西南大学《数学分析选讲》网上作业题及答案

高等数学选讲 第四次作业答案1. （１）04590851707114272021571171102021504270202171102021502021427071102021502021427071100251020214214==----=-----=----=----=（２）21412141312150620123212325625062-==2.11112305811-11240561-11051290⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭AB058111213223230562111217202901114292-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=⨯--⨯-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭AB A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==092650850AB B A T3.11112222111312632251126310001000100010001200010002001100213000100130201012140001021410011000100010001000010000010000001000030100004100140101⎛⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪→→ ⎪---- ⎪---⎝⎭⎝⎭1122111263511182412410001000010000001000001⎪⎪⎪⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪-- ⎪--⎝⎭ 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-4112124581316121212110000001A 4.714191921191971419192321019147186335421863018763000000010010000B -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎪→- ⎪⎪⎝⎭基础解系为T T )1,0,197,191(,)0,1,1914,192(=--=βα 5．解：设样本空间为U ，则U 所含基本事件的总数为n ＝350C 。

===================================================================================================1：[论述题]《数学分析选讲》第一次主观题作业答案一、判断题 1．（正确） 2．（ 正确 ） 3．（错误 ） 4．（ 正确 ） 5．（ 正确） 二、 选择题1、A2、A3、B4、B5、C6、C7、D8、D三、计算题解 1、902070902070902070583155863lim )15()58()63(lim⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--++∞→+∞→x x x x x x x x 2、211lim()2x x x x +→∞+=-21111lim 2211xx x x x x →∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭211lim 21xx x x →∞⎛⎫+ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭2(4)21[(1)]lim 2[(1)]x x x x x→∞--+- 264e e e-==. 3、解：因2n ≤++≤+1n n==， 故 21n n →∞++=+。

4、 当0x <时，有221()lim lim 11x x x x x x n n n n n f x n n n --→∞→∞--===-++；同理当0x >时，有()1f x =.而(0)0f =，所以1,0()sgn 0,01,0x f x x x x -<⎧⎪===⎨⎪>⎩。

所以0是f 的跳跃间断点.四、证明题===================================================================================================证 由b a <，有b b a a <+<2. 因为2lim ba a a n n +<=∞→，由保号性定理，存在01>N ，使得当1N n >时有2b a a n +<。

西南大学网络学习数学分析选讲网上在线第二次作业答案题目：若函数f在区间I上单调,则f在I上的任一间断点必是第一类间断点正确错误批阅：选择答案：正确正确答案：正确得分：10题目：若两个函数的导数处处相等,则这两个必相等正确错误批阅：选择答案：错误正确答案：错误得分：10题目：若函数f在数集D上的导函数处处为零，则f在数集D上恒为常数。

正确错误批阅：选择答案：错误正确答案：错误得分：10题目：可导的周期函数,其导函数必是周期函数正确错误批阅：选择答案：正确正确答案：正确得分：10题目：任一实系数奇次方程至少有一个实根正确错误批阅：选择答案：正确正确答案：正确得分：10题目：若函数f的导函数在区间I上有界，则f在I上一致连续。

正确错误批阅：选择答案：正确正确答案：正确得分：10题目：若f,g均为区间I上的凸函数，则f+g也为I上的凸函数。

正确错误批阅：选择答案：正确正确答案：正确得分：10题目：若f在区间I上连续，则f在I上存在原函数。

正确错误批阅：选择答案：正确正确答案：正确得分：10题目：不存在仅在一点可导，而在该点的任一空心邻域内皆无连续点的函数。

正确错误批阅：选择答案：错误正确答案：错误得分：10题目：若函数在某点的左右导数都存在，则在该点可导正确错误批阅：选择答案：错误正确答案：错误得分：10题目：若函数在某点可导，则在该点的左右导数都存在正确错误批阅：选择答案：正确正确答案：正确得分：10题目：可导的单调函数，其导函数仍是单调函数。

正确错误批阅：选择答案：错误正确答案：错误得分：10题目：若f、g在[a,b]上的可积，则fg在[a,b]上也可积正确错误批阅：选择答案：正确正确答案：正确得分：10题目：闭区间上的可积函数是有界的正确错误批阅：选择答案：正确正确答案：正确得分：10题目：若f是[a,b]上的单调函数，则f在[a,b]上可积。

