线上。
这条竖直线就是巧构三角形的中位线了。
第五步：根据中位线解决相关问题。
巧构三角形的中位线解题是一种有效的解决平面几何问题的方法，它能帮你查找出三角形的中位线，从而解决相关问题。
它的使用方法
主要是根据三角形的长度大小，画出其外观，将它分为两个小三角形，求出小三角形的中心角度，再画出一条竖直线，使其顶点正好夹在两
个小三角形的中心线上，即可得到中位线。
典中点平行四边形专训5 构造中位线解题的五种常用方法◐名师点金◑三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置上的平行关系,二是数量上的倍分关系.因此,当题目中给出三角形两边的中点时,可以直接 连出中位线;当题目中给出一边的中点时,往往需要找另一边的中点,作出三角形的中位线。
典例剖析：如图,在△ABC 中,BD,CE 分别平分∠ABC,∠ACB,AM ⊥CE 于点M,AN ⊥BD 于点N.求证:MN=21(AB+AC-BC)解题秘方:图中不存在中点,但结论与三角形中位线定理很类似,因此应设法寻找中点,再构造三角形的中位线.要证明MN=21(AB+AC-BC),可找以MN 为中位线的三角形,故延长AM 交BC 于点F,延长AN 交BC 于点G,易证明2MN=FG,而FG=BC+FC-BC.又易证明BG=AB,FC=AC,故问题得解。
方法1：连接两点构造三角形的中位线1.如图,点B 为AC 上一点,分别以AB,BC 为边在AC 同侧作等边△ABD 和等边△BCE,点P,M,N 分别为AC,AD,CE 的中点。
(1)求证PM=PN ；(2)求∠MPN 的度数。
方法2：已知角平分线及垂直构造中位线2.如图,在△ABC 中,点M 为BC 的中点,AD 为△ABC 的外角平分线,且AD ⊥BD.若AB=12,AC=18,求DM 的长。
3.如图,在△ABC 中,已知AB=6,AC=10,AD 平分∠BAC,BD ⊥AD 于点D,点E 为BC 的中点，求DE 的长。
方法3：倍长法构造三角形的中位线4.如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,BA=BC ，△BEF 为等腰直角三角形,∠BEF=90°,M 为AF 的中点， 求证ME=21CF方法4：已知两边中点,取第三边中点构造三角形的中位线5. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,CA=CB,E,F 分别为CA,CB 上一点,CE=CF,M,N 分别为AF 、BE 的中点， 求证AE=2MN方法5：已知一边中点推理得出另一边中点再取第三边中点构造三角形的中位线6.如图,在△ABC 中,AB=AC,AD ⊥BC 于点D,点P 是AD 的中点,连接BP 并延长交AC 于点N ，求证AN=31AC。
A BCD E F “中位线定理复习课（一）”导学提纲一、复习目标1.系统掌握中位线的知识点；2.会用三角形中位线定理和梯形中位线定理解决相关问题；3.在复习过程中体现转化数学思想，提高综合分析问题解决问题的能力，发展数学思维。
二、复习的重点和难点1.重点：合理利用中位线的性质解决问题；2.难点：中位线与其他知识点的综合运用。
三、复习过程（一）知识回顾（课前准备）1.如图（1-1）所示的三脚架，各横木之间互相平行，且PA=AE=BE,PD=DF=FC ，若EF=40cm,则AD= cm,BC= cm 。
图（1-1） 图（1-2） 2.若梯形的面积为30cm 2,高为5cm,梯形的中位线为 cm 。
通过1、2题的解答，你回忆出哪些有关中位线的知识？请结合图形回答。
3.如图（1-2）,杨伯家小院子的四棵小树 E 、F 、G 、H 刚好在其四边形院子ABCD 各边的中点上，若在四边形 EFGH 种上小草，①这块草地是什么形状 ；②当四边形院子ABCD 的对角线 时，草地是菱形； ③当四边形院子ABCD 的对角线 时，草地是矩形； ④当四边形院子ABCD 的对角线 时，草地是正方形。
4.如图（1-3）所示，DE 为中位线，则 ∽ ，相似比为 ，面积比为 ；如图（1-4）所示，DE 、EF 为中位线，则 为平行四边形， ≌ ； 如图（1-5）所示，DE 、EF 、DF 为中位线，则 ≌ ≌ ≌ 。
5.如图（1-6）所示梯形，FE 为中位线,回顾梯形中位线的证明，做出辅助线，则EF 就转化为 的中位线 ，且 ≌ ，若梯形面积为a ，则ΔAEF 的面积为 。
图（1-3） 图（1-4） 图（1-5）图(1-6)（二）小组合作，交流展示，知识整合。
（三）应用规律，巩固提高（迅速口答）：1.若顺次连接四边形四边中点所得的四边形是菱形，则原四边形一定是等腰梯形，你认为正确吗？为什么？2.如图(3-1),直角梯形的中位线为a ，一腰长为b ，这个腰与底边所成的角是30°，则它的面积是 。
如何构造三角形中位线作者：***来源：《中学生数理化·八年级数学人教版》2020年第04期三角形的中位线定理，是一个很有价值的定理，解题时若遇到中点，它是必须被联想到的定理之一.但是，在题目中往往只知道一个中点，而另一个中点未知，需要同学们根据题目的特点去寻找.下面，就向大家介绍几种构造中位线的方法，供参考.一、连接两点构造中位线例1 如图1.已知△ABC.分别以AB，AC为边向外作两个等边三角形ABM和ACN.D，E，F分别是MB.BC，CN的中点，连接DE、EF。
求证：DE=EF证明：连接CM，BN，如图2.△ABM和△ACN是等边三角形，易证△MAC≌△BAN（边角边）.∴MC=BN.∵D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，∴DE=1/2MC，EF=1/2BN，从而DE=EF.二、用“角平分线+垂直”构造中位线例2 已知M为△ABC的边BC的中点.AB=12，AC=18.BD⊥AD于D，连接MD.（1）如图3，若AD为∠BAC的平分线，求MD的长：（2）如图4，若AD为△ABC的外角的平分线，求MD的长，解：（）如图5.延长BD交AC于E.∵AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD，∴BD=DE，AE=AB=12.∴CE=AC-AE=18-12=6.又∵M为BC的中点，∴MD是△BCE的中位线，MD=3.（2）延长BD，CA交于E，如图6.仿（1），CE=AC+AE=AC+AB=30，∴MD=CE2=15.三、倍长法构造中位线例3 如图7.在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC.△BEF为等腰直角三角形，如何构造三角形中位线吉林省长春市解放大路学校王翰琛三角形的中位线定理，是一个很有价值的定理，解题時若遇到中点，它是必须被联想到的定理之一.但是，在题目中往往只知道一个中点，而另一个中点未知，需要同学们根据题目的特点去寻找.下面，就向大家介绍几种构造中位线的方法，供参考.一、连接两点构造中位线例1 如图1.已知△ABC.分别以AB，AC为边向外作两个等边三角形ABM和ACN.D，E，F分别是MB.BC，CN的中点，连接DE、EF。
