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§3-4 平面力偶系的合成与平衡§3-1 力对点之矩§3-2 力偶与力偶矩§3-3 力偶的等效【本章重点内容】力矩和力偶的概念;力偶的性质;平面力偶系的合成与平衡.§3-1 力对点之矩§3-1 力对点之矩一、平面力对点之矩（力矩）力矩作用面，O 称为矩心，O 到力的作用线的垂直距离h 称为力臂.两个要素1.大小：力F 与力臂的乘积2.方向：转动方向力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负. 常用单位N ·m 或kN ·m .()()OO M F h M =±⋅=×r r r r F F rF（3）力的作用线通过矩心时，力矩等于零；（4）互成平衡的二力对同一点之矩的代数和等于零.§3-1 力对点之矩r F（2）力对任一点之矩，不会因该力沿其作用线移动而改变，因为此时力和力臂的大小均未改变；r F （1）力对O 点之矩不仅取决于力的大小，同时还与矩心的位置有关；r F r F解：根据力对点之矩的定义()3sin 20010N 0.4m 0.86669.2 N m O M F h Fl α=⋅==×××=⋅r F 正号表示扳手绕O 点作逆时针方向转动. 应该注意，力臂是OD ，而不是OA .例3-1 扳手所受力如图，已知F =200kN ，l =0.4m ，α=120°，试求力对O 点之矩.r F例3-2 齿轮啮合传动，已知大齿轮节圆半径r 2、直径D 2，小齿轮作用在大齿轮上的压力为，压力角为α0. 试求压力对大齿轮传动中心O 2点之矩.r F r F 解：根据力对点之矩定义()2O M F h=−⋅r F()2O M F h=−⋅r F 从图中的几何关系得2200cos cos 2D h r αα==()220cos 2O D M F α=−⋅r F 故负号表示力使大齿轮绕O 2点作顺时针方向转动.r F第三章力矩平面力偶系§3-2 力偶与力偶矩一、力偶由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的力系称为力偶，记作(),′r r FF两个要素1.大小：力与力偶臂乘积2.方向：转动方向力偶矩ABC S d F d F M ∆±=⋅⋅⋅±=⋅±=2212力偶中两力所在平面称为力偶作用面力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂二、力偶矩三、力偶与力偶矩的性质（1）力偶在任意坐标轴上的投影等于零；（2）力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡；（3）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变.()()()()11111,O O O M M M F d x F x Fd′′=+=⋅+−⋅=r r r r F F F F ()()222,O M F d x F x F d Fd′′=⋅+−⋅′==r r F F 力矩的符号力偶矩的符号M()O M rF M F d=⋅第三章力矩平面力偶系§3-3 力偶的等效一、平面力偶的等效定理在同一平面内的两个力偶，只要它们的力偶矩大小相等、转动方向相同，则两力偶必等效. 这就是平面力偶的等效定理.(P , P ′）可以沿着其作用线移动到l 1, l 2上任何一点.C 二、平面力偶等效定理证明在力偶( F , F ′)作用面上，任取两点A 和B ，分别过A 、B 两点作平行线l 1, l 2与F , F ′，二力作用线分别交于C 点和D 点；则(P , P ′）作用结果等效于( F , F ′)所以力偶可在作用面内任意移动，它是自由矢量，与作用点无关.联结C 、D 两点，在CD 连线方向上加平衡力Q ,Q ′，则P= F+Q ，P ′= F ′+Q ′,F ′Q=力偶的等效自由矢量，与作用点无关===三、力偶的两个推论1.力偶可以在作用面内任意转移，而不影响它对物体的作用效应；2.在保持力偶矩大小和转向不改变的条件下，可以任意改变力偶臂的大小、力的大小而不影响它对物体的作用.