正确错误批阅：选择答案：正确正确答案：正确得分：10题目：若f在实数集R上是偶函数，则x=0是f的极值点。

《数学分析选讲》 第一次作业解答一、判断下列命题的正误1. 有上界的非空数集必有上确界. （正确）2. 收敛数列必有界. （正确）3. 两个收敛数列的和不一定收敛.（错误）4．若S 为无上界的数集,则S 中存在一递增数列趋于正无穷.（正确）5．若一数列收敛，则该数列的任何子列都收敛. （正确）二、选择题1．设2,1()3,1x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩, 则 [(1)]f f =( A ) .A 3- ；B 1- ；C 0 ；D 22．“对任意给定的)1,0(∈ε，总存在正整数N ，当N n ≥时，恒有2||2n x a ε-≤”是数列}{n x 收敛于a 的（ C ）.A 充分条件但非必要条件；B 必要条件但非充分条件；C 充分必要条件；D 既非充分又非必要条件3．若数列}{n x 有极限a ,则在a 的ε邻域之外，数列中的点（ B ） A 必不存在 ； B 至多只有有限多个；C 必定有无穷多个 ；D 可以有有限个，也可以有无限多个 4．设a x n n =∞→||lim ，则 （ D ）A 数列}{n x 收敛；B a x n n =∞→lim ；C a x n n -=∞→lim ； D 数列}{n x 可能收敛，也可能发散5．数列}{n x 收敛，数列}{n y 发散，则数列}{n n y x （ D ）．A 收敛；B 发散；C 是无穷大；D 可能收敛也可能发散 6．若函数)(x f 在某点0x 极限存在，则（ C ） A )(x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值；B )(x f 在0x 的函数值必存在，但不一定等于极限值；C )(x f 在0x 的函数值可以不存在；D 如果)(0x f 存在的话必等于函数值7．下列极限正确的是（ C ）A 01lim sin1x x x→=； B sin lim1x x x→∞=； C 01limsin 1x x x→=； D 1lim sin0x x x→∞=8． =+-→11lim11x x x e e （ A ）A 不存在；B 1 ；C 1- ；D 0三、计算题1．求极限 902070)15()58()63(lim --++∞→x x x x .解: 902070902070902070583155863lim)15()58()63(lim⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--++∞→+∞→x x x x x x x x2．求极限 211lim ()2x x x x +→∞+-.解：211lim ()2x x x x +→∞+=-21111lim 2211xx x x x x →∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭211lim 21xx x x →∞⎛⎫+⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭2(4)21[(1)]lim2[(1)]x x x x x→∞--+-264e e e-==.3． 求极限 1111lim (1)23n n n→∞++++解：由于111111(1)23nn n n≤++++≤ ，又lim 1n →∞=， 由迫敛性定理1111lim (1)123n n n→∞++++=4．考察函数),(,lim)(+∞-∞∈+-=--∞→x nn n n x f xxx x n 的连续性.若有间断点指出其类型.解： 当0x <时，有221()limlim11x x x xxxn n n n n f x n nn--→∞→∞--===-++；同理当0x >时，有()1f x =.而(0)0f =，所以1,0()sgn 0,01,0x f x x x x -<⎧⎪===⎨⎪>⎩。

西南⼤学数学分析作业答案三、计算题1．求极限 902070)15()58()63(lim --++∞→x x x x .解: 902070902070902070583155863lim)15()58()63(lim=?-??-?→x x x x x x x x 2．求极限 211lim ()2x x x x +→∞+-.解：211lim ()2x x x x +→∞+=-21111lim 2211xx x x x x →∞++ ? ??= ? ? ? ? --?211lim 21xx x x →∞?+= -2(4)21[(1)]lim2[(1)]x x x x x264e e e-==.3．求极限 1 111lim (1)23n n n→∞++++解：由于11 1111(1)23nn n n≤++++≤ ，⼜lim 1n →∞=，由迫敛性定理1111lim (1)123n n n→∞4．考察函数),(,lim)(+∞-∞∈+-=--∞→x nn n n x f xx x xn 的连续性.若有间断点指出其类型.解：当0x <时，有221()limlim11x x x xxxn n n n n f x n nn--→∞→∞--===-++；同理当0x >时，有()1f x =.⽽(0)0f =，所以1,0()sgn 0,01,0x f x x x x -===??>?。

