【精品】2021年八年级数学解题技巧训练7构造中位线解题的五种常用方法含答案与试题解析

中位线解题经验
解题时使用中位数或中位线是一种统计方法，用于描述数据集的中心趋势。

以下是使用中位线解题的一般经验：
1.理解中位线：中位线是将有序数列中的数据分为两个相等
的部分的值，即处于数据集中间位置的数值。

中位数是有序数列中唯一的值，而中位线则是一个范围。

2.确定数据集：首先，确定您要计算中位线的数据集。

这可
以是一个数列、一个频率分布表或一个直方图。

3.对数据进行排序：如果数据集是一个数列，那么您需要将
数据按照数值大小进行排序。

如果数据集是一个频率分布表或直方图，您需要明确每个类别或分组的数值范围和频率。

4.计算中位线下限：如果数据集有奇数个数据点，中位线下
限就是中位数；如果数据集有偶数个数据点，中位线下限是排在中间的两个数值的平均值。

5.计算中位线上限：中位线上限是排在中位线下限之后的范
围，直到达到数据集的上边界。

如果数据集有奇数个数据点，则上限和下限相等；如果数据集有偶数个数据点，则上限是下限之后的一个数据点。

6.示例：假设有以下数据集：6, 8, 10, 12, 14, 16, 18。

按照升
序排序后，数据集为6, 8, 10, 12, 14, 16, 18。

由于数据集有奇数个数据点，中位线下限是中位数，即12。

中位线上限
是排在12之后的数据点，即14, 16, 18。

需要注意的是，使用中位线时，经常还需要考虑数据的分布形态和其他统计指标。

这可以帮助您更全面地理解和解释数据集的特征。

在解题时，根据具体的问题和需求，确定是否需要计算和使用中位线。

龙文教育-----您值得信赖的专业化个性化辅导学校龙文教育学科导学案教师:学生:日期:2021年11月25日时段:课题构造中位线巧解题学情分析学生对中位线相关的辅助线的构造存在一些问题学习目标与通过中位线来构造辅助线解几何题是中考常见的考点之一考点分析学习重点构造中位线学习难点构造中位线学习方法举一反三、归纳整理个性化辅导过程三角形的中位线定理，是一个非常有价值的定理。

它是一个遇到中点，必须联想到的重要定理之一。

但是，在解题时，往往只知道一个中点，而另一个中点就需要同学们，根据题目的特点，自己去寻找。

本文就向同学们介绍三种在不同条件下寻找中点的方法，供同学们学习时参考。

一、知识回忆1、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

、梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半3、应用时注意的几个细节：①定理的使用前提：三角形或梯形。

②定理使用时，满足的具体条件：两条边的中点，且连接这两点，成一条线段。

③定理的结论：位置上：与第三边是平行的；与底是平行的〔梯形〕大小上：等于第三边的一半；等于两底和的一半〔梯形〕。

在应用时，要灵活选择结论。

4、梯形的中位线：中位线的2倍乘高再除以二就等于梯形的面积，用符号表示是L.L=〔a+b〕÷2中位线长度和高，就能求出梯形的面积．S梯=2Lh÷2=Lh中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线。

二、什么情况下该用中位线1、直接找线段的中点，应用中位线定理教育是一项良心工程1龙文教育-----您值得信赖的专业化个性化辅导学校1、小峰身高，眼睛距头顶8cm，直立在水平地面上照镜子．如果他想从竖直挂在墙上的平面镜里看到自己的脚，这面镜子的底边离地面的高度不应超过cm2、利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理例2、如图 3所示，在三角形ABC中，AD是三角形ABC∠BAC的角平分线，BD⊥AD，点D是垂足，点E是边BC的中点，如果AB=6,AC=14，那么DE的长为。

如何构造三角形中位线作者：***来源：《中学生数理化·八年级数学人教版》2020年第04期三角形的中位线定理，是一个很有价值的定理，解题时若遇到中点，它是必须被联想到的定理之一.但是，在题目中往往只知道一个中点，而另一个中点未知，需要同学们根据题目的特点去寻找.下面，就向大家介绍几种构造中位线的方法，供参考.一、连接两点构造中位线例1 如图1.已知△ABC.分别以AB，AC为边向外作两个等边三角形ABM和ACN.D，E，F分别是MB.BC，CN的中点，连接DE、EF。

