平面力偶系(课堂PPT)

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第三章 平面力偶系
§3–1 平面力对点的矩 §3–2 平面力偶及其性质 §3–3 平面力偶系的合成和平衡条件
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§3-1平面力对点的矩
一、平面力对点的矩的实例
根据经验，用扳手拧螺母时，影响螺母
d
F
A
O
转动效果有以下因素： 所施力的大小、
O
施力点与螺母之间的距离、力的转向。
A
理论上用力对点的矩（简称力矩）来描述以上各因素，其为 描述力对刚体转动效应的物理量。
1、力偶矩是用来衡量力偶的作用效果的物 理量。 2、力偶矩的大小等于形成力偶的两个力 对其作用面内某点之矩的代数和。用
mO(F，F′)表示，简写为m。
如左图所示，力偶(F，F′)其力偶臂为d，
在平面内任选一点O，则:
M M O ( F ) M O ( F ') F A F 'O B F ( O A B O ) F O d
2、力偶的实例：开车时，司机双手施加在方向盘上的力即为一
对大小相等、方向相反、平行但不共线的力，其形成一力偶使
传动机构转动，带动前轮转向，进而控制汽车的行驶方向。
又如用攻丝的工具攻丝时用力。
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1
8
二、力偶的性质
1、力偶虽然由两个力组成，但是这两个力既不能用一个力等效，也不能用一 个力与之平衡。
2、只要保持力偶矩不变（包括大小和转向），力偶可以在其作用面内任意移转，而
i 1
证明：
Fy
x
Fx y
MO(F)FdFrsin()FsinrcosFcosrsin
MO(F)xFyyFx
y
Fy
F
x
Aβ
r β-α
Oα
Fx
y x
d
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[例] 已知：如图 F、Q、l, 求：mO (F ) 和 mo (Q )
解：①用力对点的矩法
l
mO(F)FdFsin
mo(Q)Ql ②应用合力矩定理
2. 可移性 力偶是自由矢量，可在刚体内任意移动。
（比较之，力是滑动矢量，只能沿作用线移动）
3. 等效性
偶的方向及F·d数值的前提下，力的值和间距、 作用位置、力的方向均可作相应改变。
=
=
F
另外，平面力偶是个代数量，
值为F·d，逆时针为正。
Ad
B
F
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三、力偶矩
不改变其对刚体的作用效果。
F' D
F 1'
F'
A
B
F
C
F
F1
3、只要保持力偶矩不变（包括大小和转向），可以同时改变力偶中力的大小和力偶 臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用效果。
•力偶同力一样，也是静力学中的一个基本要素。
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可简述为：
1. 独立性 和力一样是独立的力学量（尽管要用两个力来描述），力偶只能 用力偶来等效（不可能用一个力等效一个力偶）
mO(F)FxlFylctg
mo(Q)Ql
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§3-2 平面力偶及其性质
一、力偶的定义 1、定义：两个大小相等、方向相反、不共线的平行力组成的力 系称为力偶。记作（F，F′）。
F F'
F' A
F
O
B
组成力偶的两个力所在的平面称为力偶的作用面； 力偶中两个 力作用线之间的垂直距离称为力偶臂，用d表示。
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M1=F1d1 M2=-F2d2
保持力偶不变的情况下同时改变力的大小和力偶臂的长短，使
两个力偶的力偶臂均为d，如图3-8（b）所示。
根据力偶性质可得：
F3
M1 d
,
F4
M2 d
F3和F4、F′3和F′4组成两个共点力系，分别将其合成得到合力F 和F′（设F3＞F4），如图3-8（c）所示。
其中
F=F3-F4
F′=F′3-F′4
可见，合力偶矩为两个力偶矩的代数和。
推广之，可得到如下结论： 任意个力偶组成的平面力偶系可以 合成为一个合力偶，合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。
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n
M Mi i2
三、平面力偶系的平衡条件
平面力偶系平衡的充要条件：平面力偶系中各力偶矩的代数 和为零。
n
Mi 0
i 1
力偶矩的大小只与组成力偶的力的大小、力偶臂的长短及力偶 在作用面内的转向有关，与矩心的位置无关。
因此，平面力偶矩定义为M=±Fd ,是一个代数量
3、正负号表示其转向规定： 逆时针转向为正； 反之为负。
单位为： N·m。
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四、同平面内力偶的等效定理 1、同平面内力偶的等效定理：作用在同一平面内的两个力偶， 如果其力偶矩相等，则两个力偶彼此等效 注意： 两个力偶矩相等，不仅指力偶矩大小相等，还包括其转 向相同。
如右图所示，若Fd=F1d1， 则图 (a)、图 (b)所示的两个 力偶等效。
五、常见的力偶表示符号
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§3-3 平面力偶系的合成和平衡条件 一、平面力偶系的概念 由作用在同一平面内的多个力偶组成的力偶的集合，称为平面 力偶系。 二、平面力偶系的合成 首先以两个力偶组成的力偶系为例。 如图在同一平面内作用两个力偶 （F1，F′1）和（F2，F′2），其力偶 臂分别为d1、d2，两个力偶的矩分别 为M1、M2。
上式为平面力偶系的平衡方程。
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例3-1：如图3-9（a）所示，已知长为l的梁AB上作用一矩为 M的力偶，不计梁的自重。求支座A、B的约束力。
解：
（1）以梁AB为研究对象
分析得，梁AB受力如图 3-10所示
根据方程
n
Mi 0
i 1
FAlM0
FA
FB
M l
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所以：
FA
FB
M l
FAlM0
（2） 比较图3-9（a）、图3-9（b）可知： 除了力偶M在梁 AB上的位置不同，梁的约束和尺寸均一样。
根据推论1可知： 力偶M对梁的作用效果与其在梁上的位置
无关。因此图3-9（b）中A、B两处的约束力同图3-9（a）的
结果相等。
FA
FB
正，反之为负。
d
F
单位：N·m kN·m
A
O
O 转向
d
B
F A
O 转向 d BFA
力沿其作用线在刚体内移动，不改变力对点之矩。
力矩为零↔ d=0 或 F=0
力矩三要素：大小、方向、作用面。
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三、合力矩定理 合力对平面内任意一点的矩等于各个分力对该点矩的代数和.
n
M o ( F R ) M o ( F 1 ) M o ( F 2 ) M o ( F n )M o ( F i)
二、平面力对点的矩
如图所示，平面上一作用力F，在同
一平面内任取一点O，点O称为矩心；
点O到力F的作用线的垂直距离h称为
力臂。
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平面力对点的矩的定义为： 平面力对 点的矩是一代数量，其绝对值等于力 的大小与力臂的乘积。
MO(F)= ± F·d MO(F)= ± 2 OAB
其正负号规定为： 力使物体绕矩心作逆时针转动时力矩为