安徽省2020届高三名校高考冲刺模拟卷 数学(文)(含答案)

2020年“江南十校”高三学生冲刺联考（二模）文科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{|4}xA y y e ==-+，{|lg[(2)(3)]}B x y x x ==+-，则下列关系正确的是（ ） A ．A B ⊆ B ．AB =∅C ．R R C A C B ⊆D ．R C B A ⊆2.若复数(23)z i i =--（i 是虚数单位），则z 的共轭复数是（ ）A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+3.已知向量a 与b b -也是单位向量，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．45 B ．60 C ．90 D ．1354.已知0.44a =，0.612b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，12log c =-，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a << 5.下列命题中，真命题的个数是（ ）①已知直线1l ：(1)20mx m y +++=，2l ：(1)(4)30m x m y ++++=，则“2m =-”是“12l l ⊥”的充要条件；②“若22am bm <，则a b <”的逆否命题为真命题；③命题“若220a b +=，则0a b ==”的否命题是“若220a b +≠，则a ，b 至少有一个不等于0”；④命题p ：[1,)x ∀∈+∞，ln 0x >，则p ⌝：0[1,)x ∃∈+∞，0ln 0x <. A ．0 B ．1 C ．2 D ．36.已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，22017OA a OB a OC =+且AB d BC =，则2018S （ ）A ．0B ．1009C ．2017D ．20187.已知实数x ，y 满足24010ln 0x y y y x --≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则1x y z x ++=的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48.已知实数[0,4]m ∈，则函数21()ln 2f x m x x x=-+在定义域内单调递减的概率为（ ） A ．14 B ．12 C ．34 D ．589.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．20B ．30C ．40D ．60 10.已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则1213e e +的最大值为（ ） A ．223B ．233C ．23D ．2211.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．18-B ．18 C ．116- D ．11612.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A 是B 和C 的等差中项，0AB BC ⋅>，a =ABC ∆周长的取值范围是（ ）A ．2322⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭ B ．32⎫+⎪⎪⎭C ．⎝⎭D ．⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置） 13.下表提供了某学生做题数量x （道）与做题时间y （分钟）的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.7y x =+，则表中t 的值等于 ．14.已知双曲线C ：221916x y -=的左右焦点为1F 、2F ，过焦点且与渐近线平行的直线与双曲线相交于点M ，则12MF F ∆的面积为 ．15.已知O 为坐标原点，动点P 满足3OP =，M 、N ，则OM ON OP ++的最小值为 ．16.已知函数()f x 的定义域是R ，21,(0)()9ln(2),(0)x mx x f x x x π⎧-++≤=⎨++>⎩（m 为小于0的常数），设12x x <且12'()'()f x f x =，若21x x -的最小值大于6，则m 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内）17.已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足2*3()n n a S n n n N +=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2111n n n c a S =+-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：5362n T ≤<. 18.距离2018年全国普通高等学校统一招生考试已不足一个月，相信考生们都已经做了充分的准备，进行最后的冲刺.高考的成绩不仅需要平时的积累，还与考试时的状态有关系.为了了解考试时学生的紧张程度，对某校500名学生进行了考前焦虑的调查，结果如下：男女总计正常 30 40 70 焦虑 270 160 430 总计300200500（1）根据该校调查数据，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“该学校学生的考前焦虑情况”与“性别”有关？（2）若从考前正常的学生中按性别用分层抽样的方法抽取7人，再从被抽取的7人中随机抽取2人，求这两人中有女生的概率.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.20()P K k ≥0.258 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0k1.3232.0722.7063.8415.0246.63519.如图，三棱锥D ABC -中，2AB =，2AC BC ==，ADB ∆是等边三角形且以AB 为轴转动.（1）求证：AB CD ⊥；（2）当三棱锥D ABC -体积最大时，求它的表面积.20.如图所示，已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，M 是抛物线上第一象限的点，直线l 与抛物线相切于点M .（1）过M 作HM 垂直于抛物线的准线于点H ，连接MF ，求证：直线l 平分HMF ∠； （2）若1p =，过点M 且与l 垂直的直线交抛物线于另一点Q ，分别交x 轴、y 轴于A 、B两点，求AB ABAM AQ+的取值范围. 21.已知函数ln ()a xf x x+=，()g x mx =. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0a =时，()()f x g x ≤恒成立，求实数m 的取值范围；（3）当1a =时，求证：当1x >时，11(1)()21x x x f x e e ⎛⎫⎛⎫++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为1sin 32πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，曲线C 的参数方程为244x my m =⎧⎨=⎩（m 为参数）. （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）已知点3,2)P -，直线l 和曲线C 相交于A ，B 两点，求PA PB ⋅. 23.选修4-5：不等式选讲设对于任意实数x ，不等式53x x m ++-≥恒成立. （1）求m 的取值范围；（2）当m 取最大值时，解关于x 的不等式324x x m --≤-.2020年“江南十校”高三学生冲刺联考（二模）文科数学参考答案一、选择题1-5: CDACC 6-10: BBCAD 11、12：BB 二、填空题13. 6 14. 32315. 3 16. (16)-∞ 三、解答题17.解：（1）23n n a S n n +=+，当1n =时，11142a S a +=⇒=， 当2n =时，2122104a a a a ++=⇒=， 又∵{}n a 是等差数列，∴212d a a =-=，∴2(1)22n a n n =+-⨯=； （2）2211111(21)(21)n n n c a S n n n n =+=+-+-+11111221211n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭. ∴n T =111111123352121n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭1111112231n n ⎛⎫+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭111112211n n ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭31122(21)1n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭. 当*n N ∈且n 逐渐增大时，n T 增大. ∴5362n T ≤<. 18.解：（1）假设该学校学生的考前焦虑与性别无关22500(3016027040)43070300200K ⨯-⨯=⨯⨯⨯30009.967 6.635301=≈>，∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下，该学校学生的考前焦虑情况与性别有关； （2）男生、女生分别抽取3人，4人.记为1A ，2A ，3A ，1B ，2B ，3B ，4B .基本事件为：12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，13A B ，14A B ，23A A ，21A B ，22A B ，23A B ，24A B ，31A B ，32A B ，33A B ，34A B ，12B B ，13B B ，14B B ，23B B ，24B B ，34B B .满足条件的有：11A B ，12A B ，13A B ，14A B ，21A B ，22A B ，23A B ，24A B ，31A B ，32A B ，33A B ，34A B ，12B B ，13B B ，14B B ，23B B ，24B B ，34B B .