高中数学课时跟踪检测(十)垂直关系的性质北师大版必修2

6.2 垂直关系的性质知识点一：直线和平面垂直的性质1.基本性质文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线. 符号语言：,l m l m αα⊥⊂⇒⊥图形语言：2.性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：,//l m l m αα⊥⊥⇒图形语言：3．直线与平面垂直的其他性质（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．（2）若l α⊥于A ，AP l ⊥，则AP α⊂．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．要点诠释：线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化．知识点二、平面与平面垂直的性质1．性质定理文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：,,,m l l m l αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥图形语言：要点诠释：面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法．2．平面与平面垂直性质定理的推论如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．知识点三、垂直关系的综合转化线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而架起条件与结论的桥梁．垂直间的关系可按下面的口诀记忆：线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记清．平面之内两直线，两线交于一个点，面外还有一条线，垂直两线是条件．面面垂直要证好，原有图中去寻找，若是这样还不好，辅助线面是个宝．先作交线的垂线，面面转为线和面，再证一步线和线，面面垂直即可见．借助辅助线和面，加的时候不能乱，以某性质为基础，不能主观凭臆断，判断线和面垂直，线垂面中两交线．两线垂直同一面，相互平行共伸展，两面垂直同一线，一面平行另一面．要让面和面垂直，面过另面一垂线，面面垂直成直角，线面垂直记心间．【典型例题】类型一：直线与平面垂直的性质例1．设a，b为异面直线，AB是它们的公垂线（与两异面直线都垂直且相交的直线）．（1）若a，b都平行于平面α，求证：AB⊥α；αβ=，求证：AB∥c．（2）若a，b分别垂直于平面α，β，且c例2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E 是PC的中点．（1）证明：AE⊥CD；（2）证明：PD⊥平面ABE．举一反三：【变式1】如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E 作EF⊥SC交SC于F．（1）求证：AF⊥SC；（2）若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD．【变式2】如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF ⊥平面ACE。

1.6.2 垂直关系的性质[学业水平训练］1。

若两个平面互相垂直，在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b，那么( ）A．直线a垂直于第二个平面B．直线b垂直于第一个平面C．直线a不一定垂直于第二个平面D．过a的平面必垂直于过b的平面解析:选 C.对于两平面，无论关系如何，在两平面内一定可以找到互相垂直的两条直线,因此直线a不一定是第二个平面的垂线，故选C。

错误!直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD，直线m垂直于AD和BC，则l与m的位置关系是( ）A．相交B．平行C．异面D．不确定解析：选D。

因为梯形的两腰AB和CD一定相交且l⊥AB，l⊥CD，所以l垂直于梯形ABCD。

又因为直线m垂直于AD和BC，且AD∥BC.所以m与平面ABCD的位置关系不确定，因此l与m的位置关系就不确定，故选D.错误!空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定解析：选B.过A点作AE⊥BD，交BD于E，E为垂足．因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，∴AE⊥平面BCD。

又BC平面BCD,∴BC⊥AE.又AD⊥平面ABC，BC平面ABC，∴BC⊥AD.又∵AD∩AE＝A，且AD,AE平面ABD，∴BC⊥平面ABD，又AB平面ABD，∴BC⊥AB,∴△ABC为直角三角形．错误!如图所示，三棱锥P.ABC的底面在平面α上，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC,点P,A，B是定点，则动点C运动形成的图形是（）A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点解析：选D。

∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，AC平面PAC，且平面PAC∩平面PBC＝PC，∴AC⊥平面PBC。

又∵BC平面PBC,∴AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆,但要除去A和B两点，故选D.5.若l，m,n表示不重合的直线,α表示平面，则下列说法中正确的个数为( ）①l∥m，m∥n，l⊥α⇒n⊥α;②l∥m,m⊥α，n⊥α⇒l∥n；③m⊥α，nα⇒m⊥n.A．1 B．2C．3 D．0解析:选C。

