第八章 联立方程组模型及其识别问题
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计量经济学之联立方程模型
计量经济学之联立方程模型引言联立方程模型（Simultaneous Equation Model，简称SEM）是计量经济学中的一个重要分析工具，用于研究多个经济变量之间的相互关系。
通过建立一组方程，可以理解变量之间的联动效应，并进行预测和政策分析。
本文将介绍联立方程模型的基本概念、建模步骤和常见的估计方法等内容。
基本概念联立方程模型的定义联立方程模型是指由多个方程组成的一种数学模型，用于描述多个经济变量之间的关系。
每个方程都包含一个因变量和若干个解释变量，以及一个误差项。
联立方程模型的核心思想是通过解方程组，得到各个变量的估计值，进而分析它们之间的关系。
基本假设在建立联立方程模型时，需要对变量之间的关系进行假设。
常见的基本假设有：1.线性关系假设：方程中的变量之间的关系是线性的。
2.独立性假设：各个方程中的误差项是独立的，即它们之间不存在相关性。
3.零条件均值假设：解释变量的条件均值为零，即解释变量的期望与误差项无关。
4.同方差假设：各个方程中的误差项方差相等。
建模步骤建立联立方程模型的步骤如下：步骤一：确定变量根据研究主题和数据可获得的变量，确定需要建立模型的变量集合。
步骤二：构建方程根据经济理论和实际问题，构建联立方程模型的方程形式。
每个方程包含一个因变量和若干个解释变量。
步骤三：参数估计通过收集数据，对联立方程模型进行参数估计。
常用的估计方法有最小二乘估计（Ordinary Least Squares，简称OLS）和广义矩估计（Generalized Method of Moments，简称GMM）等。
步骤四：模型诊断对估计得到的模型进行诊断，检验模型的拟合优度、参数显著性和误差项的假设等。
常见的诊断方法有虚拟变量检验、异方差性检验和序列相关性检验等。
步骤五：模型解释与政策分析根据估计得到的模型结果，解释各个变量之间的关系，并进行政策分析。
可以利用模型进行预测和模拟，评估不同政策对经济变量的影响。
联立方程模型的估计方法选择和模型检验
联立方程模型的估计方法选择和模型检验引言联立方程模型（Simultaneous Equation Model）是经济学和统计学中常用的一种分析工具，用于研究多个变量之间的相互关系。
在实际应用中，选择合适的估计方法和进行适当的模型检验是十分重要的。
本文将讨论联立方程模型的估计方法选择和模型检验的相关问题。
1. 估计方法选择在联立方程模型的估计中，常见的方法包括最小二乘法（Ordinary Least Squares，OLS）、广义矩估计法（Generalized Method of Moments，GMM）、极大似然估计法（Maximum Likelihood Estimation，MLE）等。
选择合适的估计方法需要考虑以下几个因素：1.1 样本属性样本属性是选择估计方法的重要考虑因素之一。
如果样本数据满足正态性、独立性和同方差性等假设，那么最小二乘法是一种有效的估计方法。
而在面对异方差、序列相关等非典型情况时，广义矩估计法和极大似然估计法可能更加合适。
1.2 模型设定估计方法的选择也需要根据具体的模型设定。
当联立方程模型存在内生性问题时，最小二乘法的结果可能存在偏误，此时可以考虑使用广义矩估计法进行估计。
而当模型中存在随机误差的非正态性时，极大似然估计法可以更好地处理非正态分布的情况。
1.3 计算复杂度不同的估计方法在计算复杂度上也存在差异。
最小二乘法是一种相对简单的估计方法，计算速度快。
而广义矩估计法和极大似然估计法在模型求解时需要进行迭代计算，相对较为复杂，但可以提供更准确的估计和统计推断。
综上所述，选择合适的估计方法需要综合考虑样本属性、模型设定和计算复杂度等因素。
2. 模型检验在进行联立方程模型估计后，对模型进行合理的检验是必不可少的。
常见的模型检验方法包括参数显著性检验、模型拟合优度检验和模型诊断等。
2.1 参数显著性检验参数显著性检验用于判断模型中的各个参数估计是否显著。
常用的检验方法包括t检验和F检验。
联立方程模型的一些概念
第一节联立方程模型的一些概念联立方程模型的概念及识别问题①联立方程模型的一些概念一、联立方程模型在本章以前，介绍的都是单方程模型，即用一个方程表示解释变量对被解释变量的影响。
但在很多经济系统中，变量之间的影响是相互的，只用单一方程模型不能刻画变量之间的这种相互影响关系，这时就需要用到联立方程模型。
联立方程模型刻画的是变量之间的相互依存、相互影响的双向因果关系。
在联立方程模型中，一些变量的值是这些方程共同确定，例如，对于一个不考虑税收和进出口的简单的宏观经济系统：Ct = α0 + α1Yt + α2Ct-1 + μ1tIt = β0 + β1Yt + β2Yt-1 + μ2tTt = γ0 + γ1Yt + μ3tYt = Ct + It + Gt（12.1.1）该经济系统由消费C、国内生产总值Y、投资I、税收T以及政府支出G构成。
