7.4实践与探索 二元一次方程组应用

§7.3 实践与探索教材分析本节的主要内容是实践与探索，是全章的提升，学会抽象问题直观化，化未知为已知的化归思想。

学情分析学生在小学时已经学习了“应用题”，初步了解了如何找等量关系，学生在此基础上，能列二元一次方程组解简单的应用题进一步提高分析问题中的数量关系教学目标1.掌握列二元一次方程组的一般步骤.2.能根据实际问题中的数量关系，寻找等量关系，能列二元一次方程组解应用问题.重点、难点1．重点：让学生实践与探索，运用二元一次方程组解决有关配套问题的应用题。

2．难点：寻找相等关系以及方程组的整数解问题。

教学方法讨论——自主探究相结合教学设计一、提纲导学：1、复习:列二元一次方程组解决实际问题的步骤是什么?其中什么是关键?通过前面的学习，你还有哪些疑问，请大胆提出来，大家一起来探究.问题1．第35页实践与探索中的第一个问题。

2.出示导纲:学生阅读教科书并与同伴讨论、交流，探索解题方法，鼓励学生多角度地思考，只要学生的方法有道理，就要给予肯定和鼓励。

鼓励学生进行质问和大胆创新。

1．本题有哪些已知量?(1)共有白卡纸20张。

(2)一张白卡纸可以做盒身2个或盒底盖3个。

(3)1个盒身与2个盒底盖配成一套。

2．求什么? 用几张白卡纸做盒身?几张白卡纸做盒底盖?3．若设用x张白卡纸做盒身，y张白卡纸做盒底盖。

那么可做盒身多少个?盒底盖多少个?[2x个盒身，3y个盒底盖]4．找出2个等量关系。

(1)用做盒身的白卡纸张数十用做盒底盖的自卡纸张数：20。

(2)已知(3)可知盒底盖的个数应该是盒身的2倍，才能使盒身和盒底盖正好配套。

根据题意，得x+y＝203y=2×2x解出这个方程组。

以上结果表明不允许剪开白卡纸，不能找到符合题意的分法。

如果允许剪开一张白卡纸，怎样才能既符合题意且能充分利用白卡纸呢?用8张白卡纸做盒身，可做8×2二16(个)用1l张白卡纸做盒底盖，可做3×11＝33(个)将余下的l张白卡纸剪成两半，一半做盒身，另一半做盒底，一共可做17个包装盒，较充分地利用了材料。

7.4 实践与探索 【学习目标】1.掌握用一元一次方程组及二元一次方程组解决数学问题2.通过找出等量关系解方程。

3.体会类比的思想方法并会解决实际生活中的问题。

【重点】解方程组及等量关系的寻找。

【难点】解方程组及等量关系的寻找 【使用说明与学法指导】 1、认真阅读课本P42-P43,勾画出疑问点；再针对预习案二次阅读教材，解答预习案中的问题。

2、通过预习能够解方程组并找出等量关系，解决生活中的数学问题。

预 习 案 一、预习自学 1、 运送29.5吨煤,先用一辆载重4吨的汽车运3次,剩下的用一辆载重为2.5吨的货车运.还要运几次才能完? 2、 一块梯形田的面积是90平方米,上底是7米,下底是11米,它的高是几米?通过练习：你能找出其中的等量关系并得出方程组的解吗？二、我的疑惑_____________________________________________________________________导 学案装订线探究案探究点一：解二元一次方程组。

例1 解方程组（1）（2）探究点二：用二元一次方程组解数学问题例2（1）某班学生参加义务劳动，男生全部挑土，女生全部抬土，这样安排恰需筐68个，扁担40根，问这个班男生、女生各有多少人（2）甲、乙两人做加法，甲将其中一个加数后面多写了一个0，所以得和是2342，乙将同一个加数后面少写了一个0，所得和是65，求原来的两个加（3）（利息问题）李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税后可得利息43.92 元。

已知这两种储蓄的年利率的和为3.24％，问这两种储蓄的年利率各是多少？（注：公民应交利息所得税＝利息金额´20％）如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。