专题18 构造三角形中位线的常用技巧（解析版）专题典例剖析及针对训练类型一 连接两中点构造中位线典例1如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，F 、G 为BC 上的两点，FG ＝3，线段DG ，EF 的交点为O ，当线段FG 在线段BC 上移动时，三角形FGO 的面积与四边ADOE 的面积之和恒为定值，则这个定值是（ ）A ．15B ．12C ．9D ．6思路指引：连接DE ，过A 作AH ⊥BC 于H ．由于DE 是AB 、AC 的中点，利用三角形中位线定理可得DE ∥BC ，并且可知△ADE 的高等于12AH ，再结合等腰三角形三线合一性质，以及勾股定理可求AH ，那么△ADE 的面积就可求．而所求S △FOG +S 四边形ADOE ＝S △ADE +S △DOE +S △FOG ，又因为△DOE 和△FOG 的底相等，高之和等于AH 的一半，故它们的面积和可求，从而可以得到S △FOG +S 四边形ADOE 的面积．解：如图：连接DE ，过A 向BC 作垂线，H 为垂足，∵△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE ，AH 分别是△ABC 的中位线和高，BH ＝CH =12BC =12×6＝3，∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，由勾股定理得AH ==4，∴S △ADE =12BC •AH 2=12×3×42=3，设△DOE 的高为a ，△FOG 的高为b ，则a +b =AH 2=2，∴S △DOE +S △FOG =12DE •a +12FG •b =12×3（a +b ）=12×3×2＝3，∴三角形FGO 的面积与四边ADOE 的面积之和恒为定值，则这个定值是S △ADE +S △DOE +S △FOG ＝3+3＝6．故选：D ．方法点睛：本题属中等难度题目，涉及到三角形中位线定理，解答此类题目时一般只要知道中点要作中位线，已知等腰三角形要作高线，利用勾股定理解答．针对训练1．如图，△ABC 的中线BD ，CE 相交于点0，F ，G 分别是BO ，CO 的中点，求证：EF ∥DG 且EF ＝DG ．解：连接ED ，FG .证四边形DEFG 是平行四边形，∴EF ∥DG 且EF ＝DG ．类型二 连接第三边构造中位线典例2（2022秋•泰山区校级期末）如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，连接AE ，EF ，G ，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ．若∠B ＝45°，BC ＝GH 的最小值为（ ）ABC DGF E DC B AABDE F G思路指引：连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH=12AF，求出AF的最小值即可解决问题．解：连接AF，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=∵G，H分别为AE，EF的中点，∴GH是△AEF的中位线，∴GH=12 AF，当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB＝90°，∵∠B＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF==∴GH=即GH故选：D．方法点睛：本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．针对训练1．（2021秋•孟津县期末）如图所示，已知四边形ABCD，R、P分别是DC、BC上的点，点E、F分别是AP、RP的中点，当点P在边BC上从点B向点C移动，且点R从点D向点C移动时，那么下列结论成立的是（ ）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减少C ．线段EF 的长不变D ．△ABP 和△CRP 的面积和不变思路指引：连接AR ，根据三角形的中位线定理可得EF =12AR ，根据AR 的变化情况即可判断．解：连接AR ，∵E ，F 分别是AP ，RP 的中点，∴EF =12AR ，∵当点P 在BC 上从点C 向点B 移动，点R 从点D 向点C 移动时，AR 的长度逐渐增大，∴线段EF 的长逐渐增大．S △ABP +S △CRP =12BC •（AB +CR ）．∵CR 随着点R 的运动而减小，∴△ABP 和△CRP 的面积和逐渐减小．观察选项，只有选项A 符合题意．故选：A ．方法点睛：此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 典例3 如图，点B 为AC 上一点，分别以AB ，BC 为边在AC 同侧作等边△ABD 和等边△BCE ，点P ，M ，N 分别为AC ，AD ，CE 的中点．（1）求证：PM ＝PN ；（2）求∠MPN 的度数．思路指引：（1）连接DC和AE，AE交CD于点M，证明△ABE≌△DBC，得到AE＝DC，利用中位线的性质证明PM＝PN；（2）根据中位线的性质把∠MPA+∠NPC转化成∠MCA+∠MAC，根据∠DMA＝∠MCA+∠MAC可知求出∠DMA度数即可．解：（1）连接DC和AE，AE交CD于点M，在△ABE和△DBC中，AB=BD∠ABE=∠DBCBE=BC∴△ABE≌△DBC（SAS）．∴AE＝DC．∵P为AC中点，N为EC中点，AE．∴PN=12DC．同理可得PM=12所以PM＝PN．（2）∵P为AC中点，N为EC中点，∴PN∥AE．∴∠NPC＝∠EAC．同理可得∠MPA＝∠DCA∴∠MPA+∠NPC＝∠EAC+∠DCA．又∠DQA＝∠EAC+∠DCA，∴∠MPA+∠NPC＝∠DQA．∵△ABE ≌△DBC ，∴∠QDB ＝∠BAQ ．∴∠DQA ＝∠DBA ＝60°．∴∠MPA +∠NPC ＝60°．∴∠MPN ＝180°﹣60°＝120°．方法点睛：本题主要考查全等三角形的判定和性质、中位线的性质、等边三角形的性质，解题的关键是找到“手拉手”全等模型．针对训练1.如图，分别以△ABC 的边AB ，AC 同时向外作等腰直角三角形，其中AB ＝AE ，AC ＝AD ，∠BAE ＝∠CAD ＝90°，点G 为BC 的中点，点F 为BE 的中点，点H 为CD 的中点．探索GF 与GH 的数量关系及位置关系，并说明理由．解：连接BD ，CE ，易证△ABD ≌△AEC ，∴BD ＝ CE ，易证BD ⊥CE .由中位线性质可得GF ＝GH ，GF ⊥GH .类型三 取中点构造中位线（1）直接取一边中点典例4（2022春•武昌区期中）如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BD 为AC 边上的高，E 为BC 边的中点，点F 在AB 边上，∠EDF ＝60°，若AF ＝2，BF =103，则BC 边的长为（ ）HG FEDCB AAB CDEFG HA ．