显然，在消费方程中，消费由当期国内生产总值和上一期的消费行为决定；在投资方程中，投资由当期和上一期的国内生产总值决定；在税收方程中，税收由当期的国内生产总值决定；在国内生产总值决定方程中，国内生产总值又由当期的消费、投资以及政府支出决定。
所以，消费、投资和国内生产总值之间相互影响、相互依赖、互为因果关系。
另一个比较常见的联立方程模型的例子是供给-需求模型，如：Qd■= α0 + α1Yt + α2Pt + μ1tQs■= β0 + β1Pt + β2Pt-1 + β3Rt + μ2tQd■ = Qs■（12.1.2）该供给需求系统由产品需求量Qd■、产品供给量Qs■、消费者收入Yt、产品价格Pt以及外在的影响因素Rt共同决定。
产品的需求量取决于消费者的收入以及产品价格；产品的供给量取决于本期和上一期的产品价格以及外在的影响产品产量的因素R（如利率的高低，国家对相关产业的政策变化，农产品的供应量还受到天气的影响等）；供需平衡时的产品产量（需求量）取决于产品价格，而产品价格又受到平衡时的产品产量（需求量）影响。
联立方程的识别和估计
联立方程的识别和估计第八章联立方程的识别和估计第一部分学习指导一、本章学习目的与要求1．了解联立方程的概念，能正确区分联立方程中的外生变量、内生变量和前定变量；2．理解联立方程模型估计时会出现什么问题，掌握联立方程模型的结构式和简化式的定义；3．掌握联立方程模型识别的概念，能用识别的阶条件和秩条件判断模型是不可识别、恰好识别还是过度识别；4．掌握联立方程模型的估计方法，重点掌握单方程估计方法——间接最小二乘法（ILS 法）、二阶段最小二乘法（2SLS 法），了解系统估计方法——三阶段最小二乘法（3SLS 法）。
二、本章内容提要联立方程计量经济学模型是相对于单方程计量经济学模型而言的。
它以经济系统为研究对象，以提示经济系统中各部分、各因素之间的数量关系和系统的数量特征为目标，用于经济系统的预测、分析和评价，是计量经济学模型的重要组成部分。
其主要内容有：1．联立方程计量经济学模型的提出：经济研究中的联立方程计量经济学问题，计量经济学方法中的联立方程问题。
2．联立方程计量经济学模型的若干基本概念：变量，结构式模型，简化式模型，参数关系体系。
3．联立方程计量经济学模型的识别：识别的概念，结构式识别条件，简化式识别条件，实际应用中的经验方法。
假设联立方程组中共含有g 个内生变量以及k 个外生变量构成的完备联立方程组，第i 个方程含有i g 个内生变量以及i k 个外生变量，∏为联立方程组的简化型系数矩阵，()B Γ，为联立方程组的结构型系数矩阵，以第i 个方程为代表，则有关的识别条件如下：（1）识别的必要条件1-≥-i i g k k其中：k 表示联立方程组中外生变量的个数，g 表示联立方程组中内生变量的个数，i k 表示第i 个方程含有的外生变量个数，i g 表示第i 个方程含有的内生变量个数。
该条件的直观意思为该方程所排除的外生变量个数不小于其排除的内生变量的个数，也称为阶条件。
（2）识别的充要条件在一个g 含有个内生变量的g 个方程的模型中，一个方程是可识别的，当且仅当，能从模型（其他方程）所含而该方程未含的诸变量（内生变量或前定变量）的系数矩阵中构造出至少一个(g -1)×(g -1)阶的非零行列式来。
联立方程模型 make system
联立方程模型是一种数学方法，通过联立多个方程来描述和解决复杂的问题。
这种模型在经济学、物理学、工程学等领域中得到了广泛的应用，能够帮助研究人员理解和预测各种变量之间的关系。
本文将介绍联立方程模型的基本概念和应用，以及如何构建和求解联立方程模型。
一、联立方程模型的基本概念联立方程模型是一种描述多个变量之间关系的数学模型。
我们可以用一组方程组来表示这些变量之间的相互影响。
一般来说，联立方程模型可以写成如下形式：1. 假设我们有n个变量和m个方程，我们可以用矩阵和向量的形式来表示联立方程模型：其中，Y是一个n维向量，代表因变量；X是一个n×k维矩阵，代表自变量；β是一个k维向量，代表自变量的系数；ε是一个n维向量，代表误差项。
2. 联立方程模型的基本假设包括：（1）线性关系假设：假设因变量和自变量之间的关系是线性的；（2）随机抽样：样本必须是随机抽样的，以保证估计结果的一致性；（3）独立同分布假设：误差项之间是相互独立的，并且服从相同的分布；（4）方差齐性假设：误差项的方差是相同的。
二、构建联立方程模型构建联立方程模型的基本步骤包括：1. 确定研究的目标和问题：首先需要明确研究的目的，确定需要研究的变量和它们之间的关系。
2. 收集数据：根据研究目标，需要收集相关的数据样本。
3. 设定模型：选择合适的自变量和因变量，并设计出联立方程模型的形式。
4. 估计参数：通过最小二乘法或其他方法，估计模型的参数。
5. 检验模型：对模型的拟合度和估计结果进行检验，检验模型是否符合现实情况。
