高中数学学业分层测评4含解析北师大版选修2_1

学业分层测评(十四)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若点P (a,1)在椭圆x22＋y23＝1的外部，则a 的取值范围为( ) 【导学号：32550071】A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－43 【解析】 因为点P 在椭圆x22＋y23＝1的外部， 所以a22＋123＞1，解得a ＞233或a ＜－233. 【答案】 B2．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( ) A.32 B ．22C.13 D ．12【解析】 如图，由题意得OP ∥FB ，|AP||PB|＝2，∴|AO||AF|＝|AP||AB|＝23，即a a ＋c ＝23.∴c a ＝e ＝12. 【答案】 D3．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆G 上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为 ( ) A.x236＋y29＝1 B ．x29＋y236＝1 C.x24＋y29＝1 D ．x29＋y24＝1 【解析】 由题意设椭圆G 的方程为x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，因为椭圆G 上一点到其两个焦点的距离之和为12，所以a ＝6.由离心率为32，得c a ＝32，解得c ＝3 3.所以b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9，则椭圆G 的方程为x236＋y29＝1. 【答案】 A4．椭圆(1－m )x 2－my 2＝1的长轴长为( ) A.21－m 1－m B ．2m －1m －1C ．－2－m mD ．－2－－m 1－m【解析】 椭圆标准方程为x211－m ＋y2－1m ＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＞0，－m ＞0.∴m ＜0.此时1－m ＞－m ＞0，∴11－m ＜－1m. ∴a 2＝－1m ，b 2＝11－m，2a ＝2－1m ＝－2－m m . 【答案】 C5．已知椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34。

学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1→上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( )A.216a B ．66a C.156a D ．153a 【解析】 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A (a ，0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2.设M (x ，y ，z )．∵点M 在AC 1→上且AM →＝12MC 1→.∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )，∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3.于是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3.∴|MN →| ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32＝216a . 【答案】 A2．已知平面α的法向量为n ＝(－2，－2,1)，点A (x,3,0)在平面α内，则点P (－2,1,4)到平面α的距离为103，则x ＝( ) 【导学号：32550053】A ．－1B ．－11C ．－1或－11D ．－21【解析】 PA →＝(x ＋2,2，－4)，而d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PA →·n |n |＝103，即|－2(x ＋2)－4－4|4＋4＋1＝103，解得x ＝－1或－11. 【答案】 C3．已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长是1，则直线DA 1与AC 间的距离为( ) A.13 B ．23 C.33D ．34【解析】 建系如图A (1,0,0)，A 1(1，0,1)，C (0,1,0)，AC →＝(－1,1,0)，DA 1→＝(1,0,1)，设n ＝(x ，y ，z )，令⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0n ·DA 1→＝0，∴⎩⎨⎧－x ＋y ＝0x ＋z ＝0令x ＝1则n ＝(1,1，－1)DA →＝(1,0,0)，DA 1→与AC 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪DA →·n |n|＝33. 【答案】 C4．△ABC 的顶点分别为A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 等于( )A ．5B ．41C ．4D ．2 5【解析】 设AD →＝λAC →，D (x ，y ，z )． 则(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0,4，－3)． ∴x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ， ∴BD →＝(－4,4λ＋5，－3λ)．∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，∴λ＝－45，∴BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，95，125， ∴|BD →|＝16＋8125＋14425＝5.【答案】 A5．在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( )A.83 B ．38 C.43D ．34【解析】 如图，建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2，0,0)，A 1(2,0,4)，B 1(2,2,4)，D 1(0,0,4)．∴D 1B 1→＝(2,2,0)， D 1A →＝(2,0，－4)，AA 1→＝(0,0,4)，设n ＝(x ，y ，z )是平面AB 1D 1的一个法向量， 则n ⊥D 1B 1→，n ⊥D 1A →，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·D 1B 1→＝0，n ·D 1A →＝0，即⎩⎨⎧2x ＋2y ＝0，2x －4z ＝0.令z ＝1，则平面AB 1D 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)． ∴由AA 1→在n 上射影可得A 1到平面AB 1D 1的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AA 1→·n |n |＝43. 【答案】 C 二、填空题6．如图2­6­5所示，在直二面角D ­AB ­E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△AEB 是等腰直角三角形，其中∠AEB ＝90°，则点D 到平面ACE 的距离为________．图2­6­5【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1,0)，E (1,0,0)，D (0，－1,2)，C (0,1,2).AD →＝(0,0,2)，AE →＝(1,1,0)，AC →＝(0,2,2)，设平面ACE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AC →＝0.即⎩⎨⎧x ＋y ＝0；2y ＋2z ＝0.令y ＝1，∴n ＝(－1,1，－1)．故点D 到平面ACE 的距离 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AD →·n |n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23＝233. 【答案】2337．设A (2,3,1)，B (4,1,2)，C (6,3,7)，D (－5，－4,8)，则点D 到平面ABC 的距离为________．【导学号：32550054】【解析】 设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，∵n ·AB →＝0，n ·AC →＝0， ∴⎩⎨⎧(x ，y ，z )·(2，－2，1)＝0，(x ，y ，z )·(4，0，6)＝0，即⎩⎨⎧2x －2y ＋z ＝0，4x ＋6z ＝0，⇒⎩⎨⎧x ＝－32zy ＝－z令z ＝－2，则n ＝(3,2，－2)．又AD →＝(－7，－7,7)，∴点D 到平面ABC 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AD →·n |n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×(－7)＋2×(－7)－2×732＋22＋(－2)2＝4917＝491717.【答案】4917178．如图2­6­7所示，正方体的棱长为1，E ，F ，M ，N 分别是棱的中点，则平面A 1EF 与平面B 1NMD 1的距离为________．图2­6­7【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(1,0,0)，B 1(1,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1，D 1(0,0,0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1.∵E ，F ，M ，N 分别是棱的中点， ∴MN ∥EF ，A 1E ∥B 1N . ∴平面A 1EF ∥平面B 1NMD 1.