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1 平面应力和平面应变

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2平面问题的基本理论(平面应力与应变,受力状态,圣维兰原理)

2平面问题的基本理论(平面应力与应变,受力状态,圣维兰原理)

当面积 AB 无限减小而趋于 P 点时，平面 AB 上的 应力就是上述斜面上的应力。 现设斜面上的全应力p可以分解为沿坐标向的分 量（ px ， py ），或沿法向和切向的分量（ σn ， τn），如图 2-4b所示。
用n代表斜面AB的外法线方向，其方向余弦为：
cosn, x l， cosn, y m
c
0
，则有
F 0， F Mc 0
x
y
0
yx dy dy dx dx xy dy 1 ( yx dy)dx 1 yx dx 1 0 2 2 y 2 2
力矩方程化简后得到：
xy
1 xy 1 yx dx yx dy 2 x 2 y
x yx fx 0 y x xy y f 0 y x y
4.平衡微分方程适用的条件是，只要求符合连 续性和小变形假定。 5.对于平面应力问题和平面应变问题，平衡微 分方程相同。 6.由于τxy =τyx，以后只作为一个独立未知函数 处理。因此，2个独立的平衡微分方程（2-2） 中含有 3个应力未知函数。


由式（2-4）及（2-5）就可以求得经过P点的任意 斜面上的正应力 n 及切应力 n 。
3.然后，再求出主应力和应力主向
设经过P点的某一斜面上的切应力等于零，则该斜 面上的正应力称为在P点的一个主应力，而该斜面 称为在P点的一个应力主平面，该斜面的法线方向 称为在P点的一个应力主向。
（2）只在侧边上受有平行于板面且不沿厚度变化 的面力和体力，且不沿厚度变化，体力 f x , f y , o 和面 力 f x , f y , o ，只是x，y的函数，并构成平衡力系；

平面应力和平面应变的例子

平面应力和平面应变的例子

平面应力和平面应变的例子
1. 你看那纸张被轻轻按压，这就是平面应力的一个简单例子呀！就好像我们的皮肤被轻轻拉扯一样，会发生变形呢。

2. 想想一块宽阔的塑料板，被从两边往中间挤压，这可不就是平面应变嘛，跟我们被限制在一个小空间里感觉很相似吧！
3. 嘿，建筑中的薄墙板在风的作用下，不也体现了平面应力嘛，简直就像是我们在风中努力站稳的样子呀！
4. 平板电视的屏幕，在运输过程中可能会受到平面应力的影响呢，这不就和我们小心保护珍贵物品的心情一样嘛。

5. 一块橡胶垫被踩在脚下，这时候的平面应变多明显呀，就如同我们被生活的压力踩在脚下一样无奈。

6. 金属薄片在加工时会面临平面应变的情况呢，这不就和我们在成长过程中要经历各种塑造一个道理嘛。

7. 一块薄木板被钉在墙上，它所经历的平面应力，是不是很像我们被固定在某个角色里的感觉呀！
我觉得平面应力和平面应变在生活中真的无处不在呀，它们影响着各种物体的状态和我们的生活呢！。

弹性力学-平面应力-平面应变问题

弹性力学-平面应力-平面应变问题

平面应力问题的求解方法
解析法
实验法
通过数学分析的方法，将问题转化为 数学方程进行求解。适用于简单几何 形状和边界条件的问题。
通过实验测试来测量物体的应力分布， 通常需要制作模型并进行加载测试。 适用于无法通过理论分析求解的问题。
有限元法
将物体离散化为有限个小的单元，通 过求解每个单元的平衡方程来得到整 个物体的应力分布。适用于复杂几何 形状和边界条件的问题。
弹性力学的基本方程
描述物体在受力后的应力 与应变之间的关系。
描述物体在受力后发生的 位移和应变关系。
描述物体内部力的平衡关 系03
平面应力问题
平面应力问题的定义
平面应力问题是指在弹性力学中，物 体受到的应力作用在某一平面内，且 在该平面上没有作用力的问题。
平面应力问题通常适用于薄板、薄壳 等二维结构，其中应力分量在某一平 面内变化，而垂直于该平面的方向上 ，应力和应变均为零。
THANKS
感谢观看
04
平面应变问题
平面应变问题的定义
平面应变问题是指在弹性力学中，应变和应力都仅发生在某一平面内的现象。在 此情况下，应变和应力分量都与离开平面的距离无关。
平面应变问题通常出现在薄壁结构、板壳结构等二维结构中，其中主要的变形和 应力分布都在一个平面内。
平面应变问题的求解方法
1 2 3
有限元法
通过将问题离散化为有限个小的单元，利用弹性 力学的平衡方程和变形协调方程，求解每个单元 的应力、应变和位移。
跨学科的研究
与其他学科的交叉研究 可能会带来新的思想和 理论。例如，与物理学 、化学、生物学等学科 的交叉可能会为弹性力 学的研究提供新的视角 和思路。
实验与理论的结 合
实验技术的发展将有助 于更好地验证理论的正 确性和实用性。同时， 理论的发展也将为实验 提供更好的指导。因此 ，实验与理论的结合将 是未来研究的一个重要 方向。

