沪科版九年级数学上二次函数《y=ax2y=ax2+k和y=a(x-h)2》练习题习题(无答案)

22.1.3 二次函数y=a(x-h)2＋k 的图象和性质第1课时二次函数y=ax 2+k 的图象和性质要点感知1 二次函数y=ax 2+k 的图象与抛物线y=ax 2的图象的形状完全_____，只是位置不同.二次函数y=ax 2+k 的图象可由y=ax 2的图象上下平移得到，平移的方向为_____，平移的距离为_____个单位长度.预习练习1-1 将抛物线y=-3x 2向上平移2个单位长度后得到的抛物线为_____；向下平移3个单位长度后得到的抛物线为_____.要点感知2 对于抛物线y=ax 2+k ，当a>0时，开口_____，对称轴是_____，顶点为_____；当x>0时，y 随x 的增大而_____；当x<0时，y 随x 的增大而_____.当a<0时，开口_____，对称轴是_____，顶点为_____；当x>0时，y 随x 的增大而_____；当x<0时，y 随x 的增大而_____.预习练习2-1 抛物线y=-x 2+3的顶点坐标是( )A.(0，3)B.(0，-3)C.(3，0)D.(-3，0) 2-2 (某某中考)抛物线y=x 2+1的最小值是_____.知识点1 二次函数y=ax 2+k 的图象1.在抛物线y=-x 2+1上的一个点是( )A.(1,0)B.(0,0)C.(0，-1)D.(1,1) 2.抛物线y=x 2+1的图象大致是( )3.(某某中考)将二次函数y=2x 2-1的图象沿y 轴向上平移2个单位，则所得图象对应的函数表达式为_____.4.在同一个直角坐标系中作出y=21x 2，y=21x 2-1的图象. (1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；(2)抛物线y=21x 2-1与抛物线y=21x 2有什么关系？知识点2 二次函数y=ax 2+k 的性质 5.(某某中考)已知点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)均在抛物线y=x 2-1上，下列说法中正确的是( )A.若y 1=y 2，则x 1=x 2B.若x 1=-x 2，则y 1=-y 2C.若0＜x 1＜x 2，则y 1＞y 2D.若x 1＜x 2＜0，则y 1＞y 26.(某某中考)二次函数y=x 2+1的图象的顶点坐标是_____.7.(中考)请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点(0，1)的抛物线的解析式_____.8.二次函数y=3x 2-3的图象开口向_____，顶点坐标为_____，对称轴为_____，当x>0时，y 随x 的增大而_____；当x<0时，y 随x 的增大而_____.因为a=3>0，所以y 有最_____值，当x=_____时，y 的最_____值是_____.9.把抛物线y=x 2+2通过平移得到y=x 2+1，则应将抛物线y=x 2+2( )A.向上平移1个单位B.向下平移1个单位C.向左平移1个单位D.向右平移1个单位10.在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax 2+c 的图象大致为( )11.已知y=ax 2+k 的图象上有三点A(-3,y 1)，B(1，y 2)，C(2，y 3),且y 2<y 3<y1,则a 的取值X 围是( )A.a>0B.a<0 ≥≤012.已知抛物线y=-x 2+2与x 轴交于A,B 两点，与y 轴交于C 点，则△ABC 的面积为_____.13.若抛物线y=ax 2+k(a ≠0)与y=-2x 2+4关于x 轴对称，则a=_____,k=_____.14.直接写出符合下列条件的抛物线y=ax 2-1的函数关系式：(1)通过点(-3,2)；(2)与y=21x 2的开口大小相同,方向相反;(3)当x 的值由0增加到2时,函数值减少4.15.把y=-21x 2的图象向上平移2个单位.(1)求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴；(2)画出平移后的函数图象；(3)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x 的值.挑战自我16.若二次函数y=ax 2+c,当x 取x 1,x 2(x 1≠x 2)时，函数值相等，则当x 取x 1+x 2时，函数值为( )17.如图，隧道的截图由抛物线和长方形构成，长方形的长是8 m ，宽是2 m ，抛物线可以用y=-41x 2+4表示. （1）一辆货运卡车高4 m ，宽2 m ，它能通过该隧道吗？（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？参考答案要点感知1 相同，上加下减，|k|.预习练习1-1 y=-3x 2+2；y=-3x 2-3.要点感知2 向上，y 轴，(0，k)；增大；减小.向下，y 轴，(0，k)；减小；增大.预习练习2-1 A2-2 1.1.A2.C3.y=2x 2+1.4.(1)y=21x 2开口向上，对称轴为y 轴，顶点坐标(0,0)；y=21x 2-1开口向上，对称轴为y 轴，顶点坐标(0，-1). (2)抛物线y=21x 2-1可由抛物线y=21x 2向下平移1个单位得到. 5.D6.(0，1).7.答案不唯一，如：y=x 2+1.8.上，(0，-3)，y 轴，增大；减小.0，小,-3.9.B 10.B 11.A 12.22. 13.a=2,k=-4. 14.(1)y=31x 2-1.(2)y=-21x 2-1. (3)y=-x 2-1. 15.(1)y=-21x 2+2，顶点坐标是(0，2)，对称轴是y 轴. (2)略. (3)x=0时，y 有最大值，为2.挑战自我16.D17.（1）把y=4-2=2代入y=-41x 2+4得： 2=-41x 2+4，解得x=±22， ∴此时可通过物体的宽度为22-（-22）=42＞2，∴能通过.（2）∵货车上面有2 m 在矩形上面，当y=2时 2=-41x 2+4， 解得x=±22，∵22＞2，∴能通过.。

二次函数y=ax2+k 的图象和性质一、基础巩固1.抛物线y=-3x2+5的开口向________，对称轴是_______，顶点坐标是________，顶点是最_____点，所以函数有最________值是_____.2.抛物线y=4x2-1与y 轴的交点坐标是_________，与x 轴的交点坐标是_____.3.把抛物线y=x2向上平移3个单位后，得到的抛物线的函数关系式为_______.4.抛物线y=4x2-3是将抛物线y=4x 2，向_____平移______个单位得到的.5.抛物线y=ax2-1的图像经过(4，-5)，则a=_________.6.抛物线y=－3(2x2－1)的开口方向是_____，对称轴是_____.7.抛物线y=21(x+3)2的顶点坐标是______.8.将抛物线y=3x2向上平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是______.9.在同一坐标系中，二次函数y=－21x2，y=x2，y=－3x2的开口由大到小的顺序是______.10.抛物线y=－41x2+1，y=－41(x+1)2与抛物线y=－41(x2+1)的_____相同，_____不同.11.已知抛物线y=－2(x+1)2－3，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是______.12.函数y=34x －2－3x2有最_____值为_____.二、能力提升22.求符合下列条件的抛物线y=ax2-1的函数关系式: (1)通过点(-3，2);(2)与y=12x2的开口大小相同，方向相反;(3)当x 的值由0增加到2时，函数值减少4.23.一台机器原价60万元，如果每年的折旧率是x ，两年后这台机器的价位约为y 万元，求y与x的函数关系式.24.已知抛物线y=mx2+n向下平移2个单位后得到的函数图像是y=3x2-1，求m，n 的值.25.试分别说明将抛物线：(1)y=(x+1)2；(2)y=(x－1)2；(3)y=x2+1；(4)y=x2－1的图象通过怎样的平移得到y=x2的图象.26.已知一次函数y=－2x+c与二次函数y=ax2+bx－4的图象都经过点A(1，－1)，二次函数的对称轴直线是x=－1，请求出一次函数和二次函数的表达式.。