6. 修正模型：根据检验结果对模型进行修正，直至得到较为合理的模型。
三、求解联立方程模型求解联立方程模型的常用方法有：1. 最小二乘法：通过最小化因变量的观测值和模型估计值之间的差异来估计参数。
2. 极大似然估计：通过最大化样本数据出现的概率来估计参数。
3. 广义最小二乘法：当误差项不满足方差齐性和独立同分布假设时，可以使用广义最小二乘法进行参数估计。
联立方程模型的估计课件
详细描述
该模型假设货币供应和需求之间存在某种关 系，例如货币供应和需求都受到其他因素的 影响。通过联立方程模型，我们可以估计这 些关系，并进一步了解通货膨胀和货币价值 的变化对经济的影响。
案例四：经济增长模型
总结词
该模型通过经济增长的驱动因素，探讨了如何促进经济的长期稳定增长。
详细描述
该模型假设经济增长受到多种因素的影响，例如技术进步、投资、劳动力等。通过联立方程模型，我 们可以估计这些因素对经济增长的影响，并进一步了解如何促进经济的长期稳定增长。
的差异，评估模型的预测能力和解释能力。 根据评估结果，可以对模型进行修正和改进，
以提高模型的精度和可靠性。
联立方程模型估计的注意事项与挑战
内生性问题
总结词
内生性问题是指模型中的一个或多个解释变量与误差项相关，导致估计结果偏误。
详细描述
内生性问题的出现通常是由于解释变量与误差项相关，这会导致OLS估计量不一致。为 了解决内生性问题，可以采用工具变量法（IV）进行估计。
04
随着人工智能和机器学习技术的发展，未来联立方程模型的估计方法 将更加智能化和自动化。
THANKS
感谢观看
联立方程模型估计的步骤与流程
数据收集与整理
数据准备
在进行联立方程模型估计之前，需要收集相关的数据并进行整理。数据来源可以是调查、统计或其他 途径，需要确保数据的准确性和完整性。数据整理包括数据清洗、缺失值处理、异常值检测等步骤， 以确保数据质量。
模型设定与识别
模型构建
根据研究目的和问题背景，选择合适的联立方程模型进行设定。模型设定需要考虑变量之间的关系、因果关系等因素，并确 定模型的形式和结构。在模型设定后，需要进行识别，确定模型中变量的内生性和外生性，为后续的参数估计提供基础。
第八章-联立方程模型
内生变量是其值在模型内确定的变量。内生变 量既由模型使用（如可以作解释变量），又由模 型决定。
由于在求解模型时，通常是需要联立地解出所 有内生变量的值，因而称为联立方程模型。
单方程模型中，内生变量就是因变量，外生变 量是解释变量（滞后内生变量除外）。
3.前定变量（predetermined variable）
R ， UN。
不难看出，在上述两例中，方程的左端都
是内生变量。联立方程模型中每个方程的左端 为不同内生变量原型的写法，称为方程的正规 化。
四、模型的结构式和简化式
1.结构式（Structural form）
联立方程模型的结构式是依据经济理论设定模型 时所采取的形式。其中的方程称为结构方程，一个 结构方程反映一个基本的经济关系，即对经济理论 的一种阐述。结构方程的参数称为结构参数。
让我们再看一个例子，由菲利普斯工资方程和价格方程组成 的模型：
Wt 0 1UNt 2Pt u1t (4)
Pt 0 1Wt 2Rt 3Mt u2t (5)
其中 W 货币工资变动， UN = 失业率
P =价格变动，
R = 资金成本变动
M =进口原料费用变动
在此模型中，内生变量是：W，P， 外生变量是：M ，
二、 行为方程和恒等式
1.行为方程（behavioural equation）
凯恩斯收入决定模型中的消费函数是一个行为方 程，它描述的是消费者的行为，即在给定收入的情 况下平均而言，消费者的行为是怎样的。除了描述 消费者行为的方程外，还有描述生产者、投资者及 其它经济参与行为的方程，他们都是行为方程。
Qt = 0 1Pt 2 Yt v t
其中： 0
0 0
1
1
由于在求解模型时，通常是需要联立地解出所 有内生变量的值，因而称为联立方程模型。
单方程模型中，内生变量就是因变量，外生变 量是解释变量（滞后内生变量除外）。
3.前定变量（predetermined variable）
R ， UN。
不难看出，在上述两例中，方程的左端都
是内生变量。联立方程模型中每个方程的左端 为不同内生变量原型的写法，称为方程的正规 化。
四、模型的结构式和简化式
1.结构式（Structural form）
联立方程模型的结构式是依据经济理论设定模型 时所采取的形式。其中的方程称为结构方程，一个 结构方程反映一个基本的经济关系，即对经济理论 的一种阐述。结构方程的参数称为结构参数。
让我们再看一个例子，由菲利普斯工资方程和价格方程组成 的模型：
Wt 0 1UNt 2Pt u1t (4)
Pt 0 1Wt 2Rt 3Mt u2t (5)
其中 W 货币工资变动， UN = 失业率
P =价格变动，
R = 资金成本变动
M =进口原料费用变动
在此模型中，内生变量是：W，P， 外生变量是：M ，