所以0是f 的跳跃间断点.四、证明题设a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim ，且b a <. 证明：存在正整数N ，使得当N n >时，有n n b a <.证由b a <，有b b a a <+<2. 因为2lim ba a a n n +<=∞lim b a b b n n +>=∞→，所以，⼜存在02>N ，使得当2N n >时有2b a b n +>. 于是取},max{21N N N =，当N n >时，有n n b b a a <+<2《数学分析选讲》第⼆次主观题作业⼀、判断下列命题的正误1. 若函数在某点⽆定义，则在该点的极限可能存在.2. 若)(x f 在[,]a b 上连续，则)(x f 在[,]a b 上⼀致连续．3. 若()f x 在[,]a b 上有定义，且()()0f a f b <,则在(,)a b 内⾄少存在⼀点ξ,使得()0f ξ=.4. 初等函数在其定义区间上连续. 5．闭区间[,]a b 的全体聚点的集合是[,]a b 本⾝.⼆、选择题1．下⾯哪些叙述与数列极限A a n n =∞→lim 的定义等价（）A )1,0(∈?ε，0>?N ，N n ≥?，ε≤-||A a n ；B 对⽆穷多个0>ε，0>?N ，N n >?，ε<-||A a n ；C 0>?ε，0>?N ，有⽆穷多个N n >，ε<-||A a n ；D 0>?ε，有}{n a 的⽆穷多项落在区间),(εε+-A A 之内2．任意给定0>M ，总存在0>X ，当X x -<时，M x f -<)(，则（）A -∞=-∞→)(lim x f x ； B -∞=∞→)(lim x f x ； C ∞=-∞→)(lim x f x ； D ∞=+∞→)(lim x f x3．设a 为定数.若对任给的正数ε，总存在0>X ，当X x -<时，()f x a ε-<，则（）.A lim ()x f x a →+∞=； B lim ()x f x a →-∞=； C lim ()x f x a →∞=； D lim ()x f x →∞=∞A 2e ；B 2e - ；C 1e - ；D 1 5．21sin(1)lim1x x x →-=-（）A 1 ；B 2 ；C 21 ； D 06．定义域为],[b a ，值域为),(∞+-∞的连续函数（） A 存在； B 可能存在； C 不存在； D 存在且唯⼀7．设 =)(x f 1(12) , 0 , 0x x x k x ??-≠??=? 在0=x 处连续，则=k （）A 1 ；B e ；C 1- ；D 21e8．⽅程410x x --=⾄少有⼀个根的区间是（）A 1(0,)2； B 1(,1)2； C (2,3) ； D (1,2) 三、计算题1．求极限 n nn 313131212122++++++∞→ 2．求极限lim n →∞+++3．求极限 )111)(110()110()13()12()1(lim2222--++++++++∞→x x x x x x x4．求极限 112sin lim-+→x x x四、证明题设,f g 在],[b a 上连续，且()(),()()f a g a f b g b ><. 证明：存在(,),a b ξ∈使得()()f g ξξ=.数学分析选讲作业系统1、若f,g 均为区间I 上的凸函数，则f+g 也为I 上的凸函数。

西南大学网络学习数学分析选讲网上在线第三次作业答案题目：幂级数的收敛区间必然是闭区间正确错误批阅：选择答案：错误正确答案：错误得分：10题目：任何有限集都有聚点正确错误批阅：选择答案：错误正确答案：错误得分：10题目：不绝对收敛的级数一定条件收敛正确错误批阅：选择答案：错误正确答案：错误得分：10题目：设f在(a,b)内可导,且其导数单调,则其导数在(a,b)内连续正确错误批阅：选择答案：正确正确答案：正确得分：10题目：有限区间上两个一致连续函数的积必一致连续正确错误批阅：选择答案：正确正确答案：正确得分：10题目：处处间断的函数列不可能一致收敛于一个处处连续的函数。

正确错误批阅：选择答案：错误正确答案：错误得分：10题目：条件收敛级数一定含有无穷多个不同符号的项。

正确错误批阅：选择答案：正确正确答案：正确得分：10题目：收敛级数一定绝对收敛正确错误批阅：选择答案：错误正确答案：错误得分：10题目：在级数的前面加上或去掉有限项不影响级数的收敛性正确错误批阅：选择答案：正确正确答案：正确得分：10题目：设f是(a,b)内可导的凸函数,则其导函数在(a,b)内递增正确错误批阅：选择答案：正确正确答案：正确得分：10题目：实数集R上的连续周期函数必有最大值和最小值正确错误批阅：选择答案：正确正确答案：正确得分：10题目：闭区间[a,b]的所有聚点的集合是[a,b] 正确错误批阅：选择答案：正确正确答案：正确得分：10题目：收敛级数任意加括号后仍收敛正确错误批阅：选择答案：正确正确答案：正确得分：10。