求证：DE=EF证明：连接CM，BN，如图2.△ABM和△ACN是等边三角形，易证△MAC≌△BAN（边角边）.∴MC=BN.∵D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，∴DE=1/2MC，EF=1/2BN，从而DE=EF.二、用“角平分线+垂直”构造中位线例2 已知M为△ABC的边BC的中点.AB=12，AC=18.BD⊥AD于D，连接MD.（1）如图3，若AD为∠BAC的平分线，求MD的长：（2）如图4，若AD为△ABC的外角的平分线，求MD的长，解：（）如图5.延长BD交AC于E.∵AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD，∴BD=DE，AE=AB=12.∴CE=AC-AE=18-12=6.又∵M为BC的中点，∴MD是△BCE的中位线，MD=3.（2）延长BD，CA交于E，如图6.仿（1），CE=AC+AE=AC+AB=30，∴MD=CE2=15.三、倍长法构造中位线例3 如图7.在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC.△BEF为等腰直角三角形，如何构造三角形中位线吉林省长春市解放大路学校王翰琛三角形的中位线定理，是一个很有价值的定理，解题時若遇到中点，它是必须被联想到的定理之一.但是，在题目中往往只知道一个中点，而另一个中点未知，需要同学们根据题目的特点去寻找.下面，就向大家介绍几种构造中位线的方法，供参考.一、连接两点构造中位线例1 如图1.已知△ABC.分别以AB，AC为边向外作两个等边三角形ABM和ACN.D，E，F分别是MB.BC，CN的中点，连接DE、EF。

