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第6章 弹性静力学的基本概念 刚体静力学研究力系的等效、简化与力系的平衡，并且应用这些基本概念和理论，分析、确定物体的受力。
刚体静力学的模型是质点和质点系以及刚体和刚体系。
弹性静力学则主要研究变形体受力后发生的变形，以及由于变形而产生的附加内力。
分析方法上，弹性静力学与理论力学刚体静力学也不完全相同。
建立在实验基础上的假定、简化计算，是弹性静力学分析方法的主要特点。
本章介绍弹性静力学的基本概念、研究方法以及弹性静力学对于工程设计的重要意义。
§6-1 弹性静力学概述 §6-2 弹性体及其理想化 ６－２－１ 各向同性与各向异性弹性体 ６－２－２ 各向同性弹性体的均匀连续性 §6-3 弹性体受力与变形特征 §6-4 应力及其与内力分量之间的关系 ６－４－１ 分布内力集度－应力 ６－４－２ 应力与内力分量之间的关系 §6-5 正应变与切应变 §6-6 线弹性材料的物性关系 §6-7工程结构与构件 §6-8 杆件变形的基本形式 §6-9 结论与讨论 ６－９－１ 关于刚体静力学模型与弹性静力学模型 ６－９－２ 关于弹性体受力与变形特点 ６－９－３ 关于刚体静力学概念与原理在弹性静力学中的 可用性与限制性 习 题 本章正文 返回总目录第6章 弹性静力学的基本概念 §６—１ 弹性静力学概述 弹性静力学(elastic statics)又称材料力学(strength of materials)，其研究内容分属于两个学科。
第一个学科是固体力学(solid mechanics)，即研究物体在外力作用下的应力、变形和能量，统称为应力分析(stress analysis)。
但是，弹性静力学所研究的仅限于杆、轴、梁等物体，其几何特征是纵向尺寸远大于横向尺寸，这类物体统称为杆或杆件（bars或rods）。
大多数工程结构的构件或机器的零部件都可以简化为杆件。
第六章 静力学专题习题解答习题6-1 如图6-1a 所示，一重980N 的物块放在倾斜角︒=30θ的倾斜面上。
已知接触面间的静摩擦因数2.0=s f 。
N F 588=的力沿斜面推物体，试问物体在斜面上处于静止还滑动？此时摩擦力为多大？解：假设物体静止，有沿斜面向上滑动趋势。
据此，作出受力图如图6-1b 所示，静摩擦力S F 沿斜面向下。
选取图示坐标轴，列平衡方程，解得N F N F N S 7.848,98==由于N N F f F F N s s S 7.1697.8482.0max =⨯==<所以，假设成立，物体静止。
此时的摩擦力N F S 98=。
习题6-2 如图6-2a 所示，已知某物块的质量kg m 300=，被力F 压在铅直墙面上，物块与墙面之间的静摩擦因数25.0=s f ，试求保持物体静止的力F 的大小。
解：（1）求保持物体静止的力F 的最大值 考虑物体处于即将向上滑动的临界平衡状态，受力图如图6-2b 所示。
列出2个平衡方程和最大静摩擦力补充方程，解得N F 13148max =考虑物体处于即将绕点A 翻到的临界平衡状态，受力图如图6-2b 所示。
由平衡方程0)(=∑F M A 得N F 6574max =所示，保持物块静止的力F 的最大值为N F 6574max =（2）求保持物块静止的力F 的最小值 考虑物体处于即将向下滑动的临界平衡状态，受力图如图6-2c 所示。
列出2个平衡方程和最大静摩擦力补充方程，解得N F 4383min =考虑物体处于即将绕点B 翻倒的临界平衡状态，受力图如图6-2c 所示。
由平衡方程0)(=∑F M B 得N F 2191min =所以，保持物块静止的力F 的最小值为N F 4383min =根据上述计算可知，保持物块静止的力F 的取值范围为N F N 65744383≤≤当N F 4383<时，物块将向下滑动；当N F 6574>时，物块将绕点A 翻倒。
习题6-3 如图6-3a 所示，两根相同的匀质杆和在端点B 用光滑铰链连接，A 、C 端放在粗糙的水平面上。
