Chapter4 联立方程模型
本章关注的目标Y 不止一个，而是多个。或者其中关注的某一目标与其它目标有内在联系，如果我们不知道其它的目标，就不可能知道要关注的目标。例如，我们要知道某一商品的市场价格，我们必须要同时知道该商品的供给曲线和需求曲线。自然也就存在多因多果的关系问题。从内生性问题角度看，某一解释变量i X 从另一方面考察可能成为Y 的结果，那么Y 就是原因，因为i X 中有Y 的成分，从而()0i E U X =不成立，产生内生性问题的第3种情形，联立性问题。
在第二章现代观点理念的陈述中，把Y 看成是一个随机向量（多个结果），所有的语言经过适当的修正，完全可以类似重复。但由于因变量Y 的个数的增加，也就带来了许多“单方程线性回归模型”不曾有的问题。本章主要讨论联立的线性系统。内容主要在理论层面有：联立方程模型的表述，各种估计和检验的假设条件，系统的可识别，以及一些专题。其中GMM 方法是本章的特色。它把2SLS 的方法又提高了一步。 一、基本概念和模型
系统：多个变量间的相互联系，一般用方程表述。线性系统则认为它们的联系是线性的。 变量：描述系统状态的基本要素。变量分成两类。一类是内生变量，含义是，一旦系统变量间的相互联系确定，这些变量的值就是完全确立的。内生变量一般是系统要关注的对象。另一类是先决变量，含义是，它们的值不是由系统直接确定。它又分成：（1）外生变量，它的值由系统的外部给定；（2）滞后的内生变量，它的值由内生变量的前期确定。有时（1）（2）不加区分，统称为外生变量。不过这两种内生变量有实质性区别，后一种滞后变量会带来内生性问题。
线性模型：系统中的变量通过线性方程或加上随机误差项联系，称为联立系统的线性模型。联立模型分成简约式（reduced formed ）和结构式（structure form ）两种：
1、简约式：每个内生变量由系统的先决变量的线性式加随机项构成，先决变量前的系数称为简约系数。
2、结构式：每个方程由内生变量和先决变量的混合线性式或加随机项构成。结构式变
量前的系数有确定的经济内涵，它们一般从理论模型简化而成。一般把结构式分成四类：
（1） 行为方程 （2） 技术方程 （3） 平衡方程
（4） 定义方程
每个结构方程中，变量前的系数称为结构参数。
系统的描述：
Y 表示内生变量，设共有G 个内生变量：1Y ……G Y
X 表示先决变量，设有M 个先决变量：1X ……M X
U 表示随机误差，误差项的个数随行为和技术方程的个数来定。
例：简单的宏观消费－投资模型： 消费方程：t t t U Y C ++=21αα
可加随机项 不可加随机项
投资方程：t t t t Y Y I εββ+-+=--)(2121 平衡方程：t t t t G C I Y ++=
则：内生变量：t C ，t I ，t Y ；先决变量： 21,--t t Y Y t G ；随机误差：t t U ,ε。 联立方程模型主要分成三类：
（1） 似无关模型（Seemingly Unrelated Regression ）(SUR 模型)
1111U X Y +=β 2222U X Y +=β
……
G U X Y G G G +=β
模型中每个方程都是简约式（reduced form ）有不同的先决解释变量和因变量，并有各自的参数值1,=g g β…G 。相关联的仅是不可观测的误差项。可以理解为系统有一个共同的环境，且系统间的因果关系由随机项构成。由此设定：
()1G |X 0g E U X =，g =1…G 。
这是一个很强的假定，意味着任意i U 与j X 不相关，弱一些的假定是：()
0X |g =g U E ，
g =1…G,仅要求g U 与g X 不相关，单方程的正确设定要求。总体上，g U 可能与其他外生
变量j X （g 不等于j ）相关，似无关的含义是指后一种含义。 （2）面板数据模型（Panel Data ）（ PD 模型）
t t t Y X U β=+，()|0,t t E U X = t =1,2…Ｔ。
这里，先决解释变量和参数值都相同。区别的仅在于t ,一般理解为不同时段，也可以是其它指标如不同组、地区、城市等，t 表示为不同的因变量，因此T 是有限的。t U 可理解为不同的因变量t 导致不同的随机误差。因为t 是一个序列关系，故t U 和s U 可以不独立，也可以不同分布等，视各种实际情况而定。
注：1、这种简单形式的面板数据模型可以看成是一类特殊的联立方程。其他各种特征的面板数据模型将在第五章中介绍。SUR 和PD 是联立方程的特殊形式，其特点为每个内生变量i Y 都可以写成单方程的多元线性回归的形式，且都是正确设定的。区别是，SUR 模型每个i Y 有自己的外生变量，而PD 则是所有t Y 都有相同的外生变量。
2、另一种介于SUR 和PD 模型的联立式称为跨方程的联立式，含义是：如果某i Y 与j
Y
中有相同的先决变量，且参数值相同，那么可将i Y 与j Y 合并成跨方程的联立式，如：
11211121112121
22 0
0 k k k X X X Y Y X X X ββ??????= ? ? ? ?????
??＋????
??21U U ，并将其看成是一个整体。 （3）同时性模型（Simultanious Equation ）(SEM)
()()()()111111Y Y X U χδ=++ ……
()()()()G G G G G G Y Y X U γδ=++
这里，()h Y 是指不包括h 在内的其它内生变量的部分（()Y Y h ?）；()h X 是指先决变量的部分（()X X h ?）；()h γ和()h δ是变量()h Y 和()h X 的参数；h U 是随机误差。即同时性模型是把每个内生变量写成其它部分内生变量和先决变量的线性式。因为SEM 模型中右边方程中含有其它内生变量，所以内生变量1
G Y Y 是同时确定的。它不能象模型（1）和（2）那样，
单独就可以确定。
如果我们能够通过线性变换把SEM 中右边的内生变量部分消去，得到它的简约式，那么SEM 也可以象SUR 和PD 那样处理。我们把SEM 左边的每个h Y 都移到方程的右边，使其得到按行排列的统一的紧凑形式：
0Y X U Γ+?+=。 这里，1
()G Y Y Y =是1×Ｇ矩阵，1()M X X X =是1×M 矩阵，且可以观测抽样；
()ij γΓ=是G ×G 矩阵，()ij δ?=是M ×G 矩阵，是未知参数；
1()G U U U =是1×Ｇ矩阵，是随机误差。
注：紧凑式也可按列排成按行的转置形式：0Y X U Γ+?+=。这里，1()G Y Y Y '=是G
×1矩阵，1()M X X X '=是M ×1矩阵，1()G U U U '=是G ×1矩阵，采取那种方式
视方便而定。
假定Γ可逆，否则内生变量Y 中的选择至少有一个是多余的，且()E U U '∑=是随机误差的协方差阵，为G ×G 的非奇异矩阵。那么模型可以方便地转化成简约式： (
)()1
1
Y X U X V --=-?Γ
+-Γ=∏+。
但是，将SEM 写成简约式面临一个问题：
当我们从简约式通过取样，得到∏的估计∏?，在什么条件下，我们可以从∏?得到Γ和?的估计?Γ
和??，称为系统的可识别问题。这个问题不是显然的，甚至有点微妙。因为Γ与?
是原模型的未知参数，有其经济含义，如果从∏
?得不到Γ和?的估计?Γ和??，∏?的估计就没有意义。这个问题我们放到后面讨论，先讨论联立方程模型的估计和检验。 二、联立方程的估计和检验
为要利用单方程的多元回归方法，我们先把联立方程中的三种形式统一处理成
Y X U β=+的矩阵形式。
（1）SUR 模型
1
11122200
00
00
G G G G X U Y X U Y X U Y X U ββββ???????? ??? ? ? ??? ?
==+=+ ?
??? ? ? ??? ??? ?????
?
。
（2）PD 模型
11T T Y X Y U X U Y X ββ???? ? ?==+=+ ? ? ? ?????
。
（3）SEM 模型
(1)(1)111(2)(2)22()()()0000()0000()G G G G G Y X U Y Y X U Y X U Y Y X U ββββ???????? ? ? ?
? ? ? ?==+=+ ? ? ? ?
? ? ? ???? ?????
?
。 这里X 是G ×K 矩阵，G 、K 视不同联立形式而定。加上下标i 表示第i 次随机抽样。
类似于单方程模型，对总体联立式Y X U β=+的OLS 估计与检验有如下假定： 假定：Sols1: ()0i i E X U '= i ?成立；
Sols2:()i i E X X A '=非奇异 i ?成立。 那么，()()1
i i i i E X X E X Y β-''=????
i ?。从总体中随机N 次抽样，由得到：
1
1111?N N P
i i i i i i SOLS X X X Y N N ββ-==????''=??→ ? ?????∑∑
写成矩阵表达，()1
?SOLS X X X Y β
-''=，此与单方程形式上一致，但矩阵Y 、X 的内涵
是不一样的。这里将i 排成列，同样用Y 和X 表示为1(,
,)N Y Y Y '=，Y 是NG ×1的矩阵，
1()i G Y Y Y '=,1(,,)N X X X '=，1
i N =。对SUR ，X 是NG ×K 的矩阵；对PD ，X 是
NT×K的矩阵。
)()
11
?0,
d N
ββ--
-??→A BA，()
i i i i
E X U U X
''
B=i?。
又记，残差?
?
i i i
U Y Xβ
=-，将i排成列得，?
?U Y Xβ
=-。那么，??
?p
X UU X B
''
B=??→。于是，β?的渐近协方差估计()
()()1
1??
?-
-'
'
'
'
=X
X
X
U
U
X
X
X
V，V?称为β?稳健的协方差估计。
且t值??()
j j NG K
se t
ββ
-
。当N很大，近似于标准正态分布。
注：1）在联立方程模型中，对误差项协差矩阵Ω＝()
i i
E U U'是没有任何限制的。故ΩI2σ
≠，仅是一个正定阵，所以SOLS方法仅能保证β?是一致的，不一定是有效的。由于Ω的复杂性，如果未知，一般SOLS方法估计的效果是很差的，只是作为其他估计方法的过渡。
2）关于检验，利用Wald统计量()()()
1
2
??
?
Q
W c q cVc c q
ββχ
-
''
=--→，秩c Q
=。对不同的问题选择适当的c和q，0:
H c q
β=，可进行β的有关线性组合的检验，不再需要任何其它假定。
2、联立方程的GLS估计与检验
SOLS估计尽管皮实，条件要求少，但毕竟有效性差。如果对随机误差项U有更强的假定条件，则可对SOLS估计做进一步的改进，称为广义最小二乘估计SGLS。
假定：SGLS1：()0
i i
E X U
?=i?，含义是
i
U中每个元素同
i
X中每个元素都不相关。?是Kronecker乘积：
11121
21222
12
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
B B B
??
?
B B B
?
A?B
?
?
B B B
??
，
?
?
?
?
?
?
?