163BCD 思路指引：过点D 作DM ⊥AB ，垂足为M ，取AB 的中点H ，连接EH ，DH ，根据已知可求出AB =163，先在Rt △ABD 中求出AD ，AH 的长，从而可得△ADH 是等边三角形，进而可得AD ＝DH ，∠ADH ＝∠AHD ＝60°，然后利用利用等腰三角形的三线合一性质求出AM 的长，从而求出DM ，DF 的长，最后证明手拉手模型﹣旋转型全等△ADF ≌△HDE ，从而利用全等三角形的性质可得DE ＝DF 进而利用直角三角形斜边上的中线，即可解答．解：过点D 作DM ⊥AB ，垂足为M ，取AB 的中点H ，连接EH ，DH ，∵AF ＝2，BF =103，∴AB ＝AF +BF =163，∵BD ⊥AC ，∴∠ADB ＝∠CDB ＝90°，∵∠A ＝60°，∴∠ABD ＝90°﹣∠A ＝30°，∴AD =12AB =83，∵点H 是AB 的中点，∴AH ＝BH =12AB =83，∴AD ＝AH ，∴△ADH 是等边三角形，∴AD ＝DH ，∠ADH ＝∠AHD ＝60°，∴AM＝MH=12AH=43，∴DM=∵AF＝2，∴MF＝AF﹣AM＝2―43=23，∴DF∵点H是AB的中点，点E是BC的中点，∴EH是△ABC的中位线，∴EH∥AC，∴∠DHE＝∠ADH＝60°，∴∠ADH＝∠A＝60°，∵∠EDF＝∠ADH＝60°，∴∠ADH﹣∠FDH＝∠EDF﹣∠FDH，∴∠ADF＝∠HDE，∴△ADF≌△HDE（ASA），∴DE＝DF=∵∠CDB＝90°，∴BC＝2DE=故选：D．方法点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．针对训练1．（2022•长春一模）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，点E是CD的中点，点F是OA的中点，连结EF，则线段EF的长为 ．思路指引：取AD的中点M，连接FM，EM，构造三角形中位线，利用三角形中位线定理分别求得FM、EM的长度；然后利用勾股定理求得EF的长度．解：如图，取AD的中点M，连接FM，EM，∵点E是CD的中点，∴EM是△ACD的中位线．∴EM∥AC，EM=12AC＝4．同理，FM∥BD，FM=12OD=14BD＝3．在菱形ABCD中，AC⊥BD，则FM⊥ME．故在直角△EFM中，由勾股定理得到：EF5．故答案是：5．方法点睛：本题主要考查了菱形的性质和三角形中位线定理，解题过程中，巧妙地作出辅助线，利用三角形中位线定理求得直角三角形的两直角边的长度．（2）连接对角线，再取对角线中点典例5（2021秋•龙岗区校级期末）如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC 和EF的关系是（ ）A．AD+BC＞2EF B．AD+BC≥2EF C．AD+BC＜2EF D．AD+BC≤2EF思路指引：连接AC，取AC的中点G，连接EF，EG，GF，根据三角形中位线定理求出EG=12BC，GF=12AD ，再利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，即可得出AD ，BC 和EF 的关系．解：如图，取AC 的中点G ，连接EF ，EG ，GF ，∵E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，∴EG ，GF 分别是△ABC 和△ACD 的中位线，∴EG =12BC ，GF =12AD ，在△EGF 中，由三角形三边关系得EG +GF ＞EF ，即12BC +12AD ＞EF ，∴AD +BC ＞2EF ，当AD ∥BC 时，点E 、F 、G 在同一条直线上，∴AD +BC ＝2EF ，所以四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，则AD ，BC 和EF 的关系是AD +BC ≥2EF ．故选：B ．方法点睛：此题主要考查学生对三角形中位线定理和三角形三边关系的灵活运用，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．针对训练1．如图，在□ABCD 中，E 是CD 中点，F 是AE 的中点，FC 交BE 于点G（1）求证：GF ＝GC（2）求证：BG ＝3EG解：（1）取BE 的中点M ，∵FM ＝21AB ，∴FM //EC ，∴四边形 FMCE 为平行四边形，∴GF ＝GC（2）易证EG ＝MG ，∴EM ＝MB ，∴BG ＝3EG类型四 延长一边构造中位线典例6（2022秋•江北区校级期末）如图，在正方形ABCD 中，点E ，G 分别在AD ，BC 边上，且AE ＝3DE ，BG ＝CG ，连接BE 、CE ，EF 平分∠BEC ，过点C 作CF ⊥EF 于点F ，连接GF ，若正方形的边长为4，则GF 的长度是（ ）A B ．2C D 思路指引：延长CF 交BE 于H ，利用已知条件证明△HEF ≌△CEF （ASA ），然后利用全等三角形的性质证明GF =12BH ，最后利用勾股定理即可求解．解：延长CF 交BE 于H ，∵EF 平分∠BEC ，∴∠HEF ＝∠CEF ，∵CF ⊥EF ，∴∠HFE ＝∠CFE ，在△HEF 和△CEF 中，∠HEF =∠CEF EF =EF ∠HFE =∠CFE，∴△HEF ≌△CEF （ASA ），∴HF ＝CF ，EH ＝EC ，而BG ＝CG ，∴GF =12BH ，∵AE ＝3DE ，正方形的边长为4，∴AE ＝3，AB ＝CD ＝4，DE ＝1，在Rt △ABE 中，BE =5，在Rt △CDE 中，CE ＝HE ==∴BH ＝BE ﹣HE ＝5―∴GF =12BH 故选：C ．方法点睛：此题主要考查了全等三角形的性质与判定，也利用了正方形的性质，三角形的中位线的性质，有一定的综合性，对于学生的能力要求比较高．针对训练1．（2022•合肥一模）如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E 是BC 中点，AD ⊥BD ，AC ＝7，AB ＝4，则DE 的值为（ ）A ．1B ．2C ．12D ．32思路指引：延长BD 交AC 于H ，证明△ADB ≌△ADH ，根据全等三角形的性质得到AH ＝AB ＝4，BD ＝DH ，根据三角形中位线定理计算即可．解：延长BD 交AC 于H ，在△ADB 和△ADH 中，∠BAD =∠HAD AD =AD ∠ADB =∠ADH，∴△ADB ≌△ADH （ASA ）．∴AH ＝AB ＝4，BD ＝DH ，∴HC ＝AC ﹣AH ＝3，∵BD ＝DH ，BE ＝EC ，∴DE =12HC =32，故选：D ．方法点睛：本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．类型五 延长两边构造中位线典例7（2022秋•封丘县校级期末）如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC ，D 是BC 的中点AE ⊥BE ，AB ＝5，AC ＝3，则DE 的长为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．52思路指引：连接BE 并延长交AC 的延长线于点F ，易证明△ABF 是等腰三角形，则得AF 的长，点E 是BF 的中点，求得CF 的长，从而DE 是中位线，即可求得DE 的长．