∴平面A 1EF 与平面B 1NMD 1的距离即为A 1到平面B 1NMD 1的距离．设平面B 1NMD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∴n ·D 1B 1→＝0，且n ·B 1N →＝0. 即(x ，y ，z )·(1,1,0)＝0， 且(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1＝0.∴x ＋y ＝0，且－12x ＋z ＝0，令x ＝2，则y ＝－2，z ＝1.∴n ＝(2，－2,1)，n 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－23，13.∴A 1到平面B 1NMD 1的距离为d ＝|A 1B 1→·n 0| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(0，1，0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－23，13＝23. 【答案】 23三、解答题9．如图2­6­8，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，BC ＝3，CC 1＝2.图2­6­8(1)求证：直线CD 1∥平面A 1BC 1； (2)求直线CD 1与平面A 1BC 1间的距离．【证明】 (1)建系如图，则C (0,4,0)，D 1(0,0,2)，B (3,4,0)，A 1(3,0,2)，C 1(0,4,2)，所以CD 1→＝(0，－4,2)，BA 1→＝(0，－4,2)，BC 1→＝(－3,0,2)，BC →＝(－3,0,0)．∵CD 1→＝BA 1→，∴CD 1∥BA 1，又因为CD 1平面A 1BC 1，BA 1平面A 1BC 1，所以CD 1∥平面A 1BC 1.(2)设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA 1→＝0，n ·BC 1→＝0，即⎩⎨⎧－4y ＋2z ＝0，－3x ＋2z ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12z ，x ＝23z .取z ＝6，则x ＝4，y ＝3，∴n ＝(4,3,6)，则BC →·n ＝(－3，0,0)·(4,3,6)＝－12，|n |＝61.所以点C 到平面A 1BC 1的距离即直线CD 1到平面A 1BC 1的距离，即d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BC →·n |n |＝|－12|61＝126161. 10．如图2­6­9，已知△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形，SA ⊥平面ABC ，SA ＝BC ＝2，AB ＝4，M ，N ，D 分别是SC ，AB ，BC 的中点，求点A 到平面SND 的距离．图2­6­9【解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则N (0,2,0)，S (0,0,2)， D (－1,4,0)， ∴NS →＝(0，－2,2)， SD →＝(－1,4，－2)．设平面SND 的法向量为n ＝(x ，y,1)． ∴n ·NS →＝0，n ·SD →＝0，∴⎩⎨⎧－2y ＋2＝0，－x ＋4y －2＝0，∴⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1.∴n ＝(2,1,1)．∵AS →＝(0,0,2)．∴点A 到平面SND 的距离为|n ·AS →||n|＝26＝63.[能力提升]1．若正四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则A 1C 1到底面ABCD 的距离为( )A.33B ．1 C. 2D ． 3【解析】 如图所示，直线AB 1与底面ABCD 所成的角为∠B 1AB ，而A 1C 1到底面ABCD 的距离为AA 1，在Rt △ABB 1中，B 1B ＝AB ·tan60°＝ 3.所以AA 1＝BB 1＝ 3.【答案】 D2．如图2­6­10，P ­ABCD 是正四棱锥，ABCD ­A 1B 1C 1D 1是正方体，其中AB ＝2，PA ＝6，则B 1到平面PAD 的距离为( )图2­6­10A ．6B ．355 C.655D ．322【解析】 以A 1B 1为x 轴，A 1D 1为y 轴，A 1A 为z 轴建立空间直角坐标系，设平面PAD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，∵AD →＝(0,2,0)，AP →＝(1,1,2)， ∴AD →·n ＝0，且AP →·n ＝0.∴y ＝0，x ＋y ＋2z ＝0，取z ＝1，得n ＝(－2,0,1)． ∵B 1A →＝(－2,0,2)，∴B 1到平面PAD 的距离d ＝|B 1A →·n ||n |＝655. 【答案】 C3.如图2­6­11所示，已知边长为42的正三角形ABC 中，E ，F 分别为BC 和AC 的中点，PA ⊥平面ABC ，且PA ＝2，设平面α过PF 且与AE 平行，则AE 与平面α间的距离为________．【导学号：32550055】图2­6­11【解析】 设AP →，AE →，EC →的单位向量分别为e 1，e 2，e 3，选取{e 1，e 2，e 3}为空间向量的一个基底，易知e 1·e 2＝e 2·e 3＝e 3·e 1＝0，AP →＝2e 1，AE →＝26e 2，EC →＝22e 3，PF →＝PA →＋AF →＝PA →＋12AC →＝PA →＋12(AE →＋EC →)＝－2e 1＋6e 2＋2e 3.设n ＝x e 1＋y e 2＋e 3是平面α的一个法向量，则n ⊥AE →，n ⊥PF →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0n ·PF →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧(x e 1＋y e 2＋e 3)·26e 2＝0(x e 1＋y e 2＋e 3)·(－2e 1＋6e 2＋2e 3)＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧26y |e 2|2＝0－2x |e 1|2＋6y |e 2|2＋2|e 3|2＝0⇒⎩⎨⎧y ＝0，x ＝22.∴n ＝22e 1＋e 3. ∴直线AE 与平面α间的距离为 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AP →·n |n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2e 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫22e 1＋e 3⎪⎪⎪⎪⎪⎪22e 12＋|e 3|2＝233. 【答案】2334．已知正方形ABCD 的边长为1，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝1，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．(1)求点D 到平面PEF 的距离； (2)求直线AC 到平面PEF 的距离．【解】 (1)建立以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系，如图所示．则P (0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0，PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，－1，设平面PEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则n ·EF →＝0且n ·PE →＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－12x ＋12y ＝0，x ＋12y －z ＝0.令x ＝2，则y ＝2，z ＝3， 所以n ＝(2,2,3)，所以点D 到平面PEF 的距离为 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪DE →·n |n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋14＋4＋9＝31717， 因此，点D 到平面PEF 的距离为31717. (2)因为AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12，0，所以点A 到平面PEF 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AE →·n |n |＝117＝1717， 所以AC 到平面PEF 的距离为1717.。

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学业分层测评（二)（建议用时：４５分钟)［学业达标]一、选择题1.“-2＜x＜1"是“x>1或ｘ＜-1”的（）Ａ．充分条件B．必要条件C.既不充分也不必要条件Ｄ.充要条件【解析】∵-2＜x<1x＞1或ｘ<－1,且x>1或x<－1－2<ｘ＜1,∴“-２<x<1”是“x>1或x＜－1"的既不充分，也不必要条件.【答案】Ｃ２.ａ<0，ｂ＜0的一个必要条件为（）A．ａ＋b＜0 ﻩ B.ａ-b＞0C。

错误!＞1 D.错误!＜-1【解析】a+b＜0a＜０，b<0，而a＜0,b＜０⇒a+ｂ＜0.【答案】 A3.“aｂ≠0”是“直线aｘ＋ｂy+c=0与两坐标轴都相交”的（ )A．充分条件Ｂ．必要条件C．充要条件Ｄ.既不充分也不必要条件【解析】aｂ≠0,即错误!，此时直线ａx＋ｂｙ+c=0与两坐标轴都相交；又当ａx+ｂy＋ｃ＝0与两坐标轴都相交时，a≠0且b≠0.【答案】C4．一元二次方程ax2+２x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分条件是( ）A．a≤0ﻩＢ．a>0C.a＜-1D.ａ＜1【解析】∵一元二次方程ax2+2x＋1＝0(a≠０）有一正根和一负根．∴x１ｘ２＜0。