二元一次方程组及实际问题应用
二元一次方程组是由两个二元一次方程构成的方程组。

一个二元一次方程的一般形式为:
ax + by = c
其中，a、b、c为实数，且a与b不全为0。

一元一次方程组是指由两个这样的方程组成的方程组。

二元一次方程组及其求解在实际问题中有广泛的应用，例如:
1. 解决经济问题：经济学中常常使用二元一次方程组来描述供需关系、价格变化等。

通过求解方程组可以得到供求平衡点、市场均衡价格等。

2. 解决几何问题：几何学中常常需要求解含有两个未知数的方程组来求解几何问题，如求交点、平行线等。

3. 解决物理问题：在物理学中，二元一次方程组的应用非常广泛。

例如，求解加速度、速度、位移等问题都可以转化为求解方程组。

4. 解决工程问题：工程学中常常使用二元一次方程组来描述电路、力学等问题。

通过求解方程组可以计算电流、电压、力的大小等。

7.4. 实践与探索（1）导学案
【教学目标】：让学生综合运用已有的知识，经过自主探索、互相交流．用二元一次方程组解决生活中相关的问题，在探索的过程中获得发展。

【重点】：让学生实践与探索，运用方程或方程组解决生活中的问题。

【难点】：寻找相等关系。

一、课前准备
列二元一次方程组解应用题的一般步骤有：
___________________________________________________________________二．探索交流
问题 1.要用20张白卡纸做长方体的包装盒，准备把这些白卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面。

已知每张白卡纸可以做侧面2个，或者做底面3个，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，那么如何分法，能使做成的侧面和底面正好配套？
请你设计一种分法。

想一想，如果可以将一张白卡纸套裁出一个侧面和一个底面，那么，又怎样分这些白卡纸，才能既使做出的侧面和底面配套，又能充分的利用白卡纸？
三，积极思考，独立完成
1.用如图中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图二中竖式和横式的两种无盖纸盒.现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少只，恰好使库存的纸板用完？
图一
图二
2.某市为更有效地利用水资源,制定了用水标准:
如果一户三口之家每月用水量不超过Mm3 ,按每m3水1.30元收费; 如果超过Mm3 ,超过部分按每m3水2.90元收费,其余仍按按每m3水1.30元收费.小红一家三人,1月份共用水12 m3 ,支付水费22元.问该市制定的用水标准M为多少?小红一家超标使用了多少m3 的水?。