第9讲三角形的中位线知识导航1.连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线；2.三角形的中位线性质：三角形的中位线平行且等于第三边的一半；3.一个三角形有三条中位线.【板块一】运用中位线的性质计算与证明方法技巧三角形的中位线平行且等于第三边的一半，给出了中位线与第三边的位置关系和数量关系，为证明两线平行，探求两线段的数量关系提供了依据.题型一利用中位线的性质计算与证明【例1】如图，△ABC中，12AB=，8AC=，AD，AE分别是△ABC的角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，则线段EF的长为_______.【例2】如图，点E为□ABCD中DC边的延长线上一点，且CE DC=，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF.(1)求证：△ABF≌△ECF；(2)求证：2=.AB OF针对练习11.如图，□ABCD的周长为8，对角线AC，BD交于点M，延长AB到点E，使BE BC=，BN⊥EC于点N，连接MN，求MN的长.2.如图，O 为△ABC 两条中线BF 与CD 的交点，求证：12OD OC =，12OF BO =.【板块二】 构造中位线的方法与技巧方法技巧构造中位线的方法与技巧有：连中点构造中位线，取中点构造中位线，角平分线与垂线组合构造中位线，倍长线段构造中位线，连接第三边构造中位线.题型二 连中点构造中位线【例1】如图，△ABC 和△DCE 都是等腰直角三角形，90ACB DCE ︒∠=∠=，点D ，C ，B 在同一条直线上，点F ，G ，M 分别为AD ，BE ，AB 的中点.(1)求FGM ∠的度数；(2)求FG BD的值.题型三 取中点构造中位线方法技巧三角形的一条边上有中点，可以取另一边的中点，然后连接这两个中点，构造三角形的中位线.【例2】如图1，在△ACB 中，CA CB =，90ACB ︒∠=，点E 在AC 上，EF ⊥AC 交AB 于点F ，连接BE ，D 为AF 的中点，M 为BE 的中点.(1)判断CM 与CD 之间的数量关系，并加以证明；(2)将△AEF 绕点A 旋转任意一锐角，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请加以证明.题型四 角平分线＋垂线→构造中位线方法技巧角平分线＋垂线，通过延长直角边，可以补全成等腰三角形，形成一边上有中点的情形，与另外的边的中点连线可得到中位线.【例3】(2017徐州改)如图，在△ABC 中，点D ，点E 分别为AB ，AC 的中点，点F 在DE 上，且AF ⊥BF .(1)求证：ABF CBF ∠=∠；(2)若5AB =，8BC =，求EF 的长.【例4】如图，BD ,CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD 于点F ，AG ⊥CE 于点G ，连接FG . 求证：(1)FG ∥BC ； (2) ()12FG AB BC AC =++.【例5】已知点M 为△ABC 的边BC 的中点，12AB =，18AC =，BD ⊥AD 于点D ，连接DM .(1)如图1，若AD 为△ABC 的角平分线，延长BD 交AC 于点E .①求证：BD DE =；②求MD 的长；(2) 如图2，若AD 为△ABC 的外角平分线，则_______MD =.【例6】如图，在△ABC 中，90ACB ︒∠=，AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线AM ，BN 分别交于P ，Q 两点，PM ，QN 的中点分别为E ，F .求证：EF ∥AB .【例7】如图，△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形，90ACB CDE ︒∠=∠=，点E 在AC上，M 为BE 的中点.求证：2AE DM =.题型五 倍长线段构造中位线【例8】如图，点P 为△ABC 的边BC 的中点，分别以AB ,AC 为斜边作Rt △ABD 和Rt △ACE ，且BAD CAE ∠=∠.求证：PD PE =.题型六 连接第三边构造中位线方法技巧若图形中存在共顶点的两边上都有中点，可以连接第三边，构造中位线. 【例9】如图，在□ABCD 中，120C ︒∠=，2AB =，4AD =，点H ，G 分别是边CD ，BC 上的动点，连接AH ，HG ，点E 为AH 的中点，点F 为GH 的中点，连接EF .则EF 的最大值与最小值的差为（ ）A ．1 B.31- C.32D.23-【例10】如图，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形.【例11】如图，点B 为线段AC 上一点，分别以AB ，BC 为边AC 的同侧作等边△ABD 和等边△BCE ，点P ，M ，N 分别为AC ，AD ，CE 的中点.(1)求证：PM PN =；(2)求MPN ∠的度数.针对练习21.(课本62页第16题改编)如图，在△ABC 中，M 为BC 的中点，AD 为BAC ∠的平分线，BD ⊥AD 于点D .(1)求证：()12DM AC AB =-； (2)若6AD =，8BD =，2D M =，求AC 的长.2.如图，在△ABC 中，BE ，CF 分别平分ABC ∠，ACB ∠，AG ⊥BE ，AH ⊥CF ，G ，H 为垂足，求证：GH ∥BC .3.如图，点E ，F ，G ，H 分别是四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：EG 与HF 互相平分.4.如图，BF 是△ABC 的角平分线，AM ⊥BF 于点M ，CE 平分△ABC 的外角，AN ⊥CE 于点N .(1)求证：MN ∥BC ；(2)若AB c =，AC b =，BC a =，求MN 的长.【板块三】 中位线与动态探究题型七 中位线与路径问题方法技巧中位线的动态图求值，先分别选取运动点的起点，中间某一特殊点，终止点这些特殊位置对应的点，然后由特殊到一般猜想估计运动点的情形，最后验证.【例1】如图，在△ABC 中，90B ︒∠=，60BAC ︒∠=，1AB =，若点E 为BC 上一动点，以AE 为边在AE 右侧作等边△AEF ，连接CF ，点G 为线段CF 的中点，若点E 从点B 出发，沿着BC 方向运动到点C ，则在此过程中，点G 运动的路径长为_________.【例2】如图，()2,0A ，()0,2B ，点P 在线段OA 上运动，BP ⊥PM ，BP PM =，C 为x轴负半轴上一定点，连接CM ，N 为CM 的中点，当点P 从点O 运动至点A 时，点N 运动的路径长为________.针对练习3 .1.如图，已知AB =10，P 是线段AB 上的动点，分别以AP ,PB 为边在线段AB 的同侧作等边△ACP 和等边△PDB ，连接CD,设CD的中点为G,当点P从点A运动到点B时,求点G移动的路径长。

中位线定理不同证明方法【前言】中位线定理是高中数学中的一个重要定理，它说明了一个三角形的三条中位线相交于一个点，并且这个点距离三角形三个顶点的距离相等，即这个点是三角形重心。

本文将从不同的证明方法来探讨中位线定理，以便读者能够全面、深刻地理解这个定理。

【主体】一、中位线与平行四边形定理平行四边形定理指出，如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。