课时跟踪检测（十）垂直关系的性质一、基本能力达标1．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )A．相交B．平行C．异面D．相交或平行解析：选B 由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面，所以它们平行．2．平面α⊥平面β，直线a∥α，则( )A．a⊥β B．a∥βC．a与β相交 D．以上都有可能解析：选D 因为a∥α，平面α⊥平面β，所以直线a与β垂直、相交、平行都有可能．故选D.3．已知三个平面α，β，γ，若β⊥γ，且α与γ相交但不垂直，则( )A．存在aα，a⊥γ B．存在aα，a∥γC．任意bβ，b⊥γ D．任意bβ，b∥γ解析：选B 因为三个平面α，β，γ，若β⊥γ，且α与β相交但不垂直，则可知存在aα，a∥γ，选B.4．已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是( )A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m，lα，l⊥m，则l⊥βC．若α⊥β，lα，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，lα，l⊥m，则l⊥β解析：选D 选项A缺少了条件：lα；选项B缺少了条件：α⊥β；选项C缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的条件．5.如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是( )A．PE⊥ACB．PE⊥BCC．平面PBE⊥平面ABCDD．平面PBE⊥平面PAD解析：选D 因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD ∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A、B成立．又PE平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C成立．若平面PBE⊥平面PAD，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立，故选D.6.如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．解析：∵CA＝CB，O为AB的中点，∴CO⊥AB.又平面ABC⊥平面ABD，交线为AB，∴CO⊥平面ABD.∵OD平面ABD，∴CO⊥OD，∴△COD为直角三角形．所以图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD共6个．答案：67.如图，直二面角α­l­β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为________．解析：如图，连接BC，∵二角面α­l­β为直二面角，AC α，且AC⊥l，∴AC⊥β.又BCβ，∴AC⊥BC，∴BC2＝AB2－AC2＝3，又BD⊥CD，∴CD＝BC2－BD2＝ 2.答案： 28．已知m，n是直线，α，β，γ是平面，给出下列说法：①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n；③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；④若α∩β＝m，n∥m且nα，nβ，则n∥α且n∥β.其中正确的说法序号是________(注：把你认为正确的说法的序号都填上)．解析：①错，垂直于交线，不一定垂直平面；②对；③错，凡是平面内垂直于m的射影的直线，m都与它们垂直；④对．答案：②④9.如图，PA ⊥平面ABD ，PC ⊥平面BCD ，E ，F 分别为BC ，CD 上的点，且EF ⊥AC .求证：CF DC ＝CE BC .证明：∵PA ⊥平面ABD ，PC ⊥平面BCD ，∴PA ⊥BD ，PC ⊥BD ，PC ⊥EF .又PA ∩PC ＝P ，∴BD ⊥平面PAC .又EF ⊥AC ，PC ∩AC ＝C ，∴EF ⊥平面PAC ，∴EF ∥BD ，∴CF DC ＝CE BC .10．如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，CE ⊥AC ，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.(1)求证：AF ∥平面BDE ；(2)求证：CF ⊥平面BDE .证明：(1)设AC 与BD 交于点G .因为EF ∥AC ，且EF ＝1，AG ＝12AC ＝1.所以四边形AGEF 为平行四边形．所以AF ∥EG .因为EG 平面BDE ，AF 平面BDE ，所以AF ∥平面BDE .(2)连接FG .因为EF ∥CG ，EF ＝CG ＝1，且CE ＝1，所以四边形CEFG 为菱形，所以CF ⊥EG .因为四边形ABCD 为正方形，所以BD ⊥AC .又因为平面ACEF ⊥平面ABCD ，CE ⊥AC ，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以CE⊥平面ABCD，所以CE⊥BD.又AC∩CE＝C，所以BD⊥平面ACEF，所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.二、综合能力提升1．已知l，m，n是三条不同的直线，α是一平面．下列命题中正确的个数为( )①若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；②若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n；③若l∥α，l⊥m，则m⊥α.A．1 B．2C．3 D．0解析：选B 对于①，因为l∥m，m∥n，所以l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，即①正确；对于②，因为m⊥α，n⊥α，所以m∥n，又l∥m，所以l∥n，即②正确；对于③，因为l ∥α，l⊥m，所以m∥α或mα或m⊥α或m与α斜交，即③错误．2．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若α⊥β，m⊥β，mα，则m∥α；③若α⊥β，m∥α，则m⊥β.其中正确命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选B ①中，α，β可能平行，也可能相交，不正确；②中，α⊥β，m⊥β，m α时，只可能有m∥α，正确；③中，m与β的位置关系可能是m∥β或mβ或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为1，故选B.3．如图所示，三棱锥P­ABC的底面在平面α上，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C运动形成的图形是( )A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点解析：选D ∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，AC平面PAC，且平面PAC∩平面PBC＝PC，∴AC⊥平面PBC.又∵BC平面PBC，∴AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆，除去A 和B 两点，故选D.4．在三棱锥P ­ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，∠PCA ＝90°，△ABC 是边长为4的正三角形，PC ＝4，M 是AB 边上的一动点，则PM 的最小值为( )A ．2 3B ．27C ．4 3D ．47解析：选B 如图，连接CM ，则由题意PC ⊥平面ABC ，可得PC ⊥CM ，所以PM ＝ PC 2＋CM 2，要求PM 的最小值只需求出CM 的最小值即可，在△ABC 中，当CM ⊥AB 时CM 有最小值，此时有CM ＝4×32＝23，所以PM 的最小值为27.5.如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cos α∶cos β＝________. 解析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5,25，所以cos α＝525＋4＝529，cos β＝2529，所以cos α∶cos β＝5∶2. 答案：5∶26．如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，沿BD 将△ABD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AC ，则在四面体ABCD 的四个面中，互相垂直的平面的对数为________．解析：因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，AB ⊥BD ，所以AB ⊥平面BCD .所以平面ABC ⊥平面BCD .在折起前，因为AB ⊥BD ，AB ∥CD ，所以CD ⊥BD .又因为平面ABD ⊥平面BCD ，所以CD ⊥平面ABD ，所以平面ACD ⊥平面ABD ，共3对．答案：37.(2019·全国卷Ⅲ)图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB ＝1，BE ＝BF ＝2，∠FBC ＝60°.将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连接DG ，如图2.(1)证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；(2)求图2中的四边形ACGD 的面积．解：(1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，所以AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，且BE∩BC＝B，所以AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)取CG的中点M，连接EM，DM.因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE，所以DE⊥CG.因为四边形BCGE是菱形，且∠EBC＝60°，所以EM⊥CG，又DE∩EM＝E，所以CG⊥平面DEM.所以DM⊥CG.在Rt△DEM中，DE＝1，EM＝3，故DM＝2.所以四边形ACGD的面积为4.探究应用题8.如图所示，在斜三棱柱A1B1C1­ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，D是BC的中点，侧面BB1C1C⊥底面ABC.(1)求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；(3)若截面MBC1⊥平面BB1C1C，则AM＝MA1吗？请叙述你的判断理由．解：(1)证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.∵底面ABC⊥平面BB1C1C，底面ABC∩平面BB1C1C＝BC，∴AD⊥平面BB1C1C.又CC1平面BB1C1C，∴AD ⊥CC 1.(2)证明：延长B 1A 1与BM 交于点N ，连接C 1N .∵AM ＝MA 1，∴NA 1＝A 1B 1.∵A 1C 1＝A 1N ＝A 1B 1，∴C 1N ⊥B 1C 1，∴C 1N ⊥侧面BB 1C 1C .∴截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C .(3)结论正确．证明如下：过M 作ME ⊥BC 1于点E ，连接DE . ∵截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ， ∴ME ⊥侧面BB 1C 1C .又AD ⊥侧面BB 1C 1C ，∴ME ∥AD ，∴M ，E ，D ，A 四点共面． ∵MA ∥侧面BB 1C 1C ，∴AM ∥DE .∴四边形AMED 是平行四边形， 又AM ∥CC 1，∴DE ∥CC 1.∵BD ＝CD ，∴DE ＝12CC 1， ∴AM ＝12CC 1＝12AA 1. ∴AM ＝MA 1.。

课时作业10 垂直关系的性质｜基础巩固｜（25分钟，60分）一、选择题（每小题5分，共25分)1．已知直线l垂直于直线AB和AC，直线m垂直于直线BC和AC，则直线l,m的位置关系是（) A．平行B．异面C．相交D．垂直解析：因为直线l垂直于直线AB和AC，所以l 垂直于平面ABC，同理，直线m垂直于平面ABC，根据线面垂直的性质定理得l∥m.答案：A2．已知平面α⊥平面β,α∩β＝n，直线lα,直线mβ，则下列说法正确的个数是（)①若l⊥n，l⊥m，则l⊥β；②若l∥n，则l∥β；③若m⊥n，l⊥m，则m⊥α。

A．0 B．1C．2 D．3lαmβlβlβ∴P在面ABC上的射影O为△ABC的外心．又△ABC为直角三角形，∴O为斜边BA的中点．在△ABC中，BC＝5，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴PO＝错误!＝5错误!。

答案：C5。

如图,在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( ）A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：连接AC1，∵BA⊥AC，BC1⊥AC，BA∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1。