第三章力矩平面力偶系§3-4 平面力偶系的合成与平衡已知;,,21n M M M L 任选一段距离d 11F dM=d F M 11=22F d M=dF M n n −=n n F d M=d F M 22==一、平面力偶系的合成=R 12n F F F F =++−L R12n F F F F ′′′′=++−L 合成后，得到合力偶M===R M F d =12n F d F d F d =++−L 12n M M M =++L 1ni ii M M M ===∑∑平面力偶系平衡的充要条件M = 0i M =∑平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和等于零.二、平面力偶系的平衡平衡方程合力偶M 的表达式1234iM M M M M M ==−−−−∑知道总切削力偶矩后，可以考虑夹紧措施，.顺时针方向转动04415N m 60N mM =−=−×⋅=−⋅例3-3 气缸盖上钻四个相同的孔，每个孔的切削力偶矩M 1=M 2=M 3=M 4=M 0=15N ·m ，转向如图，当同时钻这四个孔时，工件受到的总切削力偶矩是多大？解：四个力偶在同一平面内，因此这四个力偶的合力偶矩为例3-4 电动机联轴器，四个螺栓孔心均匀地分布在同一圆周上，孔的直径AC =BD =150mm ，电动机轴传给联轴器的力偶矩M 0=2.5kN ·m ，试求每个螺栓所受的力为多少？解：（1）以联轴器为研究对象假设四个螺栓受力均匀，每个螺栓反力四个反力组成两个力偶并与电动机传给联轴器的力偶平衡.1234F F F F ===（2）列平面力偶系平衡方程M =∑00M F AC F BD −×−×=而AC BD=故0 2.5kN m 8.33kN 220.15mM F AC ⋅===×例3-5 在框架的杆CD 上作用有一力偶，其力偶矩M 0为40N ·m . A 为固定铰链，C 、D 和E 均为中间铰链，B 为光滑面. 不计各杆质量，试求平衡时，A 、B 、C 、D 和E 处的约束反力.解：（1）先选取整个系统为研究对象，画受力图根据力偶由力偶平衡，必定与构成一力偶，故与平行且反向.B r F A r F A r F B r F平衡方程M =∑得0cos30A B M F F AB ==o 40N m 0.32m 0.866144N ⋅=×=0cos300A M F AB −+⋅=o F RA F RB（2）以杆CD 为研究对象，画受力图DE 为二力直杆沿ED 方向R D r F R C r F R D r F 必与平行且反向F RA F RB得R 5540N m 156N 40.32m 40.32mCM F ×⋅===××故R R 156ND C F F ==注意：本例题是由平衡力偶系平衡条件确定铰链反力方位.()()0R 220.2400.180.24C M F CD −+××=+0M =∑列平衡方程R D DE F F =O练3-1 已知M 1=2kN ·m ,OA=r =0.5m ,θ=30°，求平衡时M 2及铰链O 、B 处的约束力.解：取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质,画受力图=∑M 0sin 1=⋅−θr F M A 解得8kN O A F F ==Ar O2M A F取杆BC ，画受=∑M A F ′⋅解得28kN mM =⋅8kNB A F F ==OA F Ar O2M θA r 2M一、平面内的力对点O 之矩是代数量一般以逆时针转向为正，反之为负.二、力偶和力偶矩力偶是由等值、反向、不共线的两个平行力组成的特殊力系. 力偶没有合力，也不能用一个力来平衡.平面力偶对物体的作用效应决定于力偶矩M 的大小和转向力偶对平面内任一点的矩等于力偶矩，力偶矩与矩心的位置无关.()OM F h=±⋅rF四、平面力偶系的合成与平衡合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即∑=iM M 平面力偶系的平衡条件为=∑iM三、同平面内力偶的等效定理在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等彼此等效. 力偶矩是平面力偶作用的唯一度量.第三章力矩平面力偶系本章结束。