若当成等边三角形是，系统在铅直面内处于临界平衡状态，试求杆端与水平面间的静摩擦因数。
解：先选取整个系统为研究对象，作为受力图如图6-3b 所示，其中P 为杆的重力。
由对称性可得P F F CN AN ==再选取杆为研究对象，作出受力图如图6-3c 所示。
以点B 为矩心，列平衡方程060sin 602160cos ,0)(max =︒•-︒•-︒•=∑l F COS P l F F M Cs CN a 最大静摩擦力补充方程CN s Cs F f F =max联立解之，得杆端与水平面间的静摩擦因数289.063==s f 习题6-4 平面机构如图6-4a 所示，曲柄长为l ，其上作用一矩为M 的力偶；在图示位置，曲柄水平，连杆与铅垂线的夹角为θ；滑块B 与水平面之间的静摩擦因数为s f ，且s f >θtan 。
若不计构件自重，试求机构在图示位置保持静平衡时力F 的大小，已知力F 与水平线之间的夹角为β。
解：首先选取曲柄为研究对象，注意到连杆为二力杆，作出受力图如图6-4b 所示。
由平面力偶系平衡方程得︒60cos l M F A（1）求机构保持静平衡时力F 的最小值 此时滑块处于即将向右滑动的临界状态，作出受力图如图6-4c 所示，其中，=B F ︒60cos l M F A 。
列出平衡方程和最大静摩擦力补充方程，联立解之，得机构保持静平衡时力F 的最小值)cos(cos )sin()sin (cos cos )cos (sin min f f s s l M f l f m F ϕβθϕθββθθθ--=+-= （2）求机构保持静平衡时力F 的最大值 此时滑块处于即将向最滑动的临界平衡状态，作出受力图如图6-4d 所示。
列出平衡方程和最大静摩擦力补充方程，联立解之，的机构保持静平衡时力F 的最大值)cos(cos )sin()sin (cos cos )cos (sin min f f s s l M f l f m F ϕβθϕθββθθθ++=-+= 综上所述，机构在图示位置保持静平衡时力F 的取值范围为≤≤--F l M f f )cos(cos )sin(ϕβθϕθ)cos(cos )sin(f f l M ϕβθϕθ++式中，s f f arctan =ϕ。
习题6-5 凸轮推杆机构如图6-5a 所示，已知推杆与滑到间的静摩擦摩擦因数为s f ，滑道高度为b 。
设凸轮与推杆之间为光滑接触面，并不计推杆自重，试问a 为多大，推杆才不致被卡住。
解：（1）解析法 选取推杆为研究对象，设推杆处于即将向上滑动的临界平衡状态，作为受力图如图6-5b 所示，其中，F 为凸轮对推杆的推力。
这是平面任意力系，列出3个平衡方程和2个最大静摩擦力补充方程，联立解之，得sf b a 2= 故有结论，当sf b a 2<时，推杆才不致被卡住。
（2）几何法 选取推杆为研究对象，设推杆处于即将向上滑动的临界平衡状态，将接触点A 、B 处的最大静摩擦力和法向约束力均用其全约束力取代，作出受力图如图6-5c 所示。
由三方里平衡汇交定理可知，退杆所受三力F 、A F 和B F 的作用线相交于同一点O 。
根据图示几何关系有2/tan d a c f +=ϕ 2/tan d a c b f --=ϕ 联立上述两式，并注意到s f f =ϕtan ，既得sf b a 2= 习题6-6 专家的宽度为250，曲柄与在G 点铰链，尺寸如图6-6a 所示。
已知砖重120N;提起砖的力F 作用在曲柄上，期作用线与砖夹的中心线重合；砖夹与砖间的静摩擦因数5.0=s f 。
试问距离b 为多大时才能把砖夹起？解：考虑砖块处于即将下滑的临界平衡状态。
先选取砖块为研究对象，作出受力图如图6-6b 所示，由对称性和最大静摩擦力补充方程，易得N F F N F F DN AN Ds As 120,60max max ====在选取曲线为研究对象，作出受力图如图6-6c 所示，其中N F F N F F N P F AN AN As As120,60,120max max =='=='== 以G 点为矩心，由平衡方程0)(=∑F M G ,解得110故有结论，当距离mm b 110≤是才能把砖夹起。
