理论力学06静力学专题_2桁架

解得杆 3、杆 6 内力分别为 F6 20 kN（拉）
F3
F2
F6
F3 15 kN（压）
F1 20 kN（压） F2 25 kN（拉） F6 20 kN（拉） F3 15 kN（压）
再截取节点 G 为研究对象
y
作受力图 取坐标轴，列平衡方程 Fiy 0 ,
10 F5 sin F3 0
J
G
D
l
l
y
Fiy 0 , FAy FB F1 cos F2 0
式中， cos l 4
h2 l2 5
sin
h 3 h2 l2 5
解得支座反力
h h
B
FB
x
FAx 9 kN
FAy 17.31 kN
FB 14.69 kN
3）计算各杆内力
注意到， FCI FOI
FBG FOG
解： 先截取节点 O 为研究
对象
作受力图
列平衡方程
Fiy 0 ,
解得
FOC sin F1 0
FOC
F1
sin
40 3
kN
y F1
O
FOG FOC
再截取 桁架的上半部分为研究对象 取分离体，作受力图 列平衡方程
ME Fi 0,
FGCl F1 2l FOC l sin F2l 2F1l 0 得 CG 杆的轴力
FCD FBD
依次研究 A、E、C、B 四个 节点即可。列表计算如下：
其中，
cos 4
5
sin 3
5
cos 2
13
sin 3
13
F2
F1
O
FAx A FAy
E
I
C
l
l
J
G
D
l
l
h h
B
FB
节点
A E
受力图
y x
平衡方程
Fx 0
FAE cos FAC FAx 0
Fy 0
FAE sin FAy 0
F7 10 kN（压）
B
三、截面法 截面法是计算桁架内力的另一种有效方法 截取部分桁架为研究对象，根据平面任意力系平衡方程计算各杆 轴力。 注意：所截取部分桁架上的未知力一般不应超过 3 个。
[例2] 试求图示桁架中杆件 1、2、3 的内力。
解： 1）计算支座反力
选取桁架整体为研究对象
作受力图
解： 1）判断零杆
F2
F1
O
E
IJ
G
A
C
D
h h
B
lG、GD、DJ、JO 均为零杆。
2） 计算支座反力
F2
F1
O
选取桁架整体为研究对象 作受力图 取坐标轴，列平衡方程。
Fix 0, FAx F1 sin 0
FAx A FAy
E
I
C
l
l
MA Fi 0, FB 4l F1 h2 l2 F2 2l 0
FGC F2 FOC sin 4 kN
◆在求解桁架时，可以联合应用截 面法与节点法，使求解趋于简捷。
F1
F2
F2
2 F1
FOC FGC FED FEB
FB
F1
F2
F2 25 kN（拉）
FB
x
F1 20 kN（压）
F2 25 kN（拉）
次截取节点 H 为研究对象
y
作受力图
FA
FB
取坐标轴，列平衡方程
12
8
4
1
x
Fix 0, F2 sin F6 0
13
11
7 9
5
6
3 2
10
Fiy 0 , F3 F2 cos 0
式中， F2 F2 25 kN
FA
12
8
4
13
11
7 9
5
6
10
1 3
2
FB
x
Fix 0 ,
F1 F4 F5 cos 0
式中， F1 F1 20 kN
F3 F3 15 kN
解得杆 5、杆 4 内力分别为 F5 8.33 kN（拉） F4 26.67 kN（压）
F4
F5
F1 F3
F1 20 kN（压） F3 15 kN（压）
节点法是计算桁架内力的一种基本方法 依次截取各个节点为研究对象，根据平面汇交力系平衡方程计算 各杆轴力。
注意：所截取节点上的未知力一般不应超过 2 个。
[例1] 试求图示平面桁架各杆件的内力。
解： 1）计算支座反力 选取桁架整体为研究对象 作受力图 由对称性，易得支座反力
FA FB 15 kN
C
1
4
3
l
A 30
30
2
D
5
B
四、几点重要说明
1. 一般应首先求出桁架的支座反力。