∴186217m P n ===. 19.（1）证明：取AB 的中点H ，连接DH ，CH ，AC BC AB CHADB AB DH CH DH H⎫==⊥⎪∆⇒⊥⎬⎪=⎭是等边三角形AB CDH AB CD CD CDH ⊥⎫⇒⇒⊥⎬⊂⎭平面平面；（2）解：111333ABC hV S h h ∆=⨯⨯=⨯⨯=，∴若V 最大，则h 最大. ∴平面ADB ⊥平面ABC .此时ABC ADB ACD BCD S S S S S ∆∆∆∆=+++表1=+20.（1）证明：设2(2,2)(0)M pt pt t >则,22p H pt ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线HF 的斜率122pt k t p ==--，由22(0)y px p =>得y =， ∴直线l的斜率212k t==， ∴121(2)12k k t t⋅=-⋅=-，∴l HF ⊥. 又由抛物线定义MF MH =，∴l 平分HMF ∠； （2）解：当1p =时，2(2,2)M t t ，AB 的方程：222(2)y t t x t -=--，∴2(12,0)A t +，3(0,24)B t t +.∴3224212B M AB y t t t AM y t+===+，由2222(2)2y t t x t y x⎧-=--⎪⎨=⎪⎩23420ty y t t ⇒+--=， ∴1122Q Q t y y t t t+=-⇒=--，∴342242421212B Q ABy t t t t AQ y t t t++===-++， ∴4222422121AB AB t t t AM AQ t ++=+++22222141(1,)t t t =++=+∈+∞. 21.（1）解：ln ()a xf x x+=的定义域为(0,)+∞， 且221(ln )1ln '()a x x af x x x -+--==. 由'()01ln 0f x x a >⇒-->1ln 10ax a x e -⇒<-⇒<<，∴()f x 在1(0,)ae-单调递增，在1(,)a e -+∞单调递减；（2）解：0a =，ln ()xf x x=， ∴ln ()()x f x g x x ≤⇔2ln xmx m x≤⇔≥， 令2ln ()x u x x =，∴312ln '()xu x x-=，由'()00u x x >⇒<<∴()u x在单调递增，在)+∞单调递减，∴max ln 1()2u x u e e ===，∴12m e ≥； （3）证明：11(1)()21x x x f x e e ⎛⎫⎛⎫++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等价于11(1)(ln 1)211x x x x e e x xe -++⋅>++. 令(1)(ln 1)()x x p x x ++=，则2ln '()x xp x x -=，令()ln x x x ϕ=-则11'()1x x x xϕ-=-=，∵1x >，∴'()0x ϕ>，∴()x ϕ在(1,)+∞单调递增，()(1)10x ϕϕ>=>，'()0p x >，∴()p x 在(1,)+∞单调递增，∴()(1)2p x p >=，∴()211p x e e >++， 令12()1x x e h x xe -=+，则122(1)'()(1)x x x e e h x xe --=+，∵1x >，∴10xe -<，∴'()0h x <，()h x 在(1,)+∞单调递减， ∴当1x >时，2()(1)1h x h e <=+， ∴()2()11p x h x e e >>++，即11(1)()21x x x f x e e ⎛⎫⎛⎫++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22.解：（1）l10y +-=，C 的普通方程：24x y =；（2）2)P -在l 上，l的参数方程为1222x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），将l 的参数方程代入C得：21422t ⎛⎫⎫=⨯-+ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，即2440t -+=， ∴1244t t =，∴1244PA PB t t ==.23.解：（1）设()53f x x x =++-，则有22,5()8,5322,3x x f x x x x --<-⎧⎪=-<<⎨⎪+>⎩，根据函数的单调性有8m ≤.即m 的取值范围(,8]-∞；（2）当8m =时，324x x --≤，∴324x x -≤+， 当3x ≥时，原不等式324x x -≤+，7x ≥-，∴3x ≥； 当3x <时，原不等式324x x -≤+，13x ≥-，∴133x -≤<， ∴原不等式解集为1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.。

安徽省2020年高考冲刺卷（数学文）doc 高中数学文科数学本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分.总分值150分.考试用时120分钟.第一卷〔选择题 共50分〕一、选择题：本大题共10小题。

每题5分。

共50分．在每题给出的四个选项中。

只有一项为哪一项符合题目要求的．1. 复数21i i 1i++-的值是 〔 〕 A. i 1- B. 1i - C. 1i -- D. 1-2. R U =,[]0,2A =,(1,+)B =∞,那么()=U A B ( )A. []0,1(2,+)∞ B. (],2-∞ C. []0,2 D. []0,13．有以下四个命题：①〝假设1xy =，那么,x y 互为倒数〞的逆命题；②〝相似三角形的周长相等〞的否命题；③〝假设1b ≤-，那么方程2220x bx b b -++=有实根〞的逆否命题；④〝假设A B B =，那么A B ⊇〞的逆否命题．其中真命题是 ( )A ．①② B．②③ C．①③ D．③④4．甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计如茎叶图所示，假设甲、乙两人的平均成绩分 不是X 甲，X 乙，那么以下结论正确的选项是 ( )A ．X X <乙甲；乙比甲成绩稳固B ．X >X 乙甲；甲比乙成绩稳固C ．X >X 乙甲；乙比甲成绩稳固D ．X X <乙甲；甲比乙成绩稳固5. 向量33(,)22a =-，3(,)2b λ=，假设a b ∥，那么λ的值为 〔 〕 A. 2- B. 12-C. 14-D. 126. 设,x y 满足24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩那么z x y =+ 〔 〕A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最小值也无最大值7. 一个直棱柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图，那么几何体的体积为A ．8cm 3B ．9cm 3C ．10cm 3D ．11cm38.在ABC ∆中，CD 是AB 边上的高，222a cb +<，2222CD CD 1AC BC +=，那么 A ．A B 2π+= B.A B 2π-=C. B A 2π-=D.A 2B π-=9．张老师给学生出了一道题，〝试写一个程序框图，运算1111S 13579=++++〞发觉同学们有如下几种做法，其中有一个是错误的，那个错误的做法是10. 设数列{}n a 是首项为1公比为3的等比数列，把{}n a 中的每一项都减去2后，得到一个新数列}{n b ，}{nb 的前n 项和为S n，对任意的n N*∈，以下结论正确的选项是A ．13n n b b +=，且1S (31)2nn =- B ．132n n b b +=-，且 1S (31)2nn =-C ．134n n b b +=+，且1S (31)22nn n =--D ．134n n b b +=-，且1S (31)22nn n =--第二卷〔非选择题 共100分〕二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分.把答案填在题中的横线上.11. 在ABC ∆中，A ∠=60°，AB ：AC =8:：5，面积为3__________.12. 考查正方体的六个面的中心，从中任意选出三个点连成三角形，再把剩下的三个点也连成三角形，那么所得的两个三角形全等的概率为_________.13. 函数32()33(2)1f x x ax a x =++++有极大值又有极小值，那么a 的范畴是 ． 14. ()(),f x g x 差不多上定义在R 上的函数，且满足以下条件： ①()()()0,1x f x a g x a a =>≠；②()0g x ≠；③()()()()''f x g x f x g x >；假设()()()()115112f fg g -+=-，那么a =________.15. 椭圆的中心为原点，离心率2e =，且它的一个焦点与抛物线2x =-的焦点重合，那么此椭圆方程为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解承诺写出文字讲明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题总分值12分)在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分不为a ，b ，c 且tan B =，(Ⅰ)求B ；(Ⅱ)求函数()sin 2sin cos ,0,2f x x B x x π⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦的单调递减区间．17．(本小题总分值12分)某研究机构为了研究人的脚的大小与身高之咨询的关系，随机抽测了20人，得到如下数据：(Ⅰ)假设〝身高大于l75厘米〞的为〝高个〞，〝身高小于等于175厘米〞的为〝非高个〞；〝脚长大于42码〞的为〝大脚〞，〝脚长小于等于42码〞的为〝非大脚〞．请依照上表数据完成下面的2×2列联表：(Ⅱ)依照题(I)中表格的数据，假设按99％的可靠性要求，能否认为脚的大小与身高之间有关系?(Ⅲ)假设按下面的方法从这20人中抽取1人来核查测量数据的误差：将一个标有数字1，2，3，4，5，6的正六面体骰子连续投掷两次，记朝上的两个数字的乘积为被抽取人的序号．试求：①抽到12号的概率；②抽到〝无效序号(超过20号)〞的概率． 18．〔本小题总分值15分〕直线30x ky +-=所通过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点，且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8. (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)圆O ：221x y +=，直线:1l mx ny +=.