0088 20211单项选择题1、1. 02. 13.-14. 22、1.2.3.4.3、1. F.2.3.4.4、1.2.3.4.5、1.2.3.4.6、1. C. 最小值2.极大值3.最大值4.极小值7、1.2.3.4.8、1. -12. 23. 14. 39、1.第二类间断点2.可去间断点3.跳跃间断点4.连续点10、1.2.3.4.11、1.2.3.4.12、下列函数中为奇函数的是（）1.2.3.4.13、1.不存在2.存在且唯一3.可能存在4.存在14、1.2.3.4.15、1. -12.03. 24. 116、下述命题成立的是（）1. D. 可导的偶函数，其导函数是偶函数2.可导的递增函数，其导函数是递增函数3.可导的递减函数，其导函数是递减函数4.可导的偶函数，其导函数是奇函数17、1.是无穷大2.发散3.可能收敛，也可能发散4.收敛18、1. 12. 03. 24.-119、1.2.3.4.20、1.2.3.4.21、1.02. 23. 44. 122、1. 12. 43. 24. 023、1.绝对收敛2.可能收敛，也可能发散3.条件收敛4.发散24、1.既非充分又非必要条件2.充要条件3.必要条件4.充分条件25、1. 32. 23. 84. 426、1. 62.-13. 24. 527、1.2.3.4.28、1.连续点2.第二类间断点3.跳跃间断点4.可去间断点判断题29、( )1. A.√2. B.×30、( )1. A.√2. B.×31、( )1. A.√2. B.×32、(1. A.√2. B.×33、( )1. A.√2. B.×34、常量函数 f(x)=c 是以任何正数为周期的周期函数，但不存在基本周期. ( )1. A.√2. B.×35、( )1. A.√2. B.×36、( )1. A.√2. B.×37、 (1. A.√2. B.×38、 ( )1. A.√2. B.×39、 ( )1. A.√2. B.×40、( )1. A.√2. B.×41、任一实系数奇次方程至少有一个实根. ( )1. A.√2. B.×42、 ( )1. A.√2. B.×43、( )1. A.√2. B.×44、若 f(x) 在点 a 处可导，则 f(x) 在点 a 处可微. ( )1. A.√2. B.×45、可导的奇函数，其导函数为偶函数. ( )1. A.√2. B.×46、( )1. A.√2. B.×47、( )1. A.√2. B.×48、( )1. A.√2. B.×49、( )1. A.√2. B.×50、(1. A.√2. B.×51、( )1. A.√2. B.×52、数集 S 的最大数一定是 S 的上确界. ( )1. A.√2. B.×53、若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则函数f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值1. A.√2. B.×主观题54、55、参考答案：56、参考答案：57、参考答案：58、59、参考答案：60、参考答案：。

2013年春西南大学《数学分析选讲》1、2、3次客观题答案（已整理）第一次作业客观题【判断题】狄利克雷函数D(x)是有最小正周期的周期函数错【选择题】设数列{An}收敛，数列{Bn}发散，则数列{AnBn} D【判断题】收敛数列必有界对【判断题】两个（相同类型的）无穷小量的和一定是无穷小量对【判断题】若函数在某点无定义，则在该点的极限不存在错【选择题】设 f,g 为区间 (a,b)上的递增函数，则 min{f(x),g(x)}是(a,b) 上的A【选择题】设f在[a,b]上无界，且f(x)不等于0,则1/f(x)在[a,b]上D【判断题】闭区间上的连续函数是一致连续的对【判断题】两个收敛数列的和不一定收敛错【判断题】有上界的非空数集必有上确界对【判断题】两个无穷小量的商一定是无穷小量错【选择题】若函数f在(a,b)的任一闭区间上连续，则f B【选择题】一个数列{An}的任一子列都收敛是数列{An}收敛的C【判断题】若f,g在区间I上一致连续，则fg在I上也一致连续。