我们可以利用这个定理来证明中位线定理。

在三角形ABC中，连接AB的中点D和连接AC的中点E，再连接DE，如图1所示。

由于D是AB的中点，所以AD = DB；同理，AE = CE。

连接BD和CE，可以得到△CED和△BDE是等边三角形，即CE = BD。

根据平行四边形定理，四边形BCED是平行四边形，因此BC ∥ DE。

同理，可得AC ∥ DE和AB ∥ DE。

根据平行线之间的性质，当有两条平行线和一条直线交叉时，它们所分割的对应线段成比例。

AD：DE = BD：EC。

由于AD = BD和EC = CE，所以AD：DE = 1：1。

通过比例关系，我们可以得知中位线AD平分了DE。

同理，可以证明AC和BE互相平分，即中位线AD、BE和CF互相平分。

根据平行四边形定理，可以得出结论：中位线AD、BE和CF相交于一点，且这个点是三角形ABC的重心。

二、中位线的向量证明在平面几何中，向量是一种重要的工具，它可以用来进行几何问题的研究和证明。

这里我们将利用向量进行中位线定理的证明。

设向量OA = a，向量OB = b，向量OC = c。

既然A、B、C是三角形ABC的顶点，则向量AB = b - a，向量AC = c - a。

根据中位线的定义，向量AD = 1/2 * (b - a)，向量AE = 1/2 * (c - a)。

由于中位线AD和向量AB平行，所以存在实数k，使得向量AD = k * (b - a)。

同理，存在实数m，使得向量AE = m * (c - a)。

方法一：欲证DE=BC/2这种线段的倍半问题,往往可以将短的线段放大,转化为证明两线段相等,此题可将线段DE延长一倍至F,再连FC,把问题转化为证明四边形DFCB为平行四边形.
过C作AB的平行线交DE的延长线于F点。

∵CF∵AD
∵∵A=∵ACG
∵∵AED=∵CEF、AE=CE、∵A=∵ACF
∵∵ADE∵∵CFE (S.A.S)
∵AD=CF(全等三角形对应边相等)
∵D为AB中点
∵AD=BD
∵BD=CF
又∵BD∵CF
∵BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∵DF∵BC且DF=BC
∵DE=DF/2=BC/2
∵DE为三角形ABC的中位线.
方法二：相似法：八年级下册第四章已学习过相似图形,也可以利用相似三角形的知识来解决.
∵D是AB中点
∵AD：AB=1：2
∵E是AC中点
∵AE：AC=1:2
又∵∵A=∵A
∵∵ADE∵∵ABC(S.A.S)
∵AD：AB=AE：AC=DE：BC=1：2
∵ADE=∵B，∵AED=∵C
∵BC=2DE,BC∵DE
方法三：用截长补短的方法构造全等三角形,再证出平行四边形,得出结论.
延长DE到点G，使EG=DE，连接CG
∵点E是AC中点
∵AE=CE
∵AE=CE、∵AED=∵CEG、DE=GE
∵∵ADE∵∵CGE (S.A.S)
∵AD=CG、∵G=∵ADE
∵D为AB中点
∵AD=BD
∵BD=CG
∵点D在边AB上
∵DB∵CG
∵BCGD是平行四边形
∵DE=DG/2=BC/2
∵所以DE为三角形ABC的中位线。

