构造中位线巧解题

巧构三角形的中位线解题
巧构三角形的中位线解题是一种解决几何问题方法，即在一个三
角形中由三条不同的边或一边上找到中位线，以解决相关问题。

巧构三角形的中位线解题分为几个步骤：
第一步：根据提供的给出的三条边或者一边的长度，画出三角形
的外观。

第二步：对半分开三个角，将其分成两个小三角形。

第三步：画出小三角形的中线，求出这两个小三角形的中心角度。

第四步：在三角形中心点画一条竖直线，使其顶点正好夹在两个
小三角形的中心线上。

这条竖直线就是巧构三角形的中位线了。

第五步：根据中位线解决相关问题。

巧构三角形的中位线解题是一种有效的解决平面几何问题的方法，它能帮你查找出三角形的中位线，从而解决相关问题。

它的使用方法
主要是根据三角形的长度大小，画出其外观，将它分为两个小三角形，求出小三角形的中心角度，再画出一条竖直线，使其顶点正好夹在两
个小三角形的中心线上，即可得到中位线。

例析构造三角形中位线策略作者：***来源：《中学教学参考·理科版》2023年第11期［摘要］三角形中位线是一条重要的线段，在解题过程中构造三角形中位线将事半功倍，能使问题获得突破。

文章结合几个例题，探讨构造三角形中位线的策略，给学生一些启示。

［关键词］构造；三角形；中位线；初中数学［中图分类号］ G633.6 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-6058（2023）32-0020-03三角形中位线是一条重要的线段，三角形中位线定理是初中阶段学习的重要定理。

在解题过程中，构造三角形中位线，将事半功倍，能使问题获得突破。

本文结合几个例题，探讨构造三角形中位线的策略，给学生一些启示。

一、直接连接两边中点，构造三角形中位线如果图形中有两个及以上的线段中点，此时，应考虑使用三角形中位线，辅助线作法为直接连接两边的中点，找出这两边所在的三角形，利用三角形中位线定理解决问题。

［例1］如图1所示，在边长为4的等边[△ABC]中，[D]、[E]分别为[AB]、[BC]的中点，[EF⊥AC]于点[F]，[G]为[EF]的中点，连接[DG]；（1）求[EF]的长；（2）求[DG]的长。

分析：（1）如图2所示，连接[DE]，利用三角形中位线定理得[DE=2]，且[DE]∥[AC]，再解直角三角形[EFC]求得[EF]的长；（2）在直角三角形[DEG]中，利用勾股定理求得[DG]的长。

解：（1）如图2所示，连接[DE]，∵在边长为4的等边[△ABC]中，[D]、[E]分别为[AB]、[BC]的中点，∴[DE]是[△ABC]的中位线，∴[DE=2]，且[DE]∥[AC]，[BD=BE=EC=2]，∵[EF⊥AC]于点[F]，[∠C=60°]，∴[∠FEC=30°]，[∠DEF=∠EFC=90°]，∴[FC=12EC=1]，故[EF=22−12=3]。

（2）∵[G]为[EF]的中点，∴[EG=32]，∴[DG=DE2+EG2=22+322=192]。

典中点平行四边形专训5 构造中位线解题的五种常用方法◐名师点金◑三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置上的平行关系,二是数量上的倍分关系.因此,当题目中给出三角形两边的中点时,可以直接 连出中位线;当题目中给出一边的中点时,往往需要找另一边的中点,作出三角形的中位线。

典例剖析：如图,在△ABC 中,BD,CE 分别平分∠ABC,∠ACB,AM ⊥CE 于点M,AN ⊥BD 于点N.求证:MN=21(AB+AC-BC)解题秘方:图中不存在中点,但结论与三角形中位线定理很类似,因此应设法寻找中点,再构造三角形的中位线.要证明MN=21(AB+AC-BC),可找以MN 为中位线的三角形,故延长AM 交BC 于点F,延长AN 交BC 于点G,易证明2MN=FG,而FG=BC+FC-BC.又易证明BG=AB,FC=AC,故问题得解。

方法1：连接两点构造三角形的中位线1.如图,点B 为AC 上一点,分别以AB,BC 为边在AC 同侧作等边△ABD 和等边△BCE,点P,M,N 分别为AC,AD,CE 的中点。

(1)求证PM=PN ；(2)求∠MPN 的度数。

方法2：已知角平分线及垂直构造中位线2.如图,在△ABC 中,点M 为BC 的中点,AD 为△ABC 的外角平分线,且AD ⊥BD.若AB=12,AC=18,求DM 的长。

3.如图,在△ABC 中,已知AB=6,AC=10,AD 平分∠BAC,BD ⊥AD 于点D,点E 为BC 的中点，求DE 的长。

方法3：倍长法构造三角形的中位线4.如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,BA=BC ，△BEF 为等腰直角三角形,∠BEF=90°,M 为AF 的中点， 求证ME=21CF方法4：已知两边中点,取第三边中点构造三角形的中位线5. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,CA=CB,E,F 分别为CA,CB 上一点,CE=CF,M,N 分别为AF 、BE 的中点， 求证AE=2MN方法5：已知一边中点推理得出另一边中点再取第三边中点构造三角形的中位线6.如图,在△ABC 中,AB=AC,AD ⊥BC 于点D,点P 是AD 的中点,连接BP 并延长交AC 于点N ，求证AN=31AC。

构造中位线“遇中点找中点，联想中位线”是一个解题突破口，但在一般问题中，要应用中位线的性质时，往往需要作辅助线。

下面介绍几种如何构造中位线的方法，供大家参考。

一、连中点，构造三角形的中位线例1 如图1,D、E、F分别是等边三角形ABC的边AB、BC、AC的中点,P为BC上任意一点，△DPM是等边三角形.连接FM。

那么EP与FM相等吗？为什么？分析:由D、E、F是中点，想到连接中点，得到中位线DE、DF.这样就可以把EP、FM放到△DPE、△DMF中，进而推出它们全等使问题得以解决。

解：连接DF、DE.因为D、E、F分别是等边三角形ABC的边AB、BC、AC的中点，所以DF∥BC，DF=错误! BC；DE∥AC，DE=错误!AC.所以四边形DECF是平行四边形.所以∠C=∠EDF=60°。

因为△ABC、△DPM是等边三角形,所以BC＝AC，DP＝DM，∠PDM＝60°。

所以DF＝DE。

因为∠EDP＝60°－∠PDF，∠FDM＝60°－∠PDF，所以∠EDP＝∠FDM。

所以△DEP≌△DFM。

所以EP＝FM.跟踪训练1如图2，四边形ABCD中，AC=BD，AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、CD的中点，MN交BD于点E、交AC于点F。

OE与EF相等吗？为什么?二、找中点，构造三角形的中位线例2 如图3，在四边形ABCD中，AB＝CD，M、N分别是BC、AD边的中点,延长BA、MN 交于点F，延长CD交MF于点E。

请说明∠1与∠2相等.分析:因为M、Ｎ分别是BC、AD的中点，若连接BD，取其中点G,再连接NG、MG，则NG∥AB，NG＝错误!AB，MG∥CD，MG＝错误!CD。

