高考文科数学真题大全圆锥曲线老师版

高考圆锥曲线经典真题知识整合：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能.1.（江西卷15）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾角为30o 的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点（A 在y 轴左侧），则AFFB= ．132 (2008年安徽卷)若过点A(4,0)的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点,则直线l 的斜率的取值范围为 ( ) A. [3,3] B. (3,3) C.33[33-D. 33(,33-3(2008年海南---宁夏卷)设双曲线221916x y -=的右顶点为A,右焦点为F,过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则三角形AFB 的面积为-___________. 热点考点探究：考点一：直线与曲线交点问题例1.已知双曲线C ：2x2－y2=2与点P(1，2)(1)求过P(1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点.解：(1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x=1,与曲线C 有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2=k(x －1),代入C 的方程，并整理得 (2－k2)x2+2(k2－2k)x －k2+4k －6=0 (*) (ⅰ)当2－k2=0,即k=±2时，方程(*)有一个根，l 与C 有一个交点(ⅱ)当2－k2≠0,即k ≠±2时Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k －6)=16(3－2k) ①当Δ=0,即3－2k=0,k=23时，方程(*)有一个实根，l 与C 有一个交点.②当Δ＞0,即k ＜23,又k ≠±2,故当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜k ＜23时，方程(*)有两不等实根，l 与C 有两个交点. ③当Δ＜0，即k ＞23时，方程(*)无解，l与C 无交点.综上知：当k=±2,或k=23，或k 不存在时，l 与C 只有一个交点； 当2＜k ＜23,或－2＜k ＜2,或k ＜－2时，l 与C 有两个交点；当k ＞23时，l与C 没有交点.(2)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1－x2)=y1－y1 即kAB=2121x x y y --=2但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB 与C 无交点，所以假设不正确，即以Q 为中点的弦不存在.(2)若Q(1，1)，试判断以Q 为中点的弦是否存在. 考点二：圆锥曲线中的最值问题对于圆锥曲线问题上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的变量，从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系，此时，用函数思想与函数方法处理起来十分方便。

4.已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a A. 2B. 26 C. 25 D. 1 10.已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,()y x A00,是C 上一点，x F A 045=，则=x 0（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8 20.已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.（1）求M 的轨迹方程；（2）当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积2014（新课标全国卷2）（10）设F 为抛物线2:y =3x C 的焦点，过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于,A B 两点，则AB =（A ）3（B ）6 （C ）12 （D ）（12）设点0(x ,1)M ，若在圆22:x y =1O +上存在点N ，使得°45OMN ∠=,则0x 的取值范围是（A ）[]1,1- （B ）1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， （C ）⎡⎣ （D ） ⎡⎢⎣⎦20.设F 1 ，F 2分别是椭圆C ：12222=+by a x （a>b>0）的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N 。

（I ）若直线MN 的斜率为43，求C 的离心率； （II ）若直线MN 在y 轴上的截距为2且|MN|=5|F 1N|，求a ，b 。

4．已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)C 的渐近线方程为( )． A ．y ＝14x ± B ．y ＝13x ± C ．y ＝12x± D ．y ＝±x8.O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝则△POF 的面积为( )． A ．2 B．．．421．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.2013（新课标全国卷2）5、设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，则C 的离心率为（ ）（A（B ）13 （C ）12 （D10、设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点。

历年高考圆锥曲线2000年：（10）过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直03422=+++x y x 线的方程是（ ）（A ） （B ） （C ）（D ）x y 3=x y 3-=x 33x 33-（11）过抛物线的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点，若线()02>=a ax y段PF 与FQ 的长分别是、，则等于（ ）p q qp 11+（A ）（B ）（C ） （D ）a 2a21a 4a4（14）椭圆的焦点为、，点P 为其上的动点，当为钝角14922=+y x 1F 2F 21PF F ∠ 时，点P 横坐标的取值范围是________。

（22）（本小题满分14分）如图，已知梯形ABCD 中，点E 分有向线段所成的比为，CD AB 2=AC λ双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点。

当时，求双曲线离心率4332≤≤λ的取值范围。

e 2004年3．过点（－1，3）且垂直于直线的直线方程为（ ）032=+-y x A ．B ．C ．D ．12=-+y x 052=-+y x 052=-+y x 072=+-y x 8．已知圆C 的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆C 相切，则圆x 0443=++y x C 的方程为（ ）A ．B ．03222=--+x y x 0422=++x y x C ．D ．3222=-++x y x 0422=-+x y x 8．（理工类）已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线21=e 的焦点重合，x y 42-= 则此椭圆方程为（ ）A ．B ．13422=+y x 16822=+y x C ．D ．1222=+y x 1422=+y x 22．（本小题满分14分）双曲线的焦距为2c ，直线过点（a ，0）和（0，b ），且点)0,1(12222>>=-b a by a x l （1，0）到直线的距离与点（－1，0）到直线的距离之和求双曲线的离心率e l l .54c s ≥的取值范围.2005年：9．已知双曲线的焦点为，点在双曲线上且则点1222=-y x 12,F F M 120,MF MF ⋅= 到M 轴的距离为（x ）A ．B ．CD435310．设椭圆的两个焦点分别为过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△为12,,F F 2F 12F PF等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A B C ．D 2121、（理工类）（本小题满分12分）设，两点在抛物线上，是的垂直平分线。

(A)221913x y -= (B) 221139x y -= (C) 2213x y -= (D) 2213y x -= 23．（2013广东文）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 的方程是（ D ） A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 24．(2012沪春招) 已知椭圆222212:1,:1,124168x y x y C C +=+=则 （ D ） (A)1C 与2C 顶点相同. （B ）1C 与2C 长轴长相同. (C)1C 与2C 短轴长相同. （D ）1C 与2C 焦距相等.25.(2012新标) 设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ C ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 4526.(2013新标2文) 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( D ) A.36B.13C.12D.3327.(2013四川文) 从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( ) A.24 B.12 C.22 D.32【简解】由题意可设P (－c ，y 0)(c 为半焦距)，k OP ＝－y 0c ，k AB ＝－b a ，由于OP ∥AB ，∴－y 0c ＝－b a，y 0＝bc a ，把P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，bc a 代入椭圆方程得－c 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a 2b 2＝1，而⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝12，∴e ＝c a ＝22.选C.28．（2014大纲）已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为33，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为43，则C 的方程为（ ）40.(2017新课标1文)设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是 （ A ） A ．(0,1][9,)+∞ B ．(0,3][9,)+∞ C ．(0,1][4,)+∞D ．(0,3][4,)+∞【答案】A 【解析】当03m <<，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603ab≥=，即33m≥，得01m <≤；当3m >，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603a b ≥=，即33m ≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)⋃+∞，选A. 41、(2017·全国Ⅱ文，5)若a >1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)3．【答案】C 【解析】由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a .∴e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a ＞1，∴0＜1a2＜1，∴1＜1＋1a 2＜2，∴1＜e ＜ 2.故选C.42．(2017·全国Ⅱ文，12)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．2 2 C ．2 3 D ．3 34．【答案】C 【解析】抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF 的方程为y ＝3(x －1)．联立得方程组⎩⎨⎧y ＝3x －，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝－233或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2 3.∵点M 在x 轴的上方，∴M (3,23)．∵MN ⊥l ，∴N (－1,23)．∴|NF |＝＋2＋－232＝由△AOF是边长为∴ba＝tan 60°＝由题意知，F (2,0)，|又|BP |＝|AO |＝22|MF |＝6.1212442222BMK x x x x ==---- =()12200x x ++= 又设AB ：y=x ＋m 代入2x。

（Ⅱ）因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，所以可设1(1,)A y ，1(1,)B y -. 直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--.令3x =，得1(3,2)M y -. 所以直线BM 的斜率112131BM y y k -+==-.17.（2015年文）设椭圆E 的方程为22221(0),x y a b a b+=>>点O 为坐标原点，点A 的坐标为(,0)a ,点B的坐标为（0，b ）,点M 在线段AB 上，满足2,BM MA =直线OM 的斜率为510。

