高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义

圆锥曲线综合复习讲义【基础概念填空】 椭圆1．椭圆的定义：平面内与两定点F 1 ，F 2的距离的和__________________的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的_________ , 两焦点之间的距离叫做椭圆的________.2.椭圆的标准方程：椭圆)0b a (1by a x 2222>>=+的中心在______，焦点在_______轴上,焦点的坐标分别是是F 1 ___________，F 2 ____________；椭圆)0b a (1bx a y 2222>>=+的中心在______，焦点在_______轴上,焦点的坐标分别是F 1 ____________，F 2 ____________.3.几个概念：椭圆与对称轴的交点，叫作椭圆的______.a 和b 分别叫做椭圆的______长和______长。

椭圆的焦距是_________. a,b,c 的关系式是_________________。

椭圆的________与________的比称为椭圆的离心率，记作e=_____,e 的范围是_________. 双曲线 1．双曲线的定义：平面内与两定点F 1 ，F 2的距离的差_____________________的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点叫做双曲线的_________ , 两焦点之间的距离叫做双曲线的________.2.双曲线的标准方程：双曲线0)b 0,1(a by a x 2222>>=-的中心在______，焦点在_______轴上,焦点的坐标是____________；顶点坐标是______________,渐近线方程是_____________.双曲线0)b 0,1(a bx a y 2222>>=-的中心在______，焦点在_______轴上,焦点的坐标是____________；顶点坐标是______________,渐近线方程是_____________. 3.几个概念：双曲线与对称轴的交点，叫作双曲线的_____.a 和b 分别叫做双曲线的________长 和_______长。

圆锥曲线复习讲义－学生版【基础知识】 一.椭圆与双曲线椭 圆双 曲 线定义 1212||||2(2||)PF PF a a F F +=>1212||||||2(2||)PF PF a a F F -=<方程22221x y a b += 22221x y b a+= 22221x y a b -= 22221y x a b -= 图形焦点 (,0)F c ± (0,)F c ±(,0)F c ± (0,)F c ±焦距 C F F 221=对称轴关于x .y 轴对称，关于原点成中心对称顶点长轴：(-a ,0),(a ,0) 短轴：(0,-b ),(0,b )长轴：(-b ,0),(b ,0) 短轴：(0,-a ),(0,a )实轴：(-a ,0),(a ,0) 虚轴：(0,-b ),(0,b )实轴：(-b ,0),(b ,0)虚轴：(0,-a ),(0,a )轴 长轴长2a ，短轴长2b实轴长2a ，虚轴长2b离心率 22222221(01)c c a b b e e a a a a-====-<< 22222221(1)c c a b be e a a a a+====+>渐进线无xab y ±= x ba y ±= a ,b ,c 2220c b a b a +=>>，2220b a c a c +=>>，M MPK K 1A A 2F F O yx二．抛物线的性质标准方程22(0)y px p => 22(0)y px p =->22(0)x py p => 22(0)x py p =-> 图形焦点坐标 (,0)2p(,0)2p-(0,)2p (0,)2p -准线方程 2p x =-2p x = 2p y =-2p y =范围 0x ≥ 0x ≤0y ≥ 0y ≤离心率1e = 1e = 1e = 1e = 三、弦长公式： ||14)(1||1||2212212212A k x x x x k x x k AB ∆⋅+=-+⋅+=-+= 其中,∆,A 分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y 后所得关于x 的一元二次方程 的判别式和2x 的系数求弦长步骤：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x 的一元二次方程,02=++C Bx Ax 设),(11y x A ，),(22y x B ，由韦达定理求出AB x x -=+21，ACx x =21；（3）代入弦长公式计算。

高考文科数学圆锥曲线专题复习圆锥曲线专题复习______________________________________________________________________________ ________________________（一）椭圆1. 椭圆的性质：由椭圆方程2?2?1(a?b?0)（1）范围：?a?x?a，-b?x?a，椭圆落在x??a，y??b组成的矩形中。

（2）对称性:图象关于y轴对称。

图象关于x轴对称。

图象关于原点对称。

原点叫椭圆的对称中心，简称中心。

x轴、y轴叫椭圆的对称轴。

从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。

（3 椭圆共有四个顶点：A(?a,0),A2(a,0)，B(0,?b),B2(0,b)。

加两焦点F1(?c,0),F2(c,0)共有六个特殊点。

A1A2叫椭圆的长轴，B1B2叫椭圆的短轴。

长分别为2a,2b。

a,b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。

椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。

（4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。

e??e??()2。

0?e?1。

aa椭圆形状与e的关系：e?0,c?0，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e?0时的特例。

e?1,c?a,椭圆变扁，直至成为极限位置线段F1F2，此时也可认为是椭圆在e?1时的特例。

2. 椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1)内常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。

其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率。

3. 椭圆的准线方程x2y2a2a2对于2?2?1，左准线l1:x??；右准线l2:x?______________________________________________________________________________ ________________________y2x2a2a2对于2?2?1，下准线l1:y??；上准线l2:y?ccaba2a2?c2b2?c??焦点到准线的距离p?（焦参数） ccc（二）双曲线的几何性质： 1. （1）范围、对称性由标准方程2?2?1，从横的方向来看，直线x＝－a,x＝a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线。

直线与圆锥曲 线一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax By C 0 (A, B 不同时为0)代入圆 锥曲线C 的方程F (x, v) =0,消去y (也可以消去x)得到关丁一个变量的一元二次方程，即联立三、中点弦所在直线的斜率.22222-2 ;若椭圆方程为土号1(a b 0)时，相应结论为k —^-°(y 0 0),即kgk °p土 ；aab' by °b'2222若双曲线方程为七，1时，相应结论为k %~°(y 0 0),即kck op 旦^；a bb y ° bI 复习提问Ax By C 0 F (x, y) 0消去y 后得ax 2bx c 0(1) 当a 0时，即得到一个一元一次方程，贝U l 与C 相交，有且只有一个交点，此时，若 C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线平■行;若 C 为抛物线，则直线l 抛物线的对称轴平■行(2)当a 0时， 0,直线l 与曲线C 有两个不同的交点;公共点(切点)； 0,直线l 与曲线C 相离。

二、圆锥曲线的弦长公式0,直线l 与曲线C 相切，即有唯相交弦AB 的弦长2 2(1)若椭圆方程为 1 土 1(a a b b 0)时，以P(x °,y °)为中点的弦所在直线斜率kb 2x。

a 2y(y 。

即 k*°p(2) P2(x 0,y 0)是双曲线 —2~ a 2yb 21部一点，以 P 为中点的弦所在直线斜率k 孕(y °a V 。

k*°pABk 2^ 7(x i x^74x 1x 21j I y i y 2(3)) P (x °,y 。

)是抛物线y 2 2px 部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率n题型与方法一、直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判断：通法为直线代入曲线判断0;另一方法就是数形结合，如直 线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率大小得到。