22.2 二次函数y=a 2x 的图象同步练习第1题． 对于抛物线22y x =+和2y x =-的论断：(1)开口方向不同；(2)形状完全相同；(3)对称轴相同．其中正确的有（ ） A ．0个 B ．1个 C ． 2个 D ．3个答案：D第2题． 下列关于抛物线221y x x =++的说法中，正确的是（ ） A ．开口向下B ．对称轴是直线x =1C ．与x 轴有两个交点D ．顶点坐标是(-1，0)答案：D第3题． 二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图，a ，b ，c 的取值范围（ ） A ．a <0，b <0，c <0 B ．a <0，b >0，c <0 C ．a >0，b >0，c <0D ．a >0，b <0，c <0答案：D第4题． 与抛物线224y x x =--关于y 轴对称的图象表示的函数关系式是（ ） A ．224y x x =-++ B ．224y x x =++ C ．224y x x =+- D ．224y x x =-+答案：C第5题． 若抛物线2(1)221y m x mx m =-++-的图象的最低点的纵坐标为零，则xyOm =_______．答案：35+第6题． 对于抛物线2(0)y ax bx c a =++≠，当顶点纵坐标等于_________时，顶点在x 轴上，此时抛物线与x 轴只有一个公共点，而a ≠0，所以，抛物线与x 轴只有一个公共点的条件是_________． 答案：0，4ac -b 2=0，且a ≠0第7题． 若抛物线22y x x m =++与x 轴只有一公共点，则m =_________． 答案：1第8题． 函数243y x x =+-的图象开口向_________，顶点坐标为__________ 答案：上，(-2，-7)第9题． 二次函数22y x =+的图象开口_____，对称轴是________，顶点坐标是_______． 答案：向上， y 轴，（0，2）第10题． 抛物线223y x x =+-与x 轴交点个数为________． 答案：2个第11题． 二次函数2(3)y x =-的图象向右平移3个单位，在向上平移1个单位，得到的图象的关系式是____．答案：21237y x x =-+或2(6)1y x =-+第12题． 抛物线2261y x x =-+-的顶点坐标为_________，对称轴为________． 答案：（32，72），x =32第13题． 作出下列函数的图象：222y x =- 答案：略第14题． 作出下列函数的图象：22y x =- 答案：略第15题． 用描点法画出下列二次函数的图象：2y x = 答案：略第16题． 已知二次函数2y ax =的图象经过点A(-1，1) ① 求这个二次函数的关系式； ② 求当x =2时的函数y 的值． 答案：2y x =，4y =第17题． 若抛物线2221y x mx m m =-+++的顶点在第二象限，则常数m 的取值范围是（ ）A ．12m m <->或B ．12m -<<C ．10m -<<D ．1m >答案：C第18题． 如下图，抛物线顶点坐标是P （1，3），则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（ ） A ．x ＞3 B ．x ＜3 C ．x ＞1 D ．x ＜1答案：C第19题． 二次函数243y x x =-+的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，则△ABC 的面积为（ ） A ．6 B ．4 C ．3 D ．1答案：C第20题． 抛物线24y x =-与x 轴交于B 、C 两点，顶点为A ，则△ABC 的面积为（ ） A 16 B 8 C 4 D 2答案：B第21题． 若抛物线21y a x =，22y a x =的形状相同，那么（ ） A ．12a a =B ．12a a =-C ．|a 1|=|a 2|D ．a 1与a 2的关系无法确定答案：C第22题． 为了备战世界杯，中国足球队在某次集训中，一队员在距离球门12米处的挑射，正好射中了2．4米高的球门横梁．若足球运行的路线是抛物线c bx ax y ++=2（如图6），则下列结论：①a ＜601-；②601-＜a ＜0； ③a -b +c ＞0；④0＜b ＜-12a ．其中正确的是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④答案：D第23题． 与抛物线242y x x =--关于x 轴对称的图象表示为（ ） A ．242y x x =++ B ．242y x x =+- C ．242y x x =-+D ．242y ax x =--答案：A第24题． 若抛物线2y ax bx c =++全部在x 轴的下方，那么a _________0，同时，b 2-4ac _________0．答案：<，<第25题． 把抛物线22y x =向右平移一个单位，在向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式是_________． 答案：2241y x x =--第26题． 若点(2，-1)在抛物线2y ax =上，那么，当x =2时，y =_________ 答案：-1OXY 2.412第27题． 抛物线2(0)y ax bx c a =++≠，关于x 轴对称的图象的关系式是_______________． 答案：2y ax bx c =--第28题． 抛物线22y x =和23y x =-中开口较大的是__________． 答案：22y x =第29题． 已知抛物线213y x =，另一条抛物线y 2的顶点为（2，5），且形状、大小与y 1相同，开口方向相反，则抛物线y 2的关系式为______________．答案：223127y x x =-+-第30题． 抛物线2y x k =-的顶点为P ，与x 轴交于A 、B 两点，如果△ABP 是正三角形，那么，k =_________． 答案：3第31题． 设二次函数2y ax bx c =++的图象开口向下，顶点在第二象限内． ①确定a ，b ，24b ac -的符号；②若此二次函数的图象经过原点，且顶点的横坐标与纵坐标互为相反数，顶点与原点的距离为32 答案：① a <0，b <0，b 2-4ac >0；②2123y x x =--第32题． 抛物线226y x x m =-+与x 轴交于A 、B 两点，如果要求点A 在(0，0)与(1，0)之间，点B 在(2，0)与(3，0)之间，请确定m 的取值范围 答案：04m ≤≤第33题． 是否存在以y 轴为对称轴的抛物线，经过（3，-4）和（-3，4）两点，若存在，请写出抛物线的解析式；若不存在请说明理由． 答案：不存在．若存在以y 轴为对称轴的抛物线，经过（3，-4）和（-3，4）两点，必然也过他们的对称点（-3，-4）、（3，4）这样，抛物线的解析式便可以有两种形式，y =a (x +3)(x -3)+4和y =a (x +3)(x -3)-4，这样的a 不存在第34题． 若点P （1，a ）和Q （-1，b ）都在抛物线21y x =+上，则线段PQ 的长为_____ 答案：2第35题． 二次函数224y x x c =-+的值永远为正，则c 的取值范围是（ ） A ．2c = B ．4c = C ．2c > D ．4c >答案：C第36题． 二次函数2y ax bx c =++的图象如图，则点M （bc，a ）在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限答案：D第37题． 若二次函数2y ax c =+，当x 取x 1，x 2(x 1≠x 2)时，函数值相等，则当x 取x 1+x 2时，函数值为（ ） A ．a c +B ．a c -C ．c -D ．c答案：D第38题． 二次函数2()2(0)y a x m m a =-+≠的顶点在（ ） A ．2y x = B ．2y x =- C ．x 轴上 D ．y 轴上答案：A第39题． 关于二次函数247y x x =+-的最大（小）值，叙述正确的是（ ） A ．当2x =时，函数有最大值 B ．当2x =时，函数有最小值 C ．当2x =-时，函数有最大值 D ．