专训2常用构造中位线的五种方法名师点金：三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置上的平行关系，二是数量上的倍分关系．因此，当题目中给出三角形两边的中点时，可以直接连出中位线；当题目中给出一边的中点时，往往需要找另一边的中点，作出三角形的中位线．连接两点构造三角形的中位线1．如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点．(1)求证：PM＝PN；(2)求∠MPN的度数．(第1题)已知角平分线＋垂直构造中位线2．如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD，若AB ＝12，AC＝18，求DM的长．(第2题)3．如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，点E为BC的中点，求DE的长．(第3题)倍长法构造三角形的中位线4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M为AF的中点，求证：ME＝12CF.(第4题)已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线5．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，CA ＝CB ，E ，F 分别为CA ，CB 上一点，CE ＝CF ，M ，N 分别为AF ，BE 的中点，求证：AE ＝2MN .(第5题)已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点P 是AD 的中点，延长BP 交AC 于点N ，求证：AN ＝13A C.(第6题)答案1．(1)证明：如图，连接CD ，AE .由三角形中位线定理可得PM 平行且等于12CD ，PN 平行且等于12AE .∵△ABD 和△BCE 是等边三角形，∴AB ＝DB ，BE ＝BC ，∠ABD ＝∠CBE ＝60°，∴∠ABE＝∠DBC .∴△ABE ≌△DBC ， ∴AE ＝DC .∴PM ＝PN .(2)解：如图，设PM 交AE 于F ，PN 交CD 于G ，AE 交CD 于H ，AE 交BD 于Q .由(1)知△ABE ≌△DBC ，∴∠BAE ＝∠BDC .又∵∠DQH ＝∠BQA ， ∴∠AHD ＝∠ABD ＝60°， ∴∠FHG ＝120°.易证四边形PFHG 为平行四边形， ∴∠MPN ＝120°.(第1题)2．解：如图，延长BD ，CA 交于N .(第2题)由题易知∠NAD ＝∠BAD ，∠ADN ＝∠ADB ＝90°.又AD ＝AD ， ∴△AND ≌△ABD . ∴DN ＝DB ，AN ＝AB . 又∵M 为BC 的中点，∴DM 为△BNC 的中位线，∴DM ＝12NC ＝12(AN ＋AC )＝12(AB ＋AC )＝15.3．解：如图，延长BD 交AC 于点F ，(第3题)∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD .∵BD ⊥AD ，∴∠ADB ＝∠ADF ，又∵AD ＝AD ，∴△ADB ≌△ADF (ASA )． ∴AF ＝AB ＝6，BD ＝FD . ∵AC ＝10，∴CF ＝AC －AF ＝10－6＝4. ∵E 为BC 的中点，∴DE 是△BCF 的中位线． ∴DE ＝12CF ＝12×4＝2.4．证明：如图，延长FE 至N ，使EN ＝EF ，连接BN ，AN .易得ME ＝12AN .∵EF ＝EN ，∠BEF ＝90°，∴BE 垂直平分FN .∴BF ＝BN .∴∠BNF ＝∠BFN .∵△BEF 为等腰直角三角形，∠BEF ＝90°，∴∠BFN ＝45°.∴∠BNF ＝45°， ∴∠FBN ＝90°，即∠FBA ＋∠ABN ＝90°.又∵∠FBA ＋∠CBF ＝90°，∴∠CBF ＝∠ABN .在△BCF 和△BAN 中，⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝BN ，∠CBF ＝∠ABN ，BC ＝BA ，∴△BCF ≌△BAN .∴CF ＝AN .∴ME ＝12AN ＝12CF .(第4题)5．证明：如图，取AB 的中点H ，连接MH ，NH ，则MH ＝12BF ，NH ＝12AE .∵CE ＝CF ，CA ＝CB ，∴AE ＝BF .∴MH ＝NH .∵点M ，H ，N 分别为AF ，AB ，BE 的中点， ∴MH ∥BF ，NH ∥AE .∴∠AHM ＝∠ABC ，∠BHN ＝∠BAC . ∴∠MHN ＝180°－(∠AHM ＋∠BHN )＝180°－(∠ABC ＋∠BAC )＝90°. ∴NH ＝22MN . ∴AE ＝2NH ＝2×22MN ＝2MN . (第5题)(第6题)6．证明：如图，取NC 的中点H ，连接DH ，过点H 作HE ∥AD ，交BN 的延长线于E . ∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴D 为BC 的中点．又∵H 为NC 的中点，∴DH ∥BN .又∵PD ∥EH ，∴四边形PDHE 是平行四边形．∴HE ＝PD . 又∵P 为AD 的中点，∴AP ＝PD . ∴AP ＝EH ，易证△APN ≌△HEN ，∴AN ＝NH . ∴AN ＝NH ＝HC ，∴AN ＝13AC .。