解：连接BE 并延长交AC 的延长线于点F ，如图，∵AE ⊥BE ，∴∠AEB ＝∠AEF ＝90°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝∠FAE ，∴∠ABE ＝∠AFE ，∴△ABF 是等腰三角形，∴AF ＝AB ＝5，点E 是BF 的中点，∴CF ＝AF ﹣AC ＝5﹣3＝2，DE 是△BCF 的中位线，∴DE =12CF =1．故选：A ．方法点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的性质定理，关键是作辅助线得到等腰三角形．针对训练1．如图，AD 为△ABC 的外角平分线，且AD ⊥BD 、M 为BC 的中点，若AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长8．延长BD ，CA 交于点E ，易证AE ＝AB ，BD ＝ED ，∵BM ＝CM ，∴DM ＝21CE ＝21(AB ＋AC )＝15.类型六作平行线或倍长中线先构造8字全等再构造中位线典例7（2021秋•宛城区期中）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＞AB＞4，点D、E分别在边AB、AC上，BD＝4，CE＝3，取DE、BC的中点M、N，线段MN的长为（ ）A．2.5B．3C．4D．5思路指引：如图，作CH∥AB，连接DN，延长DN交CH于H，连接EH，首先证明CH＝BD，∠ECH＝90°，解直角三角形求出EH，利用三角形中位线定理即可解决问题．解：作CH∥AB，连接DN并延长交CH于H，连接EH，∵BD∥CH，∴∠B＝∠NCH，∠ECH+∠A＝180°，∵∠A＝90°，∴∠ECH＝∠A＝90°，在△DNB和△HNC中，∠B=∠NCHBN=CN，∠DNB=∠HNC∴△DNB≌△HNC（ASA），∴CH＝BD＝4，DN＝NH，在Rt△CEH中，CH＝4，CE＝3，∴EH=5，∵DM＝ME，DN＝NH，EH＝2.5，∴MN=12故选：A．方法点睛：本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．针对训练：如图，AB＝BC，DC＝DE，∠ABC＝∠CDE＝90°，D、B、C在一条直线上，F为AE的中点．（1）求证：BF∥CE；（2）若AB＝2，DE＝5，求BF的长．思路指引：（1）延长AB交CE于G，求出△ACG是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出AB＝BG，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半证明；（2）根据等腰直角三角形的性质求出CE、CG，再求出GE，然后求解即可．（1）证明：如图，延长AB交CE于G，∵AB＝BC，DC＝DE，∠ABC＝∠CDE＝90°，∴△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∴△ACG也是等腰直角三角形，∵∠ABC＝90°，∴BC⊥AG，∴AB＝BG，∵点F是AE的中点，∴BF是△AGE的中位线，∴BF∥CE；（2）解：∵AB ＝2，DE ＝5，∴CG ＝AC =＝CE =＝∴GE ＝CE ﹣CG ＝=∵BF 是△AGE 的中位线，∴BF =12GE方法点睛：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰直角三角形的判定与性质，熟记性质与定理并作辅助线构造出以BF 为中位线的三角形是解题的关键。
构造中位线巧解题在解答某些与中点有关的几何说理题时，若能根据题意巧妙地作出中位线，就会有出奇制胜的效果。
下面结合几道例题予以说明：一、说明角相等例1已知，如图1，四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，BA 、FE 的延长线相交于点M ，CD 、FE 的延长线相交于点N 。
试说明：∠AME ＝∠DNE 。
解：连结BD ，取BD 的中点O ，连结OE 、OF 。
易得EO ＝21AB 且EO ∥AB ，FO ＝21CD 且FO ∥CD 。
所以∠OEF ＝∠AME ，∠OFE ＝∠DNE ，又因为AB ＝CD ，所以EO ＝FO ，所以∠OEF ＝∠OFE ， 所以∠AME ＝∠DNE 二、说明线段相等例2 已知，如图2，四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝BD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，EF 分别交AC 、BD 于点M 、N 。
试说明：OM ＝ON 。
解：取AB 的中点P ，连结EP 、FP 。
易得EP ＝21BD 且EP ∥BD ，FP ＝21AC 且FP ∥AC 。
所以∠DNE ＝∠PEN ，∠CMF ＝∠PFM ， 又因为AC ＝BD ，所以PE ＝PF ，所以∠PEN ＝∠PFM ，所以∠DNE ＝∠CMF ， 所以OM ＝ON 。
三、说明面积相等例3 已知，如图3，△ABC 的中线AD 、BE 交于点G 。
试说明：S △ABG ＝S 四边形CEGD 解：连结DE ，易得DE ∥AB ， 所以S △ABE ＝S △ABD 。
又因为AD 是△ABC 的BC 边上的中线， 所以S △ABD ＝S △ACD ，OABF CDNM E图12D BCOE F MNP 图3B AEG2所以S △ABE ＝S △ACD 。
所以S △ABE －S △AEG ＝S △ACD －S △AEG ， 即S △ABG ＝S 四边形CEGD 。
三角形的中位线定理，是一个非常有价值的定理.它是一个遇到中点，必须联想到的重要定理之一。
但是，在解题时，往往只知道一个中点，而另一个中点就需要同学们,根据题目的特点，自己去寻找。
本文就向同学们介绍三种在不同条件下寻找中点的方法，供同学们学习时参考.一、知识回顾1、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。
2、梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半3、应用时注意的几个细节:①定理的使用前提：三角形或梯形。
②定理使用时,满足的具体条件：两条边的中点，且连接这两点，成一条线段。
③定理的结论：位置上：与第三边是平行的；与底是平行的(梯形）大小上：等于第三边的一半；等于两底和的一半(梯形).在应用时，要灵活选择结论。
4、梯形的中位线：中位线的2倍乘高再除以二就等于梯形的面积，用符号表示是L。
L=（a+b）÷2已知中位线长度和高,就能求出梯形的面积．S梯=2Lh÷2=Lh中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线.二、什么情况下该用中位线1、直接找线段的中点,应用中位线定理例1、小峰身高1.70m，眼睛距头顶8cm，直立在水平地面上照镜子．如果他想从竖直挂在墙上的平面镜里看到自己的脚，这面镜子的底边离地面的高度不应超过 cm2、利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理例2、如图3所示,在三角形ABC中，AD是三角形ABC∠BAC的角平分线,BD⊥AD，点D是垂足，点E 是边BC的中点,如果AB=6，AC=14，则DE的长为。