直线与圆锥曲线的综合运用一、知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0①直线与圆锥曲线相交；①Δ＝0①直线与圆锥曲线相切；①Δ<0①直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点．①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；①若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.3.过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线； 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．二、课前预习1.若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是____．2.斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为____．3.直线mx ＋ny ＝4与①O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是____个．4.已知A 1，A 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点，P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的任意一点，若直线P A 1，P A 2的斜率的乘积为－49，则椭圆C 的离心率为____．5.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点)23,1(P ，离心率为12.(1) 求椭圆C 的方程． (2) 若斜率为32的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试探究OA 2＋OB 2是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．三、典型例题题型一. 直线与圆锥曲线的位置关系例1已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．变式 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上． (1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上，离心率为12的椭圆E 的左顶点为A ，点A 到右准线的距离为6． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）过点A 且斜率为32的直线与椭圆E 交于点B ，过点B 与右焦点F 的直线交椭圆E 于M 点，求M 点的坐标．题型二 弦长问题例3 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 的离心率e ＝22，右焦点F 到左准线l 的距离为3．(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程．变式 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 斜率为0时，AB ＝4. (1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．BAOxy lP C题型三 定点问题例4 如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为2的椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA 分别与y 轴交于,M N 两点．若直线PQ斜率为2时，PQ = （1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．例5 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ：x 2＋y 2－6x －2y ＋7＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且AP →·AQ →＝0，求证：直线l 过定点，并求出该定点N 的坐标．变式1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点1P (1,1)，2P (0,1)，)23,1(3 P ，)23,1(4P 中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．变式2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知过点M (0，－1)的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试判断以线段AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．题型四 定值问题例6 已知椭圆)(:012222>>=+b a by a x C 的离心率为23，且过点),(12-P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过P 点作两条直线分别交椭圆C 于),(11y x A),(22y x B 两点，若直线PQ 平分APB ∠，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．变式 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A . （1）求该椭圆的方程；（2）过点(2,2)D -作直线PQ 交椭圆于两个不同点,P Q ，求证：直线,AP AQ 的斜 率之和为定值.例7 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>，焦点到相应准线的距离为1． （1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y =于点Q ，求2211OP OQ +的值．变式在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:O x y b +=经过椭圆222:14x y E b +=(02)b <<的焦点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+交椭圆E 于,P Q 两点，T 为弦PQ 的中点，(1,0),(1,0)M N -，记直线,TM TN 的斜率分别为12,k k ，当22221m k -=时，求12k k ⋅的值.题型五 最值、范围问题例8 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F (－1，0)，左准线方程为x ＝－2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若椭圆C 上有A ，B 两点，满足OA ①OB (O 为坐标原点)，求①AOB 面积的取值范围．例9 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，点B 是椭圆C 上异于左、右顶点的任一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q ，已知椭圆C 的离心率为12，点A 到右准线的距离为6。

