北师大版高中数学必修二6.2 垂直关系的性质(二)

6.2 垂直关系的性质知识点一：直线和平面垂直的性质1.基本性质文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线. 符号语言：,l m l m αα⊥⊂⇒⊥图形语言：2.性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：,//l m l m αα⊥⊥⇒图形语言：3．直线与平面垂直的其他性质（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．（2）若l α⊥于A ，AP l ⊥，则AP α⊂．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．要点诠释：线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化．知识点二、平面与平面垂直的性质1．性质定理文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：,,,m l l m l αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥图形语言：要点诠释：面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法．2．平面与平面垂直性质定理的推论如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．知识点三、垂直关系的综合转化线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而架起条件与结论的桥梁．垂直间的关系可按下面的口诀记忆：线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记清．平面之内两直线，两线交于一个点，面外还有一条线，垂直两线是条件．面面垂直要证好，原有图中去寻找，若是这样还不好，辅助线面是个宝．先作交线的垂线，面面转为线和面，再证一步线和线，面面垂直即可见．借助辅助线和面，加的时候不能乱，以某性质为基础，不能主观凭臆断，判断线和面垂直，线垂面中两交线．两线垂直同一面，相互平行共伸展，两面垂直同一线，一面平行另一面．要让面和面垂直，面过另面一垂线，面面垂直成直角，线面垂直记心间．【典型例题】类型一：直线与平面垂直的性质例1．设a，b为异面直线，AB是它们的公垂线（与两异面直线都垂直且相交的直线）．（1）若a，b都平行于平面α，求证：AB⊥α；αβ=，求证：AB∥c．（2）若a，b分别垂直于平面α，β，且c例2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E 是PC的中点．（1）证明：AE⊥CD；（2）证明：PD⊥平面ABE．举一反三：【变式1】如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E 作EF⊥SC交SC于F．（1）求证：AF⊥SC；（2）若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD．【变式2】如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF ⊥平面ACE。