3、利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中位线定理例3、如图5所示，AB ∥CD ，BC ∥AD ，DE ⊥BE ，DF=EF ，甲从B 出发，沿着BA 、AD 、DF 的方向运动，乙B 出发，沿着BC 、CE 、EF 的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从B 出发，则谁先到达？总结:几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
构造中位线的基础主要包括以下几种方法：
1.连或找中点，得中位线。
这是构造中位线最直接的方法，如果在一个图形中已知某条线段的中点，那么可以通过连接中点来构造中位线。
2.连中点不得中位线时，另取中点。
如果直接连接中点并不能得到中位线，那么可以取另一条线段的中点，然后通过这个新取的中点和原来的中点来构造中位线。
3.在三角形中，可以利用角平分线加垂直来构造中位线。
这种方法适用于等腰三角形或直角三角形等特殊三角形。
4.已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线。
如果在一个三角形中已知某一边的中点，那么可以取另一条边上的中点，然后连接这两个中点来构造中位线。
5.已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线。
这种方法适用于知道三角形两边中点的情况下，通过取第三边的中点来构造中位线。
以上是构造中位线的一些基础方法，需要注意的是，在具体应用时需要根据不同的图形和条件选择合适的方法来构造中位线。
同时，还需要注意线段的平行性质和三角形的基本性质等几何原理的应用。
课题：中位线在解题中的应用——复习课班级 姓名【分层目标】1．能直接使用三角形中位线定理解决线段计算问题；（A 层） 2．能添加适当辅助线，构造使用中位线定理的条件；（B 层） 3．能使用中位线定理及其他相关知识解决综合性问题；（C 层） 【分层活动】活动一：回忆中位线的有关知识．(A 层) 1． 回答：(A 层)（1）如图1，为测量A 、B 两地间的距离，在地面上选一点C ，连接CA 、CB ，分别取CA 、CB的中点D 、E ．若DE 的长为25m ，则A 、B 两地间的距离为 m ．(A 层)（2）如图2，在△ABC 中，AB =BC ，BE 是AC 边上的高，D 是AB 边上的中点， DE 和BC 的关系是 ．(B 层) (3)如图3，在△AEC 中，21∠=∠,CD AD ⊥， F 为CE 中点，DF =AE =3，则AC 的长为 ． 2．归纳:(1)三角形中位线定义： ；(2)三角形中位线定理： .(3)几何语言:活动二：应用中位线定理解决问题．观察探究，完成证明和填空． 如图4，四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，顺次连接E 、F 、G 、H ，得到四边形EFGH 叫中点四边形．(B 层)1.求证：中点四边形EFGH 是平行四边形；(A 层)2.当四边形ABCD 当四边形ABCD 变成矩形时，它的中点四边形是 ； 当四边形ABCD 变成菱形时，它的中点四边形是 ； 当四边形ABCD 变成正方形时，它的中点四边形是 ； 3.归纳:根据以上观察探究，请你总结:(1)中点四边形的形状由原四边形 和 决定.(2)中点四边形的周长与原四边形对角线长的关系是 ;(3)中点四边形的内角与原四边形对角线的夹角关系是 . 活动三：能力提升．(C 层)如图5,△AOB 和△COD 中,OA=OB ,OC=OD ,COD AOB ∠=∠,连结AD 、BC; 点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、D A 的中点，顺次连接E 、F 、G 、H .(1)当点A 、O 、C 三点共线时，直接写出四边形EFGH 为 形．(2)如图6，当△COD 绕点O 旋转一定角度时，你在（1）中得到的结论是否成立？请说明理由.(3)当︒=∠=∠90COD AOB 时,请判断四边形EFGH 的形状为 形.请说明理由.【分层反馈】(A 层)1.一个三角形的周长是12cm ，则这个三角形各边中点围成的三角形的周长 .(B 层)2．四边形ABCD 中，对角线AC=BD=6, E 、F 、G 、H 分别是各边的中点，则四边形EFGH 的周长是（ ）．A ．6B ．8C ．10D ．12(C 层)3. 如图：四边形ABCD 中，AC =6，BD =8且AC ⊥BD,顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1；再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2……如此进行下去得到四边形A n B n C n D n .（1）四边形A 1B 1C 1D 1是 形； （2）写出四边形A 1B 1C 1D 1和四边形A 2B 2C 2D 2的面积 , ；（3）写出四边形A n B n C n D n 的面积 ； （4）求四边形A 5B 5C 5D 5的周长 .【归纳小结】 【分层作业】见分层作业卡图1图221FC DAE 图3 图5 图6 DE A C B D E ACBD E AC BC2B2A2D2D1C1B1A1D CA B H GF ED B A C图4分 层 作 业 卡班级 姓名（A 层）1．(1)三角形中位线定义： ； (2)三角形中位线定理： . (3)几何语言:2．四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，顺次连接E 、F 、G 、H ，得到四边形EFGH 叫3．顺次连结矩形四边的中点所得的四边形是（ ）A.矩形B.菱形C.正方形D.以上都不对4．如果四边形的对角线互相垂直，那么顺次连结四边形中点所得的四边形是（ ） A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.以上都不对5．如果顺次连结四边形各边中点组成的四边形是菱形，那么原来的四边形的对角线（ ） A.互相平分 B.互相垂直 C.相等 D.相等且互相平分 6．顺次连结下列各四边形中点所得的四边形是矩形的是（ ）. A ．梯形 B ．矩形 C ．平行四边形 D ．菱形或对角线互相垂直的四边形7．已知三角形的3条中位线分别为3cm 、4cm 、6cm ，则这个三角形的周长是（ ）. A ．3cm B ．26cm C ．24cm D ．65cm8．已知以一个三角形各边中点为顶点的三角形的周长为8cm ，则原三角形的周长为 cm 9．一个三角形的周长是22cm ，则这个三角形各边中点围成的三角形的周长 .10．已知三角形的3条中位线分别为3cm 、4cm 、5cm ，此三角形面积是 11．已知以一个三角形各边中点为顶点的三角形的面积为8，则原三角形的面积为 cm12.等腰三角形中，AB=AC ，D 、F 分别为BC 、EC 中点，AC=8，AE=3，求DF 的长。
