§6 垂直关系(1)(北师大版)

新教材高中数学学案含解析北师大版必修第二册：第2课时平面与平面垂直的判定学习任务核心素养1．掌握平面与平面垂直的判定定理．(重点) 2．掌握空间中线、面垂直关系的相互转化关系．(难点)1．通过发现平面与平面垂直的判定定理，培养学生数学抽象素养．2．通过利用平面与平面垂直的判定定理证明平面与平面垂直，培养学生逻辑推理素养．在日常生活中，我们对平面与平面垂直有很多感性认识，比如墙面与地面、长方体纸箱的侧面与底面，门打开时，门面始终与地面垂直等都给我们以平面与平面垂直的形象．阅读教材，结合上述情境回答下列问题：问题1：你能举出平面与平面垂直的实例吗？问题2：如何判断两个平面垂直？知识点平面与平面垂直的判定定理文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直图形语言符号语言l⊂α，l⊥β⇒α⊥β1.若两个平面所成的二面角为90°，这两个平面有什么位置关系？提示：垂直2．过已知平面的垂线，有几个平面和已知平面垂直？提示：有无数多个．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)应用面面垂直的判定定理的关键在于，在其中一个平面内找到或作出另一个平面的垂线，即实现面面垂直向线面垂直的转化．()(2)已知α，β，γ是平面，且α⊥β，若α⊥γ，则β⊥γ. ()(3)已知α，β，γ是平面，且α∥β，若α⊥γ，则β⊥γ. ()[提示](1)正确．(2)错误．β和γ可能平行，也可能相交．(3)正确．[答案](1)√(2)×(3)√类型1平面与平面垂直的判定【例1】(教材北师版P234例8改编)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.证明：平面AEC⊥平面AFC.[证明]如图，连接BD，设BD∩AC于点G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝ 3.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝3，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，可得BE＝2，故DF＝2 2.在Rt△FDG中，可得FG＝6 2.在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝2，DF＝22，可得EF＝322.从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，所以EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.(1)证明平面与平面垂直的方法①利用定义：证明二面角的平面角为直角；②利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(2)根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．[跟进训练]1．在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面P AC.[证明]∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又PC∩AC＝C，∴BD⊥平面P AC.∵BD⊂平面PBD，∴平面PDB⊥平面P AC.类型2空间垂直关系的综合应用【例2】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，侧面△P AD 为等边三角形．(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．1.空间中线、面的垂直关系是如何转化的？[提示]转化关系如下：2.证明直线与直线垂直的方法有哪些？[提示](1)利用平面几何的知识：如勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，菱形的性质等；(2)证明一条直线垂直另一条直线所在的平面．3.(1)直线与直线垂直→直线与平面垂直→直线与直线垂直(2)利用（1）的条件AD⊥平面PGB→找到过点F的平面和平面PGB平行→确定F的位置[解](1)证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，如图．因为△P AD为等边三角形，所以PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD.又因为BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PGB.因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB.(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.如图，设F为PC的中点，连接DF，EF，DE，则在△PBC中，EF∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，而EF⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面PGB.由(1)，得AD⊥平面PGB，而AD⊂平面ABCD，所以平面PGB⊥平面ABCD.所以平面DEF⊥平面ABCD.(1)空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的．(2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题．[跟进训练]2．如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且AEAC＝AFAD＝λ(0<λ<1).(1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?[解](1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD ⊥BC ，AB ∩BC ＝B ，∴CD ⊥平面ABC . 又∵AE AC ＝AFAD＝λ(0<λ<1)，∴无论λ为何值，恒有EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC .又∵EF ⊂平面BEF ，∴无论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC . (2)由(1)知BE ⊥EF ，∵平面BEF ⊥平面ACD ，平面BEF ∩平面ACD ＝EF ， ∴BE ⊥平面ACD .又∵AC ⊂平面ACD ，∴BE ⊥AC .∵BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝∠ABD ＝90°，∠ADB ＝60°， ∴BD ＝2，∴AB ＝2tan 60°＝6， ∴AC ＝AB 2＋BC 2＝7.由Rt △AEB ∽Rt △ABC ，得AB 2＝AE ·AC ， ∴AE ＝67，∴λ＝AE AC ＝67.故当λ＝67时，平面BEF ⊥平面ACD .1．直线l ⊥平面α，l ⊂平面β，则α与β的位置关系是( ) A ．平行 B ．可能重合 C ．相交且垂直D ．相交不垂直C [由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.]2．对于直线m ，n 和平面α，β，能得出α⊥β的一组条件是( ) A ．m ⊥n ，m ∥α，n ∥β B ．m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂β C ．m ∥n ，n ⊥β，m ⊂αD ．m ∥n ，m ⊥α，n ⊥βC [A 与D 中α也可与β平行，B 中不一定α⊥β，故选C.]3．如图，BCDE 是一个正方形，AB ⊥平面BCDE ，则图中(侧面，底面)互相垂直的平面共有( )A ．4组B ．5组C ．6组D ．7组B[由AB⊥平面BCDE，可得平面ABC⊥平面BCDE，平面ABE⊥平面BCDE，又因为BCDE是一个正方形，所以BC⊥平面ABE⇒平面ABC⊥平面ABE，同理可得平面ACD⊥平面ABC，平面ADE⊥平面ABE，故共有5组，故选B.]4．如果规定：x＝y，y＝z，则x＝z，叫作x，y，z关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是________．平行[由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．]5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，则平面EBD与平面AA1C1C的位置关系是________．(填“垂直”“不垂直”其中的一个)垂直[如图，在正方体中，CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD.又AC⊥BD，CC1∩AC＝C，∴BD⊥平面AA1C1C.又BD⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面AA1C1C.]回顾本节内容，自我完成以下问题：面面垂直的判定定理应用的思路是什么？[提示]平面与平面垂直的判定定理的应用思路(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直．(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．。