20１7-2018学年高中数学学业分层测评５(含解析）北师大版选修2-1 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（2017-2018学年高中数学学业分层测评５(含解析)北师大版选修2-1)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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学业分层测评(五)(建议用时：４5分钟）［学业达标]一、选择题1.已知原命题是“若r，则p或ｑ”,则这一命题的否命题是( )A.若綈ｒ，则p且qﻩB.若綈r,则綈p或綈qＣ．若綈r，则綈p且綈ｑＤ．若綈r,则綈p且q【解析】“ｐ或q”的否定为“綈p且綈q”.根据否命题的定义知:选项C正确．【答案】Ｃ2.命题p：点A在直线y＝２x－3上,q：点A在抛物线y＝-x2上，则使“p且q”为真命题的一个点A(x，y)是（）【导学号:３25500１4】Ａ.(0，-3) B.(１，２)C.(1，-1) D．(－１,1)【解析】若“ｐ且q”为真命题，则ｐ为真命题，q为真命题，则A点既在直线y＝2x-3上，又在抛物线y＝-x２上，所以通过验证只有Ｃ正确.【答案】C3.对于p:ｘ∈A∩B,则綈p（）Ａ.x∈A且x∉BﻩＢ．x∉A或x∈BC.x∉A或x∉ＢＤ.x∈A∪B【解析】ｐ等价于ｘ∈Ａ且x∈Ｂ,所以綈p为x∉Ａ或ｘ∉B.【答案】 C4．已知命题p:对任意a∈R，且ａ>0，a+＼f（1，a）≥２，命题q:存在x0∈R，sin x0＋coｓx０＝＼r(3)，则下列判断正确的是( )A．p是假命题ﻩ B.q是真命题C.p且(綈q)是真命题D.(綈p）且q是真命题【解析】由均值不等式知p为真命题;因为sin ｘ0＋cos x0＝错误!sｉn错误!≤错误!,所以q为假命题，则綈q为真命题,所以p且(綈ｑ)为真命题．故选Ｃ．【答案】 C５.命题p:函数ｙ＝log a(ax+2a）（a＞0且a≠1)的图像必过定点(-1,１)；命题q:如果函数y=ｆ(ｘ)的图像关于(3，0）对称,那么函数y=f(ｘ－3)的图像关于原点对称,则有( ）A．“p且q”为真ﻩB．“ｐ或ｑ”为假C．ｐ真q假ﻩＤ.p假q真【解析】将点(－1,１)代入y＝log a（ax+２a），成立，故p为真；由ｙ=f（x)的图像关于（３,0)对称,知y＝ｆ（x-３)的图像关于（6,0)对称,故q为假.【答案】C二、填空题6．命题p:“相似三角形的面积相等”则綈ｐ为__＿＿＿___，否命题为_____＿＿_.【解析】綈p只否定命题的结论,而否命题则是命题的条件、结论都否定.【答案】相似三角形的面积不相等若三角形不相似则它们的面积不相等7．已知命题p:若实数x,y满足x2＋ｙ２＝0，则x,y全为零.命题q:若a＞ｂ，则错误!<错误!.给出下列四个命题：①ｐ且ｑ；②p或q；③非p；④非q其中真命题是___＿__＿_.【解析】显然p为真命题；当a=1,ｂ=-2时,q不成立,所以q是假命题.从而“p且q”“非p”为假命题，“p或q”“非q"为真命题．【答案】②④8．已知命题p：函数f（x)＝lg(ｘ2－4ｘ+ａ2）的定义域为R;命题ｑ:当m∈[-1，1]时,不等式a2－5ａ-3≥错误!恒成立,如果命题“ｐ或q”为真命题，且“p且q"为假命题,则实数a 的取值范围是_＿______＿＿__．【解析】若命题p为真，则Δ＝16－4ａ2<０⇒a＞2或a<－2.若命题q为真，因为m∈[-1，1］,所以错误!∈［2错误!，3］．因为对于任意m∈［-1，1]，不等式a2-5a－３≥错误!恒成立,只需满足a２-5a－３≥３，解得a≥6或a≤-1.命题“p或q”为真命题，且“p且q＂为假命题,则ｐ,ｑ一真一假．①当p真q假时,可得错误!⇒2<a＜６；②当p假q真时，可得错误!⇒－２≤a≤-1.综合①②,可得a的取值范围是［－２,－1]∪（2，６）．【答案】[－2，－1］∪(2,６)三、解答题9.分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“ｐ且q”“綈p”形式，并判断真假.(1)p：2n-1(ｎ∈Z）是奇数；q：2ｎ－1（n∈Z)是偶数.（2)p：a2+b2〈0，ｑ:a2＋ｂ2≥0。

学业分层测评(四)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．将“a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2”改写成全称命题是() A．存在a0，b0∈R，使a20＋b20＋2a0b0＝(a0＋b0)2B．存在a0＜0，b0＞0，使a20＋b20＋2a0b0＝(a0＋b0)2C．存在a0＞0，b0＞0，有a20＋b20＋2a0b0＝(a0＋b0)2D．对所有a，b∈R，有a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2【解析】a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2是全称命题，隐藏了“对所有a，b∈R”．【答案】 D2．下列命题中的真命题是()A．存在x0∈N，使4x0<－3B．存在x0∈Z，使2x0－1＝0C．对任意x∈R,2x＞x2D．对任意x∈R，x2＋2＞0【解析】当x∈R时，x2≥0，∴x2＋2≥2＞0【答案】 D13．已知命题p：∃x0∈R，sin x0＜x0，则綈p为()21 1A．∃x0∈R，sin x0＝x0 B．∀x∈R，sin x＜x2 21 1C．∃x0∈R，sin x0≥x0 D．∀x∈R，sin x≥x2 21【解析】原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即綈p：∀x∈R，sin x≥x.2【答案】 D4．非空集合A、B满足A B，下面四个命题中正确的个数是()①对任意x∈A，都有x∈B；②存在x0∉A，使x0∈B；③存在x0∉B，使x0∈A；④对任意x∉B，都有x∉A.A．1B．2C．3D．4【解析】根据A B知，①②④正确，③错误．【答案】 C15．下列命题中的假命题是()A．对任意x∈R,2x－1＞0B．对任意x∈N*，(x－1)2＞0C．存在x∈R，lg x＜1D．存在x∈R，tan x＝2【解析】A项，∵x∈R，∴x－1∈R，由指数函数性质得2x－1＞0；B项，∵x∈N*，∴1 1当x＝1时，(x－1)2＝0，与(x－1)2＞0矛盾；C项，当x＝时，lg ＝－1＜1；显然D正确．10 10【答案】 B二、填空题6．下列命题，是全称命题的是________；是特称命题的是________．【导学号：32550011】①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形都是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．【解析】①②③都是省略了全称量词的全称命题．④是特称命题．【答案】①②③④7．“所有的自然数都大于零”的否定是________．【解析】改变量词并否定判断词．【答案】存在一个自然数小于或等于零8．若命题“存在x0∈R，x20＋mx0＋2m－3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是________．【解析】由题意可知，命题“对任意x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，故Δ＝m2－4(2m－3)＝m2－8m＋12≤0，解得2≤m≤6.【答案】[2,6]三、解答题9．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假．(1)对任意的实数a、b，关于x的方程ax＋b＝0恰有唯一解；1 3(2)存在实数x，使得＝.x2－2x＋3 4【解】(1)该命题是全称命题．当a＝0，b≠0时方程无解，故该命题为假命题．(2)该命题是特称命题．∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，21 1 3∴≤＜.x2－2x＋3 2 4故该命题是假命题．10．写出下列全称命题或特称命题的否定：(1)所有能被3整除的整数都是奇数；(2)每一个四边形的四个顶点共圆；(3)有的三角形是等边三角形．【解】(1)该命题的否定是：至少存在一个能被3整除的整数不是奇数．(2)该命题的否定是：至少存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．(3)该命题的否定是：所有三角形都不是等边三角形．[能力提升]1．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()A．每一个锐角三角形的内角都是锐角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数1D．存在一个负数x0，使＞2x0【解析】B，D是特称命题，D是假命题，B是真命题．【答案】 B2．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于()A．存在x∈R，使得f(x)＞0成立B．存在x∈R，使得f(x)≤0成立C．对任意x∈R，使得f(x)＞0成立D．对任意x∈R，f(x)≤0成立【解析】“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于“存在实数x，使得f(x)＞0成立”，故选A.【答案】 A3．命题“偶函数的图像关于y轴对称”的否定是________．【解析】本题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图像关于y轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y轴对称”改为“关于y轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图像关于y轴不对称”．【答案】有些偶函数的图像关于y轴不对称4．已知对任意x∈(－∞，1]，不等式(a－a2)4x＋2x＋1＞0恒成立．求a的取值范围．【导学号：32550012】3【解】令2x＝t，∵x∈(－∞，1]，t＋1∴t∈(0,2]，∴a2－a＜.t2要使上式在t∈(0,2]上恒成立，t＋1只需求出f(t)＝在t∈(0,2]上的最小值即可．t2t＋1 1 1 1 1 1∵f(t)＝＝2＋＝ 2)2－，t2 (t)t(＋t 41 1 3且∈，＋∞)，∴f(t)min＝f(2)＝.t[2 43 1 3∴a2－a＜.∴－＜a＜.4 2 21 3所以a的取值范围是(－.，2)24。