[学优高考网]（1）求E 的离心率e;(2)设点C 的坐标为（0，-b ）,N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB 。

∴a b3231＝5525451511052222222=⇒=⇒=-⇒=⇒e a c a c a a b（Ⅱ）由题意可知N 点的坐标为（2,2b a -）∴a b a ba a bb K MN 56652322131==-+= abK AB-=∴1522-=-=⋅a b K K AB MN ∴MN ⊥AB18.（2015年文）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值围是（ A ） A ． 3(0,]2 B ．3(0,]4 C ．3[,1)2 D ．3[,1)4119.（2015年新课标2文）已知双曲线过点()4,3,且渐近线方程为12y x =±,则该双曲线的标准方程为 ．2214x y -= 20.（2015年文）已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ B ） A ．(1,0)- B ．(1,0) C ．(0,1)- D ．(0,1) 【解析】试题分析：由抛物线22(0)y px p =>得准线2px =-，因为准线经过点(1,1)-，所以2p =， 所以抛物线焦点坐标为(1,0)，故答案选B 考点：抛物线方程.21.（2015年文科）如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过点(0,1)A -，且离心率为22.(I)求椭圆E 的方程；2212x y += 22.（2015年文）已知双曲线22221(0,0)x y a b ab 的一个焦点为(2,0)F ,且双曲线的渐近线与圆222y 3x 相切,则双曲线的方程为（ D ）(A)221913x y (B) 221139x y (C)2213x y(D) 2213y x2b上，则双曲线的方程为（A）202215x y（C）325100D）223310025x y新标1) 已知双曲线21=（0,a b>>）的离心率为52，则C．(0,1][4,)+∞D．(0,3][4,)+∞【答案】A【解析】当03m<<，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足120AMB∠=，则tan603ab≥=，即33m≥，得01m<≤；当3m>，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足120AMB∠=，则tan603ab≥=，即33m≥，得9m≥，故m的取值围为(0,1][9,)⋃+∞，选A.41、(2017·全国Ⅱ文，5)若a>1，则双曲线x2a2－y2＝1的离心率的取值围是()A．(2，＋∞) B．(2，2) C．(1，2) D．(1,2)3．【答案】C【解析】由题意得双曲线的离心率e＝a2＋1a.∴e2＝a2＋1a2＝1＋1a2.∵a＞1，∴0＜1a2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e＜ 2.故选C.42．(2017·全国Ⅱ文，12)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为()A. 5 B．2 2 C．2 3 D．3 34．【答案】C【解析】抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y＝3(x－1)．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y＝3(x－1)，y2＝4x，解得⎩⎨⎧x＝13，y＝－233或⎩⎨⎧x＝3，y＝2 3.∵点M在x轴的上方，∴M(3,23)．∵MN⊥l，∴N(－1,23)．∴|NF|＝(1＋1)2＋(0－23)2＝4，|MF|＝|MN|＝3－(－1)＝4.∴△MNF是边长为4的等边三角形．∴点M到直线NF的距离为2 3.故选C.43．(2017·全国Ⅲ文，11)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则椭圆C的离心率为()A．63B．33C．23D．135．【答案】A【解析】由题意知以A1A2为直径的圆的圆心坐标为(0,0)，半径为a.又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d ＝2aba 2＋b 2＝a ，解得a ＝3b ， ∴b a ＝13，∴e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝ 1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝1－⎝⎛⎭⎫132＝63. 44．(2017·文，5)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( ) A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 2＝1D ．x 2－y 23＝1 6．【答案】D 【解析】根据题意画出草图如图所示⎝⎛⎭⎫不妨设点A 在渐近线y ＝ba x 上.由△AOF 是边长为2的等边三角形得到∠AOF ＝60°，c ＝|OF |＝2.又点A 在双曲线的渐近线y ＝b a x 上，∴ba ＝tan 60°＝ 3.又a 2＋b 2＝4，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.故选D. 45．(2017·全国Ⅲ文，14)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.1．【答案】5【解析】∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3a x .又双曲线的一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.46、(2017·文，10)若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝________. 【答案】2【解析】由双曲线的标准方程知a ＝1，b 2＝m ，c ＝1＋m ，故双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋m ＝3，∴1＋m ＝3，∴m ＝2.47、(2017·全国Ⅱ理，16)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.【解析】如图，不妨设点M 位于第一象限，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .12442222x x x x ==----()12200x x ++= 又设AB ：y=x ＋m 代入x ＋20=0∴m=7故AB ：x ＋y=7。

（完整版）圆锥曲线⾼考真题（1）求M 的⽅程（2）C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对⾓线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 的⾯积最⼤值.2.设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上⼀点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另⼀个交点为N.（1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离⼼率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .3.已知椭圆C ：，直线不过原点O 且不平⾏于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1) 证明：直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值；（2）若过点（）,延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否平⾏四边⾏？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由.4.已知抛物线C ：22y x = 的焦点为F ，平⾏于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（2）若△PQF 的⾯积是△ABF 的⾯积的两倍，求AB 中点的轨迹⽅程.5.已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，-2），求直线l 与圆M 的⽅程．6.已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上⼀点，且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r ．证明：FA u u u r，FP u u u r ，FB u u u r 成等差数列，并求该数列的公差．7.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离⼼率为，且经过点(0,1)，圆22221:C x y a b +=+。

