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半角的正弦余弦正切公式正弦的半角公式是指，对于任意角x，有sin(x/2) = ±√((1 - cos x)/2)。
余弦的半角公式是指，对于任意角x，有cos(x/2) = ±√((1 + cos x)/2)。
正切的半角公式是指，对于任意角x，有tan(x/2) = ±√((1 - cos x)/(1 + cos x))。
这些半角公式在三角学中起到了重要的作用，可以将一个角的正弦、余弦或正切值表示为另一个角的正弦、余弦或正切值的函数。
这些公式可以用来简化计算，减少计算复杂度。
我们来证明正弦的半角公式：根据泰勒级数展开，我们知道sin x = x - x^3/3! + x^5/5! -x^7/7! + ...。
将x替换为(2y)，则有sin (2y) = (2y) - (2y)^3/3! + (2y)^5/5! - (2y)^7/7! + ...=2y-(8y^3/3!)+(32y^5/5!)-(128y^7/7!)+...再将y替换为(x/2)，我们有sin x = sin (2(x/2))=2(x/2)-(8((x/2)^3)/3!)+(32((x/2)^5)/5!)-(128((x/2)^7)/7!)+...根据幂函数的乘法法则和阶乘的定义，我们可以简化上述等式：sin x = 2(x/2) - (8(x^3/2^3)/3!) + (32(x^5/2^5)/5!) -(128(x^7/2^7)/7!) + ...=x-(x^3/3!)+(x^5/5!)-(x^7/7!)+...然后我们考虑sin(x/2)的幂级数展开：sin (x/2) = (x/2) - ((x/2)^3/3!) + ((x/2)^5/5!) -((x/2)^7/7!) + ...我们可以将sin x的幂级数展开与sin (x/2)的幂级数展开进行比较：x-(x^3/3!)+(x^5/5!)-(x^7/7!)+...=(x/2)-((x/2)^3/3!)+((x/2)^5/5!)-((x/2)^7/7!)+...通过对比可以看到，两个展开式的各项对应系数相等。
3.2.2 课题:半角的正弦、余弦和正切(一)学习目标：1、掌握半角的正弦、余弦和正切公式；2、能正确运用公式进行简单的三角函数式的求值、化简和证明．3、通过本节学习，进一步培养提高学生的归纳推理能力，树立由特殊到一般的归纳以及探究意识． (二)教学重、难点：1.教学重点是半角的正弦、余弦和正切公式。
2．教学难点是半角公式与倍角公式之间的内在联系，以及运用公式时正负号的选取． 二、教学过程: （一）知识链接___________________2sin =α_____________________________________________________2cos ===α（二）问题导引 问题：1.能否用2α的正弦余弦表示?cos ,sin αα如何表示？ 2.能否用α2的正弦余弦表示?4cos ,sin4αα如何表示？ 你能得到什么结论？ (三)自主探究自主学习课本第145页例1上方的部分内容，并完成以下问题。
知识点梳理：（1）半角的正弦公式：=2sinα__________________________.（2）半角的余弦公式: =2cosα__________________________.（3）半角的正切公式：=2tanα。
思考与讨论:(1)半角公式适用的条件是什么? (2)半角公式的变形公式有哪些?(3)怎样确定半角公式中根号前的正负号?(四) 典例探讨例1求015tan ,15cos ,15sin 的值。
点拨：灵活运用公式求值的同时，要注意这些“亚特殊角”三角函数值的记忆。
例2 求证：ααααααsin cos 12tan ,cos 1sin 2tan-=+=点拨：首先要用心观察角的变换。
例三．求8cos π的值(五)变式拓展 1. 求8sin π的值。
2．函数()()0cos 2>=ωωx y 的最小正周期是 。
3．已知2sin ,325,51cos θπθπθ求<<= 的值。
《半角的正弦、余弦和正切》导学案一、学习目标1、理解半角公式的推导过程。
2、掌握半角的正弦、余弦和正切公式，并能熟练运用它们进行求值、化简和证明。
3、通过公式的推导和应用，培养逻辑推理和数学运算能力。
二、学习重难点1、重点（1）半角公式的推导和记忆。
（2）运用半角公式进行三角函数的求值、化简和证明。
2、难点（1）半角公式中正负号的选取。
（2）半角公式与其他三角函数公式的综合应用。