第一课时 定点问题题型一 直线过定点问题例1 (2020·全国Ⅰ卷)已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG →·GB →＝8，P 为直线x ＝6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D . (1)求E 的方程；(2)证明：直线CD 过定点.(1)解 由题设得A (－a ，0)，B (a ，0)，G (0，1). 则AG→＝(a ，1)，GB →＝(a ，－1). 由AG →·GB →＝8，得a 2－1＝8， 解得a ＝3或a ＝－3(舍去). 所以椭圆E 的方程为x 29＋y 2＝1.(2)证明 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，P (6，t ).若t ≠0，设直线CD 的方程为x ＝my ＋n ，由题意可知－3<n <3. 易知直线P A 的方程为y ＝t9(x ＋3)， 所以y 1＝t9(x 1＋3).易知直线PB 的方程为y ＝t3(x －3)， 所以y 2＝t3(x 2－3).可得3y 1(x 2－3)＝y 2(x 1＋3).① 由于x 229＋y 22＝1， 故y 22＝－（x 2＋3）（x 2－3）9，②由①②可得27y 1y 2＝－(x 1＋3)(x 2＋3)， 结合x ＝my ＋n ，得(27＋m 2)y 1y 2＋m (n ＋3)(y 1＋y 2)＋(n ＋3)2＝0.③ 将x ＝my ＋n 代入x 29＋y 2＝1， 得(m 2＋9)y 2＋2mny ＋n 2－9＝0. 所以y 1＋y 2＝－2mnm 2＋9，y 1y 2＝n 2－9m 2＋9.代入③式，得(27＋m 2)(n 2－9)－2m (n ＋3)mn ＋(n ＋3)2(m 2＋9)＝0. 解得n ＝－3(舍去)或n ＝32. 故直线CD 的方程为x ＝my ＋32， 即直线CD 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0.若t ＝0，则直线CD 的方程为y ＝0，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0.综上，直线CD 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0.感悟提升 圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.训练1 已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，|PF 1|＋|PF 2|＝4. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l 不经过P 点且与椭圆C 相交于A ，B 两点.若直线P A 与直线PB 的斜率之和为1，问：直线l 是否过定点？证明你的结论. 解 (1)由|PF 1|＋|PF 2|＝4，得a ＝2， 又P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32在椭圆上，代入椭圆方程有1a 2＋94b 2＝1，解得b ＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)当直线l 的斜率不存在时， 设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，k 1＋k 2＝y 1－32－y 1－32x 1＋1＝1，解得x 1＝－4，与椭圆无交点，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2－12＝0，整理得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2， Δ＝48(4k 2－m 2＋3)>0. 由k 1＋k 2＝1，整理得(2k －1)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋m －52(x 1＋x 2)＋2m －4＝0，即(m －4k )(2m －2k －3)＝0.当m ＝k ＋32时，此时，直线l 过P 点，不符合题意；当m ＝4k 时，Δ＝4k 2－m 2＋3>0有解，此时直线l ：y ＝k (x ＋4)过定点(－4，0).题型二 圆过定点问题例2 (2021·湖南三湘名校联考)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b ≥1)的离心率为22，它的上焦点到直线bx ＋2ay －2＝0的距离为23. (1)求椭圆C 的方程；(2)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，试探究以线段AB 为直径的圆是否过定点.若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由. 解 (1)由题意得，e ＝c a ＝22. 又a 2＝b 2＋c 2， 所以a ＝2b ，c ＝b . 又|2ac －2|4a 2＋b 2＝23，a >b ≥1，所以b 2＝1，a 2＝2， 故椭圆C 的方程为y 22＋x 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，以线段AB 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋y 2＝169.当AB ⊥y 轴时，以线段AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1. 可得两圆交点为Q (－1，0).由此可知，若以线段AB 为直径的圆过定点，则该定点为Q (－1，0). 下证Q (－1，0)符合题意. 设直线l 的斜率存在，且不为0， 其方程设为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13，代入y 22＋x 2＝1，并整理得(k 2＋2)x 2－23k 2x ＋19k 2－2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 23（k 2＋2），x 1x 2＝k 2－189（k 2＋2）， 所以QA →·QB →＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13k 2(x 1＋x 2)＋1＋19k 2＝(1＋k 2)·k 2－189（k 2＋2）＋⎝⎛⎭⎪⎫1－13k 2·2k 23（k 2＋2）＋1＋19k 2 ＝0.故QA→⊥QB →，即Q (－1，0)在以线段AB 为直径的圆上.综上，以线段AB 为直径的圆恒过定点(－1，0).感悟提升 1.定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即k ＝0或k 不存在时.2.圆过定点问题，一般从圆的直径所对的圆心角为直角入手，利用垂直关系找到突破口，从而解决问题.训练2 (2022·江西红色七校联考)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为2 2. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点S ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0的动直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点T ，使得无论直线l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由. 解 (1)由椭圆的定义可得2a ＝22， 则a ＝2，∵椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22， ∴c ＝1，则b ＝a 2－c 2＝1，∴椭圆C 的标准方程为y 22＋x 2＝1.(2)当直线l 不与x 轴重合时，设直线l 的方程为x ＝my －13，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，T (t ，0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －13，y 22＋x 2＝1消去x 并整理，得(18m 2＋9)y 2－12my －16＝0，Δ＝144m 2＋64(18m 2＋9)＝144(9m 2＋4)>0恒成立， 则y 1＋y 2＝12m 18m 2＋9＝4m 6m 2＋3，y 1y 2＝－1618m 2＋9. 由于以AB 为直径的圆恒过点T ， 则TA ⊥TB ，TA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 1－t －13，y 1，TB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2－t －13，y 2，则TA →·TB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 1－t －13⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2－t －13＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2－m ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋13(y 1＋y 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋132＝－16（m 2＋1）－m ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋13×12m18m 2＋9＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋132 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋132－（12t ＋20）m 2＋1618m 2＋9＝0， ∵点T 为定点，∴t 为定值，与m 无关， ∴12t ＋2018＝169，解得t ＝1，此时TA →·TB→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432－169＝0，符合题意. 当直线l 与x 轴重合时，AB 为椭圆C 的短轴，易知以AB 为直径的圆过点(1，0). 综上所述，存在定点T (1，0)，使得无论直线l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过定点T .圆锥曲线中的“伴侣点”问题在圆锥曲线的很多性质中，常常出现一对活跃的点A (m ，0)和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m ，0，这一对点总是同时出现在圆锥曲线的对称轴上，形影不离，相伴而行，我们把这对特殊的点形象地称作圆锥曲线的“伴侣点”.圆锥曲线的“伴侣点”在我们研究圆锥曲线的性质中具有重要的地位，蕴涵着圆锥曲线许多有趣的性质. 例 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，设A (m ，0)和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m ，0(0<m <a )是x 轴上的两点，过点A 作斜率不为0的直线l ，使得l 交双曲线于C ，D 两点，作直线BC 交双曲线于另一点E .证明：直线DE 垂直于x 轴. 证明 设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，E (x 3，y 3)， 则直线l 的方程为y ＝y 1x 1－m(x －m ). 把直线l 的方程代入双曲线方程，整理得(b 2x 21－a 2y 21－2b 2mx 1＋b 2m 2)x 2＋2a 2my 21x －a 2y 21m 2－a 2b 2(x 1－m )2＝0， 由b 2x 21－a 2y 21＝a 2b 2(点C 在双曲线上)，上面方程可化简为(a 2b 2－2b 2mx 1＋b 2m 2)x 2＋2a 2my 21x －a 2[(y 21＋b 2)m 2＋b 2x 21－2b 2mx 1]＝0， 又因为b 2x 21－a 2y 21＝a 2b 2， 所以a 2(y 21＋b 2)＝b 2x 21，代入上式，方程又可化简为(a 2b 2－2b 2mx 1＋b 2m 2)x 2＋2a 2my 21x －b 2x 21m 2－a 2b 2x 21＋2a 2b 2mx 1＝0，由已知，显然a 2b 2－2b 2mx 1＋b 2m 2≠0，于是x 1x 2＝－x 21m 2＋a 2x 21－2a 2mx 1a 2－2mx 1＋m 2，因为x 1≠0，得x 2＝－x 1m 2＋a 2x 1－2a 2ma 2－2mx 1＋m 2(*) 同理，直线BC 的方程为y ＝y 1x 1－a 2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2m ， 所以只要把(*)中m 换成a 2m，就可以得到x 3＝－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m 2＋a 2x 1－2a 2a 2m a 2－2a 2m x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m 2＝－x 1m 2＋a 2x 1－2a 2m a 2－2mx 1＋m 2， 所以x 2＝x 3，故直线DE 垂直于x 轴.1.已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A (1，2)为抛物线C 上一点. (1)求抛物线C 的方程；(2)若点B (1，－2)在抛物线C 上，过点B 作抛物线C 的两条弦BP 与BQ ，如k BP ·k BQ ＝－2，求证：直线PQ 过定点.(1)解 若抛物线的焦点在x 轴上，设抛物线方程为y 2＝ax ，代入点A (1，2)，可得a ＝4，所以抛物线方程为y 2＝4x .若抛物线的焦点在y 轴上，设抛物线方程为x 2＝my ，代入点A (1，2)，可得m ＝12，所以抛物线方程为x 2＝12y .综上所述，抛物线C 的方程是y 2＝4x 或x 2＝12y .(2)证明 因为点B (1，－2)在抛物线C 上，所以由(1)可得抛物线C 的方程是y 2＝4x .易知直线BP ，BQ 的斜率均存在，设直线BP 的方程为y ＋2＝k (x －1)，将直线BP 的方程代入y 2＝4x ，消去y ，得 k 2x 2－(2k 2＋4k ＋4)x ＋(k ＋2)2＝0.设P (x 1，y 1)，则x 1＝（k ＋2）2k 2，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫（k ＋2）2k 2，2k ＋4k . 用－2k 替换点P 坐标中的k ，可得Q ((k －1)2，2－2k )，从而直线PQ 的斜率为2k ＋4k －2＋2k（k ＋2）2k 2－（k －1）2＝2k 3＋4k－k 4＋2k 3＋4k ＋4＝2k－k 2＋2k ＋2，故直线PQ 的方程是 y －2＋2k ＝2k －k 2＋2k ＋2·[x －(k －1)2]. 在上述方程中，令x ＝3，解得y ＝2， 所以直线PQ 恒过定点(3，2).2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，且经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点B (4，0)作一条斜率不为0的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，记点P 关于x 轴对称的点为P ′.证明：直线P ′Q 经过x 轴上一定点D ，并求出定点D 的坐标.(1)解 由椭圆的定义，可知 2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝（23）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＝4.解得a ＝2.又b 2＝a 2－(3)2＝1.∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 由题意，设直线l 的方程为 x ＝my ＋4(m ≠0).设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则P ′(x 1，－y 1).由⎩⎨⎧x ＝my ＋4，x 24＋y 2＝1，消去x ，可得(m 2＋4)y 2＋8my ＋12＝0. ∵Δ＝16(m 2－12)>0，∴m 2>12. ∴y 1＋y 2＝－8mm 2＋4，y 1y 2＝12m 2＋4.∵k P ′Q ＝y 2＋y 1x 2－x 1＝y 2＋y 1m （y 2－y 1）.∴直线P ′Q 的方程为 y ＋y 1＝y 2＋y 1m （y 2－y 1）(x －x 1).令y ＝0，可得x ＝m （y 2－y 1）y 1y 1＋y 2＋my 1＋4.∴x ＝2my 1y 2y 1＋y 2＋4＝2m ·12m 2＋4－8m m 2＋4＋4＝24m－8m＋4＝1.∴D (1，0).∴直线P ′Q 经过x 轴上定点D ，其坐标为(1，0).3.如图，已知直线l ：y ＝kx ＋1(k >0)关于直线y ＝x ＋1对称的直线为l 1，直线l ，l 1与椭圆E ：x 24＋y 2＝1分别交于点A ，M 和A ，N ，记直线l 1的斜率为k 1.(1)求kk 1的值；(2)当k 变化时，求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点的坐标.(1)解 设直线l 上任意一点P (x ，y )关于直线y ＝x ＋1对称的点为P 0(x 0，y 0)， 直线l 与直线l 1的交点为(0，1)，所以l ：y ＝kx ＋1，l 1：y ＝k 1x ＋1，k ＝y －1x ，k 1＝y 0－1x 0， 由y ＋y 02＝x ＋x 02＋1，得y ＋y 0＝x ＋x 0＋2，①由y －y 0x －x 0＝－1，得y －y 0＝x 0－x ，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 0＋1，y 0＝x ＋1，所以kk 1＝yy 0－（y ＋y 0）＋1xx 0＝（x ＋1）（x 0＋1）－（x ＋x 0＋2）＋1xx 0＝1. (2)证明 由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1，得 (4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0，设M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，所以x M ＝－8k 4k 2＋1，所以y M ＝1－4k 24k 2＋1.同理可得x N ＝－8k 14k 21＋1＝－8k4＋k 2，y N ＝1－4k 214k 21＋1＝k 2－44＋k 2. k MN ＝y M －y N x M －x N ＝1－4k 24k 2＋1－k 2－44＋k 2－8k 4k 2＋1－－8k4＋k 2 ＝8－8k 48k （3k 2－3）＝－k 2＋13k ， 直线MN ：y －y M ＝k MN (x －x M )，即y －1－4k 24k 2＋1＝－k 2＋13k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －－8k 4k 2＋1， 即y ＝－k 2＋13k x －8（k 2＋1）3（4k 2＋1）＋1－4k 24k 2＋1＝－k 2＋13k x －53.所以当k 变化时，直线MN 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－53. 4.已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是双曲线C 2：x 2m 2－y 2＝1的左、右焦点，且C 1与C 2相交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫233，33. (1)求椭圆C 1的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx －13与椭圆C 1交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点；若不恒过定点，请说明理由.解 (1)将⎝ ⎛⎭⎪⎫233，33代入x 2m 2－y 2＝1，解得m 2＝1， ∴a 2＝m 2＋1＝2，将⎝ ⎛⎭⎪⎫233，33代入x 22＋y 2b 2＝1，解得b 2＝1，∴椭圆C 1的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －13，x 22＋y 2＝1，整理得(9＋18k 2)x 2－12kx －16＝0， ∴x 1＋x 2＝12k 9＋18k 2，x 1x 2＝－169＋18k 2， Δ＝144k 2＋64(9＋18k 2)>0.由对称性可知，以AB 为直径的圆若恒过定点，则定点必在y 轴上. 设定点为M (0，y 0)，则MA →＝(x 1，y 1－y 0)，MB →＝(x 2，y 2－y 0) MA →·MB →＝x 1x 2＋(y 1－y 0)(y 2－y 0) ＝x 1x 2＋y 1y 2－y 0(y 1＋y 2)＋y 20＝x 1x 2＋k 2x 1x 2－k 3(x 1＋x 2)－y 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤k （x 1＋x 2）－23＋19＋y 20 ＝(1＋k 2)x 1x 2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋y 0(x 1＋x 2)＋y 20＋23y 0＋19 ＝18（y 20－1）k 2＋9y 20＋6y 0－159＋18k 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 20－1＝0，9y 20＋6y 0－15＝0，解得y 0＝1， ∴M (0，1)，∴以线段AB 为直径的圆恒过定点(0，1).。