圆锥曲线高考真题训练题--解答题（文科）一、选择题（共12小题；共60分）1. 设椭圆的左、右焦点分别为，，是上的点，，，则的离心率为2. 已知抛物线的焦点为，是上一点，，则A. B. C. D.3. 已知是双曲线：的右焦点，是上一点，且与轴垂直，点的坐标是．则的面积为4. 已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，，分别为的左、右顶点，为上一点，且轴．过点的直线与线段交于点，与轴交于点．若直线经过的中点，则的离心率为5. 设，是椭圆长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是A. B.C. D.6. 设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是B. D.7. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为8. 直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的心率为9. 已知，，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为A. B. C. D.10. 已知椭圆：的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为A. B. C.11. 已知椭圆与双曲线的焦点重合，，分别为，的离心率，则A. 且B. 且C. 且D. 且12. 已知直线过点，当直线与圆有两个交点时，其斜率的取值范围是A.二、填空题（共14小题；共70分）13. 设直线与圆：相交于，两点，若，则圆的面积为．14. 已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为．15. 设是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则的离心率为．16. 已知点和的横坐标相同，的纵坐标是的纵坐标的倍，和的轨迹分别为双曲线和．若的渐近线方程为，则的渐近线方程为．17. 如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，且，则该椭圆的离心率是．18. 椭圆的左、右顶点分别是，左、右焦点分别是．若成等比数列，则此椭圆的离心率为．19. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为．20. 一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴的正半轴上，则该圆的标准方程为．21. 已知、是椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，且．若的面积为，则．22. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点使，则该椭圆的离心率的取值范围为．23. 在平面直角坐标系中，分别为椭圆的左、右、上、下顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为．24. 若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为，，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是．25. 已知椭圆的左焦点为，与过原点的直线相交于两点，连接，若，则椭圆的离心率．26. 在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点，若点到直线的距离大于恒成立，则实数的最大值为．三、解答题（共12小题；共156分）27. 已知抛物线的焦点为，平行于轴的两条直线，分别交于，两点，交的准线于，两点．（1）若在线段上，是的中点，证明；（2）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程．28. 设、分别是椭圆的左、右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为．（1）若直线的斜率为的离心率；（2）若直线在轴上的截距为，且，求，．29. 在直角坐标系中，曲线与轴交于，两点，点的坐标为，当变化时，解答下列问题：（1）能否出现的情况?说明理由；（2）证明过，，三点的圆在轴上截得的弦长为定值．30. 在平面直角坐标系中，已知圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为．（1）求圆心的轨迹方程；（2）若点到直线的距离为的方程．31. 设，为曲线：上两点，与的横坐标之和为．（1）求直线的斜率；（2）设为曲线上一点，在处的切线与直线平行，且，求直线的方程．32. 已知点，圆，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点．（1）求的轨迹方程；（2）当时，求的方程及的面积．33. 已知过点且斜率为的直线与圆交于，两点．（1）求的取值范围；（2）若，其中为坐标原点，求．34. 在直角坐标系中，直线：交轴于点，交抛物线：于点，关于点的对称点为，连接并延长交于点．（1）求；（2）除以外，直线与抛物线是否有其它公共点?说明理由．35. 已知点是椭圆的左顶点，斜率为的直线交椭圆于，两点，点在上，．（1）当时，求三角形的面积；（2）当时，证明：．36. 已知圆，圆，动圆与圆外切并与圆内切，圆心的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）是与圆，圆都相切的一条直线，与曲线交于，两点，当圆的半径最长时，求．37. 设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足．（1）求点的轨迹方程；（2）设点在直线上，且．证明：过点且垂直于的直线过的左焦点．38. 已知椭圆的离心率为，，，，的面积为．（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值．答案第一部分1. D2. C3. D4. A 【解析】，，，，中点，，．5. A【解析】假设椭圆的焦点在轴上，则时，当位于短轴的端点时，取最大值，要使椭圆上存在点满足，则，，，解得：．当椭圆的焦点在轴上时，，当位于短轴的端点时，取最大值，要使椭圆上存在点满足，则，，，解得：，所以的取值范围是．6. A 【解析】点在直线上，过作圆的两条切线，记该点对圆的张角为，则圆上存在点使得．由此知只需在直线上寻找对圆的张角等于的两点，，则线段上的点的横坐标范围即为所求．事实上，张角等于时，点与圆心及切点构成的四边形为正方形，易知．7. A 【解析】以线段为直径的圆与直线相切，所以原点到直线的距离，化为：．所以椭圆的离心率．8. B 【解析】由题可设椭圆方程为，直线的方程为，整理为，椭圆中心到直线的距离，所以，，所以．9. C10. A【解析】以线段为直径的圆与直线相切，所以原点到直线的距离，化为：．所以椭圆的离心率．11. A 【解析】由题意知，即，，代入，得，．12. C 【解析】设的直线方程为，将直线方程与圆方程联立消得，直线与圆有两个交点，即，所以的取值范围为．第二部分13.【解析】将圆方程化简为标准方程为，即圆心，半径，圆心到直线的距离为，所以，解得，，所以圆面积．14.【解析】由已知得，，，所以，设双曲线的左焦点为，则的周长为（当点、、共线时取等号），直线方程为，代入得，解得或（舍去），所以，直线，可得点到直线的距离为，所以．15.【解析】设为右支上的点，根据双曲线定义可知，又，所以，而，所以，由余弦定理，解得．16.17.【解析】由题意，得．直线的方程与椭圆方程联立，解得，，则．由，得，即，再结合可得，则．19.20.【解析】由题意，圆经过椭圆的三点为，，，故设圆心为．从而有，解得，半径为．故圆的标准方程为．21.【解析】设，则．根据题意，得于是解得，．【解析】根据题意知，，，，，直线的方程为①，直线的方程为②．由①②可得，所以．又因为在椭圆上，所以，即，所以，又因为，所以．【解析】当斜率存在时，设过点的直线方程为，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，可以得到，直线与圆方程联立，可以得到切点的坐标．当斜率不存在时，直线方程为，则得．根据，，可得直线的方程为，与轴的交点，即为上顶点坐标．与轴的交点，即为焦点坐标，，故椭圆方程为．【解析】双曲线的渐近线方程为，其与直线质知，右支上任意一点到直线的距离都大于．第三部分27. （1）连接，．由，及，得，所以，因为是中点，所以．所以，所以，．又，所以，所以（等角的余角相等），所以．（2）设，．，准线为，，设直线与轴焦点为，，因为，所以，所以，即．设中点为，由得，又，，即．所以中点轨迹方程为．28. （1）设为第一象限内的点．根据及题设知将代入，解得故的离心率为．（2）由题意，原点为的中点，轴，所以直线与轴的交点是线段的中点，故即由得设，由题意知，则即代入的方程，得将及代入得解得故29. （1）曲线与轴交于，两点，可设，，则，是方程的两根，有，由韦达定理可得，若，则，，即为这与矛盾，故不出现的情况．（2）设过，，三点的圆的方程为，由题意可得时，与等价．可得，，圆的方程即为，由圆过，可得，可得，则圆的方程即为，再令，可得，解得．即有圆与轴的交点为，，则过，，三点的圆在轴上截得的弦长为，所以过，，三点的圆在轴上截得的弦长为定值．30. （1）设，圆的半径为．由题设从而故点的轨迹方程为（2）设，由已知得又点在双曲线上，从而得由得此时，圆的半径由得此时，圆的半径故圆的方程为31. （1）设，为曲线：上两点，则直线的斜率为；（2）设直线的方程为，代入曲线：，可得，即有，，，再由的导数为，设，可得处切线的斜率为，由在处的切线与直线平行，可得，解得，即，由可得，，即为，化为，即为，解得，满足，则直线的方程为．32. （1）圆的标准方程设，圆心，则由题设知故即由于点在圆内部，所以的轨迹方程为（2）由（1）可知的轨迹是以点为圆心，为半径的圆．由于，故在线段的垂直平分线上．又在圆上，从而．因为的斜率为，所以的斜率为故的方程为．又，到，所以的面积为．33. （1）由题设，可知直线的方程为．因为直线与圆交于两点，所以，解得．所以的取值范围为．（2）设，．将代入方程，整理得．所以，．．由题设可得，解得，所以的方程是．故圆心在上，所以．34. （1）设点为，点为，点为．由题意，因为点在抛物线上，所以，所以．因为点是点关于点的对称点，且点为，所以得即点．所以直线的方程为：．因为点为直线与的交点，所以联立解得：（舍）或，所以，所以点的坐标为，．（2）由（1）可知，点，，所以直线的方程为：，联立消去得，，即．所以此方程组有两组相同的解，即直线与抛物线仅有一个交点．35. （1）由题意知，因为，且，所以为等腰直角三角形，所以，设点，由题意得，把代入椭圆方程得：解得：（舍），，所以．（2）设；；得．设，，所以，，，所以；同理；由，得；整理得：，得；即；设，，所以在递增；，，根据零点存在定理可知：．36. （1）因为圆与圆外切并且与圆内切，所以由椭圆的定义可知，曲线是以，为左，右焦点，长半轴长为，短半轴长为的椭圆（左顶点除外），其方程为（2）对于曲线上任意一点，由于所以，当且仅当圆的圆心为时，，所以当圆的半径最长时，其方程为若的倾斜角为，则与轴重合，可得若的倾斜角不为，由知不平行于轴，设与轴的交点为，则可求得，所以可设．由与圆相切得解得当时，将代入并整理得解得所以当时，由图形的对称性可知．综上，37. （1）设，由题意可得，设，由点满足，可得，可得，，即有，，，可得，即有点的轨迹方程为圆．（2）设，，，可得，即为，解得，即有，的左焦点为，由，，由，可得过点且垂直于的直线过的左焦点．38. （1）由题意，得，．又因为，解得，，．故方程为．（2）由题意得不在顶点处，设，，即．又因为，，则直线，令，得．直线，令，得，，。