§6垂直关系6.1 垂直关系的判定A 组1.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,与BC 1垂直的平面是( )A.平面DD 1C 1CB.平面A 1B 1CDC.平面A 1B 1C 1D 1D.平面A 1DB解析:由于易证BC 1⊥B 1C ,且CD ⊥平面BCC 1B 1,所以CD ⊥BC 1.由于B 1C ∩CD=C ,所以BC 1⊥平面A 1B 1CD. 答案:B2.下列结论正确的是( )A.若直线a ∥平面α,直线b ⊥a ,b ⫋平面β,则α⊥βB.若直线a ⊥直线b ,a ⊥平面α,b ⊥平面β,则α⊥βC.过平面外的一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直D.过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直解析:A 选项中满足条件的平面β与平面α可能垂直,也可能平行或相交,故A 错;C 选项中当平面外的直线与平面垂直时,过该直线有很多个平面与已知平面垂直,故C 错;过平面外一点有很多个平面与已知平面垂直,故D 错. 答案:B3,ABCD-A 1B 1C 1D 1为正方体,下面结论中错误的个数是( )①BD ∥平面CB 1D 1; ②AC 1⊥BD ; ③AC 1⊥平面CB 1D 1.A.0个B.1个C.2个D.3个解析:由于BD ∥B 1D 1,所以①正确;由于BD ⊥AC ,BD ⊥CC 1,所以BD ⊥平面ACC 1,所以BD ⊥AC 1,故②正确;由于AC 1⊥B 1D 1,AC 1⊥B 1C ,所以AC 1⊥平面CB 1D 1,故①②③全正确. 答案:A4.在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA ⊥平面ABC ,PA=8,则点P 到BC 的距离是( ) A.√5B.2√5C.3√5D.4√5解析:如图所示,作PD ⊥BC 于点D ,连接AD.由于PA ⊥平面ABC , 所以PA ⊥BC ,PD ∩PA=P ,所以CB ⊥平面PAD ,所以AD ⊥BC. 由于AB=AC ,所以CD=BD=3.在Rt △ACD 中,AC=5,CD=3,所以AD=4, 在Rt △PAD 中,PA=8,AD=4, 所以PD=√82+42=4√5,故选D . 答案:D5.在正四周体P-ABC 中,D ,E ,F 分别是AB ,BC ,CA 的中点,下面四个结论中不成立的是( ) A.BC ∥平面PDF B.DF ⊥平面PAE C.平面PDF ⊥平面ABCD.平面PAE ⊥平面ABC解析:如图所示,∵BC ∥DF ,∴BC ∥平面PDF ,故A 正确.由题设知BC ⊥PE ,BC ⊥AE ,∴BC ⊥平面PAE.∴DF ⊥平面PAE ,故B 正确.∵BC ⊥平面PAE ,∴平面ABC ⊥平面PAE ,故D 正确.答案:C6.若直线l ⊥平面α,直线m ∥l ,则m 与α的位置关系是 . 答案:m ⊥α7.已知A 是△BCD 所在平面外一点,则△ABC ,△ABD ,△ACD ,△BCD 中,直角三角形最多有 个.解析:当三棱锥底面及三个侧面同时为直角三角形时,如图,此时直角三角形最多为4个. 答案:48.如图所示,在正方形ABCD 中,E ,F 分别是BC,CD的中点,G 是EF 的中点,现在沿AE ,AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形,使B ,C ,D 三点重合,重合后的点记为H ,那么给出下面四个结论:①AH ⊥平面EFH ;②AG ⊥平面EFH ;③HF ⊥平面AEF ;④HG ⊥平面AEF.其中正确命题的序号是 .解析:在这个空间图形中,AH ⊥HF ,AH ⊥HE ,HF ∩HE=H ,所以AH ⊥平面EFH. 答案:①9.在空间四边形ABCD 中,若AB=AC ,DB=DC ,求证:BC ⊥AD.证明:取BC 的中点M ,连接AM ,MD.∵AB=AC ,DB=DC ,∴AM ⊥BC ,DM ⊥BC.又AM ∩MD=M ,∴BC ⊥平面AMD.∵AD ⫋平面AMD ,∴BC ⊥AD.10,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=AD=1,DD 1=2,点P 为DD 1的中点.求证: (1)平面PAC ⊥平面BDD 1; (2)直线PB 1⊥平面PAC.