人教版初中巧构三角形中位线解题三角形中位线有着重要的性质：三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的长的一半. 在解决与三角形有关的问题时，巧妙构建中位线，会对解题带来事半功倍的效果. 请看以下例子例1在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆交BC于D，E为AB上一点，且13AE AB=，连CE交AD于F.求证：AF=FD.证法1 如图1，过点D作CE的平行线，交AB于M.∵AB=AC，AB为半圆的直径，∴AD⊥BC,且BD=DC.∵DM//EC，∴BM=ME.即DM为△BEC的中位线.∵13AE AB=，∴BM=ME=AE.∴AF=FD.证法2 如图2，过点D作DN//AB，交EC于N.∵AB=AC，AB为半圆的直径，∴AD⊥BC,且BD=DC.∵DN//AB，∴EN=NC.即DN为△BEC的中位线.∴12DN BE=，∵1132AE AB BE==，∴DN=AE.又∵DN//AB，∴∠AEF=∠FND，∠F AE=∠FDN，∴△AEF≌△DNF.∴AF=FD.例2在△ABC中，M为BC的中点，∠B=2∠C，AD⊥BC于D,求证：12DM AB=.证法1 如图3，取AB的中点N，连MN、DN. ∵M为BC的中点，∴MN为△ABC的中位线.∴∠DMN=∠C.∵N为AB的中点，AD⊥BC，∴1.2 NB ND AB ==∴∠B=∠NDB.又∠NDB=∠DMN+∠DNM，∠NDB=∠B=2∠C，∴∠DMN=∠DNM.∴12DM DN AB==.证法2 如图4，取AC的中点N，连MN、DN. ∵M为BC的中点，∴MN为△ABC的中位线.∴∠NMC=∠B，12 MN AB=∵N为AC的中点，AD⊥BC，∴12DN NC AC==.∴∠C=∠NDC.又∠NMC=∠NDM+∠DNM，∠NMC=∠B=2∠C，∴∠NDM=∠DNM.∴12 DM MN AB==例3如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，E为AB的中点. 求证：CD=2CE.证法1如图5，取CD的中点F，连BF.∵BD=AB，DF=CF，∴BF是△ADC的中位线.∴BF//AC，且12 BF AC=∴∠CBF=∠ACB.∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.∴∠ABC =∠CBF.∵1,2BE AB=∴BE=BF又∵BC=BC,∴△BCE≌△BCF.∴CE=CF. ∴CD=2CE.证法2如图6，取AC的中点F，连BF.∵BD=AB，AF=CF，∴BF是△ADC的中位线.∴BF//AC，且12BF CD=.∵E为AB的中点，∴BE=AE，∵AB=AC，∴AE=AF又∠A=∠A，∴△ABF≌△ACE，得CE=BF. ∴CD=2CE.。
专训3构造三角形中位线的方法名师点金：三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置上的平行关系，二是数量上的倍分关系．因此，当题目中给出一个三角形两边的中点时，可以直接连接中点，构造三角形的中位线；当题目中给出一边的中点时，往往需要找另一边的中点，构造三角形的中位线．连接两点构造三角形的中位线1．如图，已知点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边三角形ABD 和等边三角形BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点．(1)求证：PM＝PN；(2)求∠MPN的度数．(第1题)利用角平分线和垂直构造三角形的中位线2．如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD，若AB＝12，AC＝18，求DM的长．(第2题)3．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，点E 为BC的中点，连接DE，求DE的长．(第3题)倍长法构造三角形的中位线4．如图，在△BEF ＝90°，M为AF(第已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线5．如图，在四边形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点．若AB＝10，CD＝8，求MN长度的取值范围．(第5题)已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点P 是AD 的中点，延长BP 交AC 于点N.求证：AN ＝13AC.(第6题)答案1．(1)证明：如图，连接CD ，AE.由三角形中位线定理可得PM12DC ，PN 12AE.∵△ABD 和△BCE 是等边三角形，∴AB ＝DB ，BE ＝BC ，∠ABD ＝∠EBC ＝60°.∴∠ABE ＝∠DBC.∴△ABE ≌△DBC.∴AE ＝DC. ∴PM ＝PN.(2)解：如图，设PM 交AE 于F ，PN 交DC 于G ，AE 交DC 于H ，由(1)知△ABE ≌△DBC ，∴∠BAE ＝∠BDC.∴∠AHD ＝∠ABD ＝60°. ∴∠FHG ＝120°.∵PN ∥AE ，PM ∥DC ，∴四边形PFHG 为平行四边形． ∴∠MPN ＝120°.(第1题)2．解：如图，延长BD ，CA 交于N.(第2题)∵AD 为△ABC 的外角平分线， ∴∠NAD ＝∠BAD. 又∵AD ⊥BD ，∴∠ADN ＝∠ADB ＝90°. 在△AND 和△ABD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠NAD ＝∠BAD ，AD ＝AD ，∠ADN ＝∠ADB ＝90°， ∴△AND ≌△ABD(ASA )． ∴DN ＝DB ，AN ＝AB. ∵M 为BC 的中点，∴DM 是△BCN 的中位线．∴DM ＝12NC ＝12(AN ＋AC)＝12(AB ＋AC)＝15.3．解：如图，延长BD 交AC 于点F.(第3题)∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠FAD. ∵BD ⊥AD ，∴∠ADB ＝∠ADF ＝90°. 又∵AD ＝AD ，∴△ADB ≌△ADF(ASA )． ∴AF ＝AB ＝6，BD ＝FD. ∵AC ＝10，∴CF ＝AC －AF ＝10－6＝4. ∵E 为BC 的中点，BD ＝FD ， ∴DE 是△∴DE ＝12CF 4．证明：(第∵EF ＝EN BF ＝BN. ∴∠BNF ∵△BEF 为等腰直角三角形，∠BEF ＝90°， ∴∠BFN ＝∴∠FBN ＝ABN ＝90°. 又∵∠FBA ＋∠CBF ＝90°， ∴∠CBF ＝∠ABN.在△BCF 和△BAN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝BN ，∠CBF ＝∠ABN ，BC ＝BA ， ∴△BCF ≌△BAN. ∴CF ＝AN.∴ME ＝12CF.5．解：如图．连接BD ，取BD 的中点P ，连接PM ，PN. ∵M 是AD 的中点，P 是BD 的中点， ∴PM 是△ABD 的中位线．∴PM ＝12AB ＝5.同理可得PN ＝12CD ＝4.在△PMN 中，∵PM －PN<MN<PM ＋PN ， ∴1<MN<9.(第5题)6．证明：E.∵AB ＝AC ， AD ⊥BC ，∴D 为BC 又∵H 为NC ∴DH 为△∴DH ∥BN. ∵HE ∥AD ，∴四边形∴HE ＝PD.又∵P 为AD ∴AP ＝PD.∴易证△APN 又∵NH ＝HC ∴AN ＝NH ＝(第6题)。