试证：当点(,)P m n 在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交，并求直线l 被圆O 所截得弦长L 的取值范畴.19. (本小题总分值12分)设数列{}n a 的首项132a =，前n 项和为n S ，且满足*123(N ).n n a S n ++=∈〔Ⅰ〕求2a 及n a ；〔Ⅱ〕求满足2188177n n S S <<的所有n 的值.20．(本小题总分值13分) 四棱锥P ABCD -中，ABCD AB CD AD=CD=1PA ⊥底面，∥，，°BAD ∠=120，PA=3， ACB ∠=90°.(Ⅰ)求证：BC ⊥平面PAC ；(Ⅱ)求直线PC 与平面PAB 所成的角的正弦值．21.〔本小题总分值14分〕322()24,3f x x x cx =-++2()().x x g x e e f x -=-+ (Ⅰ)假设()f x 在12x =+处取得极值，试求c 的值和()f x 的单调增区间； (Ⅱ)如下图，假设函数()y f x =的图像在[],a b 上连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在(,)c a b ∈使得'()?f c =〔用含有,,(),()a b f a f b 的表达方式直截了当回答，不需要写猜想过程〕〔Ⅲ〕利用(Ⅱ)证明：函数()y g x =图像上任意两点的连线斜率不小于24e -.参考答案1. A 【解析】此题要紧考查了复数的运算.221i 1i i 1i 11i 1i 1i +++=-=---+（）（）（）.应选A. 2. D 【解析】此题考查集合的交、补运算及运用数轴求解集.易知UB =∞（-，1]，画数轴，知U A B （）=[0,1]，应选D.3. C 【解析】此题要紧考查了常用逻辑用语的基础知识，命题的概念和性质．应用相应知识分不验证，可写出命题并判定真假．关于①，〝假设1xy =，那么x ,y 互为倒数〞的逆命题是：假设x ,y 互为倒数，那么1xy =．是真命题；关于③，逆否命题是：假设2220x bx b b -++=没有实数根，那么1b >-．假设2220x bx b b -++=没有实数根，可得40,0b b ∆=-<∴>，可知当2220x bx b b -++=没有实数根时，1b >-成立，因此①③是正确的．应选C.4. A 【解析】由茎叶图可知，甲的成绩分不为：72，77，78，86，92，平均成绩为：81；乙的成绩分不为：78，82，88，91，95，平均成绩为：86.8，那么易知X X <乙甲；乙比甲成绩稳固.应选A.5. B 【解析】此题考查了向量平行的坐标判定．因为a b ∥，因此333222λ-⨯（-）=0，解得12λ=-.应选B ．6. B 【解析】此题要紧考查线性规划及数形结合法知识．由条件可画得约束条件所对应的平面区域的图形如下图，易知在(2,0)A 点目标函数目标函数没取最小值，因 ,x y 能够在区域内取正无穷大的数，即知有最大值．应选B ．7. D 【解析】此题考查三视图的识不以及多面体的体积咨询题．依照三视图得出几何体的形状及长度关系是解决咨询题的关键．由三视图知几何体是底面为边长为2的正方形，高为3的正四棱柱被平面截得的，如下图，其中M 为11A B 的中点，因此几何体的体积为112232131132⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=3（cm ）．应选D ．8. C 【解析】此题考查解三角形及三角恒等变换.由余弦定理得222cos 02a c b B ac+-=<，那么90180B ︒<<︒；在Rt BCD ∆中，sin()sin CDB B BCπ-==，在Rt ACD ∆中， sin CDA AC=；又2222CD CD 1AC BC +=，那么22sin sin 1A B +=，移项得22sin cos B B =，又cos 0B <，因此()2B ππ∈，，且有sin cos ,A B =-得2B A π-=，应选C .9. C 【解析】此题要紧考察程序框图的功能，关于C 项，程序框图是用来运算1111357S =+++的.应选C.8AB =,5AC =,2218528572BC =+-⨯⨯⨯=.那么周长为20. 12．1【解析】此题考查立体几何中的概率咨询题，解决咨询题的关键是弄清空间中的点的位置关系．由题意可知正方体的六个面的中心的六个点中，任意选出三个点连成三角形假设是等边三角形，那么剩下的三个点也连成与前面全等的等边三角形；假设从中任意选出三个点连成三角形是直角三角形，那么剩下的三个点也连成与前面全等的直角三角形．因此所得的两个三角形全等的概率等于1．13. {}|12a a a <->或 【解析】此题要紧考查了函数的极值咨询题及导数的应用，利用导数作为工具去研究函数的性质专门方便.2'()363(2)f x x ax a =+++，要使函数()f x 有极大值又有极小值，那么需使导函数既能取正值又能取负值，即需导函数的23636(2)0a a ∆=-+>，解得1a <-或2a >. 14.12 【解析】此题要紧考查函数值、导数的求法和导数的意义.由(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-得1152a a -+=，因此122a a ==或.又由()'()'()(),f x g x f x g x >即()'()'()()0f x g x f x g x ->，也确实是'2()()'()()'()0()()f x f x g x g x f x g x g x ⎡⎤-=-<⎢⎥⎣⎦，讲明函数()()xf x ag x =是减函数，即101,,2a a <<=故故12a =. 【参考答案】〔I 〕在ABC ∆在，利用余弦定理得2222cos b a c ac B =+-,代入2223tan ac B a c b =+-得3sin 2B =,而ABC ∆是锐角三角形，因此角3B π=.…………………………………………………………………………………………6分〔Ⅱ〕()sin 2sin cos sin 3f x x B x x x =+=+ 2sin()3x π=+，………………………………………………………………8分假设()f x 单调递减，那么322232k x k πππππ+≤+≤+，Z k ∈,因此72266k x k ππππ+≤≤+，Z k ∈.………………………………………………………10分当0k =时，766x ππ≤≤.又02x π≤≤，那么62x ππ≤≤，因此()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.…………………………………12分 【信息解读】分析近几年高考试卷，三角形求解内容是每年必考的，试题内容要紧涉及两个方面：一是考查正弦定理、余弦定理及其变式或推论的内容及简单应用.这类题目多见于选择题和填空题，难度不大；二是以三角形为知识载体，研究三角恒等交换及向量等咨询题，这类咨询题不仅要使用正弦定理、余弦定理求解边和角，还要结合三角形或向量的运算进行处理，除了在选择题和填空题中显现外，解答题也经常显现这方面内容.17.【思路探究】此题要紧考查概率与统计知识．(I)直截了当将数据统计填在表中即可；(Ⅱ)可直截了当利用独立性检验公式求得2x 的值进而得出结论；(Ⅲ)按古典概型运算公式进行运算即可． 【参考答案】(I)表格为：高个 非高个 合计 大脚 5 27 非大脚 113合计614……………………………………………………3分(讲明：黑框内的三个数据每个1分，黑框外合计数据有错误的暂不扣分)(Ⅲ)①抽到12号的概率为141369P ==;…………………………………………10分 ②抽到〝无效序号〔超过20号〕〞的概率为261366P ==…………………………12分【误区警示】概率与统计咨询题的应用难度不大，但易显现下面的一些错误：一是不能准确地把握各运算公式，二是显现运算方面的错误.18. 【思路探究】此题要紧考查了圆锥曲线方程求解和直线与圆的弦长咨询题，破解方法是用几何法求解圆锥曲线的方程，用函数的方法求出直线与圆相交的弦长的取值范畴咨询题. 【参考答案】〔I 〕由30x ky +-=，得(3)0x ky -+=，因此直线过定点〔3，0〕，即(3,0)F .……………………………………………………2分2191625m <+，因此直线l 与圆O 恒相交.…………………………………………8分又直线l 被圆O 截得的弦长为222L r d =- =22121m n -+ =212191625m -+，…………………………………………10分 由于2025m ≤≤，因此2916162525m ≤+≤， 那么1546L ∈⎣⎦,即直线l 被圆O 截得的弦长的取值范畴是1546⎣⎦…………12分 【方法提炼】圆锥曲线方程的求解一是定义法；二是几何法；三是待定系数法，弦长的范畴的求解一样利用函数与不等式性质相结合的方法，因此要注意变量的定义域，在取值范畴内求解弦长的范畴.19. 【思路探究】此题要紧考查数列的相关知识．(Ⅰ)依照，我们能够列出它的上一项(或下一项)两式相减便可消去其中的S n ，转化为关于n a 的式子，分析便易得其中存在的规律；(Ⅱ)要得到满足条件的n 的值，我们需要将2S n nS 化简整理，得到11()2n +，从而转化为指数不等式咨询题进行解决． 即1111727n ⎛⎫<< ⎪⎝⎭． 因为31111727⎛⎫<< ⎪⎝⎭，而41111727⎛⎫<< ⎪⎝⎭， 因此n 的值为3，4．……………………………12分【规律总结】遇到既含有S n ，又含有n a 的式子时，一样利用1S n n n S a --=统一，能够转化为关于n a 的式子，也能够转化为关于S n 的式子.转化之后，看是否满足等差或等比数列的定义或其倒数是否满足，或是否能构造成等差、等比数列定义的形式，再结合定义解决咨询题.20．【思路探究】此题考查空间中的直线与平面的垂直关系，考查直线与平面所成的角．证明直线与平面垂直的关键是证明直线与平面内的两条相交直线垂直；求线面角的关键是得出直线在平面内的射影．(I)利用PA ABCD ⊥底面,与得PA BC ⊥及BC AC ⊥，因此可证得BC PAC ⊥平面；(Ⅱ)利用PAB ABCD ⊥平面底面，作CE 垂直AB ，得CE PAB ⊥面，直线PC 与平面PAB 所成的角为EPC ∠，求出即可.……………………………………13分【误区警示】立体几何的证明咨询题，得分容易，但得总分值不易，要紧缘故是在运用综合法证明咨询题时，讲理不充分，逻辑关系不严密，这就要求在解决这类咨询题时，一定要细心，做到步步有理由，环环相扣，不跳步.21．【思路探究】此题考查了函数导数的求法、几何意义及利用导数解决函数的单调性咨询题．(I)函数的极值点即导数值等于零，单调增区间即导数大于零的解集；(Ⅱ)利用导数的定义来解决；(Ⅲ)转化为函数的导数，利用差不多不等式和二次函数的最值来解决．【参考答案】〔I 〕2'()24f x x x c =-+ 依题意有'(12)0,f += 即22(12)4(12)c =-++ = -2………………………………………………………………………………2分3222()224,'()24 2.3f x x x x f x x x ∴=--+=-- 令'()0,1212,f x x x ><->得或从而()f x 的单调增区间为(,12)(12).-∞-∞或，………………………………4分〔Ⅱ〕()()'().f b f a f c b a-=-…………………………………………8分 〔Ⅲ〕由2()()x x g x e e f x -=-+=2322224,3x x e ex x x --+--+ 因此22'()24 2.x x g x e e x x -=++--。