证明:(1)在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=AD=1,所以底面ABCD 是正方形,则AC ⊥BD. 又DD 1⊥平面ABCD ,所以DD 1⊥AC. 由于BD ∩DD 1=D ,所以AC ⊥平面BDD 1. 由于AC ⫋平面PAC ,所以平面PAC ⊥平面BDD 1.(2)连接B 1C ,由题知PC 2=2,P B 12=3,B 1C 2=5,所以△PB 1C 是直角三角形,所以PB 1⊥PC. 同理可得PB 1⊥PA.由于PC ∩PA=P ,所以直线PB 1⊥平面PAC.B 组1.如图所示,BC 是Rt △ABC 的斜边,过A 作△ABC 所在平面α的垂线AP ,连接PB ,PC ,过A 作AD ⊥BC 于点D ,连接PD ,那么图中直角三角形的个数是 ( )A.4B.6C.7D.8解析:简洁证得PA ⊥BC ,又AD ⊥BC ,PA ∩AD=A ,所以BC ⊥平面PAD ,从而图中:△ABC ,△PAB ,△PAC ,△PAD ,△ABD ,△ACD ,△PBD ,△PCD 均为直角三角形.共有8个. 答案:D2,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点P 在侧面BCC 1B 1内运动,并且总保持AP ⊥BD 1,则动点P 在( ) A.线段B 1C 上 B.线段BC 1上C.BB 1中点与CC 1中点的连线上D.B 1C 1中点与BC 中点的连线上 解析:易知BD 1⊥平面AB 1C ,故P ∈B 1C. 答案:A3.如图所示,已知四边形ABCD 是正方形,PA ⊥平面ABCD ,则图中全部相互垂直的平面共有( ) A.8对 B.7对 C.6对D.5对解析:由PA ⊥平面ABCD 可得平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAC ⊥平面ABCD.又ABCD 为正方形,CD ⊥AD ,由于PA ⊥CD ,PA ∩AD=A ,所以CD ⊥平面PAD ,所以平面PCD ⊥平面PAD ,平面PAB ⊥平面PAD.同理可得,平面PBC ⊥平面PAB ,平面PAC⊥平面PBD.共7对. 答案:B4.已知矩形ABCD ,AB=1,BC=√2,将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折,在翻折的过程中( ) A.存在某个位置,使得直线AC 与直线BD 垂直B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直解析:若AB⊥CD,由于BC⊥CD,由线面垂直的判定可得CD⊥平面ACB,则有CD⊥AC,而AB=CD=1,BC=AD=√2,可得AC=1,那么存在这样的位置,使得AB⊥CD成立.答案:B5.在正四周体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论:①BC∥平面PDF;②DF⊥平面PAE;③平面PDF⊥平面ABC;④平面PAE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是.解析:画出图形,由判定定理得①②④正确.答案:①②④6,在五面体ABCDEF中,四边形ABCD是矩形,DE⊥平面ABCD.求证:(1)AB∥EF;(2)平面BCF⊥平面CDEF.证明:(1)由于四边形ABCD是矩形,所以AB∥CD,CD⫋平面CDEF,AB⊈平面CDEF,所以AB∥平面CDEF.又AB⫋平面ABFE,且平面ABFE∩平面CDEF=EF,所以AB∥EF.(2)由于DE⊥平面ABCD,BC⫋平面ABCD,所以DE⊥BC.由于BC⊥CD,CD∩DE=D,CD,DE⫋平面CDEF,所以BC⊥平面CDEF.又由于BC⫋平面BCF,所以平面BCF⊥平面CDEF.7.如下图所示,已知在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=1+√3,过点A作AE⊥CD,垂足为E,G,F分别为AD,CE的中点,现将△ADE沿AE折叠,使得DE⊥EC.(1)求证:BC⊥平面CDE;(2)求证:FG∥平面BCD.(1)证明:由已知得DE⊥AE,∵DE⊥EC,AE∩EC=E,∴DE⊥平面ABCE.又∵BC⫋平面ABCE,∴DE⊥BC.又BC⊥CE,DE∩CE=E,∴BC⊥平面DCE.(2)证明:取AB中点H,连接GH,FH.则GH∥BD,FH∥BC,则易得GH∥平面BCD,FH∥平面BCD.则易得平面FHG∥平面BCD,∴GF∥平面BCD.。