专训2常用构造中位线的五种方法名师点金：三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置上的平行关系，二是数量上的倍分关系．因此，当题目中给出三角形两边的中点时，可以直接连出中位线；当题目中给出一边的中点时，往往需要找另一边的中点，作出三角形的中位线．连接两点构造三角形的中位线1．如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点．(1)求证：PM＝PN；(2)求∠MPN的度数．(第1题)已知角平分线＋垂直构造中位线2．如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD，若AB ＝12，AC＝18，求DM的长．(第2题)3．如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，点E为BC的中点，求DE的长．(第3题)倍长法构造三角形的中位线4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M为AF的中点，求证：ME＝12CF.(第4题)已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线5．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，CA ＝CB ，E ，F 分别为CA ，CB 上一点，CE ＝CF ，M ，N 分别为AF ，BE 的中点，求证：AE ＝2MN .(第5题)已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点P 是AD 的中点，延长BP 交AC 于点N ，求证：AN ＝13A C.(第6题)答案1．(1)证明：如图，连接CD ，AE .由三角形中位线定理可得PM 平行且等于12CD ，PN 平行且等于12AE .∵△ABD 和△BCE 是等边三角形，∴AB ＝DB ，BE ＝BC ，∠ABD ＝∠CBE ＝60°，∴∠ABE＝∠DBC .∴△ABE ≌△DBC ， ∴AE ＝DC .∴PM ＝PN .(2)解：如图，设PM 交AE 于F ，PN 交CD 于G ，AE 交CD 于H ，AE 交BD 于Q .由(1)知△ABE ≌△DBC ，∴∠BAE ＝∠BDC .又∵∠DQH ＝∠BQA ， ∴∠AHD ＝∠ABD ＝60°， ∴∠FHG ＝120°.易证四边形PFHG 为平行四边形， ∴∠MPN ＝120°.(第1题)2．解：如图，延长BD ，CA 交于N .(第2题)由题易知∠NAD ＝∠BAD ，∠ADN ＝∠ADB ＝90°.又AD ＝AD ， ∴△AND ≌△ABD . ∴DN ＝DB ，AN ＝AB . 又∵M 为BC 的中点，∴DM 为△BNC 的中位线，∴DM ＝12NC ＝12(AN ＋AC )＝12(AB ＋AC )＝15.3．解：如图，延长BD 交AC 于点F ，(第3题)∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD .∵BD ⊥AD ，∴∠ADB ＝∠ADF ，又∵AD ＝AD ，∴△ADB ≌△ADF (ASA )． ∴AF ＝AB ＝6，BD ＝FD . ∵AC ＝10，∴CF ＝AC －AF ＝10－6＝4. ∵E 为BC 的中点，∴DE 是△BCF 的中位线． ∴DE ＝12CF ＝12×4＝2.4．证明：如图，延长FE 至N ，使EN ＝EF ，连接BN ，AN .易得ME ＝12AN .∵EF ＝EN ，∠BEF ＝90°，∴BE 垂直平分FN .∴BF ＝BN .∴∠BNF ＝∠BFN .∵△BEF 为等腰直角三角形，∠BEF ＝90°，∴∠BFN ＝45°.∴∠BNF ＝45°， ∴∠FBN ＝90°，即∠FBA ＋∠ABN ＝90°.又∵∠FBA ＋∠CBF ＝90°，∴∠CBF ＝∠ABN .在△BCF 和△BAN 中，⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝BN ，∠CBF ＝∠ABN ，BC ＝BA ，∴△BCF ≌△BAN .∴CF ＝AN .∴ME ＝12AN ＝12CF .(第4题)5．证明：如图，取AB 的中点H ，连接MH ，NH ，则MH ＝12BF ，NH ＝12AE .∵CE ＝CF ，CA ＝CB ，∴AE ＝BF .∴MH ＝NH .∵点M ，H ，N 分别为AF ，AB ，BE 的中点， ∴MH ∥BF ，NH ∥AE .∴∠AHM ＝∠ABC ，∠BHN ＝∠BAC . ∴∠MHN ＝180°－(∠AHM ＋∠BHN )＝180°－(∠ABC ＋∠BAC )＝90°. ∴NH ＝22MN . ∴AE ＝2NH ＝2×22MN ＝2MN . (第5题)(第6题)6．证明：如图，取NC 的中点H ，连接DH ，过点H 作HE ∥AD ，交BN 的延长线于E . ∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴D 为BC 的中点．又∵H 为NC 的中点，∴DH ∥BN .又∵PD ∥EH ，∴四边形PDHE 是平行四边形．∴HE ＝PD . 又∵P 为AD 的中点，∴AP ＝PD . ∴AP ＝EH ，易证△APN ≌△HEN ，∴AN ＝NH . ∴AN ＝NH ＝HC ，∴AN ＝13AC .。