2020年安徽省高考冲刺数学模拟试卷（文科）一、选择题1．已知集合A＝{x|x2﹣2x≥3}，B＝{x|0＜x＜4}，则A∩B＝（）A．（﹣1，4）B．（0，3]C．[3，4）D．（3，4）2．已知复数z＝m﹣1+（m﹣3）i（m∈Z）在复平面内对应的点在第四象限，则＝（）A．B．C．1D．3．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，A为OB的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是（）A．B．C．D．4．设a＝，，，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c5．已知向量、，若＝4，且⊥，则与的夹角是（）A．B．C．πD．6．函数在[﹣π，0）∩（0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．7．已知．则下列结论不正确的是（）A．B．C．D．8．已知函数，则下列说法正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）的最大值为C．f（x）在上单调递增D．f（x）的图象关于直线x＝对称9．运行如图所示的程序框图，若输出的S的值为111，则判断框中可以填（）A．i≥221？B．i＞222？C．i＞223D．i＞224？10．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．211．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A﹣a cos B＝2b﹣c，则A＝（）A．B．C．D．12．已知椭圆C：x2+＝1，直线l：y＝x+m，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）13．函在x＝0处的切线方程为．14．若实数x、y满足，则z＝3x+2y的最大值为．15．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1+3a2+…+3n﹣1a n＝n，则S4＝．16．已知正三棱锥S﹣ABC的侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是．三、解答题（共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题.考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17．已知{a n}是公差不为零的等差数列，a4＝26，且a1，a2，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求T511．18．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，O是正方形的中心．PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点，连接BE，DE．（1）证明：PA∥平面BDE，平面PAC⊥平面BDE；（2）若∠COE＝60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积19．为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？优秀非优秀合计男生40女生50合计100参考公式及数据：．P（K2≥k0）0.050.010.0050.001k0 3.841 6.6357.87910.82820．已知函数．（1）若a＝1，求f（x）的单调区间；（2）若x＝1是f（x）的唯一极值点，求a的取值范围．21．已知抛物线y2＝﹣2px（p＞0）的焦点为F，x轴上方的点M（﹣2，m）在抛物线上，且|MF|＝，直线l与抛物线交于A，B两点（点A，B与M不重合），设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当k1+k2＝﹣2时，求证：直线l恒过定点并求出该定点的坐标．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分[选修4一4：坐标系与参数方程]22．以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为（θ为参数）．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）以曲线C上的动点M为圆心、r为半径的圆恰与直线l相切，求r的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|2x﹣4|．（1）求不等式f（x）≤5的解集；（2）若函数y＝f（x）图象的最低点为（m，n），正数a，b满足ma+nb＝6，求的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．已知集合A＝{x|x2﹣2x≥3}，B＝{x|0＜x＜4}，则A∩B＝（）A．（﹣1，4）B．（0，3]C．[3，4）D．（3，4）【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|x2﹣2x≥3}＝{x|x≤﹣1或x≥3}，B＝{x|0＜x＜4}，∴A∩B＝{x|3≤x＜4}＝[3，4）．故选：C．2．已知复数z＝m﹣1+（m﹣3）i（m∈Z）在复平面内对应的点在第四象限，则＝（）A．B．C．1D．【分析】由已知列式求得m，再由商的模等于模的商求解．解：由题意可得，，解得1＜m＜3．又∵m∈Z，∴m＝2，则z＝1﹣i，∴＝．故选：A．3．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，A为OB的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是（）A．B．C．D．【分析】利用扇形的面积计算公式即可得出．解：不妨设OA＝1，扇形中心角为θ．∴此点取自扇面（扇环）部分的概率＝＝．故选：C．4．设a＝，，，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【分析】由指数函数、对数函数的单调性，并与0，1比较可得答案．【解答】解析：∵由指数、对数函数的性质可知：，，∴有a＜b＜c故选：A．5．已知向量、，若＝4，且⊥，则与的夹角是（）A．B．C．πD．【分析】设向量、的夹角为θ，由平面向量的数量积运算求出cosθ与θ的值．解：设向量、的夹角为θ，由＝4，且⊥，得（+）•（﹣2）＝﹣﹣2＝16﹣4×4×cosθ﹣2×16＝0，解得cosθ＝﹣1，又θ∈[0，π]，所以与的夹角是θ＝π．故选：C．6．函数在[﹣π，0）∩（0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由函数的奇偶性及特殊点，观察选项即可得解．解：∵，∴函数f（x）为奇函数，又∵，∴选项D符合题意．故选：D．7．已知．则下列结论不正确的是（）A．B．C．D．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得cosα、tanα的值，再利用两角差的余弦公式求得cos（α+）、cos（α﹣）的值，可得结论．解：∵已知，∴cosα＝﹣＝﹣，故A正确；∴tanα＝＝＝﹣，故B正确；cos（α+）＝cosαcos﹣sinαsin＝﹣﹣＝﹣，故C正确；cos（α﹣）＝cosαcos+sinαsin＝﹣+＝，故D不正确，故选：D．8．已知函数，则下列说法正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）的最大值为C．f（x）在上单调递增D．f（x）的图象关于直线x＝对称【分析】利用三角恒等变换花简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．解：∵函数＝+sin2x＝sin（2x﹣）+，故f（x）的最小正周期为＝π，故排除A．故f（x）的最大值为1+＝，故B正确．在上，2x﹣∈（，），函数f（x）单调递减，故排除C．当x＝时，f（x）＝不是最值，故f（x）的图象关不于直线x＝对称，故排除D，故选：B．9．运行如图所示的程序框图，若输出的S的值为111，则判断框中可以填（）A．i≥221？B．i＞222？C．i＞223D．i＞224？【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：程序的功能是计算S＝1sin+3sin+5sin+7sin+…＝1﹣3+5﹣7+…，而由题意可知：111＝1+55×2＝1﹣3+5﹣7+9+…﹣219+221，i＝221+2＝223，故条件为”i＞222？“，故选：B．10．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【分析】根据渐近线的倾斜角求出渐近线方程，结合题意求出a、c的值，再计算双曲线的离心率．解：双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则tan＝，所以该条渐近线方程为y＝x；所以＝，解得a＝；所以c＝＝＝2，所以双曲线的离心率为e＝＝＝．故选：A．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A﹣a cos B＝2b﹣c，则A＝（）A．B．C．D．【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出结果．解：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A﹣a cos B＝2b ﹣c，利用正弦定理得：，整理得，由于sin B≠0，所以，即，所以sin（A+）＝1，由于0＜A＜π，解得，故选：C．