新教材高中数学学案含解析北师大版必修第二册：第2课时平面与平面垂直的判定学习任务核心素养1．掌握平面与平面垂直的判定定理．(重点) 2．掌握空间中线、面垂直关系的相互转化关系．(难点)1．通过发现平面与平面垂直的判定定理，培养学生数学抽象素养．2．通过利用平面与平面垂直的判定定理证明平面与平面垂直，培养学生逻辑推理素养．在日常生活中，我们对平面与平面垂直有很多感性认识，比如墙面与地面、长方体纸箱的侧面与底面，门打开时，门面始终与地面垂直等都给我们以平面与平面垂直的形象．阅读教材，结合上述情境回答下列问题：问题1：你能举出平面与平面垂直的实例吗？问题2：如何判断两个平面垂直？知识点平面与平面垂直的判定定理文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直图形语言符号语言l⊂α，l⊥β⇒α⊥β1.若两个平面所成的二面角为90°，这两个平面有什么位置关系？提示：垂直2．过已知平面的垂线，有几个平面和已知平面垂直？提示：有无数多个．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)应用面面垂直的判定定理的关键在于，在其中一个平面内找到或作出另一个平面的垂线，即实现面面垂直向线面垂直的转化．()(2)已知α，β，γ是平面，且α⊥β，若α⊥γ，则β⊥γ. ()(3)已知α，β，γ是平面，且α∥β，若α⊥γ，则β⊥γ. ()[提示](1)正确．(2)错误．β和γ可能平行，也可能相交．(3)正确．[答案](1)√(2)×(3)√类型1平面与平面垂直的判定【例1】(教材北师版P234例8改编)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.证明：平面AEC⊥平面AFC.[证明]如图，连接BD，设BD∩AC于点G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝ 3.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝3，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，可得BE＝2，故DF＝2 2.在Rt△FDG中，可得FG＝6 2.在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝2，DF＝22，可得EF＝322.从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，所以EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.(1)证明平面与平面垂直的方法①利用定义：证明二面角的平面角为直角；②利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(2)根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．[跟进训练]1．在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面P AC.[证明]∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又PC∩AC＝C，∴BD⊥平面P AC.∵BD⊂平面PBD，∴平面PDB⊥平面P AC.类型2空间垂直关系的综合应用【例2】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，侧面△P AD 为等边三角形．(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．1.空间中线、面的垂直关系是如何转化的？[提示]转化关系如下：2.证明直线与直线垂直的方法有哪些？[提示](1)利用平面几何的知识：如勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，菱形的性质等；(2)证明一条直线垂直另一条直线所在的平面．3.(1)直线与直线垂直→直线与平面垂直→直线与直线垂直(2)利用（1）的条件AD⊥平面PGB→找到过点F的平面和平面PGB平行→确定F的位置[解](1)证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，如图．因为△P AD为等边三角形，所以PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD.又因为BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PGB.因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB.(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.如图，设F为PC的中点，连接DF，EF，DE，则在△PBC中，EF∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，而EF⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面PGB.由(1)，得AD⊥平面PGB，而AD⊂平面ABCD，所以平面PGB⊥平面ABCD.所以平面DEF⊥平面ABCD.(1)空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的．(2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题．[跟进训练]2．如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且AEAC＝AFAD＝λ(0<λ<1).(1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?[解](1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD ⊥BC ，AB ∩BC ＝B ，∴CD ⊥平面ABC . 又∵AE AC ＝AFAD＝λ(0<λ<1)，∴无论λ为何值，恒有EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC .又∵EF ⊂平面BEF ，∴无论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC . (2)由(1)知BE ⊥EF ，∵平面BEF ⊥平面ACD ，平面BEF ∩平面ACD ＝EF ， ∴BE ⊥平面ACD .又∵AC ⊂平面ACD ，∴BE ⊥AC .∵BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝∠ABD ＝90°，∠ADB ＝60°， ∴BD ＝2，∴AB ＝2tan 60°＝6， ∴AC ＝AB 2＋BC 2＝7.由Rt △AEB ∽Rt △ABC ，得AB 2＝AE ·AC ， ∴AE ＝67，∴λ＝AE AC ＝67.故当λ＝67时，平面BEF ⊥平面ACD .1．直线l ⊥平面α，l ⊂平面β，则α与β的位置关系是( ) A ．平行 B ．可能重合 C ．相交且垂直D ．相交不垂直C [由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.]2．对于直线m ，n 和平面α，β，能得出α⊥β的一组条件是( ) A ．m ⊥n ，m ∥α，n ∥β B ．m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂β C ．m ∥n ，n ⊥β，m ⊂αD ．m ∥n ，m ⊥α，n ⊥βC [A 与D 中α也可与β平行，B 中不一定α⊥β，故选C.]3．如图，BCDE 是一个正方形，AB ⊥平面BCDE ，则图中(侧面，底面)互相垂直的平面共有( )A ．4组B ．5组C ．6组D ．7组B[由AB⊥平面BCDE，可得平面ABC⊥平面BCDE，平面ABE⊥平面BCDE，又因为BCDE是一个正方形，所以BC⊥平面ABE⇒平面ABC⊥平面ABE，同理可得平面ACD⊥平面ABC，平面ADE⊥平面ABE，故共有5组，故选B.]4．如果规定：x＝y，y＝z，则x＝z，叫作x，y，z关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是________．平行[由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．]5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，则平面EBD与平面AA1C1C的位置关系是________．(填“垂直”“不垂直”其中的一个)垂直[如图，在正方体中，CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD.又AC⊥BD，CC1∩AC＝C，∴BD⊥平面AA1C1C.又BD⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面AA1C1C.]回顾本节内容，自我完成以下问题：面面垂直的判定定理应用的思路是什么？[提示]平面与平面垂直的判定定理的应用思路(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直．(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．。

2.1.2两条直线的平行与垂直一、教学目标(一)知识教学：理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.(二)能力训练：通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力．(三)学科渗透：通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．二、重难点重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题．三、教学方法：启发、引导、讨论.四、教学过程(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直设直线 L1和L2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系?首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果L1∥L2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α1, α2的关系)∴tgα1=tgα2．即 k1=k2．反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2．由于0°≤α1＜180°， 0°≤α＜180°，∴α1=α2．又∵两条直线不重合，∴L1∥L2．结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在．．．．．．．．的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之则不一定.下面我们研究两条直线垂直的情形．如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有α1=90°+α2．因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．，可以推出: α1=90°+α2． L1⊥L2．结论: 两条直线都有斜率．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即注意: 结论成立的条件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之则不一定.(借助计算机, 让学生通过度量, 感知k1, k2的关系, 并使L1(或L2)转动起来, 但仍保持L1⊥L2, 观察k1, k2的关系, 得到猜想, 再加以验证. 转动时, 可使α1为锐角,钝角等). （三）、例题：例1 已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论.分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想:BA∥PQ, 再通过计算加以验证.(图略)解: 直线BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5, 直线PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5, 因为 k1=k2=0.5, 所以直线BA∥PQ.例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明. (借助计算机作图, 通过观察猜想: 四边形ABCD是平行四边形,再通过计算加以验证) 解同上.例3 已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.解: 直线AB的斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3,直线PQ的斜率k2= (6-3)(-2-0)=-3/2, 因为k1·k2 = -1 所以 AB⊥PQ.例4 已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形ABC是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再通过计算加以验证.(图略)（四）、课堂练习：P94 练习 1. 2.（五）、课后小结：(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件；(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直.(3) 应用直线平行的条件, 判定三点共线.（六）、布置作业：P94 习题3.1 5. 8.五、教后反思：。