平面问题分为平面应力和平面应变问题

平面问题分为平面应力和平面应变问题

201330131867张伟
若干平面问题汇总
平面问题分为平面应力和平面应变问题，平面应力问题的特征：尺寸方面，一个方向的尺寸远小于另外两个方向的尺寸；受力方面，外力平行于板面且不沿厚度方向变化。

平面应变问题的特征：尺寸方面，一个方向的尺寸远大于另外两个方向的尺寸;受力方面，外力平行于横截面且不沿长度方向变化。

不同的材料有不同的弹性模量，泊松比，其本构关系也不同。

相容方程的推导可知物体必须变形满足几何方程，且各个应变分量是互相关联的。

应力相容方程建立在应变相容方程的基础上，常体力下的相容方程是应力相容方程的一种特例。

应力函数的相容方程是建立在平衡微分方程的基础上，该方程又叫双重调和方程。

由单纯的几何方程推导出来应变相容方程，然后加上物理方程，发展成了应力相容方程。

由单纯的平衡微分方程推导出了双重调和方程。

平面问题的解法有位移法，应力法，混合法。

在体力为常量，用应力法求解平面问题的方法有逆解法和半逆解法。

逆解法先设定Ф函数，求应力分量，验算是否满足边界条件，不满足就修改Ф函数，直到满足。

半逆解法根据问题，实际状况，假定部分应力分量的函数形式，然后积分求出应力函数，回代求出全部应力分量，，验算是否满足边界条件，不满足就重新假定应力分量函数，直到满足。

圣维南原理：较小的面力的影响效应产生在接触范围域内，远离这个域，效应会降低到忽略不计。

、
工程科研方法：有限元法，实验法，解析法。

弹性力学平面应力问题和平面应变问题

弹性力学平面应力问题和平面应变问题
在弹性力学平面应力问题和平面应变问题中，有限差分法常用于求解偏微 分方程，特别是对于规则的网格划分，计算效率较高。
有限差分法的精度取决于差分格式的选择和网格的划分，同时需要注意数 值稳定性和计算精度的问题。
边界元法
边界元法是一种基于边界积 分方程的数值分析方法，通 过将微分方程转化为边界积
分方程来求解。
变形特点
应用领域
在平面应力问题中，变形主要发生在作用 面上，而在平面应变问题中，变形可以发 生在整个结构中。
平面应力问题在桥梁、建筑和机械等领域 有广泛应用，而平面应变问题在岩土、地 质和材料等领域有广泛应用。
06
结论与展望
结论总结
平面应力问题和平面应变问题在弹性力学中具有重要地位，它们是描述物体在应力作用下的变形和应 力分布的基础。
弹性模量表示材料在受力作用下的刚度，是衡量材料抵 抗弹性变形能力的重要参数。
剪切模量表示材料在剪切力作用下的刚度，与弹性模量 和泊松比有关。
03
平面应变问题
应变状态分析
平面应变条件
应变分量中，只有$varepsilon_{x}$ 、$varepsilon_{y}$和 $gamma_{xy}$不为零，其余分量为 零。
有限元法在弹性力学平面应力问题和平面应变问题中广泛 应用，因为它能够处理复杂的几何形状和边界条件，且计 算精度高。
有限元法的实现需要建立离散化的模型、选择合适的单元 类型和求解算法，并进行数值稳定性和误差分析。
有限差分法
有限差分法是一种基于差分原理的数值分析方法，通过将微分方程转化为 差分方程来求解。
薄板弯曲问题
考虑一个矩形薄板，受到一对相距较远的集中力作用，使板发生弯曲。根据平面应力问题，可以分析 板的应力分布、中性面位置以及挠度等。