当2x =-时，函数有最小值 答案：D第40题． 若直线y =2y ax b =+不经过第三，第四象限，则抛物线2y ax bx c =++（ ） A ．开口向上，对称轴是y 轴 B ．开口向下，对称轴是y 轴 C ．开口向上，对称轴平行于y 轴 D ．开口向下，对称轴平行于y 轴 答案：C第41题． 抛物线2(2)3y x =-+对称轴是（ ）A ．直线3x =-B ．直线3x =C ．直线2x =-D ．直线2x = 答案：D第42题． 已知函数215322y x x =---，设自变量的值分别为x 1，x 2，x 3，且-3< x 1< x 2<x 3，则对应的函数值的大小关系是（ ）A ．y 3>y 2>y 1B ．y 1>y 3>y 2C ．y 2<y 3<y 1D ．y 3<y 2<y 1 答案：A第43题． 下列关于抛物线221y x x =++的说法中，正确的是（ ） A ．开口向下 B ．对称轴方程为x =1 C ．与x 轴有两个交点 D ．顶点坐标为（-1，0） 答案：D第44题． 函数2ax y =（a ≠0）的图象与a 的符号有关的是（ ） A ．对称轴 B ．顶点坐标 C ．开口方向 D ．开口大小 答案：C第45题． 请你写出函数21）（+=x y 与12+=x y 具有一个共同性质为__________． 答案：图象都是抛物线，开口向上，都有最低点（或最小值）第46题． 试写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，与y 轴的交点的坐标为（0，3）的抛物线的解析式____________________． 答案：如243y x x =-+等第47题． 函数21(1)73y x =--的图象可以通过213y x =的图象向____移动______个单位，再向______移动____个单位后得到． 答案：右，1，下，7第48题． 已知二次函数26y x x m =-+的最小值为1，那么m 的值是 ． 答案：10第49题． 由函数解析式画图象，一般按 、 、 三个步骤进行． 答案：列表，描点，连线第50题． 已知抛物线l 1：243y x x =-+(1)在平面直角坐标系中，画出抛物线243y x x =-+，并求出抛物线l 1的顶点关于y 轴对称的点的坐标；(2)已知抛物线l 2与抛物线l 1关于y 轴对称，求抛物线l 2的函数解析式． 答案：(1)图略，（-2，-1） (2)243y x x =++第51题． 已知二次函数2(2)(3)2y m x m x m =-++++的图象过点（0，5）．初中-数学-打印版初中-数学-打印版 （1）求m 的值，并写出二次函数的解析式；（2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴答案：（1）m =3，则265y x x =++（2）顶点坐标为（-3，-4），对称轴3x =-第52题． 判断函数242+-=x x y 的图象是否经过第三象限？说明理由． 答案：不经过第三象限，当0<x 时， 04,02>->x x ，则042>-x x ，024>+-x x 即0242>+-=x x y ，故当点),(y x 的横坐标0<x 时，纵坐标ｙ总是正数，也就是说横纵坐标不能同时为负数，因而该函数图象不可能经过第三象限第53题． 函数y ax b =+与2y ax bx c =++如图所示，则下列选项中正确的是（ ）A ．ab >0，c>0B ．ab <0，c>0C ．ab >0，c<0D ．ab <0，c<0 答案：D。

1 二次函数y=ax2的图象和性质
第1课时二次函数y=ax2的图象
1、函数y=与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．
C．D．
2、观察函数y＝x2的图像，则下列判断中正确的是( )
A.若a、b互为相反数，则x＝a和x＝b时函数值相同
B.对于同一个自变量x，有两个函数值和它对应
C.对任一个实数y，有两个x和它对应
D.对任意实数x，都有y＞0
3、圆面积公式S＝πR2，S与R之间的关系是( )
A.正比例函数 ;
B.一次函数;
C.二次函数;
D.以上答案都不对
4、若y＝(m2-3m)221
m m
x--的图像是抛物线，则m＝ .
5、y＝ax2(a≠0)的图像必经过点，待定系数是
6、已知正方形的周长为ccm，面积为Scm2.(1)求S与c之间函数关系式；
(2)画出图像；(3)根据图像，求出S＝1cm2时，正方形的边长；(4)根据图像，求出c取何值时，S≥4cm2。

《二次函数y=ax2+k、y=a（x-h）2的图象和性质》教学反思
龙潭镇第一初级中学黄海东
在讲授了二次函数y=ax2+k、y=a（x-h）2的图象时，有点感触：
1、先诱导学生比较二次函数y=ax2+k与二次函数y=ax2在形式结构上有什么异同点，很容易发现二次函数y=ax2+k与二次函数y=ax2后多加一个k，同一个自变量值相应函数值增加或减少常数K的绝对值，即是将二次函数y=ax2图象向上/向下平移常数K的绝对值个单位长度，至于向上还是向下就取决于K的正负性。

2、比较二次函数y=a（x-h）2和二次函数y=ax2的异同点，不难发现只有平方项的底数不同而已，也就是说对于同一个函数值相应自变量由0变为h，我们清楚知道改变自变量值就相当于左/右平移，把问题实质转向看如何平移时关键是看顶点的平移，顶点如何平移那么图象就如何平移。

先由解析式求出顶点坐标，再看平移的问题。

如二次函数y=a（x-h）2的顶点坐标为（0，h）和二次函数y=ax2的顶点坐标为（0，0）, 由坐标（0，0）变成坐标（0，h）相当于把顶点从（0，0）平移到（0，h），至于左/右平移就看h的正负性，h正就往右移，相反就往左移。

通过本节课我觉得：1、要想教好数学单凭经验是远远不够的，一定要让同学动起来；2、抛物线平移问题实质就是其顶点平移问题。

【一课一练】22.2二次函数y=ax 2的图象和性质(50分钟，共100分)班级：_______ 姓名：_______ 得分：_______ 一、请准确填空(每小题3分，共24分)1.设一圆的半径为r ，则圆的面积S =______，其中变量是_____.2.有一长方形纸片，长、宽分别为8 cm 和6 cm ，现在长宽上分别剪去宽为x cm (x <6)的纸条(如图1)，则剩余部分(图中阴影部分)的面积y =______，其中_____是自变量，_____是函数.图1 3.下列函数中：①y =－x 2；②y =2x ；③y =22+x 2－x 3；④m =3－t －t 2是二次函数的是__ ____(其中x 、t 为自变量).4.函数y =622--a a ax是二次函数，当a =_____时，其图象开口向上；当a =__ _ 时，其图象开口向下.5.如图2，根据图形写出一个符合图象的二次函数表达式：______.6.若抛物线y =ax 2经过点A (3，－9)，则其表达式为______.7.函数y =2x 2的图象对称轴是______，顶点坐标是______.8.直线y =x +2与抛物线y =x 2的交点坐标是______. 二、相信你的选择(每小题3分，共24分)9.下列各关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量) （ ） A.y =81x 2B.y =12-xC.y =21xD.y =a 2x 10.函数y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是（ ） A.a ≠0，b ≠0，c ≠0 B.a <0，b ≠0，c ≠0 C.a >0，b ≠0，c ≠0 D.a ≠011.函数y =ax 2(a ≠0)的图象与a 的符号有关的是（ ） A.顶点坐标 B.开口方向 C.开口大小 D.对称轴12.函数y =ax 2(a ≠0)的图象经过点(a ，8)，则a 的值为（ ） A.±2 B.－2 C.2 D.313. 自由落体公式h =21gt 2(g 为常量)，h 与t 之间的关系是（ ） A.正比例函数 B.一次函数 C.二次函数 D.以上答案都不对 14.如图3平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是（ ）xA.y =23x 2 B.y =32x 2 C.y =34x 2 D.y =43x 2 15.