一、直线l与圆锥曲线C的位置关系的判断判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程0Ax By C++=（A，B不同时为0）代入圆锥曲线C的方程F（x，y）=0，消去y（也可以消去x）得到关于一个变量的一元二次方程，即联立0(,)0Ax By CF x y++=⎧⎨=⎩消去y后得20ax bx c++=（1）当0a=时，即得到一个一元一次方程，则l与C相交，有且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l抛物线的对称轴平行。

（2）当0a≠时，0∆>，直线l与曲线C有两个不同的交点；0∆=，直线l与曲线C相切，即有唯一公共点（切点）；0∆<，直线l与曲线C相离。

二、圆锥曲线的弦长公式相交弦AB的弦长1212ABABAB x y y⎧⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-==-⎪⎪⎩三、中点弦所在直线的斜率（1）若椭圆方程为22221(0)x ya ba b+=>>时，以P00（x,y）为中点的弦所在直线斜率22(0)bk ya=-≠xy，即22opbk ka=-g；若椭圆方程为22221(0)y xa ba b+=>>时，相应结论为22(0)ak yb=-≠xy，即22opak kb=-g；（2）P00（x,y）是双曲线22221x ya b-=部一点，以P为中点的弦所在直线斜率22(0)bk ya=≠xy，即22opbk ka=g；若双曲线方程为22221y xa b-=时，相应结论为22(0)ak yb=≠xy，即22opak kb=g；（3））P 00（x ,y ）是抛物线22y px =部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率0(0)pk y =≠0y ； 若方程为22x py =时，相应结论为k p=0x 。