这样把∠1与∠2通过中位线移到同一个等腰三角形ＧMＮ中,从而使问题得以解决.解:连接BD，取BD的中点G，连接NG、MG，则NG∥AB，NG＝错误!AB，MG∥CD，MG＝错误! CD。

构造三角形的中位线定理使用条件解题例析作者：孙中淼来源：《教育周报·教研版》2018年第22期三角形的中位线定理揭示了三角形中两条线段的位置关系和数量关系，利用它来解决几何证明题是行之有效的方法。

在解答与中点有关的几何题时，若能根据题意巧妙构造中位线定理使用条件，就会有出奇制胜的效果。

下面通过几道题说明之，以供参考。

一、没有第三边，添加第三边【例1】如图，点E、F、G、H分别是CD、BC、AB、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.证明：连接BD，∵E、F、分别是CD、BC的中点，∴EF∥BD，，又∵G、H分别是AB、DA的中点，∴GH∥BD，，∴，∴四边形EFGH是平行四边形.二、没有中位线，作出中位线【例2】已知，如图在，在□ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G.求证：GF=GC.证明：取BE的中点H，连接FH、CH，∵F是AE的中点，H是BE的中点，∴FH是三角形ABE的中位线，∴FH∥AB且，又∵点E是DC的中点，∴，又∵，∴.∴四边形EFHC 是平行四边形，∴GF=GC.三、同时作出中位线和第三边【例3】如图，同底边BC的△ABC与△DBC中，E、F、G、H分别是AB、AC、DB、DC的中点，求证：EH与FG互相平分.证明：连接EG、GH、FH、EF，∵点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，∴EF、GH分别是△ABC与△DBC的中位线，∴，，∴.∴四边形EGFH为平行四边形.∴EF 与GH互相平分.四、两边中有一边不全，补全两边【例4】如图，已知在△ABC中，E是AB的中点，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求证：（1）DE∥BC；（2）证明：延长AD交BC于F.（1）∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠FDC=90°.∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠FCD.在△ACD 与△FCD中，∠ADC=∠FDC， DC=DC，∠ACD=∠FCD，∴△ACD≌△FCD.∴AC=FC，AD=DF.又∵E为AB的中点，∴DE∥BF，即DE∥BC.（2）由（1）知AC=FC，，∴.总之，三角形的中位线定理是一个非常有价值的定理.它是一个遇到中点，必须联想到的重要定理，但是在解题时，往往只知道它的一部分，因此就需要同学们根据题目的特点自己去寻找，补全中位线定理的基本图形，解决问题，从而达到学习的目的.。

三角形的中位线定理，是一个非常有价值的定理。

它是一个遇到中点，必须联想到的重要定理之一。

但是，在解题时，往往只知道一个中点，而另一个中点就需要同学们，根据题目的特点，自己去寻找。

本文就向同学们介绍三种在不同条件下寻找中点的方法，供同学们学习时参考。

一、知识回顾1、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

2、梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半3、应用时注意的几个细节：①定理的使用前提：三角形或梯形。

②定理使用时，满足的具体条件：两条边的中点，且连接这两点，成一条线段。

③定理的结论：位置上：与第三边是平行的；与底是平行的（梯形）大小上：等于第三边的一半；等于两底和的一半（梯形）。

在应用时，要灵活选择结论。

4、梯形的中位线：中位线的2倍乘高再除以二就等于梯形的面积，用符号表示是L.L=（a+b）÷2已知中位线长度和高，就能求出梯形的面积．S梯=2Lh÷2=Lh中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线。

二、什么情况下该用中位线1、直接找线段的中点，应用中位线定理例1、小峰身高1.70m，眼睛距头顶8cm，直立在水平地面上照镜子．如果他想从竖直挂在墙上的平面镜里看到自己的脚，这面镜子的底边离地面的高度不应超过 cm2、利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理例2、如图3所示，在三角形ABC中，AD是三角形ABC∠BAC的角平分线，BD⊥AD，点D是垂足，点E是边BC 的中点，如果AB=6,AC=14，则DE的长为。

3、利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中位线定理例3、如图5所示，AB∥CD，BC∥AD ，DE⊥BE ，DF=EF，甲从B出发，沿着BA、AD、DF的方向运动，乙B出发，沿着BC、CE、EF的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从B出发，则谁先到达？总结：几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。

人教版初中巧构三角形中位线解题三角形中位线有着重要的性质：三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的长的一半. 在解决与三角形有关的问题时，巧妙构建中位线，会对解题带来事半功倍的效果. 请看以下例子例1在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆交BC于D，E为AB上一点，且13AE AB=，连CE交AD于F.求证：AF=FD.证法1 如图1，过点D作CE的平行线，交AB于M.∵AB=AC，AB为半圆的直径，∴AD⊥BC,且BD=DC.∵DM//EC，∴BM=ME.即DM为△BEC的中位线.∵13AE AB=，∴BM=ME=AE.∴AF=FD.证法2 如图2，过点D作DN//AB，交EC于N.∵AB=AC，AB为半圆的直径，∴AD⊥BC,且BD=DC.∵DN//AB，∴EN=NC.即DN为△BEC的中位线.∴12DN BE=，∵1132AE AB BE==，∴DN=AE.又∵DN//AB，∴∠AEF=∠FND，∠F AE=∠FDN，∴△AEF≌△DNF.∴AF=FD.例2在△ABC中，M为BC的中点，∠B=2∠C，AD⊥BC于D,求证：12DM AB=.证法1 如图3，取AB的中点N，连MN、DN. ∵M为BC的中点，∴MN为△ABC的中位线.∴∠DMN=∠C.∵N为AB的中点，AD⊥BC，∴1.2 NB ND AB ==∴∠B=∠NDB.又∠NDB=∠DMN+∠DNM，∠NDB=∠B=2∠C，∴∠DMN=∠DNM.∴12DM DN AB==.证法2 如图4，取AC的中点N，连MN、DN. ∵M为BC的中点，∴MN为△ABC的中位线.∴∠NMC=∠B，12 MN AB=∵N为AC的中点，AD⊥BC，∴12DN NC AC==.∴∠C=∠NDC.又∠NMC=∠NDM+∠DNM，∠NMC=∠B=2∠C，∴∠NDM=∠DNM.∴12 DM MN AB==例3如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，E为AB的中点. 求证：CD=2CE.证法1如图5，取CD的中点F，连BF.∵BD=AB，DF=CF，∴BF是△ADC的中位线.∴BF//AC，且12 BF AC=∴∠CBF=∠ACB.∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.∴∠ABC =∠CBF.∵1,2BE AB=∴BE=BF又∵BC=BC,∴△BCE≌△BCF.∴CE=CF. ∴CD=2CE.证法2如图6，取AC的中点F，连BF.∵BD=AB，AF=CF，∴BF是△ADC的中位线.∴BF//AC，且12BF CD=.∵E为AB的中点，∴BE=AE，∵AB=AC，∴AE=AF又∠A=∠A，∴△ABF≌△ACE，得CE=BF. ∴CD=2CE.。

巧用中线中位线解题
与投资市场熟知的技术指标不一样，中线中位线并非常见的技术指标，但是却成功地渗透到投资市场，凭借其准确的预测、精准的把握方式，令多少投资者获得了财富或者稳定的收益。