构造中位线“遇中点找中点，联想中位线”是一个解题突破口，但在一般问题中，要应用中位线的性质时，往往需要作辅助线.下面介绍几种如何构造中位线的方法，供大家参考.一、连中点，构造三角形的中位线例1如图1，D、E、F分别是等边三角形ABC的边AB、BC、AC的中点，P为BC上任意一点，△DPM是等边三角形.连接FM.那么EP与FM相等吗？为什么？分析：由D、E、F是中点，想到连接中点，得到中位线DE、DF.这样就可以把EP、FM放到△DPE、△DMF中，进而推出它们全等使问题得以解决.解：连接DF、DE.因为D、E、F分别是等边三角形ABC的边AB、BC、AC的中点，所以DF∥BC，DF=12BC；DE∥AC,DE=12AC.所以四边形DECF是平行四边形. 所以∠C=∠EDF=60°.因为△ABC、△DPM是等边三角形，所以BC＝AC，DP＝DM，∠PDM＝60°.所以DF＝DE.因为∠EDP＝60°－∠PDF，∠FDM＝60°－∠PDF，所以∠EDP＝∠FDM.所以△DEP≌△DFM.所以EP＝FM.跟踪训练1如图2，四边形ABCD中，AC=BD，AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、CD的中点，MN交BD于点E、交AC于点F.OE与EF相等吗？为什么？二、找中点，构造三角形的中位线例2如图3，在四边形ABCD中，AB＝CD，M、N分别是BC、AD边的中点，延长BA、MN交于点F，延长CD交MF于点E.请说明∠1与∠2相等.分析：因为M、Ｎ分别是BC、AD的中点，若连接BD，取其中点G，再连接NG、MG,则NG∥AB，NG＝12AB，MG∥CD，MG＝12CD.这样把∠1与∠2通过中位线移到同一个等腰三角形ＧMＮ中，从而使问题得以解决.解：连接BD，取BD的中点G，连接NG、MG，则NG∥AB，NG＝12AB，MG∥CD，MG＝12CD.所以∠1＝∠GNM，∠2＝∠GMN.因为AB＝CD，所以NG＝MG.所以∠GNM＝∠GMN.所以∠1=∠2.跟踪训练2如图4，△ABC的一个外角平分线AE与过点C的直线互相垂直，垂足为点E，D为BC的中点，试说明：DE∥AB，且DE=12（AB+AC）答案1.解：取AD的中点Ｇ，连接GM、GN，得GM∥BD，GN∥AC，且GM＝12BD，GN＝12AC，因为AC＝BD，故GM＝GN，所以∠GMN＝∠GNM，又∠OEF＝∠GMN，∠OFE＝∠GNM，所以∠OEF＝∠OFE，所以OE＝OF．2.解：延长BA、CE相交于点F，由AE⊥CF，AE平分∠CAF，得EF＝EC，AF＝AC，又D是BC的中点，所以DE是△BCF的中位线，故有DE∥AB，且DE=12BF=12（AB+AC）．。
三角形的中位线定理，是一个非常有价值的定理。
它是一个遇到中点，必须联想到的重要定理之一。
但是，在解题时，往往只知道一个中点，而另一个中点就需要同学们，根据题目的特点，自己去寻找。
本文就向同学们介绍三种在不同条件下寻找中点的方法，供同学们学习时参考。
一、知识回顾
1、三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
2、梯形中位线定理
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半
3、应用时注意的几个细节：
①定理的使用前提：三角形或梯形。
②定理使用时，满足的具体条件：
两条边的中点，且连接这两点，成一条线段。
③定理的结论：
位置上：与第三边是平行的；与底是平行的（梯形）
大小上：等于第三边的一半；等于两底和的一半（梯形）。
在应用时，要灵活选择结论。
4、梯形的中位线：
中位线的2倍乘高再除以二就等于梯形的面积，用符号表示是L.
L=（a+b）÷2
已知中位线长度和高，就能求出梯形的面积．
S梯=2Lh÷2=Lh
中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线。
二、什么情况下该用中位线
1、直接找线段的中点，应用中位线定理
例1、小峰身高1.70m，眼睛距头顶8cm，直立在水平地面上照镜子．如果他想从竖直挂在墙上的平面镜里看到自己的脚，这面镜子的底边离地面的高度不应超过 cm
2、利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理
例2、如图3所示，在三角形ABC中，AD是三角形ABC∠BAC的角平分线，BD⊥AD，点D是垂足，点E是边BC 的中点，如果AB=6,AC=14，则DE的长为。
3、利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中位线定理
例3、如图5所示，AB ∥CD ，BC ∥AD ，DE ⊥BE ，DF=EF ，甲从B 出发，沿着BA 、AD 、DF 的方向运动，乙B 出发，沿着BC 、CE 、EF 的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从B 出发，则谁先到达？
总结：几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
三、中位线能带来什么
1、说明角相等
例1已知，如图，四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，BA 、FE 的
延长线相交于点M ，CD 、FE 的延长线相交于点N 。
试说明：∠AME ＝∠DNE 。
2、说明线段相等
例2 已知，如图，四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝BD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，EF 分别交AC 、BD 于点M 、N 。
试说明：OM ＝ON 。
例3：BD 、CE 分别是的△ABC 外角平分线，过A 作AF ⊥BD ，AG ⊥CE ，垂足分别是F 、G ，易证FG=
2
1
（AB+BC+AC ）。
（1）若BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线，FG 与△ABC 三边有怎样的数量关系？画出图形（图1）并说明理由； （2）若BD 、CE 分别是△ABC 的内角和外角平分线，FG 与△ABC 三边有怎样的数量关系？画出图形（图2）并说明理由．
A
B
F C D
N M E
D A
B
C
O
E F M
N
P
3、说明面积相等
例3 已知，如图3，△ABC 的中线AD 、BE 交于点G 。
试说明：S △ABG ＝S 四边形CEGD 。
4、说明线段垂直
例4 已知，如图4，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＋BC ＝AB ，M 是CD 的中点试说明：AM ⊥BM 。
总结：三角形中位线辅助线常用口诀
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。
三、本次课后作业：
1、已知三角形的三边为6、8、10,顺次连结各边中点，所得到的三角形的周长为多少？ 变形题：已知三角形的三边为a 、b 、c,顺次连结各边中点，所得到的三角形的周长为多少？
2、已知△ABC 中，D 为AB 的中点，E 为AC 上一点，AE=2CE ，CD ，BE 交于O 点，OE=2厘米。
求BO 的长。
3、已知△ABC 中，BD ，CE 分别是∠ABC ，∠ACB 的平分线，AH ⊥BD 于H ，AF ⊥CE 于F 。
若AB=14
B A
C
E
D G
图4
B
C
M
N
A D
厘米，AC=8厘米，BC=18厘米，求FH的长。
4、已知在△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于D，E，F，G分别是AB，BC，AC的中点。
求证：∠BFE=∠EGD。
5、在△ABC中，AH⊥BC于H，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点(如图2-62所示)。
求证：∠DEF=∠HFE。