二、 行为方程和恒等式
1.行为方程（behavioural equation）
凯恩斯收入决定模型中的消费函数是一个行为方 程，它描述的是消费者的行为，即在给定收入的情 况下平均而言，消费者的行为是怎样的。除了描述 消费者行为的方程外，还有描述生产者、投资者及 其它经济参与行为的方程，他们都是行为方程。
Qt = 0 1Pt 2 Yt v t
其中： 0
0 0
1
1
联立方程模型
∑Y y ∑ y
=1
ˆ E ( β1 ) ≠ β1
9
结论： 一般情况下OLS法不适合于去估计联立方程模型 结论： 一般情况下 法不适合于去估计联立方程模型
三种类型） 四、联立方程模型的种类（三种类型）
1、结构型模型：为描述经济变量之间现实的经济结 结构型模型：
构关系，表现变量间直接的经济联系， 构关系，表现变量间直接的经济联系，可将某内生变量直接表 直接的经济联系 示为内生变量和前定变量函数的模型，这称为结构型模型。 示为内生变量和前定变量函数的模型，这称为结构型模型。
5
三种类型） 四、联立方程模型的种类（三种类型）
1、结构型模型：为描述经济变量之间现实的经济结 结构型模型：
构关系，表现变量间直接的经济联系， 构关系，表现变量间直接的经济联系，可将某内生变量直接表 直接的经济联系 示为内生变量和前定变量函数的模型，这称为结构型模型。 示为内生变量和前定变量函数的模型，这称为结构型模型。
举例： 举例：简单宏观经济模型
C t = α 1 + α 2Yt + u1t I t = β 1 + β 2Yt + β 3Yt −1 + u 2 t Yt = C t + I t + G t
其中:C为消费， 为收入 为投资 均是内生变量； 为收入， 为投资， 其中 为消费，Y为收入，I为投资，均是内生变量； 为消费 G为政府支出和 Yt −1为外生变量；u为随机扰动项。 为外生变量； 为随机扰动项 为随机扰动项。 为政府支出和
0 0
+ α 1 (3)
+ β 1 Q t + β 2 Pt * + v t
其中Q和P为内生变量，X和P*为外生变量 其中Q 为内生变量， 一个变量是内生变量还是外生变量， ● 一个变量是内生变量还是外生变量 ， 是由经济理论和经 济意义决定，并不仅从数学形式去决定。 济意义决定，并不仅从数学形式去决定。 ●联立方程模型中内生变量的个数应恰好等于方程组中方 程的个数，该方程组才是完备的。 程的个数，该方程组才是完备的。 意义：区分内生变量和外生变量对联立方程模型的识别、 意义：区分内生变量和外生变量对联立方程模型的识别、 估计和应用都有重要意义。
联立方程模型
第八章 联立方程模型
——各种经济行为相互联系，互为影响因素，形成 联立方程模型
——联立方程模型 识别概念与判别条件 识别程度与判别条件 联立方程模型的估计
§８.1 联立方程模型
（一）变量 内生变量、外生变量、前定变量 内生变量的滞后值变量，外生变量统称为前定变量。
（二）结构式与简约式
结构式方程：直接陈述经济行为的行为方程，直接陈述核算关系 或均衡条件的定义方程都称为结构式方程。
对于第一个方程定理 4 即叙述为： 定理4 第1个方程可识别的充分必要条件是，参数方程组
b H 0 0
在不计常数因子的意义下有惟一解。
证明
Q
01g2 B22
01k2 22
g( g2 k2 )
r(S)r(Q)r(B1Q)r(12)g2
r(H ) r(12) k1
r(H ) k1 g1 1 r(S(1)) g 1
21 22
b120
b11
b
11 Ik1
12 0
0
0
b H 0 0
H
hij
(
g1
k1 )(k1
k
2
)
11 Ik1
12 0
方程组有 k1g1 个结构式参数， k1k2 个方程。
（二）可识别性与参数方程组
定理 4 一个方程可识别的充分必要条件是，该方程的结构式参 数可以按照方程的参数方程组，在不计常数因子的意义下，由简约式 参数惟一确定。
生成集上的等价关系： ， L
: I ( ) I ( ) , II ( ) II ( )
所在的等价类： L( )
i 定义：如果第 个方程式满足： r(L(i))1 i （ r(L( i ))）则1称第 个方程可以识别（不可识别）；如果模
——各种经济行为相互联系，互为影响因素，形成 联立方程模型
——联立方程模型 识别概念与判别条件 识别程度与判别条件 联立方程模型的估计
§８.1 联立方程模型
（一）变量 内生变量、外生变量、前定变量 内生变量的滞后值变量，外生变量统称为前定变量。
（二）结构式与简约式
结构式方程：直接陈述经济行为的行为方程，直接陈述核算关系 或均衡条件的定义方程都称为结构式方程。
对于第一个方程定理 4 即叙述为： 定理4 第1个方程可识别的充分必要条件是，参数方程组
b H 0 0
在不计常数因子的意义下有惟一解。
证明
Q
01g2 B22
01k2 22
g( g2 k2 )
r(S)r(Q)r(B1Q)r(12)g2
r(H ) r(12) k1