它了解行情的深层趋势和实质，不断挖掘投资价值，从而真正推动行情的发展。

简单的说，中线中位线是一种用于预测未来趋势的技术指标，主要通过在时间轴上绘制贴合过去数据点的趋势线，以及绘制或者估算未来时间轴上可能会出现的数据点，来指导我们把握市场行情。

在中线中位线的设计中，投资者需要跟踪并研究多条坐标线，以便有利趋势消失之前采取行动，而通过把握这几条线来获取投资机会，灵敏度提升，帮助投资者捕捉有效的市场信号。

此外，中线中位线的另一个优势便是较低的交易成本，代表着投资者可以在获取投资信息的过程中，把握资金更多样化，兼并利弊，较低的交易成本还能够节省投资者的金钱。

水之沉浮，交易市场的变化是不可预料的，而使用中线中位线作为投资指标，有助于投资者把握行情的发展趋势，降低投资风险，获取更多的可靠的投资信息，比较高效地获取财富，从而为投资者赢利。

「构造三角形中位线解题」 若条件中有线段的中点或角的平分线或等腰三角形，结论中有2倍或2
的关系等，可以构造出三角形中位线，使问题顺利解决。

1. 如图，在△ABC 中 ，BD 平分∠ABC ,CE 平分∠ACB ，且AM ⊥ BD 于M ，AN ⊥CE 于N ,连结MN ,求证：MN =
2
1(AB + AC -BC) 。

2. 如图，在△ABC 中 ，AC > AB ，D 点在AC 上 ,AB = CD ,E 和 F 分别上BC 、AD 的中点 ，连结EF 并延长 ，与BA 的延长线交于点G ，若∠EFC = 60,连结GD ， 判断△AGD 的形状，并说明理由 。

3. 如图，D 、E 、F 分别是等边△ABC 的边AB 、BC 、 AC 的中点 ，P 为BC 上任意一点 ，△DPM 为等边三角形 , 求证：EP = FM 。

4. 如图，已知平行四边形ABCD 中，BD 为对角线，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连接EF 交BD 于M 点 ， 求证：(1) BM = 4
1BD ，(2) ME = MF 。

5. 如图，在△ACB 和△AED 中，∠ACB = ∠AED = 90, AC = BC ,AE = DE ,点E 在△ACB 内。

若F 是BD 的中点，猜想EF 与CE 有怎样的数量关系？并说明理由 。

专训3构造三角形中位线的方法名师点金：三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置上的平行关系，二是数量上的倍分关系．因此，当题目中给出一个三角形两边的中点时，可以直接连接中点，构造三角形的中位线；当题目中给出一边的中点时，往往需要找另一边的中点，构造三角形的中位线．连接两点构造三角形的中位线1．如图，已知点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边三角形ABD 和等边三角形BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点．(1)求证：PM＝PN；(2)求∠MPN的度数．(第1题)利用角平分线和垂直构造三角形的中位线2．如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD，若AB＝12，AC＝18，求DM的长．(第2题)3．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，点E 为BC的中点，连接DE，求DE的长．(第3题)倍长法构造三角形的中位线4．如图，在△BEF ＝90°，M为AF(第已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线5．如图，在四边形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点．若AB＝10，CD＝8，求MN长度的取值范围．(第5题)已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点P 是AD 的中点，延长BP 交AC 于点N.求证：AN ＝13AC.(第6题)答案1．(1)证明：如图，连接CD ，AE.由三角形中位线定理可得PM12DC ，PN 12AE.∵△ABD 和△BCE 是等边三角形，∴AB ＝DB ，BE ＝BC ，∠ABD ＝∠EBC ＝60°.∴∠ABE ＝∠DBC.∴△ABE ≌△DBC.∴AE ＝DC. ∴PM ＝PN.(2)解：如图，设PM 交AE 于F ，PN 交DC 于G ，AE 交DC 于H ，由(1)知△ABE ≌△DBC ，∴∠BAE ＝∠BDC.∴∠AHD ＝∠ABD ＝60°. ∴∠FHG ＝120°.∵PN ∥AE ，PM ∥DC ，∴四边形PFHG 为平行四边形． ∴∠MPN ＝120°.(第1题)2．解：如图，延长BD ，CA 交于N.(第2题)∵AD 为△ABC 的外角平分线， ∴∠NAD ＝∠BAD. 又∵AD ⊥BD ，∴∠ADN ＝∠ADB ＝90°. 在△AND 和△ABD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠NAD ＝∠BAD ，AD ＝AD ，∠ADN ＝∠ADB ＝90°， ∴△AND ≌△ABD(ASA )． ∴DN ＝DB ，AN ＝AB. ∵M 为BC 的中点，∴DM 是△BCN 的中位线．∴DM ＝12NC ＝12(AN ＋AC)＝12(AB ＋AC)＝15.3．解：如图，延长BD 交AC 于点F.(第3题)∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠FAD. ∵BD ⊥AD ，∴∠ADB ＝∠ADF ＝90°. 又∵AD ＝AD ，∴△ADB ≌△ADF(ASA )． ∴AF ＝AB ＝6，BD ＝FD. ∵AC ＝10，∴CF ＝AC －AF ＝10－6＝4. ∵E 为BC 的中点，BD ＝FD ， ∴DE 是△∴DE ＝12CF 4．证明：(第∵EF ＝EN BF ＝BN. ∴∠BNF ∵△BEF 为等腰直角三角形，∠BEF ＝90°， ∴∠BFN ＝∴∠FBN ＝ABN ＝90°. 又∵∠FBA ＋∠CBF ＝90°， ∴∠CBF ＝∠ABN.在△BCF 和△BAN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝BN ，∠CBF ＝∠ABN ，BC ＝BA ， ∴△BCF ≌△BAN. ∴CF ＝AN.∴ME ＝12CF.5．解：如图．连接BD ，取BD 的中点P ，连接PM ，PN. ∵M 是AD 的中点，P 是BD 的中点， ∴PM 是△ABD 的中位线．∴PM ＝12AB ＝5.同理可得PN ＝12CD ＝4.在△PMN 中，∵PM －PN<MN<PM ＋PN ， ∴1<MN<9.(第5题)6．证明：E.∵AB ＝AC ， AD ⊥BC ，∴D 为BC 又∵H 为NC ∴DH 为△∴DH ∥BN. ∵HE ∥AD ，∴四边形∴HE ＝PD.又∵P 为AD ∴AP ＝PD.∴易证△APN 又∵NH ＝HC ∴AN ＝NH ＝(第6题)。

中考数学总复习《构造三角形中位线模型解题》专项提升练习题(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、三角形中位线的概念和性质1.连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三遍，且等于第三边的一半3.隐含中点的条件：等腰三角形三线合一（顶角的角平分线底边的中垂线），平行四边形对角线的交点。