=
A
mn
m
n
a
a
a
a
1
1
11
。A?B
的含义是对矩阵的线性变换。与SGLS1等价的条件是：()0
il k
E X U'=，,l k
?；
假定SGLS2：()
i i
E U U'
Ω=正定，且()
1
i i
E X X
-
'Ω非奇异i?。
那么对
i
i
i
i
U
X
Y+
=β，用2
1
-
Ω乘两边得，
111
222
i i i i
Y X U
β
---
Ω=Ω+Ω即
i i i i
Y X U
β
=+。
于是有，()
i i G
E U U I
'=。随机抽取样本N，对变换后新的模型
i i i i
Y X U
β
=+做SOLS，得广义最小二乘估计，记成SGLS*
β?。
*
β?＝
1
11
N N
i i i i
i i
X X X Y
-
-=
????
''
? ?
????
∑∑
＝1
111111N N p i i i i i i X X X Y N N β----=????''ΩΩ??→ ? ?????
∑∑，是一致估计。再写成矩阵式： ?β*＝()()()()Y I X X I X N
N 111---Ω?'Ω?'。 这里X 是NG ×K 矩阵，Y 是NG ×1矩阵。仍可以证明，SGLS *
β
?是N
渐近正态的。即)
()*11?0,d N A BA ββ---??→，这里()1i i A E X X -'=Ω，()11i i i i B E X U U X --''=ΩΩ
i ?。由于i U 和Ω一般未知，用SOLS 残差???i i i OLS U Y X β=-代替i U ,又由向量组的弱大数定
律（WLLN ），我们有：11?????N
P i i i U U N
='Ω
=??
→Ω∑。把?Ω作为Ω的一致估计代入到上述表达式当中，便可得到可行的广义最小二乘估计FGLS β
?： ()()()()
1
11??FGLS
N N
X I X X I
Y β---''=?Ω
?Ω
。当N 相对G 不是很大，?Ω有很差的有限样本性质。我们需要获取更多关于Ω的信息，才能得到更好的?Ω的形式。如独立性、序列相关性，等等。获取FGLS β
?的步骤： （1）Y on X 得残差?U
和?Ω、1
?-Ω； （2）再由公式()()()()
1
11??FGLS
N N
X I X X I
Y β---''=?Ω
?Ω立得?FGLS β。
)*
??(1)FGLS p
o ββ
-=，即FGLS β?与GLS β
?
性。FGLS β?与SOLS β?相比，在充分信息条件下：()()i i i i i
E u u X E u u ''=，含义是i u 中每一分量的方差和它们的协方差与i X 无关。这是系统同方差假设的一种表示。直观讲就是如果
B A =，那么FGLS β
?有更好的有效性。可得渐近方差估计： ?var()FGLS
A β=1
111??-=--??
? ??Ω'=∑N i i i X X N A 。 一般()()i i i i i E u u X E u u ''=条件太强，减弱为下面的：
假定SGLS3: ()()111i i i i i i E X U U X E X X ---'''ΩΩ=Ω ， ()i i E U U 'Ω=。
有关FSGLS ?β
的线性组合的假设检验： 一般用Wald 检验，与OLS 类似。但当SGLS1—3成立，一种类似单方程基于残差形式
的F 检验则更方便。
设对β有Q 个约束条件，i U ~
是带约束条件下的FGLS β?的残差，i
U ?是不带约束下FGLS β?的残差，?Ω
是无约束下的用SOLS 残差平方和做的估计。那么，可以证明： 11211????N N
i
i i i Q i i U U U U αχ--==??''Ω-Ω??→ ???
∑∑ 进一步，在有限样本条件下有类似残差形式的F 统计量：
()111111???????/,N N N
i i i i i i i i i NG K F U U U U U U F Q NG K Q
α---===-????'''=Ω-ΩΩ??→- ? ?
????∑∑∑ 利用F 统计量可以方便地做β的部分参数为0的检验。
注：SOLS 和SGLS 只能用于单方程是正确设定的联立方程，对SEM 由于内生性基本不能用。
FGLS 本质是解决联立方程估计的有效性问题，但需要有更多的信息条件。当Ω是对角阵时SOLS 和SGLS 没有区别。具体到SUR 或PD ，对误差项的设定还要具体分析。
3、联立方程的工具变量估计和GMM 方法
正如单方程模型会遇到内生性问题，联立方程模型更容易遇到内生性问题。特别对于SEM 模型，内生性是不可避免的。因为结构式中已包含有其它的内生变量，从而从结构式到简约式的转化中，自然也把误差项带入了其它的结构式中。由于内生性的存在，我们知道，这使得SOLS 和FGLS 是有偏和不一致的。SOLS 和FGLS 方法基本不能用。我们把单方程模型中消除内生性的工具变量法引入到联立方程模型中来，并由此引入更一般的广义矩（GMM ）方法。另外，从联立方程的可识别中，合理安排每个方程的外生变量还可以自己解决工具变量的寻找问题。
把联立模型形式的写成类似SUR 模型的形式：
1111U X Y +=β；2222U X Y +=β；……；G G G G U X Y +=β，1G K K K =++。
对每一个g ，g X 是1×g k 向量，既包含有外生变量，也包含有内生变量。从而g X 与g U 有相关性。如同单方程工具变量法一样，对每一结构方程g ，选择工具变量g Z 是1×g L 向量，它们是可观测的外生变量，且g g K L ≥，g Z 中包含单位和其中的外生变量。满足工具条件：
SIV1：()
0g g E Z U '=，1g G =；
SIV2：秩()
g
g g i
E Z X k '=，1g G =，i ?。
对任意的观测i ,用下标包装成矩阵形式：
1i i iG Y Y Y ?? ?= ? ?
??
，
1200
0000000
i G i
X X X X ??
?
?
= ? ???， ????? ??=iG i i U U U 1；???
?
? ??=G βββ 1, i i i i U X Y +=β。
相应的，1200000
0000
i G i
Z Z Z Z ??
?
?
= ?
??? L ＝G L L ++ 1。 如果g L ＝g K ，1
g G =。由假定SIV2，()g
g E Z X '非奇异，从而，()i i E Z X '是K ×K 非奇异矩阵。对i i i i U X Y +=β两边乘上i Z '，取期望得[]()1
i i i i EZ X E Z Y β-''= i ?。
对i 随机抽样，1
i N =。仍设Z 和X 是NG ×K 的样本观测矩阵。那么可得联立方程
模型的工具变量估计，1
1111?N N i i i i i i SIV Z X Z Y N N β-==????''= ???????
∑∑＝()()Y Z X Z ''-1，并由假定
SIV1，知?P
SIV β
β??→。 但是，如果K L >，那么()X Z '就不再是一个方阵，我们无法直接得到SIV β
?。或者说，我们可以在L 中任意选择K 个工具变量，选择哪K 个？回忆2SLS ，对过度识别的工具变量集1
L Z Z ，我们选择的是它们的线性组合1??K
Z Z 作为新工具变量，这事实上是对1L Z Z 进行了特殊的线性投影。
下面，我们换一种思路，即所谓的广义矩估计（GMM 汉森1982）方法。该方法的基本思
路是，如果我们引入了外生的工具变量替代了原方程的某些内生变量，那么选择原方程残差平方和最小的标准就不一定最合理。由于工具带来了“信息”，应当选择与工具变量相关的“加权”的残差平方和最小。讨论如下：
由SIV1，()0i i E Z U '=()[]0=-'?βi i i X Y Z E ，i ?。
再由大数律：
()1
10N
P
i
i
i
i Z Y X N β='-??
→∑。 但固定N ，
()1
1
0N
i
i
i
i Z Y X N
β='-=∑ ，这样的β不一定存在。退一步，选择β?，使得以
i Z '为“权”的平方和()(
)??
????-''??????-'∑∑==ββ??1
1i i N
i i i i N i i X Y Z X Y Z 取最小值。这种思想是OLS 方
法的自然推广。特别当I Z i =，就是OLS 方法。
还应当考虑误差方差对估计的不均匀影响，类似于GLS 方法，如果已知Ω的有关信息，找“权”1
2
-Ω
作为工具使得方差影响变得均匀。为此，一般的定义，找一个与工具变量和
工具变量协方差相关的矩阵作为“权”。
定义：设W ?是一个L ×L 的已知正定矩阵，令?GMM β是求解下式二次型的最优解：
()()()()11??min N N i i i i i i i i Z Y X W Z Y X Z Y X W Z Y X β
ββββ=='????'''''--=--????????????????∑∑，则称?GMM β是模型Y X U β=+的广义矩估计GMM
β?。 因为W ?正定，故有分解W ?=2
121
??W W ?，令=Y ~12
?W Z Y '，1
2?X W
Z X '=。则： ()()()()
?min min Z Y X W Z Y X Y X Y X ββββββ''????''--=--?????????
???。故得： ()(
)1
?GMM
X X
X Y β
-''=＝(
)()Y Z W
Z X X Z W
Z X ''''-??1
。可以证明，
?GMM
β是一致和渐近正态
的，且)
()
()()
1
1
?GMM C WC C W WC C WC ββ--'''-=Λ,其中()i i C E Z X '=，
)()(i i i i i i U Z Var Z U U Z E '=''=Λ，i ?。这里W 是一非随机的给定的与工具Z 的方差信息
有关的矩阵。我们补充假定：
SIV3：?{}N W 是一已知的随机矩阵序列，且有?p N
W W ??→。 特别，取?N W ＝()1
1
1111N p i i i Z Z Z Z E Z Z W N N ---=????'''=??→=?? ? ???
????
∑， 则()()1
11
?GMM
X Z Z Z Z X X Z Z Z Z Y β
---????''''''=????
。 类似于单方程的2SLS ?β
估计，故称联立的S2SLS ?β。S2SLS ?β满足SIV1—3的条件，故有一致性和渐近正态性，但不一定是渐近有效的。
下面的问题是，我们需要寻找一个更好的序列?p N
W W ??→，使得估计?GMM β具有最小方差性，称该W 为最优权矩阵。最优权矩阵的求法：
1） 设β
??是β的一个任意一致估计，大部分情况下，取β?
?是联立的S2SLS 最方便； 2） 有了β??，对每个i ，得到G ×1的残差向量：β?
???i
i i X Y U -=； 3) 再得到?N
Λ＝1
1??
??N
i
i
i
i i Z U
U Z N
=''∑，且()?()p N
i i i i i i E Z U U Z Var Z U '''Λ??→==Λ； 4）选取1W -=Λ；
补充假定SIV4：W ＝1
-Λ，()i i U Z Var '=Λ，i ?。
??N N W =Λ，则1
???GMM X ZWZ X X ZWZ Y β-????''''=????为渐近有效的GMM 估计，称为最小“卡方”估计，记成?Kai
β，或?Kai β-。 证明：因为满足SIV1—3条件下，?GMM β的协差矩阵()
()()
1
1
C WC C W WC C WC A --'''Λ=，
而满足SIV1—4条件下，?Kai
β的协差矩阵则简化为()()1
1
1C WC C C B ---''=Λ=。
要说明B 是渐近有效的，即要证A B -半正定，即要证1
1
B A ---半正定。注意到，1
122
Λ=ΛΛ正定，
()()
()1
111B A C C C WC C W WC C WC ----''''∴-=Λ-Λ
1
111111112
2
222222C C C WC C W WC C W C -----??????