下列结论正确的是（ ） A.y =ax 2是二次函数B.二次函数自变量的取值范围是所有实数C.二次方程是二次函数的特例D.二次函数的取值范围是非零实数16.在图4中，函数y =－ax 2与y=ax +b 的图象可能是（ ）yxyyCD图4三、考查你的基本功(共16分)17.(8分)已知函数y =(m 2－m )x 2+(m －1)x +m +1. (1)若这个函数是一次函数，求m 的值;(2)若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？18.(8分)先画出函数图象，然后结合图象回答下列问题：(1)函数y =3x 2的最小值是多少？(2)函数y =－3x 2的最大值是多少？(3)怎样判断函数y =ax 2有最大值或最小值？与同伴交流.四、生活中的数学(共16分)19.(8分)如图5，一块草地是长80 m 、宽60 m 的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x m 的小路，这时草坪面积为y m 2.求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.20.(8分)图6中动物身体的部分轮廓线呈抛物线形状，你还能找出类似的动物或植物吗？(最少举三个)图6 五、探究拓展与应用(共20分)21.(10分)二次函数y =－2x 2的图象与二次函数y =2x 2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？作图看看.它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？与同伴交流.22.(10分)已知一次函数y =ax +b 的图象上有两点A 、B ，它们的横坐标分别是3，－1，若二次函数y =31x 2的图象经过A 、B 两点. (1)请求出一次函数的表达式;(2)设二次函数的顶点为C ，求△ABC 的面积.参考答案一、1.πr2S、r 2.(6－x)(8－x) x y 3.①④4.4 －25.y=－2x2(不唯一)6.y=－3x27.y轴 (0，0) 8.(2，4)，(－1，1)二、9.A 10.D 11.B 12.C 13.C 14.D 15.B 16.D三、17.解：(1)∵m2－m=0，∴m=0或m=1.∵m－1≠0，∴当m=0时，这个函数是一次函数.(2)∵m2－m≠0，∴m1=0，m2=1.则当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数.18.解：(1)0 (2)0(3)当a>0时，y=ax2有最小值,当a<0时，y=ax2有最大值.四、19.解：y=(80－x)(60－x)=x2－140x+4800(0≤x＜60).20.如：某些树的树冠、叶片等；动物中鸡的腹部、背部等.五、21.解：两个图象关于x 轴对称；整个图象是个轴对称图形.y =－2x 2 ⎪⎩⎪⎨⎧(0,0)顶点坐标轴对称轴开口方向向下yy =2x 2⎪⎩⎪⎨⎧(0,0) 顶点坐标轴对称轴开口方向向上y 22.解：(1)设A 点坐标为(3，m )；B 点坐标为(－1，n ). ∵A 、B 两点在y =31x 2的图象上, ∴m =31×9=3, n =31×1=31. ∴A (3，3),B (－1，31). ∵A 、B 两点又在y =ax +b 的图象上,∴⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=.31,33b a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧==.1,32b a∴一次函数的表达式是y =32x +1. (2)如下图，设直线AB 与x 轴的交点为D ，则D 点坐标为(－23，0). ∴|DC |=23. S △ABC =S △ADC －S △BDC=21×23×3－21×23×31 =49－41=2.。

二次函数y=a(x+h)2的图象和性质一、精心选一选1﹒在平面直角坐标系中，二次函数y＝a(x－h)2（a≠0）的图象可能是（）A. B. C. D.2﹒二次函数y＝3(x－2)2的图象的对称轴是（）A.直线x＝2B.直线x＝－2C.y轴D.x轴3﹒函数y＝a(x－1)2，y＝ax+a的图象在同一坐标系的图象可能是（）A. B. C. D.4﹒与函数y＝2(x－2)2形状相同的抛物线解析式是（）A.y＝x2B.y＝－2x2C.y＝(2x+1)2D.y＝(x－2)25﹒关于二次函数y＝－(x－2)2的图象，下列说法正确的是（）A.该函数图象是中心对称图形B.开口向上C.对称轴是直线x＝－2D.最高点是（2，0）6﹒在下列二次函数中，其图象对称轴为x＝－2的是（）A.y＝(x+2)2B.y＝2x2－2C.y＝－2x2－2D.y＝2(x－2)27﹒将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x+3)2的图象，平移的方法是（）A.向上平移3个单位B.向下平移3个单位C.向左平移3个单位D.向右平移3个单位8﹒二次函数y＝a(x+h)2的图象的位置（）A.只与a有关B.只与h有关C.与a、h都有关D.与a、h都无关9﹒已知抛物线y＝5(x－1)2，下列说法中错误的是（）A.顶点坐标为（1，0）B.对称轴为直线x＝0C.当x＞1时，y随x的增大而增大D.当x＜1时，y随x的增大而增减小y＝a(x+h)2的图象如图所示，下列结论：①a＞0；②h＞0；③y的最小值是0；④x＜0时，y随x的增大而减小.其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、细心填一填11.将二次函数y＝x2的图象沿x轴向左平移2个单位，则平移后的抛物线对应的二次函数的表达式为____________________.12.若抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过（－1，4），则a＝______，平移后的抛物线所对应的函数关系式为_______________________.13.抛物线y＝3(x－1)2的图象关于x轴成轴对称的图象的关系式为___________________.14.二次函数y＝－2(x－2)2的图象在对称轴左侧部分是________.（填“上升”或“下降”）15.二次函数y＝－2(x+1)2图象的顶点坐标为___________，函数的最大值为____________.16.抛物线y＝－3(x－5)2的开口方向是___________，对称轴是______________.17.抛物线y＝49(x－3)2与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，则△AOB的面积为_______.18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B.过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，过点A作AD∥y轴，交BC于点D，点P在BC下方的抛物线上（P不与B、C重合），连接PC，PD，则△PCD面积的最大值是___________.三、解答题19.已知二次函数y＝－12(x－2)2.（1）画出函数图角，确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？20.已知：抛物线y＝a(x+h)2的对称轴为直线x＝12，形状、开口方向均与抛物线y＝－3x2相同.（1）试求该抛物线的函数关系式；（2）求出该抛物线与y轴的交点坐标.21.二次函数y＝12(x－h)2的图象如图所示，已知抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，且OA＝OB.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）请直接写出该抛物线关于y轴对称的图象表达式.22.如图，直线y＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝a(x+h)2的顶点为A，且经过点B.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）若点C（m，－92）在该抛物线上，求m的值.23.