高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|.(Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程．(Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足：①(R);AG AD λλ=∈②2;GE GF GH +=③0.GH EF ⋅= 求点G 的横坐标的取值范围．2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率23=e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程.3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是,425=x 其左、右顶点分别是A 、B ；双曲线1:22222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0.（Ⅰ）求椭圆C 1的方程及双曲线C 2的离心率；（Ⅱ）在第一象限内取双曲线C 2上一点P ，连结AP 交椭圆C 1于点M ，连结PB 并延长交椭圆C 1于点N ，若MP AM =. 求证：.0=•AB MN4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F （c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A ，B 两点.设AB 中点为M ，直线AB 与OM 的夹角为αa. （1）用半焦距c 表示椭圆的方程及tan α;（2）若2<tan α<3，求椭圆率心率e 的取值范围.5. 已知椭圆2222b y a x +（a ＞b ＞0）的离心率36=e ，过点A （0，-b ）和B （a ，0）的直线与原点的距离为23（1）求椭圆的方程（2）已知定点E （-1，0），若直线y ＝kx ＋2（k≠0）与椭圆交于C D 两点 问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点?请说明理由6. 在直角坐标平面中，ABC ∆的两个顶点B A ,的坐标分别为)0,1(-A ，)0,1(B ，平面内两点M G ,同时满足下列条件： ①0=++GC GB GA MCMB MA ==GM ∥AB（1）求ABC ∆的顶点C 的轨迹方程；（2）过点)0,3(P 的直线l 与（1）中轨迹交于F E ,两点，求PF PE ⋅的取值范围7. 设R y x ∈,，j i,为直角坐标平面内x 轴．y 轴正方向上的单位向量，若jy i x b j y i x a)2(,)2(-+=++=，且8||||=+b a（Ⅰ）求动点M(x,y)的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设曲线C 上两点A ．B ，满足(1)直线AB 过点（0，3），(2)若OB OA OP +=，则OAPB 为矩形，试求AB 方程．8. 已知抛物线C ：)0,0(),(2>≠+=n m n x m y 的焦点为原点，C 的准线与直线 )0(02:≠=+-k k y kx l 的交点M 在x 轴上，l 与C 交于不同的两点A 、B ，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N （p ，0）．（Ⅰ）求抛物线C 的方程； （Ⅱ）求实数p 的取值范围；（Ⅲ）若C 的焦点和准线为椭圆Q 的一个焦点和一条准线，试求Q 的短轴的端点的轨迹方程．9. 如图，椭圆的中心在原点，长轴AA 1在x 轴上.以A 、A 1为焦点的双曲线交椭圆于C 、D 、D 1、C 1四点，且|CD|＝21|AA 1|.椭圆的一条弦AC 交双曲线于E ，设λ=EC AE ，当4332≤≤λ时，求双曲线的离心率e 的取值范围.x10. 已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆805422=+y x 上，且点A 是椭圆短轴的一个端点（点A 在y 轴正半轴上）.若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程; 若角A 为090，AD 垂直BC 于D ，试求点D 的轨迹方程.11. 如图，过抛物线24x y =的对称轴上任一点(0,)(0)P m m >作直线与抛物线交于,A B两点，点Q 是点P 关于原点的对称点.(1) 设点P 分有向线段AB 所成的比为λ，证明:()QP QA QB λ⊥-;(2) 设直线AB 的方程是2120x y -+=，过,A B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程.12. 已知动点P （p ，-1），Q （p ，212p +），过Q 作斜率为2p 的直线l ，P Q 中点M 的轨迹为曲线C.（1）证明：l 经过一个定点而且与曲线C 一定有两个公共点； （2）若（1）中的其中一个公共点为A ，证明：AP 是曲线C 的切线； （3）设直线AP 的倾斜角为α，AP 与l 的夹角为β，证明：βα+或βα-是定值.13. 在平面直角坐标系内有两个定点12F F 、和动点P ，12F F 、坐标分别为)0,1(1-F 、)0,1(F 2，动点P 满足22|PF ||PF |21=，动点P 的轨迹为曲线C ，曲线C 关于直线y x =的对称曲线为曲线'C ，直线3-+=m x y 与曲线'C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，△ABO 的面积为7，（1）求曲线C 的方程；（2）求m 的值。

直线AE 旳方程为11(1)(2)y y x -=--.令3x =，得1(3,2)M y -. 因此直线BM 旳斜率112131BM y y k -+==-.17.（安徽文）设椭圆E 旳方程为22221(0),x y a b a b+=>>点O 为坐标原点，点A 旳坐标为(,0)a ,点B 旳坐标为（0，b ）,点M 在线段AB 上，满足2,BM MA =直线OM 旳斜率为510。

（1）求E 旳离心率e;(2)设点C 旳坐标为（0，-b ）,N 为线段AC 旳中点，证明：MN ⊥AB 。

∴a b 3231＝5525451511052222222=⇒=⇒=-⇒=⇒e a c a c a a b （Ⅱ）由题意可知N 点旳坐标为（2,2b a -）∴a b a ba a bb K MN 56652322131==-+= abK AB-=∴1522-=-=⋅a b K K AB MN ∴MN ⊥AB18.（福建文）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>旳右焦点为F ．短轴旳一种端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 旳距离不不不小于45，则椭圆E 旳离心率旳取值范围是（ A ） A ． 3(0,]2 B ．3(0,]4 C ．3[,1)2 D ．3[,1)4119.（新课标2文）已知双曲线过点()4,3,且渐近线方程为12y x =±,则该双曲线旳原则方程为 ．2214x y -= 20.（陕西文）已知抛物线22(0)y px p =>旳准线通过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ B ） A ．(1,0)- B ．(1,0) C ．(0,1)- D ．(0,1) 【解析】试题分析：由抛物线22(0)y px p =>得准线2px =-，由于准线通过点(1,1)-，因此2p =， 因此抛物线焦点坐标为(1,0)，故答案选B 考点：抛物线方程.21.（陕西文科）如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>通过点(0,1)A -，且离心率为22.(I)求椭圆E 旳方程；2212x y += 22.（天津文）已知双曲线22221(0,0)x y a b ab 旳一种焦点为(2,0)F ,且双曲线旳渐近线与圆222y 3x 相切,则双曲线旳方程为（ D ）(A)221913x y (B) 221139x y (C)2213x y(D) 2213y x23．（广东文）已知中心在原点旳椭圆C 旳右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 旳方程是（ D ）30旳等腰三角形，则122文) 设椭圆221y b 0,0a b 旳一条渐近线平行于直线210x ，双曲线旳上，则双曲线旳方程为（ A ）2120y （B ）221205x y （C ）2331100y D ）223310025x y 1) 已知双曲线C ：221x y （0,0a b >>）旳离心率为52，则C 14x B .13y =±12x ± D .y x[9,)+∞ [9,)+∞ [4,)+∞[4,)+∞【解析】当0m <上存在点M 满足120，则603ab=即33m≥，得01m <≤；当3m >，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603a b ≥=，即33m ≥，得9m ≥，故m 旳取值范围为(0,1][9,)⋃+∞，选A. 41、(·全国Ⅱ文，5)若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1旳离心率旳取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)3．【答案】C 【解析】由题意得双曲线旳离心率e ＝a 2＋1a .∴e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2.∵a ＞1，∴0＜1a 2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e ＜ 2.故选C.42．(·全国Ⅱ文，12)过抛物线C ：y 2＝4x 旳焦点F ，且斜率为3旳直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 旳准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 旳距离为( )A. 5 B ．2 2 C ．2 3 D ．3 34．【答案】C 【解析】抛物线y 2＝4x 旳焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由直线方程旳点斜式可得直线MF旳方程为y ＝3(x －1)．联立得方程组⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，解得⎩⎨⎧x ＝13，y ＝－233或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2 3.∵点M 在x 轴旳上方，∴M (3,23)．∵MN ⊥l ，∴N (－1,23)．∴|NF |＝(1＋1)2＋(0－23)2＝4， |MF |＝|MN |＝3－(－1)＝4.∴△MNF 是边长为4旳等边三角形．∴点M 到直线NF 旳距离为2 3. 故选C.43．(·全国Ⅲ文，11)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)旳左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径旳圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则椭圆C 旳离心率为( ) A ．63 B ．33 C ．23 D ．135．【答案】A 【解析】由题意知以A 1A 2为直径旳圆旳圆心坐标为(0,0)，半径为a . 又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切，∴圆心到直线旳距离d ＝2aba 2＋b 2＝a ，解得a ＝3b ， ∴b a ＝13，∴e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝ 1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝1－⎝⎛⎭⎫132＝63.44．(·天津文，5)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)旳右焦点为F ，点A 在双曲线旳渐近线上，△OAF 是边长为2旳等边三角形(O 为原点)，则双曲线旳方程为( ) A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 2＝1D ．x 2－y 23＝16．【答案】D 【解析】根据题意画出草图如图所示⎝⎛⎭⎫不妨设点A 在渐近线y ＝ba x 上.由△AOF 是边长为2旳等边三角形得到∠AOF ＝60°，c ＝|OF |＝2.又点A 在双曲线旳渐近线y ＝b a x 上，∴ba ＝tan 60°＝ 3.又a 2＋b 2＝4，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线旳方程为x 2－y 23＝1.故选D. 45．(·全国Ⅲ文，14)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)旳一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.1．【答案】5【解析】∵双曲线旳原则方程为x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)，∴双曲线旳渐近线方程为y ＝±3a x .又双曲线旳一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.46、(·北京文，10)若双曲线x 2－y 2m＝1旳离心率为3，则实数m ＝________. 【答案】2【解析】由双曲线旳原则方程知a ＝1，b 2＝m ，c ＝1＋m ，故双曲线旳离心率e ＝ca ＝1＋m ＝3，∴1＋m ＝3，∴m ＝2.47、(·全国Ⅱ理，16)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 旳焦点，M 是C 上一点，FM 旳延长线交y 轴于点N .若M 为FN 旳中点，则|FN |＝________.【解析】如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 旳准线交x 轴于点A ，过点M 作准线旳垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2.∵点M 为FN 旳中点，PM ∥OF ，∴|MP |＝12|FO |＝1.1212121111442222BMy y K x x x x ----==---- (1x +=()12200x x ++= 又设AB ：y=x ＋m 代入2x ＋20=0∴m=7故AB ：x ＋y=7新课标Ⅱ文)设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C :x 22＋。