Ⅱ 题型与方法一、直线与圆锥曲线的位置关系（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判断：通法为直线代入曲线判断0∆>；另一方法就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率大小得到。

高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义全-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIANⅠ复习提问一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）代入圆锥曲线C 的方程F （x ，y ）=0，消去y （也可以消去x ）得到关于一个变量的一元二次方程，即联立(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩消去y 后得20ax bx c ++= （1）当0a =时，即得到一个一元一次方程，则l 与C 相交，有且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 抛物线的对称轴平行。

（2）当0a ≠时，0∆>，直线l 与曲线C 有两个不同的交点；0∆=，直线l 与曲线C 相切，即有唯一公共点（切点）；0∆<，直线l 与曲线C 相离。

二、圆锥曲线的弦长公式相交弦AB的弦长1212AB AB AB x y y ⎧⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-==-⎪⎪⎩三、中点弦所在直线的斜率（1）若椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>时，以P 00（x ,y ）为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =-≠00x y ，即22op b k k a =-；若椭圆方程为22221(0)y x a b a b +=>>时，相应结论为202(0)a k y b =-≠0x y ，即22op a k k b =-；（2）P 00（x ,y ）是双曲线22221x y a b -=内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =≠0x y ，即22op b k k a =； 若双曲线方程为22221y x a b -=时，相应结论为202(0)a k y b =≠0x y ，即22op a k k b =；（3））P 00（x ,y ）是抛物线22y px =内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率0(0)pk y =≠0y ；若方程为22x py =时，相应结论为k p=0x 。

前言编者编写本书的初衷是以学生为中心，实用性优先，没有花里胡哨的冗杂结论。

本书筛选了2010-2018年的各地高考圆锥曲线大题并适当归类讲解，删去了思维跨度大，计算量极高的题，总计一百余题。

考虑到高中生学习繁忙，编者尽可能的将本书压缩到了一百余页，并结合丰富的举例，偏向于去教学生怎么思考，往哪个方向思考，怎么去分析思路，并予以启发。

不建议基础知识不牢且计算功底弱的学生看这本书，否则效果适得其反。

如果连一些基本算理都搞不清的话，则是开卷无益。

本书前半部分的讲解足以解决后半部分的习题，所以后半部分则以题目为主，部分内容借鉴了网上公开的免费视频与免费文档，对其分享的思路表示非常感谢！另外，编者对于圆锥曲线的第二第三定义及其衍生的结论并没有去细致讲解，请同学们依据课本自行完善。

由于本书核心部分来自孙斌老师。

我做二次处理而成，加入了答案和少量自己的见解。

如有疏漏与错误，还请包涵与指正。

QQ:21113823湖北省广水实高李大丹目录第一章题目信息转化为坐标表达/21.1距离公式与弦长公式/31.2题目核心条件转化为坐标/91.3转化为坐标后，怎么处理/16第二章获得点的坐标解决问题/252.1通过表示点的坐标解决问题/252.2怎么获取点的坐标/262.3设点与设直线结合起来/41第三章定点定值/493.1什么样的直线过定点/493.2怎么解决直线过定点/503.3圆过定点与定值举例/58第四章优化计算/604.1反设直线/604.2简化运算的技巧/63第五章面积与最值/665.1三角形的面积表达/665.2求最值之变量化一/775.3求最值之均值不等式/795.4求最值之借助导数/83第六章切线/86第七章轨迹方程/98第八章借助几何分析解决问题/108第九章探索类问题/136第十章对称问题/143第十一章弦中点与点差法/149第一章题目信息转化为坐标表达第一章题目信息转化为坐标表达/21.1距离公式与弦长公式/31.2题目核心条件转化为坐标/91.3转化为坐标后，怎么处理/16总思路：1.联立直线与曲线并且判断Δ>0⇒使用韦达定理得到x1＋x2＝,x1x2＝(绝大部分学生能做到)2.题目中核心信息⇒坐标表达式(本课需要解决的问题，也是学生感觉最杂的问题。