试比较平面应力和平面应变问题的异同点

试比较平面应力和平面应变问题的异同点

试比较平面应力和平面应变问题的异同点下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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平面应力问题与平面应变问题

平面应力问题与平面应变问题
• (u,v)≠0,They are functions of x and y only u v 通常不为零，且只是x y的函数。
• Plane displacement problem 平面位移问题
2021/1/23
弹性力学 第二章
12
G. Stresses for plane strain problem 平面应变问题的应力
Symmetric condition对称条件:zx=0,zy=0
A
B
w0
2021/1/23
弹性力学 第二章
14
' zy
将mn作为对称面，按作用反作用关系，左部分某点若
有
zy
，右部分则有
' zy
，大小与 zy
相等。
'
由对称性，对称点切应力应具有相同方向，右边又可
zy
有
" zy
，而
" zy
' zy
y)
dx
F 2 ( x, y) 2!x 2
dx2
F (x, y) F (x, y) dx
F (x,
y
dy)
x F (x,
y)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F (x, y
y)
dy
F 2 (x, y) 2!y 2
dy 2
F (x, y) F (x, y) dy y
2021/1/23
弹性力学 第二章
27
Review: Taylor’s series: 泰勒级数
可见弹力的平衡微分方程的推导并不是全新的内容其所用的方法取单元体考虑单元体的平衡在材力中早已用过2013814弹性力学第二章25?弹力的单元体变小了所得方程从反力内力的四则运算和常微分关系变成了应力体力的偏微分关系

《弹性力学教学课件》2-1平面应力和平面应变问题

《弹性力学教学课件》2-1平面应力和平面应变问题

数学模型的比较
平面应力问题
需要建立三个方向的应力分量，即$sigma_{x}$、$sigma_{y}$ 和$tau_{xy}$，以及三个方向的应变分量，即$epsilon_{x}$、 $epsilon_{y}$和$gamma_{xy}$。
平面应变问题
需要建立两个方向的应变分量，即$epsilon_{x}$、 $epsilon_{y}$和$gamma_{xy}$，以及三个方向的应力分量， 即$sigma_{x}$、$sigma_{y}$和$tau_{xy}$。
04
弹性力学在工程中的应用
弹性力学在建筑领域的应用
结构设计
建筑结构中的梁、柱、板等构件 的受力分析，需要考虑弹性力学 的基本原理，以确保结构的稳定 性和安全性。
地震工程
地震工程中，建筑物的抗震设计 需要利用弹性力学的基本原理， 研究地震作用下的结构响应和破 坏机制。
弹性力学在机械领域的应用
机械零件设计
机械零件如轴承、齿轮、弹簧等的受 力分析，需要考虑弹性力学的基本原 理，以确保零件的稳定性和可靠性。
疲劳寿命预测
弹性力学在机械领域中广泛应用于疲 劳寿命预测，通过分析材料的应力分 布和应变历程，预测零件的疲劳寿命。
弹性力学在航空航天领域的应用
飞机结构分析
飞机结构中的机翼、机身等部件的受力分析，需要考虑弹性力学的基本原理，以确保飞机的安全性和稳定性。
假设物体在平面内的应力分量与垂直于平面的应力分量相比很小，因此可以忽略不 计。
平面应变问题的求解方法
基于弹性力学的基本方程，建 立平面应变问题的数学模型。
利用边界条件和初始条件，求 解数学模型中的未知量。
常用的求解方法包括有限元法、 有限差分法和变分法等数值计 算方法，以及解析法等理论计 算方法。

解释平面应力和平面应变状态

解释平面应力和平面应变状态

1. 脆性断裂：断裂前，材料未发生明显的宏观塑性变形的断裂，或指断裂应力低于材料屈服强度的断裂2. 包申格效应：是指金属材料经预先加载产生少量塑性变形（残余应力小于4％），而后再同向加载，规定残余伸长应力（屈服强度、弹性极限）增加，反向加载，规定残余伸长（屈服强度、弹性极限）应力降低的现象。

