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试述平面应力问题和平面应变问题的特点。
平面应力问题和平面应变问题是固体力学中的两个重要概念，用于描述材料在二维平面内受力和变形的行为。
它们具有以下特点：
平面应力问题特点：
1.二维平面：平面应力问题假设材料在一个平面内受力，即只考虑材料在平
面内的应力分布，忽略沿垂直于该平面的应力分量。
2.平行应力：在平面应力问题中，只考虑平行于平面的应力分量，即沿着平
面的两个方向上的应力分量。
3.垂直应力：由于假设材料在平面外的应力分量为零，因此平面应力问题中
不考虑垂直于平面的应力分量。
4.线性弹性：平面应力问题通常基于线性弹性理论，即假设材料的应力-应
变关系是线性的。
平面应变问题特点：
1.二维平面：与平面应力问题类似，平面应变问题假设材料在一个平面内变
形，只考虑材料在平面内的应变分布，忽略垂直于该平面的应变分量。
2.平行应变：平面应变问题中，只考虑平行于平面的应变分量，即沿着平面
的两个方向上的应变分量。
3.垂直应变：与平面应力问题不同，平面应变问题中考虑垂直于平面的应变
分量。
4.线性弹性：平面应变问题通常基于线性弹性理论，假设材料的应力-应变
关系是线性的。
这些问题的特点使得对材料在二维平面内受力和变形行为进行简化和分析成为可能。
它们在工程学和材料科学中有广泛的应用，例如在结构力学、材料设计和应力分析中的应用。
平面应力问题和平面应变问题的异同点
平面应力和平面应变都是起源于简化空间问题而设定的概念。
平面应力：只在平面内有应力，与该面垂直方向的应力可忽略，例如薄板拉压问题。
平面应变：只在平面内有应变，与该面垂直方向的应变可忽略，例如水坝侧向水压问题。
具体说来：平面应力是指所有的应力都在一个平面内，如果平面是OXY平面，那么只有正应力σx，σy，剪应力τxy(它们都在一个平面内)，没有σz，τyz，τzx。
平面应变是指所有的应变都在一个平面内，同样如果平面是OXY平面，则只有正应变εx，εy和剪应变γxy，而没有εz，γyz，γzx。
举例说来：平面应变问题比如压力管道、水坝等，这类弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。
平面应力问题讨论的弹性体为薄板，薄壁厚度远远小于结构另外两个方向的尺度。
薄板的中面为平面，其所受外力，包括体力均平行于中面面内，并沿厚度方向不变。
弹性力学网上辅导 3平面问题的基本理论一、两类平面问题1.平面应力问题。
这类问题的条件是：弹性体是多厚度的薄板, 体力、面力和约束都只有xy 平面内的量，都不沿Z向变化；并且面力和约束只作用于板边，在板面上没有任何面力和约束的作用。
平面应力问题特征是：⑴由于板面上无面力和约束作用，以及薄板很薄，可以得出（（7 z , T ZX 和T xy）=0 （在平面域A内）。
因此，只有7x，7 y，T xy三个平面内的应力分量。
⑵由于物体形状和外力、约束沿z向均不变化，因此应力分量只是X，y两变量的函数。
以后还可从物理方程得出，应变分量也只是X，y的函数；而从几何方程积分求位移可见，位移与Z 有关。
归纳起来讲，所谓平面应力问题，就是只有平面应力分量（7 X，7 y和T xy）存在，且仅为X，y的函数的弹性力学问题。
例如，厚度较薄的浅梁和深梁，受上部荷载及自重的墙，以及有分缝的重力坝等，都属于平面应力问题，凡是符合上述这两点的问题，均属于平面应力问题。
2.平面应变问题这类问题的条件是：弹性体为常截面的很长柱体，体力、面力和约束条件与平面应力问题相似，只有xy平面内的体力、面力和约束的作用，且都不沿z向变化。
这个问题可以简化为平面应变问题。
平面应变问题特征是：⑴假想柱体为无限长时，则任一截面（z面）都是对称面，于是CD =0,只有平面位移分量u 和v 存在，因此，此问题可称为平面位移问题；同样由于对称性，c z =0和丫zx，丫zy=0 （相应的T zx，和T zy=0），只有平面应变分量£ x ，£y, T xy 存在，所以此问题又称为平面应变问题。
⑵由于截面形状、体力、面力及约束沿z向均不变，因此，它们只是X，y 的函数。
由此可见，所谓平面应变问题，就是只有平面应变分量（£ z , £ y和Txy ,）存在，且仅为x，y的函数的弹性力学问题。
进而可认为，凡是符合这两点的问题，也都属于平面应变问题。
平面应力问题和平面应变问题的基本方程中嘿，伙计们！今天我们要聊聊一个非常有趣的话题——平面应力问题和平面应变问题的基本方程。
别担心，我会用最简单的语言来解释这个话题，让你轻松理解。
让我们来看看什么是平面应力问题和平面应变问题吧。
平面应力问题，就是指在一个平面内，物体受到的力分布不均匀，导致物体内部产生应力。