高三数学文科圆锥曲线大题训练（含详细解答）1．已知椭圆22:416C x y +=. （1）求椭圆C 的离心率;（2）设椭圆C 与y 轴下半轴的交点为B ,如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ,且,,B E F 构成以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,判断直线EF 与圆2212x y +=的位置关系.2．已知椭圆的中心在坐标原点O，长轴长为离心率2e =，过右焦点F 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l 的斜率为1时，求POQ ∆的面积；（3）若以,OP OQ 为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l 的方程.3．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为(2,0)A -（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 过点A ，过O 作l 的平行线交椭圆C 于P ，Q 两点，如果以PQ 为直径的圆与直线l 相切，求l 的方程．4．已知离心率为2的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与直线2x =相交于,P Q 两点（点P 在x 轴上方），且2PQ =．点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，且APQ BPQ ∠=∠． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）求四边形APBQ 面积的取值范围．5．已知椭圆的一个顶点为)1,0(-A ，焦点在x 轴上，若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；（2）设直线()0y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点M 、N ，当AM AN =时，求m 的取值范围.6．已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线222:12x C y -=的顶点，直线0=x 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A的坐标为(1)，点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点，点Q 满足0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=，且A ，B ，Q 三点不共线.（1）求椭圆1C 的方程； （2）求点Q 的轨迹方程；（3）求ABQ ∆面积的最大值及此时点Q 的坐标.7．如图，B A ,分别是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点，F 为其右焦点，2是AF 与FB 的等差中项，3是AF 与FB 的等比中项． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知点P 是椭圆C 上异于B A ,的动点，直线l 过点A 且垂直于x 轴，若过F 作直线FQ 垂直于AP ，并交直线l 于点Q ．证明：B P Q ,,三点共线．8．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>()0,1．圆22221:C x y a b +=+.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l ():0y kx m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ，且l 与圆1C 相交于,A B 两点，问AM BM +=0是否成立？请说明理由．9．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于,M N 两点,且8MN =．（1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l 为抛物线C 的切线，且l ∥MN ,P 为l 上一点，求PM PN ⋅的最小值．10．已知动圆C 过定点）（2,0M ，且在x 轴上截得弦长为4．设该动圆圆心的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 方程；（2）点A 为直线l ：20x y --=上任意一点，过A 作曲线C 的切线，切点分别为P 、 Q ，APQ ∆面积的最小值及此时点A 的坐标.11．已知点)1,2(A 在抛物线:E 2x ay =上，直线1:l 1y kx =+（R k ∈，且0k ≠）与抛物线E 相交于C B ,两点，直线AC AB ,分别交直线2:l 1y =-于点S ，T ．（1）求a 的值；（2）若S T =1l 的方程；（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2（1）求椭圆C 的方程；（2）B A ,为椭圆C 上满足AOB ∆E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P ，设OP tOE =，求实数t 的值.13．已知点()2,1P 在抛物线()21:20C x py p =>上，直线l 过点()0,2Q 且与抛物线1C 交于A 、B 两点。

数学圆锥曲线测试题（二）姓名 学号 成绩一、选择题)60125(''=⨯1．方程231y x -=表示的曲线是（ ）A ．双曲线 B. 椭圆 C. 双曲线的一部分D. 椭圆的一部分2．双曲线221169x y -=的焦点坐标为（ ）A ．(，B ．(0，(0C ．(50)-，，(50)，D ．(05)-，，(05)， 3．抛物线y x =2的准线方程是（ ）A ．014=+y B. 014=+x C. 012=+y D. 012=+x4．方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ）A ．一椭圆和一双曲线的离心率B ．两抛物线的离心率C ．一椭圆和一抛物线的离心率D ．两椭圆的离心率5．21,F F 是椭圆17922=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则 Δ12AF F 的面积为（ ）A ．7B ．47C ．27D ．257 6．椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到其准线距离是（ ） A.43 B.554 C.358 D.334 7．“直线与抛物线只有一个交点”是“直线与抛物线相切”的（ ）A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =⋅满足，则点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线9．设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PF （ ）A. 1或5B. 6C. 7D. 910．设椭圆22221(00)x y m n m n+=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（ ） A ．2211216x y += B ．2211612x y += C ．2214864x y += D ．2216448x y += 11．已知双曲线1222=-y x 的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅= 则点M 到x 轴的距离为（ ）A ．43 B. 5312．以双曲线116922=-y x 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ） A ．091022=+-+x y x B. 0161022=+-+x y xC. 0161022=+++x y xD. 091022=+++x y x二、填空题)2054(''=⨯13．若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = ．14．设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若++=0，则|FA|+|FB|+|FC|= ．15．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为20x y -=，则它的离心率为 。