7.3实践与探索(二)知识技能目标让学生综合运用已有的知识,经过自主探索,互相交流,去尝试用二元一次方程组,解决与生活密切相关的问题,不断提高分析实际问题,运用方程组解决问题的能力．过程性目标1.在经历探索和解决实际问题的过程中，获得一些研究问题的方法和经验，学会新的东西，发展自己的思维能力；2.通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心．教学过程一、创设情境上一节课我们探索了2个与生活密切相关的问题，它们都可以利用二元一次方程组来解决．今天我们再来探索一个有趣的问题．请同学们打开课本，阅读第35页上的问题2．二、探究归纳让同学充分思考，并与同伴讨论、交流，探索解题方法．对有困难的同学，教师可加以引导：1.题中所讲的“其中的奥秘”你知道是指什么吗？“奥秘”是指用这8块大小一样的矩形拼成正方形，为什么中间会留下一个边长为mm 2的小正方形的洞？其中的道理是什么？2.观察小明的拼图你能发现小长方形的长mm x 与宽mm y 之间的数量关系吗？（根据矩形的对边相等，得y x 53=）3.再观察小红的拼图，你能写出表示小长方形的长mm x 与宽mm y 之间的另一个关系式吗？(显然有y x 22=+)这样得到方程组⎩⎨⎧=+=yx y x 2253，解之得 ⎩⎨⎧==610y x ．8个小矩形的面积和()248061088mm xy =⨯⨯==大正方形的面积()()()22248462102mm y x =⨯+=+=224480484==-因此小红拼出的大正方形中间还留下了一个恰好是边长为mm 2的小正方形．三、实践应用课堂练习：1.上面讨论的问题，有没有这样的8个大小一样的小矩形，既能拼成像小明拼成的大矩形，又能拼成一个没有空隙的正方形呢？请同学们先个人研究，而后全班交流．根据题意可知8个小矩形的面积和恰好等于正方形的面积．所以可列方程：()().20202044084482222222y x y x y x y xy x xy y xy x xyy x ==-=-=+-=-++=+所以即当矩形的长是宽的2倍时，就能拼成中间没有空隙的正方形．2.一个长方形，它的长减少cm 1，宽增加cm 3，所得的正方形比原来的长方形面积大221cm ．求原来长方形的长与宽各是多少厘米？学生练习后，教师评讲．分析：本题要求原来长方形的长与宽，可利用题中的条件找出相等关系，列出方程组来解决，由于原来长方形的长减少cm 1，宽增加cm 3，就可得到一个正方形，据此有相等关系“原长方形的长-1=原长方形的宽+3”，而所得的正方形比原来的长方形面积大221cm ．据此又可以得相等关系“所得正方形的面积-原来的长方形的面积=21”．解：设原来长方形的长为xcm ，宽为ycm ，根据题意，得()()⎩⎨⎧=-+-+=-.213131xy y x y x解这个方程组，得 ⎩⎨⎧==.610y x 答：原来长方形的长与宽分别是.6,10cm cm3.做一做请把教科书第六章实践与探索一节中提出的问题选一个，用本章的办法来处理，并比较一下两种方法，谈谈你的感受．请同学们自主探索，而后交流．四、交流反思1.通过师生交流，对学生的解法给予鼓励，并引导学生比较用一元一次方程和用二元一次方程组来解的感受，从中体会到什么时候应用一元一次方程，什么时候应用二元一次方程组来解决实际问题比较方便．2.本节课我们又一起探索解决了几个与生活密切相关的实际问题，使我们进一步体会到方程是刻画现实世界的有效数学模型．五、检测反馈1.某市为更有效地利用水资源，制定了用水标准：如果一户三口之家每月用水量不超过3Mm，按每3m水1.30元收费；如果超过3Mm，超过部分按每3m水2.90元收费,其余仍m水1.30元计算，小红一家三人，一月份共用水123m，支付水费22元，问该市制按每3m的水？定的用水标准M为多少？小红一家超标使用了多少32.一个50人的旅行团住满了某招待所20个房间,其中有3人间、双人间、单人间，现知道旅行团住的单人间是双人间的2倍．请求出这个旅行团分别住了多少个3人间、双人间、单人间．3.4辆小货车和7辆大卡车一次能运货37吨；6辆小货车和3辆大卡车一次能运货18吨，问一辆小货车和一辆大卡车一次各能运货多少吨？4.小强去年在某超市买了3本练习本和5袋食盐，正好用去5元；前天他又带5元去这个超市买同样的练习本和食盐，因为练习本每本比去年贵了0.1元，食盐每袋比去年贵了0.05元，小强只买了3本练习本和4袋食盐，并找回2角，问去年每本练习本和每袋食盐的价格是多少元？。

7.4 实践与探索
教学目标：
1.掌握列二元一次方程组的一般步骤.
2.能根据实际问题中的数量关系，寻找等量关系，能列二元一次方程组解应用问题. 重点、难点：
寻找等量关系，列方程组.
教学过程：
一、探究新知：
试解下列问题，与你的同伴讨论与交流.
问题1
要用20张白卡纸做包装盒，每张白卡纸可以做盒身2个，或者做盒底盖3个.如果一个盒身和2个底盖可以做成一个包装盒，那么能否把这些白卡纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做底盖，使做成的盒身和盒底盖正好配套？
请你设计一种分法.
想一想，如果一张白卡纸可以适当的套裁出一个盒身和一个盒盖，那么，又怎样分这些白卡纸，才能既使做出的盒身和盒盖配套，又能充分地利用白卡纸？
问题2
小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图7.4.1那样，恰好可以拼成一个大的长方形.
小红看见了，说：“我来试一试.”结果小红七拼八凑，拼成如图7. 4.2那样的正方形.咳，怎么中间还留了一个洞，恰好是边长为2mm的小正方形！
你能求出这些长方形的长和宽吗？
探索图
7.4.1
图
7.4.2
从两个图形看，问题可能与这些长方形的长、宽有关.
设长方形的长、宽分别为x mm 与y mm.现在该如何着手呢？图7.3. 2给我们提供了一个信息：
22S 8＝－长方形大正方形⨯S ，
即 .482y 2=-xy x ）＋（
但这是我们还没有遇到过的方程！你有什么其他好的办法吗？
做一做
在第6章实践与探索一切提出的问题中选出一个，用本章的方法来处理，并比较一下两种方法，谈谈你的感受.
二、作业：
第43页习题7.4：1，2。