三、知识回顾1、回顾同角三角函数的基本关系：（1）平方关系：＼（＼sin^2\alpha ＋＼cos^2\alpha ＝ 1\）（2）商数关系：＼（＼tan\alpha ＝＼frac{＼sin\alpha}｛＼cos\alpha}＼）2、回顾两角和与差的正弦、余弦和正切公式：（1）＼（＼sin(＼alpha ＋＼beta) ＝＼sin\alpha\cos\beta ＋＼cos\alpha\sin\beta\）（2）＼（＼sin(＼alpha ＼beta) ＝＼sin\alpha\cos\beta ＼cos\alpha\sin\beta\）（3）＼（＼cos(＼alpha ＋＼beta) ＝＼cos\alpha\cos\beta ＼sin\alpha\sin\beta\）（4）＼（＼cos(＼alpha ＼beta) ＝＼cos\alpha\cos\beta ＋＼sin\alpha\sin\beta\）（5）＼（＼tan(＼alpha ＋＼beta) ＝＼frac{＼tan\alpha ＋＼tan\beta}｛1 ＼tan\alpha\tan\beta}＼）（6）＼（＼tan(＼alpha ＼beta) ＝＼frac{＼tan\alpha ＼tan\beta}｛1 ＋＼tan\alpha\tan\beta}＼）四、半角公式的推导1、由二倍角公式\（＼cos 2\alpha ＝ 1 2\sin^2\alpha\），可得：＼＼begin{align}＼sin^2\alpha&＝＼frac{1 ＼cos 2\alpha}｛2}＼＼＼sin\alpha&＝＼pm\sqrt{＼frac{1 ＼cos 2\alpha}｛2}｝＼end{align}＼所以，半角的正弦公式为：＼（＼sin\frac{＼alpha}｛2} ＝＼pm\sqrt{＼frac{1 ＼cos\alpha}｛2}｝＼）2、由二倍角公式\（＼cos 2\alpha ＝ 2\cos^2\alpha 1\），可得：＼＼begin{align}＼cos^2\alpha&＝＼frac{1 ＋＼cos 2\alpha}｛2}＼＼＼cos\alpha&＝＼pm\sqrt{＼frac{1 ＋＼cos 2\alpha}｛2}｝＼end{align}＼所以，半角的余弦公式为：＼（＼cos\frac{＼alpha}｛2} ＝＼pm\sqrt{＼frac{1 ＋＼cos\alpha}｛2}｝＼）3、半角的正切公式：＼＼begin{align}＼tan\frac{＼alpha}｛2}＆＝＼frac{＼sin\frac{＼alpha}｛2}｝｛＼cos\frac{＼alpha}｛2}｝＼＼＆＝＼frac{＼pm\sqrt{＼frac{1 ＼cos\alpha}｛2}｝｝｛＼pm\sqrt{＼frac{1 ＋＼cos\alpha}｛2}｝｝＼＼＆＝＼pm\sqrt{＼frac{1 ＼cos\alpha}｛1 ＋＼cos\alpha}｝＼end{align}＼又因为\（＼tan\alpha ＝＼frac{＼sin\alpha}｛＼cos\alpha}＼），所以：＼＼begin{align}＼tan\frac{＼alpha}｛2}＆＝＼frac{1 ＼cos\alpha}｛＼sin\alpha}＼＼＆＝＼frac{＼sin\alpha}｛1 ＋＼cos\alpha}＼end{align}＼五、半角公式的符号确定1、当\（＼frac{＼alpha}｛2}＼）所在象限为第一、四象限时，＼（＼sin\frac{＼alpha}｛2}＼），＼（＼cos\frac{＼alpha}｛2}＼），＼（＼tan\frac{＼alpha}｛2}＼）均为正值。
255 2 2 1010半角的正弦、余弦和正切（课堂教学实录）广西防城港市上思县上思中学［教者］王春雷 ［点评］凌旭球（中学特级教师）一、教学目标1、 掌握半角公式及推导方法。
2、 理解公式的结构特点和内在联系，能根据已知条件确定公式中的符号。
3、 能熟练、合理地运用公式。
二、重点、难点分析1、 重点：S ，C ，T 公式的推导、识记及熟练运用。
2 2 22、 难点：S ，C 公式中双重符号的选择、T 三个公式的灵活运用。
2 2 2三、教学用具、准备电脑和投影设备，自制电脑课件。
四、教学过程设计 （一）复习引入师：前面我们已经学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，现在让我们一起回忆一下：sin 2 = 2sin coscos 2 = cos 2-sin 2= 2cos 2-1=1-2sin 2 tan2= 2tan （师生合作回答，然后用投影显示）1 - tan 2评：从复习与新知相关的旧知入手，为探讨新课题作铺垫。