3. 应力状态软性系数：应力状态中最大切应力和最大正应力的比值4. 刚度：在弹性变形范围内，构件抵抗变形的能力。

5.热疲劳：由周期变化的热应力或热应变引起的材料破坏称为热疲劳。

6.蠕变：材料在长时间的恒温、恒载荷作用下缓慢地产生塑性变形的现象。

7.疲劳强度：在指定疲劳寿命下，材料能承受的上限循环应力。

8.断裂韧度：裂纹失稳扩展的临界状态所对应的应力场强度因子称为材料的断裂韧度9.技术磁化：铁磁材料在外加磁场的作用下所产生的磁化称为技术磁化。

10.允带：电子可以具有的能级所组成的能带称为允带。

1. 韧性：是指材料在断裂前吸收塑性变形功和断裂功的能力。

4.松弛稳定性：材料抵抗应力松弛的能力称为松弛稳定性。

7.低温脆性：材料随着温度下降，脆性增加，当其低于某一温度时，材料由韧性状态变为脆性状态，这种现象为低温脆性。

8.解理断裂：材料在拉应力的作用下原于间结合破坏，沿一定的结晶学平面(即所谓“解理面”)劈开的断裂过程。

6. 破损安全：构件内部即使存在裂纹也不导致断裂的情况。

7.平面应力：只在一个平面内存在应力的现象。

10. △K th ：疲劳裂纹扩展的门槛值，表征材料阻止疲劳裂纹开始扩展的能力1. 解释形变强化的概念，并阐述其工程意义。

答：材料进入塑性变形阶段后，随着变形量增大，形变应力不断提高的现象称为形变强化。

（2分）形变强化是金属材料最重要的性质之一，其工程意义在于：1）形变强化可使材料或零件具有抵抗偶然过载的能力，阻止塑性变形的继续发展，保证材料安全。

2）形变强化是工程上强化材料的重要手段，尤其对于不能进行热处理强化的材料，形变强化成为提高其强度的非常重要的手段。

弹性力学平面应力问题和平面应变问题

弹性力学平面应力问题和平面应变问题
跨学科融合
弹性力学与材料科学、计算科学、生物学等学科的交叉融合，为解决 复杂工程问题提供了新的思路和方法。
数值模拟与计算
随着计算机技术的进步，数值模拟和计算在弹性力学领域的应用越来 越广泛，能够更精确地模拟和预测材料的力学行为。
多尺度分析
从微观到宏观的多尺度分析方法，能够更好地理解材料的微观结构和 宏观性能之间的关系。
它们简化了问题的复杂性，使得 弹性力学成为一种实用的工程工 具。
02
基本假设的局限性
03
限制条件的考虑
在某些情况下，这些假设可能不 成立，例如在处理非均匀、非各 项同性或大变形问题时。
在应用弹性力学时，必须考虑这 些限制条件，以确保结果的准确 性和可靠性。
06 弹性力学的发展趋势和未 来研究方向
弹性力学的发展趋势
非线性力学
随着工程结构的复杂性和非线性特征的增加，非线性力学的研究越来 越受到重视，为解决复杂工程问题提供了新的理论和方法。
未来研究方向
新材料和新结构的力学行为
智能材料的力学行为
研究新型材料和复杂结构的力学行为，探 索其性能优化和设计方法。
研究智能材料的响应机制和调控方法，探 索其在传感器、驱动器和自适应结构等领 域的应用。
生物医学中的弹性力学问题
研究生物组织的力学行为和生理功能，探 索其在生物医学工程和再生医学等领域的 应用。
环境与可持续发展的弹性力学问 题
研究环境因素对材料和结构的影响，探索 其在环保和可持续发展等领域的应用。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
材料力学性能的测试
材料弹性模量的测定
通过实验测定材料的弹性模量，可以了解材料的力学性能，为工程设计和材料选择提供依据。