∵AC平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1，且交线是AB。

故平面ABC1上的点C1在底面ABC上的射影H必在交线AB上．答案:A二、填空题（每小题5分，共15分）6．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD,则平行四边形ABCD一定是________．解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD,又因为PC⊥BD，所以BD⊥平面PAC,又AC⊂平面PAC，所以AC⊥BD。

答案:菱形7．如图,四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA＝a，PB＝PD＝2a，则它的五个面中，互相垂直的平面有________对．解析：由勾股定理逆定理得PA⊥AD，PA⊥AB,∴PA⊥面ABCD,PA⊥CD，PA⊥CB。

《垂直关系的判定》同步练习1.垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是( )A .垂直B .斜交C .平行D .不能确定 2.在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，与AD 1垂直的平面是( )A .平面DD 1C 1CB .平面A 1DCB 1C .平面A 1B 1C 1D 1D .平面A 1DB3.如果直线l ，m 与平面α，β，γ满足：l ＝β∩γ，l ∥α，mα和m ⊥γ，那么必有( )A .α⊥γ且l ⊥mB .α⊥γ且m ∥βC .m ∥β且l ⊥mD .α∥β且α⊥γ 4.如图1­6­11，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点(不同于A ，B )，且PA ＝AC ，则二面角P ­BC ­A 的大小为( )图1­6­11A .60°B .30°C .45°D .90°5.在三棱锥P ­ABC 中，已知PC ⊥BC ，PC ⊥AC ，点E ，F ，G 分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是()图1­6­12A .平面EFG ∥平面PBCB .平面EFG ⊥平面ABCC .∠BPC 是直线EF 与直线PC 所成的角D .∠FEG 是平面PAB 与平面ABC 所成二面角的平面角6.如图1­6­13，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，平面ACD 1与平面BB 1D 1D 的位置关系是________。

图1­6­137.如图1­6­14所示，PA ⊥平面ABC ，△ABC 中BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数有________。