4下面，我们一起来看一道习题：cos2= 54,（0,4），求cos4和cos2的值。
（投影显示）我们能利用已学的公式来解这道题吗？ 生：能，用二倍角公式。
师：那好，下面我们就一起来完成这道题：cos= 3 10cos 4= cos[2(2)] = 2cos 2 2-1= 2-1 = 7cos2=2cos 2-1 cos 2=1+ cos21+49cos = 3 10 （生集体回答，师板书）10 评：这道习题的设计，既起到了巩固旧知，又蕴含着准备将新知转化为旧知去研究的作用。
师：从上面的解题过程，我们可以知道，从单角函数求倍角函数，直接代入公式即可，不需要考虑值的符号；但是从倍角函数求单角函数，得到的是涉及开方运算的式子，这时就需要考虑函数值的符号了。
4现在，我们再来看另一道习题，已知：cos= 4,（0,），求cos的值。
5 2 2（投影显示）我们还能利用已学的公式来直接求解呢？评：用这道习题作引子，并用设疑式为新课引入作准备，可使学生明确探索目标，带着任务学。
生：不能。
师：但如果我们把看成上题的2角，那角就变成了上题的什么角？2生：角。
师：所以，cos的值是……（稍作停顿）2生：3 10 。
10 师：不错，这就启发我们：如果把二倍角公式中的2角换成角，把公式中的角换成角，就得到用单角来表示半角的公式，即“半角公式”。
（师板书课题）2评：新课题以旧知识不能解决的问题来引入是一种好方法，它可激发学生探求新知的欲望与热情。
（二）新课讲授1、公式推导师：下面，我们一起来探讨如何从“二倍角公式”导出“半角公式”。
先探讨如何将公式变形得出sin 与角的三角函数关系。
2生：由sin=2sin cos=2sin [1-sin 2 ]，从中解出sin。
2 2 2 2 2师：不错，但这个等式太麻烦了，不便于解出sin，能否用更简洁的方法来求解呢？222 1 - cos 1 - cos生：可以利用cos=1-2sin2得出sin2= ，从而sin =2 2 2 2 2师：（板书）对，但公式中“±”号的确定是关键，是不是两个都要呢？生：（稍作讨论后回答）不是，应根据角所在的范围中正弦的符号来选取。
22师：具体的说，就是角在第一、二象限时取……（稍作停顿）生：“+”号。
师：当角在第三、四象限时取……（稍作停顿）2生：“-”号。
师：如果没有指明角的范围呢？2生：“±”号都要。
评：师生合作导出“半角正弦”公式，在教师的“主导”下，让学生积极主动地探索，依 靠学生自己的思维去获取知识，也顺利地解决了“±”号的确定这一关键性问题。
师：很好。
下面我们接着来研究角的余弦。
22 21+ cos1+ cos生：利用 cos= 2cos 2 -1得出 cos 2 =，从而 cos =。
2 2 2 2 2师：（板书）这里又出现了“±”号，请大家参照刚才的方法总结一下。
生：当角在第一、四象限时取“+”，在第二、三象限时取“-”；如果没有指明角的22范围时，“±”号两个都要。
评：有了“半角正弦”的推导作样板，“半角余弦”的导出自然水到渠成。
评：点拔恰当，在此使学生感受到“联想”的作用。
师：（板书）由于分子、分母都有“±”号，能否把“±”号约掉？ 生：不能。
师：那么又如何理解结果中的“±”号呢？ 生：是分子、分母的“±”号搭配的结果——当分子、分母同号时取“+”，分子、分母异 号时取“-”。
师：由这一搭配的结果，你能根据角所在的范围说出如何选取正切符号吗？2 生：能。
当角在第一、三象限时取“+”，在第二、四象限时取“-”；当没有指明角 22 的取值范围时，应该同时取“±”号。
师：此外，还有没有其它方法来处理这双重符号呢？（生困惑，议论） 评：问题提得好，将学生自然引导到对“半角正切”公式的深层探讨上。
师：不错。
我们现在已导出了半角的正弦、能马上得出半角的正切公式吗？sin 生：能。
由商数关系得： tan =2=2cos 2余弦公式，如果利用同角三角函数关系式，你 1- cos 1+ cos1- cos 1+ cos=2探讨对这组公式的初步理解与记忆。
投影显示公式）1- cossin = 22 2）1+ cos cos =22 ⑵ （C ）21- cos tan =2 1+ cossin 1+ cos 1- cos ⑶ （T ）2⑷sin⑸ （T ）师：首先明确公式成立的条件，即角的取值范围，先看⑴、⑵。
生：公式⑴、⑵的条件是 R 。
师：再看公式⑶、⑷。
sin 师：我们能不能利用乘除符号性质来判断 2 与sin cos 是同号还是异号呢？2 2cos2 生：能，是同号。
师：那么 tan 与sin呢？2 生：也是同号。
师：根据这种思路，下面我们进一步来研究tan 2的公式，使它变得更简单，更便于使用。