''''=ΛΛ-ΛΛΛΛΛΛ ??? ???????
()1
11
2
2()
C I
D D D D C -
-
-'''=Λ
-Λ，12
D WC =Λ。
1()I D D D D -''-是幂等矩阵，它是半正定的，11B A --∴-半正定。
又，如果我们有关于工具变量与误差项乘积方差可分离的信息，一个条件期望下的充分条件是：()()i i i i E U U Z E U U ''=。令()i i E U U 'Ω= i ?。
补充假定SIV5：()()i i i i i i E Z U U Z E Z Z '''=Ω i ?。 现在用1
1?????N
i i i U U N
='Ω
=∑，β????i i i X Y U -=是S2SLS 残差。
知()i i P U U E '=Ω?→?Ω?i ?。 选取?N W ＝()
1
1111??[()]N p i i N
i i i Z Z Z I Z N W E Z Z N ---=????'''Ω=?Ω??→=Ω ?????
∑。 （注意与11?[()]i i i i
E Z U U Z --''Λ=不同）那么，在SIV1—5条件下： 3?SLS β
＝()[]
()
Y Z Z I Z Z X X
Z Z I Z Z X N N 'Ω
?'''Ω?''---11
1)?()?(。（不必记忆） 称为β的GMM 三阶段最小二乘估计，记成3?sls
β。3SLS β?是无偏、一致、渐近有效的。 注1.当条件SIV5不成立时，3SLS β?就不如最小卡方Kai-β?来得好。即使SIV5成立，3SLS β?也不一定比最小卡方Kai-β
?表现好。但现在仍多用3SLS ，部分是历史原因，另外在相对少的样本量情况下，3SLS β
?有效性比最小卡方Kai-β?表现好。 2.传统观点下，3SLS β?与上述的GMM 方法得到的3SLS β?有所不同。传统的3SLS 方法是：
1．第一阶段X on Z ,得()1
?Z Z Z X π
-''=； 2．第二阶段??i i
X Z π=，和Y on ?X ，得2SLS 残差??U 和1
1??
???N
i
i
i U
U N
='Ω=∑；
3．第三阶段对?(,)Y X 做GLS ，得β?＝1
1111?????N N i i i i i i X X X Y ---==????''ΩΩ????????
∑∑ ＝()
111?????[()]N N
X I X X I Y ---''?Ω?Ω。 注意，在SIV1－SIV3假定下，G3SLS β
?是一致的，但传统的3SLS β?不一定是一致的。 3． 联立方程模型有多种估计方法，对模型的要求是，估计精度越高，要求越高。我们
不一定要一味追求高精度。例如我们仅关注第一个结构式的1?β，那么我们仅按单方程模型要求011='U Z E 和秩111EZ X k '=就可得1β的2sls 1
?β，而不必对系统的其它方程寻找更多的工具变量。具体问题要具体分析。由于某些方程的设定采用了3SLS 方法，会导致问题复
杂化。数据、模型、计算机是为人服务的，在熟练掌握计算机软件的前提条件下，把多种估计方法加以比较，并做出合理解释。大量的实践经验是必不可少的。
具体举例略。
我们知道，1
W -=Λ是在给定工具变量集Z 下的最优权矩阵。进一步的问题是，选择满足什么条件的工具变量集是最优的。换句话说，工具变量并不是越多越好，因为太多的工具变量造成过度识别，产生非常差的有限样本性质。（减少自由度，有效性降低。）关于最优工具变量集，我们有陈述如下的定理：
最优工具变量定理：如果对某一向量集Z 满足：()0ig i E U Z =，1
g G =i ?。
即i Z 对每个结构方程都是外生的。那么，取*i Z ＝()()1
i i i Z E X Z -Ω，其中()()
i i i i Z E U U Z 'Ω=，若秩()
*i i E Z X K =，则*i Z 是最优工具变量。
该定理说明，一旦我们得到*i Z ，所有其它有关i Z 的函数作为工具变量加入是多余的。例如，GLS 方法。()0i i E U X =，且()
i i i E U U X '=Ω。那么最优工具是*1i i Z X -=Ω。问题是()i Z Ω和()
i i E X Z 的验证，如果没有更多的信息假定，我们没有更多的手段。
4． 联立方程模型的假设检验
（1）有了Kai-β?和渐近方差?()kai Avar β=()()1
11??--=???
?????'??? ??'''∑X Z Z U U Z Z X i i i i i N i 。
这里???i i i kai U Y Z β=-，有时i U ?直接用2SLS i U ?
?代替，也不受影响。 又当SIV5成立，有3SLS β?和渐近方差3?sls Avar β=()()()
()1
1
?--??
?
??
?'Ω?''X Z Z I Z Z X N 。这里
=Ω
?i
i
U U
N
'∑??1，i
U ?＝sls i i Z Y 3??β-。那么，对一切的线性约束检验问题：r R =β。
可采用Wald 统计量进行检验，其中R 是Q ×K 矩阵，且秩R ＝Q ，W 2
~Q χ。
（2）另一种类似F 检验，用残差表达的统计量。如果在约束条件下采用GMM 方法，估计易得，如约束为部分系数为零，那么更为方便。
采用最优权矩阵W ?（1W -=Λ）得到无约束的Kai-β?估计，残差为??i i i
U Y X β=-，又β是同样采用最优权矩阵W
?，但是在满足Q 个线性约束条件下得到的估计，残差为i i i U Y X β=-。可以证明，0:H R r β=为真，那么：
2
1111????~N N N
N i i i i i i i i Q
i i i i Z U W Z U Z U W Z U N χ====??''??????????''''- ? ? ? ?????????????
∑∑∑∑， 又在SIV5成立的条件下，上式可约化成：
??? ??'??? ??Ω''??? ??'-??? ??'??? ??Ω''??? ??'∑∑∑∑∑∑-=--=-N
i i i N i i i N i i i N i i i N i i i N i i i U Z Z Z U Z U Z Z Z U Z 111111???~?~2~Q χ， 其中=Ω
?i
i
U U
N
?
???1
'∑，是联立方程的2SLS β?的残差。 （3）过度识别的检验
如果工具集i Z 的个数L 大于i X 的个数K ，那么存在过度识别的问题。用统计量：
211
???N
N
i i i
i
L K i i Z U W Z U χ-=='??
''??
??
，拒绝原假设表示过度识别。
注：W
?必须是最优权矩阵。 三、联立方程模型的可识别
回忆在2SLS 的理论中，要求选择工具变量Z 满足秩()L Z Z E ='，L K ≥。否则β就
有可能不能识别，即不一定能得到IV β
?。这种问题在联立方程模型中，由于内生变量允许在其它方程中出现，存在的可能性几乎肯定，而且表现复杂。
例：供给方程：t t S
t P Q εα+=
需求方程：t t D t P Q ξβ+= 其中，βα≠。平衡方程：S
t Q ＝D
t Q 。
那么t P ＝()()1/V t t =--βαεξ，t Q ＝()()2/V t t =--βαβεαξ
由于t ε和t ξ是随机变量，故1V ，2V 不可观测。我们无法得到内生变量t P ，t Q 的结构参数βα,的任何信息。现在，在需求方程中引入外生变量收入Y ，且可观测。考虑：
t t t D t Y P Q ξβββ+++=321， 03≠β。那么可解得：
t P ＝11211V Y t ++ππ， t Q ＝22221V Y t ++ππ。
得到：()0/22312≠--=αββπ，()0/222322≠--=αβαβπ。
由于t P ，t Q ，t Y 可观测，通过OLS 方法可求得参数估计：11?π
，12?π，21?π，22?π。又由于112211παπα-=，这意味着供给方程是可识别的。因为供给方程中不包含有外生变量Y ，它的信息可对供给方程提供帮助，但需求方程仍无法识别，没有系统的外生信息可以利用。如果再引入外生变量税收t T ，且放到供给方程中：
供给方程：t t t S
t T P Q εααα+++=321 需求方程：t t t D
t Y P Q ξβββ+++=321；
则可解得：t P ＝1131211V T Y t t +++πππ，t Q ＝2232221V T Y t t +++πππ。
同样通过OLS 方法可得：???
?
??=232221
131211
?πππππππ，
并通过π?，可等到 结构参数α和β。但是，不是在供给方程中加入税收t T ，而是在需求方程中再加入新的外生变量，如金融资产t F ，那么供给方程就会多增加一个外生信息来源的选择，而需求方程仍没有外生信息来源可利用。
可见，联立方程模型的结构式的某方程的参数可识别与其它方程引入的外生变量和本方程的内生变量的个数有一定关系。
一般，识别问题的提法如下：
定义：设联立方程结构式为0Y Z U Γ+?+=，如果能从联立方程模型的简约式
Y Z V =∏+的估计?∏
中得到结构式的参数Γ和?的估计?Γ和??，则称联立方程模型是可识别的，否则称为不可识别的。又如果可识别的结构参数存在唯一的取值，就称模型是恰好
识别的，否则称为过度识别的。 注：模型不可识别，指的是联立方程中有某一方程无法从简约式得出该方程的所有结构参数，如例中的需求方程。过度识别则是得到的结构参数值不唯一。这就意味着，过度识别的模型有一个取优的问题。如前述的GMM 方法。
现在，为要使联立方程模型可识别，当且仅当每个结构方程可识别，无妨考察第一个结构方程可识别的必要条件。
从Y 的结构式0=+?+U Z YP ，把第一个结构方程形式的写为：
()()()()()()()()111111111U X U Z Y Y +=++=βδγ。这里(1)Y 是1×1G 的，1G 是方程中内生
变量的个数，(1)Z 是1×1M 的， 1M 是方程中外生变量的个数。又记11K G =+1M ；
又从Y 的简约式Y Z V =∏+得到1Y 的关系式为()()111V Z Y +=π， ()01='V Z E 。这里Z 是已选择好的M 个所有外生变量作为工具变量。
又定义M ×1M 选择矩阵()1S ，它由0和1两元素构成，使得：()()11ZS Z =成立。所以，(1)(1)(1)(1)(1)(,)(,)X Y Z Y ZS ==。对第一个结构方程作为单方程是可识别的，由IV 条件：秩()11()E Z X K '=，()1()0E Z V '=。()1()E Z X '∴＝()()11(,)EZ Z ZS π'＝()()()
(1)1,E Z Z S π'，由秩1()E Z Z M K K '=≥≥，∴秩()()11(,)s π＝111K M G =+。即()()11(,)s π是列满秩的
1K M ?矩阵。∴11M G M +≥ ? 11G M M ≥-，于是得到：
定理1：可识别的阶条件（必要条件）
第i 个结构方程中，不包含在方程i 中的外生变量的个数i M M -必须大于等于方程右边内生变量的个数i G ，1
i G =。
接下来讨论充分条件。
可识别的阶条件并不充分，可以举出满足阶条件，但不可识别的例子。问题的提法是，什么条件下能从Y 的简约式能回到结构式？我们先看结构式与简约式的关系：
结构式0Y Z U Γ+?+=，()
g U U U 1=是1×G 的向量误差项，Γ是G ×G 矩阵，? 是M ×G 矩阵。假定：Γ非奇异，()E U U '∑=。那么，可解得：
()()
V Z P U P Z Y +∏≡-+?-=--11。
这里∏＝()
1--?Γ，V ＝()
1U --Γ，又令11
EV V --'
'Λ==Γ∑Γ。如果0='V Z E ，且秩()E Z Z M '=，那么由SOLS 方法和随机抽样，可以得∏和Λ的一致估计。问题是，从∏和Λ能否回到结构参数矩阵Γ，?和∑？条件显然不够。因为结构式乘上任意非奇异G ×G 矩阵F ，得()()0Y F Z F UF Γ+?+=，即***0Y Z U Γ+?+=。它与原结构方程
0Y Z U Γ+?+=它们是同解方程，有等同的简约式。由F 的任意性，此意味着有2G 个参
数是自由的，又由于非奇异限制，加上误差项方差阵∑的有关信息，2
G 个限制还可以减弱。于是，必须对模型中Γ，?和∑有所限制，一般归结为以下四种：
1．归一化约束：（normalization restriction ）
()()()0=++i i i U Z Y δγ，即11110i iG G i iM M i Y Y Z Z U γγδδ++++++=。限制第i 个结
构式系数1ii γ=-。将i Y 移到右边，与()()()()()i i i i i i Y Y Z U γδ=++相对应。称为是归一化的约束。这共有G 个约束条件，是一个自然约束。
2．同方程参数线性约束（homogeneous liner restriction ）
令()()()???