例1.如图,点D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点,点F在DE的延长线上,CF∥BA,若BC=8,则EF=( ) A.4 B.8 C.5 D.3例2.如图,在四边形ABCD中,P是对角线BD的中点,E、F分别是AB、CD的中点,AD=BC,∠EPF=136°,则∠EFP的度数是( ) A.68° B.34° C.22° D.44°二、连接两点构造三角形的中位线例3.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=12,AD=5.点M、N分别为线段BC、AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),点E、F分别为DM、MN的中点,则EF的最大值是.4例4.如图1,已知点E ,F ,G ,H 分别是四边形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 的中点,根据以下思路可以证明四边形EFGH 是平行四边形:如图2,将图1中的点C 移动至与点E 重合的位置,F ,G ,H 仍是BC ,CD ,DA 的中点,求证:四边形CFGH 是平行四边形.三．已知角平分线+垂直构造中位线例5．如图，AD 为ABC 中BAC ∠的外角平分线，BD AD ⊥于D ，E 为BC 中点5DE =，3AC =则AB 长为（ ）A ．8.5B ．8C ．7.5D ．7例6.如图,在△ABC 中,∠ABC =90°,在边AC 上截取AD =AB ,连接BD ,过点A 作AE ⊥BD 于点E ,F 是边BC 的中点,连接EF.若AB =5,BC =12,求EF 的长度.例7.如图,在△ABC中,已知AB＝6,AC＝10,AD平分∠BAC,BD⊥AD于点D,点E为BC的中点,求DE的长.四．倍长法构造三角形的中位线例8.如图,在△ABC中,∠ABC＝90°,BA＝BC,△BEF为等腰直角三角形,∠BEF＝90°,M为AF的中点.求证ME＝12CF.例9.如图,在△ABC中,∠ABC＝90°,AB＝BC,BD⊥AC于点D,CE平分∠ACB,交AB于点E,交BD于点F.求证:(1)△BEF是等腰三角形；(2)BD＝12(BC＋BF)．五．已知一边中点,取另一边中点构造三角形的中位线例10.如图,四边形ABCD中,点E,F分别是边AB,CD的中点,且AD=6,BC=10,则线段EF的长可能为( )A.7B.8.5C.9D.10六．已知两边中点,取第三边中点构造三角形的中位线例11.如图，菱形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ．E ，F 分别是AD OC ，的中点，若1207BAD EF ∠=︒=，ABCD 的周长为（ ）A ．8B ．16C ．3D ．3例12.如图，已知四边形ABCD 中AC BD ⊥，AC=6，8BD =点E 、F 分别是边AD 、BC 的中点，连接EF ，则EF 的长是 __．强化训练题一．选择题1．如图 在△ABC 中 AB ＝4 BC ＝5 AC ＝8．点D E F 分别是相应边上的中点 则四边形DFEB 的周长等于（ ）A ．8B ．9C ．12D ．132．如图 △ABC 中 AB ＝AC ＝12 BC ＝10 AD 平分∠BAC 交BC 于点D 点E 为AC 的中点 连接DE 则△CDE 的周长为（ ）A ．11B ．17C ．18D ．163．如图 在ABC 中 45B ∠=︒ 60C ∠=︒ AD BC ⊥于点D 6BD = 若E F 分别为AB BC 的中点 则EF 的长为（ ）A 2B 6C 6D 34．如图 ABCD 的对角线AC BD 交于点O AE 平分BAD ∠交BC 于点E且60ADC ∠=︒ 12AB BC = 连接OE ．下列结论中不成立的是( )A ．30CAD ∠=︒B ．ABCD S AB AC =⋅ C ．OB AB =D ．14OE BC =5．如图 四边形ABCD 中 ∠B ＝90° AB ＝8 BC ＝6 点M 是对角线AC 的中点 点N 是AD 边的中点 连结BM MN 若BM ＝3MN 则线段CD 的长是（ ）A ．53B ．3C ．103D ．56．已知三角形三边长分别为7cm 8cm 9cm 作三条中位线组成一个新的三角形 同样方法作下去 一共做了五个新的三角形 则这五个新三角形的周长之和为（ ）A ．46.5cmB ．22.5cmC ．23.25cmD ．以上都不对7．如图 在ABC 中 AE 平分BAC ∠ BE AE ⊥于点E 点F 是BC 的中点 若10AB = 6AC = 则EF 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58.如图 在四边形ABCD 中 点E F 分别为AD DC 的中点 连接EB BF EF △EBF 的面积为 S 1 ．点G 为四边形ABCD 外一点 连接AG BG EG FG 使得AG ＝BC ∠GAB ＝∠ABC △EGF 的面积为 S 2 则 S 1 与 S 2 满足的关系是（ ）A ．S 1 = S 2B ．2 S 1 =3 S 2C ．3 S 1 =4 S 2D ．3 S 1 =2 S 29．如图 平行四边形ABCD 中 O 为对角线交点 DP 平分ADC ∠ CP 平分BCD ∠ 7AB = 10AD = 则OP 的长为（ ）A ．1.5B ．2C ．2.5D ．310.如图 ▱ABCD 的顶点A D 分别在直角∠MON 的两边OM ON 上运 动（不与点O 重合） ▱ABCD 的对角线AC BD 相交于点P 连接OP 若OP=5 则▱ABCD 的周长最小值是（ ）A ．20B ．25C ．10D ．15二 填空题11.如图 在平行四边形ABCD 中 E 是CD 的中点 F 是AE 的中点 CF 交BE 于点G 若BE ＝8 则GE ＝ ．12．如图 DE 为△ABC 的中位线 点F 在DE 上 且∠AFC 为直角 若AC ＝6cm BC ＝8cm 则DF 的长为 ．13.如图已知三角形纸片ABC第1次折叠使点B落在BC边上的点B'处折痕AD交BC于点D；第2次折叠使点A落在点D处折痕MN交AB'于点P．若12BC=则MP与MN的和是_________．14．如图在▱ABCD中AC是对角线∠ACD=90°点E是BC的中点AF平分∠BAC CF⊥AF于点F连接EF.已知AB=5BC=13则EF的长为.15．如图在Rt△ABC中∠ACB＝90°AC＝BC＝6 点D是AC边上的一点且AD＝2 以AD为直角边作等腰直角三角形ADE连接BE并取BE的中点F连接CF则CF的长为．16．如图 EF是△ABC的中位线 O是EF上一点且满足OE=2OF.则△ABC的面积与△AOC的面积之比为．17．如图□ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上点E在AB的延长线上 G为DE的中点连接CG．若AD=5 AB=CF=3 则CG的长为．三．解答题18.如图△ABC的中线BE CF相交于G且AB＝12 AC＝16 BC＝20 求GC的长．19．如图在平行四边形ABCD中对角线AC BD、相交于点O点E是边BC中点连接OE并延长至点F使EF OE、．连接BF CF(1)求证：四边形OBFC是平行四边形；(2)求证：OF CD∥．20．如图四边形ABCD为平行四边形 E为AD上的一点连接EB并延长使BF=BE 连接EC并延长使CG=CE连接FG H为FG的中点连接DH（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；（2）若CB=CE∠EBC=75°∠DCE=10°求∠DAB的度数.21.如图,点B为AC上一点,分别以AB,BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE,点P,M,N分别为AC,AD,CE的中点.(1)求证:PM＝PN;(2)求∠MPN的度数.22.如图,在△ABC中,AB＝AC,AD⊥BC于点D,点P是AD的中点,延长BP交AC于点N,求证:AN＝13AC.23．（1）如图1 在四边形ABCD中AB＝CD E F分别是AD BC的中点连接FE 并延长分别与BA CD的延长线交于点M N．求证：∠BME＝∠CNE；（提示：取BD的中点H连接FH HE作辅助线）（2）如图2 在△ABC中F是BC边的中点D是AC边上一点E是AD的中点直线FE交BA的延长线于点G若AB＝DC＝2 ∠FEC＝45°求FE的长度．24．【发现与证明】如图在四边形ABCD中 E F G H是各边中点对角线AC BD相交于点O I J是AC BD的中点连接EF EH HG GF EI GI EJ FJ IJ GJ IH.结论1：四边形EFGH是平行四边形；结论2：四边形EJGI是平行四边形；结论3：S四边形EFGH =12S四边形ABCD；……（1）请选择其中一个结论加以证明（只需证明一个结论）.（2）【探究与应用】（★温馨提示：以下问题可以直接使用上述结论）①如图1 在四边形ABCD中 F H分别为边AB DC的中点连结HF.已知AD=6 BC=4线段HF的取值范围是 .②如图2 在四边形ABCD中点E F G H分别是AB BC CD DA的中点连接EG FH交于点O EG=8cm FH=6cm ∠EOF=60°求S四边形ABCD.答案部分：例1.A ∵点D E 分别为△ABC 的边AB AC 的中点 ∴DE 是△ABC 的中位线 ∴DE ∥BC ,DE =12BC =4.∴DF ∥BC ∵DF ∥BC ,CF ∥BA∴四边形BCFD 是平行四边形 ∴DF =BC =8,∴EF =DF -DE =4.例2.C ∵P 是BD 的中点,E 是AB 的中点 ∴PE =12AD ,同理,PF =12BC ∵AD =BC ,∴PE =PF∴∠EFP =12×(180°-∠EPF )=22°. 故选C.例3.答案 6.5解：如图,连接DN DB∵点E F 分别为DM MN 的中点 ∴EF 是△MDN 的中位线 ∴EF =12DN当N与点B重合时,DN最大,此时EF的值最大∵∠A=90°,AB=12,AD=5∴DB=√AD2+AB2=13,∴EF的最大值为6.5 故答案为6.5.例4.证明如图,连接BD∵C,H分别是AB,DA的中点∴CH是△ABD的中位线BD∴CH∥BD,CH=12BD同理,FG∥BD,FG=12∴CH∥FG,CH=FG∴四边形CFGH是平行四边形.例5．D解：延长BD CA交于点F∠的外角平分线∵AD为ABC中BAC∴FAD BAD∠=∠∵BD AD⊥∴90∠=∠=︒ADF ADB在ABD△和AFD△中FAD BAD AD ADADF ADB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABD AFD △≌△ ∴AB AF = BD DF = 又E 为BC 中点 5DE = ∴210CF DE == 又3AC =∴7AF CF AC AB =-==． 故选：D ．例6.解： 在△ABC 中,∠ABC =90°,AB =5,BC =12 则AC =√AB 2+BC 2=√52+122=13 ∵AD =AB =5∴DC =AC -AD =13-5=8 ∵AD =AB ,AE ⊥BD ,∴BE =ED ∵BF =FC ,∴EF =12DC =4.解:如图,延长BD 交AC 于点F ,∵AD 平分∠BAC ,∴∠BAD ＝∠CAD .∵BD ⊥AD ∴∠ADB ＝∠ADF又∵AD ＝AD ,∴△ADB ≌△ADF (ASA ).∴AF ＝AB ＝6,BD ＝FD .∵AC ＝10,∴CF ＝AC －AF ＝10－6＝4.∵E 为BC 的中点,∴DE 是△BCF 的中位线.∴DE ＝12CF ＝12×4＝2.例8.证明:如图,延长FE 至N ,使EN ＝EF ,连接BN ,AN ,则ME ＝12AN . ∵EF ＝EN ,∠BEF ＝90°,∴BE 垂直平分FN . ∴BF ＝BN .∴∠BNF ＝∠BFN . ∵△BEF 为等腰直角三角形,∠BEF ＝90°,∴∠BFN ＝45°.∴∠BNF ＝45°. ∴∠FBN ＝90°,即∠FBA ＋∠ABN ＝90°.又∠FBA ＋∠CBF ＝90° ∴∠CBF ＝∠ABN .在△BCF 和△BAN 中,∵BF ＝BN ,∠CBF ＝∠ABN ,BC ＝BA∴△BCF ≌△BAN (SAS ).∴CF ＝AN .∴ME ＝12AN ＝12CF .例9.(1)证明:在△ABC 中,∵AB ＝BC ,∠ABC ＝90°,∴∠ACB ＝45°. ∵CE 平分∠ACB ,∴∠ECB ＝∠ACE ＝22.5°.∴∠BEF ＝∠CFD ＝∠BFE ＝67.5°.∴BE ＝BF ,即△BEF 是等腰三角形． (2)解:如图,延长AB 至点M ,使得BM ＝AB ,连结CM .易知D 是AC 的中点∴BD ∥MC ,BD ＝12MC .∴∠BFE ＝∠MCE .由(1)得∠BEF ＝∠BFE ,BE ＝BF ,∴∠BEF ＝∠MCE .