最新整理高二物理教案《力矩和力偶》教学设计《力矩和力偶》教学设计教学目标与要求一、知识目标1、了解力矩和力偶的概念；理解力的平移原理；2、掌握力偶性质。
二、能力目标掌握力偶性质，培养分析问题和解决问题的能力。
三、素质目标1、了解力矩和力偶的概念，掌握力偶性质；2、了解力的平移原理；并能解释生活和工程实际问题。
四、教学要求1、了解力矩和力偶的概念；2、掌握力偶性质及力的平移原理、应用。
教学重点1、力矩和力偶的概念，力偶性质；2、力的平移原理、应用。
难点分析力偶性质、力的平移原理及应用教学方法教学方法：讲练法、演示法、讨论法、归纳法。
教学安排2学时（90分钟）教学步骤：讲授与演示交叉进行、讲授中穿插讨论、讲授中穿插练习与设问，最后进行归纳。
教学过程★复习旧课（5分钟）约束类型柔体约束光滑面约束F固定铰链约束活动铰链约束★导入新课实践中人们发现，单个力对刚体除了产生移动效应外，在一定条件下力对刚体还可以产生转动效应。
★新课教学（80分钟）一、力矩1、力矩的概念力的大小F与力臂d的乘积称为力矩。
规定：力使物体绕矩心逆转为正；顺转负。
要点:☉力过矩心，力矩为零。
☉力为零，力矩为零。
☉力沿力线在刚体内移动，力矩不变。
2、合力矩定理平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于所有各力对该点之矩的代数和。
讨论：根据合力矩定理推出：“力偶对任一点的矩等于零’,错在哪里？合力矩定理指出：“合力对点之矩等于各分力对同一点之矩的代数和”，因为“力偶无合力”，所以力偶对一点之矩必等于零。
二、力偶1、力偶的概念等值、反向的两个平行力构成力偶。
2、力偶三要素力偶矩的大小、转向、力偶作用面称为力偶三要素。
说明：力、力偶为静力学两个基本物理量。
3、力偶矩规定：逆时针转向的力偶矩为正，顺转为负。
4、力偶性质☉力偶无矩心☉力偶无合力☉等效力偶可以互换讨论：图中力的单位是N，长度单位是cm。
试分析图示四个力偶，哪些是等效的？讨论：力偶等效只要满足（）A、只满足力偶矩大小相等B、只满足力偶矩转向相同C、只满足力偶作用面相同D、力偶矩大小、转向、作用面均相等三、力的平移把力F作用线向某点O平移时，须附加一个力偶，此附加力偶的矩等于原力F对点O的矩。
项目一 1.1.2 教学设计2015年 5月日星期模块名称平面力偶系模块课时3、4模块描述理解力矩、力偶、平面力偶系。
了解求解平面力偶系合成的方法。
教学目标提高学生运用平面几何知识解决力学问题的能力，提高对知识的理解运用能力。
培养学生的分析问题能力教学资源理论联系实际进行分析，围绕练习题展开讨论教学组织按座位自然分组教学过程教学阶段（可以按照完成这一模块（任务）的步骤呈现）学习任务知识点活动设计（教师活动、学生活动）（讲解、示范、组织、指导、安排、操作等）估用时间新课引入复习巩固所学知识力的概念和平面力系合成方法教师：引导学生一起复习相关知识点。
5新课讲解学习力对点之矩1、力对点之矩力对点的矩是很早以前人们在使用杠杆、滑车、绞盘等机械搬运或提升重物时所形成的一个概念。
现以板手拧螺母为例来说明。
如图1-1-4所示，在板手的A点施加一力F，将使板手和螺母一起绕螺钉中心O转动，这就是说，力有使物体（扳手）产生转动的效应。
实践经验表明，扳手的转动效果不仅与力F的大小有关，而且还与点O到力作用线的垂直距离d有关。
当d保持不变时，力10F越大，转动越快。
当力F不变时，d值越大，转动也越快。
若改变力的作用方向，则扳手的转动方向就会发生改变，因此，我们用F与d的乘积再冠以适当的正负号来表示力F使物体绕O点转动的效应，并称为力F对O点之矩，简称力矩，以符号MO（F）表示，即dFFM⋅±=)(OO点称为转动中心，简称矩心。
矩心O到力作用线的垂直距离d称为力臂。
学生：思考力矩在下列两种情况下等于零？教师：引导学生回答（1）力等于零；（2）力的作用线通过矩心，即力臂等于零。
教师：绘制图形，要求分别计算下图所示的F1、F2对O点的力矩。
学习合力矩2、合力矩教师：我们知道平面汇交力系对物体的作用效应可以用它的合力R来代替。