中位线证明5种方法过程一、定义中位线中位线是一种数学概念，表示对被考察人或物体进行区分时，其一半分在同一边。

它通常用来反映某一组数据中，中间值的概念。

它可以通过使用拟合函数来计算，也可以通过观察数据同时评估它们的中位数。

二、使用拟合函数计算中位线1.由于中位线是一个函数，可以使用拟合函数来计算它。

在评估群体的中位数时，最常用的拟合函数是最小二乘拟合函数。

2.通过使用最小二乘拟合函数，可以通过收集和排序被研究组织中多个变量的数据来计算值的百分位数。

3.下一步是把这些变量数据进行可视化转换，并制定一组正常的方程，以确定中位线的实际位置和性质。

三、观察数据的方式1.另一种计算中位线的方法是从观察数据的结果中来推断中位线。

但要弄清楚，必须计算每个变量的中位数和每个变量的百分位数。

2.然后，可以把它们的中位线函数转换成可视化的结果，以便理解和识别系统中的模式和趋势。

也可以在流程图上构建，来表示中位线。

四、分层分析有时，可能需要根据不同的情况来计算某一组数据的中位线。

通过使用分层分析，可以将数据分成多个层次，来更精确地识别数据，估计百分位数或中位数。

五、单因素分析单因素分析这种方法是从一组数据中查找中位线的有效手段。

它只对一个变量进行考虑，而不考虑其他变量。

通过使用这种方法，可以很容易地识别中位线，从而更准确地评估数据的中位数。

总之，计算中位线的5种方法是：使用拟合函数，观察数据，分层分析，单因素分析和流程图分析。

它们可以用来准确地评估某一组数据中的中位数。

使用正确的方法，可以使中位线变得更容易识别和了解，从而获得更可靠的结果。

专题18 构造三角形中位线的常用技巧（原卷版）专题典例剖析及针对训练类型一 连接两中点构造中位线典例1如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，F 、G 为BC 上的两点，FG ＝3，线段DG ，EF 的交点为O ，当线段FG 在线段BC 上移动时，三角形FGO 的面积与四边ADOE 的面积之和恒为定值，则这个定值是（ ）A ．15B ．12C ．9D ．6针对训练1．如图，△ABC 的中线BD ，CE 相交于点0，F ，G 分别是BO ，CO 的中点，求证：EF △DG 且EF ＝DG ．类型二 连接第三边构造中位线典例2（2022秋•泰山区校级期末）如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，连接AE ，EF ，G ，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ．若∠B ＝45°，BC ＝2√3，则GH 的最小值为（ ）A ．√3B ．√22C ．√6D ．√62针对训练1．如图所示，已知四边形ABCD ，R 、P 分别是DC 、BC 上的点，点E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点P 在边BC 上从点B 向点C 移动，且点R 从点D 向点C 移动时，那么下列结论成立的是（ ）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减少C ．线段EF 的长不变D ．△ABP 和△CRP 的面积和不变典例3 如图，点B 为AC 上一点，分别以AB ，BC 为边在AC 同侧作等边△ABD 和等边△BCE ，点P ，M ，N GF E DBA分别为AC ，AD ，CE 的中点．（1）求证：PM ＝PN ；（2）求△MPN 的度数．针对训练1.如图，分别以△ABC 的边AB ，AC 同时向外作等腰直角三角形，其中AB ＝AE ，AC ＝AD ，△BAE ＝△CAD ＝90°，点G 为BC 的中点，点F 为BE 的中点，点H 为CD 的中点．探索GF 与GH 的数量关系及位置关系，并说明理由．类型三 取中点构造中位线（1）直接取一边中点典例4（2022春•武昌区期中）如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BD 为AC 边上的高，E 为BC 边的中点，点F 在AB 边上，∠EDF ＝60°，若AF ＝2，BF =103，则BC 边的长为（ ）A ．163B ．83√3C ．23√13D ．43√13针对训练1．（2022•长春一模）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ＝8，BD ＝12，点E 是CD 的中点，点F 是OA 的中点，连结EF ，则线段EF 的长为 ．（2）连接对角线，再取对角线中点HG FEDCBA典例5（2021秋•龙岗区校级期末）如图，四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，则AD ，BC和EF 的关系是（ ）A ．AD +BC ＞2EFB ．AD +BC ≥2EF C ．AD +BC ＜2EF D ．AD +BC ≤2EF针对训练1．如图，在□ABCD 中，E 是CD 中点，F 是AE 的中点，FC 交BE 于点G（1）求证：GF ＝GC（2）求证：BG ＝3EG类型四 延长一边构造中位线典例6（2022秋•江北区校级期末）如图，在正方形ABCD 中，点E ，G 分别在AD ，BC 边上，且AE ＝3DE ，BG ＝CG ，连接BE 、CE ，EF 平分∠BEC ，过点C 作CF ⊥EF 于点F ，连接GF ，若正方形的边长为4，则GF 的长度是（ ）A ．5−√32B ．5−√152C ．5−√172D ．√17−32针对训练1．如图，AD 为△ABC 的外角平分线，且AD △BD 、M 为BC 的中点，若AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长类型六作平行线或倍长中线先构造8字全等再构造中位线典例7（2021秋•宛城区期中）如图，在△ABC中，△A＝90°，AC＞AB＞4，点D、E分别在边AB、AC上，BD＝4，CE＝3，取DE、BC的中点M、N，线段MN的长为（）A．2.5B．3C．4D．5针对训练：如图，AB＝BC，DC＝DE，∠ABC＝∠CDE＝90°，D、B、C在一条直线上，F为AE的中点．（1）求证：BF∥CE；（2）若AB＝2，DE＝5，求BF的长．。