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课时提升作业(九)垂直关系的判定一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2014·淮北高一检测)三棱锥的四个面中直角三角形最多有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选D.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，选取顶点D1，D，A，B构成三棱锥D1-DAB，易知其四个面全是直角三角形.2.下列说法中正确的个数是( )①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直.A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选D.由直线和平面垂直的定理知①对，由直线与平面垂直的定义知②正确，当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故③不对，④正确.3.(2014·辽宁高考)已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是( )A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m⊥α，nα，则m⊥nC.若m⊥α，m⊥n，则n∥αD.若m∥α，m⊥n，则n⊥α【解析】选B.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AA1，AB1分别与平面CC1D1D平行，但是直线AA1，AB1相交，故选项A错误；根据线面垂直的定义，一条直线垂直一个平面，则该直线垂直于平面内的任一条直线，可见选项B正确；直线AA 1⊥平面ABCD，AA1⊥BC，但直线BC平面ABCD，故选项C错误；直线AA 1∥平面CC1D1D，AA1⊥CD，但直线CD平面CC1D1D，故选项D错误.4.(2014·泰安高一检测)三棱锥P-ABC中，∠ABC=90°，PA=PB=PC，则下列说法正确的是( )A.平面PAC⊥平面ABCB.平面PAB⊥平面PBCC.PB⊥平面ABCD.BC⊥平面PAB【解析】选A.如图，因为∠ABC=90°，PA=PB=PC，所以点P在底面的射影落在△ABC的斜边的中点O处，连接OB，OP，则PO⊥OB，又PA=PC，所以PO⊥AC，且AC∩OB=O，所以PO⊥平面ABC，又PO平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.5.在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，PA⊥平面ABC，PA=8，则P到BC的距离是( )A. B.2 C.3 D.4【解析】选D.如图所示，作PD⊥BC于D，连接AD，因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，PD∩PA=P，所以CB⊥平面PAD，所以AD⊥BC.因为AB=AC，所以CD=BD=3.在Rt△ACD中，AC=5，CD=3，所以AD=4，在Rt△PAD中，PA=8，AD=4，所以PD==4.6.(2013·兰州高一检测)长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，CC1=，则二面角C1-BD-C的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选A.因为ABCD-A1B1C1D1是长方体，所以CC1⊥平面ABCD，所以BD⊥CC1.因为ABCD是矩形，且AB=AD，所以ABCD是正方形，所以BD⊥AC.又AC∩CC1=C，所以BD⊥平面AA1C1C，所以∠COC1是二面角C1-BD-C的平面角，Rt△CC1O中∠C1CO=90°，CC1=，OC=BC=×2=，所以tan∠COC1===，所以∠COC1=30°.二、填空题(每小题4分，共12分)7. (2014·杭州高二检测)四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA=a，PB=PD=a，则PC=________.【解析】连接AC，因为PA=AB=a，PB=a，所以PA2+AB2=PB2，所以PA⊥AB，同理可证PA⊥AD，又AB∩AD=A，所以PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AC，故PC=== a.答案： a8.(2014·西安高一检测)平行四边形ABCD的对角线交于点O，点P在□ABCD所在平面外，且PA=PC，PD=PB，则PO与平面ABCD的位置关系是________.【解析】因为AO=CO，PA=PC，所以PO⊥AC，因为BO=DO，PD=PB，所以PO⊥BD.又AC∩BD=O，所以PO⊥平面ABCD.答案：PO⊥平面ABCD9.如图，正四棱锥P-ABCD中，PO⊥底面ABCD，O为正方形ABCD的中心，PO=1，AB=2，则二面角P-AB-D的大小为________.【解题指南】先找二面角的平面角，然后放在直角三角形中求解.【解析】如图所示，取AB中点E，连接PE，OE.由O为正方形ABCD的中心知AB⊥EO.由PA=PB，E为AB中点，知AB⊥EP，所以∠PEO为二面角P-AB-D的平面角，在Rt△PEO中，tan∠PEO====1.所以∠PEO=45°.答案：45°三、解答题(每小题10分，共20分)10.如图，在锥体P-ABCD中，ABCD是菱形，且∠DAB=60°，PA=PD，E，F分别是BC，PC的中点.证明：AD⊥平面DEF.【证明】取AD的中点G，连接PG，BG，因为PA=PD，所以AD⊥PG.设菱形ABCD边长为1，在△ABG中，因为∠GAB=60°，AG=，AB=1，所以∠AGB=90°，即AD⊥GB.又PG∩GB=G，所以AD⊥平面PGB，所以AD⊥PB.因为E，F分别是BC，PC的中点，所以EF∥PB，AD⊥EF，又DE∥GB，AD⊥GB，所以AD⊥DE，又DE∩EF=E，所以AD⊥平面DEF.11.(2012·江苏高考)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点.求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)直线A1F∥平面ADE.【解题指南】(1)关键在平面ADE与平面BCC1B1中的一个平面上找一条直线与另一个平面垂直.(2)关键在平面ADE内找一条直线与直线A1F平行.【证明】(1)D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，又因三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以有BB1⊥平面ADC，即有AD⊥BB1.又在平面BCC1B1内BB1与DE必相交，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC 1B1.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1=A1C1，所以有AB=AC.又由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以AD⊥BC，所以D为边BC上的中点，连接DF，得AA 1FD为平行四边形，故A1F∥AD，又AD平面ADE，A1F⊈平面ADE，所以直线A1F∥平面ADE.【拓展延伸】利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直.三角形全等，等腰三角形、梯形底边的中线、高，菱形、正方形的对角线，三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法.一、选择题(每小题4分，共16分)1.下列命题正确的是( )①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直，它必和另一个平面平行；③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直；④如果两个平面互相垂直，经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内.A.①③B.②③C.②③④D.④【解析】选D.过平面外一点可作一条直线与平面垂直，过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直，所以①不对；若α⊥β，a⊥α，则aβ或a∥β，所以②不对；当平面外的直线是平面的垂线时，能作无数个平面与已知平面垂直，否则只能作一个，所以③也不对.2.(2014·汉中高一检测)设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列三个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若α∥β，lα，则l∥β；③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】选C.①中α与β可能相交，②③正确.3.(2014·吉安高二检测)已知PA⊥矩形ABCD所在的平面如图所示，图中互相垂直的平面有( )A.1对B.2对C.5对D.4对【解析】选C.因为DA⊥AB，DA⊥PA，AB∩PA=A，所以DA⊥平面PAB，同理BC⊥平面PAB，AB⊥平面PAD，DC⊥平面PAD，所以平面ABCD⊥平面PAD，平面ABCD⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PDC ⊥平PAD，平面PAB⊥平面PAD.4.如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是( )A.A′C⊥BDB.∠BA′C=90°C.△A′DC是正三角形D.四面体A′-BCD的体积为【解析】选B.若A′C⊥BD，又已知BD⊥CD，则BD⊥平面A′CD，即BD⊥A′D，与已知BD与A′D不垂直矛盾，故A′C⊥BD不正确.由BD⊥CD，平面A′BD⊥平面BCD，我们易得CD⊥平面A′BD，所以CD⊥A′B，又由AB=AD=1，BD=，可得A′B⊥A′D，又A′D∩CD=D，则A′B垂直于平面A′CD，所以∠BA′C=90°，故B正确.由CD⊥平面A′BD得CD⊥A′D，即△A′DC是直角三角形，故C错误；因为四面体A′-BCD的体积V=×CD×S△A′BD=，所以D错误；故选B.二、填空题(每小题5分，共10分)5.(2014·哈尔滨高一检测)四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角V-AB-C的大小为________.【解析】取AB，CD的中点E，F，连接VE，VF，EF，因为底面ABCD是边长为2的正方形，侧面都是棱长为的等腰三角形，所以VE⊥AB，EF⊥AB，所以∠VEF即为二面角V-AB-C的平面角.又EF=BC=2，VE==2=VF，故△VEF为等边三角形，所以∠VEF=60°.答案：60°6.(2014·马鞍山高一检测)在空间四边形ABCD中，△ABD，△CBD都是边长为1的正三角形，且平面ABD⊥平面CBD，E，F，G，H为空间四边形AB，AD，CD，BC边上的中点，则四边形EFGH的面积是________.【解析】依题意，作图如下：取BD的中点为O，连接AO，CO，因为△ABD，△CBD都是边长为1的正三角形，所以AO⊥BD，CO⊥BD，AO∩CO=O，所以BD⊥平面AOC，AC平面AOC，所以BD⊥AC.因为E，F，G，H为空间四边形AB，AD，CD，BC边上的中点，所以EF GH BD=，FG EH AC，因为BD⊥AC，故EF⊥FG，即四边形EFGH为矩形.在等腰直角三角形AOC中，AC2=AO2+CO2=+=，所以AC=，故FG=，所以四边形EFGH的面积S=EF·FG=×=.答案：三、解答题(每小题12分，共24分)7.(2014·宿州高一检测)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC=60°，AA1=AC=BC=1，A1B=.(1)求证：平面A1BC⊥平面ACC1A1.(2)如果D为AB的中点，求证：BC1∥平面A1DC.【证明】(1)在△A1AC中，∠A1AC=60°，AA1=AC=1，所以A1C=1，在△A1BC中，BC=1，A1C=1，A1B=，因为BC2+A1C2=A1B2，所以BC⊥A1C，又AA1⊥BC，AA1∩A1C=A1，所以BC⊥平面ACC1A1，因为BC平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面ACC1A1.(2)连接AC1，交A1C于O，连接DO，则由D为AB中点，O为AC1中点得，OD∥BC1，OD平面A1DC，BC1⊈平面A1DC，所以BC1∥平面A1DC.【变式训练】如图，已知三棱锥P-ABC，∠ACB=90°，D为AB的中点，且△PDB 是正三角形，PA⊥PC.求证：(1)PA⊥平面PBC.(2)平面PAC⊥平面ABC.【解题指南】(1)关键是根据△PDB是正三角形，D是AB的中点证明PA⊥PB.(2)关键是证明BC⊥平面PAC.【证明】(1)因为△PDB是正三角形，所以∠BPD=60°.因为D是AB的中点，所以AD=BD=PD.又∠ADP=120°，所以∠DPA=30°，所以∠DPA+∠BPD=90°，即∠APB=90°，所以PA⊥PB.又PA⊥PC，PB∩PC=P，所以PA⊥平面PBC.(2)因为PA⊥平面PBC，所以PA⊥BC.因为∠ACB=90°，所以AC⊥BC.又PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC.因为BC平面ABC，所以平面PAC⊥平面ABC.8.(2014·武汉高二检测)如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB= 120°，且OA=OB=OC=1，(1)设P为AC的中点，证明：在AB上存在一点Q，使PQ⊥OA，并计算的值.(2)求二面角O-AC-B的平面角的余弦值.【解析】(1)在平面OAB内作ON⊥OA交AB于N，连接NC，又OA⊥OC，ON∩OC=O，所以OA⊥平面ONC.因为NC平面ONC，所以OA⊥NC，取Q为AN的中点，连接PQ.则PQ∥NC，所以PQ⊥OA.在等腰△AOB中，∠AOB=120°，所以∠OAB=∠OBA=30°.在Rt△AON中，∠OAN=30°，所以ON=AN=AQ.在△ONB中，∠NOB=120°-90°=30°=∠NBO，所以NB=ON=AQ，所以=3.(2)连接PN，PO.因为OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB=O，所以OC⊥平面OAB.又ON平面OAB，所以OC⊥ON，又由ON⊥OA，OA∩OC=O，所以ON⊥平面AOC.所以OP是NP在平面AOC内的射影.在等腰Rt△COA中，P为AC的中点，所以AC⊥OP，又ON⊥AC，且ON∩OP=O，故AC⊥平面OPN，所以AC⊥NP，所以∠OPN为二面角O-AC-B的平面角.在等腰Rt△COA中，OC=OA=1，所以OP=，在Rt△AON中，ON=OA·tan30°=，所以在Rt△PON中，PN==，所以cos∠OPN===.【变式训练】如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，E是AB的中点，沿DE将△ADE 折起.(1)如果二面角A′-DE-C是直二面角，求证：A′B=A′C.(2)如果A′B=A′C，求证：平面A′DE⊥平面BCDE.【证明】(1)过点A′作A′M⊥DE于点M，则A′M⊥平面BCDE，所以A′M⊥BC.又A′D=A′E，所以M是DE的中点.取BC中点N，连接MN，A′N，则MN⊥BC. 又A′M⊥BC，A′M∩MN=M，所以BC⊥平面A′MN，所以A′N⊥BC.又因为N是BC中点，所以A′B=A′C.(2)取BC的中点N，连接A′N.因为A′B=A′C，所以A′N⊥BC.取DE的中点M，连接MN，A′M，所以MN⊥BC.又A′N∩MN=N，所以BC⊥平面A′MN，所以A′M⊥BC.又M是DE的中点，A′D=A′E，所以A′M⊥DE.又因为DE与BC是平面BCDE内的相交直线，所以A′M⊥平面BCDE.因为A′M平面A′DE，所以平面A′DE⊥平面BCDE.关闭Word文档返回原板块。

