高中导数公式及导数的运算法则

在复合函数中，内层函数 u＝g(x)的值域必须是外层函 数 y＝f(u)的定义域的子集．
2．复合函数的求导法则 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量
的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即 yx′＝ yu′·ux′，
并且在利用复数的求导法则求导数后，最后结果要把中间 变量换成自变量的函数．复合函数，可以是一个中间变量， 也可以是两个或多个中间变量，应该按照复合次序从外向 内逐层求导．
2．函数 y＝21(ex＋e－x)的导数是(
)
A.12(ex－e－x) B.21(ex＋e－x)
C．ex－e－x D．ex＋e－x 解析 y′＝21ex＋e－x′＝12[(ex)′＋(e－x)′]＝
21(ex－e－x)． 3．[2017·泉州高二检测]函数 f(x)＝π2x2 的导数是( )
A．f′(x)＝4πx B．f′(x)＝2πx
C．f′(x)＝2π2x D．f′(x)＝2πx2＋2π2x
解析 由 f(x)＝π2x2 得 f′(x)＝2π2x，故选 C.
loga
xf
' ( x)
x
1 ln
a
(a
0且aΒιβλιοθήκη 1)f (x) ln xf '(x) 1 x
导数可以进行四则运算吗？
探究新知 一．导数的运算法则
设两个函数分别为f(x)和g(x)
法则
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)
语言法叙则述 两[个f(x函)g数(x的)]'＝和f('或(x差)g()x的)＋导f数(x)，g'等(x)于
随堂达标自测
1．下列函数不是复合函数的是( )
A．y＝－x3－1x＋1 C．y＝ln1x

y f (u ) , u ( x)
dy dy d u f (u ) ( x) dx d u dx
4. 初等函数在定义区间内可导, 且导数仍为初等函数
作业
A组： 1 （2）（4）. . .（12） 3(4)(5)(6) 4 选作：A组： 5 B组： 1 3 4
1 cos x
1 cos x
3(ln sin x ln(1 cos x))
y
1 1 (sin x) (1 cos x)] 3[ sin x 1 cos x cos x 0 ( sin x) 3[ ] 3 cot x 3 sin x sin x 1 cos x 1 cos x
练习：P.45
A组
3
（1）（2）（3）
例8 设y e 解
1 x 2
，求y
1 x 2
y (e
1 x 2
) e
1
2
( 1 x 2 )
2
e
1 x 2 (
2 1 x
) (1 x )
x 1 x
2
e
1 x 2
sin x 3 ) ，求 y 例9 设y ln( 1 cos x sin x 3 sin x 解 由于 y ln( ) 3 ln
例10 设为实数，求幂函数 x的导数 y . 解 y x 可写成指数函数的形式： y e ln x
y e , u ln x, 1 dy u u 从而 (e ) ( ln x) e x dx u 1 1 e x x x
用定义求导数的方法
(1)求增量y
y (2)求比值 x y (3)求极限lim0 x x

(2) s(t) t 3 12t 2 32t, 令s(t) 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8,
故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
例6.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程.
2题再加两题 :
(5).y

1 x4
; (6).y

x
x.
例4:求下列函数的导数:
(1)
y

1 x

2 x2
;
(2) y x ; 1 x2
(3) y tan x;
(4) y (2x2 3) 1 x2 ;
答案:
(1)
y


1 x2

4 x3
;
(3)
y

1 cos2
x
;
(2)
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差,想找个人问问,呃,能不能把你那位外国朋友介绍给我儿子认识？有电筒号码就行,以后有不懂の地方可以问问他.”陆羽：“...你跟我开玩笑？那位阿娇大姐の外语丝毫不比他差.”“可我儿子不信她！”陆倩急了,“小杏,看在咱们姐妹一场,帮帮姐这个忙好不好？求你了.”陆羽有点 无语,一心二用,接过柜台递出来の帐单看了看,签完名再塞回去,“姐,这个忙我没法帮,他今早回国了,我刚刚送他去机场,你另请高明吧.”说完,她挂了电筒专心办自己の事.用脚趾都能猜到真正要少君电筒号码の人是谁,陈娇娇当时表现得恨不得整个人贴在他身上.而陆倩,一看便知她是个 安守本分の女人.她在火车上没跟少君说过话,等于让一个陌生人教自己儿子？这么荒唐の事她想不出来,恐怕背后另有其人.等事情办妥出来,陆羽上下打量柏少君一番.“看什么？没见过帅哥？”柏

f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:
f ( x) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
(3.2.2)基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则
我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数 公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
作业:
• 作业: P93 2、3、4、5
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卫,为他办事情丶""の确不简单丶"魔仙强者,起码现在还是各大势力の顶级强者,能够成为魔仙の,哪壹位不是有着极高の傲骨の丶若不是有特别の原因,绝对不会轻易给别人当护卫の丶比如自己乾坤世界中,六大世家当中,加起来就有近二十位魔仙跟随,那是因为看中自己の潜力丶而这位 神城の城主,显然也有不错の潜力,至少根汉