高考数学专题复习-完美版圆锥曲线知识点总结

高考数学专题复习-完美版圆锥曲线知识点总结1.椭圆的概念椭圆是平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a （大于|F1F2|）的点的轨迹。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。

若M为椭圆上任意一点，则有|MF1|+|MF2|=2a。

椭圆的标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0，焦点在x轴上）或x^2/b^2+y^2/a^2=1（a>b>0，焦点在y轴上）。

2.椭圆的性质①范围：由标准方程得知，椭圆位于直线x=±a，y=±b所围成的矩形里。

②对称性：椭圆关于x轴、y轴和原点对称。

这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心。

③顶点：椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

④离心率：椭圆的焦距与长轴的比e=c/a。

其中，c表示焦距，a表示长半轴长。

椭圆的离心率可以通过长轴和短轴的长度计算得出。

由于长轴大于短轴，因此离心率e的值介于0和1之间。

当离心率接近1时，短轴b的长度会越来越小，导致椭圆变得越扁；反之，当离心率接近0时，短轴b的长度会越来越接近长轴a的长度，此时椭圆会趋向于圆形。

当长轴和短轴的长度相等时，椭圆的两个焦点重合，这时椭圆就变成了圆形，其方程为x+y=a。

双曲线是平面上距离两个定点距离之差绝对值等于常数2a的动点轨迹。

需要注意的是，这里的距离差的绝对值是小于焦距F1F2的。

当距离差等于2a时，得到的是双曲线的一支；当距离差等于-2a时，得到的是双曲线的另一支（含F1的一支）。

当距离差等于0时，得到的是两条射线；当距离差大于2a时，得不到任何图形。

双曲线的焦点是F1和F2，焦距为F1F2.双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1.由此可以看出，双曲线在坐标系中的范围为两条直线x=±a的外侧。

双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。

双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点，双曲线的顶点只有两个，分别是实轴的两个端点。

实轴是线段AA'，长度为2a，叫做双曲线的实轴，a叫做双曲线的实半轴长。

虚轴是线段BB'，长度为2b，叫做双曲线的虚轴，b叫做双曲线的虚半轴长。

双曲线还有两条渐近线，分别与实轴和虚轴平行，当双曲线的两支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。

等轴双曲线是指实轴和虚轴的长度相等的双曲线。

在等轴双曲线中，实轴和虚轴的长度均为a，因此标准方程可以简化为x^2/a^2 - y^2/a^2 = 1，即x^2 - y^2 = a^2.等轴双曲线和抛物线。

二、等轴双曲线的性质：实轴和虚轴等长。

渐近线方程为 y = ±x，且互相垂直。

特征为 a = b，可表示为 x - y = λ (λ ≠ 0)。

当λ。

0 时，交点在 x 轴上；当λ < 0 时，焦点在 y 轴上。

三、抛物线的性质：由定点 F 和定直线 l 的距离相等的点的轨迹。

标准方程为 y = 2px2 (p。

0)，准线方程为 x = -p/2.有四种不同的情况，标准方程分别为 y2 = 2px。

y2 = -2px。

x2 = 2py。

x2 = -2py。

有顶点、焦点、准线和对称轴，无对称中心和渐近线。

焦点到准线的距离为焦距 p，离心率为 e = 1.四、其他：抛物线的通径为通过焦点且垂直于对称轴的弦。

等轴双曲线和抛物线的定义式和性质彼此等价。

注意题目中给出的特征和坐标轴的变化。

在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。

点与曲线的关系可以表示为：若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P(x,y)在曲线C上当且仅当f(x,y)=0，点P(x,y)不在曲线C上当且仅当f(x,y)≠0.对于两条曲线C1和C2，如果它们的方程分别为f1(x,y)=0和f2(x,y)=0，那么点P(x,y)是C1和C2的交点当且仅当f1(x,y)=f2(x,y)，即方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。

圆是一个以定点O为圆心，以定长r为半径的点集M，其方程可以用标准方程或一般方程表示。

对于圆心在C(a,b)，半径为r的圆，其标准方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D²+E²-4F>0时，圆心为(-D/2,-E/2)，半径为√(D²+E²-4F)/2；D²+E²-4F=0时，方程表示一个点(-D/2,-E/2)；D²+E²-4F<0时，方程不表示任何图形。

点与圆的位置关系可以通过计算点到圆心的距离来判断，即｜MC｜=(x-a)²+(y-b)²，其中C(a,b)为圆心，M(x,y)为点的坐标。

若｜MC｜r，则点M在圆C外。

直线和圆的位置关系可以分为相交、相切、相离三种情况。

判定直线和圆的位置关系可以使用判别式法或计算圆心到直线的距离来判断。

如果圆心到直线的距离小于半径，则直线和圆相交；如果圆心到直线的距离等于半径，则直线和圆相切；如果圆心到直线的距离大于半径，则直线和圆相离。

圆锥曲线是指在平面直角坐标系中，满足某个二元方程的点集合，其中包括圆、椭圆、双曲线和抛物线等。

当一个点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与到一条不经过该点的直线l的距离之比为常数e（e＞0）时，该点的轨迹称为圆锥曲线。