6.2垂直关系的性质课后篇巩固探究A组基础巩固1.若直线a⊥平面α,b∥α,则a与b的关系是()A.a⊥b,且a与b相交B.a⊥b,且a与b不相交D.a与b不一定垂直解析a与b垂直,但可能相交,也可能异面.答案C2.△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则直线l,m的位置关系是()A.相交B.异面D.不确定解析因为l⊥AB,l⊥AC且AB∩AC=A,所以l⊥平面ABC.同理可证,m⊥平面ABC,所以l∥m,故选C.答案C3.设平面α⊥平面β,且α∩β=l,直线a⫋α,直线b⫋β,且a不与l垂直,b不与l垂直,则a与b()A.可能垂直,不可能平行B.可能平行,不可能垂直C.可能垂直,也可能平行D.不可能垂直,也不可能平行解析当a,b都平行于l时,a与b平行.假设a与b垂直,如图所示,由于b与l不垂直,在b上任取一点A,过点A作b'⊥l.∵平面α⊥平面β,∴b'⊥平面α,∴b'⊥a,又由假设a⊥b易知a⊥平面β,从而a⊥l,这与已知a不与l垂直矛盾,故假设不正确,即a与b不可能垂直.答案B4.以等腰直角三角形ABC斜边AB上的中线CD为棱,将△ABC折叠,使平面ACD⊥平面BCD,则AC与BC的夹角为()A.30°B.60°C.90°D.不确定解析如图所示,令CD=AD=BD=1,则AC=BC=.∵平面ACD⊥平面BCD,AD⊥CD,且平面ACD∩平面BCD=CD,∴AD⊥BD,∴AB=,∴∠ACB=60°.答案B5.下列命题错误的是()A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析若平面α⊥平面β,则在平面α内与面的交线不相交的直线平行于平面β,故A正确;若α内存在直线垂直于平面β,则α⊥β,与题设矛盾,所以B正确;由面面垂直的性质知选项C正确.故选D.答案D6.如图所示,已知▱ADEF的边AF⊥平面ABCD,若AF=2,CD=3,则CE=.解析∵AF⊥平面ABCD,AF∥DE,∴DE⊥平面ABCD,CD⫋平面ABCD.∴DE⊥CD.∵DE=AF=2,CD=3,∴CE=.答案7.已知直线m,n与平面α与β,若m∥α,n⊥β,且α⊥β,则直线m,n的位置关系是.解析由α⊥β,n⊥β,得n⫋α或n∥α,又m∥α,所以直线m,n的位置关系为相交、平行或异面.答案相交、平行或异面8.如图,四面体P-ABC中,PA=PB=,平面PAB⊥平面ABC,∠ABC=90°,AC=8,BC=6,则PC=.解析取AB的中点E,连接PE.∵PA=PB,∴PE⊥AB.又平面PAB⊥平面ABC,∴PE⊥平面ABC.连接CE,∴PE⊥CE.∠ABC=90°,AC=8,BC=6,∴AB=2,PE=,CE=,PC==7.答案79.(2018全国Ⅲ卷,文19)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?说明理由.解(1)由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,所以DM⊥CM.又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM⫋平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.(2)当P为AM的中点时,MC∥平面PBD.证明如下:连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形,所以O为AC中点.连接OP,因为P为AM中点,所以MC∥OP.MC⊈平面PBD,OP⫋平面PBD,所以MC∥平面PBD.B组能力提升1.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α上,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C运动形成的图形是()A.一条线段B.一条直线C.一个圆解析平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,AC⫋平面PAC.且平面PAC∩平面PBC=PC,所以AC⊥平面PBC.又BC⫋平面PBC,所以AC⊥BC,动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆,除去A,B两点.答案D2.在三棱锥A-BCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,△BCD是锐角三角形,则必有()A.平面ABD⊥平面ADCB.平面ABD⊥平面ABCADC⊥平面BCD D.平面ABC⊥平面BCD解析因为AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,所以AD⊥平面BCD.又AD⫋平面ADC,所以平面ADC⊥平面BCD.答案C3.如图所示,Rt△ABC中,∠ACB=90°,直线l过点A且垂直于平面ABC,动点P∈l,当点P逐渐远离点A时,∠PCB的大小()A.变大B.变小D.有时变大,有时变小解析∵l⊥平面ABC,∴BC⊥l,∵BC⊥CA,AC∩l=A,∴BC⊥平面ACP,∴BC⊥CP,即∠PCB=90°.答案C4.α,β是两个不同的平面,m,n是平面α与β之外的两条不同直线,给出四个论断:①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:.解析利用面面垂直的判定,可知①③④⇒②为真;利用面面垂直的性质,可知②③④⇒①为真.答案若①③④,则②(或若②③④,则①)5.已知平面α⊥平面β,在α,β的交线上取线段AB=4 cm,AC,BD分别在平面α和β内,它们都垂直于AB,并且AC=3 cm,BD=12 cm,则CD的长为cm.解析如图所示,连接AD,CD.在Rt△ABD中,AB=4,BD=12,∴AD==4(cm).又α⊥β,CA⊥AB,CA⫋α,∴CA⊥β,CA⊥AD.∴△CAD为直角三角形.∴CD==13(cm).答案136.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E 和F分别为CD和PC的中点.求证:(1)PA⊥底面ABCD;(2)BE∥平面PAD;BEF⊥平面PCD.证明(1)∵平面PAD⊥底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD,∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,∴AB∥DE,且AB=DE.∴四边形ABED为平行四边形,∴BE∥AD,∵BE⊈平面PAD,AD⫋平面PAD,∴BE∥平面PAD.(3)∵AB⊥AD,且四边形ABED为平行四边形,∴BE⊥CD,AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD,∴PA⊥CD,∵PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD.∴CD⊥PD.∵E和F分别是CD和PC的中点,∴PD∥EF,∴CD⊥EF,∵BE∩EF=E,∴CD⊥平面BEF.∵CD⫋平面PCD,∴平面BEF⊥平面PCD.7.如图所示,在四棱锥S-ABCD中,SD⊥平面ABCD,AB∥DC,AD⊥DC,AB=AD=1,SD=2,BC⊥BD,E为棱SB上的一点,平面EDC⊥平面SBC.求证:(1)DE⊥平面SBC;2EB.证明(1)∵SD⊥平面ABCD,∴BC⊥SD.又BC⊥BD,BD∩SD=D,∴BC⊥平面BDS.∴BC⊥DE.作BK⊥EC,K为垂足.∵平面EDC⊥平面SBC,故BK⊥平面EDC,BK⊥DE.又BK⫋平面SBC,BC⫋平面SBC,BK∩BC=B,∴DE⊥平面SBC.(2)由(1)知DE⊥SB,DB=AD=,∴SB=,DE=,EB=,SE=SB-EB=,∴SE=2EB.8.导学号91134024如图所示,在四棱锥P-ABCD中,G为AD的中点,底面ABCD是边长为a的菱形,且∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)求证:BG⊥平面PAD;(2)求证:AD⊥PB;BC的中点,能否在棱PC上找一点F,使得平面DEF⊥平面ABCD?并证明你的结论.(1)证明∵在菱形ABCD中,∠DAB=60°,G为AD的中点,∴BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴BG⊥平面PAD.(2)证明如图所示,连接PG,则PG⊥AD,由(1)得BG⊥AD,又PG∩BG=G,BG⫋平面PBG,PG⫋平面PBG,∴AD⊥平面PBG.∵PB⫋平面PBG,∴AD⊥PB.(3)解当F为PC的中点时,满足平面DEF⊥平面ABCD.证明如下:取PC的中点F,连接DE,EF,DF,则在△PBC中,EF为中位线,则EF∥PB.∵EF⫋平面DEF,PB⊈平面DEF,∴PB∥平面DEF.在菱形ABCD中易得GB∥DE.∵DE⫋平面DEF,BG⊈平面DEF,∴BG∥平面DEF.∵PB∩GB=B,∴平面DEF∥平面PGB.又侧面PAD为正三角形,G为AD的中点,∴PG⊥AD.又侧面PAD所在平面垂直于底面ABCD,∴PG⊥平面ABCD,而PG⫋平面PGB,∴平面PGB⊥平面ABCD.故平面DEF⊥平面ABCD.。