如图，已知抛物线y＝2(x+2)2交y轴于点A，交直线y＝2x+4于点B、C两点，试求△ABC的面积.24.如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA＝AB＝1个单位长度，，现把△OAB沿x轴的正方向平移1个单位长度后得△AA1B1.（1）求以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式；（2）若（1）中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D、C的坐标.二次函数y=a(x+h)2的图象和性质课时练习题参考答案一、精心选一选题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 D B B C D A C B B C1﹒在平面直角坐标系中，二次函数y＝a(x－h)2（a≠0）的图象可能是（）A. B. C. D.解答：抛物线y＝a(x－h)2（a≠0）顶点在x轴上，故D选项符合，故选：D.2﹒二次函数y＝3(x－2)2的图象的对称轴是（）A.直线x＝2B.直线x＝－2C.y轴D.x轴解答：二次函数y＝3(x－2)2的图象的对称轴是直线x＝2，故选：B.3﹒函数y＝a(x－1)2，y＝ax+a的图象在同一坐标系的图象可能是（）A. B. C. D.解答：∵抛物线y＝a(x－1)2的对称轴是x＝1，∴可排除D选项错误；当a＞0时，直线y＝ax+a经一、二、三象限，抛物线y＝a(x－1)2开口向上，故B选项符合要求，故选：B.4﹒与函数y＝2(x－2)2形状相同的抛物线解析式是（）A.y＝x2B.y＝(2x+1)2C.y＝－2x2D.y＝(x－2)2∴它与y＝－2x2的图象形状相同，解答：∵函数y＝2(x－2)2中a＝2，且2＝2故选：C.5﹒关于二次函数y＝－(x－2)2的图象，下列说法正确的是（）A.该函数图象是中心对称图形B.开口向上C.对称轴是直线x＝－2D.最高点是（2，0）解答：A.该函数图象是轴对称图形，故A选项错误；B.抛物线 y＝－(x－2)2的开口向下，故B选项错误；C.对称轴是直线x＝2，故C选项错误；D.抛物线y＝－(x－2)2的最高点是（2，0），故D选项正确，故选：D.6﹒在下列二次函数中，其图象对称轴为x＝－2的是（）A.y＝(x+2)2B.y＝2x2－2C.y＝－2x2－2D.y＝2(x－2)2解答：二次函数y＝(x+2)2的对称轴为x＝－2，故选：A.7﹒将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x+3)2的图象，平移的方法是（）A.向上平移3个单位 B.向下平移3个单位C.向左平移3个单位D.向右平移3个单位解答：二次函数y＝－2x2的图象的顶点坐标为（0，0），二次函数y＝－2(x+3)2的图象的顶点坐标为（－3，0），所以平移的方法是向左平移3个单位，故选：C.8﹒二次函数y＝a(x+h)2的图象的位置（）A.只与a有关B.只与h有关C.与a、h都有关D.与a、h都无关解答：二次函数y＝a(x+h)2中a决定抛物线的开口方向，h决定抛物线的位置，故选：B.9﹒已知抛物线y＝5(x－1)2，下列说法中错误的是（）A.顶点坐标为（1，0）B.对称轴为直线x＝0C.当x＞1时，y随x的增大而增大D.当x＜1时，y随x的增大而增减小解答：抛物线y＝5(x－1)2，其顶点坐标为（1，0），故A选项不合题意；对称轴为直线x＝1，故B 符合题意；当x＞1时，y随x的增大而增大，故C选项不符合题意；当x＜1时，y随x的增大而增减小，故D不符合题意，故选：B.10. 已知二次函数y＝a(x+h)2的图象如图所示，下列结论：①a＞0；②h＞0；③y的最小值是0；④x＜0时，y随x的增大而减小.其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个解答：由二次函数图象可知：抛物线开口向上，故①正确；抛物线的对称轴在y轴的左侧，则h＞0，故②正确；抛物线的开口向上，所以顶点是最低点，y有最小值，而顶点在x轴上，所以y的最小值是0，故③正确；x＜0时图象在y轴的左侧，在左侧部分x＜－h时，y随x的增大而减小，－h ＜x＜0时，y随x的增大而增大，故④错误，故3个选项都是正确的，故选：C.二、细心填一填11.y＝(x+2)2； 12. 14，y＝14(x－3)2； 13. y＝－3(x－1)2；14. 上升； 15. （－1，0），0； 16. 向下，直线x＝5；17. 4； 18. 6.y＝x2的图象沿x轴向左平移2个单位，则平移后的抛物线对应的二次函数的表达式为____________________.解答：将二次函数y＝x2的图象沿x轴向左平移2个单位，则平移后的抛物线对应的二次函数的表达式为y＝(x+2)2，故答案为：y＝(x+2)2.y＝ax2向右平移3个单位后经过（－1，4），则a＝______，平移后的抛物线所对应的函数关系式为_______________________.解答：抛物线y＝ax2向右平移3个单位后得到的解析式为y＝a(x－3)2，把（－1，4）代入y＝a(x－3)2得：4＝a(－1－3)2，解得：a＝14，故答案为：14，y＝14(x－3)2.y＝3(x－1)2的图象关于x轴成轴对称的图象的关系式为___________________.解答：抛物线y＝3(x－1)2的图象关于x轴成轴对称的图象的关系式为y＝－3(x－1)2，故答案为：y＝－3(x－1)2.y＝－2(x－2)2的图象在对称轴左侧部分是________.（填“上升”或“下降”）解答：∵a＝－2，∴抛物线开口向下，故在对称轴的左侧部分是上升的，故答案为：上升.y＝－2(x+1)2图象的顶点坐标为___________，函数的最大值为____________.解答：二次函数y＝－2(x+1)2图象的顶点坐标为（－1，0），函数的最大值为0，故答案为：（－1，0），0.y＝－3(x－5)2的开口方向是___________，对称轴是______________.解答：抛物线y＝－3(x－5)2的开口方向是向下，对称轴是直线x＝5，故答案为：向下，直线x＝5.y＝49(x－3)2与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，则△AOB的面积为_______.解答：∵当y＝0时，即49(x－3)2＝0，∴x＝3，∴A（3，0），∵当x＝0时，y＝4，∴B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∴S△AOB＝12×3×4＝6，故答案为：6.18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B.过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，过点A 作AD∥y轴，交BC于点D，点P在BC下方的抛物线上（P不与B、C重合），连接PC，PD，则△PCD面积的最大值是___________.解答：∵抛物线y＝(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A（2，0），B（0，4），∵抛物线y＝(x－2)2的对称轴为x＝2，BC∥x轴，AD∥y轴，∴直线AD就是抛物线y＝(x－2)2的对称轴，∴B、C关于直线BD对称，∴BD＝DC＝2，∵顶点A到直线BC的距离最大，∴点P与A重合时，△PCD面积最大，最大值为：12DC×AD＝12×2×4＝4，故答案为：4.三、解答题y＝－12(x－2)2.（1）画出函数图角，确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？解答：（1）二次函数y＝－12(x－2)2的图象为：抛物线的开口向下、顶点坐标为（2，0），对称轴为直线x＝2；（2）当x＜2时，y随x的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小.20.已知：抛物线y＝a(x+h)2的对称轴为直线x＝12，形状、开口方向均与抛物线y＝－3x2相同.（1）试求该抛物线的函数关系式；（2）求出该抛物线与y轴的交点坐标.