12．已知椭圆C：x2+＝1，直线l：y＝x+m，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】利用对称关系，求得对称点M，N的方程，代入椭圆方程，利用△＞0，求得n 的取值范围，并且线段MN的中点在直线l上，求得m和n的关系，即可求得m的取值范围．解：设椭圆上存在关于直线y＝x+m对称的两点为M（x1，y1）、N（x2，y2），根据对称性可知线段MN被直线y＝x+m垂直平分，且MN的中点T（x0，y0）在直线y ＝x+m上，且k MN＝﹣1，故可设直线MN的方程为y＝﹣x+n，联立，整理可得：3x2﹣2nx+n2﹣2＝0，所以x1+x2＝，y1+y2＝2n﹣（x1+x2）＝2n﹣＝，由△＝4n2﹣12（n2﹣1）＞0，可得﹣＜n＜，所以x0＝＝，y0＝＝，因为MN的中点T（x0，y0）在直线y＝x+m上，所以＝+m，m＝，﹣＜m＜，故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．函在x＝0处的切线方程为y＝2x．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝0处的导数，再求出f（0），利用直线方程的点斜式得答案．解：∵，∴f′（x）＝，则f′（0）＝，即k＝2．当x＝0时，f（0）＝，即切点坐标为（0，0），∴切线方程为y＝2x．故答案为：y＝2x．14．若实数x、y满足，则z＝3x+2y的最大值为10．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由实数x、y满足，作出可行域如图，联立，解得A（4，﹣1），化目标函数z＝3x+2y为y＝﹣x+，由图可知，当直线y＝﹣x+过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为z＝3×4﹣2×1＝10．故答案为：10．15．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1+3a2+…+3n﹣1a n＝n，则S4＝．【分析】利用已知条件求出首项，推出数列的通项公式，判断数列是等比数列，然后求解数列的和．解：，可得n＝1时，a1＝1，n≥2时，，又，两式相减可得3n﹣1a n＝1，即，上式对n＝1也成立，可得数列{a n}是首项为1，公比为的等比数列，可得．故答案为：．16．已知正三棱锥S﹣ABC的侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是64π．【分析】正棱锥的外接球的球心在顶点向底面做投影所在的直线上，先求底面外接圆的半径，再由勾股定理求锥的高，由勾股定理求出外接球的半径，由球的表面积公式求出表面积．解：如图所示：由正棱锥得，顶点在底面的投影是三角形ABC的外接圆的圆心O'，外接圆的半径r，正三棱锥的外接球的球心在高SO'所在的直线上，设为O，连接OA得：r＝，所以r＝2，即O'A＝2，所以三棱锥的高h＝＝＝6，由勾股定理得，R2＝r2+（R﹣h）2，解得：R＝4，所以外接球的表面积S＝4πR2＝64π．故答案为：64π．三、解答题（共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题.考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17．已知{a n}是公差不为零的等差数列，a4＝26，且a1，a2，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求T511．【分析】（1）设{a n}的公差为d，d≠0，由已知列方程组求解首项与公差，则通项公式可求；（2）b n＝（﹣1）n+1a n＝（﹣1）n+1（8n﹣6），再由数列的分组求和得答案．解：（1）设{a n}的公差为d，d≠0．因为a1，a2，a7成等比数列，所以a22＝a1a7，即（a1+d）2＝a1（a1+6d），整理得d2﹣4da1＝0．又d≠0，所以d＝4a1，①又a4＝a1+3d＝26，②联立①②，得，解得．所以a n＝2+8（n﹣1）＝8n﹣6．（2）因为b n＝（﹣1）n+1a n＝（﹣1）n+1（8n﹣6），T511＝b1+b2+…+b511＝2﹣10+18﹣26+…+4066﹣4074+4082＝（2﹣10）+（18﹣26）+…+（4066﹣4074）+4082＝（﹣8）×255+4082＝2042．18．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，O是正方形的中心．PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点，连接BE，DE．（1）证明：PA∥平面BDE，平面PAC⊥平面BDE；（2）若∠COE＝60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积【分析】（1）连结OE，推导出OE∥PA，从而PA∥平面BDE，推导出PO⊥BD，BD ⊥AC，从而BD⊥平面PAC，由此能证明平面PAC⊥平面BDE．（2）由PO⊥平面ABCD，得PO⊥AC，推导出EF∥PO，从而EF⊥AC，由此能求出四棱锥P﹣ABCD的体积．解：（1）证明：连结OE，∵O，E分别为AC，PC的中点，∴OE∥PA，∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE，∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD，在正方形ABCD中，BD⊥AC，又∵PO∩AC＝O，PO⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE．（2）解：取OC的中点F，连结EF，由题意得OF＝，∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AC，∵E，F分别是PC，OC的中点，∴EF∥PO，∴EF⊥AC，∴∠OFE＝90°，在Rt△OFE中，∠COE＝60°，∴EF＝OF•tan60°＝，∴PO＝2EF＝a，∴四棱锥P﹣ABCD的体积V P﹣ABCD＝＝．19．为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？优秀非优秀合计男生40女生50合计100参考公式及数据：．P（K2≥k0）0.050.010.0050.001k0 3.841 6.6357.87910.828【分析】（1）利用频率和为1求解a值，再由矩形中点的横坐标乘以频率作和可得这100名学生的平均成绩；（2）由频率分布直方图填写2×2列联表，求出K2的观测值，结合临界值表得结论．解：（1）由题可得（0.005+0.010+0.020+0.030+a+0.010）×10＝1，解得a＝0.025．∵45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1＝74，∴估计这100名学生的平均成绩为74；（2）由（1）知，在抽取的100名学生中，比赛成绩优秀的有100×（0.25+0.1）＝100×0.35＝35人，由此可得完整的2×2列联表：优秀非优秀合计男生10 4050女生252550合计3565100∵K2的观测值，∴有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”．20．已知函数．（1）若a＝1，求f（x）的单调区间；（2）若x＝1是f（x）的唯一极值点，求a的取值范围．【分析】（1）把a＝1代入后求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解；（2）先对函数求导，由题意可得f′（x）＝0有唯一的变号零点1，问题可转化为不等式的恒成立问题，可求．解：（1）a＝1时，函数定义域（0，+∞），＝（1﹣x）（+），当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，函数单调递减，（2）∵f′（x）＝（1﹣x）（），由x＝1是f（x）的唯一极值点可知，f′（x）＝（1﹣x）（）＝0有唯一的变号零点1，∵x＞0，则≥0或0在x＞0时恒成立，即a≥﹣或a≤﹣在x＞0时恒成立，令g（x）＝﹣，x＞0，则，当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，故当x＝1时，g（x）取得最大值g（1）＝﹣e，a≤﹣不恒成立，所以a≥﹣e．故a的范围[﹣e，+∞）21．已知抛物线y2＝﹣2px（p＞0）的焦点为F，x轴上方的点M（﹣2，m）在抛物线上，且|MF|＝，直线l与抛物线交于A，B两点（点A，B与M不重合），设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当k1+k2＝﹣2时，求证：直线l恒过定点并求出该定点的坐标．【分析】（Ⅰ）利用抛物线的定义以及性质，列出方程求出p，即可求抛物线的方程；（Ⅱ）当k1+k2＝﹣2时，设出直线方程与抛物线联立，利用韦达定理转化求解直线l恒过定点并求出该定点的坐标．解：（Ⅰ）由抛物线的定义可以，∴p＝1抛物线的方程为y2＝﹣2x；（Ⅱ）证明：由（1）可知，点M的坐标为（﹣2，2）当直线l斜率不存在时，此时A，B重合，舍去．当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+b设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线l与抛物线联立得：k2x2+（2kb+2）x+b2＝0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①又，即（kx1+b﹣2）（x2+2）+（kx2+b﹣2）（x1+2）＝﹣2（x1+2）（x2+2）2kx1x2+2k（x1+x2）+b（x1+x2）﹣2（x1+x2）+4b﹣8＝﹣2x1x2﹣4（x1+x2）﹣8将①带入得，b2﹣b﹣2﹣2k（b+1）＝0即（b+1）（b﹣2﹣2k）＝0得b＝﹣1或b＝2+2k．当b＝﹣1时，直线l为y＝kx﹣1，此时直线恒过（0，﹣1）当b＝﹣2﹣2k时，直线l为y＝kx+2k+2＝k（x+2）+2，此时直线恒过（﹣2，2）（舍去）所以直线l恒过定点（0，﹣1）．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分[选修4一4：坐标系与参数方程]22．以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为（θ为参数）．