《弹性力学》第二章_平面问题的基本理论

《弹性力学》第二章_平面问题的基本理论

o
xy
x
y
P
yx
y
A
XN
x
设AB面在xy平面内的长度为dS， 厚度为一个单位长度，N为该面的外 法线方向，其方向余弦为：
B
N
N
N
cos(N , x) l , cos(N , y) m
9
YN S
图2 － 4
斜面AB上全应力沿x轴及y轴的投影分别为XN和YN。由PAB 的平衡条件 Fx 0 可得： X N dS xldS yxmdS
2.主应力的方向
1 与 2 互相垂直。
11
§2-4
几何方程、刚体位移
在平面问题中，弹性体中各点都可能产生任意方向的位移。 通过弹性体内的任一点P，取一单元体PAB，如图2-5所示。弹性 体受力以后P、A、B三点分别移动到P′、A′、B′。 一、P点的正应变
u (u dx) u u x x dx x
二、P点的剪应变
线段PA的转角：
同理可得线段PB的转角：
u y
所以
xy
v u x y
13
因此得到平面问题的几何方程：
u x x v y y v u xy x y
由几何方程可见，当物体的位移分量完全确定时，形变 分量即可完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分 量却不能完全确定。
z

E
( x y )
16
二、平面应变问题的物理方程 1 2 x ( x y ) E 1 1 2 y ( y x ) E 1 2(1 ) xy xy E 三、平面应力的应力应变关系式与平面应变的关系式之间的 变换关系 1 ( ) y 将平面应力中的关系式： x E x

平面应力与平面应变对材料断裂的影响

平面应力与平面应变对材料断裂的影响

平面应力与平面应变在应力集中问题上的应用
实验应力集中分析方法
1、电学方法 ▪ ①电阻应变计法；②电容应变计法 2、光学方法 ▪ ①光弹性法；②云纹法；③云纹干涉法；④全息干涉法 ⑤散斑干涉法； ⑥焦散线法；⑦光纤传感技术；⑧数字图像处理技术 3、声学方法 ▪ ①声弹性法；②声发射技术； ③声全息法 4、其他方法 ▪ ①脆性涂层法； ②X射线应力测定法； ③比拟法
平面应力与平面应变对材料断裂的影响
刘先龙 材料学13级
基本概念：
弹性体变形以后，这三个线段的长度以及它们之间的直角都 将有所改变。线段的每单位长度的伸缩称为正应变，线段之 间的直角的改变称为剪应变。
作用于物体的外力可以分为两种类型：体力和面力。 所谓体力就是分布在物体整个体积内部各个质点上的力，又 称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等等。 面力是分布在物体表面上的力，例如风力，静水压力，物体 之间的接触力等。 只受到平行于xy面的三个应力分量，即 σx ，σy ，τxy ，这种 问题就称为平面应力问题（εz一般不等于零,可由σx 及σy求得， 在分析问题时不必考虑。） 由于对称(任一横截面都可以看做对称面)，所有各点都只会 有x和y方向的位移而不会有z方向的位移．即w=0。这种问题 称为平面应变（位移）问题。 z （ x y）
平面应变状态是实际工程结构中最危险的工作状态
斜面应力分析
yx
y
y
A px
x
cos(N , x) l ,cos(N , y) m,
p px py
由∑Y=0， ∑X=0得：
x
xy
P
τN
B
σN
py
p
n
px xl xym

弹性力学-平面应力-平面应变问题

弹性力学-平面应力-平面应变问题

对于平面应力问题，弹性矩阵为
D
E
1
对 1
称
1 2
0
0
1
2
对于平面应变问题的弹性矩阵，只须在上式
中，以 E
1 2
代E，
1
代μ即可。
小结
小结
平面应变和平面应力两种平面问题的平衡微分方程、 几何方程和物理方程可写成以下统一形式：
平衡微分方程：
物理方程：
几何方程：
x x
xy y
X
0
平面应变问题
位移：按平面应变的定义，三个方向的位移函数是
uux,y vv(x,y) w0
应变：由几何方程应变-位移关系，得
x
u x
1x,
y,
y
v y
3x,
y,
xy yz
u y
v x
2x,
v w0 z y
y
z
w0, z
zx
u z
w x
0
不等于零的三个应变分量是εx、εy和γxy，而且应变仅发
yE 1yzx
得
x
1 E
1 x
y
y
1 E
1 y
x
xy
1 G
xy
21
E
xy
平面应变问题
应力：如果用应变分量来表示应力分量，则有
x
E(1) (1)(12)
x
1
y
y
E(1) (1)(12)
1
x
y
xy
E 2(1
)
xy
E(1) (1)(12)
12 2(1)
在工程和机械中，许多结构或构件属于这一类问