北师大版(新课标)高中数学课本目录大全（含必修和选修）北师大必修《数学1(必修)》全书目录：第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算阅读材料康托与集合论第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究§5 简单的幂函数阅读材料函数概念的发展课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数概念的扩充§3 指数函数§4 对数§5 对数函数§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较阅读材料历史上数学计算方面的三大发明第四章函数应用§1 函数与方程§2 实际问题的函数建模阅读材料函数与中学数学探究活动同种商品不同型号的价格问题必修2全书目录：第一章立体几何初步§1 简单几何体§2 三视图§3 直观图§4 空间图形的基本关系与公理§5 平行关系§6 垂直关系§7 简单几何体的面积和体积§8 面积公式和体积公式的简单应用阅读材料蜜蜂是对的课题学习正方体截面的形状第二章解析几何初步§1 直线与直线的方程§2 圆与圆的方程§3 空间直角坐标系阅读材料笛卡儿与解析几何探究活动1 打包问题探究活动2 追及问题必修3全书目录第一章统计§1 统计活动：随机选取数字§2 从普查到抽样§3 抽样方法§4 统计图表§5 数据的数字特征§6 用样本估计总体§7 统计活动：结婚年龄的变化§8 相关性§9 最小二乘法阅读材料统计小史课题学习调查通俗歌曲的流行趋势第二章算法初步§1 算法的基本思想§2 算法的基本结构及设计§3 排序问题§4 几种基本语句课题学习确定线段n等分点的算法第三章概率§1 随机事件的概率§2 古典概型§3模拟方法――概率的应用探究活动用模拟方法估计圆周率∏的值必修4 全书目录：第一章三角函数§1 周期现象与周期函数§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数§5 余弦函数§6 正切函数§7 函数的图像§8 同角三角函数的基本关系阅读材料数学与音乐课题学习利用现代信息技术探究的图像第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量§2 从位移的合成到向量的加法§3 从速度的倍数到数乘向量§4 平面向量的坐标§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例阅读材料向量与中学数学第三章三角恒等变形§1 两角和与差的三角函数§2 二倍角的正弦、余弦和正切§3 半角的三角函数§4 三角函数的和差化积与积化和差§5 三角函数的简单应用课题学习摩天轮中的数学问题探究活动升旗中的数学问题必修5全书共三章：数列、解三角形、不等式。