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）以曲线C上的动点M为圆心、r为半径的圆恰与直线l相切，求r的最小值．【分析】（1）由ρsin（θ+）＝2，得ρsinθ+ρcosθ＝2，将ρsinθ＝y，ρcosθ＝x 代入上式，得直线l的直角坐标方程为x+﹣4＝0．由曲线C的参数方程（θ为参数），得曲线C的普通方程为+＝1（2）利用点到直线的距离以及三角函数性质可得．解：（1）由ρsin（θ+）＝2，得ρsinθ+ρcosθ＝2，将ρsinθ＝y，ρcosθ＝x代入上式，得直线l的直角坐标方程为x+﹣4＝0．由曲线C的参数方程（θ为参数），得曲线C的普通方程为+＝1．（2）设点M的坐标为（2cosθ，sinθ），则点M到直线l：x+﹣4＝0的距离为d＝＝，其中tanφ＝．当d＝r时，圆M与直线l相切，故当sin（θ+φ）＝1时，取最小值，且r的最小值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|2x﹣4|．（1）求不等式f（x）≤5的解集；（2）若函数y＝f（x）图象的最低点为（m，n），正数a，b满足ma+nb＝6，求的取值范围．【分析】（1）先将f（x）写为分段函数的形式，然后根据f（x）≤5分别解不等式即可；（2）先求出f（x）的最小值，然后根据f（x）图象的最低点为（m，n），求出m和n 的值，再利用基本不等式求出的取值范围．解：（1）f（x）＝|x+1|+|2x﹣4|＝，∵f（x）≤5，∴或或，∴或x∈[0.2）或x∈∅，∴，∴不等式的解集为．（2）∵，∴当x＝2时，f（x）取得最小值3．∴函数y＝f（x）的图象的最低点为（2，3），即m＝2，n＝3．∵ma+nb＝6，∴2a+3b＝6，∴，∴，当且仅当，即a＝1，时取等号，∴．。

2020届全国100所名校高三模拟金典卷（一）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，则A B =U （ ） A ．{|22}x x -<< B ．{|24}x x -≤≤ C ．{|22}x x -≤≤ D ．{|24}x x -<≤【答案】B【解析】直接利用并集的定义计算即可. 【详解】由已知，集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤. 故选：B 【点睛】本题考查集合的并集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.2．已知a 是实数，()11a a i -++是纯虚数，则复数z a i =+的模等于（ ）A ．2B CD ．1【答案】C【解析】()11a a i -++是纯虚数可得1a =，则1z i =+，再根据模的计算的公式计算即可. 【详解】()11a a i -++是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，即1a =，所以1z i =+，||z =故选：C 【点睛】本题考查复数模的计算，涉及到复数的相关概念，是一道容易题.3．某产品的宣传费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表所示：根据上表可得回归方程ˆ9.6 2.9yx =+，则宣传费用为3万元时销售额a 为（ ） A ．36.5 B ．30C ．33D ．27【答案】D【解析】由题表先计算出x ，将其代入线性回归方程即可. 【详解】 由已知，1(4235) 3.54x =+++=， 由回归方程过点(),x y ，故36.5y =， 即1(452450)36.54y a =+++=，解得27a =. 故选：D 【点睛】本题考查线性回归方程的简单应用，回归方程一定过样本点的中心(,)x y ，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.4．已知在等差数列{}n a 中，34576, 11a a a a ++==，则1a =（ ） A ．3 B ．7C ．7-D ．3-【答案】C【解析】由3456a a a ++=，可得42,a =结合7 11a =，可得公差d ，再由413a a d =+可得1a . 【详解】由等差数列的性质，得345436a a a a ++==， 所以42,a =公差7493743a a d -===-， 又4132a a d =+=，所以17a =-. 故选：C 【点睛】本题考查等差数列的性质及等差数列基本量的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题.5．已知抛物线24y x =的准线与圆2260x y x m +--=相切，则实数m 的值为（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5【答案】B【解析】由题可得准线方程为1x =-，再利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得到答案. 【详解】由已知，抛物线的准线方程为1x =-，圆2260x y x m +--=的标准方程为22(3)9x y m -+=+，由1x =-与圆相切，所以圆心到直线的距离()314d =--==， 解得7m =. 故选：B 【点睛】本题主要考查抛物线的定义，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.6．已知平面向量a r ，b r满足a =r ，||3b =r ，(2)a a b ⊥-r r r ，则23a b -r r （ ）A ．BC ．4D ．5【答案】A【解析】由(2)0a a b ⋅-=r r r，可得2a b ⋅=r r，将其代入|23|a b -==r r .【详解】由题意可得||2a ==r ，且(2)0a a b ⋅-=r r r，即220a a b -⋅=r r r，所以420a b -⋅=r r， 所以2a b ⋅=r r.由平面向量模的计算公式可得|23|a b -==r r==故选：A 【点睛】本题考查利用数量积计算向量的模，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 7．已知定义在R 上的函数()y f x =，对于任意的R x ∈，总有()()123f x f x -++=成立，则函数()y f x =的图象（ ） A ．关于点()1,2对称 B ．关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．关于点()3,3对称 D ．关于点()1,3对称【答案】B【解析】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，再结合()()123f x f x -++=简单推导即可得到. 【详解】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，则(2)(1(21))3(221)f a x f x a f x a -=--+=-+-+3(32)2()f a x b f x =--+=-，所以有23,320b a =-=，解得33,22a b ==.所以函数()y x =的图象关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选：B 【点睛】本题考查函数图象的对称性，考查学生的逻辑推理能力，当然也可以作一个示意图得到，是一道中档题.8．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生【答案】C【解析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样.9．函数||4x e y x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数的奇偶性可排除B ；由(1),(3)f f 可排除选项A 、D. 【详解】设||()4x e f x x =，定义域为{|0}x x ≠，||()()4x e f x f x x-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除选项B ；又(1)14e f =<，排除选项A ；3(3)112e f =>，排除选项D.故选：C 【点睛】本题考查由解析式选函数图象的问题，涉及到函数的性质，此类题一般从单调性、奇偶性、特殊点的函数值入手，是一道容易题.10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．163πB ．3π C ．29π D ．169π【答案】D【解析】由三视图可知该几何体为底面是圆心角为23π的扇形，高是4的圆锥体，再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为23απ=的扇形，高是4的圆锥体， 容易算得底面面积2112442233S r παπ==⨯⨯=，所以其体积111644339V ππ=⨯⨯⨯=. 故选：D 【点睛】本题考查三视图还原几何体以及几何体体积的计算，考查学生的空间想象能力、数学运算能力，是一道中档题.11．已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=+>的图象上存在()()12,0,,0A x B x 两点，||AB 的最小值为2π，再将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则()g x =（ ） A ．2sin 2x - B ．2sin2xC ．2cos 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由min ||2AB π=可得T π=，2ω=，再由平移变换及诱导公式可得()g x 的解析式.【详解】()sin 3cos 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为||AB 的最小值为12222T ππω=⨯=，解得2ω=. 因为函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度， 所得图象对应的函数为()g x ， 所以()2sin 22sin(2)2sin 233g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A 【点睛】本题考查三角函数图象的变换，涉及到辅助角公式、诱导公式的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.12．如图所示，在棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，边长为2，22PD PA PC ===，.