八年级数学下册９.５三角形的中位线构造三角形中位线解题素材（新版）苏科版编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(八年级数学下册９．5 三角形的中位线构造三角形中位线解题素材(新版）苏科版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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构造三角形中位线解题三角形的中位线是三角形中的重要线段,通过添加三角形的中位线来解决几何证明题是行之有效的方法．现就构造三角形的中位线解决几何证明问题举例分析如下,以帮助同学们学习.一、构造三角形的中位线证明线段相等:例1．如图1,D 、E 、Ｆ分别是等边△ABC 的边A Ｂ、ＢC 、AC 的中点,Ｐ为ＢC 上任意一点，△DPM 为等边三角形,求证：EP=FM解析：由Ｄ、E 、F 是中点,想到连中位线ＤE 、DF,这样将ＥＰ、FM 放到△ＤP Ｅ和△D ＭF 中,如果这两个三角形全等，则结论成立．ﻩ证明：连结DF 、DE ，则ＤＦ∥B Ｃ，DE ∥AC ，且11,22DF BC DE AC ==，∴四边形ＤＥC Ｆ是平行四边形． ∴∠C=∠EDF,∵△A ＢC 、△D ＰＭ为等边三角形,∴BC=AC ，∠C=600，DP=DM ，∠PDM=600,∴DE=DF.又∵∠E ＤP ＝∠EDF －∠P ＤＦ,∠FDM=∠PD Ｍ-∠PDF,∴∠ＥDP=∠FDM,∴△DE Ｐ≌△DFM ．∴EP ＝FM.规律方法总结:题中有中点,并且求线段的相等,经常通过构造三角形的中位线应用全等来证明．二、构造三角形的中位线证明线段的不等：例２.如图2.E 、Ｆ分别是四边形AB ＣD 两对角线AC 、BD 的中点，求证:1||.2EF AB CD >-解析:从结论的右边1||2AB CD -,可以想到证明EF 大于△A ＢC 、△DBC 中位线差的一半,为此想到构造三角形的中位线.证明：如图2,取BC 的中点G,连结ＦG 、E Ｇ，在△EFG 中有||,EF EG FG >-已知E 、Ｆ分别为AC 、BD 的中点,∴ＥG ＝11,22AB FG CD =．∴1||.2EF AB CD >-规律方法总结：线段的不等关系的证明是几何证明题的一个难点，但遇到中点时可以通过构造三角形的中位来证明,既方便又快捷．另外,对于本题的结论可以改为1||.2EF AD BC >-当ＡB ∥ＣＤ时有结论1||.2EF AB CD =-三、构造三角形的中位线证明线段之间的倍数关系：例3．如图3,AD 为△ABC 的高,∠B ＝2∠C,M 为BC 的中点，求证:D Ｍ=12AB .解析:由M ﻩ是BC 的中点，要证明DM=12AB ，想到利用中位线定理构造12AB ,即取ＡC 的中点N,连结MN 、DN 只需证明MN=ＤM ，这可由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及∠B=2∠C 证得.证明:取A Ｃ的中点Ｎ,连结MN,DN 如图2,又∵M 为BC 的中点,∴MN ∥ＡB,且12MN AB，∴∠B=∠NMC ． ∵ＡD 为△ＡB Ｃ的高,N 为AC 的中点，∴DN=ＣN ，∴∠C=∠ＮDC ，∵∠NM Ｃ=∠ＮDC+∠ＭND ，∠B ＝2∠C ，∴∠M ＤＮ=∠MND=∠C ．∴MD=MN ，∴ＭD=12ABﻩ规律方法总结：题目中有线段的倍数并有中点,经常构造中位线解题．也经常用到直角三角形斜边的中线等于斜边的一半来证明. 以上就是本文的全部内容,可以编辑修改。