北师大版数学七年级下册《垂直》教案2一. 教材分析《北师大版数学七年级下册》中“垂直”这一节主要介绍垂直的定义、性质和应用。

通过这一节的学习，学生能够理解垂直的概念，掌握垂直的性质，并能够运用垂直的知识解决实际问题。

教材通过丰富的图片和实例，引导学生探究垂直的性质，培养学生的观察能力、操作能力和解决问题的能力。

二. 学情分析七年级的学生已经掌握了平面几何的基本知识，对于图形的认识和操作有一定的基础。

但是，对于垂直的概念和性质，学生可能还比较陌生，需要通过实例和操作来加深理解。

学生的学习动机较强，对于新的知识充满好奇，但同时也可能存在一定的困惑。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，引导他们正确理解和掌握垂直的概念和性质。

三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解垂直的概念，掌握垂直的性质，并能够运用垂直的知识解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、交流等活动，学生能够培养观察能力、操作能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：学生能够积极参与学习活动，克服困难，体验成功的喜悦，培养对数学的兴趣和自信心。

四. 教学重难点1.重点：学生能够理解垂直的概念，掌握垂直的性质。

2.难点：学生能够运用垂直的知识解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过丰富的图片和实例，引导学生观察和探究垂直的性质。

2.操作教学法：通过实际操作，让学生体验和理解垂直的概念。

3.问题解决法：通过解决实际问题，培养学生运用垂直知识解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学素材：准备相关的图片和实例，用于引导学生观察和探究垂直的性质。

2.教学工具：准备直尺、三角板等工具，用于实际操作。

3.教学课件：制作课件，用于辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用图片和生活实例，引导学生观察和思考垂直的现象，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）通过课件展示垂直的定义和性质，引导学生理解和掌握垂直的概念。

1.6.1 垂直关系的判定知识点1：直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么称这条直线和这个平面垂直.(2)画法:当直线与平面垂直时,通常把表示直线的线段画成和表示平面的平行四边形的横边垂直.如图所示.(3)直线与平面垂直的判定定理①文字叙述:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直.②符号表示:若直线a⫋α,直线b⫋α,直线l⊥a,l⊥b,a∩b=A,则l⊥α.③图形表示:④作用:线线垂直⇒线面垂直。