学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题 1．以下四组向量：①a ＝(1，－2,1)，b ＝(－1,2，－1)； ②a ＝(8,4,0)，b ＝(2,1,0)； ③a ＝(1,0，－1)，b ＝(－3,0,3)；④a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，1，－1，b ＝(4，－3,3)． 其中a ，b 分别为直线l 1，l 2的方向向量，则它们互相平行的是( ) A ．②③ B ．①④ C ．①②④D ．①②③④【解析】 ①∵a ＝－b ，∴a ∥b . ②∵a ＝4b ，∴a∥b . ③∵b ＝－3a ，∴a ∥b . ④∵b ＝－3a ，∴a ∥b . 【答案】 D2．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3,4)，B (9,2,1)则线段AB 与坐标平面( )A ．xOy 平行B ．xOz 平行C ．yOz 平行D ．yOz 相交 【解析】 ∵A (9，－3,4)，B (9,2,1) ∴AB →＝(0,5，－3)∵yOz 平面内的向量的一般形式为a ＝(0，y ，z ) ∴AB →∥a∴AB →∥平面yOz .∴AB ∥平面yOz . 【答案】 C3．已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152【解析】 ∵l 1∥l 2，设a ＝λb ，∴(2,4,5)＝λ(3，x ，y )， ∴x ＝6，y ＝152.【答案】 D4．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α⊥β，则λ的值是( )【导学号：32550041】A ．－103B ．6C ．－6D ．103【解析】 ∵α⊥β，∴α的法向量与β的法向量也互相垂直．∴(2,3，－1)·(4，λ，－2)＝8＋3λ＋2＝0，∴λ＝－103.【答案】 A5．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中在平面α内的是( )A ．(1，－1,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，32C.⎝⎛⎭⎪⎫1，－3，32 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，3，－32【解析】 要判断点P 是否在平面α内，只需判断向量PA →与平面α的法向量n 是否垂直，即PA →·n 是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A ，PA →＝(1,0,1)，则PA →·n ＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A ；对于选项B ，PA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4，12，则PA →·n ＝(1，－4，12)·(3,1,2)＝0，故B 正确；同理可排除C ，D.故选B.【答案】 B 二、填空题6．已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，－8,1)平面α的法向量为(1，y,2)，则y ＝________. 【解析】 ∵l ∥α，∴l ⊥α的法向量， ∴2×1－8y ＋1×2＝0，∴y ＝12.【答案】 12.7．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，向量(x ，y ，z )是平面ABC 的一个法向量，则x ∶y ∶z ＝________.【解析】 设n ＝(x ，y ，z )则n ·AB →＝0，即(x ，y ，z )·(－1,1,0)＝0， ∴－x ＋y ＝0，n ·BC →＝0，即(x ，y ，z )·(0，－1,1)＝0， ∴－y ＋z ＝0， ∴x ∶y ∶z ＝1∶1∶1. 【答案】 1∶1∶18．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(1,1,1)，若b ＝b 1＋b 2，且b 1∥a ，b 2⊥a ，则b 1＝________，b 2＝________. 【解析】 设b 1＝(x ，y ，z )，∵b 1∥a ，∴x ＝y ，z ＝0. 又∵b 2＝b －b 1＝(1－x,1－y,1－z )，b 2⊥a ， ∴b 2·a ＝1－x ＋1－y ＝0，得x ＋y ＝2. ∴x ＝y ＝1.即b 1＝(1,1,0)，b 2＝(0,0,1)． 【答案】 (1,1,0) (0,0,1) 三、解答题9．用向量方法证明：如果两个相交平面与第三个平面垂直，则它们的交线也与第三个平面垂直．【解】 已知：如图，α∩β＝l ，α⊥γ，β⊥γ. 求证：l ⊥γ证明：设平面α，β，γ的法向量分别为a ，b ，c ，直线l 的方向向量为e ，则a·e ＝0，b·e ＝0. 因为a ，b 与e 不共面，故存在实数x ，y ，z 使c ＝x a ＋y b ＋z e . 因为a ⊥c ，b⊥c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a x a ＋yb ＋z e ＝0，b x a ＋y b ＋z e ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ·a 2＋y a·b ＝0.x a ·b ＋y b 2＝0，因为α与β相交，所以a 与b 不共线，所以a 2a·b ≠a·b b2，所以方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，所以c ＝z e ，即c∥e ，从而有l ⊥γ.图2­4­410．如图2­4­4所示，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F .证明：(1)PA ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .【证明】 (1)以D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．连结AC ，AC 交BD 于G . 连结EG .设DC ＝a ，依题意得A (a,0,0)，P (0,0，a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a2， ∵底面ABCD 是正方形， ∴G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a2，0， 且PA →＝(a,0，－a )，EG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，－a 2.∴PA →＝2EG →，即PA ∥EG .而EG ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB ， ∴PA ∥平面EDB .(2)依题意得B (a ，a,0)，PB ＝(a ，a ，－a )． 又DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2， 故PB →·DE →＝0＋a 22－a 22＝0，∴PB ⊥DE ，由已知EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ， 所以PB ⊥平面EFD .[能力提升]1．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )．若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则x ，y ，z 分别为( )A.337、－157、4 B ．407、－157、4C.407、－2、4 D ．4、407、－15【解析】 AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，得z ＝4.又BP ⊥平面ABC ，∴BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0，可解得x ＝407，y ＝－157.【答案】 B2．如图2­4­5，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ：FD 的值为( )图2­4­5A ．1∶2B ．1∶1C ．3∶1D ．2∶1【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PA ＝a .则B (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，P (0,0，a )．设点F 的坐标为(0，y,0)，则BF →＝(－1，y,0)，PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－a . ∵BF ⊥PE ，∴BF →·PE →＝0，解得y ＝12，则F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，∴F 为AD 中点，∴AF ∶FD ＝1∶1. 【答案】 B3．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →，其中正确的是________．【导学号：32550042】【解析】 ∵AP →·AB →＝0，AP →·AD →＝0， ∴AP ⊥AB ，AP ⊥AD 且AP →是平面ABCD 的法向量． 【答案】 ①②③4．如图2­4­6，在三棱锥P ­ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC .图2­4­6(1)求证：AC ⊥PB ；(2)设O ，D 分别为AC ，AP 的中点，点G 为△OAB 内一点，且满足OG →＝13(OA →＋OB →)，求证：DG ∥面PBC ；【证明】 (1)因为PA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以PA ⊥AC . 又因为AB ⊥AC ，且PA ∩AB ＝A ， 所以AC ⊥平面PAB . 又因为PB ⊂平面PAB ， 所以AC ⊥PB .(2)法一：因为PA ⊥平面ABC ， 所以PA ⊥AB ，PA ⊥AC . 