解答：（1）∵抛物线y＝a(x+h)2的对称轴为直线x＝12，∴h＝－12，则y＝a(x－12)2，又∵抛物线y＝a(x－12)2的形状、开口方向均与抛物线y＝－3x2相同，∴a＝－3，∴该抛物线的函数关系式为：y＝－3(x－12 )；（2）∵当x＝0时，y＝－3(x－12)＝－3×(－12)＝32，∴该抛物线与y轴的交点坐标为（0，32）.y＝12(x－h)2的图象如图所示，已知抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，且OA＝OB.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）请直接写出该抛物线关于y轴对称的图象表达式.解答：（1）∵点A为抛物线y＝12(x－h)2的顶点，∴A（h，0），∴OA＝h，∵OA＝OB，且点B在y轴的正半轴上，∴OB＝h，∴B（0，h），把B（0，h）代入y＝12(x－h)2得：h＝12(0－h)2，解得：h1＝0（不合题意，舍去），h2＝2，∴该抛物线的函数关系式y＝12(x－2)2，（2）由（1）知：OA＝2，∴将该抛物线向左平移4个单位即可得到它的关于y轴对称的图象，∴平移后的抛物线的解析式为：y＝12(x+2)2，故该抛物线关于y轴对称的图象表达式为y＝12(x+2)2.22.如图，直线y＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝a(x+h)2的顶点为A，且经过点B.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）若点C（m，－92）在该抛物线上，求m的值.解答：（1）∵直线y＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点B，∴A（－2，0），B（0，－2），∵抛物线y＝a(x+h)2的顶点为A，∴h＝2，则y＝a(x+2)2，∵该抛物线经过点B（0，－2），∴a(0+2)2＝－2，解得：a＝－12，∴该抛物线的函数关系式为：y＝－12(x+2)2，（2）∵点C（m，－92）在该抛物线y＝－12(x+2)2上，∴－12(m+2)2＝－92，解得：m1＝1，m2＝－5，即m的值为1或－5.23.如图，已知抛物线y＝2(x+2)2交y轴于点A，交直线y＝2x+4于点B、C两点，试求△ABC的面积.解答：∵当x＝0时，y＝2(x+2)2＝8，∴A（0，8），由22(2)24y xy x⎧=+⎨=+⎩，得：112xy=-⎧⎨=⎩，2212xy=-⎧⎨=⎩，∴B（－2，0），C（－1，2），设直线BC的解析式为y＝kx+b，交y轴于点D，∴202k bk b-+=⎧⎨-+=⎩，解得：24kb=⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y＝2x+4，当x＝0时，y＝4，∴D（0，4），∴AD＝8－4＝4，∴S△ABC＝S△ABD－S△ACD＝12×4×2－12×4×1＝2.24.如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA＝AB＝1个单位长度，，现把△OAB沿x轴的正方向平移1个单位长度后得△AA1B1.（1）求以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式；（2）若（1）中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D、C的坐标.解答：（1）∵OA＝AB＝1，∠OAB＝90°，∴A（1，0），B（1，1），由平称性质得：A1（2，0），B1（2，1），∵抛物线的顶点A（1，0），∴可设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2，把B1（2，1）代入y＝a(x－1)2得：a＝1，∴以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式为y＝(x－1)2；（2）设直线OB的解析式为y＝kx，把B（1，1）代入得：k＝1，∴直线OB 的解析式为y ＝x ，由2(1)y x y x =⎧⎨=-⎩，得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故点C的坐标为（32-，32-），对于y ＝(x －1)2，当x ＝0时，y ＝1， ∴D （0，1）故C（32，32-），D （0，1）.。

22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第1课时二次函数y=ax2+k 与y=a(x-h)2的图象和性质1.抛物线y=x2-4的顶点坐标是( )(A)(0,-4) (B)(0,4)(C)(2,0) (D)(-2,0)2.顶点是(-3,0),开口方向、形状与函数y=x2的图象相同的抛物线为( )(A)y=(x-3)2 (B)y=(x+3)2(C)y=-(x+3)2(D)y=-(x-3)23.已知点A(-1,y1),点B(2,y2)在抛物线y=-3x2+2上,则y1,y2的大小关系是( )(A)y1>y2(B)y1<y2(C)y1=y2(D)无法判断4.把抛物线y=-2x2向左平移3个单位长度所得图象的解析式是.5.对于抛物线y=3x2-1,下列说法:①向上平移一个单位可得到抛物线y=3x2;②当x=0时,函数有最小值-1;③当x<0时,y随x的增大而增大;④与抛物线y=-3x2+1关于x轴对称.正确的是.(填序号)6.已知一个二次函数,它的图象的对称轴为y轴,顶点坐标是(0,4),且经过点(-1,-2).(1)写出这个二次函数的解析式;(2)在对称轴右侧部分,y随x的增大怎样变化?(3)这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少?7.如图,抛物线的顶点M在y轴上,抛物线与直线 y=x+1相交于A,B 两点,且点A在x轴上,点B的横坐标为2,那么抛物线的函数解析式为.第7题图8.如图,已知正方形OBCD的三个顶点坐标分别为B(1,0),C(1,1),D(0,1).若抛物线y=(x-h)2与正方形OBCD的边共有3个公共点,则h的取值范围是.第8题图9.已知P(m,a)是抛物线y=a(x-1)2上第一象限内的点.(1)求m的值;(2)过点P作PQ∥x轴交抛物线y=a(x-1)2于点Q,若a的值为3,试求点P,点Q及原点O围成的三角形的面积.10.(拓展探究题) 如图,直线y=-x-2交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=a(x-h)2的顶点为A,且经过点B.(1)求该抛物线对应的函数解析式;(2)请在抛物线的对称轴上找一点P,使PO+PB的值最小,求出点P的坐标.第2课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质1.(2019衢州)二次函数y=(x-1)2+3图象的顶点坐标是( )(A)(1,3) (B)(1,-3)(C)(-1,3) (D)(-1,-3)2.将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得到的抛物线为( )(A)y=-5(x+1)2-1(B)y=-5(x-1)2-1(C)y=-5(x+1)2+3(D)y=-5(x-1)2+33.(2019雅安)在平面直角坐标系中,对于二次函数y=(x-2)2+1,下列说法中错误的是( )(A)y的最小值为1(B)图象顶点坐标为(2,1),对称轴为直线x=2(C)当x<2时,y的值随x值的增大而增大,当x≥2时,y的值随x值的增大而减小(D)它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到4.(2020大理模拟)已知二次函数y=-(x-1)2+m(m是常数),当x分别取-1,1,2时,对应的函数值y1,y2,y3的大小关系是.5.已知抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1,-2).(1)求a的值;(2)写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴;(3)若点A(m,y1),B(n,y2)(m<n<3)都在该抛物线上,试比较y1与y2的大小.6.