?
??=i i i δγβ是一个（G+M ）×1的向量结构参数，且()i β满足归一化约束条件，从而()i β有G ＋M －1个未定参数，假定关于()i β的先验知识可以写成线性约束的形式：()()0=i i R β，1i G =。()i R 是i J ×（G ＋M ）的已知矩阵， i J 是关于()i β的约束数，并假定秩()i R ＝i J 。 例：一个三方程的联立系统：G ＝3和M ＝4。设第一个结构方程为：
11221331111221331441Y Y Y Z Z Z Z U γγδδδδ=++++++。那么：()()'
-=13121,,1γγγ，
()()'=141312111,,,δδδδδ，()()()()'=111,δγβ。如果设定一个常数项，那么11=Z ，又假定对
()1β的约束有：012=γ和31413=+δδ，那么i J ＝2,且()???
?
??=11000030000010i R ，
从而()()()03,14131211='
-+=δδγβR 为满足对()1β的同方程线性约束条件。
现在令B Γ??
= ????
是（G ＋M ）×G 矩阵，则()i β就是B 的第i 列，又记()1
G F f f =，
BF B =*。则*B 的第i 列()i *β就是i Bf 。限制()()0=*i i R β?()()()()0==i i i i f B R Bf R 。
这是齐次线性方程组。例如，对第一个结构式方程，如果()11Bf =β可识别，意味()1β的参数是确定的。因此，齐次方程组()()
011=f B R 只有唯一的基础解系()'
=0,0,11 e 。又由于
()B R 1有G 列，从而加在B 上的限制()1R 使得()1β可识别的充分必要条件是秩()11R B G =-。
定理2：（可识别的秩条件）
满足归一化条件的结构方程i 的参数()i β是可识别的，当且仅当加在()i β上的同方程线性约束()()0=i i R β满足秩()1i R B G =-。
因为B 有G 列，且秩B G =（列满秩，否则设定B 的某列参数无意义）。所以，我们必有秩()1-≥G R i ，设秩()i R ＝i J ，于是，我们得到另一种表述的阶条件。 定理3：（可识别的阶条件）
联立方程第i 个结构式可识别的阶条件是，加在第i 个结构式上参数的约束个数i J 必须大于等于G －1.
从而1i J G <-，则第i 个结构式是不可识别的，1i J G >-，则第i 个结构式是过度识别的。 例：（满足阶条件但不满足秩条件，不可识别的例）
13131113132121U Z Z y y y ++++=δδγγ
21211212U Z y y ++=δγ
33113223333443y Z Z Z Z U δδδδ=++++
其中11=Z （为截距项），0,1,2,3g EU g ==，3G =且4M =。
对第一个结构方程，按归一化约束，设111-=γ和012=δ，014=δ，方程右边的内生变量有两个，但不含的外生变量也有2个，∴第一个结构方程满足阶条件。
再检查秩条件。 ()(1)121311141,,,βγγδδ'
=-的限制条件是012=δ和014=δ，于是，
()?
??
?
??=100000000100001R ∴()???? ??=3424143222121δδδδδδB R 又从第二个结构式知：022=δ，024=δ。
∴()????
?
?=343210000δδB R ， ∴秩()11=B R ，不满足秩条件12G -=。
故第一个结构方程不可识别。又第2个结构方程可识别的条件为013≠δ或013≠γ，
3Z 或3y 作为1y 的工具变量。第3个结构式不含内生变量是自然可识别的。
3． 跨方程的参数约束（Cross equation restriction ）
前述讨论结构参数的约束都在同方程中，毫无疑问，如果结构参数的约束是跨方程的，也将为可识别问题提供帮助。我们不一般讨论跨方程的约束的问题，因为太复杂。这里只是通过举例说明：
13132121112121U Z Z Z y y ++++=δδδγ （1）
22221211212U Z Z y y +++=δδγ （2）
满足1Z 、2Z 、3Z 与1U 、2U 不相关，1Z 可以是常数项，无任何其它先验信息。则第一结构式是不可识别的，且第二个结构式当且仅当013≠δ是恰好可识别的。
现在考虑一个跨方程的约束条件：假定1222δδ=。意味着解释变量对因变量1y 和2y 的
解释作用是等同的。于是由（2），3Z 作为1y 的工具变量，用2SLS ，可得到22
?δ，再对error Z Z y Z y +++=-3
131112122221?δδγδ；用2Z 作为2y 的工具变量，只要2212δδ=0≠用2SLS ，可得到12?γ，11?δ，13
?δ，且估计是一致的。从而（1）可以识别。但是，用这种单方程方法得到的协方差估计()
?cov i β和12?γ，11?δ，13?δ标准差估计12?()se γ，11?()se δ，13?()se δ，由于初始估计22δ的影响，可能不是渐近有效的，这会影响到检验。解决的办法是：把跨方程约束1222δδ=代入，将原联立方程改写成如下形式：
???
? ??+???? ??=???? ??2111
2
3212
210
00U U Z y Z Z Z Z y y y β，()'
=212113121112δγδδδγβ，
参数22δ不再在方程中出现。选择工具矩阵???
?
?
?=?32
1
32
1
20
000Z Z Z Z Z Z Z I ，即用所有的外生变量作为每一个方程的工具变量，采用联立方程的GMM 方法或3SLS 方法可得一致、有效的估计。
4、协方差约束（Covarionance Restriction ）
联立方程中误差项之间的有关信息也能为系统识别提供帮助，请看两例：
例1：131********U Z Z y y +++=δδγ （1）
23232221211212U Z Z Z y y ++++=δδδγ （2）
如果022≠δ，则（1）是恰好可识别的，（2）是不可识别的。现在假定对误差项1U 、2U 有协方差限制：),cov(21U U ＝12()0E U U =,设∑＝)(U U E '，则从限制知∑是对角矩阵。
由于（1）可识别，从而可得到12γ，11δ，13δ的一致估计，并由此可得到1U 的一致估
计1?U 。由已知1?U 与2U 不相关，且1?U 与1
Y 必定偏相关，因此我们可以用1Z ，2Z ，3Z ，1?U 作为1y 的工具变量估计（2）。所以（2）也是可识别的。我们可以用2个2SLS 来完成估计。
步骤：1。用1Z ，2Z ，3Z 为2y 的工具变量对（1）做2SLS ，并得到残差1
?U ； 2．用1Z ，2Z ，3Z ，1
?U 为1y 的工具变量对（2）做2SLS 。
渐近正态性。因为1
?U 是一个广义工具
变量，涉及到非线性的问题，需要加强条件。（请参阅伍书P194－195）
例2：完全迭代（递归）的系统模型（fully recursive system ）
1111U Z y +=δ (1)
221212U Z y y ++=δγ (2)
……
21211111U Z Z y y G G GG y G G +++++=--δδγγ (G)
系统中，如果限制假定cov(,)0g h U U =，h g ≠?。那么，从（1）开始做OLS ，得到1?y ；代入到（2）,满足OLS1和OLS2的条件，（2）再做OLS ，得到2?y
；如此下去，可得到迭代系统是可识别的，且估计是一致的。但是，OLS 方法得到的估计有效性较差，特别是方程个
数G 很大。
注：协方差约束常用在向量时间序列()SVAR 的分析中，因为没有其他的外生变量加入到
SVAR 中。
最后举一个例：
同时考虑已婚工作妇女的劳动供给条件，与工资方程一起建立联立结构模型：
121011121314151ln()66hours wage educ age kidslt kidsge nwifeinc u γδδδδδδ=+++++++ 221202122232ln()exp exp wage hours educ er er u γδδδδ=+++++。
假定(,,6,6,)0i E U educ age kidslt kidsge nwifeinc =，这里6kidsge 是6至18岁孩子个数，
nwifeinc 是非劳动收入。
注意，认为过去的经验对当年工作小时没有影响，常被劳动经济学采用。故exp er 和
2exp er 不在供给方程中出现。又供给方程只有一个内生型变量，所以供给方程是含有一个
过度识别的方程。又,6,6,age kidslt kidsge nwifeinc 不在需求工资方程中出现，且需求也只有一个内生性变量，所以需求方程是含有3个过度识别的方程。
对第一个劳动供给方程，先不考虑内生性问题，做OLS 。然后利用第二个方程的所有外生变量作为工具做2SLS ，加以比较。数据来源是MROZ.RAW ，样本是428个已婚工作妇女的年工作小时。以下是回归结果：
:SOLS (54.22)
?17.41ln()hours wage =-+
; 2:S SLS (480.74)
?1544.82ln()hours
wage =++
。
关于SOLS ，尽管ln()wage 统计显著，但负号明显不符合实际意义。有内生性，估计不一致，SOLS 不能用。关于2S SLS ，ln()wage 的回归系数是1544.82单位小时。在样本平均
值处，hours =1303。得到弹性 1.2ε=。此说明，工资每增长1%，工作小时会增长1.2%。
估计仍然偏大。因此，2S SLS 也不满意。关于检验，用2SLS 残差1?u
对所有外生变量回归，得120.002u R =，因此得1
2
428*0.0020.856u LM NR ==≈，P 值0.355≈。不能拒绝过度识别。又在第二个工资方程中，关于工具,6,6,age kidslt kidsge nwifeinc 的联合F 检验，P 值仅为0.0009。应拒绝0()H 变量为0的假设，工具变量选择有意义。另外，2SLS 回归结果hours 的系数为0.00016，标准差0.00022se 。通不过t 检验，第二个方程应去掉hours 项。没有内生性，第二个方程直接用OLS 方法。
有意思的是，如果建模不是联立式，而是按均衡方式直接给出供求相等的回归模型：
222202122232ln()exp exp hours wage educ er er u γδδδδ=+++++，同样选工具
,6,6,age kidslt kidsge nwifeinc 左联合的F 检验，P 值则为0.46。不能拒绝0()H 变量为0
的假设，工具变量选择没有意义。因此，供求相等的回归模型不可识别。方程没有意义。所以，建模选择适当的规范也是很重要的。
以上分析，希望直接上机练习来实现，并进一步考虑用GMM 最优权方法或3S SLS 方法来实现，并加以比较。 注：弹性的定义，()()
d hours d wag
e hours wage
ε=
，由()(ln )1544.82d hours d wage =，所以，
在hours =1303处，弹性1544.82
1.21303
ε=≈。
第四章小结：
这章也是基础性的，尽管内容很多，但不强调记忆什么公式。应掌握以下理论要点： 1、 联立方程模型实质是如何表达()1
1
|G M E Y Y X X ？它有三种基本表达形式：
a) SUR Model;
b) Panel data Model; c) SEM Model 。
2、 联立方程模型的估计和检验
1． 联立方程模型可以对每个单方程进行估计，方法有OLS 、FGLS 、2SLS ；也可以整体
的进行估计，方法有SOLS 、SFGLS 、S2SLS 、GMM 、3SLS ； 2． 选择什么样的估计方法？能简单的尽量不要复杂。但我们常常需求在稳健和有效之
间做出取舍。一般，单方程估计稳健性较好，但如果模型设定就有问题，或工具变量选择不当，产生内生性或误差传递，导致估计不一致或有效性很差，反而适得其反。一致性是必须坚持的原则。
3． 联立方程模型还要为可识别损失估计的有效性。特别是在模型中通过引入非线性的
内生变量作为工具变量，将使问题的讨论变得复杂。一般，首先是选择系统中所有的外生变量作为每个单方程中的工具变量。避免用非线性内生变量作为工具变量，如跨方程约束或协差矩阵约束。
4．有了各种β?的一致估计和方差矩阵
()β?
