高中导数公式及导数运算法则图文

例5
求 y = (2x2 + 3)(3x - 2) 的导数？
解：由导数的基本公式得：
y' (4x)(3x 2) (2x2 3) 3 12x2 8x 6x2 9 18x3 8x 9
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3.商的导数
法则3 两个函数的商的导数,等于分子的 导数与分母的积,减去分母的导数与分子 的积,再除以分母的平方,即
帮助我们解决两个函数加﹑减﹑乘﹑除的
求导问题.
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根据导数的定义，可以推出可导函 数四则运算的求导法则
若u=u(x)，v=v(x)在x处可导，则
1.和(或差)的导数
法则1 两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函 数的导数的和(或差),即
(u v) u v
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知识要点
f (x0 ) f (x) xx0
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1) y f (x) c, 2) y f (x) x, 3) y f (x) x2, 4) y f (x) 1 ,
x
y' 0；
y ' 1；
y ' 2x；
y' 1 . x2
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新课导入
由上节课的内容可知函数y=x2的导 数为y’=2x，那么，于一般的二次函数 y=ax2+bx+c，它的导数又是什么呢?这 就需要用到函数的四则运算的求导法 则.
例7
求
y
=
x+3 x2 + 3
在点x
=
3处的导数.
解：y' 1 (x2 3) (x 3) 2x (x2 3)2
x2 6x 3 (x2 3)2

＝－1nx－n2 －1＝－1nx－n+n1 ，
∴f ′(1)＝－1n，
由 f ′(1)＝－13得－1n＝－13，得 n＝3.
3.利用导数公式求切线方程
例题 1 求过曲线 y＝cosx 上点 Pπ3，12且与在这点的切线垂直 的直线方程．
[解析] ∵y＝cosx，∴y′＝－sinx，
曲线在点 Pπ3，12处的切线斜率是
[解析] (1)∵a 为常数，∴a2 为常数， ∴y′＝(a2)′＝0. (2)y′＝(x12)′＝12x11. (3)y′＝(x－4)′＝－4x－5＝－x45. (4)y′＝(lgx)′＝xln110.
规律总结
1.用导数的定义求导是求导数的基本方法，但运算较繁．利 用常用函数的导数公式，可以简化求导过程，降低运算难度．
牛刀小试
• 2．函数f(x)＝0的导数是( )
• A．0
B．1
• C．不存在
D．不确定
• [答案] A
• [解析] 常数函数的导数为0.
3．已知函数 f(x)＝1x，则 f ′(－2)＝( )
A．4
B．14
C．－4
D．－14
• [答案] D
[解析] ∵f ′(x)＝1x′＝－x12， ∴f ′(－2)＝－x12|x＝－2＝－14.
∴函数 f(x)在 x＝1 处的导数为－12.
规律方法
• 求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是： • (1)先求函数的导函数； • (2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．
跟踪训练
已知
f(x)＝ 1 ，且 nx
f
′(1)＝－13，求
n.
[解析] f ′(x)＝n1x′＝(x－1Байду номын сангаас )′

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求 f (x) x x2 的导函数。
∴ x (x2 ) 1 2x ( x x2 )
所以
同理
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概括
两个函数和（差）的导数，等于这两个函数导 数的和（差），即
f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x)
及求导公式可得：
将x 1 代入上式得：
故所求切线方程为：
即 k切线 4
即 4x y 4 0 巩固练习
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提示：导数等于切线斜率时，可求得P的坐标。
3. 已知 y ax3 3x2 2，它在 x 1处的切
线斜率是 4 ，求 a 值。
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小结
＊ 求导的加减法法则：
两个函数和（差）的导数，等于这两个函数导
数的和（差），即
f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x)
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例1 求下列函数的导数：
（1） y x2 2x （2） y x ln x
例2 求曲线 y x3 1 过点 x
分析 的切线方程。
分析
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动手做一做
1. 求下列函数的导数：
y 2 2 33 x
y 4x ln 4 1 x ln 3
y cos x ex
y
1 2x
1 cos2
x
2. 使得函数 y 2x3 6x 的导数等于0的 x值有几
个？
两个，±1
例2
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动手做一做
1. 求曲线 y cosx在 x 处的切线斜率和方
程。

A. y′=2xcosx-x2sinx B. y′=2xcosx+x2sinx C. y′=x2cosx-2xsinx D. y′=2xcosx-x2sinx
1 x 2. 求y= 3 x 的导数
1 x2
3. 求y= sin x 的导数
4. 求y=2x2+3x+1的导数
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课外作业：
P18页习题1 .2 A组第4、6、7题
公 式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 );
公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
公 式 7 .若 f ( x ) lo g a
x,则 f
'( x )
1 (a x ln a
0,且 a
1);
上导乘下,下导乘上,差比下方 7
[ f( x ) g ( x ) ] f ( x ) g ( x ) f( x ) g ( x )
如果上式中f(x)=c,则公式变为：
[c(g x)]cg(x)
8
练习2、求下列函数的导数。
(1) y = x3·ex
ln x (2)(3) y =x
(2) y = x2·2x
公 式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) 1 ;
x
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课堂小结
一、导数的四则运算法则
(1) (uv) uv
(2) (uv) uvuv
(3)
(
u v
)
uvuv v2
(v0).
二、复合函数的求导法则
yx yu ux，
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达标练习
1.函数y=x2cosx的导数为（ ）