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直线与圆锥曲线的交点(一) 日期：学习目标：1．掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，能够把研究直线与圆锥曲线的位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题；2．会利用直线与圆锥曲线的方程所组成的方程组消去一个变量，将交点问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数关系及判别式解决问题．重点难点：将交点问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数关系及判别式解决问题．学习过程：一、自学课本，解决课后练习；二、交流探究：1、直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法：直线l ：(,)0f x y =和曲线:(,)0C g x y =的公共点坐标是方程组(,)0(,)0f x yg x y =⎧⎨=⎩的解，l 和C 的公共点的个数等于方程组不同解的个数．这样就将l 和C 的交点问题转化为方程组的解问题研究，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式∆，若能数形结合，借助图形的几何性质则较为简便．2、弦的中点或中点弦的问题，除利用韦达定理外，也可以运用“差分法”（也叫“点差法”）． 三、学以致用：1、过点(0,1)与抛物线22(0)y px p =>只有一个公共点的直线的条数是 （ ）()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 32、抛物线2y ax =与直线y kx b =+(0)k ≠交于,A B 两点，且此两点的横坐标分别为1x ，2x ，直线与x 轴的交点的横坐标是3x ，则恒有 （ ）()A 312x x x =+ ()B 12132x x x x x x =+ ()C 3120x x x ++= ()D 1213230x x x x x x ++=3、椭圆122=+ny mx 与直线1=+y x 交于,M N 两点，MN 的中点为P ，且OP 的斜率为22，则nm的值为 （ ） （A ）22（B ）322 （C ）229 （D ）27324、以点(1,1)-为中点的抛物线28y x =的弦所在的直线方程为 （ ）()A 430x y --= ()B 430x y ++= ()C 430x y +-= ()D 430x y ++=5、斜率为3的直线交椭圆221259x y +=于,A B 两点，则线段AB 的中点M 的坐标满足方程（ ） ()A 325y x = ()B 325y x =- ()C 253y x = ()D 253y x =- 6、已知双曲线2290x y kx y -+--=与直线1y kx =+的两个交点关于y 轴对称，则这两个交点的坐标为7、直线y x b =+与抛物线22y x =，当b ∈ 时，有且只有一个公共点；当b ∈时，有两个不同的公共点；当b ∈ 时，无公共点．8、过点(2,1)A 的直线l 与椭圆2212x y +=相交，求l 被截得的弦的中点的轨迹方程。
3.4.3 直线与圆锥曲线交点【学习目标】1.了解直线与圆锥曲线的三种位置关系；2.掌握求解有关直线与圆锥曲线的问题的方法。
【重点难点】直线与圆锥曲线相交的弦长与中点弦问题。
【自主探究】直线与圆锥曲线的位置关系有哪几种？如何判断？【合作探究】探究1. 直线与圆锥曲线的交点个数问题例1.已知直线l ：2y x m =+，椭圆C ：12422=+y x ，试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：（1）有两个不同的公共点？ （2）有且只有一个公共点？（3）没有公共点？探究2. 直线与圆锥曲线恒有公共点问题例2.若直线1y kx =+和椭圆22125x y m +=恒有公共点，求实数m 的取值范围。
探究3. 弦长问题例3.斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交于,A B 两点，则||AB = 。
探究4.中点弦问题例4.已知（4，2）是直线l 被椭圆362x +92y =1所截得的线段的中点，求l 的方程？【应用探究】1.抛物线与直线有一个公共点是直线与抛物线相切的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.过点（2，4）作直线与抛物线x y 82=只有一个公共点，这样的直线有（ ）A.1条B.2条C.3条D.4条3.已知双曲线C ：1422=-y x ，过点P （0，1）作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有（ ）A.1条B.2条C.3条D.4条4.已知椭圆2224x y +=，则以(1,1)为中点的弦的长度是（ ） ()A 32 ()B 23 ()C 303 ()D 3625.已知双曲线1322=-y x ，过P （2，1）点作一直线交双曲线于A 、B 两点，并使P 为AB 的中点，则直线AB 的斜率为____________。
【延伸探究】6.求过点（0，2）的直线被椭圆2222=+y x 所截弦的中点的轨迹方程。
§4.3直线与圆锥曲线的交点问题：1. 直线与圆有哪些位置关系？其判定方法是怎样的？2．如何求直线与圆的交点坐标？直线与圆锥曲线的交点一、求直线与圆锥曲线的公共点的坐标问题例1已知过点（0,1）且斜率为1的直线与椭圆2244x y += 相交于A 、B 两点，求A 、B 两点的坐标.问题1如何求弦长AB ？小结：（1）求直线与圆锥曲线的交点一般是把直线方程和圆锥曲线方程联立解方程组即可；（2）求直线被圆锥曲线所截得的弦长，方法一：求出交点，再利用两点间的距离公式求；方法二：利用弦长公式.练习：过双曲线22136x y-=的右焦点2F，倾斜角为30 的直线交双曲线于A、B两点，求弦长AB.二、直线与圆锥曲线的公共点的个数问题例2 已知直线l：2y x m=+，椭圆C：22142x y+=，试问当m取何值时，直线l与椭圆C：（1）有两个不同的公共点？（2）有且只有一个公共点？（3）没有公共点？小结：直线与圆锥曲线交点个数的判定问题：判断直线l与圆锥曲线C的交点个数时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程f(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元二次方程．即(,)0A xB y Cf x y++=⎧⎨=⎩，消去y后，得ax2＋bx＋c＝0.(注意：若f(x，y)＝0表示椭圆，则方程中a≠0)，为此有：(1)若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是拋物线时，直线l与拋物线的对称轴平行(或重合)．此时直线与圆锥曲线只有一个交点（注意：当直线l与双曲线的渐近线重合时，没有交点）.(2)若a≠0，Δ＝b2－4ac，①Δ＞0时，直线与圆锥曲线有两个交点；②Δ＝0时，直线与圆锥曲线只有一个交点；③Δ＜0时，直线与圆锥曲线没有交点．练习：已知抛物线的方程为24y x =，直线l 过定点(2,1)P -，斜率为k ，问当k 为何值时，直线l 与抛物线（1）只有一个公共点？（2）有两个公共点？（3）没有公共点？三、直线与圆锥曲线恒有公共点问题例3 若直线1y kx =+与交点在x 轴上的椭圆2215x y m +=总有公共点，求m 的取值范围.练习：直线3y x =+与曲线2||194y x x -=（ ）A.没有交点B.只有一个交点C.有两个交点D.有三个交点。