第二课时 定值问题题型一 长度或距离为定值例1 (2020·新高考山东卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且过点A (2，1). (1)求C 的方程；(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足.证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值.(1)解 由题设得4a 2＋1b 2＝1, 且a 2－b 2a 2＝12，解得a 2＝6，b 2＝3. 所以C 的方程为x 26＋y 23＝1. (2)证明 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2). 若直线MN 与x 轴不垂直， 设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ， 代入x 26＋y 23＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0. 于是x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2.①由AM ⊥AN ，得AM →·AN →＝0，故(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＋4＝0.将①代入上式，可得(k 2＋1)2m 2－61＋2k 2－(km －k －2)4km 1＋2k 2＋(m －1)2＋4＝0， 整理得(2k ＋3m ＋1)(2k ＋m －1)＝0.因为A (2，1)不在直线MN 上， 所以2k ＋m －1≠0， 所以2k ＋3m ＋1＝0，k ≠1.所以直线MN 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23－13(k ≠1).所以直线MN 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13.若直线MN 与x 轴垂直，可得N (x 1，－y 1). 由AM →·AN→＝0，得(x 1－2)(x 1－2)＋(y 1－1)(－y 1－1)＝0.又x 216＋y 213＝1，所以3x 21－8x 1＋4＝0.解得x 1＝2(舍去)，或x 1＝23.此时直线MN 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13.令Q 为AP 的中点，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt △ADP 的斜边， 故|DQ |＝12|AP |＝223.若D 与P 重合，则|DQ |＝12|AP |.综上，存在点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，使得|DQ |为定值.感悟提升 1.求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.2.求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得.训练1 (2022·成都诊断)已知动点P (x ，y )(其中x ≥0)到定点F (1，0)的距离比点P 到y 轴的距离大1.(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)过椭圆C 1：x 216＋y 212＝1的右顶点作直线交曲线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点. ①求证：OA ⊥OB ；②设OA ，OB 分别与椭圆C 1相交于点D ，E ，证明：坐标原点到直线DE 的距离为定值.(1)解 由题意，得（x －1）2＋y 2＝x ＋1(x ≥0)，两边平方，整理得y 2＝4x ，所以所求点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .(2)证明 ①设过椭圆的右顶点(4，0)的直线AB 的方程为x ＝my ＋4. 代入抛物线方程y 2＝4x ，得y 2－4my －16＝0， 由题意知Δ>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－16，∴x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋4)(my 2＋4)＋y 1y 2 ＝(1＋m 2)y 1y 2＋4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16(1＋m 2)＋4m ×4m ＋16＝0， 即OA →·OB→＝0，∴OA ⊥OB .②设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，直线DE 的方程为x ＝ty ＋λ，代入x 216＋y 212＝1，得 (3t 2＋4)y 2＋6tλy ＋3λ2－48＝0，Δ>0， 于是y 3＋y 4＝－6tλ3t 2＋4，y 3y 4＝3λ2－483t 2＋4.从而x 3x 4＝(ty 3＋λ)(ty 4＋λ)＝t 2y 3y 4＋tλ(y 3＋y 4)＋λ2＝4λ2－48t 23t 2＋4.∵OD ⊥OE ，∴OD →·OE →＝0，即x 3x 4＋y 3y 4＝0，代入，整理得7λ2＝48(t 2＋1)， ∴坐标原点到直线DE 的距离d ＝|λ|1＋t 2＝4217，为定值. 题型二 斜率或其表达式为定值例2 (12分)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1，2).过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N . (1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值. [规范解答](1)解 因为抛物线y 2＝2px 过点P (1，2)， 所以2p ＝4，即p ＝2.故抛物线C 的方程为y 2＝4x .……………………2分 由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0).由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. ……………………4分 依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0， 解得k <1，又因为k ≠0，故k <0或0<k <1. 又P A ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2). 从而k ≠－3.所以直线l 斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1). ………………6分 (2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k 2.直线P A 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1). ……………………7分 令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2. ……………………8分同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2. ……………………9分由QM→＝λQO →，QN →＝μQO →得 λ＝1－y M ，μ＝1－y N . ……………………10分所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N ＝x 1－1（k －1）x 1＋x 2－1（k －1）x 2＝1k －1·2x 1x 2－（x 1＋x 2）x 1x 2＝1k －1·2k 2＋2k －4k 21k 2＝2.所以1λ＋1μ＝2为定值. ……………………12分第一步 求圆锥曲线的方程 第二步 特殊情况分类讨论 第三步 联立直线和圆锥曲线的方程第四步 应用根与系数的关系用参数表示点的坐标 第五步 根据相关条件计算推证 第六步 明确结论训练2 (2021·大同调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，已知|AB |＝4，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，354在椭圆上，其中e 是椭圆的离心率.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上异于A ，B 的点，与x 轴垂直的直线l 分别交直线AP ，BP 于点M ，N ，求证：直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值. (1)解 ∵|AB |＝4，∴2a ＝4，即a ＝2. 又点⎝⎛⎭⎪⎫e ，354在椭圆上， ∴e 2a 2＋4516b 2＝1，即c 216＋4516b 2＝1， 又b 2＋c 2＝a 2＝4，联立方程解得b 2＝3， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 由(1)知A (－2，0)，B (2，0)，设P 点坐标为(s ，t )，M ，N 的横坐标为m (m ≠±2)， 则直线AP 的方程为y ＝ts ＋2(x ＋2)， 故M ⎝⎛⎭⎪⎫m ，t s ＋2（m ＋2）， 故直线BM 的斜率k 1＝t （m ＋2）（s ＋2）（m －2），同理可得直线AN 的斜率k 2＝t （m －2）（s －2）（m ＋2），故k 1k 2＝t （m ＋2）（s ＋2）（m －2）×t （m －2）（s －2）（m ＋2） ＝t 2s 2－4，又P 点在椭圆上，∴s 24＋t 23＝1，t 2＝－34(s 2－4)， 因此k 1k 2＝－34（s 2－4）s 2－4＝－34， 即直线AN 与直线BM 的斜率之积为定值. 题型三 几何图形面积为定值例3 (2021·西北工大附中质检)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ，点(1，e )在椭圆E 上，点A (a ，0)，B (0，b )，△AOB 的面积为32，O 为坐标原点. (1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线l 交椭圆E 于M ，N 两点，直线OM 的斜率为k 1，直线ON 的斜率为k 2，且k 1k 2＝－19，证明：△OMN 的面积是定值，并求此定值. (1)解 ∵e ＝ca ，且(1，e )在椭圆E 上， ∴1a 2＋e 2b 2＝1，则1a 2＋c 2a 2b 2＝1.① 又c 2＝a 2－b 2，② 联立①②，得b ＝1.又S △AOB ＝12ab ＝32，得a ＝3， 所以椭圆E 的标准方程为x 29＋y 2＝1. (2)证明 当直线l 的斜率不存在时， 设直线l ：x ＝t (－3<t <3且t ≠0)， 由⎩⎨⎧x 29＋y 2＝1，x ＝t ，得y 2＝1－t 29，则k 1k 2＝1－t 29t ×－1－t 29t＝－1－t 29t 2＝－19，解得t 2＝92.所以S △OMN ＝12×2×1－t 29×|t |＝32.当直线l 的斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 29＋y 2＝1，消去y 并整理，得(9k 2＋1)x 2＋18kmx ＋9m 2－9＝0. Δ＝(18km )2－4(9k 2＋1)(9m 2－9) ＝36(9k 2－m 2＋1)>0，x 1＋x 2＝－18km9k 2＋1，x 1x 2＝9m 2－99k 2＋1，k 1k 2＝y 1x 1×y 2x 2＝（kx 1＋m ）（kx 2＋m ）x 1x 2＝－9k 2＋m 29m 2－9＝－19，化简得9k 2＋1＝2m 2，满足Δ>0. |MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－18km 9k 2＋12－4·9m 2－99k 2＋1＝61＋k 2·9k 2－m 2＋19k 2＋1. 又原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k2，所以S △OMN ＝12×|MN |×d＝31＋k 2·9k 2－m 2＋19k 2＋1×|m |1＋k2＝3|m |m 22m 2＝32.综上可知，△OMN 的面积为定值32.感悟提升 解此类题的要点有两个：一是计算面积，二是恒等变形.如本题，要求△OMN 的面积，则需要计算弦长|MN |和原点O 到直线l 的距离d ，然后由面积公式表达出S △OMN (如果是其他凸多边形，一般需要分割成三角形分别求解)，再将由已知得到的变量之间的等量关系代入面积关系式中，进行恒等变形，即得S △OMN 为定值32.训练3 已知点F (0，2)，过点P (0，－2)且与y 轴垂直的直线为l 1，l 2⊥x 轴，交l 1于点N ，直线l 垂直平分FN ，交l 2于点M . (1)求点M 的轨迹方程；(2)记点M 的轨迹为曲线E ，直线AB 与曲线E 交于不同两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 2－1＝x 1＋m 2(m 为常数)，直线l ′与AB 平行，且与曲线E 相切，切点为C ，试问△ABC 的面积是否为定值.若为定值，求出△ABC 的面积；若不是定值，说明理由.解 (1)由题意得|FM |＝|MN |，即动点M 到点F (0，2)的距离和到直线y ＝－2的距离相等，所以点M 的轨迹是以F (0，2)为焦点，直线y ＝－2为准线的抛物线，根据抛物线定义可知点M 的轨迹方程为x 2＝8y .(2)由题意知，直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＝8y 消去y整理得x 2－8kx －8b ＝0， Δ＝64k 2＋32b >0.则x 1＋x 2＝8k ，x 1·x 2＝－8b .