北师大版(新课标)高中数学课本目录大全（含必修和选修）北师大必修《数学1(必修)》全书目录：第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算阅读材料康托与集合论第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究§5 简单的幂函数阅读材料函数概念的发展课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数概念的扩充§3 指数函数§4 对数§5 对数函数§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较阅读材料历史上数学计算方面的三大发明第四章函数应用§1 函数与方程§2 实际问题的函数建模阅读材料函数与中学数学探究活动同种商品不同型号的价格问题必修2全书目录：第一章立体几何初步§1 简单几何体§2 三视图§3 直观图§4 空间图形的基本关系与公理§5 平行关系§6 垂直关系§7 简单几何体的面积和体积§8 面积公式和体积公式的简单应用阅读材料蜜蜂是对的课题学习正方体截面的形状第二章解析几何初步§1 直线与直线的方程§2 圆与圆的方程§3 空间直角坐标系阅读材料笛卡儿与解析几何探究活动1 打包问题探究活动2 追及问题必修3全书目录第一章统计§1 统计活动：随机选取数字§2 从普查到抽样§3 抽样方法§4 统计图表§5 数据的数字特征§6 用样本估计总体§7 统计活动：结婚年龄的变化§8 相关性§9 最小二乘法阅读材料统计小史课题学习调查通俗歌曲的流行趋势第二章算法初步§1 算法的基本思想§2 算法的基本结构及设计§3 排序问题§4 几种基本语句课题学习确定线段n等分点的算法第三章概率§1 随机事件的概率§2 古典概型§3模拟方法――概率的应用探究活动用模拟方法估计圆周率∏的值必修4 全书目录：第一章三角函数§1 周期现象与周期函数§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数§5 余弦函数§6 正切函数§7 函数的图像§8 同角三角函数的基本关系阅读材料数学与音乐课题学习利用现代信息技术探究的图像第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量§2 从位移的合成到向量的加法§3 从速度的倍数到数乘向量§4 平面向量的坐标§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例阅读材料向量与中学数学第三章三角恒等变形§1 两角和与差的三角函数§2 二倍角的正弦、余弦和正切§3 半角的三角函数§4 三角函数的和差化积与积化和差§5 三角函数的简单应用课题学习摩天轮中的数学问题探究活动升旗中的数学问题必修5全书共三章：数列、解三角形、不等式。

1.6.1 垂直关系的判定知识点1：直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么称这条直线和这个平面垂直.(2)画法:当直线与平面垂直时,通常把表示直线的线段画成和表示平面的平行四边形的横边垂直.如图所示.(3)直线与平面垂直的判定定理①文字叙述:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直.②符号表示:若直线a⫋α,直线b⫋α,直线l⊥a,l⊥b,a∩b=A,则l⊥α.③图形表示:④作用:线线垂直⇒线面垂直。