又因为AB ⊥AC ，所以建立如图所示的空间直角坐标系A ­xyz .设AC ＝2a ，AB ＝b ，PA ＝2c ，则A (0,0,0)，B (0，b,0)，C (2a,0,0)，P (0,0,2c )，D (0,0，c )，O (a,0,0)， 又因为OG →＝13(OA →＋OB →)，所以G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b3，0. 于是DG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b3，－c ， BC →＝(2a ，－b,0)，PB →＝(0，b ，－2c )． 设平面PBC 的一个法向量n ＝(x 0，y 0，z 0)，则有⎩⎨⎧n ·BC →＝0，n ·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0－by 0＝0，by 0－2cz 0＝0.不妨设z 0＝1，则有y 0＝2c b ，x 0＝ca，所以n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ，2c b ，1 因为n ·DG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ，2c b ，1·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3，－c ＝c a ·a 3＋2c b ·b 3＋1·(－c )＝0，所以n ⊥DG →.又因为DG ⊄平面PBC ，所以DG ∥平面PBC .法二：取AB 中点E ，连接OE ，则OE →＝12(OA →＋OB →)．由已知OG →＝13(OA →＋OB →)可得OG →＝23OE →，则点G 在OE 上．连接AG 并延长交CB 于点F ，连接PF .因为O ，E 分别为AC ，AB 的中点，所以OE ∥BC ，即G 为AF 的中点．又因为D 为线段PA 的中点， 又所以DG ∥PF ，又DG ⊄平面PBC ，PF ⊂平面PBC ，所以DG ∥平面PBC .。

高中数学选修2-1双曲线的简单性质学业分层测评解析版一、选择题1.等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则它的标准方程是( ) A.y 218－x 218＝1 B.x 218－y 218＝1 C.x 28－y 28＝1D.y 28－x 28＝1【解析】 设等轴双曲线方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a ＞0)， ∴a 2＋a 2＝62，∴a 2＝18，故双曲线方程为x 218－y 218＝1.【答案】 B2.已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1,0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则共有l ( )A.4条B.3条C.2条D.1条【解析】 因为双曲线方程为x 2－y 24＝1，所以P (1,0)是双曲线的右顶点，所以过P (1,0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点P (1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B.【答案】 B3.双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C 的焦距等于( )A.2B.2 2C.4D.4 2【解析】 由已知得e ＝c a ＝2，所以a ＝12c ，故b ＝c 2－a 2＝32c ，从而双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x ，由焦点到渐近线的距离为3，得32c ＝3，解得c ＝2，故2c ＝4，故选C.【答案】 C4.若实数k满足0<k<5，则曲线x216－y25－k＝1与曲线x216－k－y25＝1的()A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等【解析】若0<k<5，则5－k>0,16－k>0，故方程x216－y25－k＝1表示焦点在x轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为5－k，焦距2c＝221－k，离心率e＝21－k4；同理方程x216－k－y25＝1也表示焦点在x轴上的双曲线，实半轴的长为16－k，虚半轴的长为5，焦距2c＝221－k，离心率e＝21－k 16－k.可知两曲线的焦距相等，故选D.【答案】 D5.已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为()A. 5B.2C. 3D. 2【解析】不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，∴M点的坐标为()2a，3a.∵M点在双曲线上，∴4a2a2－3a2b2＝1，a＝b，∴c＝2a，e＝ca＝ 2.故选D.【答案】 D6.已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均与曲线C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，则该双曲线的离心率等于()A.355B.62C.32D.55【解析】 曲线C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为C (3,0)，半径r ＝2，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，不妨取y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d ＝|3b |a 2＋b2＝2，即9b 2＝4(a 2＋b 2)，所以5b 2＝4a 2，b 2＝45a 2＝c 2－a 2，即95a 2＝c 2，所以e 2＝95，e ＝355，选A.【答案】 A7.设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A.3x ±4y ＝0B.3x ＋5y ＝0C.5x ±4y ＝0D.4x ±3y ＝0【解析】 由题意可知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，所以△PF 1F 2为等腰三角形，所以由F 2向直线PF 1作的垂线也是中线，因为F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长2a ，所以|PF 1|＝24c 2－4a 2＝4b ，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以4b －2c ＝2a ，所以2b －a ＝c ，两边平方可得4b 2－4ab ＋a 2＝c 2＝a 2＋b 2，所以3b 2＝4ab ，所以4a ＝3b ，从而b a ＝43，所以该双曲线的渐近线方程为4x ±3y ＝0，故选D.【答案】 D二、填空题8.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m的值为________.【解析】 ∵c 2＝m ＋m 2＋4， ∴e 2＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m＝5，∴m 2－4m ＋4＝0，∴m ＝2. 【答案】 29.已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点.若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________.【解析】 由双曲线方程知，b ＝4，a ＝3，c ＝5，则虚轴长为8，则|PQ |＝16.由左焦点F (－5,0)，且A (5,0)恰为右焦点，知线段PQ 过双曲线的右焦点，则P ，Q 都在双曲线的右支上.由双曲线的定义可知|PF |－|P A |＝2a ，|QF |－|QA |＝2a ，两式相加得，|PF |＋|QF |－(|P A |＋|QA |)＝4a ，则|PF |＋|QF |＝4a ＋|PQ |＝4×3＋16＝28，故△PQF 的周长为28＋16＝44.【答案】 4410.已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________.【解析】 由已知得|AB |＝|CD |＝2b 2a ，|BC |＝|AD |＝|F 1F 2|＝2c ， 由2|AB |＝3|BC |得4b 2a ＝6c ，即2b 2＝3ac ， 可得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－12(舍去). 【答案】 211.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为________.【解析】 由双曲线的渐近线y ＝±b ax 与圆(x －2)2＋y 2＝3相切可知⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪±b a ×21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，c ＝2，a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝ 3.故所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1.【答案】 x 2－y 23＝1三、解答题12.双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝x ，求双曲线的标准方程和离心率.【解】 由椭圆x 216＋y 264＝1，知c 2＝64－16＝48，且焦点在y 轴上， ∵双曲线的一条渐近线为y ＝x ， ∴设双曲线方程为y 2a 2－x 2a 2＝1. 又c 2＝2a 2＝48，∴a 2＝24. ∴所求双曲线的方程为y 224－x 224＝1. 由a 2＝24，c 2＝48， 得e 2＝c 2a 2＝2，又e >0，∴e ＝ 2.13.已知双曲线x 23－y 2b 2＝1的右焦点为(2,0). (1)求双曲线的方程；(2)求双曲线的渐近线与直线x ＝－2围成的三角形的面积.