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．在三棱锥A－BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么必有()A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABD⊥平面ABCC．平面ADC⊥平面BCD D．平面ABC⊥平面BCD解析：如图，∵AD⊥BC，AD⊥BD，∴AD⊥平面BCD.又AD平面ADC，∴平面ADC⊥平面BDC.答案： C2．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是() A．若a∥b，a∥α，则b∥αB．若α⊥β，a∥α，则a⊥βC．若α⊥β，a⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β解析：A错，可能bα；B错；C错，可能aα.只有D正确．答案： D3．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC解析：由题意知，在四边形ABCD中，CD⊥BD，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，两平面的交线为BD，所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD，又因为AB⊥AD，且CD∩AD ＝D，所以AB⊥平面ADC，于是得到平面ADC⊥平面ABC，故选D.答案： D4．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下列结论中不成立的是()A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC解析：如图所示，∵DF∥BC，BC平面PDF，∴BC∥平面PDF.∴A正确；连接AE，PE，则BC⊥AE，BC⊥PE.∵BC∥DF，∴DF⊥AE，DF⊥PE，DF⊥平面PAE，故B正确，又BC⊥平面PAE，∴平面ABC⊥平面PAE.故D正确．答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则平面ADC与平面BDE的关系是________．解析：∵AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，∴BE⊥AC，DE⊥AC，∴AC⊥平面BDE，又AC平面ADC，∴平面ADC⊥平面BDE.答案：垂直6．如图，若PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则该图中相互垂直的平面有________对．解析：由PA垂直于矩形ABCD所在的平面，知平面PAD⊥平面ABCD和平面PAB⊥平面ABCD；由AB⊥平面PAD，知平面PAB⊥平面PAD；由BC⊥平面PAB，知平面PBC⊥平面PAB；由DC⊥平面PAD，知平面PDC⊥平面PAD.所以题图中相互垂直的平面共有5对．答案： 5三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.证明：由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1，又BM平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM.又CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM＝1.在Rt△B1C1M中，B1M＝B1C21＋MC21＝2，同理BM＝BC2＋CM2＝2，又B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M.又A1B1∩B1M＝B1，所以BM⊥平面A1B1M，因为BM平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.8．如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，且SA＝AB，点E为AB的中点，点F为SC的中点．(1)求证：EF⊥CD；(2)求证：平面SCD⊥平面SCE.证明：(1)连接AC，AF，BF.∵SA⊥平面ABCD，∴AF为Rt△SAC斜边SC上的中线，∴AF＝12SC.又∵四边形ABCD是正方形，∴CB⊥AB.而由SA⊥平面ABCD，得CB⊥SA，∴CB⊥平面SAB，∴CB⊥SB，∴BF为Rt△SBC斜边SC上的中线，∴BF＝12SC，∴AF＝BF，∴△AFB为等腰三角形．∵E为AB的中点，∴EF⊥AB.又CD∥AB，∴EF⊥CD.(2)由已知易得Rt△SAE≌Rt△CBE，∴SE＝EC，即△SEC是等腰三角形，∴EF⊥SC.又∵SC∩CD＝C，EF⊥CD，∴EF⊥平面SCD.又EF平面SCE，∴平面SCD⊥平面SCE.尖子生题库☆☆☆9．(10分)如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C－PB－A的余弦值．解析：(1)证明：由AB是圆的直径，得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.(2)如图，过C作CM⊥AB于M，因为PA⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，所以PA⊥CM.又因为PA∩AB＝A，且PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以CM⊥平面PAB.过M作MN⊥PB于N，连接NC，易证CN⊥PB，所以∠CNM为二面角C－PB－A的平面角．在Rt△ABC中，由AB＝2，AC＝1，得BC＝3，CM＝32，BM＝32.在Rt△PAB中，由AB＝2，PA＝1，得PB＝ 5. 因为Rt△BNM∽Rt△BAP，所以MN1＝325，所以MN＝3510.所以在Rt△CNM中，CN＝305，所以cos∠CNM＝64，所以二面角C－PB－A的余弦值为6 4.。