r(H ) k1 g1 1 r(S(1)) g 1
21 22
b120
b11
b
11 Ik1
12 0
0
0
b H 0 0
H
hij
(
g1
k1 )(k1
k
2
)
11 Ik1
12 0
方程组有 k1g1 个结构式参数， k1k2 个方程。
（二）可识别性与参数方程组
定理 4 一个方程可识别的充分必要条件是，该方程的结构式参 数可以按照方程的参数方程组，在不计常数因子的意义下，由简约式 参数惟一确定。
生成集上的等价关系： ， L
: I ( ) I ( ) , II ( ) II ( )
所在的等价类： L( )
i 定义：如果第 个方程式满足： r(L(i))1 i （ r(L( i ))）则1称第 个方程可以识别（不可识别）；如果模
联立方程计量经济学模型的识别
0 0 1 1 0 10 1 1 1 1 0 0 1 0 20 1 1 1 0 0 30 1 1 1
0 0 10 20 1 1 1
上式 右端 30 右端
C t 0 1 1 Y t 2t ,即得到 : (4) C t 0 1Y t 2 t
具有相同的统计形式
• 上述模型是一个描述消费总额、投资总额和国民收入关系的 总量宏观经济模型。 • 新方程(4)是(2)和(3)的线性组合。 • 当我们收集Ct、Yt数据后，对（4）进行估计时，我们究竟 估计的是消费方程(1)的参数或是新方程(4)的参数呢？ • 这时，我们只能认为其中之一是不能估计的。因为它们具有 相同的统计形式。 • 联立方程模型中，若有一个方程不能估计，则称整个模型是 不能估计的，这就是模型的识别问题。
10 20 右端 30 右端 11 21 右端 31 右端
31
• 6个方程中只4个独立方程不可能求得5个结构参数的确定 ˆ ˆ 值，但是可以求得 0 和 1 的确定值: 11 11 ˆ ˆ 1 , 0 10 30
31
3、恰好识别与过度识别
• 给定变量样本值，估计某一个随机方程的参数，如果估 计得到确定（有限个）的参数估计量： • （1）只有一组参数估计量，那么称其为恰好识别的； • （2）具有有限组（二组以上，但不是无穷组）参数估计 量，那么称其为过度识别的。 即如果求解结构参数的估计值是唯一的，则此方程是恰 好识别的，如果求解得到结构参数的估计值是不唯一的， 则此方程是过度识别的。若没有解，则不可识别。 在识别的定义中，定义1、2无法区别是恰好还是过度 识别。但定义3可以。
第八章联立方程模型
第八章联立方程模型第八章联立方程模型第1节、联立方程模型的概念1、什么是联立方程模型联立方程模型是相对于前面所学的单一方程模型提出的。
单一方程模型中只含有一个被解释变量和若干个解释变量，这类方程最大的特征是，它只能描述经济变量之间的单向因果关系，即解释变量是因，被解释变量是果，例如Y=β0+β1X+u表示收入对服装支出的影响，收入是因，服装支出是果，而且这种因果关系是不可逆转的，不能用这个方程又解释服装支出对收入的影响。
但是，经济现象是错综复杂的，许多经济变量之间存在着交错的双向或多向因果关系，是相互依存，互为因果的。
例如，收入影响消费，消费反过来也影响收入；价格影响着商品的需求和供给，反过来，商品的需求和供给关系又影响着商品的价格。
因此，要想描述清楚一个经济系统中各个变量之间的关系，就需要用一组方程才能描述清楚。
联立方程模型：同时用若干个模型去表示一个经济系统中经济变量相互联立依存性的模型。
例如：由国内生产总值（Y）、居民消费总额（C）、投资总额（I）、和政府开支（G）等变量构成的简单的宏观经济系统：如果我们把政府开支（G）有系统外部实现给定，那么，就国内生产总值、居民消费总额、投资总额之间是互相影响并互为因果的。
可以建立如下模型：Yt=Ct+It+GtCt=a0+a1Yt+u1tIt=β0+β1Ytβ2Yt-1+μ2t其中第一个方程表示国内生产总值由居民消费总额、投资总额和政府开支共同决定，在假定进出口平衡的情况下，是一个衡等方程；第二个方程表示居民消费总额由国内生产总值决定；第三个方程表示投资总额由国内生产总值和前一年的国内生产总值共同决定。
这就是一个简单的描述宏观经济的联立方程模型。
2、联立方程模型的特点1、模型中不止一个应变量，有M个方程可以有M个应变量；2、应变量和解释变量之间不仅是单向的因果关系，可能是互为因果；3、解释变量有可能是随机的不可控变量，比如上例中，居民消费总额和投资总额是随机变量，而国内生产总值由他们决定，因此国内生产总值不是确定性的变量，它作为居民消费的解释变量，就是随机的变量。
《联立方程识别》课件
编程语言求解工具
Python：NumPy、SciPy、Pandas等库 MATL AB：内置求解器，支持线性方程组求解 R：R语言中的lme4包，支持线性混合模型求解 Julia：Julia语言中的JuMP包，支持线性规划求解
人工智能求解工具
神经网络：深度学 习，用于解决复杂 问题
遗传算法：模拟生 物进化，用于优化 问题
求解方法：包括 直接求解、迭代 求解、数值求解 等