【解】 (1)∵双曲线的右焦点坐标为(2,0)，且双曲线方程为x 23－y 2b 2＝1， ∴c 2＝a 2＋b 2＝3＋b 2＝4， ∴b 2＝1，∴双曲线的方程为x 23－y 2＝1. (2)∵a ＝3，b ＝1，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±33x ， 令x ＝－2，则y ＝±233，设直线x ＝－2与双曲线的渐近线的交点为A ，B ， 则|AB |＝433，记双曲线的渐近线与直线x ＝－2 围成的三角形的面积为S ， 则S ＝12×433×2＝43 3.14.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0). (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2，其中O 为原点，求k 的取值范围.【解】 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由已知得a ＝3，c ＝2.又因为a 2＋b 2＝c 2，所以b 2＝1， 故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1中， 得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0， 由直线l 与双曲线交于不同的两点得：⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)>0，即k 2≠13且k 2<1.①设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k1－3k 2，x A x B ＝－91－3k 2，由OA →·OB →>2得x A x B ＋y A y B >2，而x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1，于是3k 2＋73k 2－1>2，解此不等式得13<k 2<3. ②由①②得13<k 2<1.故k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.。

学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·泰安高二检测)以下四组向量： ①a ＝(1，－2,1)，b ＝(－1,2，－1)； ②a ＝(8,4,0)，b ＝(2,1,0)； ③a ＝(1,0，－1)，b ＝(－3,0,3)； ④a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，1，－1，b ＝(4，－3,3)．其中a ，b 分别为直线l 1，l 2的方向向量，则它们互相平行的是( ) A ．②③ B ．①④ C ．①②④D ．①②③④【解析】 ①∵a ＝－b ，∴a ∥b . ②∵a ＝4b ，∴a ∥b . ③∵b ＝－3a ，∴a ∥b . ④∵b ＝－3a ，∴a ∥b . 【答案】 D2．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3,4)，B (9,2,1)则线段AB 与坐标平面( )A ．xOy 平行B ．xOz 平行C ．yOz 平行D ．yOz 相交 【解析】 ∵A (9，－3,4)，B (9,2,1) ∴AB →＝(0,5，－3)∵yOz 平面内的向量的一般形式为a ＝(0，y ，z )∴AB →∥a∴AB →∥平面yOz .∴AB ∥平面yOz . 【答案】 C3．已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152 C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152【解析】 ∵l 1∥l 2，设a ＝λb ， ∴(2,4,5)＝λ(3，x ，y )， ∴x ＝6，y ＝152. 【答案】 D4．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α⊥β，则λ的值是( )【导学号：32550041】A ．－103B ．6C ．－6D ．103【解析】 ∵α⊥β，∴α的法向量与β的法向量也互相垂直．∴(2,3，－1)·(4，λ，－2)＝8＋3λ＋2＝0，∴λ＝－103. 【答案】 A5．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中在平面α内的是( )A ．(1，－1,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－3，32 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，3，－32【解析】 要判断点P 是否在平面α内，只需判断向量P A →与平面α的法向量n 是否垂直，即P A →·n 是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A ，P A →＝(1,0,1)，则P A →·n ＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A ；对于选项B ，P A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4，12，则P A →·n ＝(1，－4，12)·(3,1,2)＝0，故B 正确；同理可排除C ，D.故选B.【答案】 B 二、填空题6．(2016·黄山高二检测)已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，－8,1)平面α的法向量为(1，y,2)，则y ＝________.【解析】 ∵l ∥α，∴l ⊥α的法向量， ∴2×1－8y ＋1×2＝0，∴y ＝12. 【答案】 12.7．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，向量(x ，y ，z )是平面ABC 的一个法向量，则x ∶y ∶z ＝________.【解析】 设n ＝(x ，y ，z )则 n ·AB →＝0，即(x ，y ，z )·(－1,1,0)＝0， ∴－x ＋y ＝0，n ·BC →＝0，即(x ，y ，z )·(0，－1,1)＝0， ∴－y ＋z ＝0， ∴x ∶y ∶z ＝1∶1∶1. 【答案】 1∶1∶18．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(1,1,1)，若b ＝b 1＋b 2，且b 1∥a ，b 2⊥a ，则b 1＝________，b 2＝________.【解析】 设b 1＝(x ，y ，z )，∵b 1∥a ，∴x ＝y ，z ＝0. 又∵b 2＝b －b 1＝(1－x,1－y,1－z )，b 2⊥a ， ∴b 2·a ＝1－x ＋1－y ＝0，得x ＋y ＝2. ∴x ＝y ＝1.即b 1＝(1,1,0)，b 2＝(0,0,1)． 【答案】 (1,1,0) (0,0,1) 三、解答题9．(2016·广州高二检测)用向量方法证明：如果两个相交平面与第三个平面垂直，则它们的交线也与第三个平面垂直．【解】 已知：如图，α∩β＝l ，α⊥γ，β⊥γ. 求证：l ⊥γ证明：设平面α，β，γ的法向量分别为a ，b ，c ，直线l 的方向向量为e ，则a·e ＝0，b·e ＝0.因为a ，b 与e 不共面，故存在实数x ，y ，z 使c ＝x a ＋y b ＋z e . 因为a ⊥c ，b ⊥c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ·(x a ＋yb ＋z e )＝0，b ·(x a ＋y b ＋z e )＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ·a 2＋y a·b ＝0.x a ·b ＋y b 2＝0，因为α与β相交，所以a 与b 不共线，所以a 2a·b ≠a·bb2， 所以方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，所以c ＝z e ，即c ∥e ，从而有l ⊥γ.图2-4-410．如图2-4-4所示，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F .证明：(1)P A ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .【证明】 (1)以D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．连结AC ，AC 交BD 于G . 连结EG .设DC ＝a ，依题意得A (a,0,0)，P (0,0，a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，∵底面ABCD 是正方形， ∴G 是此正方形的中心， 故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，0，且P A →＝(a,0，－a )，EG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，－a 2.∴P A →＝2EG →，即P A ∥EG .而EG ⊂平面EDB 且P A ⊄平面EDB ， ∴P A ∥平面EDB .(2)依题意得B (a ，a,0)，PB ＝(a ，a ，－a )． 又DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，故PB →·DE →＝0＋a 22－a 22＝0，∴PB ⊥DE ，由已知EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ， 所以PB ⊥平面EFD .[能力提升]1．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )．若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则x ，y ，z 分别为( )A.337、－157、4 B ．407、－157、4 C.407、－2、4D ．4、407、－15【解析】 AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，得z ＝4.