错【判断题】区间上的连续函数必有最大值错【判断题】两个收敛数列的商不一定收敛对【选择题】设函数f(x)在（a-c,a+c）上单调，则f(x)在a处的左、右极限B【选择题】定义域为[a,b],值域为（-1，1）的连续函数B【选择题】y=f(x)在c处可导是y=f(x)在点(c，f(c))处存在切线的A【判断题】最大值若存在必是上确界对【选择题】设f,g在（-a,a)上都是奇函数，则g(f(x))与f(g(x)) A【判断题】两个无穷大量的和一定是无穷大量错【选择题】函数f在c处存在左、右导数，则f在c点B【判断题】若函数在某点可导，则在该点连续对【判断题】若f(x)在[a,b]上有定义，且f(a)f(b)<0,则在(a,b)内至少存在一点c,使得f(c)=0 错第二次作业客观题【判断题】若f在区间I上连续，则f在I上存在原函数。

对【判断题】不存在仅在一点可导，而在该点的任一空心邻域内皆无连续点的函数。

《数学分析选讲》作业参考答案一．填空1． 点0P 的任一邻域内都有点集E 的无穷多个点。

2．}1:),{(22≤+y x y x 3．),(),(0d c b a E ⨯=4． }1)2()1(:),{(22≥++-y x y x ;5． 点0P 为点集E 的界点是指：点0P 的任一邻域中既有E 的点又有E 的余集的点; 6． φ,2R ．7． 存在0P 的一个邻域完全包含在点集E 之中 8． 曲顶柱体的体积 9． 22)()()(d b c a E d -+-=10．)()(lim 00P f P f P P =→11． (2,1); 12． 连通 二．判断题1． 对; 2． 对; 3． 对; 4． 对; 5． 错; 6． 错； 7． 对; 8． 对; 9． 对; 10． 错; 11． 对; 12．对;． 13． 对; 14． 对; 15． 对; 16． 错; 17． 对; 18． 对; 19． 对; 20． 对; 21．错 22． 对; 23． 对; 24． 对 三．计算题1． 解 视y 为x 的函数,对原方程两边关于x 求导得:022='--'+y ax ay y y x解出y '得:axy x ay y --='222． 令22),(αα+=x x f ,则函数f 在]1,1[]1,1[-⨯-上连续．从而,由定理19．1知:函数x x I d )(1122⎰-+=αα在]1,1[-上连续,特别在0=α处连续．于是1d ||)0()(lim d lim 1111220====+⎰⎰-→-→x x I I x x αααα．3． 由于}0,22:),{(2px px y px y x D ≤≤≤≤-=为x -型闭区域,所以由定理2知:002/0222/0===⎰⎰⎰⎰⎰-dx x ydy xdx xydxdy p px pxp D．4． 解 由公式计算知：().310d )12353210(d )1(4)1)1(2()1)1(2(d )(d 21231222=-+-=--+-++-=-+⎰⎰⎰x x x x x x x x x x yx y x xy L5． 解 由定理19．4知:()().d e y 22d e y -2d )(223535223522xy -2xy -2⎰⎰⎰--=-+=-+∂∂='-------x xx x x x x xx x x xxy y exee xey e x e y e xx F6． 由定义知.0 00lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=-=-+=→→xx f x f f x x x同理可得0)0,0(=y f ．7． 解 视y 为常数,关于x 求导数得:)cos(23y x xy z x ++=． 视x 为常数,关于求导数得: )cos(3322y x y x z y ++=．8． 先求f 在点)3,1(关于x 的偏导数,为此,令3=y ,得到以x 为自变量的一元函 数276)3,(23-+=x x x f ,求它在1=x 的导数,得15)123()3,(d d)3,1(121=+====x x x x x x f x f ．再求f 在)3,1(关于y 的偏导数,先令1=x ,得到以y 为自变量的一元函数321),1(y y y f -+=,求它在3=y 的导数,得.25)32(),1(d d)3,(323-=-====y y y y y f y x f9． 令22),(by ax y x f +=,则ax y x f x 2),(=,by y x f y 2),(=在整个平面上连续,从而由定理17．2知:f 在),(000y x P =处可微．因此,由定理17．4知该曲面在),,(000z y x M =点有不平行于z 轴的切平面且其方程为)(2)(200000y y by x x ax z z -+-=-．再由(4．2)式知,法线方程为12200000--=-=-z z by y y ax x x ．10．令x x x f ααcos ),(2=,则函数f 在]2,0[]1,1[⨯-上连续．从而,则定理19．1知:函数x x x I d cos )(202⎰=αα在]1,1[-上连续,特别在0=α处连续．于是38d )0()(lim d cos lim 22022====⎰⎰→→x x I I x x x αααα; 11．0,0;12． 由定理知:.2012)13(41)13(213)d y y 3()d xy y ()(24422231323133+=-+-=+=+∂∂='⎰⎰x x y x y x x x I13．解 由公式知πθθππ)]0()([)]([)()(2200221022022f R f d r f rdr r f d dxdy y x f R RD-=='=+'⎰⎰⎰⎰⎰14．解 由于直线段→--AB 的方程为)10(21,1≤≤+=+=t t y t x ，所以由公式（1）知： .625d )251(d ]2)21)(1[(d )(d 1021=++=+++=-+⎰⎰⎰t t t tt t t y x y x xy L四．证明题1．证明 因为),(,0+∞-∞∈≥∀y x 有22111cos xx xy +≤+ 且反常积分⎰∞++02d 11x x 收敛,所以由M-判别法知含参量积分⎰∞++02d 1cos x x xy 在区间),(+∞-∞上一致收敛．2． 由推广的链式法则知:.cos )sin (cos cos )sin (d d d d d d d d t t t e tt u ve tt t z t v v z t u u z t z t t +-=+-+=∂∂+∂∂+∂∂= 3． 证明 应用不等式：(1)000(,)||||n n n P P x x y y ρ≤-+-;(2) 0000||(,), ||(,) (1,2,)n n n n x x P P y y P P n ρρ-≤-≤=可知。

