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平面汇交力系和平面力偶系
平面汇交力系和平面力偶系是平面力学中的两个重要概念。
平面汇交力系是指各力的作用线在同一平面内且汇交于一点的力系。
在平面汇交力系中，力的大小和方向可以通过力的矢量表示。
平面汇交力系的合成可以通过力的多边形法则来进行，即将各个力按照首尾相接的顺序连接起来，形成一个封闭的多边形，合力则为这个多边形的封闭矢量。
平面力偶系是指由若干个力偶组成的力系，其中力偶是由大小相等、方向相反且不共线的两个力组成的力矩对。
在平面力偶系中，力偶的作用效果是产生旋转，而不是平移。
平面力偶系的合成可以通过力偶矩的代数和来进行。
平面汇交力系和平面力偶系在工程和物理学中有广泛的应用。
在结构分析、机械设计和力学问题中，常常需要考虑和分析平面汇交力系和平面力偶系的作用效果。
总的来说，平面汇交力系和平面力偶系是平面力学中的重要概念，它们的合成和平衡条件对于理解和解决平面力学问题至关重要。
第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系是两种简单力系，是研究复杂力系的基础，本章将分别研究两种力系的合成与平衡问题。
§2-1平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系是指各力的作用线在同一平面内且汇交于一点的力系。
一、平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则如图a 所示，作用在刚体上的四个力1F ，2F ，3F 和4F 汇交于点A 。
连续应用平行四边形法则，即可求出通过汇交点A 的合力R 。
合力R 的大小和方向也可用图(b)所示的力三角形法则或力多边形法则得到。
后者，作出图示首尾相接的开口的力多边形abcde ,封闭边矢量ae 即所求的合力。
通过力多边形求合力的方法称为几何法。
改变分力的作图顺序，力多边形改变，如图(c)所示，但其合力不变。
平面汇交力系可合成为通过汇交点的合力，其大小和方向等于各分力的矢量和。
即∑==+++=n i i 1n 21F F F F R 简写为 ∑=F R （2-1）二、平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：力系的合力等于零。
其矢量表达式为∑==0F R （2-2）力系平衡的几何条件是：力系的力多边形自行封闭。
例2-1 如图所示，钢梁的重量kN 6N 1063=⨯=P ,︒=30θ，试求平衡时钢丝绳的约束力。
解：取钢梁为研究对象。
作用力有：钢梁重力P ，钢绳约束力AF 和B F 。
三力汇交于D 点 ，受力如图a 所示。
作力多边形，求未知量。
首先选择力比例尺，以1cm 长度代表2kN 。
其次，任选一点e ，作矢量ef ，平行且等于重力P ，再从e 和f 两点分别作两条直线，与图(a)中的A F 、B F 平行，相交于h 点，得到封闭的力三角形efh 。
按各力首尾相接的次序，标出fh 和he 的指向，则矢量和he 分别代表力A F 和B F （如图b 所示）。
按比例尺量得和的长度为：45.3=fh cm ， 45.3=he cm即 45.3145.3=⨯=A F kN ，45.3145.3=⨯=B F kN 从力三角形可以看到，在重力P 不变的情况下，刚绳约束力随角θ增加而加大。
理论力学第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系是两种简单力系，是研究复杂力系的基础。
本章将分别用几何法与解析法研究平面汇交力系的合成与平衡问题，同时介绍平面力偶的基本特性及平面力偶系合成与平衡问题。
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系是指各力的作用线都在同一平面内且汇交于一 点的力系。
1．平面汇交力系合成的几何法、力多边形规则设一刚体受到平面汇交力系 1F ， 2F ， 3F ， 4F 的作用，各力作用线汇交于点A ，根据刚体内部力的可传性，可将各力沿其作用线移至汇交点A ，如图2-la 所示。
为合成此力系，可根据力的平行四边形规则，逐步两两合成各力，最后求得一个通过汇交点A 的合力R F ;还可以用更简便的方法求此合力R F 的大小与方向。
任取一点a ，先作力三角形求出1F 与2F 的合力大小与方向R1F ，再作力三角形合成R1F 与3F 得R2F ，最后合成R2F 与4F 得R F ，如图2-lb 所示。
多边形abcde 称为此平面汇交力系的力多边形，矢量ae 称此力多边形的封闭边。
封闭边矢量ae 即表示此平面汇交力系合力R F 的大小与方向(即合力矢)，而合力的作用线仍应通过原汇交点A ，如图2-la 所示的R F 。
必须注意，此力多边形的矢序规则为:各分力的矢量沿着环绕力多边形边界的同一方向首尾相接。
由此组成的力多边形abcde 有一缺口，故称为不封闭的力多边形，而合力矢则应沿相反方向连接此缺口，构成力多边形的封闭边。
多边形规则是一般矢量相加(几何和)的几何解释。
根据矢量相加的交换律，任意变换各分力矢的作图次序，可得形状不同的力多边形，但其合力矢仍然不变，如图2-lc 所示。
总之，平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于各分力的矢量和(几何和)，合力的作用线通过汇交点。