cov的一致估计，原则上用Wald统计量。特
定条件下，可用残差表达形式。也可基于回归方式的拉格朗日得分检验。
3、联立方程模型的可识别
1．如果某单方程右边不存在内生变量，那么该方程就不存在可识别的问题；
2．如果某单方程右边存在有内生变量，那么可通过在其它方程中增加外生变量，使得该单方程可以识别。所以，一个联立方程可识别，就是要“合理”的配置外生变量；
3．从联立方程中可以看出，单方程的内生性问题，实质是方程某解释变量是系统中的内生变量，它们在系统中相互影响，同时决定。从数据上看，内生性就是某解释变
量的信息不能得到充分的表达。这些受到限制的数据自然成为不可“观测”的部分
进入到误差项中；
4．从单方程看不可识别的方程，可以从其它可识别的方程中获取信息得到帮助，如跨方程约束，协方差的约束等，使其变得同样可识别。
附：联立方程模型的Matlab编程举例，一个小型的宏观经济模型：（暂略）
联立方程模型 一、概念： 联立方程模型系统将变量分为内生变量和外生变量两大类。 由系统决定的，同时也对模型系统产生影响，它会受到随机项的影 响。一般都是经济变量。每一个内生变量的值都要利用模型中的全 部方程才能决定。 外生变量：是不由系统决定的变量，是系统外变量，取值由系统外决定。一般是确定性变量，或者是具有临界概率分布的随机变量，其参数不是 模型系统研究的元素。外生变量影响系统，但本身不受系统的影响。 外生变量一般是经济变量、条件变量、政策变量、虚变量。 先决变量：外生变量和滞后内生变量 注：联立方程模型中有多少个内生变量就必定有多少个方程 ：根据经济理论和行为规律建立的描述经济变量之间直接结构关系 的计量经济学方程系统称为结构式模型。 结构方程的正规形式：将一个内生变量表示为其他内生变量、先 决变量和随机干扰项的函数形式 完备的结构式模型：g个内生变量、k个先决变量、g个结构方程 行为方程：描述变量之间经验关系的方程，含有未知的参数和随 机扰动项。例如：凯恩斯收入决定模型中的消费函数 制度方程：由法律、制度、政策等制度性规定的经济变量之间的 函数关系，如税收方程。 恒等式：定义方程式和平衡方程。 简化式模型：用所有先决变量作为每个内生变量的解释变量所形成的模型。 参数关系体系：描述简化式参数与结构式参数之间的关系。
二、识别 方程之间的关系有严格的要求，一个方程模型想要能估计，必须可识别。 ∴进行模型的估计之前需要判断模型是否可以识别（即是否能被估计）。 1、识别的基本定义：是否具有确定的统计形式。 注：识别的定义是针对结构方程而言的。 模型中每个需要估计其参数的随机方程都存在识别问题。 如果一个模型中的所有随机方程都是可以识别的，则认为该联立方程模型 系统是可以识别的。反之不识别。 恒等方程由于不存在参数估计问题，所以也不存在识别问题。但是，在判 断随机方程的识别性问题时，应该将恒等方程考虑在内。 恰好识别：某一个随机方程只有一组参数估计量 过度识别：某一个随机方程具有多组参数估计量 方程的线性组合是否得到的新方程具有与消费方程相同的统计形式，决定了方程也是否是可以识别的。 2、如何修改模型使不可识别的方程变成可以识别 （1）或者在其它方程中增加变量； （2）或者在该不可识别方程中减少变量。 （3）必须保持经济意义的合理性。 3、识 别条件 结构式: B ΓN Y X +=
? 陈强,《高级计量经济学及Stata 应用》课件，第二版，2014 年，高等教育出版社。 第 24 章联立方程模型 24.1 联立方程模型的结构式与简化式 经济理论常常推导出一组相互联系的方程，其中一个方程的解释变量是另一方程的被解释变量，这就是联立方程组。 例农产品市场均衡模型，由需求函数、供给函数及市场均衡条件组成，参见第10 章。 例简单的宏观经济模型，参见第10 章。 1
2 ? 即使我们只关心单个方程，但如果该方程包含内生解释变量， 则完整的模型仍然是联立方程组。 由M 个方程构成的联立方程模型的“结构式”(structural form)： ? γ11 y t 1 + γ 21 y t 2 + + γ M 1 y tM + β11x t 1 + + βK 1x tK = εt 1 ? γ y + γ y + + γ y + β x + + β x = ε ? 12 t 1 22 t 2 M 2 tM 12 t 1 K 2 tK t 2 ? ??γ1M y t 1 + γ 2M y t 2 + + γ MM y tM + β1M x t 1 + + βKM x tK = εtM {y ti }为内生变量，{x tj }为外生变量，第一个下标表示第t 个观测值 (t = 1, , T )，第二个下标表示第i 个内生变量(i = 1, , M )，或第 j 个 外生变量( j = 1, , K )。
内生变量的系数为{γik }，其第一个下标表示它是第i 个内生变量的系数，而第二个下标表示它在第k 个方程中(k =1, , M )。 外生变量的系数为{βjk }，其第一个下标表示它是第j 个外生变量的系数，而第二个下标表示它在第k 个方程中。 结构方程的扰动项为{εtk }，其第一个下标表示第t个观测值(t =1, , T )，而第二个下标表示它在第k 个方程中。 “完整的方程系统”(complete system of equations)要求，内生变量个数等于方程个数M 。 将上述方程组写成更简洁的“横排”矩阵形式 3
第四章联立方程计量经济学模型 一、填空题： 1.在联立方程结构模型中一个随机变量可能在结构方程中是因变量，而在另一个结构方程中又是解释变量。于是造成__________，违背了OLS的基本假定。 2.在联立方程模型中，__________既可作为被解释变量，又可以在不同的方程中作为解释变量。 3.在完备的结构式模型中，独立的结构方程的数目等于__________，每个__________变量都分别由一个方程来描述。 4.在联立方程结构模型中，模型中的结构方程可以分类为__________和__________，在对模型结构式进行识别时，只需要识别前一种方程。 5.如果某一个随机方程具有__________组参数估计量，称其为恰好识别；如果某一个随机方程具有__________组参数估计量，称其为过渡识别。 6.联立方程计量经济学模型的估计方法有__________估计方法与__________估计方法两大类。 7.单方程估计方法按其原理又分为两类____________________和__________。 8.二阶段最小二乘法是__________和__________的结合。 9.联立方程计量模型在完成估计后，还需要进行检验，包括__________检验和__________检验。 10.联立方程计量模型的系统检验主要有__________检验、__________检验、__________检验和__________检验。 11.在联立方程计量经济学模型的单方程估计方法中，参数估计量
1001000000)(())()((Y X X X Y X X B ''=??? ?????Γ*-*ΛΛ为__________估计方法的结果； 110000))((Y X X Y X B ''=??? ?????Γ-ΛΛ为__________估计方法的结果； 1001000000)(())()((Y X Y X Y X Y B ''=????????ΓΛ-ΛΛΛ__________估计方法的结果。 12.将下面的二阶段最小二乘法和间接最小二乘法的参数估计结果等价的证 明补齐。 证：显然只需证明 )())()((0010000''Λ-ΛX Y X Y X Y =X X Y X ''-100))(( 两端同时左乘))((00X Y X '，则有 ______________________________X '= 两端同时右乘)(00X Y ，则有 __________=__________ 二、单选题： 1.（）是具有一定概率分布的随机变量，它的数值由模型本身决定。 A.外生变量 B.内生变量 C.先决变量 D.滞后变量 2.在联立计量模型中，被认为是具有一定概率分布的随机变量是（）。 A.内生变量 B.外生变量 C.虚拟变量 D.先决变量 3.先决变量是（）的合称。 A.外生变量和滞后内生变量 B.内生变量和外生变量
Chaper5 面板数据模型 在联立方程模型中，我们已接触到面板数据模型，它仅是作为一种特殊的联立模式来讨论的。不同时间，到不同个体不加区别，仅是一种普通样本，采用POLS 方法处理。不同时间段和不同个体的特征没有考虑，而这些特征往往有明确的经济背景。本章以存在不可观测效应（Unobserved effect ）的现代观点重新阐释面板数据模型。 不可观测效应的含义是，从不同时间抽取的样本数据中，存在一个相对时间不变的不可观测的因素，称为异质性。例如，样本个体选择家庭而言，认知、动机、遗传等；样本个数选择企业而言，管理水平，创新能力等。如何处理这些潜在因素？除了前述的代理变量和多指标工具变量法外，合理应用面板数据的特征就是本章讨论的问题。此外，面板数据作为截面数据和时间序列数据动态混合，能反映模型的动态结构，故也可作为分析的内容加以讨论。深入的分析面板数据是学习时间分析之后，本章只是一个初步。合理运用面板数据，能给我们带来很多有意义的统计信息和模型。请看例： 例1：职业培训的评价: 欲评价培训的效果，（或实施某一政策的效果），一个标准的评价模型是： it i it it t it U C prog Z y ++++=1δγθ 这里t 为二期，t=1,2; t θ表示随时间变化的项，it Z 是可观察的影响因素Y 的随机变量；it prog 是虚拟变量，参加第二期培训为1,其它为0；i C 为个人是否选择接受培训的选择，它是不可观测的，是一个与个人相关的与t 无关的潜在因素。又为了消除政策因素外的其它影响，又在每个时间段中将Y 分成控制组B 和对照组A 两部分。在t=1,无人处在控制组，在t=2，部分人处在控制组部分人处在对照组。并再设置一个虚拟变量2d ，表示如t=2，处在控制组为1, 其余为为0。模型构成为： it i it it t t it U C prog Z d y +++++=12δγβθ， 则参数1δ就反映了政策因素对Y 的贡献。检验： 0H ：1δ＝0.接受0H 说明培训效果不是很显著。