设AB 的中点为Q ，则点Q 的坐标为(4k ，4k 2＋b ).由条件设切线方程为y ＝kx ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 2＝8y消去y 整理得x 2－8kx －8t ＝0.∵直线与抛物线相切，∴Δ＝64k 2＋32t ＝0，∴t ＝－2k 2， ∴切点C 的横坐标为4k ， ∴点C 的坐标为(4k ，2k 2). ∴CQ ⊥x 轴，∵x 2－x 1＝m 2＋1， ∴(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4(－8b ) ＝64k 2＋32b ＝(m 2＋1)2， ∴b ＝（m 2＋1）2－64k 232.∴S △ABC ＝12|CQ |·|x 2－x 1| ＝12·(2k 2＋b )·(x 2－x 1) ＝（m 2＋1）364，∵m 为常数，∴△ABC 的面积为定值.齐次化处理策略圆锥曲线中常见一类问题，这类问题的特点是条件中的两直线斜率之和或之积是一个指定常数.这种问题的求解方法多种多样，但是采用齐次化方法，可以将这两种题型统一处理.接下来谈谈齐次化方法在处理圆锥曲线这些问题中的应用. 一、处理两直线斜率之积为定值的问题例1 已知椭圆的中心为原点O ，长轴、短轴长分别为2a ，2b (a >b >0)，P ，Q 分别在椭圆上，且OP ⊥OQ .求证：1OP 2＋1OQ 2为定值.证明 设P ，Q 坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线PQ ：mx ＋ny ＝1，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，联立方程⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，mx ＋ny ＝1.齐次化有x 2a 2＋y 2b 2＝(mx ＋ny )2，整理可得⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－n 2y 2－2mnxy ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－m 2x 2＝0. 左右两边同除以x 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2－2mn y x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－m 2＝0. 由根与系数的关系得y 1x 1·y 2x 2＝1a 2－m 21b 2－n 2. 由OP ⊥OQ ，得k OP ·k OQ ＝y 1x 1·y 2x 2＝1a 2－m 21b 2－n 2＝－1， 整理得m 2＋n 2＝1a 2＋1b 2.由于原点O 到直线PQ 的距离d ＝1m 2＋n 2＝ab a 2＋b 2，又S △OPQ ＝12|OP |·|OQ |＝12|PQ |d ，所以1d 2＝|PQ |2|OP |2|OQ |2＝|OP |2＋|OQ |2|OP |2·|OQ |2＝1|OP |2＋1|OQ |2＝m 2＋n 2＝1a 2＋1b 2为定值.二、处理两直线斜率之和为定值的问题 例2 如图所示，过椭圆C ：x 28＋y 22＝1上的定点P (2，1)作倾斜角互补的两条直线，设其分别交椭圆C 于A ，B 两点，求证：直线AB 的斜率是定值.证明 设直线AB 方程为m (x －2)＋n (y －1)＝1，因为x 28＋y 22＝（x －2＋2）28＋（y －1＋1）22 ＝（x －2）28＋（y －1）22＋4（x －2）8＋2（y －1）2＋1. 所以椭圆方程可化为（x －2）28＋（y －1）22＋4（x －2）8＋2（y －1）2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线与椭圆方程齐次化得（x －2）28＋（y －1）22＋4（x －2）8[m (x －2)＋n (y －1)]＋2（y －1）2[m (x －2)＋n (y －1)]＝0， 左右两边除以(x －2)2得2n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －1x －22＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4＋m 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －1x －2＋4m ＋18＝0. 由根与系数关系得y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4＋m 22n ＋12. 又直线P A ，PB 倾斜角互补，所以k P A ＋k PB ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4＋m 22n ＋12＝0，即n 4＋m 2＝0，所以k AB ＝－m n ＝12.故直线AB 斜率为定值，此定值为12.1.已知椭圆C ：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的离心率为12.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)不与坐标轴垂直的直线l 经过椭圆C 的右焦点F ，且与椭圆C 交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于点P ，求证：当l 的方向变化时，|MN |与|PF |的比值为常数.(1)解 由于a ＝2，e ＝12＝c a ，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 设直线MN 的方程为x ＝ty ＋1(t ≠0)，代入椭圆方程可得：(3t 2＋4)y 2＋6ty －9＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝－6t 3t 2＋4，y 1y 2＝－93t 2＋4， 所以|MN |＝1＋t 2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝1＋t 2·36t 2（3t 2＋4）2＋363t 2＋4＝12（t 2＋1）3t 2＋4， 设线段MN 的中点坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝y 1＋y 22＝－3t 3t 2＋4， x 0＝ty 0＋1＝43t 2＋4， 则MN 的垂直平分线方程为y ＋3t 3t 2＋4＝－t ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －43t 2＋4， 令y ＝0，得点P 的横坐标为x P ＝13t 2＋4， 于是|PF |＝|1－x P |＝3（t 2＋1）3t 2＋4＝14|MN |， 故当l 的方向改变时，|MN |与|PF |的比值为常数4.2.(2022·河南名校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12且以椭圆上的点和长轴两端点为顶点的三角形的面积的最大值为2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)经过定点Q (m ，0)(m >2)的直线l 交椭圆C 于不同的两点M ，N ，点M 关于x 轴的对称点为M ′，试证明：直线M ′N 与x 轴的交点S 为一个定点，且|OQ |·|OS |＝4(O 为坐标原点).(1)解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，12·2a ·b ＝23，a 2＝b 2＋c 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝ 3.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 由题意知直线l 的斜率一定存在，设为k ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，M ′(x 1，－y 1)，S (n ，0)，由⎩⎨⎧y ＝k （x －m ），x 24＋y 23＝1，消去y ，得 (3＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－12＝0，由Δ>0得(4－m 2)k 2＋3>0，即k 2<3m 2－4时M ，N 一定存在. ∴x 1＋x 2＝8k 2m 4k 2＋3，x 1·x 2＝4k 2m 2－124k 2＋3. 当斜率k 不为0时，∵M ′，N ，S 三点共线，∴k M ′S ＝k NS ，即－y 1x 1－n ＝y 2x 2－n， 即y 2(x 1－n )＋y 1(x 2－n )＝0，即k (x 2－m )(x 1－n )＋k (x 1－m )(x 2－n )＝0，化简，得2x 2x 1－(n ＋m )·(x 1＋x 2)＋2mn ＝0，即mn －44k 2＋3＝0，所以mn ＝4，n ＝4m ，∴S ⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ，0，且|OQ |·|OS |＝mn ＝4. 当斜率k ＝0时，直线M ′N 与x 轴重合，满足结论.综上，直线M ′N 与x 轴的交点S 为一个定点⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ，0，且|OQ |·|OS |＝4. 3.(2022·武汉质检)设抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 作直线l 交抛物线E 于A ，B 两点.当l 与x 轴垂直时，△AOB 的面积为8，其中O 为坐标原点.(1)求抛物线E 的标准方程；(2)若l 的斜率存在且为k 1，点P (3，0)，直线AP 与E 的另一交点为C ，直线BP与E 的另一交点为D ，设直线CD 的斜率为k 2，证明：k 2k 1为定值. (1)解 当l 与x 轴垂直时，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－p ， ∴|AB |＝2p ，则S △AOB ＝12·2p ·p 2＝8，∴p ＝4，∴y 2＝8x .(2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，直线l 的斜率为k 1＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 218（y 21－y 22） ＝8y 1＋y 2， 同理可得k 2＝8y 3＋y 4， 直线l 的方程为y －y 1＝8y 1＋y 2(x －x 1)， 则(y 1＋y 2)y －y 1y 2＝8x .又点F (2，0)在直线l 上，所以－y 1y 2＝16，设直线AC 的方程为x ＝ty ＋3，则与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋3，y 2＝8x⇒y 2－8ty －24＝0，∴y 1y 3＝－24.同理可得y 2y 4＝－24，∴y 3＝－24y 1，y 4＝－24y 2， ∴k 2k 1＝8y 3＋y 48y 1＋y 2＝y 1＋y 2y 3＋y 4＝y 1＋y 2－24y 1－24y 2＝y 1y 2－24＝－16－24＝23. 4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，上顶点为E ，左焦点为F ，且满足直线EF 与圆x 2＋y 2＝34相切.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设A ，B 是椭圆C 上两个动点，且直线OA ，OB 的斜率满足k OA k OB ＝－14，证明：△AOB 的面积为定值.(1)解 ∵e ＝32，∴a 2－b 2a 2＝34，得a ＝2b ，c ＝3b ， 则EF 所在直线的方程为x 3b＋y b ＝1， 即x －3y ＋3b ＝0.又直线EF 与圆C 相切，∴3b 2＝32，b ＝1，则a ＝2.∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝kx ＋m (直线AB 的斜率存在时)， 联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得 (4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 可知Δ＝16(4k 2＋1－m 2)>0， x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1， 从而|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝4·（1＋k 2）（4k 2＋1－m 2）1＋4k 2. 原点到直线l 的距离d ＝|m |1＋k 2，∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝2·|m |·4k 2＋1－m 21＋4k2. 又由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得 (4k 2＋1)y 2－2my ＋m 2－4k 2＝0.∴y 1y 2＝m 2－4k 21＋4k 2，得k OA ·k OB ＝y 1y 2x 1x 2＝m 2－4k 24m 2－4＝－14，即2m 2＝1＋4k 2， ∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝2·|m |·4k 2＋1－m 21＋4k2＝1； 当AB 的斜率不存在时，x 1＝x 2，y 1＝－y 2，k OA ·k OB ＝－y 21x 21＝－14. 又x 214＋y 21＝1，解得|x 1|＝2，|y 1|＝22. S △AOB ＝|x 1||y 1|＝1.综上，△AOB 的面积为定值1.。