【练习】垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是( )A.垂直B.斜交C.平行D.不能确定解析:梯形的两腰所在的直线相交,根据线面垂直的判定定理可知选项A正确.名师点拨理解线面垂直的判定定理注意以下几点:(1)定理可表述为“线线垂直,则线面垂直”.(2)“两条相交直线”是关键词,一定不要忽视这个条件,否则将导致结论错误,即“线不在多,相交就行”.(3)要证明一条直线与一个平面垂直,只需在平面内找到两条相交直线和该直线垂直即可,至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点无关紧要.(4)线面垂直的判定定理与线面垂直的定义往往在证题过程中要反复交替使用.知识点2：二面角及其平面角(1)半平面的定义:一个平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,其中的每一部分都叫作半平面.(2)二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角,这条直线叫作二面角的棱,这两个半平面叫作二面角的面.(3)二面角的记法:以直线AB为棱,半平面α,β为面的二面角,记作二面角α-AB-β.(4)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.(5)直二面角:平面角是直角的二面角叫作直二面角.【练习】给出下列命题:①两个相交平面组成的图形叫作二面角;②异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补;③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成的角;④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是( )A.①③B.②④C.③④D.①②解析:由二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角,可知①不对.画出图形,可知②正确.③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱,故③不对.由定义知④正确.故选B.知识点3：平面与平面垂直(1)两个平面互相垂直的定义:两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.(2)画法:在画两个垂直的平面时,通常把表示直立平面的平行四边形的竖边画成和表示水平平面的平行四边形的横边垂直.如图①②所示.(3)平面与平面垂直的判定定理①文字叙述:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.②符号表示:③图形表示:④作用:线面垂直⇒面面垂直【练习】已知直线m,n与平面α,β,γ,下列可能使α⊥β成立的条件是( )A.α⊥γ,β⊥γB.α∩β=m,m⊥n,n⫋βC.m∥α,m∥βD.m∥α,m⊥β解析:选择适合条件的几何图形观察可得,A中α∥β或α与β相交,B中α,β相交,但不一定垂直,C中α∥β或α与β相交.名师点拨理解面面垂直的判定定理注意以下几点:(1)定理可简记为“线面垂直,则面面垂直”,因此要证明平面与平面垂直,只需在其中一个平面内找另一个平面的垂线,即证“线面垂直”.(2)两个平面垂直的判定定理,不仅仅是判定两个平面垂直的依据,而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据.(3)要证α⊥β,可证α经过β的某一条垂线,也可证明β经过α的某一条垂线.思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)若直线l垂直于平面α内无数条直线,则有l⊥α. ( ╳)(2)若直线l垂直于平面α内任意直线,则有l⊥α. ( √)(3)若直线l垂直于α内的一个凸五边形的两条边,则有l⊥α. ( √)(4)一个二面角的平面角有且只有一个. ( ╳)(5)若直线l与平面α交于点O,且l与α不垂直,l⫋β,则α与β一定不垂直. ( ╳)【例1】如图所示,在三棱锥A-BCD中,BC=AC,AD=BD,作BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于点H.求证:AH⊥平面BCD.证明:取AB的中点F,连接CF,DF,因为AC=BC,所以CF⊥AB.同理可得,DF⊥AB.又CF∩DF=F,所以AB⊥平面CDF.因为CD⫋平面CDF,所以AB⊥CD.又BE⊥CD,且BE∩AB=B,所以CD⊥平面ABE.因为AH⫋平面ABE,所以CD⊥AH.又AH⊥BE,BE∩CD=E,所以AH⊥平面BCD.反思感悟证明线面垂直的关键是：分析几何图形,寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系,进而证明线面垂直.三角形全等、等腰三角形底边上的中线、梯形的高、菱形和正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法.变式训练1：如图所示,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆O上的点.求证:BC⊥平面PAC.分析:由AB是圆O的直径可知AC⊥BC,再结合PA⊥平面ABC,即可证明BC⊥平面PAC.证明:由AB是圆O的直径,得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC,BC⫋平面ABC,得PA⊥BC.又PA∩AC=A,PA⫋平面PAC,AC⫋平面PAC,所以BC⊥平面PAC.2,E,F分别是AB,PD的中点.【例2】如图所示,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,AD=PA=2,CD=2求证:(1)AF∥平面PCE;(2)平面PCE⊥平面PCD.分析:(1)要证AF∥平面PCE,只需证明AF平行于平面PCE内的一条直线即可,取PC的中点G,则该直线为GE. (2)要证明平面PCE⊥平面PCD,只需证明GE⊥平面PCD,而由(1)知GE∥AF,故只需证明AF⊥平面PCD即可.反思感悟怎样证明平面与平面垂直：1.证明面面垂直的方法:(1)证明两个半平面构成的二面角的平面角为90°;(2)证明一个平面经过另一个平面的一条垂线,将证明面面垂直的问题转化为证明线面垂直的问题.2.利用判定定理证明两个平面垂直时,一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线,若图形中不存在这样的垂线,则可通过作辅助线来解决,而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明.变式训练2：已知正方形ABCD的边长为1,分别取边BC,CD的中点E,F,连接AE,EF,AF,以AE,EF,FA为折痕,折叠使点B,C,D重合于一点P.求证:(1)AP⊥EF;(2)平面APE⊥平面APF.题型三：对空间中线面关系理解不透彻而致误【典例】如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,则截面ACB1与对角面BB1D1D垂直吗?纠错心得1.因为B1O与底面不垂直,就断定截面ACB1不可能与对角面BB1D1D垂直,这是毫无根据的.2.要克服上述错误,一定要将有关定理或性质的适用条件及内涵把握清楚,不能凭想当然进行毫无逻辑的论证.课后巩固练习：1.下列各种情况中,一条直线垂直于一个平面内的:①三角形的两条边;②梯形的两条边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.不能保证该直线与平面垂直的是( )A.①③B.②C.②④D.①②④解析:三角形的任何两边都相交;圆的任何两条直径都相交;但梯形中任意两边不一定相交,也可能平行;正六边形中也存在平行的两条边,因此不能保证该直线与平面垂直的是②④.故选C.答案:C2.在空间四边形ABCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,则( )A.平面ABC⊥平面ADCB.平面ABC⊥平面ADBC.平面ABC⊥平面DBCD.平面ADC⊥平面DBC解析:如图所示,∵AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,∴AD⊥平面BDC.又AD⫋平面ADC,∴平面ADC⊥平面DBC.答案:D3.如图所示,∠BCA=90°,PC⊥平面ABC,则在△ABC,△PAC的边所在的直线中,(1)与PC垂直的直线有;(2)与AP垂直的直线有.解析:(1)因为PC⊥平面ABC,AB,AC,BC⫋平面ABC,所以与PC垂直的直线有AB,AC,BC.(2)∠BCA=90°,即BC⊥AC.又BC⊥PC,AC∩PC=C,所以BC⊥平面PAC,PA⫋平面PAC.所以BC⊥AP.答案:(1)AB,AC,BC (2)BC4.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,M,N分别为A1D1和AA1的中点,则下列说法正确的个数为( )①C1M∥AC; ②BD1⊥AC; ③BC1与AC所成的角为60°; ④CD与BN为异面直线.A.1B.2C.3D.45.如图所示,四边形ABCD是菱形,PC⊥平面ABCD,E是PA的中点求证:平面BDE⊥平面ABCD.。