第10章联立方程模型 一、单选 1、如果联立方程中某个结构方程包含了所有的变量，则这个方程为（） A、恰好识别 B、过度识别 C、不可识别 D、可以识别 2、下面关于简化式模型的概念，不正确的是（） A、简化式方程的解释变量都是前定变量 B、简化式参数反映解释变量对被解释的变量的总影响 C、简化式参数是结构式参数的线性函数 D、简化式模型的经济含义不明确 3、对联立方程模型进行参数估计的方法可以分两类，即：( ) A、间接最小二乘法和系统估计法 B、单方程估计法和系统估计法 C、单方程估计法和二阶段最小二乘法 D、工具变量法和间接最小二乘法 4、在结构式模型中，其解释变量( ) A、都是前定变量 B、都是内生变量 C、可以内生变量也可以是前定变量 D、都是外生变量 5、如果某个结构式方程是过度识别的，则估计该方程参数的方法可用（） A、二阶段最小二乘法 B、间接最小二乘法 C、广义差分法 D、加权最小二乘法 6、当模型中第i个方程是不可识别的，则该模型是( ) A、可识别的 B、不可识别的 C、过度识别 D、恰好识别 7、结构式模型中的每一个方程都称为结构式方程，在结构方程中，解释变量可以是前定变量，也可以是( ) A、外生变量 B、滞后变量 C、内生变量 D、外生变量和内生变量 8. 在完备的结构式模型 A、Y t B.Y t – 1 C.I t D.G t 9. 在完备的结构式模型 A.方程1 B.方程2 C.方程3 D.方程1和2 10.联立方程模型中不属于随机方程的是（） A.行为方程 B.技术方程 C.制度方程 D.恒等式 11.结构式方程中的系数称为（） A.短期影响乘数 B.长期影响乘数 C.结构式参数 D.简化式参数 12.简化式参数反映对应的解释变量对被解释变量的 A.直接影响 B.间接影响 C.前两者之和 D.前两者之差 13.对于恰好识别方程，在简化式方程满足线性模型的基本假定的条件下，间接最小二乘估 计量具备（） A.精确性 B.无偏性 C.真实性 D.一致性 二、多选 1、当结构方程为恰好识别时，可选择的估计方法是（） A、最小二乘法 B、广义差分法 C、间接最小二乘法 D、二阶段最小二乘法 E、有限信息极大似然估计法 2、对联立方程模型参数的单方程估计法包括( ) A、工具变量法 B、间接最小二乘法 C、完全信息极大似然估计法 D、二阶段最小二乘法 E、三阶段最小二乘法
第六章 联立方程计量经济学模型案例 1、下面建立一个包含3个方程的中国宏观经济模型，已经判断消费方程式恰好识别的，投资方程是过度识别的。对模型进行估计。样本观测值见表6.1 01211012t t t t t t t t t t t C Y C u I Y u Y I C G αααββ-=+++?? =++??=++? 表6.1 中国宏观经济数据 单位：亿元 （1） 用狭义的工具变量法估计消费方程 选取方程中未包含的先决变量G 作为内生解释变量Y 的工具变量，过程如下：
结果如下： 所以，得到结构参数的工具变量法估计量为： 012???582.27610.2748560.432124αα α===，， （2） 用间接最小二乘法估计消费方程 消费方程中包含的内生变量的简化式方程为： 1011112120211222t t t t t t t t C C G Y C G πππεπππε--=+++?? =+++? 参数关系体系为：
11121210012012122000 παπαπααππαπ--=?? --=??-=? 用普通最小二乘法估计，结果如下： 所以参数估计量为： 101112???1135.937,0.619782, 1.239898π ππ=== 202122???2014.368,0.682750, 4.511084π ππ=== 所以，得到间接最小二乘估计值为： 12122??0.274856?π α π ==
211121????0.432124α παπ=-= 010120????582.2758α παπ=-= （3）用两阶段最小二乘法估计消费方程 第一阶段使用普通最小二乘法估计内生解释变量的简化方程，得到 1?2014.3680.68275 4.511084t t t Y C G -=++ 用Y 的预测值替换消费方程中的Y ，直接用OLS 估计消费方程，过程如下：
第五章 联立方程组模型的估计 第一节 概述 一、联立方程的概念 在实际经济活动中，变量之间不仅仅是存在单项的因果关 系。还会存在如下的情况：第一，由于两个变量之间存在双向因果关系，用单一方程模型就不能完整的描述这两个变量之间的关系。第二，为全面描述一项经济活动只用单一方程模型是不够的。这时应该用多个方程的组合来描述整个经济活动。这样的例子比如市场均衡模型（具体内容是什么）宏观经济学中的国民收入模型（具体内容是什么）。这类问题涉及的就是联立方程模型的问题。 简单来讲， 联立方程模型就是描述变量间联立依存性的方程体系。 比如如下的简单的宏观经济模型： ()C Y T I Y Y C I G αβγδ=+-??=+??=++? 在这个模型中，有三个方程，一个消费方程，一个投资方程
和一个均衡方程。比较这个由三个方程组成的一个经济模型和前边我们已经学过的由一个方程组成的经济模型。我们能够发现什么呢（1、从变量所处的位置上来看；2、从变量的分类上看；3、从变量之间的经济含义上看） 二、模型中变量的分类 1、内生变量：（由模型内变量所决定的变量）其数值是在所考虑的经济系统模型本身内所决定的，它一般是被解释变量（在其他的方程中也可以作为解释变量出现），且是模型求解的结果。 内生变量的性质：第一、内生变量与随机误差项是相关的；第二，它的值是在参数估计之后，由方程组所解出来的值第三，它的值可以是预测结果，也可以是政策后果。 2、外生变量：（由模型外变量所决定的变量）它是由系统外部因素所影响而不由所考虑的模型系统所决定的变量，但他影响模型系统内生变量的值。 外生变量的性质：第一，外生变量必须事先给定；第二，外生变量可以分为政策性外生变量（经济调控的手段）和非政策性外生变量（时间趋势、自然条件） 3、前定变量：外生变量和滞后变量（滞后内生变量和滞后外生变量）的统称。
第十章 联立方程组模型 第一节 联立方程组模型概述 一、问题的提出 1、单一方程模型存在的条件是单向因果关系。 2、对于变量之间存在的双向因果关系，则需要建立联立方程组模型。 3、经济现象的表现多以系统或体系的形式进行，仅用单一方程来反映存在局限性。 二、联立方程组的概念 1、联立方程组模型的定义。 由一个以上的相互联系的单一方程组成的系统（模型），每一个单一方程中包含了一个过多个相互联系（相互依存）的内生变量。联立方程组表现的是多个变量间互为因果的联立关系。 联立方程组与单一方程的区别是估计联立方程组模型的参数必须考虑联立方程组所能提供的信息（包括联立方程组里方程之间的关联信息），而单一方程模型的参数估计仅考虑被估计方程自身所能提供的信息。 2、联立方程组模型的例子。 （1）一个均衡条件下市场供给与需求的关系。 ) 3()2(0 )1(012101110s i d i i i s i i i d i Q Q u P Q u P Q =>++=<++=βββααα 称（1）式为需求方程，（2）式为供给方程，（3）式为供需均衡式；d i Q 表示需求量，s i Q 表示供给量，i P 表示价格，i i u u 21,分别为（1）式和（2）式的随机误差项。按照经济学基本原理，商品的供给与商品的需求共同作用于价格，反过来，价格也要分别决定商品的供给与需求。这就是方程（1）与方程（2）的作用机制，如果考虑了均衡条件，这又是方程（3）的作用。因此，通过这一联
立方程组将上述商品的供需与价格的相互作用过程得到了反映。 （2）一个凯恩斯宏观经济模型。 011012(4)(5)(6) t t t t t t t t t t C Y u I Y u T C I G ββαα=++=++=++ 式中，C 表示消费，Y 表示国民总收入（又GDP ，实际上它们是有区别的），I 表示私人投资，G 表示政府支出，u1、u2分别为消费函数和投资函数中的随机误差项。 三、联立方程组模型的基本问题（即联立方程组模型的偏倚性） 1、内生解释变量与随机误差项的相关性。 2、直接对联立方程组模型运用OLS 法，所得的参数估计值是有偏的，并且是不一致的。 例如，设凯恩斯收入决定模型为 [][]01) (11)1() 0)(())(())())(((),cov(1)(11) 1(11)(111)1(1 01 2 21 11 1 1011101 1100110110≠-=-=-==-=--=-= -∴-+-=-+-+-=-+ -+-= ∴++=-+++=∴+=<<++=βσβββββββββββββββββββββU E U U E U E U Y E Y E U E U Y E Y E U Y U Y E Y I U E I Y E U I Y U I Y I U Y Y I C Y U Y C t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t 表明内生变量Y 在作解释变量时与随机误差U 相关。 对凯恩斯模型中的消费函数求参数的估计，有（用离差形式表示）