又BP ⊥平面ABC ，∴BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0，可解得x ＝407，y ＝－157. 【答案】 B2．如图2-4-5，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ：FD 的值为( )图2-4-5A ．1∶2B ．1∶1C ．3∶1D ．2∶1【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，P A ＝a .则B (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，P (0,0，a )．设点F 的坐标为(0，y,0)，则BF →＝(－1，y,0)，PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－a .∵BF ⊥PE ，∴BF →·PE →＝0，解得y ＝12，则F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，∴F 为AD 中点，∴AF ∶FD ＝1∶1. 【答案】 B3．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →，其中正确的是________．【导学号：32550042】【解析】 ∵AP →·AB →＝0，AP →·AD →＝0，∴AP ⊥AB ，AP ⊥AD 且AP →是平面ABCD 的法向量． 【答案】 ①②③4．(2016·北京朝阳期末)如图2-4-6，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC .图2-4-6(1)求证：AC ⊥PB ；(2)设O ，D 分别为AC ，AP 的中点，点G 为△OAB 内一点，且满足OG →＝13(OA →＋OB →)，求证：DG ∥面PBC ；【证明】 (1)因为P A ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以P A ⊥AC . 又因为AB ⊥AC ，且P A ∩AB ＝A ， 所以AC ⊥平面P AB . 又因为PB ⊂平面P AB ， 所以AC ⊥PB .(2)法一：因为P A ⊥平面ABC ， 所以P A ⊥AB ，P A ⊥AC . 又因为AB ⊥AC ，所以建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz .设AC ＝2a ，AB ＝b ，P A ＝2c ，则A (0,0,0)，B (0，b,0)，C (2a,0,0)，P (0,0,2c )，D (0,0，c )，O (a,0,0)， 又因为OG →＝13(OA →＋OB →)，所以G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3，0.于是DG→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3，－c ，BC →＝(2a ，－b,0)，PB →＝(0，b ，－2c )． 设平面PBC 的一个法向量n ＝(x 0，y 0，z 0)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0－by 0＝0，by 0－2cz 0＝0.不妨设z 0＝1，则有y 0＝2c b ，x 0＝ca ， 所以n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ，2c b ，1因为n ·DG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ，2c b ，1·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3，－c ＝c a ·a 3＋2c b ·b3＋1·(－c )＝0，所以n ⊥DG →.又因为DG ⊄平面PBC ，所以DG ∥平面PBC .法二：取AB 中点E ，连接OE ，则OE →＝12(OA →＋OB →)． 由已知OG →＝13(OA →＋OB →)可得OG →＝23OE →，则点G 在OE 上．连接AG 并延长交CB 于点F ，连接PF .因为O ，E 分别为AC ，AB 的中点，所以OE ∥BC ，即G 为AF 的中点．又因为D 为线段P A 的中点，又所以DG ∥PF ，又DG ⊄平面PBC ，PF ⊂平面PBC ，所以DG ∥平面PBC .。

学业分层测评(四)
(建议用时：分钟)
[学业达标]
一、选择题
．执行如图--的程度框图，如果输入的＝，则输出的＝( )
图--
．
．
．
．【解析】由程序框图知，输出＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝＝.
【答案】
．进入互联网时代，发电子邮件是不可少的，一般而言，发电子邮件要分
成以下几个步骤：.打开电子信箱；.输入发送地址；.输入主题；.输入信件内容；.点击“写邮件”；.点击“发送邮件”．则正确的是( )
．→→→→→
．→→→→→
．→→→→→
．→→→→→【解析】依题意知发送电子邮件的步骤应是：→→→→→.
【答案】
．如图--，小黑点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连
，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点向结点传递信息，信息可分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最
大信息量是( )
图--
．
．
．
．
【解析】由→有条路线，条路线单位时间内传递的最大信息量为＋＋＝.
【答案】
．小明每天早晨起床后要做如下事情：洗漱用分钟，收拾床褥用分钟，听广播用分钟，吃早饭用分钟，要完成这些事情，小明要花费的最少时间为(
)
．分钟
．分钟
．分钟
．分钟
【解析】把过程简化，把能放在同一个时间内完成的并列，如听广播的同
时可以洗涮、收拾被褥、吃早饭，共用＋＋＝(分钟)．
【答案】．执行下面的程序框图--，若输入的，，分别为，则输出的＝( )
图--
．
．
．
．。

[A.基础达标]1．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋9＝0的圆心的抛物线的方程是( )A ．y ＝3x 2或y ＝－3x 2B ．y ＝3x 2C ．y 2＝－9x 或y ＝3x 2D ．y ＝－3x 2或y 2＝9x解析：选D.圆的方程可化为(x －1)2＋(y ＋3)2＝1，圆心为(1，－3)，由题意可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝－2py (p >0)．把(1，－3)代入得9＝2p 或1＝6p ，所以p ＝92或p ＝16，所以y 2＝9x 或x 2＝－13y .2．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0，2)B ．[0，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选C.圆心到抛物线准线的距离为p ＝4，根据题意只要|FM |>4即可，由抛物线定义，|FM |＝y 0＋2，由y 0＋2>4，解得y 0>2，故y 0的取值范围是(2，＋∞)．3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的经过焦点的弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于( )A ．4B ．－4C ．p 2D ．－p 2解析：选B.当AB 的斜率为k 时，AB 所在的直线方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，代入y 2＝2px 得：k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋k 2p24＝0.根据根与系数的关系可得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝k 2p ＋2pk 2，x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝k 2⎝⎛⎭⎫x 1－p 2⎝⎛⎭⎫x 2－p 2＝－p 2，故y 1y2x 1x 2＝－4. 当AB 斜率不存在时，即AB ⊥x 轴，易得y 1y 2x 1x 2＝－4.4．过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F 的直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p ，q ，则1p ＋1q等于( )A ．2a B.12aC ．4a D.4a解析：选C.设直线方程为y ＝kx ＋14a ，代入y ＝ax 2，得ax 2－kx －14a ＝0.由根与系数的关系可得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝ka ，x 1x 2＝1－4a2.p ＝y 1＋14a ＝kx 1＋12a ，q ＝y 2＋14a ＝kx 2＋12a ，所以1p ＋1q ＝1kx 1＋12a ＋1kx 2＋12a ＝k 2＋1a k 2＋14a 2＝4a . 5．已知抛物线y ＝x 2上有一定点A (－1，1)和两动点P 、Q ，当P A ⊥PQ 时，点Q 的横坐标的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[1，＋∞)C ．[－3，1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：选D.设P (x 0，x 20)，Q (x ，x 2)，其中x 0≠－1，x ≠x 0， 则P A →＝(－1－x 0，1－x 20)，PQ →＝(x －x 0，x 2－x 20)， 因为P A ⊥PQ ，所以P A →·PQ →＝0.所以－(1＋x 0)(x －x 0)＋(1－x 20)(x 2－x 20)＝0， 即－1＋(1－x 0)(x ＋x 0)＝0，所以x ＝－x 0＋11－x 0＝(1－x 0)＋11－x 0－1，当x 0<1时，1－x 0＋11－x 0≥2，当且仅当x 0＝0时，等号成立．