2.2导数基本公式与运算法则1

第二节 导数基本公式与运算法则教学目的：1.使学生掌握函数的和、差、积、商的求导法则；2使学生掌握反函数的导数法则、复合函数的求导法则；教学重点：初等函数的求导公式、复合函数的求导法则 教学过程：一、函数的和、差、积、商的求导法则定理 1：若函数)(x u 和)(x v 在点0x 都可导，则)()()(x v x u x f ±=在0x 点也可导，且 )()()(000x v x u x f '±'='。

证明：00000)]()([)]()([lim)()(lim0x x x v x u x v x u x x x f x f x x x x -±-±=--→→=0000)()(lim)()(limx x x v x v x x x u x u x x x x --±--→→=)()(00x v x u '±'所以)()()(000x v x u x f '±'='。

注 1：本定理可推广到有限个可导函数上去。

2：本定理的结论也常简记为v u v u '±'='±)(。

定理2：若)(x u 和)(x v 在0x x =点可导，则)()()(x v x u x f =在0x 点可导，且有)()()()()(00000'+'='x v x u x v x u x f 。

证明：00000)()()()(lim)()(limx x x v x u x v x u x x x f x f x x x x --=--→→=00000)()()()()()()()(limx x x v x u x v x u x v x u x v x u x x --+-→=00000)()()(lim )()()(limx x x v x v x u x v x x x u x u x x x x --+--→→=00000)()(lim)()(lim )()(lim0x x x v x v x u x v x x x u x u x x x x x x --+--→→→=)()()()(0000x v x u x v x u '+'即 )()()()()(00000x v x u x v x u x f '+'='。

注 1：若取c x v ≡)(为常数，则有：u c cu '=')(；2：本定理可推广到有限个可导函数的乘积上去，例如： w uc w v u vw u uvw '+'+'=')(s u v w s w uv ws v u vws u uvws '+'+'+'=')(等。

定理3：若)(),(x v x u 都在0x x =点可导，且0)(0≠x v ，则)()()(x v x u x f =在0x 点也可导，且)()()()()()(0200000x v x v x u x v x u x f '-'='。

证明：)()()()()()()(lim)()()()(lim)()(lim0000000000x v x v x x x v x u x v x u x x x v x u x v x u x x x f x f x x x x x x --=--=--→→→=])()(1)()()()(1)()([lim 0000000x v x v x x x v x v x u x v x x x u x u x x -----→=)(1)()()(1)(020000x v x v x u x v x u '-'=)()()()()(020000x v x v x u x v x u '-'即)()()()()()(0200000x v x v x u x v x u x f '-'='注1：本定理也可通过)(1)()(x v x u x f ⋅=，及])(1[x v 的求导公式来得；2：本公式简化为2)(vv u v u v u'-'='；3：以上定理1~3中的0x ，若视为任意，并用x 代替，使得函数的和、差、积、商的求导函数公式。

【例1】设xx x x f 22)(-+=，求)(x f '。

解： 31)21(21221)2()2()()22()(xxxx x xx x x f ⋅--⋅+='-'+'='-+='3111xx++=。

【例2】设x xe x f x ln )(=，求)(x f '。

解：)(ln ln )(ln )()ln ()('+'+'='='x xe x e x x e x x xe x f x x x xxxex xe x e xxx1ln ln ⋅++=)ln ln 1(x x x e x ++=。

【例3】xc x x xc x x x xx tan csc )(csc ,sin1)tan (,tan sec )(sec ,cos1)(tan 22⋅-='-='⋅='='二、反函数的导数法则定理1：设)(x f y =为)(y x ϕ=的反函数，若)(y ϕ在0y 的某邻域内连续，严格单调，且0)(0≠'y ϕ，则)(x f 在0x （即)(0y f 点有导数），且)(1)(00y x f ϕ'='。

证明：00000)()(1lim)()(lim)()(limy y y y y y y y x x x f x f y y y y x x --=--=--→→→ϕϕϕϕ)(1)()(lim10000y y y y y y y ϕϕϕ'=--=→所以 )(1)(00y x f ϕ'='。

注1：0y y x x →⇔→，因为)(y ϕ在0y 点附近连续，严格单调；2：若视0x 为任意，并用x 代替，使得)(1)(y x f ϕ'='或)(1dy dx dxdy =，其中dydxdx dy ,均为整体记号，各代表不同的意义；3：)(x f '和)(y ϕ'的“′”均表示求导，但意义不同； 4：定理1即说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数； 5：注意区别反函数的导数与商的导数公式。

【例1】求x y arcsin =的导数，解：由于]1,1[,arcsin -∈=x x y ，是]2,2[,sin ππ-∈=y y x 的反函数，由定理1得：2211sin11cos 1)(sin 1)(arcsin xyyy x -=-=='='。

注1：同理可证：22211)tan (,11)(arctan ,11)(arccos xx arcc xx xx +-='+='--='；2：2tan arctan arccos arcsin π=+=+x arcc x x x 。

【例2】求x y a log =的导数)1,0(≠>a a 。

解：利用指数函数的导数，自己做。

三、复合函数的求导法则复合函数的求导问题是最最常见的问题，对一复合函数往往有这二个问题：1.是否可导？2.即使可导，导数如何求？复合函数的求导公式解决的就是这个问题。

定理2（复合函数求导法则）：如果)(x u ϕ=在0x x =点可导，且)(u f y =在)(00x u u ϕ==点也可导，那么，以)(u f y =为外函数，以)(x u ϕ=为内函数，所复合的复合函数))((x f y ϕ=在0x x =点可导，且)()(000x u f dxdy x x ϕ''==，或)()(]))(([000x u f x f x x ϕϕ''='=证明： 000000)()()()(lim))(())((limx x x x u u u f u f x x x f x f x x x x --⋅--=--→→ϕϕϕϕ=0000)()(lim)()(limx x x x u u u f u f x x u u --⋅--→→ϕϕ=)()(00x u f ϕ'⋅'所以)()(,]))(([00x u f x f ϕϕ''=∃'。

注 1：若视0x 为任意，并用x 代替，便得导函数：)())(())((x x f dx x df ϕϕϕ'⋅'=，或)())((]))(([x x f x f ϕϕϕ'⋅'=' 或dxdu dudy dxdy ⋅=。

2：))((x f ϕ'与]))((['x f ϕ不同，前者是对变量)(x u ϕ=求导，后者是对变量x 求导，注意区别。

3：注意区别复合函数的求导与函数乘积的求导。

4：复合函数求导可推广到有限个函数复合的复合函数上去，如： )())(()))(((])))((([x h x h g x h g f x h g f '⋅'⋅'='等。

【例3】求xy 1arctan=的导数。

解：x y 1arctan=可看成u arctan 与xu 1=复合而成，211)(arctan uu +='，21)1(xx -='， 22211)1()1(11)1(arctanxxxx y +-=-⋅+='='⇒。

【例4】求μx y =（μ为常数）的导数。

解：x e x y ln μμ==是u e y =，x v v u ln ,=⋅=μ复合而成的。

所以111)(ln )()()(-⋅=⋅⋅=⋅⋅='⋅'⋅'='='μμμμμμμμxxx x e x v e x y u 。

这就验证了前面§2、1的[例4]。

由此可见，初等函数的求导数必须熟悉(i)基本初等函数的求导；(ii)复合函数的分解；(iii)复合函数的求导公式；只有这样才能做到准确。

在解题时，若对复合函数的分解非常熟悉，可不必写出中间变量，而直接写出结果。

【例5】21x y -=，求y '。

解：22221221)1(1121])1[()1(xx x xx x y --='-⋅-⋅='-='-='。