§6.2 垂直关系的性质第二课时教学目标1．知识与技能（1）掌握平面与平面垂直的性质定理；(2）能运用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单问题；(3）总结线线、线面、面面之间的转化关系.2．过程与方法通过让学生在观察物体模型的基础上,进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识,培养学生的直观能力;通过探索发现线面垂直和面面垂直的性质定理，培养学生的空间想象能力、发散思维和类比思维能力。

3．情感、态度与价值观通过实物模型进行操作演示,让学生参与到教学活动中来，激发学生的学习欲望和探究精神.教学重点平面与平面垂直的性质教学难点平面与平面垂直的性质定理的探究、证明及应用课时安排1课时教学方法讲授法, 讨论法教学过程【复习引入】前面我们学习了平面与平面垂直的判定定理(学生回顾），这节课我们来学习平面与平面垂直的性质定理（点出课题） 【新知探究】观察实验观察黑板所在的平面和地面，它们是互相垂直的，那么黑板所在的平面里的任意一条直线是否就一定和地面垂直？（提问）师生互动平面α与平面β互相垂直，那么α内的任一条直线l 与平面β的位置关系有哪几种可能？(让学生自己演示）【抽象概括】定理6。

4 平面与平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

符号表示：MNAB MNAB ⊥=⋂⊂⊥βαββα αlβαlβlαβ定定理剖析【提问】上面的结论是否一定成立？我们该如何去证明？（学生思考并作答)已知：如图所示，B MN AB AB MN 于点⊥⊂=⊥,,,ββαβα 求证:α⊥AB证明：在平面α内作直线MN BC ⊥,则ABC ∠是二面角βα--MN 的平面角.βα⊥ , 90=∠∴ABC .1)面面垂直线面垂直;（线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线)2)它为判定和作出线面垂直提供依据. 关键点：①线在平面内; ②线垂直于交线。

概念巩固例1。

已知平面α⊥平面β,α∩ β＝l ，判断下列结论的正误.(1）平面α内的任意一条直线必垂直于平面β ( ）(2）垂直于交线l 的直线必垂直于平面β ( )（3)过平面α内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于平面β( ）练习.下列说法错误的是 （ ）BC AB ⊥∴,又MN AB ⊥,α⊥∴ABＡ.若 ，那么α内所有直线都垂直于平面β Ｂ。

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必修1 第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算3.1 交集与并集3。