圆锥曲线--高考真题汇编第一节椭圆1.（2023全国甲卷理科12）已知椭圆22196x y +=，12,F F 为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，123cos 5F PF ∠=，则OP =（）A.25 C.35【解析】解法一（利用焦点三角形面积公式）:设122F PF θ∠=，π02θ<<.22212222cos sin 1tan 3cos cos 2cos sin 1tan 5F PF θθθθθθθ--∠====++，解得1tan 2θ=.由椭圆焦点三角形面积公式得1222121tantan 6322F PF F PF S b b θ∠===⨯=△.121211322F PF P P S F F y ===△，解得23P y =.则代入椭圆方程得292P x =，因此302OP ==.故选B.解法二（几何性质+定义）:因为1226PF PF a +==①，22212121122cos PF PF PF PF F PF F F +-⋅∠=，即2212126125PF PF PF PF +-⋅=②，联立①②，解得12152PF PF ⋅=，221221PF PF +=.由中线定理可知，()()222212122242OP F F PF PF +=+=，而12F F =，解得302OP =.故选B.解法三（向量法）:由解法二知12152PF PF ⋅=，221221PF PF +=.而()1212PO PF PF =+，所以1213022PO PF PF =+===.故选B.2.（2023全国甲卷文科7）设12,F F 为椭圆22:15x C y +=的两个焦点，点P 在C 上，若120PF PF ⋅= ，则12PF PF ⋅=（）A.1B.2C.4D.5【分析】解法一：根据焦点三角形面积公式求出12PF F △的面积，即可解出；解法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．【解析】解法一：因为120PF PF ⋅=，所以1290F PF ∠= ，从而122121tan 4512F PF S b PF PF ===⨯⋅ △，所以122PF PF ⋅=．故选B.解法二：因为120PF PF ⋅=，所以1290F PF ∠= ，由椭圆方程可知，25142c c =-=⇒=，所以22221212416PF PF F F +===，又122PF PF a +==22121212216220PF PF PF PF PF PF ++=+=，所以122PF PF ⋅=．故选B.3.（2023新高考I 卷5）设椭圆()2212:11x C y a a +=>，222:14x C y +=的离心率分别为1e ，2e .若21e =，则a =（）A.233B.【解析】11a e a =，232e =，由21e =可得32=，解得233a =.故选A.4.（2023新高考II 卷5）已知椭圆22:13x C y +=的左、右焦点分别为12,F F ，直线y x m =+与C 交于,A B 两点，若1F AB △的面积是2F AB △面积的2倍，则m =（）A.23B.3C.3-D.23-【解析】设AB 与x 轴相交于点(),0D m -，由122F AB F AB S S =△△，得122F DF D=.又12F F =23F D =，则有()3m --=，解得3m =.故选C.第二节双曲线1.（2023新高考I 卷16）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，11F A F B ⊥ ，2223F A F B =- ，则C 的离心率为.【解析】解法一：建立如图所示的平面直角坐标系，设()()()12,0,,0,0,F c F c B n -，由2223F A F B =- 可得52,33A c n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又11F A F B ⊥ 且182,33F A c n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()1,F B c n = ，则()22118282,,03333F A F B c n c n c n ⎛⎫⋅=-⋅=-= ⎪⎝⎭ ，所以224n c =，又点A 在C 上，则2222254991c n a b -=，整理可得2222254199c n a b-=，代入224n c =，可得222225169c c a b -=，即222162591e e e -=-，解得295e =或()215e =舍.故355e =.解法二：由2223F A F B =-可得2223F A F B =，设222,3F A x F B x ==，由对称性可得，13F B x =，由定义可得，122AF x a =+，5AB x =，设12F AF θ∠=，则33sin 55x x θ==，所以422cos 55x a xθ+==，解得x a =，所以1224AF x a a =+=，222F A x a ==，在12AF F △中，由余弦定理可得222216444cos 165a a c a θ+-==，2295a c =，所以355e =.2.（2023全国甲卷理科8）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为5，其中一条渐近线与圆()()22231x y -+-=交于,A B 两点，则AB =（）A.15B.55C.255 D.455【解析】由5e =，则222222215c a b b a a a +==+=，解得2b a =.所以双曲线的一条渐近线为2y x =，则圆心()2,3到渐近线的距离22235521d ⨯-==+，所以弦长221452155AB r d =--.故选D.3.（2023全国甲卷文科9）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为5，其中一条渐近线与圆()()22231x y -+-=交于,A B 两点，则AB =（）A.15B.55C.255D.455【解析】由e =，则222222215c a b b a a a+==+=，解得2b a =.所以双曲线的一条渐近线为2y x =，则圆心()2,3到渐近线的距离55d ==，所以弦长5AB =.故选D.4.（2023北京卷12）已知双曲线C 的焦点为()2,0-和()2,0，离心率为，则C 的方程为.【分析】根据给定条件，求出双曲线C 的实半轴、虚半轴长，再写出C 的方程作答.【解析】令双曲线C 的实半轴、虚半轴长分别为,a b ，显然双曲线C 的中心为原点，焦点在x 轴上，其半焦距2c =，由双曲线C ，得ca，解得a =，则b =所以双曲线C 的方程为22122x y -=.故答案为：22122x y -=.因为()2,0F c ，不妨设渐近线方程为所以222bc bcPF c a b ==+设2POF θ∠=，则tan θ=第三节抛物线2.（2023全国乙卷理科13，文科13）已知点A 在抛物线2:2C y px =上，则A 到C 的准线的距离为.【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为54x =-，最后利用点的坐标和准线方程计算点A 到C 的准线的距离即可.【解析】由题意可得：221p =⨯，则25p =，抛物线的方程为25y x =，准线方程为54x =-，点A 到C 的准线的距离为59144⎛⎫--= ⎪⎝⎭.故答案为：94.3.（2023新高考II 卷10）设O 为坐标原点，直线)1y x =-过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，且与C 交于,M N 两点，l 为C 的准线，则（）A ．2p =B ．83MN =C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．OMN △为等腰三角形【解析】由题意可得焦点为()1,0F ，所以12p=，2p =，A 正确；联立)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消y 得231030x x -+=.设()()1122,,,M x y N x y ，由韦达定理得12103x x +=，所以12163MN MF NF x x p =+=++=，B 错误；设MN 的中点为Q ，分别过,,M N Q 向l 作垂线，垂足分别为111,,M N Q ，由梯形中位线性质及抛物线定义可得，()()111111222QQ MM NN MF NF MN r =+=+==，所以以MN 为直径的圆与准线l 相切，C 正确；由上述解题过程知，231030x x -+=，解得121,33x x ==，从而(1,3,3M N ⎛- ⎝⎭，易得OM ON MN ≠≠，OMN △不是等腰三角形，D 错误.综上，故选AC.第四节直线与圆锥曲线的位置关系1.（2023全国乙卷理科11，文科12）已知,A B 是双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（）A.()1,1 B.()1,2- C.()1,3 D.()1,4--【分析】设直线AB 的斜率为AB k ,OM 的斜率为k ，根据点差法分析可得9AB k k ⋅=，对于A ，B ，D 通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C ：结合双曲线的渐近线分析判断.【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 的斜率为AB k ,OM 的斜率为k ，可得1212121212122,2ABy y y y y y k k x x x x x x +-+===+-+，因为,A B 在双曲线上，则221122221919y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得()2222121209y y x x ---=，所以221222129AB y y k k x x -⋅==-.对于选项A ：可得1k =，9AB k =，则:98AB y x =-，联立方程229819y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得272272730x x -⨯+=，此时()2272472732880∆=-⨯-⨯⨯=-<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；对于选项B ：可得2k =-，92AB k =-，则95:22AB y x =--，联立方程22952219y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得245245610x x +⨯+=，此时()()22454456144545610∆=⨯-⨯⨯=⨯⨯-<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；对于选项C ：可得3k =，3AB k =，则:3AB y x =.由双曲线方程可得1a =，3b =，则:3AB y x =为双曲线的渐近线，所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误；对于选项D ：4k =，94AB k =，则97:44AB y x =-，联立方程22974419y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得2631261930x x +-=，此时21264631930∆=+⨯⨯>，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确.故选D.2.（2023新高考I 卷22）在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛⎫⎪⎝⎭的距离，记动点P 的轨迹为W .（1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD的周长大于【解析】（1）设(,)P x y ，则22212x y y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，故21:4W y x =+.（2）解法一：不妨设三个顶点,,A B C 在抛物线214y x =+上，且AB BC ⊥，显然,AB BC 的斜率存在且不为0，令222111,,,,,444A a a B b b C c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,AB BC k a b k b c =+=+，1AB BC k k =-，即()()1a b b c ++=-，即1a b b c-+=+，本题等价于证明332AB BC +>，令||||AB BC b c m +=--=，则m b c =-+-，（未知数有,,a b c ，通过转化（放缩），将变量归一）由221ABBC kk =⋅，即()()22221AB BC k k a b b c =++=⋅，不妨设()221AB k a b =+≤，则m b c=-+-b =-+b c ≥--c ≥-()b b c =+-+1b a b=+++()3221a b a b⎡⎤⎣⎦++=+.令a b t +=，则()()1232323323222211223411332t t a b ta b tt t⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥++⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭+++==≥=+⎣⎦，当212t =时取等号，又()2321t m t+≥取等时必有21t =，因此取不到等号，所以332m >.解法二：如图所示，先将第一问中的曲线下移14个单位，其表达式为2x y =.不妨设,,A B D 三点在抛物线上，再设()2,A t t 及AB 的斜率为k .由题意知AD 的斜率为1k -，因为11k k ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，故而可再使01k <≤，直线AB 的方程()2y t k x t -=-，即2y kx kt t =-+，与曲线联立可得220x kx kt t -+-=，由此可知()222222221211414412AB k x x k k kt t k k kt t k k t=+-=+--=+-+=+-同理，21112AD t k k=++，由此可知矩形ABCD 的周长ρ满足2211122122k k t t k kρ+-++=+2211122212k k t k t k k=+-+++22t t≥-+①12+2k t tk⎫-+⎪⎭1+k≥②()323222112122=2kkk k⎛⎫++⎪+⎝⎭=322k⎛⎫⎝⎭≥⨯③22⨯==.当1k=时①处取等号，当12,2k t tk-+同号时②处取等号，当212k=时③处取等号，显然三处不能同时取等号，所以矩形ABCD的周长大于.由题意得31a c a c +=⎧⎨-=⎩，解得所以椭圆的方程为24x y +（2）由题意得，直线2A A P 的方程为y =第五节圆锥曲线综合探究型问题1.（2023全国甲卷理科20）设抛物线()2:20C y px p =>，直线210x y -+=与C 交于,A B 两点，且AB =.（1）求p ；（2）设C 的焦点为F ，,M N 为抛物线C 上的两点，0MF NF ⋅=，求MNF △面积的最小值.【解析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线的方程22102x y y px -+=⎧⎨=⎩，消x 得()2221y p y =-，即2420y py p -+=，()21212168821042p p p p y y p y y p ∆⎧=-=->⎪+=⎨⎪=⎩，12AB y y ==-=，解得2p =，32p =-（舍）.所以2p =.（2）解法一（向量法）：由（1）知，抛物线的方程为24y x =，()1,0F ，设()33,M x y ，()44,N x y ，()233331,1,4y FM x y y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()244441,1,4y FN x y y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，又FM FN ⊥ 得22343411044y y y y ⎛⎫⎛⎫--+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即22223434341164y y y y y y +++=，又()()22222233434434111111111222442164MNFy y y y y y S FM FN x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅=++=++=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ △()2223434344122816y y y y y y +⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，又22223434341164y y y y y y +++=，得()()22343444y y y y +=-，因此343442y y y y +=-，即()343442y y y y +=-或()3434420y y y y ++-=，得()434222y y y +=-或()343222y y y +=-（这一步至关重要），()24442214162MNFy S y y ⎡+⎤=⋅+⎢⎥-⎣⎦△或()23332214162y y y ⎡+⎤⋅+⎢⎥-⎣⎦.设()22214,162MNFt S t t t ⎡+⎤=⋅+∈⎢⎥-⎣⎦R△()()22222214148181822442424242t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫+-+⎡⎤⎡⎤===-++=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭.又()822t t -+-()822t t-+--则()(214434MNF S =-△（当且仅当2t -=时，即32t y =-=时取最小值）.解法二（极坐标法）：如图所示，设MF 与x 轴正半轴的夹角为θ，则有21cos MF θ=-，21sin NF θ=+，从而有()()()221cos 1sin 1sin cos sin cos MNF S θθθθθθ==-++--△()()()(22224443111112t t t ===-++++-.其中sin cos 4t θθθπ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，显然当且仅当4θ3π=，即4MFO π∠=时取等号.2.（2023全国甲卷文科21）设抛物线()2:20C y px p =>，直线210x y -+=与C 交于,A B两点，且AB =.（1）求p ；（2）设C 的焦点为F ，,M N 为抛物线C 上的两点，0MF NF ⋅=，求MNF △面积的最小值.【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线的方程22102x y y px-+=⎧⎨=⎩，消x 得()2221y p y =-，即2420y py p -+=，()21212168821042p p p p y y p y y p ∆⎧=-=->⎪+=⎨⎪=⎩，12AB y ==-==，解得2p =，32p =-（舍）.所以2p =.（2）解法一：由（1）知，抛物线的方程为24y x =，()1,0F ，设()33,M x y ，()44,N x y ，()233331,1,4y FM x y y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，()244441,1,4y FN x y y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，又FM FN ⊥ 得22343411044y y y y ⎛⎫⎛⎫--+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即22223434341164y y y y y y +++=.又()()22222233434434111111111222442164MNFy y y y y y S FM FN x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅==++=++=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ △()2223434344122816y y y y y y +⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，又22223434341164y y y y y y +++=，得()()22343444y y y y +=-，因此343442y y y y +=-，即()343442y y y y +=-或()3434420y y y y ++-=，得()434222y y y +=-或()343222y y y +=-（这一步至关重要）,()24442214162MNFy S y y ⎡+⎤=⋅+⎢⎥-⎣⎦△或()23332214162y y y ⎡+⎤⋅+⎢⎥-⎣⎦.设()22214,162MNFt S t t t ⎡+⎤=⋅+∈⎢⎥-⎣⎦R △()()22222214148181822442424242t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫+-+⎡⎤⎡⎤===-++=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭.又()822t t -+-()822t t-+--则()(214434MNFS-=-△2t -=时，即32t y =-=时取最小值）.解法二（极坐标）：如图所示，设MF 与x 轴正半轴的夹角为θ，则有22,1cos 1sin MF NF θθ==-+，从而有()()()221cos 1sin 1sin cos sin cos MNF S θθθθθθ==-++--△()()()(22224443111112t t t ===-++++-.其中sin cos 4t θθθπ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，显然当且仅当4MFO π∠=时取等号.3.（2023全国乙卷理科20，文科21）已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的离心率为3，点()2,0A -在C 上.（1）求C 的方程；（2）过点()2,3-的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，求证：线段MN 中点为定点.【解析】（1）依题意，2b =，3c e a ==，则2224b a c =-=，得3a =，c =，曲线C 的方程为22194y x +=.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，直线():32PQ y k x -=+，()11:22y AP y x x =++，令0x =，得1122M yy x =+，()22:22y AQ y x x =++，令0x =，得2222N yy x =+.MN 的中点坐标为12120,22y y x x ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭，联立直线PQ 的方程和椭圆方程得()22239436y k x x y ⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消y 建立关于x 的一元二次方程，()229423360x k x +⎡++⎤-=⎣⎦，即()()222249162416480k x k k x k k +++++=，21222122162449164849k kx x k k k x x k ⎧++=-⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，又()()121212121223231123222222k x k x y y k x x x x x x ++++⎛⎫+=+=++ ⎪++++++⎝⎭()2221222121222162416364492323164832482444949k k k x x k k k k k k k x x x x k k --+++++=+⋅=+⋅+++++-+++3=.所以线段MN 过定点()0,3.【评注】本题为2022全国乙卷的变式题，难度有所降低，考查仍为极点、极线的性质，定点()0,3为()2,3P -关于椭圆22194y x +=的极线123x y +=-与y 轴的交点.本题以椭圆中极点极线理论的射影不变性为命题背景，考查椭圆中对称式的计算方法，要求考生具有较强的计算能力.除此之外，如果考生具有先猜再证的解题意识，本题中的定点可以通过极限思想进行猜想.4.（2023新高考II 卷21）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为()-.（1）求C 的方程；（2）记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点()4,0-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ，求证：点P 在定直线上.【解析】（1）设双曲线方程为()22221,0x y a b a b-=>，且22220c a b =+=.又c e a a===，得2a =，因为c =，所以4b =，因此双曲线的方程为221416x y -=.（2）（设点设线）.设()()1122,,,M x y N x y ，:4MN x ty =-.由（1）可得，()()122,0,2,0A A -，则()111:22y MA y x x =++,()222:22yNA y x x =--.联立12,MA NA 的方程，消y 得()()12122222y yx x x x +=-+-，即2121122212112122222266y x y ty ty y y x x x y ty y ty y y +--+=⋅=⋅=----.联立MN 的方程与双曲线221416x y -=，得224416x ty x y =-⎧⎨-=⎩，消x 得()224416ty y --=，即()224132480t y ty --+=.由韦达定理()()221221223244148032414841t t t y y t y y t ∆⎧=---⨯>⎪⎪⎪+=⎨-⎪⎪=⎪-⎩（非对称结构处理）.()12122483412t ty y y y t ==+-，则()()1221212112331221222393236222y y y y y x x y y yy y +--+===--+--+，得1x =-.因此点P 在定直线1x =-上.5.（2023北京卷19）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为53，,A C 分别是E 的上、下顶点，,B D分别是E 的左、右顶点，4AC =.（1）求椭圆E 的方程；（2）点P 为第一象限内E 上的动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线AP 与直线2y =-交于点N .求证：//MN CD .【分析】（1）结合题意得到c a =24b =，再结合222a c b -=，解之即可；（2）依题意求得直线BC 、PD 与PA 的方程，从而求得点,M N 的坐标，进而求得MN k ，再根据题意求得CD k ，得到MN CD k k =，由此得解.【解析】（1）依题意，得53c e a ==，则53c a =，又,A C 分别为椭圆上下顶点，4AC =，所以24b =，即2b =，所以2224a c b -==，即22254499a a a -==，则29a =，所以椭圆E 的方程为22194x y +=.（2）因为椭圆E 的方程为22194x y +=，所以()()()()0,2,0,2,3,0,3,0A C B D --，因为P 为第一象限E 上的动点，设()(),03,02P m n m n <<<<，则22194m n +=，易得022303BC k +==---，则直线BC 的方程为223y x =--，033PD n n k m m -==--，则直线PD 的方程为()33n y x m =--，联立()22333y x n y x m ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩，解得()332632612326n m x n m n y n m ⎧-+=⎪⎪+-⎨-⎪=⎪+-⎩，即()332612,326326n m n M n m n m ⎛-+⎫- ⎪+-+-⎝⎭，而220PA n n k m m --==-，则直线PA 的方程为22n y x m-=+，令=2y -，则222n x m --=+，解得42m x n -=-，即4,22m N n -⎛⎫- ⎪-⎝⎭，又22194m n +=，则22994n m =-，2287218m n =-，所以()()()()()()12264122326332696182432643262MN n n m n n m k n m n m n m n m m n m n -+-+--+-==-+-+-++---+--222222648246482498612369612367218n mn m n mn m n m mn m n m n n m -+-+-+-+==++---++--()()22222324126482429612363332412n mn m n mn m n mn m n mn m -+-+-+-+===-+-+-+-+，又022303CD k +==-，即MN CD k k =，显然，MN 与CD 不重合，所以//MN CD .第六节平面几何性质在圆锥曲线中的应用1.（2023全国甲卷理科12）已知椭圆22196x y +=，12,F F 为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，123cos 5F PF ∠=，则OP =（）A.25C.35【解析】因为1226PF PF a +==①，22212121122cos PF PF PF PF F PF F F +-⋅∠=，即2212126125PF PF PF PF +-⋅=②，联立①②，解得12152PF PF ⋅=，221221PF PF +=.由中线定理可知，()()222212122242OP F F PF PF +=+=，而12F F =，解得302OP =.故选B.2.（2023新高考II 卷10）设O为坐标原点，直线)1y x =-过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，且与C 交于,M N 两点，l 为C 的准线，则（）A ．2p =B ．83MN =C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．OMN △为等腰三角形【解析】由题意可得焦点为()1,0F ，所以12p =，2p =，A 正确；联立)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消y 得231030x x -+=.设()()1122,,,M x y N x y ，由韦达定理得12103x x +=，所以12163MN MF NF x x p =+=++=，B 错误；设MN 的中点为Q ，分别过,,M N Q 向l 作垂线，垂足分别为111,,M N Q ，由梯形中位线性质及抛物线定义可得，()()111111222QQ MM NN MF NF MN r =+=+==，所以以MN 为直径的圆与准线l 相切，C 正确；由上述解题过程知，231030x x -+=，解得121,33x x ==，从而(1,3,3M N ⎛- ⎝⎭，易得OM ON MN ≠≠，OMN △不是等腰三角形，D 错误.综上，故选AC.。