第2章 平面问题的基本理论汇总

第2章 平面问题的基本理论汇总
一、单元体的受力图
t= 1
平面应力：z方向应力为零。 平面应变：z方向应力自成平衡。
应用的基本假定： 连续性假定─应力用连续函数来表示。 小变形假定─用变形前的尺寸代替
变形后的尺寸。
二、平衡微分方程(平面任意力系)
合力 = 应力×面积，体力×体积； 以正向物理量来表示。
平面问题中可列出三个平衡条件:
例2（习题2-4） 按平面应变问题特征来分析， 本题中
ox z
y
只有
x x x, y , y y x, y , xy xy x, y
思考题 设有厚度很大(即 z 向很长)的基础梁放置在地基上,如果
想把它近似地简化为平面问题处理,问应如何考虑?
2-2 平面问题的平衡微分方程
将（px,py）向法向、切向投影，得
2-3 平面问题中一点的应力状态
一、斜截面上的应力
2-3 平面问题中一点的应力状态
一、斜截面上的应力
2-4 几何方程 刚体位移
一、几何方程:表示应变与位移之间的关系
x x x, y , y y x, y , xy xy x, y u u x, y,v v x, y
罗建辉
第二章
平面问题的 基本理论
2-1 平面应力问题和平面应变问题
一、弹性力学空间问题的简化
(在特定的条件下)
空间问题
平面问题
二、弹性力学平面问题
1、平面应力问题 (1) 几何特征：
等厚度的薄板，厚度<<长、宽； (2) 受力特征： ∥xy面，沿板厚不变；
体力fx、fy作用于体内； 面力fx、fy作用于板边； 约束u、v 作用于板边。
思考题
1.试检查，同一方程中的各项，其量纲必然相同（可用来 检验方程的正确性）。

2.1 平面应力和平面应变

2.1 平面应力和平面应变

v
dy y

A B

u u dy 反映任一点的位移与该点应变间的关系， y
是弹性力学的基本方程之一。
v v dy y
（2）当 u、v 已知，则 x , y , xy 可完全确定；反之，已知 不能确定u、v。 （∵积分需要确定积分常数，由边界条件决定。） （ 3）
பைடு நூலகம்
x , y , ， xy
弹性力学的平面问题
要点 —— 建立平面问题的基本方程
包括：平衡微分方程；几何方程；物理方
程；边界条件的描述等
一
平面应力问题与平面应变问题
x
t
1. 平面应力问题
(1) 几何特征
一个方向的尺寸比另两个 方向的尺寸小得多。
b
z
y
a
y
t a, t b —— 平板
如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等
非平面问题
平面应力问题
平面应变问题
√
非平面问题
3. 平面问题的求解
问题： 已知：外力（体力、面力）、边界条件， 求： x , y , xy
x , y , xy
u, v
—— 仅为 x y 的函数 需建立三个方面的关系： （1）静力学关系： 应力与体力、面力间的关系；—— 平衡微分方程 （2）几何学关系： 形变与位移间的关系； —— 几何方程 （3）物理学关系： 形变与应力间的关系。 —— 物理方程
O
P
x
x yx X 0 x y （2） xy y Y 0 x y
y
yx A
X
y
x
xy
D
x x dx x
Y C