(2019凉山)当0≤x≤3时,直线y=a与抛物线y=(x-1)2-3有交点,则a的取值范围是.7.已知点O(0,0),B(2,1),抛物线l:y=-(x-h)2+1(h为常数)与y轴的交点为C.(1)l经过点B,求它对应的函数解析式,并写出此时l的对称轴及顶点坐标;(2)设点C的纵坐标为y C,求y C的最大值,此时l上有两点(x1,y1), (x2,y2),其中x1>x2≥0,比较y1与y2的大小.8.(拓展探究题)如图,抛物线y=(x-3)2+m与y轴相交于点C,点A(1,0)和点B是抛物线上的两点,且点B与点C关于抛物线的对称轴对称,已知一次函数y=kx+b的图象经过点A、点B.(1)求二次函数与一次函数的解析式;(2)抛物线上是否存在一点P,当点P在直线AB的下方时,使S△ABP=S△ABC?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第1课时二次函数y=ax2+k 与y=a(x-h)2的图象和性质1.抛物线y=x2-4的顶点坐标是( A )(A)(0,-4) (B)(0,4)(C)(2,0) (D)(-2,0)2.顶点是(-3,0),开口方向、形状与函数y=x2的图象相同的抛物线为( B )(A)y=(x-3)2 (B)y=(x+3)2(C)y=-(x+3)2(D)y=-(x-3)23.已知点A(-1,y1),点B(2,y2)在抛物线y=-3x2+2上,则y1,y2的大小关系是( A )(A)y1>y2(B)y1<y2(C)y1=y2(D)无法判断4.把抛物线y=-2x2向左平移3个单位长度所得图象的解析式是y=-2(x+3)2.5.对于抛物线y=3x2-1,下列说法:①向上平移一个单位可得到抛物线y=3x2;②当x=0时,函数有最小值-1;③当x<0时,y随x的增大而增大;④与抛物线y=-3x2+1关于x轴对称.正确的是①②④.(填序号)6.已知一个二次函数,它的图象的对称轴为y轴,顶点坐标是(0,4),且经过点(-1,-2).(1)写出这个二次函数的解析式;(2)在对称轴右侧部分,y随x的增大怎样变化?(3)这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少?解:(1)设函数的解析式为y=ax2+4,将(-1,-2)代入函数解析式,得a+4=-2.解得a=-6,函数的解析式为y=-6x2+4.(2)因为a=- 6 <0,所以在对称轴右侧部分,y随x的增大而减小.(3)因为a=-6 < 0,所以函数有最大值,当x=0时,最大值是y=4.7.如图,抛物线的顶点M在y轴上,抛物线与直线 y=x+1相交于A,B 两点,且点A在x轴上,点B的横坐标为2,那么抛物线的函数解析式为y=x2-1 .第7题图8.如图,已知正方形OBCD的三个顶点坐标分别为B(1,0),C(1,1),D(0,1).若抛物线y=(x-h)2与正方形OBCD的边共有3个公共点,则h的取值范围是0<h<1 .第8题图9.已知P(m,a)是抛物线y=a(x-1)2上第一象限内的点.(1)求m的值;(2)过点P作PQ∥x轴交抛物线y=a(x-1)2于点Q,若a的值为3,试求点P,点Q及原点O围成的三角形的面积.解:(1)因为点P(m,a)在抛物线y=a(x-1)2上,所以a=a(m-1)2,解得m=2或m=0,因为点P在第一象限内,所以m=2.(2)因为a的值为3,所以二次函数的解析式为y=3(x-1)2,因为点P的横坐标为2,所以点P的纵坐标y=3(2-1)2=3,所以点P的坐标为(2,3),因为PQ∥x轴交抛物线y=a(x-1)2于点Q,所以3=3(x-1)2,解得x=2或x=0,所以点Q的坐标为(0,3),所以PQ=2,所以S△PQO=×3×2=3.10.(拓展探究题) 如图,直线y=-x-2交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=a(x-h)2的顶点为A,且经过点B.(1)求该抛物线对应的函数解析式;(2)请在抛物线的对称轴上找一点P,使PO+PB的值最小,求出点P的坐标.解:(1)由直线y=-x-2,令x=0,则y=-2,所以点B坐标为(0,-2),令y=0,则x=-2,所以点A坐标为(-2,0),因为抛物线顶点为A(-2,0),所以设抛物线解析式为y=a(x+2)2,因为抛物线经过点B(0,-2),所以-2=4a,解得a=-,所以抛物线解析式为y=-(x+2)2,即y=-x2-2x-2.(2)如图,作点B关于直线x=-2的对称点B′,连接OB′,则OB′与直线x=-2的交点为点P,连接PB,因为点B坐标为(0,-2),对称轴是直线x=-2,所以B′(-4,-2),则直线OB′的解析式为y=x,解方程组得故点P的坐标为(-2,-1).第2课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质1.(2019衢州)二次函数y=(x-1)2+3图象的顶点坐标是( A )(A)(1,3) (B)(1,-3)(C)(-1,3) (D)(-1,-3)2.将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得到的抛物线为( A )(A)y=-5(x+1)2-1(B)y=-5(x-1)2-1(C)y=-5(x+1)2+3(D)y=-5(x-1)2+33.(2019雅安)在平面直角坐标系中,对于二次函数y=(x-2)2+1,下列说法中错误的是( C )(A)y的最小值为1(B)图象顶点坐标为(2,1),对称轴为直线x=2(C)当x<2时,y的值随x值的增大而增大,当x≥2时,y的值随x值的增大而减小(D)它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到4.(2020大理模拟)已知二次函数y=-(x-1)2+m(m是常数),当x分别取-1,1,2时,对应的函数值y1,y2,y3的大小关系是y1<y3<y2.5.已知抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1,-2).(1)求a的值;(2)写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴;(3)若点A(m,y1),B(n,y2)(m<n<3)都在该抛物线上,试比较y1与y2的大小.解:(1)因为抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1,-2),代入得-2=a(1-3)2+2,解得a=-1.所以a的值为-1.(2)把a=-1代入,得y=-(x-3)2+2,所以抛物线的开口向下,顶点坐标为(3,2),对称轴为直线x=3.(3)因为抛物线的对称轴是直线x=3,抛物线的开口向下,所以当x<3时,y随x的增大而增大,而m<n<3,所以y1<y2.6.(2019凉山)当0≤x≤3时,直线y=a与抛物线y=(x-1)2-3有交点,则a的取值范围是-3≤a≤1 .7.已知点O(0,0),B(2,1),抛物线l:y=-(x-h)2+1(h为常数)与y轴的交点为C.(1)l经过点B,求它对应的函数解析式,并写出此时l的对称轴及顶点坐标;(2)设点C的纵坐标为y C,求y C的最大值,此时l上有两点(x1,y1), (x2,y2),其中x1>x2≥0,比较y1与y2的大小.解:(1)把B(2,1)代入y=-(x-h)2+1,得1=-(2-h)2+1,解得h=2,所以函数解析式为y=-(x-2)2+1,l的对称轴为直线x=2,顶点坐标为B(2,1).(2)因为C点的横坐标为0,所以y C=-h2+1,所以当h=0时,y C有最大值1.此时,l对应的函数解析式为y=-x2+1,对称轴为y轴,当x≥0时,y随着x的增大而减小,所以当x1>x2≥0时,y1<y2.8.(拓展探究题)如图,抛物线y=(x-3)2+m与y轴相交于点C,点A(1,0)和点B是抛物线上的两点,且点B与点C关于抛物线的对称轴对称,已知一次函数y=kx+b的图象经过点A、点B.(1)求二次函数与一次函数的解析式;(2)抛物线上是否存在一点P,当点P在直线AB的下方时,使S△ABP=S△ABC?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)将点A(1,0)代入y=(x-3)2+m,得(1-3)2+m=0,解得m=-4,所以二次函数解析式为y=(x-3)2-4,即y=x2-6x+5;当x=0时,y=9-4=5,所以点C的坐标为(0,5),因为点C和点B关于直线x=3对称,当y=5时,则5=x2-6x+5,解得x1=0,x2=6,所以点B的坐标为(6,5),将A(1,0),B(6,5)分别代入y=kx+b,得解得所以一次函数解析式为y=x-1.(2)假设存在点P,理由如下:设点P(a,a2-6a+5),因为S△ABP=S△ABC =BC·OC=×6×5=15,如图,当点P在直线AB的下方时,过点P作PE∥y轴交直线AB于点E,则点E的坐标为(a,a-1),所以PE=-a2+7a-6,所以S△ABP=PE·|x B-x A|=×(-a2+7a-6)×5=15,所以a2-7a+12=0,解得a1=4,a2=3,则-6a 1+5=42-6×4+5=-3,-6a 2+5=32-6×3+5=-4,所以点P的坐标为(3,-4)或(4,-3).。