联立方程的分类
线性联立方程：方程组中 的未知数都是线性的
非线性联立方程：方程组 中的未知数至少有一个是 非线性的
代数联立方程：方程组中 的未知数都是代数的
微分联立方程：方程组中 的未知数都是微分的
积分联立方程：方程组中 的未知数都是积分的
混合联立方程：方程组中 的未知数既有代数的，也 有微分的或积分的
卷积神经网络（CNN）：用 于提取图像特征，提高识别 准确率
长短期记忆网络（LSTM）： 用于处理长序列数据，如视 频、音频等
生成对抗网络（GAN）：用 于生成逼真的图像和音频，
提高识别效果
联立方程的解法
代数法解联立方程
消元法：通过加减消元或乘除消元，将方程组转化为一个方程 代入法：将消元后的方程代入原方程组，求解未知数 矩阵法：将方程组转化为矩阵形式，通过矩阵运算求解 数值方法：通过数值计算方法，如牛顿法、二分法等，求解方程组
工业自动化：用于生产线的优化和故障诊断 交通管理：用于交通流量预测和交通信号控制 金融领域：用于风险评估和投资决策 医疗领域：用于疾病诊断和治疗方案制定
人工智能与深度学习在联立方程识别中的展望
深度学习技术在联立方程识别中的应用 人工智能技术在联立方程识别中的发展趋势 深度学习技术在联立方程识别中的挑战与机遇 人工智能技术在联立方程识别中的未来应用前景
联立方程的识别和估计
第八章 联立方程的识别和估计第一部分 学习指导一、本章学习目的与要求1．了解联立方程的概念，能正确区分联立方程中的外生变量、内生变量和前定变量；2．理解联立方程模型估计时会出现什么问题，掌握联立方程模型的结构式和简化式的定义；3．掌握联立方程模型识别的概念，能用识别的阶条件和秩条件判断模型是不可识别、恰好识别还是过度识别；4．掌握联立方程模型的估计方法，重点掌握单方程估计方法——间接最小二乘法（ILS 法）、二阶段最小二乘法（2SLS 法），了解系统估计方法——三阶段最小二乘法（3SLS 法）。
二、本章内容提要联立方程计量经济学模型是相对于单方程计量经济学模型而言的。
它以经济系统为研究对象，以提示经济系统中各部分、各因素之间的数量关系和系统的数量特征为目标，用于经济系统的预测、分析和评价，是计量经济学模型的重要组成部分。
其主要内容有：1．联立方程计量经济学模型的提出：经济研究中的联立方程计量经济学问题，计量经济学方法中的联立方程问题。
2．联立方程计量经济学模型的若干基本概念：变量，结构式模型，简化式模型，参数关系体系。
3．联立方程计量经济学模型的识别：识别的概念，结构式识别条件，简化式识别条件，实际应用中的经验方法。
假设联立方程组中共含有g 个内生变量以及k 个外生变量构成的完备联立方程组，第i 个方程含有i g 个内生变量以及i k 个外生变量，∏为联立方程组的简化型系数矩阵，()B Γ，为联立方程组的结构型系数矩阵，以第i 个方程为代表，则有关的识别条件如下：（1）识别的必要条件1-≥-i i g k k其中：k 表示联立方程组中外生变量的个数，g 表示联立方程组中内生变量的个数，i k 表示第i 个方程含有的外生变量个数，i g 表示第i 个方程含有的内生变量个数。
该条件的直观意思为该方程所排除的外生变量个数不小于其排除的内生变量的个数，也称为阶条件。
（2）识别的充要条件在一个g 含有个内生变量的g 个方程的模型中，一个方程是可识别的，当且仅当，能从模型（其他方程）所含而该方程未含的诸变量（内生变量或前定变量）的系数矩阵中构造出至少一个(g -1)×(g -1)阶的非零行列式来。
第八章 联立方程模型
第八章联立方程模型第1节、联立方程模型的概念1、什么是联立方程模型联立方程模型是相对于前面所学的单一方程模型提出的。
单一方程模型中只含有一个被解释变量和若干个解释变量，这类方程最大的特征是，它只能描述经济变量之间的单向因果关系，即解释变量是因，被解释变量是果，例如Y=β0+β1X+u表示收入对服装支出的影响，收入是因，服装支出是果，而且这种因果关系是不可逆转的，不能用这个方程又解释服装支出对收入的影响。
但是，经济现象是错综复杂的，许多经济变量之间存在着交错的双向或多向因果关系，是相互依存，互为因果的。
例如，收入影响消费，消费反过来也影响收入；价格影响着商品的需求和供给，反过来，商品的需求和供给关系又影响着商品的价格。
因此，要想描述清楚一个经济系统中各个变量之间的关系，就需要用一组方程才能描述清楚。
联立方程模型：同时用若干个模型去表示一个经济系统中经济变量相互联立依存性的模型。
例如：由国内生产总值（Y）、居民消费总额（C）、投资总额（I）、和政府开支（G）等变量构成的简单的宏观经济系统：如果我们把政府开支（G）有系统外部实现给定，那么，就国内生产总值、居民消费总额、投资总额之间是互相影响并互为因果的。
可以建立如下模型：Yt=Ct+It+GtCt=a0+a1Yt+u1tIt=β0+β1Ytβ2Yt-1+μ2t其中第一个方程表示国内生产总值由居民消费总额、投资总额和政府开支共同决定，在假定进出口平衡的情况下，是一个衡等方程；第二个方程表示居民消费总额由国内生产总值决定；第三个方程表示投资总额由国内生产总值和前一年的国内生产总值共同决定。