课下能力提升（十）垂直关系的性质一、选择题1．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，mα和m⊥γ，那么必有( )A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ2．(浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β3．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，PE⊥DE，则PE的长为( )A.292B.135C.175D.11954．设平面α⊥平面β，且α∩β＝l，直线aα，直线bβ，且a不与l垂直，b 不与l垂直，那么a与b( )A．可能垂直，不可能平行B．可能平行，不可能垂直C．可能垂直，也可能平行D．不可能垂直，也不可能平行5．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列命题正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC二、填空题6．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.7．已知平面α⊥平面β，在α，β的交线上取线段AB＝4 cm，AC，BD分别在平面α和β内，它们都垂直于AB，并且AC＝3 cm，BD＝12 cm，则CD的长为________ cm.8．已知m，n是直线，α，β，γ是平面，给出下列命题：①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n；③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；④若α∩β＝m，m∥n，且nα，nβ，则n∥α且n∥β.其中正确的命题的序号是________(注：把你认为正确的命题的序号都填上)．三、解答题9．如图，A，B，C，D是空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝2，等边△ADB所在的平面以AB为轴可转动．(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD的长；(2)当△ADB转动过程中，是否总有AB⊥CD？请证明你的结论．10．如图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABC，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN⊥AB；(2)若PA＝AD，求证：MN⊥平面PCD.答案1. 解析：选A ∵m⊥γ，mα，lγ，∴α⊥γ，m⊥l；B错，有可能mβ；C 错，有可能mβ；D错，有可能α与β相交．2. 解析：选C 逐一判断可知，选项A 中的m ，n 可以相交，也可以异面；选项B 中的α与β可以相交；选项D 中的m 与β的位置关系可以平行、相交、m 在β内，故选C.3. 解析：选B 如图所示，连接AE .∵PA ⊥平面ABCD ， BD 平面ABCD ，∴PA ⊥BD .又∵BD ⊥PE ，PA ∩PE ＝P ，∴BD ⊥平面PAE ，∴BD ⊥AE .∴AE ＝3×45＝125. 所以在Rt △PAE 中，由PA ＝1，AE ＝125，得PE ＝135. 4. 解析：选B 当a ，b 都平行于l 时，a 与b 平行，假设a 与b 垂直，如图所示，由于b 与l 不垂直，在b 上任取一点A ，过点A 作b ′⊥l ，∵平面α⊥平面β，∴b ′⊥平面α，从而b ′⊥a ，又由假设a ⊥b 易知a ⊥平面β，从而a ⊥l ，这与已知a 不与l 垂直矛盾，∴假设不正确，a 与b 不可能垂直．5. 解析：选D 在图①中，∵∠BAD ＝90°，AD ＝AB ，∴∠ADB ＝∠ABD ＝45°.∵AD ∥BC ，∴∠DBC ＝45°.又∵∠BCD ＝45°，∴∠BDC ＝90°，即BD ⊥CD .在图②中，此关系仍成立．∵平面ABD ⊥平面BCD ，∴CD ⊥平面ABD .∵BA 平面ADB ，∴CD ⊥AB .∵BA ⊥AD ，∴BA ⊥平面ACD .∵BA 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面ACD .6. 解析：利用面面垂直的判定，可知①③④⇒②为真；利用面面垂直的性质，可知②③④⇒①为真．答案：若①③④，则②(或若②③④，则①)7. 解析：如图，连接AD ，CD .在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝12，∴AD＝122＋42＝410 cm.又∵α⊥β，CA⊥AB，CAα，∴CA⊥β.∴△CAD为直角三角形．∴CD＝CA2＋AD2＝32＋42×10＝169＝13(cm)．答案：138. 解析：如图，命题①显然错误．设α∩β∩γ＝m，过m上任意一点，在γ内作n⊥m，则直线n既不垂直于α，又不垂直于β.命题②正确．∵α∥β，∴α与β无公共点，∴直线m与直线n也无公共点．又m∈γ，n∈γ，∴m∥n.命题③错误．虽然直线m不垂直于α，但m有可能垂直于平面α内的一条直线，于是α内所有平行于这条直线的无数平行线都垂直于m.命题④正确．由直线与平面平行的判定定理可知∵n∥m，mα，mβ，nα，nβ，∴必有n∥α，n∥β.∴应填②④.答案：②④9. 解：(1)设AB中点为O，连接OC、OD，则OC⊥AB，∵平面ADB⊥平面ABC，平面ADB∩平面ABC＝AB.∴OC⊥面ADB.∵OD平面ADB，∴OC⊥OD.即∠COD＝90°.在等边△ADB中，AB＝2，∴OD＝ 3.在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝2，∴OC＝1.在Rt△COD中，CD＝OC2＋OD2＝2.(2)当△ADB在转动过程中，总有OC⊥AB，OD⊥AB，∴AB⊥平面COD.∴AB⊥CD.当△ADB转动到与△ABC共面时，仍然有AB⊥CD. 故△ADB转动过程中，总有AB⊥CD.10. 证明：(1)取CD的中点E，连接EM、EN，则CD⊥EM，且EN∥PD.∵PA⊥平面ABC，CD平面ABC，∴PA⊥CD，又CD⊥AD.∴CD⊥平面PAD.∵PD平面PAD.∴CD⊥PD.∴CD⊥EN.又CD⊥ME，∴CD⊥平面MNE，∴CD⊥MN.又CD∥AB，∴MN⊥AB.(2)在Rt△PAD中有PA＝AD，取PD的中点K，连接AK，KN，则KN 12DC AM，且AK⊥PD.∴四边形AMNK为平行四边形，从而MN∥AK. 因此MN⊥PD.由(1)知MN⊥DC.又PD∩DC＝D，∴MN⊥平面PCD.。