【练习】垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是( )A.垂直B.斜交C.平行D.不能确定解析:梯形的两腰所在的直线相交,根据线面垂直的判定定理可知选项A正确.名师点拨理解线面垂直的判定定理注意以下几点:(1)定理可表述为“线线垂直,则线面垂直”.(2)“两条相交直线”是关键词,一定不要忽视这个条件,否则将导致结论错误,即“线不在多,相交就行”.(3)要证明一条直线与一个平面垂直,只需在平面内找到两条相交直线和该直线垂直即可,至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点无关紧要.(4)线面垂直的判定定理与线面垂直的定义往往在证题过程中要反复交替使用.知识点2：二面角及其平面角(1)半平面的定义:一个平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,其中的每一部分都叫作半平面.(2)二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角,这条直线叫作二面角的棱,这两个半平面叫作二面角的面.(3)二面角的记法:以直线AB为棱,半平面α,β为面的二面角,记作二面角α-AB-β.(4)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.(5)直二面角:平面角是直角的二面角叫作直二面角.【练习】给出下列命题:①两个相交平面组成的图形叫作二面角;②异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补;③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成的角;④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是( )A.①③B.②④C.③④D.①②解析:由二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角,可知①不对.画出图形,可知②正确.③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱,故③不对.由定义知④正确.故选B.知识点3：平面与平面垂直(1)两个平面互相垂直的定义:两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.(2)画法:在画两个垂直的平面时,通常把表示直立平面的平行四边形的竖边画成和表示水平平面的平行四边形的横边垂直.如图①②所示.(3)平面与平面垂直的判定定理①文字叙述:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.②符号表示:③图形表示:④作用:线面垂直⇒面面垂直【练习】已知直线m,n与平面α,β,γ,下列可能使α⊥β成立的条件是( )A.α⊥γ,β⊥γB.α∩β=m,m⊥n,n⫋βC.m∥α,m∥βD.m∥α,m⊥β解析:选择适合条件的几何图形观察可得,A中α∥β或α与β相交,B中α,β相交,但不一定垂直,C中α∥β或α与β相交.名师点拨理解面面垂直的判定定理注意以下几点:(1)定理可简记为“线面垂直,则面面垂直”,因此要证明平面与平面垂直,只需在其中一个平面内找另一个平面的垂线,即证“线面垂直”.(2)两个平面垂直的判定定理,不仅仅是判定两个平面垂直的依据,而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据.(3)要证α⊥β,可证α经过β的某一条垂线,也可证明β经过α的某一条垂线.思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)若直线l垂直于平面α内无数条直线,则有l⊥α. ( ╳)(2)若直线l垂直于平面α内任意直线,则有l⊥α. ( √)(3)若直线l垂直于α内的一个凸五边形的两条边,则有l⊥α. ( √)(4)一个二面角的平面角有且只有一个. ( ╳)(5)若直线l与平面α交于点O,且l与α不垂直,l⫋β,则α与β一定不垂直. ( ╳)【例1】如图所示,在三棱锥A-BCD中,BC=AC,AD=BD,作BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于点H.求证:AH⊥平面BCD.证明:取AB的中点F,连接CF,DF,因为AC=BC,所以CF⊥AB.同理可得,DF⊥AB.又CF∩DF=F,所以AB⊥平面CDF.因为CD⫋平面CDF,所以AB⊥CD.又BE⊥CD,且BE∩AB=B,所以CD⊥平面ABE.因为AH⫋平面ABE,所以CD⊥AH.又AH⊥BE,BE∩CD=E,所以AH⊥平面BCD.反思感悟证明线面垂直的关键是：分析几何图形,寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系,进而证明线面垂直.三角形全等、等腰三角形底边上的中线、梯形的高、菱形和正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法.变式训练1：如图所示,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆O上的点.