平面应力和平面应变

平面应力和平面应变

平面应力和平面应变
平面应力和平面应变都是起源于简化空间问题而设定的概念。

平面应力：只在平面内有应力，与该面垂直方向的应力可忽略，例如薄板拉压问题。

平面应变：只在平面内有应变，与该面垂直方向的应变可忽略，例如水坝侧向水压问题。

具体说来：平面应力是指所有的应力都在一个平面内，如果平面是OXY平面，那么只有正应力σx，σy，剪应力τxy(它们都在一个平面内)，没有σz，τyz，τzx。

平面应变是指所有的应变都在一个平面内，同样如果平面是OXY平面，则只有正应变εx，εy和剪应变γxy，而没有εz，γyz，γzx。

举例说来：平面应变问题比如压力管道、水坝等，这类弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。

平面应力问题讨论的弹性体为薄板，薄壁厚度远远小于结构另外两个方向的尺度。

薄板的中面为平面，其所受外力，包括体力均平行于中面面内，并沿厚度方向不变。

什么是平面应变与平面应力

什么是平面应变与平面应力

平面应变与平面应力
人们所感受到的，认知到的物质世界是三维的，然而在工程分析中，通常采用合理的二维近似以节省资源。

在众多仿真求解软件中也常常采用二维近似计算。

例如ABAQUS标准分析中的Plane Strain 和Plane Stress单元既是分别采用的平面应变和平面应力的近似假设。

在Plane Strain单元类型中，相关单元的3方向应变E33均为0；在Plane Stress单元类型中，相关单元的3方向应变S33均为0。

上述单元的应力，应变也取决于如下本构方程中的相关假设。

本构方程
在线弹性假设下，胡克定律可以专门用于平面应变和平面应力。

三维胡克定律的完整形式如下：
其中，E 是杨氏模量，ν是泊松比，G是剪切模量。

平面应变
平面应变的情况比较简单，从三维公式中删除三个为零的应变分量就是平面应变状态。

通俗来讲，只有平面内有应力，与该面垂直的方向的应力可忽略（如，薄板拉压）。

平面应力
对于平面应力可以使用来消除，从而得到
横向应变(即厚度变化)计算为：。

通俗来讲，只有平面内有应变，与该面垂直的方向的应变可忽略（如，坝体侧向水压）。

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x y v 0 y xy v u 0 x y
由(a)、(b)可求得：
x u 0
(a) (b) (c)
df1 ( y ) dy
积分(e) ，得：
df 2 ( x) dx (d)
(e)
u f1 ( y ) v f 2 ( x)
1 v2 v x ( x y) E2 1 v 1 v v y ( y x) E 1 v 2(1 v) xy xy E
注：
（16）
1 x x v( x z ) E 1 y y v( z x ) E 1 z z v( x y ) E
（15）
—— 平面应力问题的 物理方程
1 x x v( x z ) E 1 y y v( z x ) E 1 z z v( x y ) E
yz
zx
注： (1)
E xy xy 2(1 v)
1 x ( x y) E 1 y ( y x) E 2(1 ) xy xy E
（15）
（9）
未知量数： x , y , xy , x , y, xy , u , v
方程数： 8个 8个
结论： 在适当的边界条件下，上述8个方程可解。
因板很薄，且外力 沿 z 轴方向不变。
z z t 0 2 zx z t 0
y
结论： 平面应力问题只有三个应力分量：
yx
x x ( x, y) y y ( x, y ) xy yx xy ( x, y)
x
xy
y yx
O
P
x
x yx X 0 x y （2） xy y Y 0 x y
y
yx A
X
y
x
xy
D
x x dx x
Y C
B
yx
yx y
xy
dy
xy x
dx
dy
y 说明： （1）两个平衡微分方程，三个未知量： x , y , xy yx —— 超静定问题，需找补充方程才能求解。
(2)平面应变问题中应力分量： x , y , z , xy ( zx zy 0) —— 仅为 x y 的函数。 可近似为平面应变问题的例子：
煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。
如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平 面应力问题还是平面应变问题？
平面应力问题
平面应变问题
（3） 当 0, v0 u0 0时,
y
u y 则 v x y y tan x x
说明：
u v x y
2 2 2
2
r
y
x
tan