这里的作用效应包括物体绕某点转动的效应，而力使物体绕某点的转动效应由力对该点之矩来度量，因此，平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于该力系的各分力对该点之矩的代数和。
《机械基础》教案项目二构件的静力分析教案首页况下等于零：①力等于零；②力的作用线通过矩心，即力臂等于零,力矩的值也为零。
2）力沿其作用线滑动时，由于没有改变力、力臂的大小及力矩的转向，故力矩值不变应用举例求如图所示的力对Ａ点之矩。
二、合力矩定理定理：平面汇交力系的合力对于平面内任何一点之矩等于所有各力对于该点之矩的代数和。
数学表达式为M0(FR )=M0(F1)+M0(F2)+…+M0(Fn)三、力偶和力偶矩定义：偶：作用在同一物体上的两个力大小相等、方向相反且作用线平行的一对力。
偶的作用平面：两力作用线所在的平面。
力偶臂：两力作用线间的垂直距离d。
讲解：力偶的作用效果是引起物体的转动，和力矩一样，产生转动效应。
力偶的转动效应用力偶矩M 表示，它等于力偶中任何一个力教师讲解教师讲解教师展示图片，提问学生思考、记忆学生观察课件、认真思考、记忆学生认真思考，积极回答。
用点B的矩。
证明：图2-19a中力作用于刚体的点A。
在刚体上任取一点B，d为点B至力F作用线的垂直距离，在点B加上两个等值反向的力F´和F"，并F = F´= F"，显然三个力F、F´、F"、组成的新力系与原力等效，如图2-19b所示。
此时可将F´看作是力F平移到点B后的力，而 F、F〃构成一力偶。
该力偶就是所需的附加力偶。
如图2-19c所示，附加力偶矩为M = F × d = MB(F)2.应用应用举例：由力的平移定理可知，可以将一个力替换成同平面内的一个力和一个力偶；反之，同一平面内的一个力和一个力偶也可以用一个力来等效替换。
力生物平移定理不仅是力系向一点简化的依据，也可以解释一些实际问题。
【三】归纳总结回顾本次课程所学知识，强调本节课的重点与难点，加深理解与记忆。
【四】布置作业完成讲堂练习和课后作业。
第三章 力对点的矩和平面力偶系一、内容提要本章研究了力矩和力偶。
1．力矩及计算（1）力矩 力矩表示力使物体绕矩心的转动效应。
力矩等于力的大小与力臂的乘积。
在平面问题中它是一个代数量。
一般规定：力使物体绕矩心产生逆时针方向转动为正，反之为负。
用公式表达为()Fd F M O ±=（2）合力矩定理 平面汇交力系的合力对平面内任一点的力矩，等于力系中各力对同一点的力矩的代数和。
用公式表达为()()F M F M O O ∑=R2．力偶的基本理论（1）力偶 由两个大小相等、方向相反、不共线的平行力组成的力系，称为力偶。
力偶与力是组成力系的两个基本元素。
（2）力偶矩 力与力偶臂的乘积称为力偶矩。
为代数量，规定：逆时针方向转动为正，反之为负。
用公式表达为：Fd M ±=（3）力偶的性质力偶不能合成为一个合力，不能用一个力代替，力偶只能与力偶平衡。
力偶在任一轴上的投影恒为零。
力偶对其平面内任一点矩都等于力偶矩，与矩心位置无关。
在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等，转向相同，则这两个力偶等效。
力偶对物体的转动效应完全取决于力偶的三要素：力偶矩的大小、力偶的转向和力偶所在的作用面。
（4）平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成结果为一个合力偶，合力偶矩等于平面力偶系中各个力偶矩的代数和。
用公式表达为：M R =ΣM平面力偶系的平衡条件是合力偶矩等于零。
用公式表达为：ΣM = 0二、思考题提示或解答3-1 试比较力矩与力偶矩的异同点。
答：平面汇交力系的合力对平面内任一点的力矩，等于力系中各分力对同一点的力矩的代数和。
这就是平面力系的合力矩定理。
应用合力矩定理在于简化力矩的计算。
当力臂不易确定时，可将力分解为易找到力臂的两个互相垂直的分力，在求出两分力的力矩后，再代数相加即可。
3-3 二力平衡中的两个力，作用与反作用公理中的两个力，构成力偶的两个力各有什么不同?答：二力平衡中的两个力等值、反向、共线，共同作用在一个物体上；作用与反作用公理中的两个力等值、反向、共线，分别作用在两个物体上； 构成力偶的两个力等值、反向、互相平行，也作用在一个物体上。