其中，定点F(c,0)称为焦点，直线l称为准线，正常数e称为离心率。

当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线。

椭圆的轨迹是到两个定点F1和F2的距离之和为定值2a（2a＞|F1F2|）的点。

另一种表述是到定点和直线的距离之比为定值e（0＜e＜1）的点。

双曲线的轨迹是到两个定点F1和F2的距离之差的绝对值为定值2a（0＜2a＜|F1F2|）的点。

另一种表述是到定点和直线的距离之比为定值e（e＞1）的点。

抛物线的轨迹是与定点和直线的距离相等的点。

椭圆的标准方程是x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0），中心在原点，焦点在x轴上，离心率为c/a（c^2=a^2-b^2），准线为x=±a/c。

双曲线的标准方程是x^2/a^2-y^2/b^2=1（a＞0，b＞0），中心在原点，焦点在x轴上，离心率为c/a（c^2=a^2+b^2），准线为x=±a/c。

抛物线的标准方程是y^2=2px（p＞0），焦点在原点，准线为x=-p/2.椭圆的顶点为(a,0)和(-a,0)，(0,b)和(0,-b)，长轴长2a，短轴长2b，对称轴为x轴和y轴。

双曲线的顶点为(a,0)和(-a,0)，长轴长2a，虚轴长2b，对称轴为x轴和y轴。

抛物线的顶点为(0,0)，开口朝右，焦点为(0,p)，准线为x=-p/2.在椭圆上，离心率e=c/a，其中c为焦距，a为长轴的一半。

在双曲线上，离心率e=c/a，其中c为焦距，a为实轴的一半。

⑶等轴双曲线是指双曲线方程为x2-y2=±a2，其渐近线方程为y=±x，离心率为2.⑷共轭双曲线是指以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线。

若双曲线方程为x2y2-2=λ与abx2y2-1=λ互为共轭双曲线，则它们具有共同的渐近线方程为x2/a2-y2/b2=0.⑸共渐近线的双曲线系方程为x2/a2-y2/b2=λ(λ≠0)的渐近线方程为x/a=y/b，如果双曲线的渐近线方程为xy=±ab，则它的双曲线方程可设为x2/a2-y2/b2=±1.抛物线的相关知识。

1) 抛物线y=2px(p>0)的焦点坐标为(0,p)，准线方程为x=-p，开口向上；抛物线y=-2px(p>0)的焦点坐标为(0,-p)，准线方程为x=p，开口向下；抛物线x=2py(p>0)的焦点坐标为(p,0)，准线方程为y=-p，开口向右；抛物线x=-2py(p>0)的焦点坐标为(-p,0)，准线方程为y=p，开口向左。

2) 抛物线y=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离为MF=x0+p，抛物线y=-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离为MF=-x0+p。

3) 设抛物线的标准方程为y=2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为p，顶点到准线的距离为p。

4) 已知过抛物线y=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长AB=x1-x2+p或AB=2p*sin(α/2)，其中α为直线AB的倾斜角，称为焦半径。

最后，坐标变换是指在解析几何中，改变坐标系的变换，包括坐标轴的平移和旋转等，点的位置和曲线的形状、大小、位置不变，仅改变点的坐标和曲线的方程。

MF22a，其中M为椭圆上任意一点.9.椭圆221（a＞b＞0）的面积为S=πab.10.椭圆221（a＞b＞0）的周长为C=4aE(e)，其中E为第二类完全椭圆积分，e为离心率.11.椭圆221（a＞b＞0）的离心率e=√(1-b2a212.椭圆221（a＞b＞0）的焦距c=√(a2b213.椭圆221（a＞b＞0）的直径长为2a和2b，其中a为长轴，b为短轴.14.椭圆221（a＞b＞0）的顶点坐标为(±a,0)和(0,±b)，中心坐标为(0,0).15.椭圆221（a＞b＞0）的第一离心率e1=√(a2b2a，第二离心率e2=√(a2b2b.16.椭圆221（a＞b＞0）的焦点到任意一点P的距离公式为PF 1PF22a.17.椭圆221（a＞b＞0）的离心率e的几何意义是焦点到中心的距离与长轴的比值.18.椭圆221（a＞b＞0）的离心率e的物理意义是地球椭球体的扁率.19.椭圆221（a＞b＞0）的离心率e的几何意义是椭圆的形状程度，e越接近0，椭圆越接近于圆形，e越接近1，椭圆越接近于狭长形.20.椭圆221（a＞b＞0）的焦距c的几何意义是长轴两端点到焦点的距离，也是椭圆的形状程度，c越接近0，椭圆越接近于圆形，c越接近于a，椭圆越接近于狭长形。