这就是一个简单的描述宏观经济的联立方程模型。
2、联立方程模型的特点1、模型中不止一个应变量，有M个方程可以有M个应变量；2、应变量和解释变量之间不仅是单向的因果关系，可能是互为因果；3、解释变量有可能是随机的不可控变量，比如上例中，居民消费总额和投资总额是随机变量，而国内生产总值由他们决定，因此国内生产总值不是确定性的变量，它作为居民消费的解释变量，就是随机的变量。
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如果引入下述记法
Π 11 = Π 21 α2β3 α3 ε + α 2 ε 2t α1 + α 2 β1 , Π 12 = , Π 13 = , u1t = 1t 1−α2β2 1−α2β2 1−α2β2 1−α2β2 β3 α3β2 β ε + ε 2t β + α1 β 2 = 1 , Π 22 = , Π 23 = , u 2t = 2 1t 1−α2β2 1−α2β2 1−α2β2 1−α2β2
11
第二节 联立方程模型的识别问题
一、识别性问题的意义
二、判断识别性的一般方法和条件
12
一、识别性问题的意义
例：简单的供给需求均衡模型 供给函数 需求函数 也可以写成 供给函数 需求函数
Qt = α 1 + α 2 Pt + ε 1t
Pt = β1 + β 2Qt + ε 2t
Qt = α1 + α 2 Pt + ε 1t
22
结构式和简约式之间的关系如下
Π11 =
α 2β3 α3 α1 + α 2 β1 α4 , Π12 = , Π13 = , Π14 = 1− α2β2 1 − α 2β2 1− α 2β2 1− α2β2 β3 α 3β2 β + α1β 2 α 4β2 Π 21 = 1 , Π 22 = , Π 23 = , Π 24 = 1− α 2β2 1 − α 2β2 1− α2β2 1− α2β2
16
在需求函数中引入收入变量 Yt 来说明
Qt = α 1 + α 2 Pt + ε 1t Pt = β 1 + β 2 Qt + β 3Yt + ε 2t
化为简约式为：
Qt =
α2β3 ε + α 2 ε 2t α1 + α 2 β1 Yt + 1t = Π 11 + Π 12Yt + u1t + 1−α2β2 1−α2β2 1−α2β2 β3 β ε + ε 2t β + α1 β 2 Pt = 1 + Yt + 2 1t = Π 21 + Π 22Yt + u 2t 1−α2β2 1−α2β2 1−α2β2
17
供给函数可识别
′ D3
P
P3 P2 P1
D1′
S
D3 D2
Q1Biblioteka Q2D1 Q3
Q
18
结构式参数和简约式参数之间存在下列四个 α β α 1 + α 2 β1 关系式 =Π , 2 3 =Π
1 − α 2β2
11
1 − α 2β2
12
β1 + α 1 β 2 β3 = Π 21 , = Π 22 1− α 2β2 1− α 2β2
5
变形后可以得到： 变形后可以得到：
Qt = α1 + α 2 Pt + α 3 Pt −1 + ε 1t ′ ′ ′ Pt = β1′ + β 2Qt + β 3Yt + ε 2t
其中 β 1′ = − β 1 β 2 , β 2 = 1 β 2 , β ′ 3= − β 3 β 2 , ε 2t = − ε 2t β 2 ′ ′ 简单起见仍写成： 简单起见仍写成：
Qt = α1 + α 2 Pt + α 3 Pt −1 + ε 1t Pt = β1 + β 2Qt + β 3Yt + ε 2t
上述都是结构式，其中 是内生变量， 上述都是结构式，其中Qt 和Pt 是内生变量，Yt 和 Pt-1分别为外生变量和滞后内生变量
6
线性变换后得到
Qt =
α2β3 α3 ε + α 2 ε 2t α1 + α 2 β1 + Yt + Pt −1 + 1t 1−α2β2 1−α2β2 1−α2β2 1−α2β2 β3 α3β2 β ε + ε 2t β + α1 β 2 Pt = 1 + Yt + Pt −1 + 2 1t 1−α2β2 1−α2β2 1−α2β2 1−α2β2
Qt = β1 + β 2 Pt + ε 2t
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模型的简约式
为：
α 1 + α 2 β 1 ε 1t + α 2 ε 2 t Qt = + = Π 11 + u 1t 1 − α 2β2 1 − α 2β2 β 1 + α 1 β 2 β 2 ε 1t + ε 2 t Pt = + = Π 21 + u 2 t 1 − α 2β 2 1 − α 2β 2
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模型就化为：