在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（ ）A ．2B 21C ．2D 21【答案】D【解析】由题意，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD ，SA SB SC SP 、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R ，求出四棱锥的表面积S 以及四棱锥的体积P ABCD V -，利用公式13P ABCD V S -=⨯R ⨯，计算即可. 【详解】由已知，22PD AD PA ===，，所以222PD AD PA +=，所以PD AD ⊥，同理PD CD ⊥，又CD AD D =I ，所以PD ⊥平面ABCD ，PD AB ⊥，又AB AD ⊥，PD AD D ⋂=，所以AB ⊥平面PAD ，所以PA AB ⊥，设此球半径为R ，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD，SA SB SC SP、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R.四棱锥的体积211222 3323P ABCD ABCDVS PD-⨯=⨯⨯=⨯=W，四棱锥的表面积S22112222222242222PAD PAB ABCDS S S=++=⨯⨯+⨯⨯⨯+=+ V V W，因为13P ABCDV S-=⨯R⨯，所以3222142221P ABCDVRS-====-++.故选：D【点睛】本题考查几何体内切球的问题，考查学生空间想象能力、转化与化归的能力，是一道有一定难度的压轴选择题.二、填空题13．设实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，则34z x y=-的最大值是__________.【答案】4【解析】作出可行域，344zy x=-，易知截距越小，z越大，【详解】根据实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，画出可行域，如图，平移直线34y x=即可得到目标函数的最大值.344z y x =-，易知截距越小，z 越大，平移直线34y x =，可知当目标函数经过点A 时取得最大值，由11y y x =-⎧⎨=--⎩，解得()0,1A -，所以max 304(1) 4.z =⨯-⨯-=故答案为：4 【点睛】本题考查简单的线性规划及应用，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14．曲线()e 43xf x x =+-在点()(0,)0f 处的切线方程为__________.【答案】52y x =-【解析】直接利用导数的几何意义计算即可. 【详解】因为()02f =-，'()4xf x e =+，所以'0(0)45f e =+=，所以切线方程为()25y --=()0x -，即5 2.y x =- 故答案为：52y x =- 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.15．已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a +=+，则数列{}n a 的前n 项和n S =__________.【答案】122n n +--【解析】利用累加法可得数列{}n a 的通项公式，再利用分组求和法求和即可. 【详解】由已知，12nn n a a +-=，当2n ≥时，()()()211213211212222112n n n n n n a a a a a a a a ---=+-+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+==--，又11a =满足上式，所以21nn a =-，()212122222212n n n n S n n n +-=++⋅⋅⋅+-=-=---.故答案为：122n n +-- 【点睛】本题考查累加法求数列的通项以及分组求和法求数列的和，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.16．已知双曲线22221x y a b-=（0b a >>）的左、右焦点分别是1F 、2F ，P 为双曲线左支上任意一点，当1222PF PF 最大值为14a时，该双曲线的离心率的取值范围是__________.【答案】【解析】112222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，1PF c a ≥-，分2c a a -≤，2a c a ≥-两种情况讨论，要注意题目中隐含的条件b a >.【详解】由已知，11222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，因为1PF c a ≥-，当2c a a -≤时，21121444a a PF a PF ≤=++，当且仅当12PF a =时，1222PF PF 取最大值14a， 由2a c a ≥-，所以3e ≤；当2c a a ->时，1222PF PF 的最大值小于14a，所以不合题意.因为b a >，所以22211b e a=->，所以2e >，所以2 3.e <≤故答案为：(2,3] 【点睛】本题考查双曲线的离心率的取值范围问题，涉及到双曲线的概念与性质及基本不等式，考查学生的逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.三、解答题17．某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生,对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表.成绩分组 频数[)75,80 2 [)80,85 6[)85,90 16[)90,9514[)95,1002高二（1）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；（2）在抽取的学生中，从成绩为[]95,100的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自于同一年级的概率. 【答案】（1）0.85；（2）715【解析】（1）利用1减去[)75,80的概率即可得到答案；（2）高一年级成绩为[]95,100的有4人，记为1234, , , A A A A ，高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B ，然后利用列举法即可.【详解】（1）高一年级知识竞赛的达标率为10.0350.85-⨯=.（2）高一年级成绩为[]95,100的有0.025404⨯⨯=（名），记为1234, , , A A A A ， 高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B .选取2名学生的所有可能为121314111223242122343132414212, , , , , , , , , , , , , , A A A A A A A B A B A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B ，共15种；其中2名学生来自于同一年级的有12131423243412,,,,,,A A A A A A A A A A A A B B ，共7种. 所以这2名学生来自于同一年级的概率为715. 【点睛】本题考查统计与古典概率的计算，涉及到频率分布直方图和频数分布表，考查学生简单的数学运算，是一道容易题.18．在ABC V 中，角、、A B C 所对的边分别是a b c 、、，且2B A C =+，b =. （1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值【答案】（1）4；（2）【解析】（1）由已知，易得3B π=，由正弦定理可得34c a =，再由角B 的余弦定理即可得到答案；（2）正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，所以,a A c C ==，sin )a c A C +=+，再利用两角和的正弦公式以辅助角公式可得6a c A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，即可得到最大值.【详解】（1）因为2B A C =+， 又A B C π++=，得3B π=.又3sin 4sin C A =，由正弦定理得34c a =，即34a c =， 由余弦定理2222cosb ac ac B =+-，得22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =或4c =-（舍）.（2）由正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，,a A c C ∴==，sin )a c A C ∴+=+sin()]A A B =++1sin sin sin sin cos322A A A A A π⎡⎤⎤⎛⎫=++=++⎢⎥ ⎪⎥⎝⎭⎦⎣⎦6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由203A π<<，得5666A πππ<+=，当62A ππ+=，即3A π=时，max ()a c +=.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角和的正弦公式及辅助角公式的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题. 19．在菱形ABCD 中，,3ADC AB a π∠==，O 为线段CD 的中点（如图1）．将AOD △沿AO 折起到'AOD △的位置，使得平面'AOD ⊥平面ABCO ，M 为线段'BD 的中点（如图2）．（Ⅰ）求证：'OD BC ⊥； （Ⅱ）求证：CM ∥平面'AOD ； （Ⅲ）当四棱锥'D ABCO -的体积为32时，求a 的值． 【答案】（Ⅰ）见解析. （Ⅱ）见解析. （Ⅲ） 2a =.【解析】（Ⅰ）证明OD '⊥AO ． 推出OD '⊥平面ABCO ． 然后证明OD '⊥BC ．（Ⅱ）取P 为线段AD '的中点，连接OP ，PM ；证明四边形OCMP 为平行四边形，然后证明CM ∥平面AOD '；（Ⅲ）说明OD '是四棱锥D '﹣ABCO 的高．通过体积公式求解即可． 【详解】（Ⅰ）证明：因为在菱形ABCD 中，3ADC π∠=，O 为线段CD 的中点，所以'OD AO ⊥． 因为平面'AOD ⊥平面ABCO 平面'AOD I 平面ABCO AO =，'OD ⊂平面'AOD ，所以'OD ⊥平面ABCO ． 