用三角形中位线定理解题

用三角形中位线定理解题

三角形中位线定理是平面几何中十分重要的定理，它说明中位线的位置与第三边平行，长度是第三边的一半，应用它可解许多几何命题，如：

1．证明线段的倍分关系

例1 如图1，AD是△ABC的中线，E为AD的中点，BE交AC于F．

证明：取CF的中点H，连接DH，则DH为△CBF的中位线，EF为△ADH的中位线，故DH=1

2 BF，

EF=1

2

DH.

2．证明两线平行

例2 如图2，自△ABC的顶点A向∠B和∠C的平分线作垂线，D、E为垂足．求证DE∥

BC．

证明延长AD、AE交BC与CB的延长线于M、N．

由∠1=∠2，BD⊥AM，可得AD=DM；同理可得AE=EN．故DE为△ANM的中位线．

∴DE∥MN，即DE∥BC

3．证线段相等

例3 如图3，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且BD=CE，M、N分别为BE、CD 的中点，直线MN分别交AB、AC于P、Q．求证AP=AQ

证明取BC中点F，连接MF与NF．

∵BM=ME，BF=FC．

同理可得NF∥BD，且

又BD=CE，∴MF=NF，故∠3=∠4，

又∠1=∠4，∠2=∠3，

∴∠1=∠2，故AP=AQ．

4．证两角相等

例4 如图4，在△ABC中，M、N分别在AB、AC上，且BM=CN，D、E分别为MN与BC的中点，AP∥DE交BC于P．

求证：∠BAP=∠CAP．

证明连接BN并取中点Q，连接DQ与EQ，则DQ∥BM，且DQ=1

2

BM，EQ∥CN，且EQ=

1

2

CN，

又BM=CN.

∴DQ=EQ，故∠1=∠2，

又∵∠1=∠BAP，∠2=∠CAP，

∴∠BAP=∠CAP．

5．证比例式

例5 如图5，AD为△ABC的中线，过点C的任一直线与AD、AB分别相交于E与F，求

证：AE2AF ED FB

=

6．求值

例6 如图6，正方形ABCD的对角线相交于E，∠CAD的平分线交DE于G，交DC于F，若EG=6.5，则CF=( )．

∵∠3=∠2+∠5=∠2+∠6

=∠1+∠7=∠4．

∴ PE=EG．

∴CF=2PE=2EG=2×6.5=13．

7．求线段比

例7 如图7，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，F为BC上一点，且BF

3

FC

=，则

AO:OE:EC=（）

解延长DF至G，使EG=DE，连接BG，则OE为△DBG的中位线，

∴AO∶OE∶EC=5∶3∶2．

由以上几例不难看出，当有中点这一条件时，设法构造三角形中位线，然后利用三角形中位线性质证题，这是一种常用的解题技巧．