r OP
—— P点沿切向绕O点转动
ω —— 绕O点转过的角度（刚性转动）
物理方程
E

E 1 v2
E
E (1 2v) (1 v) 2
v 1 v

v 1 v
边界条件
1. 弹性力学平面问题的基本方程
（1）平衡方程： （3）物理方程：
x yx X 0 x y （2） xy y Y 0 x y
（2）几何方程：
u x x v y y v u xy x y
弹性力学的平面问题
要点 —— 建立平面问题的基本方程
包括：平衡微分方程；几何方程；物理方
程；边界条件的描述等
一
平面应力问题与平面应变问题
x
b
t
1. 平面应力问题
(1) 几何特征
一个方向的尺寸比另两个 方向的尺寸小得多。
z
y
a
y
t a, t b —— 平板
如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等
yz
zx
xy
G
其中：E为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；v为侧向收 缩系数，又称泊松比。 E
1 yz G 1 zx G 1 xy G
2(1 v)
（13）
（1）平面应力问题的物理方程 由于平面应力问题中 z yz zx 0
1 x ( x v y ) E 1 y ( y v x ) E 2(1 v) xy xy E
yz
zx
—— 平面应变问题的 物理方程 (1) 平面应变问题中
z 0，但 z 0
xy
1 yz G 1 zx G 1 xy G
z v( x y )
(2) 平面应变问题 物理方程的另一形式：
（3）两类平面问题物理方程的转换：
1 x ( x v y ) E 1 y ( y v x ) E 2(1 v) xy xy E
非平面问题
平面应力问题
平面应变问题
√
非平面问题
3. 平面问题的求解
问题： 已知：外力（体力、面力）、边界条件， 求： x , y , xy
x , y , xy
u, v
—— 仅为 x y 的函数 需建立三个方面的关系： （1）静力学关系： 应力与体力、面力间的关系；—— 平衡微分方程 （2）几何学关系： 形变与位移间的关系； —— 几何方程 （3）物理学关系： 形变与应力间的关系。 —— 物理方程
（2）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z 方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；
（3）平衡方程中不含E、v，方程与材料性质无关 （钢、石料、混凝土等）； （4）平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。
y
y
斜面上的应力
X N l x m yx YN m y l xy
建立边界条件：
（1）应力边界条件； （2）位移边界条件；
O 二 平面问题基本方程
P
y
x
yx A
X
x
y
xy
D
x x dx x
Y C
B
yx
yx y
xy
dy
xy x
d
dy
y
y y
xy
xy x
dx
平面问题的平衡微分方程：
(2) 受力特征
外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用， 沿 z 方向不变化。
(3) 应力特征
如图选取坐标系，以板的中面 为xy 平面，垂直于中面的任一直线 由于板面上不受力，有 为 z 轴。
x
b t
z
z 0 y a zx 0 2 可认为整个薄板的 zy 0 zy z t 0 各点都有： 2 由剪应力互等定理，有 zx xz 0 zy yz 0 y
建立：平面问题中应力与应变的关系 物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。
1. 各向同性弹性体的物理方程
在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料 力学中的广义虎克（Hooke）定律。
1 x x v( x z ) E 1 y y v( z x ) E 1 z z v( x y ) E
y
Su
S S Su
u s u vs v
（17）
当u v 0时,
称为固定位移边界。
—— 平面问题的位移边界条件
（2）应力边界条件
给定面力分量 X , Y 边界 —— 应力边界 由前面斜面的应力分析，得
x , y , ， xy
xy —— 以两线段夹角减小为正，增大为负。
2. 刚体位移 当 x 0, y 0, xy 0时,
物体无变形，只有刚体位移。 即：
df1 ( y ) df 2 ( x) 或写成： dy dx
∵上式中，左边仅为 y 的函数， 右边仅 x 的函数，∴两边只能等 于同一常数，即
—— 刚体位移表达式
讨论： （1） 当u0 0, v 0时,
则u u0 , v 0, 仅有x方向平移。
（2） 当v0 0, u0 0时,
u u0 y v v0 x
—— 刚体位移表达式 x O y r P x
则v v0 , u 0, 仅有y方向平移。
(3) 变形特征
厚壁圆筒
设 z方向为无限长，则 x , x , u , 沿 z 方向都不变化， 仅为 x，y 的函数。 任一横截面均可视为对称面
如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为 z 轴。
因为任一横截面均可视为对称面，则有 所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。 —— 平面位移问题
(2)
E x ( x v y ) 2 1 v E y ( y v x ) 2 1 v
v ( x y ) E
xy
1 yz G 1 zx G 1 xy G
—— 物理方程的另一形式
z 0
z
（2）平面应变问题的物理方程 z yz zx 0 由于平面应变问题中 由式（13）第三式，得 z v( x y )
将(d)代入(c)，得：
f1 ( y ) u0 y f 2 ( x) v0 x
(d)
其中，u0、v0为积分常数。 （x、y 方向的刚体位移），代入（d）得:
df1 ( y ) df 2 ( x) 0 dy dx
u u0 y v v0 x
(10)
l ( x ) s m( xy ) s X m( y ) s l ( xy ) s Y