因为BC ⊂平面ABCO ，所以'OD BC ⊥． （Ⅱ）证明：如图，取P 为线段'AD 的中点，连接OP,PM ； 因为在'ABD ∆中，P ，M 分别是线段'AD ，'BD 的中点， 所以//PM AB ，12PM AB =． 因为O 是线段CD 的中点，菱形ABCD 中，AB DC a ==，//AB DC ， 所以122a OC CD ==． 所以OC //AB ，12OC AB =． 所以//PM OC ，PM OC =．所以四边形OCMP 为平行四边形， 所以//CM OP ，因为CM ⊄平面'AOD ，OP ⊂平面'AOD ，所以//CM 平面'AOD ；（Ⅲ）由（Ⅰ）知'OD ⊥平面ABCO ．所以'OD 是四棱锥'D ABCO -的高，又S=23332228a a a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭= ,'2a OD = 因为3133'3162a V S OD =⨯⨯==， 所以2a =． 【点睛】本题考查线面平行与垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力,是基础题20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 作与x 轴垂直的直线，与椭圆的交点到x 轴的距离为32. （1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点F 的直线'l 与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上），若OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求四边形AOBE 面积S 的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【解析】（1）由12c a =，232b a =结合222a bc =+解方程组即可；（2）设':1l x ty =+，联立直线'l 与椭圆的方程得到根与系数的关系，因为OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，可得四边形AOBE为平行四边形，12122||2AOB S S OF y y =⨯-==△将根与系数的关系代入化简即可解决. 【详解】 (1)由已知得12c a =， Q 直线经过右焦点，2222231,||2c y b y a b a ∴+===， 又222a b c =+Q，2,1a b c ∴===，故所求椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）Q 过()1,0F 的直线与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上）， ∴设':1l x ty =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690t y ty ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，OE OA OB =+u u u r u u u r u u u rQ ，∴四边形AOBE 为平行四边形，122122||234AOBS OF y y t S =∴⨯-===+△1m =≥， 得2621313m S m m m==++，由对勾函数的单调性易得当1m =，即0t =时，max 32S =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆的方程、椭圆中面积的最值问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.21．设函数()2a 2xf x x alnx (a 0)x -=-+>． (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)记函数()f x 的最小值为()g a ，证明：()g a 1<．【答案】（I ）()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（II ）详见解析. 【解析】（I ）对函数()f x 求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果； （II ）由（I ）先得到()g a ，要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a--<，即证明2111ln a a a--<， 构造函数()211ln 1h a a a a=++-，用导数的方法求函数()h a 的最小值即可. 【详解】（Ⅰ）显然()f x 的定义域为()0,+∞．()()()()222242332222221x x a x x a x a x x f x a x x x x x+----++=-⋅='-+=． ∵220x +>，0x >，∴若()0,x a ∈，0x a -<，此时()0f x '<，()f x 在()0,a 上单调递减； 若(),x a ∈+∞，0x a ->，此时()0f x '>，()f x 在(),a +∞上单调递增； 综上所述：()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：()()min 1ln f x f a a a a a==--， 即：()1ln g a a a a a=--． 要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a --<，即证明2111ln a a a--<， 令()211ln 1h a a a a =++-，则只需证明()211ln 10h a a a a=++->，∵()()()22333211122a a a a h a a a a a a'-+--=--==，且0a >， ∴当()0,2a ∈，20a -<，此时()0h a '<，()h a 在()0,2上单调递减； 当()2,a ∈+∞，20a ->，此时()0h a '>，()h a 在()2,+∞上单调递增， ∴()()min 1112ln21ln20244h a h ==++-=->．∴()211ln 10h a a a a=++->．∴()1g a <． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.22．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，直线的参数方程为21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩，（t 为参数）.直线l 与曲线C 交于M N ，两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程.（2）设()2,1P --，若||,||,||PM MN PN 成等比数列，求a 和的||MN 值.【答案】（1）22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，10x y -+=；（2）10.【解析】（1）利用直角坐标、极坐标、参数方程互化公式即可解决；（2）将直线参数方程标准化，联立抛物线方程得到根与系数的关系，再利用直线参数方程的几何意义即可解决. 【详解】（1）曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，两边同时乘以ρ，可得22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，化简得24(0)x ay a =>；直线l 的参数方程为21x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），消去参数t ，可得1x y -=-，即10x y -+=.（2）直线l 的参数方程21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）化为标准式为21x y ⎧=-⎪⎪⎨='+'⎪-⎪⎩（'t 为参数），代入24(0)x ay a =>并整理得'2'1)8(1)0t a t a -+++=， 设M N ，两点对应的参数为''12, t t ，由韦达定理可得''121)t t a +=+，''128(1)0t t a ⋅=+>， 由题意得2||||||MN PM PN =⋅，即2''''1212t t t t -=⋅， 可得()2''''''1212124t t t t t t +-⋅=⋅， 即232(1)40(1)a a +=+，0a >，解得1,4a =所以2''121||81104MN t t ⎛⎫=⋅=+= ⎪⎝⎭，||MN =【点睛】本题考查极坐标与参数方程的应用，涉及到极坐标方程、普通方程、参数方程的互化，以及直线参数方程的几何意义求距离的问题，是一道容易题. 23．已知函数()|||2|f x x a x =-++. （1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|21}x x-＃；（2）[7,3]-【解析】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，分2x -≤，21x -<<，1x ≥三种情况讨论即可；（2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，则()min 5f x ≥，只需找到()f x 的最小值解不等式即可. 【详解】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，①当2x -≤时，()21f x x =-- ，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x ≥-，所以2x =-， ②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，21x ∴-<<，③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x ≤，所以1x =. 综上所述，不等式的解集为{|21}x x-＃.（2）0()|||2||()(2)||2|,f x x a x x a x a x =-++--+=+∃∈R Q …，有()050f x -…成立，∴要使()05f x ≥有解，只需|2|5a +≤，解得73a ≤≤-， ∴实数a 的取值范围为[7,3]-.【点睛】本题考查解绝对值不等式以及不等式能成立问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.。