∴ME ＝MC .∵BM ＝AB ＝BC ,∴BD ＝12MC ＝12ME ＝12(MB ＋BE )＝12(BC ＋BF )．例10.A 如图,连接BD ,取BD 的中点H ,连接HF ,HE∵点E ,H 分别是AB ,BD 的中点,∴EH 是△ABD 的中位线,∴EH =12AD =3 同理可得FH =12BC =5,∴EF ≤FH +EH =8,故选A .例11．B 解：取CD 的中点G 连接EG FG点E 为AD 的中点 点F 为OC 的中点12EG AC ∴=EG AC ∥ 12FG OD = //FG OD四边形ABCD 是菱形 120BAD ∠=︒AC BD ∴⊥ 60ADC ∠=︒ 1302ODC ADC ∠=∠=︒EG GF ∴⊥ AD DC AC ==设CD x = 则12EG x = 3FG 7EF =22213()()(7)2x ∴+= 解得4x =4CD ∴=∴菱形ABCD的周长为：44416CD=⨯=故选：B．例12解：如图取AB的中点G连接EG FG∵E F分别是边AD CB的中点∴EG BD∥且118422EG BD==⨯=FG AC且116322FG AC==⨯=∵AC BD⊥∴EG FG⊥∴2222435EF EG FG=++=．故答案为：5．强化训练题一．选择题1．如图在△ABC中AB＝4 BC＝5 AC＝8．点D E F分别是相应边上的中点则四边形DFEB的周长等于（）A．8 B．9 C．12 D．13解：∵点D F分别是AB AC的中点∴DF＝BC＝2.5同理EF＝AB＝2∴四边形DFEB的周长＝EF+FD+DB+BE＝9故选：B ．2．解：∵AB ＝AC AD 平分∠BAC ∴BD ＝DC ＝BC ＝5 ∵点E 为AC 的中点∴CE ＝AC ＝6 DE ＝AB ＝6 ∴△CDE 的周长＝CD +CE +DE ＝17 故选：B ． 3．A 解：45B ∠=︒ AD BC ⊥ABD ∴是等腰直角三角形 6AD BD ∴=60C ∠=︒30DAC ∴∠=︒12DC AC ∴=2233AD AC DC DC AC ∴-=36AC =22AC ∴=E F 分别为AB BC 的中点1122222EF AC ∴==⨯=故选：A ． 4．C解：四边形ABCD 是平行四边形60ABC ADC ∴∠=∠=︒ 120BAD ∠=︒AE 平分BAD ∠60BAE EAD ∴∠=∠=︒ABE ∴是等边三角形AE AB BE ∴==AB =12BC AE ∴=12BC90BAC ∴∠=︒30CAD ∴∠=︒ 故A 正确； AC AB ⊥∴ABCDSAB AC =⋅ 故B 正确AB =12BC OB =12BDBD BC >AB OB ∴≠ 故C 错误； CE BE = CO OA = OE ∴=12ABOE ∴=14BC 故D 正确． 故选：C ． 5．【答案】C6．已知三角形三边长分别为7cm 8cm 9cm 作三条中位线组成一个新的三角形 同样方法作下去 一共做了五个新的三角形 则这五个新三角形的周长之和为（ ） A ．46.5cmB ．22.5cmC ．23.25cmD ．以上都不对解：由△ABC 三边长分别为7cm 8cm 9cm 三条中位线组成一个新的三角形 可知新三角形与原三角形相似 相似比是1：2 即：后一个三角形的周长都是前一个三角形周长的∵原三角形的周长＝7+8+9＝24 ∴这个新三角形的周长＝×24＝12 ∴这个五个新三角形的周长之和＝24+×24+×24+×24+×24＝23.25故选：C ．7．A解：延长AC BE 交于点M∵AE 平分BAC ∠ BE AE ⊥∴90AEB AEM ∠=∠=︒ CAE BAE ∠=∠∵AE AE =∴ABE AME ≌∴10AB AM == BE EM =∵6AC =∴4CM AM AC =-=∵点F 是BC 的中点 BE EM =∴EF 为BCM 中位线 ∴122EF CM ==．故选：A ．8.【答案】A解：连接 AC∵∠GAB =∠ABC∴AG ∥BC .又 AG = BC可知四边形 AGBC 是平行四边形∴AC ∥BG点 E F 分别为 AD DC 的中点∴EF 是△ ADC 的中位线∴EF ∥AC∴ EF ∥BG .∴点 B 与点 G 到 EF 的距离相等△EBF 与△ EGF 是同底等高的关系∴ S △ EBF = S △ EGF 即S1=S2故选： A9．A解：如图 延长DP 交BC 于点F四边形ABCD 是平行四边形AD BC ∴∥ OD OB = 7AB CD == 10BC AD ==180ADC BCD ∴∠+∠=︒ ADF CFD ∠=∠ DP 平分ADC ∠ CP 平分BCD ∠ADF CDF ∠=∠∴ FCP DCP ∠=∠90CDP DCP ∴∠+∠=︒ CDF CFD ∠=∠7DC CF ∴== DP PF =OP ∴是DBF 的中位线()()111107 1.5222OP BF BC CF ∴==-=-= 故选：A ．10.解：如图 取 AD 的中点 H ,连接 PH , OH∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴AP = PC又∵点 H 是 AD 中点 LAOD =90°∴PH =- AB , OH =- AD∴OH + PH ≥ OP∴AB + AD ≥2OP∴四边形 ABCD 的周长最小值为20故选： A .二．填空题11.解：取 BE 的中点 M 连接 FM , CM∵F 为AE 的中点 M 为 BE 的中点∴MF =AB , FM // AB∵四边形 ABCD 是平行四边形∴DC = AB , DC // AB∵E 为 CD 的中点∴CE =DC∴ CE = FM , CE // FM .∴四边形 EFMC 是平行四边形∴EG = GM∵BM = EM = BE =x8=4∴ EG =x4=2故答案为：212.如图 DE 为△ABC 的中位线 点F 在DE 上 且∠AFC 为直角 若AC ＝6cmBC ＝8cm则DF 的长为 1cm ．解：∵DE 为△ABC 的中位线∴DE ＝BC ＝4（cm ）∵∠AFC 为直角 E 为AC 的中点∴FE ＝AC ＝3（cm ）∴DF ＝DE ﹣FE ＝1（cm ）故答案为：1cm ．13．6解：如图2 由折叠得：AM MD = MN AD ⊥ AD BC ⊥ 连接GD∴GN BC∥GN是AD的垂直平分线∴AG DG=∴GAD GDA∠=∠∵90GBD GAD GDB GDA∠+∠=︒=∠+∠∴GBD GDB∠=∠∴GB GD=∴AG BG=同理可得：AN CN=∴GN是ABC的中位线而12BC=∴162GN BC==∵PM GM=∴6 MP MN GM MN GN+=+==．故答案为：6．14.【答案】7215.解：延长AE BC交于点H∵△ADE是等腰直角三角形∴∠HAC＝45°AE＝AD＝2∴CH＝AC＝BC AH＝AC＝6∴EH＝AH﹣AE＝4∵BC＝CH BF＝FE∴FC＝EH＝2故答案为：2．16．【答案】3 （或3：1）】解： EF 是△ ABC 的中位线.. EF / BC , EF = BCOE =20F: OE =BC =BC设点 A 到 BC 的距离为 h则 S △ ABC = BC · h , S △ aoc =OE · h =BC · h =BC · h:△ ABC 的面积与△ AOC 的面积之比＝3:1.故选： D .17．【答案】52解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形∴AD = BC , CD = AB , DC / AB∵AD =5, AB = CF =3.∴CD =3, BC =5∴BF = BC + CF =8∵△ BEF 是等边三角形 G 为 DE 的中点∴BF = BE =8, DG = EG延长 CG 交 BE 于点 H∵DC / AB∴∠CDG=∠HEG在△ DCG 和△ EHG 中∠CDG=∠HEGDG = EG∠DGC =∠ EGH∴△ DCGR △ EHG ( ASA ).∴DC = EH , CG = HG∵ CD =3, BE =8∴HE =3, BH =5∵ LCBH =60°, BC = BH =5∴△CBH 是等边三角形∴CH = BC =5∴CG = CH =52故答案为：52三．解答题18．如图△ABC的中线BE CF相交于G且AB＝12 AC＝16 BC＝20 求GC的长．解：∵AB＝12 AC＝16 BC＝20∴AB2+AC2＝BC2∴△ABC是直角三角形∴∠A＝90°∵F是AB中点∴AF＝6∴CF＝＝＝2∵中线BE CF相交于G∴G是△ABC重心∴CG：GF＝2：1∴CG＝．19．(1)证明见解析(2)证明见解析（1）证明：∵点E是边BC中点∴BE CE=又∵EF OE=∴四边形OBFC是平行四边形；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形对角线AC BD、相交于点O ∴点O是BD的中点又∵点E是边BC中点∴OE是BCD△的中位线∴OE CD即OF CD∥．20．【答案】（1）证明：∵BF=BE CG=CE∴BC为△FEG的中位线FG∴BC//FG BC=12又∵H是FG的中点∴FH=1FG2∴BC=FH .又∵四边形ABCD是平行四边形∴AD//BC AD=BC∴AD//FH AD=FH∴四边形AFHD是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形∴∠DAB=∠DCB∵CE=CB∴∠BEC=∠EBC=75°∴∠BCE=180°−75°−75°=30°∴∠DCB=∠DCE+∠BCE=10°+30°=40°∴∠DAB=40° .21.解:(1)如图,连接CD,AE.由三角形中位线定理可得PM∥12CD,PN∥12AE.∵△ABD和△BCE是等边三角形,∴AB＝DB,BE＝BC,∠ABD＝∠CBE＝60°∴∠ABE＝∠DBC.∴△ABE≌△DBC,∴AE＝DC.∴PM＝PN.(2)如图,设PM交AE于F,PN交CD于G,AE交CD于H,AE交BD于Q.由(1)知△ABE≌△DBC,∴∠BAE ＝∠BDC.又∵∠DQH＝∠BQA,∴∠AHD＝∠ABD＝60°,∴∠FHG＝120°.22.证明:如图,取NC的中点H,连接DH过点H作HE∥AD,交BN的延长线于E.∵AB＝AC,AD⊥BC,∴D为BC的中点.∵H为NC的中点,∴DH∥BN.又∵PD∥EH,∴四边形PDHE是平行四边形.∴HE＝PD.∵P为AD的中点,∴AP＝PD. ∴AP＝EH.又∵HE∥AD,∴∠PAN＝∠EHN,∠APN＝∠HEN.∴△APN≌△HEN(ASA).∴AN＝NH. ∴AN＝NH＝HC. ∴AN＝13AC.23．（1）证明：连接BD取DB的中点H连接EH FH ∵E H分别是AD BD的中点∴EH∥AB EH＝AB∴∠BME＝∠HEF∵F H分别是BC BD的中点∴FH∥CD FH＝CD∴∠CNE＝∠HFE∵AB＝CD∴HE＝FH∴∠HEF＝∠HFE∴∠BME＝∠CNE；（2）连接BD取DB的中点H连接EH FH∵E F分别是AD BC的中点∴EH＝AB FH＝CD FH∥AC∴∠HFE＝∠FEC＝45°∵AB＝CD＝2∴HF＝HE＝1∴∠HEF＝∠HFE＝45°∴∠EHF＝180°﹣∠HFE﹣HEF＝90°∴．24．【答案】（1）解：结论1：四边形EFGH是平行四边形；证明：∵在四边形ABCD中 E F G H是各边中点∴EF为∆ABD的中位线∴EF∥BD EF=12BD同理可得GH∥BD GH=12BD∴GH∥EF GH=EF∴四边形EFGH是平行四边形；结论2：四边形EJGI是平行四边形；证明：∵E J G I分别为DA DB BC AC中点∴EJ为∆ABD的中位线∴EJ∥AB EJ=12AB同理可得IG∥AB IG=12AB∴EJ∥IG EJ=IG∴四边形EJGI是平行四边形；结论3：S四边形EFGH=12S四边形ABCD；证明：由结论1证明可得 EF=12BD GH=12BD∴∆AEF的高为∆ADB高的一半∆CHG的高为∆BCD高的一半∴S�AEF=14S�ADB S�CHG=14S�CDB同理：S�DEH=14S�DAC S�BFG=14S�BCA∴S四边形EFGH=S四边形ABCD−S�AEF−S�CHG−S�DEH−S�BFG=12S四边形ABCD；（2）解：①连接AC 取AC的中点E 连接FE HE∵点E F为AC AB的中点∴EF=12BC=2同理：EH=12AD=3第 31 页 共 31 页 ∴EH-EF<FH<EF+EH即1<EH<5故答案为：1<FH<5；②如图所示 连接EFGH 由结论1可得四边形EFGH 为平行四边形如图所示 过点E 作EM ∥FH 交GH 延长线于点M 过点G 作GN ⊥EM∵EF ∥GM EM ∥FH∴四边形FHME 为平行四边形∴FH=EM=6 ∠EOF=∠GEM=60° FE=HM∴∠EGN=30°∴EN=12EG =4∴GN =√EG 2−EN 2=4√3∴S �EGM =12EM ×GN =12√3由图可得S 四边形EFGH =S �EGM =12√3由结论3可得：S 四边形ABCD =2S 四边形EFGH =24√3.。