21.2 1. 二次函数y ＝ax 2的图象和性质一、选择题1．二次函数y ＝2x 2的图象经过( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、四象限D ．第三、四象限2．抛物线y ＝3x 2的顶点坐标为( ) A ．(3，0) B ．(0，3) C ．(0，0)D ．(1，3)3．已知抛物线y ＝x 2与y ＝－x 2，下列说法中不正确的是( ) A ．顶点相同B ．对称轴相同C ．开口方向相反D ．都经过点(1，1)4．下列关于函数y ＝－12x 2的图象的说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是y 轴；④顶点为(0，0)．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．抛物线y ＝13x 2，y ＝－3x 2，y ＝－x 2，y ＝2x 2中开口最大的是( )A ．y ＝13x2B ．y ＝－3x 2C ．y ＝－x2D ．y ＝2x 26．若二次函数y ＝ax 2的图象经过点P (－2，4)，则该图象必经过点( ) A ．(2，4)B ．(－2，－4)C ．(－4，2)D ．(4，－2)7．已知原点是抛物线y ＝(m ＋1)x 2的最高点，则m 的取值范围是( ) A ．m ＜－1 B ．m ＜1 C ．m ＞－1D ．m ＞－28．已知点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是函数y ＝(m －3)x 2的图象上的两点，且当0＜x 1＜x 2时，y 1＞y 2，则m 的取值范围是 ( )A ．m ＞3B ．m ≥3C ．m ≤3D ．m ＜39．关于函数y ＝ax 2和函数y ＝ax ＋a (a ≠0)在同一坐标系中的图象，A ，B ，C ，D 四名同学各画了一种，你认为可能画对的图象是( )图110．如图2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4cm ，BC ＝6cm ，动点P 从点C 沿CA 以1cm/s 的速度向点A 运动，同时动点Q 从点C 沿CB 以2cm/s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，则运动过程中所构成的△CPQ 的面积y (cm 2)与运动时间x (s)之间的函数图象大致是( )图2 图3二、填空题11．函数y ＝4x 2的图象开口________，对称轴是______，顶点坐标是________；x >0时，y 随x 的增大而________．函数y ＝－12x 2的图象开口__________，对称轴是__________，顶点坐标是________．x >0时，y 随x 的增大而________．12．已知函数y ＝kxk 2－2k －6是关于x 的二次函数，当k ＝________时，图象开口向上；当k ＝________时，图象开口向下．13．如图4所示，在同一坐标系中，作出①y ＝a 1x 2，②y ＝a 2x 2，③y ＝a 3x 2的图象，比较a 1，a 2，a 3的大小是________．图414．若函数y ＝3x 2的图象与直线y ＝kx ＋3的交点为(2，b )，则k ＝________，b ＝________． 15．2018·合肥38中期中已知抛物线y ＝x 2，当－1≤x ≤3时，y 的取值范围是________． 16．已知二次函数y ＝ax 2，当x 取x 1，x 2(x 1≠x 2)时，函数值相等，则当x 取x 1＋x 2时，函数值为__________．17．如图5，边长为2的正方形ABCD的中心在平面直角坐标系的原点O处，AD∥x轴，以O为顶点且过A，D两点的抛物线与以O为顶点且过B，C两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部分的面积是________．图5三、解答题18．在如图6所示的平面直角坐标系中画一个你喜欢的二次函数的图象，并写出该函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标．图619．已知抛物线y＝ax2(a≠0)与直线y＝2x－3交于点(b，－1)．(1)求出抛物线y＝ax2的函数表达式，并直接写出其顶点坐标和对称轴；(2)当x取何值时，抛物线y＝ax2中的y随x的增大而减小？(3)若抛物线y＝ax2与直线y＝－2交于A，B两点(点A在点B的左边)，求S△AOB.20 探究题问题情境：如图7，在x轴上有两点A(m，0)，B(n，0)(n＞m＞0)．分别过点A，点B作x轴的垂线，交抛物线y＝x2于点C，D.直线OC交直线BD于点E，直线OD交直线AC于点F.点E，F的纵坐标分别记为y E，y F.特例探究：填空：当m＝1，n＝2时，y E＝________，y F＝________；当m＝3，n＝5时，y E＝________，y F＝________．归纳证明：对任意m，n(n＞m＞0)，猜想y E与y F的大小关系，并证明你的猜想．拓展应用：(1)若将“抛物线y＝x2”改为“抛物线y＝ax2(a＞0)”，其他条件不变，请直接写出y E 与y F的大小关系；(2)连接EF，AE.当S四边形OFEB＝3S△OFE时，直接写出m与n的关系及四边形OFEA的形状．图71．A 2.C 3．D 4．D 5.A 6． A . 7．A 8．D9． B 10． C 11．向上 y 轴(或直线x ＝0) (0，0) 增大 向下 y 轴(或直线x ＝0) (0，0) 减小12． 4 －2 13． a 1＞a 2＞a 3 14．4.5. 15．[为0≤y ≤9. 16．0 17． 218．解：(答案不唯一)二次函数y ＝12x 2的图象如图所示：开口方向向上，对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，0)．19．解：(1)∵(b ，－1)是抛物线y ＝ax 2(a ≠0)与直线y ＝2x －3的交点，∴－1＝2b －3，－1＝ab 2.由－1＝2b －3，得b ＝1.又由－1＝ab 2，得a ＝－1，∴抛物线y ＝ax 2的函数表达式为y ＝－x 2，其顶点坐标为(0，0)，对称轴为y 轴． (2)∵a ＝－1<0，∴当x>0时，y 随x 的增大而减小．(3)∵直线y ＝－2与抛物线y ＝－x 2相交于A ，B 两点，∴由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2，y ＝－x 2，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2，∴A(－2，－2)，B(2，－2)，∴在△AOB 中，AB ＝|2－(－2)|＝22，AB 上的高为2，∴S △AOB ＝12×22×2＝2 2.20 解：特例探究： 2 2 15 15 归纳证明： 猜想：y E ＝y F .证明：由抛物线的表达式，知C(m ，m 2)，D(n ，n 2)．设直线OC 的表达式为y ＝kx ，代入点C 的坐标，得km ＝m 2，解得k ＝m. ∴直线OC 的表达式为y ＝mx. 同理，直线OD 的表达式为y ＝nx ， ∴E(n ，mn)，F(m ，mn)，∴y E ＝y F . 拓展应用： (1)y E ＝y F .(2)n ＝2m ；四边形OFEA 是平行四边形．。