而平面应变问题呢，就是指在一个平面内，物体的形状发生变化，导致物体内部产生应变。
这两个问题看似复杂，但其实它们都是由一个基本方程组成的。
这个基本方程就是什么呢？嘿嘿，让我慢慢告诉你。
这个方程叫做胡克定律，它是由英国科学家胡克在18世纪发现的。
胡克定律告诉我们，一个物体受到的应力与其形变成正比，与材料的弹性模量成反比。
换句话说，一个物体受到的应力越大，它的形变就越大；而材料的弹性模量越大，它所能承受的应力就越大。
那么，我们如何运用胡克定律来解决平面应力问题和平面应变问题呢？这里我就给大家举个例子吧。
假设我们有一个矩形板子，它的长度是L,宽度是W,材料是弹性模量为E的金属。
现在我们在板子的四个角上分别施加了40牛顿的力，让板子发生形变。
我们想要知道板子发生了多大的形变。
我们需要计算出板子受到的总应力。
因为我们在四个角上分别施加了40牛顿的力，所以总应力就是40 * 4 = 160牛顿。
接下来，我们要用胡克定律来计算板子的形变。
根据胡克定律，我们可以得到：$\Delta L = F times E \div (A * L)$$\Delta W = F \times E \div (A * W)$其中，$\Delta L$表示板子的长度变化，$\Delta W$表示板子的宽度变化，F表示施加在板子上的力，E表示板子的弹性模量，A表示板子的面积。
将已知的数据代入公式，我们就可以得到：$Delta L = 160 times E \div (4 * A) = 40E \div A$$\Delta W = 160 \times E div (4 * A) = 40E \div A$所以，板子的长度和宽度分别发生了$40E \div A$的形变。
平面应力举例
平面应力问题的一个典型例子是一块很薄的板，仅在板边上受到平行于板面的力和约束，且力的方向不随板的厚度变化而变化。
例如，手帕就可以被视为一个平面应力的例子，因为它很薄，只能承受绷紧的张力，而不能承受垂直于手帕的外力。
在这种情况下，手帕只受到沿其平面的应力作用，而垂直于手帕平面的应力可以忽略不计。
另一个例子是圆盘在边缘均布压力作用下的结构响应。
例如，一个半径为20mm，厚度为1mm的圆盘，在边缘施加10MPa的均布压强，这就是一个典型的平面应力问题。
在这种情况下，圆盘的变形和应力状态可以通过平面应力理论进行分析和计算。
这些例子都说明了平面应力问题的特点，即结构在某一方向（通常是厚度方向）的尺寸远小于其他两个方向，且外力作用平行于结构的主要平面，因此可以忽略垂直于该平面的应力分量，将问题简化为二维问题进行处理。
这种简化可以大大简化分析和计算过程，同时又能得到足够精确的结果，因此在工程实践中得到了广泛应用。
平面应力问题平面域A 内的基本方程:平衡微分方程（在A 内） 几何方程（在A 内）物理方程（在A 内）即: S 上边界条件:应力边界条件在 上）位移边界条件（在 上） 平面应变问题常体力时方程的解为特解叠加下面方程的通解0,0.yx x y xyσX x y σY y x ∂⎫∂++=⎪∂∂⎪⎬∂∂⎪++=⎪∂∂⎭ττ, , .x y xy u v v ux y x yεεγ∂∂∂∂===+∂∂∂∂11(),(),2(1).x x y y y x xy xy σσσσE E Eεμεμμγτ⎫=-=-⎪⎪⎬+⎪=⎪⎭22()1()(a)12(1)x x y y y x xy xyE σεμεμE σεμεμE τγμ⎫=+⎪-⎪⎪=+⎬-⎪⎪=⎪+⎭{}[]{}2101011002(10, 2.18)x x y y xy xy σE σσD P ⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥==⎨⎬⎨⎬⎢⎥-⎪⎪⎪⎪⎢⎥-⎩⎭⎩⎭⎢⎥⎣⎦=•εμμεμμτγε式(),().x yx s x y xy s y l σm f m σl f ττ⎫+=⎪⎬+=⎪⎭σs(),().s s u u v v ⎫=⎪⎬=⎪⎭us 2222y xy x y x x yεγε∂∂∂+=∂∂∂∂.1 ,12μμμμ-→-→E E 0,0.yx x y xyσx y σy x ∂⎫∂+=⎪∂∂⎪⎬∂∂⎪+=⎪∂∂⎭ττ22,y ΦσYy x∂=-∂.2yx Φτxy ∂∂∂-=22,x ΦσXx y∂=-∂二、基本假设 1、连续性假定假定物体是连续的。
因此，各物理量可用连续函数表示。
2、完全弹性假定a.完全弹性—外力取消，变形恢复，无残余变形。
b.线性弹性—应力与应变成正比。
即应力与应变关系可用胡克定律表示（物理线性）。
3、均匀性假定假定物体由同种材料组成,因此， E 、 μ等与位置 无关。
4、各向同性假定假定物体各向同性。
E 、μ与方向无关。