设平面汇交力系包含n 个力，以R F 表示它们的合力矢，则有RF =1F +2F +…+nF =∑=n1i iF(2-1)合力R F 对刚体的作用与原力系对该刚体的作用等效。
第二章 平面汇交力系与平面力偶系§2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法一、汇交力系合成与平衡的几何法 汇交力系：是指各力的作用线汇交于同一点的力系。
若汇交力系中各力的作用线位于同一平面内时，称为平面汇交力系，否则称为空间汇交力系。
1、平面汇交力系的合成先讨论3个汇交力系的合成。
设汇交力系1F ，2F ，3F汇交于O （图1），由静力学公理3：力的平行四边形法则（力的三角形）可作图2，说明)(),,(321F F F F=如图和图所示，其中321F F F F ++=F2F 3F OFO1F 2F 3F12F讨论：1）图2中的中间过程12F 可不必求，去掉12F 的图称为力多边形，由力多边形求合力大小和方向的方法称为合力多边形法则。
2）力多边形法则：各分力矢依一定次序首尾相接，形成一力矢折线链，合力矢是封闭边，合力矢的方向是从第一个力矢的起点指向最后一个力矢的终点。
3）上述求合力矢的方法可推广到几个汇交力系的情况。
结论：汇交力系合成的结果是一个合力，合力作用线通过汇交点，合力的大小和方向即：∑=i F F用力多边形法则求合力的大小和方向的方法称为合成的几何法。
2．平面汇交力系的平衡1F 2F iF 2-n F 1-n F n F设作用在刚体上的汇交力系),,(21n F F F 为平衡力系，即 0),,(21≡n F F F先将121,,-n F F F 由力多边形法合成为一个力1-N F，（∑-=-=111n i i N F F ）0),(),,(121≡≡-n N n F F F F F由静力公理1，作用在刚体上二力平衡的必要充分条件是：1-N F 与n F等值，反向，共线，即n N F F =-1， 可得01=+-n N F F，或0=∑i F结论：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系中各力的乖量和为零，用几何法表示的平衡条件是0=∑i F，力多边形自行封闭。
例1． 已知：简支梁AB ，在中点作用力F，方向如图，求反力FA B C45F AF BACα 45FF BF α解：1。
取研究对象AB 梁 2．受力分析如图3．作自行封闭的力三角形如图 21=αtg 4．求解)45sin(45sin )90sin(αα-==+B A F F Fαcos 45sin F F A = ααcos )45sin(-= F F B例2．已知：支架ABC ，A 、B 处为铰支座，在C 处用销钉连接，在销上作用kN P 20=，不计杆自重。
求：AC 和BC 杆所受的力。
ABCP30C30ACF BCF P30ACF BC解：1。
取研究对象销钉C 2．受力分析3．作自行封闭的力多边形。
4．解三角形60sin 90sin 30sin BC AC F F P == §2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法1． 力在坐标轴上的投影αaxAB OiF F abF x ⋅==±=αcos ⎭⎬⎫==ααcos cos F F F F y x力矢F与各投影有以下关系：F O = j O i O O y x+= 此式称为力的解析式2．合力投影定理若某平面汇交力系由几个力组成，则合力j F i F F F iy ix i )()(∑∑∑+==j F i F y x +=于是 ⎪⎭⎪⎬⎫==∑∑iy y ix x F F F F结论：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上的投影的代数和，这称为合力投影定理。
合力的大小：22)()(∑∑+=iy ix F F F *合力的方向：FFix∑=αcos FFiy∑=βcos2．平衡由几何法知。
汇交力系平衡 0=∑i F由式（*）知⎪⎩⎪⎨⎧==∑∑00iyix F F平面汇交力系平衡的必要与充分的解析条件是：力系中各力在直角坐标系中每一轴上的投影的代数和都等于零。
上式称为平面汇交力系的平衡方程，两个方程求两个未知量。
例3. 已知：在铰拱不计拱重，结构尺寸为a ，在D 点作用水平力P ，不计自重，求支ﾧ@、C 的约束反力。
a aABCDPBF B AAF BF ' B C CF PxDy解：分析易知OAB 是二力杆件， 1．以BCD 为研究对象； 2．受力分析 3．列方程，求解0=∑ixF045cos 45cos =-+- C B F F P0=∑iyF 045sin 45cos =+B C F F 求得 P F B 22=P F C 22-= 也可在y x B ''系中。
0=∑'y i F045cos =-- B C F F0=∑'x i F045sin =- P F B可知：选择合适的坐标系，可以简化计算。
例4．已知：kN P 20=，不计杆重和滑轮尺寸，求：杆AB 与BC 所受的力。
PA BC303030 FT F ABF BCF B3030 30解：1、研究对象：滑轮 2．受力分析 3．列方程求解0=∑ixF030sin 30cos =--- T BC BA F F F 0=∑iyF030cos 30sin 1=---F F F BC其中 P F F T ==解得 kN F BC 64.74-=（压） kN F AB 64.54=（拉）小结：从刚才的解题中，我们可以看出，几何法解题直观、简单、容易掌握，力系中各力之间的关系在力多边形中一目了然。