习题6-7 尖劈顶重装置如图6-7a 所示，尖劈A 的顶角为a ，在B 快上受重力为P 的重物作用，尖劈A 与B 快间的静摩擦因数为s f ，有滚珠处表示接触面光滑。
若不计尖劈A 与B 块的自重，试求：(1)顶起重物所需的力F ；（2）去除F 后能保证自锁的顶角a 。
解：（1）求顶起重物所需的力F 考虑即将顶起重物的临界平衡状态。
分别选取B 快、尖劈A 为研究对象，作出受力分别如图6-7b 、c 所示，其中，全约束力RF '与R F 互为作用力与反作用力，全约束力与斜面法线间的夹角为摩擦角s f f arctan =ϕ。
对于图6-7b ，列平衡方程0)(,0=++-=∑f RCOS y a F p Fϕ对于图6-7c ，列平衡方程 0)(,0sin =+'+-=∑f Rx a F p Fϕ 联立解之，得 )tan(f a P F ϕ+=故有结论，顶起重物所需的力F 的大小为)tan(f a P F ϕ+>（2）求去除F 后能保证自锁的顶角a 去除F 后，B 块在重力P 的作用下，有下滑趋势，带动尖劈A 有向右滑动的趋势。
考虑即将滑动的临界平衡状态，作为尖劈A 的受力图如图6-7d 所示，根据二力平衡原理，此时的全约束力R F 必沿铅垂方向，从而得f a ϕ=。
故有结论，去除F 后能保证自锁的顶角s f f a arctan =≤ϕ此题6-8 试用节点法计算如图6-8a 所示平面桁架各杆内力。
解;首先选取桁架整体为对象(见图6-8a ），求得支座约束力KN F KN F kN F Br BY A 20,29,21===显然，杆7为零杆，96F F =.由节点法，依次选取节点A 、C 、D 、B 为研究对象，即可求出所有杆件内力。
节点A ：受力图如图6-8b 所示，列平衡方程，解得杆1、杆2的内力kN F kN F 21,7.2921=-=节点C ：受力图如图6-8c 所示，列平衡方程，解得杆3、杆4的内力kN F kN F 21,2143-==节点D ：受力图如图6-8d 所示，列平衡方程，解得杆5、杆6（杆9）的内力kN F F kN F 9,15965===节点B ；受力图如图6-8e 所示，由平衡方程0=∑y F ，得杆8的内力kN F 0.418-=在上述计算结果中，正好代表杆件受拉，负号代表杆件受压。
习题6-9 平面桁架如图6-9a 所示，已知2m ，3吗，10。
是用节点法计算各杆内力。
解：首先选取桁架整体为研究对象（见图6-9a ），求得支座约束力KN F KN F kN F Er Ey A 10,25.11,75.8-===可以判断，杆B B '、C B '、C C '与D D '为零杆;E D F CD BC AB C B B A F F F F F F D C ''''===='',,。
故有节点法，依次选取节点A 、E 、D 为研究对象，即可求出所有杆件内力。
节点A ：受力图如图6-9b 所示，列平衡方程，解得杆AB B A ,'的内力kN F kN F AB B A 67.11,58.14=-='故得杆BC C B ,''和CD 的内力KN F F F kN F F AB CD BC B A C B 67.11,58.14===-=='''节点E ：受力图如图6-9b 所示，列平衡方程，解得杆DE E D ,'的内力kN F kN F DE E D 25,75.18=-='故得杆D C ''的内力kN F F E D D C 75.18-=='''节点D ：受力图如图6-9d 所示，由平衡方程0=∑y F ，得杆D C '的内力kN F D C 0.24='在上述结果中，正号代表杆件受拉，负号代表杆件受压。
习题6-10 平行桁架如图6-10a 所示已知m l kN F 3,3==。
试用节点法计算各杆内力。
解：改梯无需求支座反力，可直接由节点法求出各杆内力。
显然，杆、为零件，依次选取节点E 、B 、D 为研究对象，即可求出所有杆的内力。