Qt = Π 11 + Π 12Yt + Π 13 Pt −1 + u1t Pt = Π 21 + Π 22Yt + Π 23 Pt −1 + u 2t
这是供求模型的简约式（用所有先决变量作为每个内 简约式（ 简约式 生变量的解释变量） 生变量的解释变量）。 简约式与结构式之间的差别：形式、意义等。 简约式与结构式之间的差别 简约式的优势：可避免随机解释变量。 简约式的优势
β11 β 21 β= β g1
β12 L β1K β 22 L β 2 K , βg2
M L β gK
ε 1t ε 2t ε t = , M ε gt
模型结构式可以表示为 ΓYt = βX t + ε t , 简化式可写为：Yt = Π X t +ν t
而结构式参数却有五个。所以存在不可识别 问题。但因为 α 2 β3 β3
1 − α 2 β2 1 − α 2 β2 = α 2 = Π11 Π 22
所以供给函数可识别，需求函数无法识别。
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在供给函数中再引入一个变量，如 Pt −1 。
Qt = α1 + α 2 Pt + α 3 Pt −1 + ε 1t Pt = β1 + β 2Qt + β 3Yt + ε 2t
第八章 联立方程模型及其识别问题
1
内 容 第一节 联立方程模型及其假设
第二节 联立方程模型的识别问题
2
第一节
联立方程模型及其假设
一、联立方程模型的基本概念
二、联立方程模型的矩阵表示
3
一、联立方程模型的基本概念
内生变量（随机的）、外生变量 内生变量（随机的）、外生变量 ）、 前定变量（先决变量）——外生变量和滞后 前定变量（先决变量） 外生变量和滞后 内生变量（非随机的） 内生变量（非随机的）
它的简约式为：
Qt = Π11 + Π12Yt + Π13 Pt −1 + u1t Pt = Π 21 + Π 22Yt + Π 23 Pt −1 + u2t
20
结构式系数和简约式系数的关系为
α 1 + α 2 β1 α 2 β3 α3 , Π12 = , Π13 = 1− α2β2 1− α2β2 1− α2β2 β + α1β 2 β3 α3β2 Π 21 = 1 , Π 22 = , Π 23 = 1 − α 2β2 1− α2β2 1− α2β2
9
变形后可得
Y1t −γ12Y2t −L−γ1gYgt = β11X1t +Lβ1K XKt + ε1t −γ 21Y1t +Y2t −L−γ 2gYgt = β21X1t +Lβ2K XKt + ε2t M M −γ g1Y1t −γ g2Y2t −L+Ygt = βg1X1t +LβgK XKt + ε gt
26
结构式方程识别条件
方程识别的秩条件：在一个包含有 个内生变量的 个内生变量的g个方程的 方程识别的秩条件：在一个包含有g个内生变量的 个方程的 联立方程系统中，一个方程是可识别的， 联立方程系统中，一个方程是可识别的，当且仅当能从系 统的不含该方程外的所有变量的的系数矩阵中构造出至少 一个(g-1)× (g-1)阶的非零行列式。方程识别的秩条件是一 阶的非零行列式。 一个 × 阶的非零行列式 个充要条件。 个充要条件。 方程识别的阶条件：如果一个方程是可识别的， 方程识别的阶条件：如果一个方程是可识别的，那么它所 不包含的先决变量的个数必须大于它所包含的内生变量的 个数减1。识别的阶条件仅仅是必要条件而非充分条件， 个数减 。识别的阶条件仅仅是必要条件而非充分条件，可 以用阶条件来识别该方程是恰好识别或者是过度识别。 以用阶条件来识别该方程是恰好识别或者是过度识别。
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结构式方程识别条件
如果R(Γ0 , β0 )<g-1, 则第i个结构方程不可识别； 如果 则第 个结构方程不可识别； 个结构方程不可识别 如果R(Γ0 , β0 )＝g-1，则第 个结构方程可以识别，且 个结构方程可以识别， 如果 ＝ ，则第i个结构方程可以识别 个结构方程恰好识别； 若k-ki=gi-1，则第 个结构方程恰好识别； ，则第i个结构方程恰好识别 若k-ki>gi-1，则第 个结构方程过度识别。 个结构方程过度识别。 ，则第i个结构方程过度识别 其中R表示矩阵的秩，一般将前一部分称为秩条件， 其中 表示矩阵的秩，一般将前一部分称为秩条件，用 表示矩阵的秩 以判断结构方程是否识别；后一部分称为阶条件， 以判断结构方程是否识别；后一部分称为阶条件，用 以判断结构方程恰好识别或者过度识别。 以判断结构方程恰好识别或者过度识别。
Π11 =
此时模型两个方程都可识别。
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过度可识别问题
再引入一个解释变量 T t 。模型的结构式为