构造中位线“遇中点找中点，联想中位线”是一个解题突破口，但在一般问题中，要应用中位线的性质时，往往需要作辅助线.下面介绍几种如何构造中位线的方法，供大家参考.一、连中点，构造三角形的中位线例1 如图1，D 、E 、F 分别是等边三角形ABC 的边AB 、BC 、AC 的中点，P 为BC 上任意一点，△DPM 是等边三角形.连接FM.那么EP 与FM 相等吗？为什么？分析：由D 、E 、F 是中点，想到连接中点，得到中位线DE 、DF.这样就可以把EP 、FM 放到△DPE 、△DMF 中，进而推出它们全等使问题得以解决.解：连接DF 、DE.因为D 、E 、F 分别是等边三角形ABC 的边AB 、BC 、AC 的中点，所以DF ∥BC ，DF=12BC ；DE ∥AC,DE=12AC.所以四边形DECF 是平行四边形. 所以∠C=∠EDF=60°.因为△ABC 、△DPM 是等边三角形，所以BC ＝AC ，DP ＝DM ，∠PDM ＝60°.所以DF ＝DE.因为∠EDP ＝60°－∠PDF ，∠FDM ＝60°－∠PDF ，所以∠EDP ＝∠FDM.所以△DEP ≌△DFM.所以EP ＝FM.跟踪训练1 如图2，四边形ABCD 中，AC=BD ，AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、CD 的中点，MN 交BD 于点E 、交AC 于点F.OE 与EF 相等吗？为什么？二、找中点，构造三角形的中位线例2 如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，M 、N 分别是BC 、AD 边的中点，延长BA 、MN交于点F ，延长CD 交MF 于点E.请说明∠1与∠2相等.分析：因为M 、Ｎ分别是BC 、AD 的中点，若连接BD ，取其中点G ，再连接NG 、MG,则NG ∥AB ，NG ＝12 AB ，MG ∥CD ，MG ＝12CD.这样把∠1与∠2通过中位线移到同一个等腰三角形ＧM Ｎ中，从而使问题得以解决.解：连接BD ，取BD 的中点G ，连接NG 、MG ，则NG ∥AB ，NG ＝12 AB ，MG ∥CD ，MG ＝12CD. 所以∠1＝∠GNM ，∠2＝∠GMN.因为AB ＝CD ，所以NG ＝MG.所以∠GNM ＝∠GMN.所以∠1=∠2.跟踪训练2 如图4，△ABC 的一个外角平分线AE 与过点C 的直线互相垂直，垂足为点E ，D 为BC 的中点，试说明：DE ∥AB ，且DE=12（AB+AC ）答案1.解：取AD 的中点Ｇ，连接GM 、GN ，得GM ∥BD ，GN ∥AC ，且GM ＝12 BD ，GN ＝12AC ，因为AC ＝BD ，故GM ＝GN ，所以∠GMN ＝∠GNM ，又∠OEF ＝∠GMN ，∠OFE ＝∠GNM ，所以∠OEF ＝∠OFE ，所以OE ＝OF ．2.解：延长BA 、CE 相交于点F ，由AE ⊥CF ，AE 平分∠CAF ，得EF ＝EC ，AF ＝AC ，又D是BC 的中点，所以DE 是△BCF 的中位线，故有DE ∥AB ，且DE=12 BF=12（AB+AC ）．。