所以x ≥2－1＝1；当x 0>1时，1－x 0＋11－x 0＝－[(x 0－1)＋1x 0－1]≤－2，当且仅当x 0＝2时，等号成立，所以x ≤－2－1＝－3，故点Q 的横坐标的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．6．将两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n ，则n ＝________．解析：根据抛物线对称性知正三角形的一边平行于y 轴，又过焦点且与x 轴的夹角为30°的直线有两条，故符合题意的正三角形有两个．答案：27．已知点A 、B 是抛物线y 2＝4x 上的两点，O 是坐标原点，OA →·OB →＝0，直线AB 交x 轴于点C ，则|OC →|＝________．解析：设A 、B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫y 214，y 1、⎝⎛⎭⎫y 224，y 2， 因为OA →·OB →＝0，所以y 214·y 224＋y 1y 2＝0，即y 1y 2＝－16.AB 所在的直线方程为y －y 1＝y 2－y 1y 224－y 214(x －y 214)＝4y 1＋y 2(x －y 214)，令y ＝0，得x ＝－y 1y 2－y 214＋y 214＝－y 1y 24＝4.答案：48．已知直线y ＝k (x －2)(k >0)与抛物线y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为抛物线的焦点，若|F A |＝3|FB |，则k 的值为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1>0，x 2>0，y 1>0，y 2<0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y 2＝8x ，得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0， 所以x 1x 2＝4.① 又|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2且|AF |＝3|FB |， 所以x 1＝3x 2＋4，②由①②解得x 2＝23，所以B (23，－433)，代入y ＝k (x －2)得k ＝ 3.答案： 39．已知M (3，y 0)(y 0>0)为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，F 为抛物线C 的焦点，且|MF |＝5.(1)求抛物线C 的方程；(2)MF 的延长线交抛物线于另一点N ，求N 的坐标．解：(1)因为|MF |＝3＋p2＝5，所以p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x .(2)由题意知MF 不垂直于x 轴，故设MF 所在直线方程为y ＝k (x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y 2＝8x ，得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，由根与系数的关系得x M ·x N ＝4k 2k2＝4，因为x M ＝3，所以x N ＝43.因为N 为MF 的延长线与抛物线的交点，由图像可知y N <0.所以y N ＝－2px N ＝－463，所以N (43，－463)．10．已知动点M 到点(4，0)的距离比它到直线l ：x ＝－3的距离多1. (1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)求过点(4，0)且倾斜角为30°的直线被曲线C 所截得线段的长度．解：(1)由题意易知，动点M 到点(4，0)的距离与到直线x ＝－4的距离相等，故M 点的轨迹为以(4，0)为焦点，x ＝－4为准线的抛物线，此抛物线方程为y 2＝16x .(2)设直线与抛物线的交点为A ，B ，直线AB 的方程为y －0＝33(x －4)，即y ＝33x －433，将直线方程与抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x －433，y 2＝16x ，得x 2－56x ＋16＝0， 故x A ＋x B ＝56，|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝56＋8＝64.[B.能力提升]1．已知抛物线y ＝2px 2(p >0)的准线与圆x 2＋y 2－4y －5＝0相切，则p 的值为( ) A ．10 B ．6 C.18 D.124解析：选C.抛物线方程可化为x 2＝12py (p >0)，由于圆x 2＋(y －2)2＝9与抛物线的准线y＝－18p 相切，所以3－2＝18p ，所以p ＝18.2．如图，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 在抛物线上，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝( )A ．6B ．4C ．3D ．2解析：选A.设A ，B ，C 三点的横坐标分别为x A ，x B ，x C 由F A →＋FB →＋FC →＝0得x A ＋x B＋x C ＝3，所以|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x A ＋p 2＋x B ＋p 2＋x C ＋p 2＝3＋3＝6.3．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足|NF |＝32|MN |，则∠NMF ＝____________．解析：过点N 作准线的垂线交准线于点N 1，则cos ∠NMF ＝cos ∠N 1NM ＝|NN 1||MN |＝|NF ||MN |＝32，故∠NMF ＝π6.答案：π64．已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，抛物线C 上的两点A ，B 满足AF →＝2FB →.若点T ⎝⎛⎭⎫－12，0，则|TA ||TB |的值为____________． 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(y 1>0，y 2<0)，因为AF →＝2FB →，所以AB 是过焦点F 的直线，F (12，0)，故AB 的直线方程为y ＝k (x －12)，代入y 2＝2x ，整理得：k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0，由根与系数的关系得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝k 2＋2k 2，x 1x 2＝14，由AF →＝2FB →得x 1＋12x 2＋12＝2，即x 1＝2x 2＋12，得：A (1，2)，B (14，－22)，所以|TA ||TB |＝（1＋12）2＋（2）2（14＋12）2＋（22）2＝2.答案：25．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1，2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的标准方程及其准线方程；(2)当直线P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率． 解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)．因为点P (1，2)在抛物线上，所以22＝2p ×1，解得p ＝2. 所以所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)设直线P A 的斜率为k P A ，直线PB 的斜率为k PB ，则k P A ＝y 1－2x 1－1，k PB ＝y 2－2x 2－1，因为P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以k P A ＝－k PB .由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，所以y 1＋2＝－(y 2＋2)，所以y 1＋y 2＝－4.由①－②得直线AB 的斜率为－1.6．(选做题)已知直线l 过坐标原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上．若点A (－1，0)和点B (0，8)关于l 的对称点都在C 上，求直线l 和抛物线C 的方程．解：依题设抛物线C 的方程可写为y 2＝2px (p >0)，且x 轴和y 轴不是所求直线，又l 过原点，因而可设l 的方程为y ＝kx (k ≠0)，① 设A ′，B ′分别是A ，B 关于l 的对称点，因而A ′A ⊥l ，直线A ′A 的方程为y ＝－1k(x ＋1)，②由①②联立解得AA ′与l 的交点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－1k 2＋1，－kk 2＋1.又M 为AA ′的中点，从而点A ′的横坐标为x A ′＝2⎝⎛⎭⎫－1k 2＋1＋1＝k 2－1k 2＋1， 纵坐标为y A ′＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－k k 2＋1＋0＝－2k k 2＋1.③ 同理得点B ′的横、纵坐标分别为x B ′＝16kk 2＋1，y B ′＝8（k 2－1）k 2＋1.④又A ′，B ′均在抛物线y 2＝2px (p >0)上，由③得⎝⎛⎭⎫－2k k 2＋12＝2p ·k 2－1k 2＋1， 由此知k ≠±1，即p ＝2k 2k 4－1.⑤同理由④得⎣⎢⎡⎦⎥⎤8（k 2－1）k 2＋12＝2p ·16k k 2＋1即p ＝2（k 2－1）2（k 2＋1）k . 从而2k 2k 4－1＝2（k 2－1）2（k 2＋1）k ，整理得k 2－k －1＝0，解得k 1＝1＋52，k 2＝1－52.但当k ＝1－52时，由③知x A ′＝－55<0，这与点A ′在抛物线y 2＝2px (p >0)上矛盾，故舍去k 2＝1－52.所以k ＝1＋52，则直线l 的方程为y ＝1＋52x .将k ＝1＋52代入⑤，求得p ＝255.所以直线方程为y ＝1＋52x .抛物线方程为y 2＝455x .。