构造中位线湖南 朱秀峰“遇中点找中点，联想中位线”是一个解题突破口，但在一般问题中，要应用中位线的性质时，往往需要作辅助线.下面介绍几种如何构造中位线的方法，供大家参考.一、连中点，构造三角形的中位线例1 如图1，D 、E 、F 分别是等边三角形ABC 的边AB 、BC 、AC 的中点，P 为BC 上任意一点，△DPM 是等边三角形.连接FM.那么EP 与FM 相等吗？为什么？分析：由D 、E 、F 是中点，想到连接中点，得到中位线DE 、DF.这样就可以把EP 、FM 放到△DPE 、△DMF 中，进而推出它们全等使问题得以解决.解：连接DF 、DE.因为D 、E 、F 分别是等边三角形ABC 的边AB 、BC 、AC 的中点，所以DF ∥BC ，DF=12BC ；DE ∥AC,DE=12AC.所以四边形DECF 是平行四边形. 所以∠C=∠EDF=60°.因为△ABC 、△DPM 是等边三角形，所以BC ＝AC ，DP ＝DM ，∠PDM ＝60°.所以DF ＝DE.因为∠EDP ＝60°－∠PDF ，∠FDM ＝60°－∠PDF ，所以∠EDP ＝∠FDM.所以△DEP ≌△DFM.所以EP ＝FM.跟踪训练1 如图2，四边形ABCD 中，AC=BD ，AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、CD 的中点，MN 交BD 于点E 、交AC 于点F.OE 与EF 相等吗？为什么？二、找中点，构造三角形的中位线例2 如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，M 、N 分别是BC 、AD 边的中点，延长BA 、MN 交于点F ，延长CD 交MF 于点E.请说明∠1与∠2相等.分析：因为M 、Ｎ分别是BC 、AD 的中点，若连接BD ，取其中点G ，再连接NG 、MG ,则NG ∥AB ，NG ＝12 AB ，MG ∥CD ，MG ＝12CD.这样把∠1与∠2通过中位线移到同一个等腰三角形ＧM Ｎ中，从而使问题得以解决.解：连接BD ，取BD 的中点G ，连接NG 、MG ，则NG ∥AB ，NG ＝12AB ，MG ∥CD ，MG ＝12CD. 所以∠1＝∠GNM ，∠2＝∠GMN.因为AB ＝CD ，所以NG ＝MG .所以∠GNM ＝∠GMN.所以∠1=∠2.跟踪训练2 如图4，△ABC 的一个外角平分线AE 与过点C 的直线互相垂直，垂足为点E ，D 为BC 的中点，试说明：DE ∥AB ，且DE=12（AB+AC ）答案1.解：取AD 的中点Ｇ，连接GM 、GN ，得GM ∥BD ，GN ∥AC ，且GM ＝12BD ，GN ＝12AC ，因为AC ＝BD ，故GM ＝GN ，所以∠GMN ＝∠GNM ，又∠OEF ＝∠GMN ，∠OFE ＝∠GNM ，所以∠OEF ＝∠OFE ，所以OE ＝OF ．2.解：延长BA 、CE 相交于点F ，由AE ⊥CF ，AE 平分∠CAF ，得EF ＝EC ，AF ＝AC ，又D 是BC 的中点，所以DE 是△BCF 的中位线，故有DE ∥AB ，且DE=12 BF=12（AB+AC ）．。