《数学分析选讲》 第四次作业一、判断下列命题的正误1.若函数)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上有界. 对2．若)(x f 在[,]a b 上可积，则2()f x 在[,]a b 上也可积.对3．若)(x f 在区间I 上有定义，则)(x f 在区间I 上一定存在原函数.错4．若)(x f 为],[b a 上的增函数，则)(x f 在],[b a 上可积.对5．若)(x f 在],[b a 上连续，则存在[,]a b ξ∈，使()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰.对二、选择题1．对于不定积分⎰dx x f )( ,下列等式中（ A ） 是正确的. A )()(x f dx x f dx d =⎰； B ⎰=')()(x f dx x f ； C )()(x f x df =⎰； D ⎰=)()(x f dx x f d2．若⎰+=c e x dx x f x 22)(，则=)(x f （ D ）A x xe 22 ；B x e x 222 ；C x xe 2 ；D )1(22x xe x +3．设5sin x 是)(x f 的一个原函数，则⎰='dx x f )(（ B ）A c x +-sin 5 ；B c x +cos 5 ；C 5sin x ；D x sin 5-4．若)(x f '为连续函数，则(41)'+=⎰f x dx （ B ） A 1(41)4++f x c ； B ()f x c +； C (41)++f x c ； D 4(41)++f x c 5．若⎰+=c x dx x f 2)(，则⎰=-dx x xf )1(2（ C ）A c x +-22)1(2 ；B c x +--22)1(2；C c x +--22)1(21 ； D c x +-22)1(21 6． =+⎰xdx cos 1 （ C ） A tan sec x x c -+ ； B csc cotx x -+； C tan 2x c + ； D tan()24x π-7．=-⎰)d(e x x （ D ）A c x x +-e ；B c x x x +---e e ；C c x x +--e ；D c x x x ++--e e8． 已知x e f x +='1)( ，则=)(x f （ D ）A 1ln x c ++ ；B 212x x c ++ ；C 21ln ln 2x x c ++ ； D ln x x c + 三、计算题1．求不定积分(2)x x e e dx -⎰. 2．求不定积分sin x xdx ⎰．sin cos x xdx xd x =-⎰⎰ [cos cos ]x x xdx =--⎰cos sin x x x c =-++ .3．求不定积分21+⎰x dx x ．4．求不定积分⎰dx .四、证明题设f 为连续函数.证明:00(sin )(sin )2x f x dx f x dx πππ=⎰⎰.证 令t x -=π ，则 0(sin )xf x dx π⎰ ⎰---=0)][sin()(πππdt t f t 0()(sin )t f t dt ππ=-⎰0000(sin )(sin )(sin )(sin )f t dt t f t dtf x dx xf x dx ππππππ=-=-⎰⎰⎰⎰故00(sin )(sin )2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰。