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2017-2018学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4.2 圆锥曲线的共同特征3.4.3 直线与圆锥曲线的交点学案北师大版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4.2 圆锥曲线的共同特征3.4.3 直线与圆锥曲线的交点学案北师大版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3。
4.2 圆锥曲线的共同特征3。
4.3 直线与圆锥曲线的交点1．掌握圆锥曲线的共同特征．（重点)2．了解直线与圆锥曲线的三种位置关系．（重点）3．掌握求解直线与圆锥曲线有关问题的方法．（难点)[基础·初探]教材整理1 圆锥曲线的共同特征阅读教材P87“抽象概括”与“练习"之间的部分，完成下列问题。
圆锥曲线共同特征e的值或范围椭圆圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e0＜e＜1抛物线e＝1双曲线e＞11．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（1)椭圆上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比可以是2.( )（2)曲线上的点M(x，y）到定点(5，0）的距离和它到定直线l：x＝错误!的比是常数错误!，则曲线是双曲线．（）（3）直线y＝x与抛物线y2＝x的交点是（0，0）与(1,1）．（）【解析】根据圆锥曲线的共同特征知(1)中的比不可能大于1。
(2）正确．(3）由错误!解得（0,0），（1,1）,故交点为(0,0），（1，1)．【答案】(1)×（2）√（3）√2．如果双曲线错误!－错误!＝1上一点P到右焦点的距离等于3,那么点P到右准线的距离是________．【解析】由题知a＝4，b＝3，c＝5，∴e＝错误!。
4.2 圆锥曲线的共同特征 4.3 直线与圆锥曲线的交点学习目标：1.掌握圆锥曲线的共同特征．(重点) 2.了解直线与圆锥曲线的三种位置关系．(重点) 3.掌握求解直线与圆锥曲线有关问题的方法．(难点)1．圆锥曲线的共同特征将其变形为：（x －c ）2＋y2a 2c－x ＝c a.(1)你能解释这个式子的意义吗？(2)具有这个关系的点的轨迹一定是椭圆吗？[提示] (1)这个式子表示一个动点P (x ，y )到定点(c ，0)与到定直线x ＝a 2c的距离之比等于定值ca.(2)不一定．当a >c 时，是椭圆，当a ＝c 时是抛物线，当a <c 时，是双曲线． 思考：2.在圆锥曲线的统一定义中，定点F 和定直线l 是如何对应的？[提示] 在统一定义中，若圆锥曲线是椭圆或双曲线，如果定点是左焦点，则定直线是左准线；如果定点是右焦点，则定直线是右准线．而抛物线有唯一一个焦点，对应唯一一条准线．也就是说，定点F 和定直线l 是“相对应”的．2．曲线的交点(1)设曲线C 1：f (x ，y )＝0，C 2：g (x ，y )＝0，求曲线C 1与C 2的交点，即求方程组⎩⎪⎨⎪⎧f （x ，y ）＝0g （x ，y ）＝0的实数解．(2)直线与圆锥曲线的位置关系有三种：相切、相交和相离． ①相离时，直线与圆锥曲线没有公共点； ②相切时，直线与圆锥曲线有一个公共点；③相交时，直线与椭圆有两个公共点，而拋物线和双曲线则可能有一个或两个交点．1.判断正误(1)椭圆上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比可以是2.( )(2)曲线上的点M (x ，y )到定点(5，0)的距离和它到定直线l ：x ＝165的比是常数54，则曲线是双曲线．( ) (3)直线y ＝x 与抛物线y 2＝x 的交点是(0，0)与(1，1)． ( )[答案] (1)× (2)√ (3)√2．已知抛物线y 2＝8x 的弦AB 过它的焦点，直线AB 的斜率为2，则弦AB 的长为( ) A ．6 B ．8 C ．10D ．12C [由y 2＝8x 得p ＝4，焦点(2，0)，则直线方程为y ＝2(x －2)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（x －2），y 2＝8x ，有x 2－6x ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝6.∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋4＝10.]3．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定A [因为直线过定点(1，1)，而(1，1)点在椭圆内部，故直线与椭圆必相交．] 4．如果双曲线x 216－y 29＝1上一点P 到右焦点的距离等于3，那么点P 到右准线的距离是________．125 [由题知a ＝4，b ＝3，c ＝5，∴e ＝54.由双曲线的第二定义，设所求距离为d ，则3d ＝54. ∴d ＝125.]【例1】 (1)已知动点P (x ，y )满足5＝13（x －1）2＋（y －5）2，则动点P的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线(2)在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为( )A. 2B.22C.12D.24(3)椭圆x 225＋y 29＝1上有一点P ，它到左准线的距离等于2.5，那么P 到右焦点的距离为________．(1)B (2)B (3)8 [(1)点P (x ，y )到直线3x －4y －1＝0的距离为d ＝|3x －4y －1|5；点P (x ，y )到A (1，5)的距离为|PA |＝（x －1）2＋（y －5）2，∴|PA |d＝3＞1，∴点P 的轨迹是双曲线．(2)结合题意，由椭圆第二定义知e ＝221＝22.(3)设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 到左准线的距离d ＝2.5，则P 到左焦点的距离|PF 1|＝e ·d ＝45×52＝2.∴|PF 2|＝2a －|PF 1|＝10－2＝8.]1．圆锥曲线的共同特征中，到定点的距离与到定直线的距离之比是一个常数，这本身就是一个几何关系．由此求曲线方程时，直接进行坐标的代换即可求出曲线方程．2．利用圆锥曲线的共同特征可将其上一点到焦点的距离与相应准线的距离进行转化，进而实现求解．1．根据下列条件分别求椭圆的标准方程． (1)经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，455，且一条准线为直线x ＝5；(2)两准线间的距离为1855，焦距为2 5.[解] (1)因为椭圆的一条准线为直线x ＝5，所以椭圆的焦点在x 轴上．设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋165b 2＝1，a2a 2－b2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝21，b 2＝8425.故所求椭圆的标准方程为x 25＋y 24＝1或x 221＋y 28425＝1.(2)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2·a 2c ＝1855，2c ＝25，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a＝3，b ＝2，c ＝ 5.故所求椭圆的标准方程为x 29＋y 24＝1或x 24＋y 29＝1.1．若直线与椭圆有一个公共点，则直线与椭圆相切．正确吗？ [提示] 正确．2．若直线与抛物线有一个公共点，则直线与抛物线一定相切吗？ [提示] 不一定．当直线与抛物线的对称轴平行时，也只有一个交点． 3．过(2，0)点能作几条直线和双曲线x 24－y 23＝1仅有一个交点？[提示] 3条．4．如何用代数法判断直线与圆锥曲线的位置关系？[提示] 判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，可将直线l 的方程代入曲线C 的方程，消去y (或x )得一个关于变量x (或y )的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0.①当a ≠0时，若Δ>0，则直线l 与曲线C 相交；若Δ＝0，则直线l 与曲线C 相切；若Δ<0，直线l 与曲线C 相离．②当a ＝0时，即得到一个一次方程，则l 与C 相交，且只有一个交点．此时，若C 为双曲线，则l 平行于双曲线的渐近线；若C 为抛物线，则l 平行于抛物线的对称轴．③当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时，直线与双曲线或抛物线可能相切，也可能相交．【例2】 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．[思路探究] 联立方程，消去y (或x )转化成关于x (或y )的一元二次方程，利用判别式的符号求解本题．[解] 直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y22＝1， ②将①代入②得 9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0，③判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ＞0，即－32＜m ＜32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ＜0，即m ＜－32或m ＞32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．1.(变条件)1．用判别式可以判断直线与圆锥曲线的位置关系，当Δ>0时，直线与圆锥曲线相交；当Δ＝0时，直线与圆锥曲线相切；当Δ<0时，直线与圆锥曲线相离．2．联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况．【例3】过点P(－1，1)的直线与椭圆4＋2＝1交于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，求AB所在的直线方程及弦长|AB|.[思路探究] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把A，B两点的坐标代入椭圆方程相减(点差法)再结合中点坐标公式求出直线AB 的斜率，从而可求直线AB 的方程，再联立方程求得A ，B 的坐标，根据两点间的距离公式求|AB |.[解] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由A ，B 两点在椭圆上得错误!两式相减得 (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. ① 显然x 1≠x 2，故由①得k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22（y 1＋y 2）. 因为点P 是AB 的中点，所以有x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝2. ②把②代入①得k AB ＝12，故AB 的直线方程是y －1＝12(x ＋1)，即x －2y ＋3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，x 24＋y 22＝1，消去y 得3x 2＋6x ＋1＝0.∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝13，|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（x 1－x 2）2＋[k （x 1－x 2）]2＝1＋k 2（x 1－x 2）2＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋14·243＝303.1．解决中点弦问题主要有如下两种方法：(1)根与系数的关系法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解．(2)“点差法”：若直线l 与圆锥曲线C 有两个交点A 和B ，一般先设出交点坐标A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x 1＋x 2，y 1＋y 2，x 1－x 2，y 1－y 2，从而建立中点坐标和斜率的关系公式．提醒： “点差法”不能保证直线与圆锥曲线有两个交点，因此必须把求出的直线方程与圆锥曲线方程联立，看是否满足Δ>0.2．利用根与系数的关系求直线与圆锥曲线相交弦长的步骤：①联立直线方程与圆锥曲线的方程，消元得到关于x (或y )的一元二次方程； ②设出交点坐标A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，利用根与系数的关系求出x 1＋x 2，x 1x 2，③弦长|AB |1＋k 2|x 1－x 2|或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|(k ≠0)．2．已知双曲线的一个焦点为F 1(－3，0)，且渐近线为y ＝±2x ，过点A (2，1)的直线l 与该双曲线交于P 1，P 2两点．(1)求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程；(2)过点B (1，1)，能否作直线l ′，使l ′与已知双曲线交于Q 1，Q 2两点，且B 是线段Q 1Q 2的中点？请说明理由．[解] (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．∵c ＝3，b a ＝2⇒c 2－a 2a 2＝2⇒3－a2a2＝2，∴a 2＝1，b 2＝2.故双曲线方程为x 2－y 22＝1.设P 1和P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点为P (x ，y )，则x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1.②①－②得2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝(y 1＋y 2)(y 1－y 2)， 当x 1≠x 2，y ≠0时，2x y ＝y 1－y 2x 1－x 2.③ 又∵P 1，P 2，P ，A 四点共线，∴y －1x －2＝y 1－y 2x 1－x 2. ④由③④得2x y ＝y －1x －2，即2x 2－y 2－4x ＋y ＝0，故中点P 的轨迹方程为2x 2－y 2－4x ＋y ＝0.(2)假设存在直线l ′，同(1)可得l ′的斜率为2，l ′的方程为y ＝2x －1.∵⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2－y 22＝1无解，与假设矛盾，∴满足条件的直线l ′不存在.1．平面内到定点(0，－3)的距离与到定直线y ＝3的距离之比为12的动点的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线A [由于点(0，－3)不在直线y ＝3上，且0<12<1，所以，由圆锥曲线的统一定义知：动点的轨迹是椭圆．]2．函数y ＝ax 2＋1的图像与直线y ＝x 相切，则a ＝( ) A.18 B.14 C.12D ．1B [∵函数y ＝ax 2＋1的图像与直线y ＝x 相切，∴它们有且仅有一个交点．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2＋1，y ＝x ，得x ＝ax 2＋1，即ax 2－x ＋1＝0，∴Δ＝1－4a＝0，∴a ＝14.]3．直线y ＝x －1与双曲线x 2－y 22＝1相交于A ，B 两点，则弦长|AB |＝________．4 2 [联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，x 2－y 22＝1，消去y ，得x 2＋2x －3＝0.