1．设l是直线，α，β是两个不同的平面()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析：选B．若l∥α，l∥β，则α，β可能相交，故A错；若l∥α，则平面α内必存在一直线m与l平行，又l⊥β，则m⊥β，又mα，故α⊥β，故B对；若α⊥β，l⊥α，则l∥β或lβ，故C错；若α⊥β，l∥α，则l与β关系不确定，故D错．2．直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD，直线m垂直于AD和BC，则l与m的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．不确定解析：选D．因为梯形的两腰AB和CD一定相交且l⊥AB，l⊥CD，所以l垂直于梯形ABCD．又因为直线m垂直于AD和BC，且AD∥BC.所以m与平面ABCD的位置关系不确定，因此l与m的位置关系就不确定，故选D．3．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β解析：选D．如图所示．AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，故选D．4. 三棱锥P-ABC的所有棱长都相等，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论中不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC解析：选C.由BC∥DF得BC∥平面PDF，故A正确；由BC⊥AE，BC⊥PE得BC⊥平面PAE，所以DF⊥平面PAE，平面PAE⊥平面ABC，故B、D都正确．排除A，B，D，故选C.5．以等腰直角三角形ABC斜边AB上的中线CD为棱，将△ABC折叠，使平面ACD⊥平面BCD，则AC与BC的夹角为()A．30°B．60°C．90°D．不确定解析：选B．如图，令CD＝AD＝BD＝1，则AC＝BC＝ 2.因为平面ACD⊥平面BCD，AD⊥CD，且平面ACD∩平面BCD＝CD，所以AD⊥BD，所以AB＝2，所以∠ACB＝60°.6. 如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角的大小是________．解析：过A作AO⊥BD于O点，因为平面ABD⊥平面BCD，所以AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．因为∠BAD＝90°，AB＝AD，所以∠ADO＝45°.答案：45°7. 如图，已知▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，若AF＝2，CD＝3，则CE＝________．解析：因为AF⊥平面ABCD，AF∥DE，所以DE⊥平面ABCD，CD平面ABCD．所以DE⊥CD．因为DE＝AF＝2，CD＝3，所以CE＝22＋32＝13.答案：138. 如图，在三棱锥P-ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________．解析：因为侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，所以PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，所以PB＝PA2＋AB2＝1＋4＝ 5.答案： 59. 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD．证明：(1)如图，在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥P D．又因为E F平面PCD，PD平面PCD，所以EF∥平面PCD．(2)连接BD．因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD．又因为BF平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD．10. 如图，在直四棱柱A1B1C1D1­ABCD中，当底面四边形ABCD满足什么条件时，有A1C⊥B1D1？(注：写出一个你认为正确的条件即可，不必考虑所有可能的情形．)解：连接BD，AC，因为BD∥B1D1，所以要使A1C⊥B1D1，需A1C⊥BD．因为A1A⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以A1A⊥BD，又因为A1A∩A1C＝A1，所以BD⊥平面A1AC.因为AC平面A1AC，所以AC⊥BD．由以上分析知，要使A1C⊥B1D1，需使AC⊥BD，或任何能推导出AC⊥BD的条件，如四边形ABCD是正方形、菱形等．1．在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为()A.7 B．27C．37 D．2 3解析：选B．连接CM，则由题意知PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝PC2＋CM2，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×32＝23，所以PM的最小值为27.2．已知平面α⊥平面β，在α，β的交线上取线段AB＝4 cm，AC，BD分别在平面α和β内，它们都垂直于AB，并且AC＝3 cm，BD＝12 cm，则CD的长为________cm.解析：如图，连接AD，CD．在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝12，所以AD＝122＋42＝410(cm)．又因为α⊥β，CA⊥AB，CAα，所以CA⊥β，CA⊥AD．所以△CAD为直角三角形．所以CD＝CA2＋AD2＝32＋42×10＝169＝13(cm)．答案：133. 已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且AEAC＝AFAD＝λ(0<λ<1)．(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?解：(1)证明：因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD．因为CD ⊥BC 且AB ∩BC ＝B ， 所以CD ⊥平面ABC .又因为AE AC ＝AFAD ＝λ(0<λ<1)，所以不论λ为何值，恒有EF ∥CD ， 所以EF ⊥平面ABC . 又EF平面BEF .所以不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC . (2)由(1)知，EF ⊥BE ， 又平面BEF ⊥平面ACD ， 所以BE ⊥平面ACD ， 所以BE ⊥AC .因为BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝90°，∠ADB ＝60°，AB ⊥平面BCD ， 所以BD ＝2，AB ＝2tan 60°＝6，所以AC ＝AB 2＋BC 2＝7，由AB 2＝AE ·AC ，得AE ＝67，所以λ＝AE AC ＝67，故当λ＝67时，平面BEF ⊥平面ACD ．4．(选做题) 如图所示，在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，DB ＝BC ，DB ⊥AC ，点M 是棱BB 1上一点．(1)求证：B 1D 1∥平面A 1BD ； (2)求证：MD ⊥AC ；(3)试确定点M 的位置，使得平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D ．解：(1)证明：由ABCD -A 1B 1C 1D 1是直四棱柱，得BB 1∥DD 1，且BB 1＝DD 1，所以四边形BB 1D 1D 是平行四边形．所以B 1D 1∥BD ． 而BD平面A 1BD ，B 1D 1平面A 1BD ，所以B 1D 1∥平面A 1BD ．(2)证明：因为BM ⊥平面ABCD ，AC 平面ABCD ，所以BM ⊥AC .又因为BD ⊥AC ，且BD ∩BM ＝B ，所以AC ⊥平面BMD ． 而MD平面BMD ，所以MD ⊥AC .(3)当点M 为棱BB 1的中点时， 平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D ．取DC 的中点N ，D 1C 1的中点N 1，连接NN 1交DC 1于点O ，连接OM ，BN ，因为N是DC的中点，BD＝BC，所以BN⊥DC.又因为DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线，而平面ABCD⊥平面DCC1D1，所以BN⊥平面DCC1D1.又O是NN1的中点，所以BM∥ON，且BM＝ON，即BMON是平行四边形，所以BN∥OM.所以OM⊥平面CC1D1D．因为OM平面DMC1，所以平面DMC1⊥平面CC1D1D．。