2 全集与补集第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识2。

1 函数概念2。

2 函数的表示法2。

3 映射§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究4。

1 二次函数的图像4。

2 二次函数的性质§5 简单的幂函数课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数扩充及其运算性质2。

1 指数概念的扩充2.2 指数运算的性质§3指数函数3.1 指数函数的概念3.2 指数函数和的图像和性质3。

3 指数函数的图像和性质§4 对数4。

1 对数及其运算4.2 换底公式§5 对数函数5。

1 对数函数的概念5。

2 y=log2x的图像和性质5。

3 对数函数的图像和性质§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较第四章函数应用§1 函数与方程1。

1 利用函数性质判定方程解的存在1。

2 利用二分法求方程的近似解§2 实际问题的函数建模2。

1 实际问题的函数刻画2.2 用函数模型解决实际问题2.3 函数建模案例必修2第一章立体几何初步§1 简单几何体 1.1 简单旋转体1.2 简单多面体§2 直观图§3 三视图3.1 简单组合体的三视图3.2 由三视图还原成实物图§4 空间图形的基本关系与公理4。

高中数学课本内容及其重难点北师大版高中数学必修一·第一章集合（考点的难度不是很大，是高考的必考点）· 1、集合的基本关系· 2、集合的含义与表示· 3、集合的基本运算（重点)（2课时）·第二章函数· 1、生活中的变量关系· 2、对函数的进一步认识· 3、函数的单调性（重点）· 4、二次函数性质的再研究（重点)· 5、简单的幂函数(5课时)·第三章指数函数和对数函数· 1、正整数指数函数· 2、指数概念的扩充· 3、指数函数（重点）· 4、对数· 5、对数函数（重点）· 6、指数函数、幂函数、对数函数增减性（重点）(3课时）·第四章函数应用· 1、函数与方程· 2、实际问题的函数建模（2课时）北师大版高中数学必修二·第一章立体几何初步· 1、简单几何体· 2、三视图（重点）· 3、直观图（1课时）· 4、空间图形的基本关系与公理（重点)· 5、平行关系(重点）· 6、垂直关系（重点)· 7、简单几何体的面积和体积（重点）· 8、面积公式和体积公式的简单应用(重点、难点）(4课时）·第二章解析几何初步· 1、直线与直线的方程· 2、圆与圆的方程· 3、空间直角坐标系（4课时）北师大版高中数学必修三·第一章统计· 1、统计活动：随机选取数字· 2、从普查到抽样· 3、抽样方法· 4、统计图表· 5、数据的数字特征(重点）· 6、用样本估计总体· 7、统计活动：结婚年龄的变化· 8、相关性· 9、最小二乘法(3课时)·第二章算法初步· 1、算法的基本思想· 2、算法的基本结构及设计（重点）· 3、排序问题（重点）· 4、几种基本语句（2课时）·第三章概率· 1、随机事件的概率（重点）· 2、古典概型(重点）· 3、模拟方法――概率的应用（重点、难点）（4课时)北师大版高中数学必修四·第一章三角函数· 1、周期现象与周期函数· 2、角的概念的推广· 3、弧度制· 4、正弦函数（重点)· 5、余弦函数（重点）· 6、正切函数(重点）· 7、函数的图像（重点)· 8、同角三角函数的基本关系(重点、难点）（5课时）·第二章平面向量· 1、从位移、速度、力到向量· 2、从位移的合成到向量的加法（重点）· 3、从速度的倍数到数乘向量（重点）· 4、平面向量的坐标（重点)· 5、从力做的功到向量的数量积(重点）· 6、平面向量数量积的坐标表示（重点)· 7、向量应用举例（难点）（5课时）·第三章三角恒等变形(重点）· 1、两角和与差的三角函数· 2、二倍角的正弦、余弦和正切· 3、半角的三角函数· 4、三角函数的和差化积与积化和差· 5、三角函数的简单应用（难点）（4课时)北师大版高中数学必修五·第一章数列· 1、数列的概念· 2、数列的函数特性· 3、等差数列（重点）· 4、等差数列的前n项和（重点）· 5、等比数列（重点）· 6、等比数列的前n项和（重点)· 7、数列在日常经济生活中的应用(6课时）·第二章解三角形（重点）· 1、正弦定理与余弦定理正弦定理· 2、正弦定理· 3、余弦定理· 4、三角形中的几何计算（难点）· 5、解三角形的实际应用举例(6课时）·第三章不等式· 1、不等关系· 1。