23．（2013广东文）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 的方程是（ D ） A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 24．(2012沪春招) 已知椭圆222212:1,:1,124168x y x y C C +=+=则 （ D ） (A)1C 与2C 顶点相同. （B ）1C 与2C 长轴长相同. (C)1C 与2C 短轴长相同. （D ）1C 与2C 焦距相等.25.(2012新标) 设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ C ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 4526.(2013新标2文) 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( D ) A.36B.13C.12D.3327.(2013四川文) 从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( ) A.24 B.12 C.22 D.32【简解】由题意可设P (－c ，y 0)(c 为半焦距)，k OP ＝－y 0c ，k AB ＝－b a ，由于OP ∥AB ，∴－y 0c ＝－b a ，y 0＝bc a，把P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，bc a代入椭圆方程得－c2a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a 2b 2＝1，而⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝12，∴e ＝c a ＝22.选C. 28．（2014大纲）已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为33，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为43，则C 的方程为（ ）A ．22132x y += B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y += 【简解】|AB|+|AF 1|+|BF 1|=|AF 2|+|BF 2|+|AF 1|+|BF 1|=4a=43,a=3;c=1；b 2=2.选A ．[9,)+∞[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．(0,3][4,)+∞【答案】A 【解析】当03m <<，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603ab≥=，即33m≥，得01m <≤；当3m >，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603a b ≥=，即33m ≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)⋃+∞，选A. 41、(2017·全国Ⅱ文，5)若a >1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)3．【答案】C 【解析】由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a .∴e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a ＞1，∴0＜1a 2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e ＜ 2.故选C.42．(2017·全国Ⅱ文，12)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．2 2 C ．2 3 D ．3 34．【答案】C 【解析】抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF 的方程为y ＝3(x －1)．联立得方程组⎩⎨⎧y ＝3x －，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝－233或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2 3.∵点M 在x 轴的上方，∴M (3,23)．∵MN ⊥l ，∴N (－1,23)．∴|NF |＝＋2＋－232＝4，|MF |＝|MN |＝3－(－1)＝4.∴△MNF 是边长为4的等边三角形．∴点M 到直线NF 的距离为2 3. 故选C.43．(2017·全国Ⅲ文，11)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则椭圆C 的离心率为( ) A ．63 B ．33 C ．23 D ．13由△AOF是边长为tan 60°＝ 3.又1212442222BMK x x x x ==---- =()2122200x x x +++= 又设AB ：y=x ＋m 代入。