2. 作受力图时，应假设所有杆件均受拉。
3. 注意零杆的判断。 关于零杆的主要结论： 1）二杆节点不受外力作用且二杆不共线，则此二杆为零杆。 2）三杆节点不受外力作用且其中两杆共线，则第三杆为零杆。 3）二杆节点上有一外力作用，且外力作用线沿其中一根杆的轴 线，则另一杆为零杆。 根据以上结论，可不经计算直接判断出桁架在给定载荷作用下的 零杆。
Fx 0
FEO FEA FEC sin 0
Fy 0
FEC cos F1 0
杆件内力
(kN)
FAE 28.85 FAC 32.08
FEO 40.1 FEC 18.75
节点
C B
受力图
y
FCA
FCD x
y
x
平衡方程
Fx 0
FCI cos FCD FCA 0
Fy 0
FCI sin FCE 0
F2 25 kN（拉） F5 8.33 kN（拉）
F6 20 kN（拉） F4 26.67 kN（压）
最后截取节点 E 为研究对象 作受力图 取坐标轴，列平衡方程
Fiy 0 , 10 F7 0
y
FA
12
8
4
13
11
7 9
5
6
10
1 3
2
FB
x
解得杆 7 内力为
F7 10 kN（压）
第六章 静力学专题
一、桁架
第二节 平面桁架的内力计算
桁架是工程中的一种常 见结构，其特点为：
1）直杆铰接而成；
2）所有外力均作用于 节点上；
3）各杆均为二力杆， 即各杆只承受轴向拉力或轴向压力。
本节主要任务就是计算桁架中各杆所受的轴力，即桁架内力。
说明：在计算桁架内力时，规定拉力为正、压力为负。
二、节点法
列平衡方程，解得支座反力
FA
FB
FA
4 5
F
FB
1 5
F
2）计算指定杆件内力
用截面 m - m 将桁架分割成两部
分。 取右半部分为研究对象， 作受力图。
取坐标轴，列平衡方程
m m
MK Fi 0, F1 h FB 3a 0
F1
Fiy 0 ,
F2
h a 2 2
h2
FB
0
F2 y K F3
2）用节点法计算各杆内力 为了方便计算，对桁架各 杆编号。
B
FA
12
8
4
13
11
7 9
5
6
10
FB
1
3 2
y
先截取节点 B 为研究对象 作受力图，假设各杆均受 拉。 取坐标轴，列平衡方程
FA
12
8
4
13
11
7 9
5
6
1 3
2
10
Fiy 0 , FB F2 sin 0
Fix 0, F1 F2 cos 0 解得杆 1、杆 2 内力分别为 F1 20 kN（压）
[例4] 试判断下列桁架中的零杆。
F
F
A
1
B
2
34
5
C
E
6D 7
结论： 杆 3、杆 4 为零杆。
结论： 杆 EI、JG、GD、DJ、JO 均为零杆。
C1
B
2
A
34
5
6
7
8
D
H
GE
9 10
F
I
结论： 杆 2、5、4、3、1、9 均为零杆。
[例5] 图示屋架，已知 F1 = 15 kN，F2 = 20 kN，l = 1 m，h = 3 m。 试求各杆轴力。
Fy 0
FBG sin FB 0
杆件内力
(kN)
FCD 19.58 FCI 22.53
FBG 24.48
可将最终计算结果直接标示在桁架上 FN（kN）
[例6] 图示桁架。已知 F1 = 8 kN，F2 = 12 kN，l = 2 m，h1 = 1 m ， h2 = 1.5 m。试求 CG 杆的轴力。
F8
F4
F7
y
FA
12
8
4
13
11
7 9
5
6
10
1 3
2
FB
x
由于桁架结构及载荷均对称，故其他各杆件内力无需再进行计 算，可对称地得到，分别为
F8 F4 26.67 kN（压） F10 F6 20 kN（拉） F12 F1 20 kN（压）
F9 F5 8.33 kN（拉） F11 F3 15 kN（压） F13 F2 25 kN（拉）
FB
MG Fi 0,
5 F3 h FB 2 a 0
x
解得杆件 1、2、3 的内力分 别为