①由方程①解得x 1＝1，x 2＝－3，代入y ＝x －1.得y 1＝0，y 2＝－4，于是A ，B 两点坐标分别为(1，0)， (－3，－4)，则|AB |＝（1＋3）2＋（0＋4）2＝4 2.]4．点P (1，1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一弦，使此弦在P 点被平分，则此弦所在的直线方程为________．x ＋2y －3＝0 [法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y －1＝k (x －1)，弦的两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k （x －1），x 24＋y 22＝1.消去y 得，(2k 2＋1)x 2－4k (k －1)x ＋2(k 2－2k －1)＝0， ∴x 1＋x 2＝4k （k －1）2k 2＋1， 又∵x 1＋x 2＝2，∴4k （k －1）2k 2＋1＝2，得k ＝－12. 故弦所在直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.法二：由于此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ，且设弦的两端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1，两式相减得 （x 1＋x 2）（x 1－x 2）4＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）2＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 22＋(y 1－y 2)＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. ∴此弦所在直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.]5．求过点P (0，1)且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程．[解] ①若直线的斜率不存在，则过点P (0，1)的直线方程为x ＝0.显然与抛物线只有一个公共点，即直线x ＝0与抛物线只有一个公共点．②若直线的斜率存在，设方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝kx ＋1，消去y 得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0，当k ＝0时，解得y ＝1，即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点．当k ≠0时，由Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，得k ＝12.即直线y ＝12x ＋1与抛物线只有一个公共点．综上所述，所求直线方程为x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1.。
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第三章圆锥曲线与方程 3.4。
2 圆锥曲线的共同特征 3.4.3 直线与圆锥曲线的交点课后演练提升北师大版选修2—1一、选择题（每小题5分,共20分)1．过点P(1，1)作直线与拋物线y2＝2x只有一个公共点，这样的直线的条数是（）A．1 B．2C．3 D．4解析：由于点P（1,1)在拋物线y2＝2x内部，所以只有一条平行于x轴的直线与拋物线只有一个公共点．故选A.答案：A2．已知抛物线y2＝8x的弦AB过它的焦点，直线AB的斜率为2，则弦AB的长为( ) A．6 B．8C．10 D．12解析：由y2＝8x得p＝4，焦点（2，0）,则直线方程为y＝2（x－2），设A(x1，y1）,B （x2，y2)，由错误!有x2－6x＋4＝0，∴x1＋x2＝6。
∴|AB｜＝x1＋x2＋p＝6＋4＝10。
答案: C3．若直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点（m，n)的直线与椭圆错误!＋错误!＝1的交点个数为( )A．至多一个B．2个C．1个D．0个解析: 由题意，错误!>2可得m2＋n2<4，所以(m，n)在以原点为圆心，以2为半径的圆内，椭圆中，短半轴长为2,结合图形可得有两个交点，故选B.答案: B4．若椭圆错误!＋错误!＝1的弦被点(4,2)平分,则此弦所在直线的斜率为( )A．2 B．－2C.错误!D．－错误!解析：设弦端点A（x1，y1）、B(x2,y2），∴错误!⇒x错误!－x错误!＝－4(y错误!－y错误!)⇒k＝错误!＝－错误!＝－错误!＝－错误!.故选D.答案：D二、填空题（每小题5分，共10分）5．已知动点P的坐标（x，y)满足错误!＝错误!，则动点P的轨迹是________．解析: 原等式即点P到（1,1）的距离与到直线x＋y＋2＝0的距离之比为错误!，故点P 的轨迹为椭圆．答案：椭圆6．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是________．解析：由错误!得（1－k2）x2－4kx－10＝0，当错误!时,直线与双曲线右支有两个不同交点，解得－错误!<k<－1。