4.圆锥曲线（2011）19.（本小题共14分）已知椭圆22:14x G y +=.过点（m ,0）作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点. （I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（II ）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值. （2012）19．（本小题共14分）已知曲线22:(5)(2)8()C m x m y m -+-=∈R（Ⅰ）若曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆，求m 的取值范围；（Ⅱ）设4m =，曲线C 与y 轴的交点为,A B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点,M N ,直线1y =与直线BM 交于点G . 求证：,,A G N 三点共线.（2013）19. (本小题共14分)已知A 、B 、C 是椭圆W ：2214x y +=上的三个点，O 是坐标原点. (I)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积.(II)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由. 5.函数（2011）18.（本小题共13分）已知函数2()()xkf x x k e =-。

（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()f x ≤1e，求k 的取值范围。

（2012）18．（本小题共13分）已知函数2()1(0)f x ax a =+>，3()g x x bx =+.(1) 若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值； (2) 当24a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间，并求其在区间(,1]-∞-上的最大值. (2013)18. (本小题共13分) 设l 为曲线C ：ln xy x=在点(1，0)处的切线. (I)求l 的方程；(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线l 的下方 6.压轴题（2011）20.(本小题共13分)若数列12,,...,(2)n n A a a a n =≥满足11(1,2,...,1)k k a a k n +-==-，数列n A 为E 数列，记()n S A =12...n a a a +++.（Ⅰ）写出一个满足10s a a ==，且()s S A 〉0的E 数列n A ；（Ⅱ）若112a =，n=2000，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是n a =2011； （Ⅲ）对任意给定的整数n （n ≥2），是否存在首项为0的E 数列n A ，使得()n S A =0？如果存在，写出一个满足条件的E 数列n A ；如果不存在，说明理由。