构造中位线“遇中点找中点，联想中位线”是一个解题突破口，但在一般问题中，要应用中位线的性质时，往往需要作辅助线.下面介绍几种如何构造中位线的方法，供大家参考.一、连中点，构造三角形的中位线例1如图1，D、E、F分别是等边三角形ABC的边AB、BC、AC的中点，P为BC上任意一点，△DPM是等边三角形.连接FM.那么EP与FM相等吗？为什么？分析：由D、E、F是中点，想到连接中点，得到中位线DE、DF.这样就可以把EP、FM放到△DPE、△DMF中，进而推出它们全等使问题得以解决.解：连接DF、DE.因为D、E、F分别是等边三角形ABC的边AB、BC、AC的中点，所以DF∥BC，DF=12BC；DE∥AC,DE=12AC.所以四边形DECF是平行四边形. 所以∠C=∠EDF=60°.因为△ABC、△DPM是等边三角形，所以BC＝AC，DP＝DM，∠PDM＝60°.所以DF＝DE.因为∠EDP＝60°－∠PDF，∠FDM＝60°－∠PDF，所以∠EDP＝∠FDM.所以△DEP≌△DFM.所以EP＝FM.跟踪训练1如图2，四边形ABCD中，AC=BD，AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、CD的中点，MN交BD于点E、交AC于点F.OE与EF相等吗？为什么？二、找中点，构造三角形的中位线例2如图3，在四边形ABCD中，AB＝CD，M、N分别是BC、AD边的中点，延长BA、MN交于点F，延长CD交MF于点E.请说明∠1与∠2相等.分析：因为M、Ｎ分别是BC、AD的中点，若连接BD，取其中点G，再连接NG、MG,则NG∥AB，NG＝12AB，MG∥CD，MG＝12CD.这样把∠1与∠2通过中位线移到同一个等腰三角形ＧMＮ中，从而使问题得以解决.解：连接BD，取BD的中点G，连接NG、MG，则NG∥AB，NG＝12AB，MG∥CD，MG＝12CD.所以∠1＝∠GNM，∠2＝∠GMN.因为AB＝CD，所以NG＝MG.所以∠GNM＝∠GMN.所以∠1=∠2.跟踪训练2如图4，△ABC的一个外角平分线AE与过点C的直线互相垂直，垂足为点E，D为BC的中点，试说明：DE∥AB，且DE=12（AB+AC）答案1.解：取AD的中点Ｇ，连接GM、GN，得GM∥BD，GN∥AC，且GM＝12BD，GN＝12AC，因为AC＝BD，故GM＝GN，所以∠GMN＝∠GNM，又∠OEF＝∠GMN，∠OFE＝∠GNM，所以∠OEF＝∠OFE，所以OE＝OF．2.解：延长BA、CE相交于点F，由AE⊥CF，AE平分∠CAF，得EF＝EC，AF＝AC，又D是BC的中点，所以DE是△BCF的中位线，故有DE∥AB，且DE=12BF=12（AB+AC）．。