但是若力多与三个时，力多边形的几何关系就非常复杂。
而且由于按比例尺作图，因此只能反映各量（力、尺寸、角度）的某些特定值之间的关系，不能反映各量之间的函数关系。
只要改变一个量，就要重新作图。
因此在实际中，我们更多的是采用解析法来解题。
§2.2 平面力对点之矩的概念及计算平面中力矩的概念（一）、力对点的矩的定义力使刚体绕O 点转动的强弱程度的物理量称为力对O 点的矩。
用M O (F )表示，其定义式为M O (F )=±Fd其中：点O 称为矩心，d 称为力臂。
力矩的正负号表示力矩的转向，规定力使物体绕矩心逆时针转动取正，反之取负。
力矩的单位为：牛顿·米（N ·m ）。
由图可知：M O (F )=±△ABC 的面积 （二）、平面汇交力系的合力矩定理定理：平面汇交力系的合力对平面内任意一点的矩等于各个分力对同一点之矩的代数和。
即利用合力矩定理，可以写出力对坐标原点的矩的解析表达式，即()()()o o o m F m Y m X Y x X y =+=⋅-⋅例1支架如图所示，已知AB=AC=30cm,CD=15cm,F=100N ,。
求 对A 、B 、C 三点之矩。
o ABdFoxxyyF XAY)()(i o o F m R m ∑=30=α解：由定义由合力矩定理例2如图所示，求F 对A 点的矩。
解一：应用合力矩定理解二：由定义小结：力对刚体的作用效应使刚体的运动状态发生改变（包括移动与转动），其中力对刚体的移动效应可用力矢来度量；而力对刚体的转动效应可用力对点的矩（简称力矩）来度量，即力矩是度量力对刚体转动效应的物理量。
§2.4 平面力偶一、力偶的概念αFAC DAd Cd OαxyFA1r 2r B dmN CD F Fd F m m N AD F Fd F m C C A A ⋅-=⋅⋅-=-=⋅-=⋅⋅-=-=⋅⋅5730sin )(52230sin )(mN AD F AB F AD F AB F F m y x B ⋅-=⋅⋅-⋅⋅=⋅-⋅-=48.4830sin 30cos )()cos ()cos (sin cos sin sin )cos (cos )()()(212212112ααααααααr r F Fr Fr r F r r F F m F m F m y A x A A -=++-=+--=+= αcos 1r OB =αcos 12r r AB -=12cos cos r r AB d -==αα)cos ()(21αr r F Fd F m A -=-=在力学中，把等值、反向、平行而不共线的两个具有特殊关系的力作为一个整体，称为力偶。
以( F,F ′)表示。
两力作用线所决定的平面称为力偶的作用面，两力作用线间的距离称为力偶臂。
力偶是具有特殊关系的力组成的力系，虽然力偶中每个力仍具有一般的力的性质，但作为一个整体又有它本身的特性，现归纳如下： 二、力偶的性质1、力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本的力学量。
力偶既然是一个无合力的非平衡力系。
因此：力偶不能与一个力等效，也不能与一个力平衡。
力偶只能与力偶平衡。
力偶对刚体的作用效果不仅与力偶中两力的大小有关，而且与力偶臂有关，将力偶中力的大小和力偶臂的乘积冠以适当的正负号称为力偶矩，用m 表示，即 正负号表示力偶的转向。
规定逆时针取正；顺时针取负。
单位同力矩的单位。
2、只要保持力偶矩不变，力偶可以改变力的大小和相应的力偶臂的大小，同时力偶可在其作用面内任意移转，而不改变其对刚体的作用。
此性质是力偶系合成的基础。
由此可见，两力偶的等效条件是力偶矩相等。
在平面问题中，决定力偶作用效果的因素为：矩的大小和转向。
所以力偶矩是代数量。
3、力偶在作用面内任一轴上的投影均为零。
4、力偶对其作用面内任一点之矩与矩心的位置无关，恒等于力偶矩。
三、平面力偶系的合成作用面共面的力偶系称为平面力偶系。
dFF 'mmFdm ±=1）d F m 11= d F m 22= d F m 33-= 321F F F R -+= ()321F F F R -+-=321321)(m m m d F F F Rd M ++=-+==推广得：m m m m M n ∑=+⋅⋅⋅++=21结论：平面力偶系合成的结果还是一个力偶（称为合力偶），合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩的代数和。
四、平面力偶系的平衡平面力偶系总可以简化为图（1）示情形。
若R=0，则力偶系平衡，而力偶矩等于零。
反之，若已知合力偶矩等于零，则或是R=0或是d=0，无论哪种情况，该力偶系均平衡。
因此可得结论：平面力偶系平衡的必要与充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零。
即：0=∑m 上式称为平面力偶系的平衡方程。
例、求图示简支梁的支座反力。
AB1m 2m 3m lBB1F '1F 2F '2F 3F 3F 'd2m 2m 3m RRR 'A B解：以梁为研究对象，受力如图。
0:0321=++-=∑m m m l R m A解之得：B A R lm m m R =--=321AB1m 2m 3m AR BR。