sin 将 2 的分子、分母同时乘以 2sin 或 2cos ，使sin2 2 2 cos 2变成sin ，那么会得到什么结果呢？ 2、公式识记师：至此，我们已经把本节课要学习的“半角公式”全部推导出来了。
下面，我们一起来sin 2 由于 tan= 2 2 cos 2生：tan =2sin2cos 2 sin 2cos22cos2cos22 sin 1+ cos tan =2sin2cos 2sin 2sin22 1- cossincos 2sin22师板书）生：对于公式⑶、⑷，需满足左、右两式均有意义，即：+k，且1+cos0，22所以（2k +1）,k Z。
师：那么公式⑸的条件呢？生： +k，且sin0，即：（2k+1）,k Z，且k，所以k，k Z。
sin师：公式⑷、⑸都是从式子tan= 2推出的，为什么成立的条件不相同呢？2cos2生：（稍作议论后回答）因为同乘以2sin时，不能保证它一定不为零，为了保证变形的2等价性，需添上条件k，即2k，所以增加了公式的使用条件。
2公式左端取值范围右端取值范围从左到右取值变化sin = 21- cos2R R未变cos = 21+ cos2R R未变tan = 21- cos sin1+ cos 1+ cos(2k + 1)(2k + 1)未变1- cos tan =2 sin (2k + 1)k 变小,缩小范围为2k师：下面我们一起探讨对公式如何记忆。
请大家先仔细观察半角的正切公式，然后对下列1-sin 1+ sin cos cos这四个式子，，，，（投影显示）进行判断，cos cos1+ sin 1-sin是否是tan公式的表达式？2生：都不是。
师：对，在tan的表达式中，只含有三种不同的式子：1+ cos，1- cos和sin，2而1+ cos若出现一定会在分母上，如⑶、⑷；若1-cos出现则一定出现出分子上，如⑶、⑸；而⑷、⑸两个公式，一旦分子或分母确定下来，另一个位置肯定就是sin。
sin 同时，根据 tan = 22 cos21+cos与cos的联系。
当然，最好的记忆方法还应该是在公式的应用中熟悉、并 2掌握下来。
评：揭示公式成立的条件及内在联系，理清其结构形式，不仅使学生改变死记硬背公式的习惯，而且掌握了公式的本质达到识记作用。
这样做可拓展学生的思维领域，提高学 生分析问题和解决问题的能力。
3、巩固练习师：下面，请大家应用半角公式来解题，看投影： 4例：已知sin= - 4 ，根据下列条件求sin5 2 ，⑴( ,2) ； ⑵为第四象限的角。
师：我们应该用什么方法来解这道题呢？ 生：用半角公式。
师：还需要什么条件吗？生：还需要知道cos和角的范围。
2师：那好，我们现在请一位同学上来具体计算一下⑴。
33 ( ,) ， cos =2 45tan = = 2 cos 2师：做得很好。
特别值得肯定的是对角范围的指出，因为公式中“±”号的选择要看22 角的范围。
评：恰当的课内练习，起着巩固新知的作用，而对学生练习作实事求是的评价，非常重要，的性质，我们就可以很容易地建立起1-cos 与sin 2，cos 2，tan 的值。
2生：3 板书)⑴解：(3,2) sin =21- cos1-3 = 25=- 1+5325 5sin 2 cos = 21+ cos2可使学生感受成功的乐趣。
师：下面，我们来做⑵。
由于时间关系，我们只要求指出各值的符号即可。
生：为第四象限，2k -2k ，即k-k,（k Z ）。
2 4 2当k 为偶数时，为第四象限的角；当k 为奇数时，为第二象限的角。
22当为第二象限时， cos为正，sin 为正， cos 为负， tan 为负。
2 2 2 2当为第四象限时， cos 为正，sin 为负， cos 为正， tan 为负。
2 222不错，下面大家比较一下这两道小题的计算，你们有何发现，或有什么疑问吗？ ⑴中的（ ,2） 是第四象限的角，⑵中的角也是第四象限的角，为什么⑴只 有一组解，而⑵却有两组解呢？师：问题提得好。
这是因为⑴中的角是区间角，只是第四象限角中的一部分，角只2有一种可能；而⑵中的是象限角，角有两种可能。
所以我们要在解题时一定要 2 注意区分区间角和象限角这两个不同的概念。
（三）归纳小结 这节课我们一起导出了“半角公式”，并做了初步的理解与应用。
在这里我们要注意 以下几点：⑴ 半角与倍角是相对的，也是紧密联系的，是同一种关系的不同表现形式。
⑵ 对公式的记忆要采取合成记忆的方法，即对比记忆（求同）结合特例记忆（求异）来 进行。
⑶ 要处理好公式中双重符号的选择。
（投影显示以上三点） 至于对半角公式的进一步综合应用将在下节课继续研究。
评：必要的归纳、总结，起到将知识升华及迁移运用，使之转化为能力的作用。