Chapter4 联立方程模型 本章关注的目标Y 不止一个，而是多个。或者其中关注的某一目标与其它目标有内在联系，如果我们不知道其它的目标，就不可能知道要关注的目标。例如，我们要知道某一商品的市场价格，我们必须要同时知道该商品的供给曲线和需求曲线。自然也就存在多因多果的关系问题。从内生性问题角度看，某一解释变量i X 从另一方面考察可能成为Y 的结果，那么Y 就是原因，因为i X 中有Y 的成分，从而()0i E U X =不成立，产生内生性问题的第3种情形，联立性问题。 在第二章现代观点理念的陈述中，把Y 看成是一个随机向量（多个结果），所有的语言经过适当的修正，完全可以类似重复。但由于因变量Y 的个数的增加，也就带来了许多“单方程线性回归模型”不曾有的问题。本章主要讨论联立的线性系统。内容主要在理论层面有：联立方程模型的表述，各种估计和检验的假设条件，系统的可识别，以及一些专题。其中GMM 方法是本章的特色。它把2SLS 的方法又提高了一步。 一、基本概念和模型 系统：多个变量间的相互联系，一般用方程表述。线性系统则认为它们的联系是线性的。 变量：描述系统状态的基本要素。变量分成两类。一类是内生变量，含义是，一旦系统变量间的相互联系确定，这些变量的值就是完全确立的。内生变量一般是系统要关注的对象。另一类是先决变量，含义是，它们的值不是由系统直接确定。它又分成：（1）外生变量，它的值由系统的外部给定；（2）滞后的内生变量，它的值由内生变量的前期确定。有时（1）（2）不加区分，统称为外生变量。不过这两种内生变量有实质性区别，后一种滞后变量会带来内生性问题。 线性模型：系统中的变量通过线性方程或加上随机误差项联系，称为联立系统的线性模型。联立模型分成简约式（reduced formed ）和结构式（structure form ）两种： 1、简约式：每个内生变量由系统的先决变量的线性式加随机项构成，先决变量前的系数称为简约系数。 2、结构式：每个方程由内生变量和先决变量的混合线性式或加随机项构成。结构式变 量前的系数有确定的经济内涵，它们一般从理论模型简化而成。一般把结构式分成四类： （1） 行为方程 （2） 技术方程 （3） 平衡方程 （4） 定义方程 每个结构方程中，变量前的系数称为结构参数。 系统的描述： Y 表示内生变量，设共有G 个内生变量：1Y ……G Y X 表示先决变量，设有M 个先决变量：1X ……M X U 表示随机误差，误差项的个数随行为和技术方程的个数来定。 例：简单的宏观消费－投资模型： 消费方程：t t t U Y C ++=21αα 可加随机项 不可加随机项
第七章联立方程模型和两阶段最小二乘法 建立一个OBJECT。确定内外生变量： cc=c(1)+c(2)*PP+c(3)*PP(-1)+c(4)*(WP+WG) ii=c(5)+c(6)*PP+c(7)*PP(-1)+c(8)*KK WP=c(9)+c(10)*XX+c(11)*XX(-1)+c(12)*AA INST WG GG TT AA PP(-1) KK XX(-1) C 回归结果： System: KLEINMODEL Estimation Method: Two-Stage Least Squares Date: 07/13/11 Time: 15:29 Sample: 1921 1941 Included observations: 21 Total system (balanced) observations 63
Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C(1) 16.55476 1.467979 11.27725 0.0000 C(2) 0.017302 0.131205
0.131872 0.8956 C(3) 0.216234 0.119222 1.813714 0.0756 C(4) 0.810183 0.044735 18.11069 0.0000 C(5) 20.27821 8.383249 2.418896 0.0192 C(6) 0.150222 0.192534
0.780237 0.4389 C(7) 0.615944 0.180926 3.404398 0.0013 C(8) -0.157788 0.040152 -3.929751 0.0003 C(9) 1.500297 1.275686 1.176070 0.2450 C(10) 0.438859 0.039603
第一讲联立方程（上）内生外生变量 联立方程概念 案例分析
案例：金融与经济的关系分析 鸡生蛋or蛋生鸡? 经济影响金融？ or 金融影响经济？ 联立方程？
本案例几个关键问题 内生变量如何确定？ 外生变量有哪些？ 联立方程如何估计？ 该案例以我国金融与经济的关系进行分析
（一）联立方程模型概念 1.联立方程模型——描述经济变量间联立依存性的方程体系。一个经济变量在某方程中可能是被解释变量，在另一方程中却是解释变量，如Y 、I 。 2、内生变量——由模型本身所决定的变量。 3、外生变量——由模型外因素决定的变量。 4、先决变量——包括外生变量、外生滞后变量、内生滞后变量。 ?????++= +++=++=-t t t t t t t t t t t G I C Y u Y Y I u Y C 21210 110βββαα内生变量 先决变量
（二）联立方程的分类 1.结构模型。把内生变量表达为其他内生变量、先决变量与随机误差项的联立方程模型。 2.简化型模型。把内生变量只表示为先决变量与随机误差项函数的的联立方程模型。 ◆消费方程，行为方程??? ??++=+++=++=-t t t t t t t t t t t G I C Y u Y Y I u Y C 21210110βββαα◆投资方程，行为方程◆定义方程，平衡方程?????++=++=++=---t t t t t t t t t t t t v G Y Y v G Y I v G Y C 3321 31222121112111ππππππ先决变量 简化式模型看不出方程中的结构关系，如消费结构、投资结构。
第十章联立方程计量经济模型 教学要求及目的： 1、了解联立方程模型产生的背景 2、识记联立方程模型的基本概念及类型 3、理解联立方程模型的识别条件 4、重点掌握联立方程模型的参数估计 第一节联立方程模型的概念 一、联立方程模型的问题提出 我们在研究经济问题时，经常用到经济数学模型，即用数学表达式来模拟、描述经济活动，揭示其本质的规律。计量经济学模型就是我们常用的一种经济数学模型。 在前面的学习中，讨论了单方程计量经济学模型，只能描述经济变量之间的单向因果关系，即若干解释变量的变化引起被解释变量的变化。但经济现象是错综复杂的，其中诸因素之间的关系在很多情况下，不是单一方程模型所描述的简单的单向因果关系，而是相互依存的交错的双向或多向因果关系。如某一农产品的价格，影响着对该农产品的需求和供给；同时，市场对该农产品的需求和供给又影响着该农产品的价格。为了描述变量之间的多向因果关系，就需要建立由多个方程组成的联立方程模型。又如，研究消费函数时，一般认为消费是由收入决定的；但从社会再生产的动态过程来看，消费水平的改变又会导致生产规模的变化，进而影响收入，所以消费又决定收入。因此利用单方程模型很难完整、准确地反映经济系统内的这种复杂关系，只有将多个方程有机地组合起来才能合理地进行经济问题的描述。 联立方程模型就是由多个相互联系得单一方程组成的方程组。由于其包含的变量和描述的经济
关系较多，所以能够较为全面地反映经济系统的运行规律。在联立方程模型中，每个都描述了变量间的一个因果关系，所描述的经济系统中有多少个因果关系，联立方程模型中就对应有多少个方程。 从上面分析来看，就提出了这样一个问题：必须发展新的方法来估计联立方程计量经济学模型，这就从计量经济学方法上提出了联立方程模型问题。 二、联立方程模型中的几个基本概念 （一）变量 在联立方程模型中，某些变量可能是一个方程中的解释变量，同时又是另一个方程中的被解释变量。为了明确起见，需要对变量重新进行分类。 1． 内生变量 内生变量是具有某种概率分布的随机变量，它的参数是联立方程系统估计的元素。内生变量受模型系统中其他变量的影响，也可能影响其他变量。它一般是被解释变量（在其他方程中也可作为解释变量），且是模型求解的结果。建模时往往要求模型中的方程个数等于内生变量的个数。 一般情况下，因为0),(≠i i Y COV μ，内生变量Y 变量满足：0),(≠i i Y E μ。 由于内生变量是随机变量，如果它在某个方程中作为解释变量，则该方程就存在随机解释变量问题，方程中参数的最小二乘估计量一般是有偏的和不一致的，此时最小二乘法不是一个好的参数估计方法。 2． 外生变量 由模型系统以外的因素决定其取值的变量称为外生变量，或者是没有概率分布的确定变量，或者是具有临界概率分布的随机变量，它不受模型系统的影响，但它对模型系统有影响。在联立方程组模型中，必须事先给定外生变量值，才能求出内生变量的值。外生变量可分为政策性外生变量和非政策性外生变量。政策性外生变量，如税率、利率、货币供给量、政府支出等；非政策性外生变
第11章 联立方程组模型 一、选择题 1．结构式模型 01101212t t t t t t t t t t t C Y I Y Y Y C I G ααμβββμ-=++??=+++??=++?中的滞后内生变量为（ ）。 A ．C t B ．Y t 和G t C ．Y t －1 D ．I t 【答案】C 【解析】在联立方程模型中，C t 、Y t 和I t 是内生变量，G t 是外生变量，Y t －1是滞后内生变量，G t 和Y t －1一起构成先决变量。 2．结构式模型 11221111221223323323 3113223333Y Y X X Y Y X Y Y Y X βγγμβγμββγμ=+++??=++??=+++?中，外生变量是指（ ）。 A ．Y 1，Y 2，Y 3
B ．Y 1，X 2，X 3 C ．Y 1，Y 2，X 3 D ．X 1，X 2，X 3 【答案】D 【解析】外生变量一般是确定性变量，或者是具有临界概率分布的随机变量，其参数不是模型系统研究的元素。外生变量影响系统，但本身不受系统的影响。其中，X 1，X 2，X 3是外生变量，Y 1，Y 2，Y 3是内生变量，μ1，μ2，μ3随机干扰项。 二、简答题 1．什么是识别问题？为什么它很重要？ 答：联立方程中方程的识别问题，就是判断方程是否可以估计和方程所估计的是不是要研究的对象。例如，如果单纯地对销售量和价格进行回归，就无法判断所估计的是需求函数还是供给函数，这时我们就面临方程识别的问题。识别问题之所以重要，是因为如果不知道所估计的对象是什么，那么估计就没有意义了。 2．为什么说间接最小二乘法（ILS ）和二阶段最小二乘法（2SLS ）也是工具变量方法？答：采用狭义工具变量法、间接最小二乘法和二阶段最小二乘法的估计量分别为： ① ()()()100000000??t IV B X X Y X X X Y -** ????''= ??? ???Γ??