专题18 构造三角形中位线的常用技巧（原卷版）专题典例剖析及针对训练类型一 连接两中点构造中位线典例1如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，F 、G 为BC 上的两点，FG ＝3，线段DG ，EF 的交点为O ，当线段FG 在线段BC 上移动时，三角形FGO 的面积与四边ADOE 的面积之和恒为定值，则这个定值是（ ）A ．15B ．12C ．9D ．6针对训练1．如图，△ABC 的中线BD ，CE 相交于点0，F ，G 分别是BO ，CO 的中点，求证：EF △DG 且EF ＝DG ．类型二 连接第三边构造中位线典例2（2022秋•泰山区校级期末）如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，连接AE ，EF ，G ，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ．若∠B ＝45°，BC ＝2√3，则GH 的最小值为（ ）A ．√3B ．√22C ．√6D ．√62针对训练1．如图所示，已知四边形ABCD ，R 、P 分别是DC 、BC 上的点，点E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点P 在边BC 上从点B 向点C 移动，且点R 从点D 向点C 移动时，那么下列结论成立的是（ ）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减少C ．线段EF 的长不变D ．△ABP 和△CRP 的面积和不变典例3 如图，点B 为AC 上一点，分别以AB ，BC 为边在AC 同侧作等边△ABD 和等边△BCE ，点P ，M ，N GF E DBA分别为AC ，AD ，CE 的中点．（1）求证：PM ＝PN ；（2）求△MPN 的度数．针对训练1.如图，分别以△ABC 的边AB ，AC 同时向外作等腰直角三角形，其中AB ＝AE ，AC ＝AD ，△BAE ＝△CAD ＝90°，点G 为BC 的中点，点F 为BE 的中点，点H 为CD 的中点．探索GF 与GH 的数量关系及位置关系，并说明理由．类型三 取中点构造中位线（1）直接取一边中点典例4（2022春•武昌区期中）如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BD 为AC 边上的高，E 为BC 边的中点，点F 在AB 边上，∠EDF ＝60°，若AF ＝2，BF =103，则BC 边的长为（ ）A ．163B ．83√3C ．23√13D ．43√13针对训练1．（2022•长春一模）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ＝8，BD ＝12，点E 是CD 的中点，点F 是OA 的中点，连结EF ，则线段EF 的长为 ．（2）连接对角线，再取对角线中点HG FEDCBA典例5（2021秋•龙岗区校级期末）如图，四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，则AD ，BC和EF 的关系是（ ）A ．AD +BC ＞2EFB ．AD +BC ≥2EF C ．AD +BC ＜2EF D ．AD +BC ≤2EF针对训练1．如图，在□ABCD 中，E 是CD 中点，F 是AE 的中点，FC 交BE 于点G（1）求证：GF ＝GC（2）求证：BG ＝3EG类型四 延长一边构造中位线典例6（2022秋•江北区校级期末）如图，在正方形ABCD 中，点E ，G 分别在AD ，BC 边上，且AE ＝3DE ，BG ＝CG ，连接BE 、CE ，EF 平分∠BEC ，过点C 作CF ⊥EF 于点F ，连接GF ，若正方形的边长为4，则GF 的长度是（ ）A ．5−√32B ．5−√152C ．5−√172D ．√17−32针对训练1．如图，AD 为△ABC 的外角平分线，且AD △BD 、M 为BC 的中点，若AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长类型六作平行线或倍长中线先构造8字全等再构造中位线典例7（2021秋•宛城区期中）如图，在△ABC中，△A＝90°，AC＞AB＞4，点D、E分别在边AB、AC上，BD＝4，CE＝3，取DE、BC的中点M、N，线段MN的长为（）A．2.5B．3C．4D．5针对训练：如图，AB＝BC，DC＝DE，∠ABC＝∠CDE＝90°，D、B、C在一条直线上，F为AE的中点．（1）求证：BF∥CE；（2）若AB＝2，DE＝5，求BF的长．。