高中数学讲义圆锥曲线【知识图解】定义标准方程椭圆几何性质定义标准方程圆锥双曲线圆锥曲线应用曲线几何性质定义标准方程抛物线几何性质【方法点拨】分析几何是高中数学的重要内容之一，也是连接初等数学和高等数学的纽带。

而圆锥曲线是分析几何的重要内容，因此成为高考观察的要点。

研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特色。

它的方程形式拥有代数的特征，而它的图像拥有典型的几何特征，所以，它是代数与几何的完满联合。

高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包含三类：椭圆、双曲线和抛物线。

圆锥曲线问题的基本特色是解题思路比较简单清楚，解题方法的规律性比较强，可是运算过程常常比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形联合能力及综合运用各样数学知识和方法的能力要求较高。

1.一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形联合，既娴熟掌握方程组理论，又关注图形的几何性质 .2.着力抓好运算关，提升运算与变形的能力，分析几何问题一般波及的变量多，计算量大，解决问题的思路剖析出来此后，常常因为运算可是关致使功亏一篑，所以要追求合理的运算方案，研究简化运算的基本门路与方法，并在战胜困难的过程中，加强解决复杂问题的信心，提升运算能力 .3.突出主体内容，重要紧环绕分析几何的两大任务来学习：一是依据已知条件求曲线方程，此中待定系数法是重要方法，二是经过方程研究圆锥曲线的性质，常常经过数形联合来表现，应惹起重视 .4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形联合思想的概括提炼，达到优化解题思想、简化解题过程第 1 课椭圆 A【考点导读】1. 掌握椭圆的第必定义和几何图形 , 掌握椭圆的标准方程 , 会求椭圆的标准方程 , 掌握椭圆简单的几何性质 ;2. 认识运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法； 能运用椭圆的标准方程和几何性质办理一些简单的实质问题 .【基础练习】1．已知△ ABC 的极点 B 、C 在椭圆x 2 y2 1上，极点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另3外一个焦点在 BC 边上，则△ ABC 的周长是 ______2. 椭圆 x 24y 21的离心率为 ______3. 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－ 2 3 ，0），且长轴长是短轴长的2 倍，则该椭圆的标准方程是 ______4. 已知椭圆x 2 y 21 的离心率 e 1 ，则 k 的值为 ______8 92k【典范导析】例 1. （ 1）求经过点 (3 , 5 ) ，且 9 x 24 y 2 45 与椭圆有共同焦点的椭圆方程。