第五章联立方程组模型的估计 第一节概述 一、联立方程的概念 在实际经济活动中，变量之间不仅仅是存在单项的因果关系。还会存在如下的情况：第一，由于两个变量之间存在双向因果关系，用单一方程模型就不能完整的描述这两个变量之间的关系。第二，为全面描述一项经济活动只用单一方程模型是不够的。这时应该用多个方程的组合来描述整个经济活动。这样的例子比如市场均衡模型（具体内容是什么）宏观经济学中的国民收入模型（具体内容是什么）。这类问题涉及的就是联立方程模型的问题。 简单来讲， 联立方程模型就是描述变量间联立依存性的方程体系。 比如如下的简单的宏观经济模型：
()C Y T I Y Y C I G αβγδ=+-??=+??=++? 在这个模型中，有三个方程，一个消费方程，一个投资方程和一个均衡方程。比较这个由三个方程组成的一个经济模型和前边我们已经学过的由一个方程组成的经济模型。我们能够发现什么呢（1、从变量所处的位置上来看；2、从变量的分类上看；3、从变量之间的经济含义上看） 二、模型中变量的分类 1、内生变量：（由模型内变量所决定的变量）其数值是在所考虑的经济系统模型本身内所决定的，它一般是被解释变量（在其他的方程中也可以作为解释变量出现），且是模型求解的结果。 内生变量的性质：第一、内生变量与随机误差项是相关的； 第二，它的值是在参数估计之后，由方程组所解出来的值 第三，它的值可以是预测结果，也可以是政策后果。
2、外生变量：（由模型外变量所决定的变量）它是由系统外部因素所影响而不由所考虑的模型系统所决定的变量，但他影响模型系统内生变量的值。 外生变量的性质：第一，外生变量必须事先给定；第二，外生变量可以分为政策性外生变量（经济调控的手段）和非政策性外生变量（时间趋势、自然条件） 3、前定变量：外生变量和滞后变量（滞后内生变量和滞后外生变量）的统称。 前定变量的性质：第一，前定变量与模型的随机误差性不相关；第二，在模型中作为解释变量出现。 注意：1、联立方程模型和单一方程的变量的分类有什么差异（联立方程模型的分类、单一方程中的分类） 2、内生变量与外生变量的划分不是绝对的，随着新的行为方程的加入，外生变量可以转化为内生变量；随着行为方程的减少，内生变量也可以转化为外生变量。 三、模型中方程的分类 1、行为方程：描述居民、企业和政府的经济行为。这类方程建立在相应的经济理论基础之上。也称之为随机方程（为什么），带有随机误差项。 2、技术方程：表示生产的技术关系。它也是随机方程（为什么），带有随机误差项。
第9章 联立方程模型 习 题 一、单项选择题 1．关于联立方程组模型，下列说法中错误的是（ B ） A. 结构模型中解释变量可以是内生变量，也可以是前定变量 B. 简化模型中解释变量可以是内生变量， C. 简化模型中解释变量是前定变量 D. 结构模型中解释变量可以是内生变量 2．如果某个结构方程是恰好识别的，估计其参数可用（D ） A. 最小二乘法 B. 极大似然法 C. 广义差分法 D. 间接最小二乘法 3．在联立方程结构模型中，对模型中的每一个随机方程单独使用普通最小二乘法得到的估计参数是（ B ） A. 有偏且一致的 B. 有偏不一致的 C. 无偏但一致的 D. 无偏且不一致的 4．在有M 个方程的联立方程组中，若用H 表示联立方程组中全部的内生变量与 全部的前定变量之和的总数，用表示第i 个方程中内生变量与前定变量之和 的总数时，第i 个方程过度识别时，则有公式( A )成立。 A. B. C. D. 5．在有M 个方程的联立方程组中，若用H 表示联立方程组中全部的内生变量加 上全部的前定变量的总个数，用表示第i 个方程中内生变量与前定变量之和 的个数时，则公式表示( C ) A ．不包含在第i 个方程中内生变量的个数 B ．不包含在第i 个方程中外生变量的个数 C ．不包含在第i 个方程中内生变量与外生变量之和的个数 D ．包含在第i 个方程中内生变量与外生变量之和的个数 6．结构模型中的每一个方程都称为结构方程。在结构方程中，解释变量可以是前定变量，也可以是( C ) A. 外生变量 B. 滞后变量 C. 内生变量 D. 外生变量和内生变量 i N 1i H N M ->-1i H N M -=-0i H N -=1i H N M -<-i N i H N -
第十一章 案例分析 一、研究目的和模型设定 依据凯恩斯宏观经济调控原理，建立简化的中国宏观经济调控模型。经理论分析，采用基于三部门的凯恩斯总需求决定模型，在不考虑进出口的条件下，通过消费者、企业、政府的经济活动，分析总收入的变动对消费和投资的影响。设理论模型如下： t t t t t t t t t t u Y I u Y C G I C Y 210110++=++=++=ββαα )83.11() 82.11()81.11( 其中，t Y 为支出法GDP ，t C 为消费，t I 为投资，t G 为政府支出；内生变量为t t t I C Y ,,；前定变量为t G ，即M=3，K=1。 二、模型的识别性 根据上述理论方程，其结构型的标准形式为 t t t t t t t t t t u Y I u Y C G Y I C 2101100=-+-=-+-=-+--ββαα 标准形式的系数矩阵),(ΓB 为 t t t t G Y I C C ? ? ? ?? ??-------=Γ010********),(1010ββααB 由于第一个方程为恒定式，所以不需要对其识别性进行判断。下面判断消费函数和投资函数的识别性。 1、消费函数的识别性 首先，用阶条件判断。这时0,222==k m ，因为,1012=-=-k K 并且 11212=-=-m ，所以122-=-m k K ，表明消费函数有可能为恰好识别。 其次，用秩条件判断。在),(ΓB 中划去消费函数所在的第二行和非零系数所在的第一、二、四列，得 ? ??? ??--=Γ0111),(00B 显然，2),(00=ΓB Rank ，则由秩条件，表明消费函数是可识别。再根据阶条件，消费函数是恰好识别。
第八章联立方程模型 第1节、联立方程模型的概念 1、什么是联立方程模型 联立方程模型是相对于前面所学的单一方程模型提出的。单一方程模型中只含有一个被解释变量和若干个解释变量，这类方程最大的特征是，它只能描述经济变量之间的单向因果关系，即解释变量是因，被解释变量是果，例如Y=β0+β1X+u表示收入对服装支出的影响，收入是因，服装支出是果，而且这种因果关系是不可逆转的，不能用这个方程又解释服装支出对收入的影响。 但是，经济现象是错综复杂的，许多经济变量之间存在着交错的双向或多向因果关系，是相互依存，互为因果的。例如，收入影响消费，消费反过来也影响收入；价格影响着商品的需求和供给，反过来，商品的需求和供给关系又影响着商品的价格。因此，要想描述清楚一个经济系统中各个变量之间的关系，就需要用一组方程才能描述清楚。 联立方程模型：同时用若干个模型去表示一个经济系统中经济变量相互联立依存性的模型。 例如：由国内生产总值（Y）、居民消费总额（C）、投资总额（I）、和政府开支（G）等变量构成的简单的宏观经济系统： 如果我们把政府开支（G）有系统外部实现给定，那么，就国内生产总值、居民消费总额、投资总额之间是互相影响并互为因果的。可以建立如下模型： Yt=Ct+It+Gt Ct=a0+a1Yt+u1t It=β0+β1Ytβ2Yt-1+μ2t 其中第一个方程表示国内生产总值由居民消费总额、投资总额和政府开支共同决定，在假定进出口平衡的情况下，是一个衡等方程；第二个方程表示居民消费总额由国内生产总值决定；第三个方程表示投资总额由国内生产总值和前一年的国内生产总值共同决定。这就是一个简单的描述宏观经济的联立方程模型。 2、联立方程模型的特点 1、模型中不止一个应变量，有M个方程可以有M个应变量； 2、应变量和解释变量之间不仅是单向的因果关系，可能是互 为因果； 3、解释变量有可能是随机的不可控变量，比如上例中，居民 消费总额和投资总额是随机变量，而国内生产总值由他们决 定，因此国内生产总值不是确定性的变量，它作为居民消费的
第五章二元一次方程组 6．二元一次方程与一次函数 府谷县第二初级中学苏悦 一、说学生 1.学生的知识技能基础：学生能够正确解方程（组），初步掌握了一次函数及其图像的基础知识，已经具备了函数的初步思想，对于数形结合的数学思想也有所接触。 2.学生的活动经验基础：学生能够根据已知条件准确画出一次函数图象，能够认识和接受函数解析式与二元一次方程之间的互相转换．在过去已有经验基础上能够加深对“数”和“形”间的相互转化的认识，有小组合作学习经验． 二、说学习内容 本节课的主要内容是二元一次方程(组)与一次函数及其图像的综合应用．通过探索“方程”与“函数图像”的关系，培养学生数学转化的思想，通过学习二元一次方程方程组的解与直线交点坐标之间的关系，使学生初步建立了“数”（二元一次方程）与“形”（一次函数的图像）之间的对应关系，进一步培养了学生数形结合的意识和能力． 三、说教学目标 1.初步理解二元一次方程和一次函数的关系； 2.掌握二元一次方程组和对应的两条直线之间的关系； 3.发展学生数形结合的意识和能力，使学生在自主探索中学会不同数学知识间可以互相转化的数学思想和方法． 四、说重难点 教学重点二元一次方程和一次函数的关系； 教学难点数形结合和数学转化的思想意识． 五、说教法学法 启发引导与自主探索相结合的方法． 六、说教学过程 本节课设计了六个教学环节： 第一环节设置问题情境，启发引导； 第二环节自主探索，建立“方程与函数图像”的模型； 第三环节典型例题，探究方程与函数的相互转化； 第四环节反馈练习； 第五环节课堂小结； 第六环节作业布置．
第一环节 设置问题情境，启发引导 设置目的：通过设置问题情景，让学生感受方程x+y=5和一次函数y=5+-x 相互转化，启发引导学生总结二元一次方程与一次函数的对应关系． 效果：以“问题串”的形式，启发引导学生探索知识的形成过程，培养了学生数学转化的思想意识． 第二环节 自主探索方程组的解与图像之间的关系 设置目的：通过自主探索，使学生初步体会“数”（二元一次方程）与“形”（两条直线）之间的对应关系，为求两条直线的交点坐标打下基础． 效果：由学生自主学习，十分自然地建立了数形结合的意识，学生初步感受到了“数”的问题可以转化为“形”来处理，反之“形”的问题可以转化成“数”来处理，培养了学生的创新意识和变式能力． 第三环节 二元一次方程组的解与函数图像之间的关系特殊情况 设置目的：进一步揭示“数”与“形”转化关系．通过想一想，将两直线的另一种位置关系：平行与方程组无解相结合，这是对第二环节的有益补充。体现了从一般到特殊的的思想方法，有利于培养学生全面考虑问题的习惯． 效果：进一步培养了学生数形结合的意识和能力，充分展示了方程与函数的相互转化．进一步挖掘出两直线平行与k 的关系。 第四环节 反馈练习 设置目的：3个练习，意在及时检测学生对本节知识的掌握情况． 效果：加深了两条直线交点的坐标就是对应的函数表达式所组成的方程组的解的印象，培养了学生的计算能力和数学转化的能力，使学生进一步领悟到应用数形结合的思想方法解题的重要性 第五环节 课堂小结 设置目的：旨在使本节课的知识点系统化、结构化，只有结构化的知识才能形成能力；使学生进一步明确学什么，学了有什么用． 效果：充分展示知识的发生、发展及应用过程．对同学的回答，教师给予点评，对回答得好的学生教师给予表扬、鼓励． 第六环节 作业布置 七、教后反思 本节课在学生学习了二元一次方程组和一次函数及其图像的基础上，通过教师启发引导和学生自主学习探索相结合的方法，进一步揭示了二元一次方程和函数图像之间的对应关系，很自然的得到二元一次方程组的解与两条直线的交点之间的对应关系．进一步培养了学生数形结合的意识和能力，充分展示了方程与函数的相互转化．教学过程中教师一定要注意将图像与函数解析式之间的对应问题阐述清楚，让同学们从根本上认识、理解和运用“数”与“形”之间的密切关系．因此为了准确地解决有关图像问题常常把它转化为代数问题来处理，增加了反馈练习中的3个问题，并且在练习和拓展题目训练中进一步利用交点求三角形面积．