求证:BC⊥平面PAC.分析:由AB是圆O的直径可知AC⊥BC,再结合PA⊥平面ABC,即可证明BC⊥平面PAC.证明:由AB是圆O的直径,得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC,BC⫋平面ABC,得PA⊥BC.又PA∩AC=A,PA⫋平面PAC,AC⫋平面PAC,所以BC⊥平面PAC.2,E,F分别是AB,PD的中点.【例2】如图所示,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,AD=PA=2,CD=2求证:(1)AF∥平面PCE;(2)平面PCE⊥平面PCD.分析:(1)要证AF∥平面PCE,只需证明AF平行于平面PCE内的一条直线即可,取PC的中点G,则该直线为GE. (2)要证明平面PCE⊥平面PCD,只需证明GE⊥平面PCD,而由(1)知GE∥AF,故只需证明AF⊥平面PCD即可.反思感悟怎样证明平面与平面垂直：1.证明面面垂直的方法:(1)证明两个半平面构成的二面角的平面角为90°;(2)证明一个平面经过另一个平面的一条垂线,将证明面面垂直的问题转化为证明线面垂直的问题.2.利用判定定理证明两个平面垂直时,一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线,若图形中不存在这样的垂线,则可通过作辅助线来解决,而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明.变式训练2：已知正方形ABCD的边长为1,分别取边BC,CD的中点E,F,连接AE,EF,AF,以AE,EF,FA为折痕,折叠使点B,C,D重合于一点P.求证:(1)AP⊥EF;(2)平面APE⊥平面APF.题型三：对空间中线面关系理解不透彻而致误【典例】如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,则截面ACB1与对角面BB1D1D垂直吗?纠错心得1.因为B1O与底面不垂直,就断定截面ACB1不可能与对角面BB1D1D垂直,这是毫无根据的.2.要克服上述错误,一定要将有关定理或性质的适用条件及内涵把握清楚,不能凭想当然进行毫无逻辑的论证.课后巩固练习：1.下列各种情况中,一条直线垂直于一个平面内的:①三角形的两条边;②梯形的两条边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.不能保证该直线与平面垂直的是( )A.①③B.②C.②④D.①②④解析:三角形的任何两边都相交;圆的任何两条直径都相交;但梯形中任意两边不一定相交,也可能平行;正六边形中也存在平行的两条边,因此不能保证该直线与平面垂直的是②④.故选C.答案:C2.在空间四边形ABCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,则( )A.平面ABC⊥平面ADCB.平面ABC⊥平面ADBC.平面ABC⊥平面DBCD.平面ADC⊥平面DBC解析:如图所示,∵AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,∴AD⊥平面BDC.又AD⫋平面ADC,∴平面ADC⊥平面DBC.答案:D3.如图所示,∠BCA=90°,PC⊥平面ABC,则在△ABC,△PAC的边所在的直线中,(1)与PC垂直的直线有;(2)与AP垂直的直线有.解析:(1)因为PC⊥平面ABC,AB,AC,BC⫋平面ABC,所以与PC垂直的直线有AB,AC,BC.(2)∠BCA=90°,即BC⊥AC.又BC⊥PC,AC∩PC=C,所以BC⊥平面PAC,PA⫋平面PAC.所以BC⊥AP.答案:(1)AB,AC,BC (2)BC4.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,M,N分别为A1D1和AA1的中点,则下列说法正确的个数为( )①C1M∥AC; ②BD1⊥AC; ③BC1与AC所成的角为60°; ④CD与BN为异面直线.A.1B.2C.3D.45.如图所示,四边形ABCD是菱形,PC⊥平面ABCD,E是PA的中点求证:平面BDE⊥平面ABCD.。

教学准备
1. 教学目标
1.掌握平面与平面垂直的判定定理，并会应用。

2.通过定理的学习，培养和发展学生的空间想象能力，推理论证能力，运用图形语言进行交流的能力，几何直观感知能力
2. 教学重点/难点
1.掌握平面与平面垂直的判定定理，并会应用。

2.通过定理的学习，培养和发展学生的空间想象能力，推理论证能力，运用图形语言进行交流的能力，几何直观感知能力
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
二．重点知识（课前自学完成）
1.阅读课本P36理解二面角，二面角的平面角等概念。

2．何谓平面与平面垂直的判定定理：
文字描
述：
图形呈现：
符号表
示：
三、知识应用
例2.如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB=AD，ABC=ADC=900，E为BD的中点，
求证：（1）平面AEC平面BCD；
（2）AEC是二面角A-BD-C的平面角。

（B级）
求证：
（1）AB平面SOC
（2）平面SOC平面SAB （B级）。