2019-2020年江苏省高三上学期期末数学试卷分类：集合、复数

2021-2022学年江苏省泰州市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填涂到答题卡相应区域．1．已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＜0}，B ＝{x |2x ＞1}，则A ∩（∁R B ）＝（ ）A ．（﹣1，0）B ．（0，3）C ．（﹣1，0]D ．（﹣1，3]2．已知复数z 满足|z |+z ＝8+4i ，则z ＝（ ）A ．3+4iB ．3﹣4iC ．﹣3+4iD ．﹣3﹣4i3．在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的终边上有一点P （﹣3，4），则tan2α＝（ ）A ．724 B ．−724 C ．247 D ．−2474．在（x 2+2）（1x +1）8的展开式中，常数项为（ ） A ．27B ．28C ．29D ．305．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的准线为l ，l 与x 轴交于点A ，过点A 作抛物线的一条切线，切点为B ，则△OAB 的面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．86．“双十二”网购狂欢节是继“双十一”之后的又一次网络促销日．在这一天，许多网商还会进行促销活动，但促销力度不及“双十一”．已知今年“双十二”期间，某小区居民网上购物的消费金额（单位：元）近似服从正态分布N （600，10000），则该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为（ ） （参考数据：P （|X ﹣μ|＜σ）＝0.683，P （|X ﹣μ|＜2σ）＝0.954，P （|X ﹣μ|＜3σ）＝0.997）A ．16B ．18C ．20D ．257．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （2﹣x ）＝f （x ）．当0≤x ≤1时，f （x ）＝3x +a ，则f （2021）+ f （2022）＝（ ）A ．﹣4B ．﹣2C ．2D ．48．已知2a =√3，5b =2√2，c =45，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．对于函数f （x ）＝sin x +cos x ，下列说法正确的有（ ）A ．2π是一个周期B ．关于（π2，0）对称C ．在[0，π2]的值域为[1，√2]D ．在[π4，π]上递增10．在平行四边形ABCD 中，若AE →=12AB →，AF →=12AD →，则（ ）A ．EF →=12BD →B ．AD →+CD →+BE →=0→C ．AC →+2DF →+2BE →=0→D ．若AC ⊥BF ，AB →•AD →=BC 2→−2CD 2→11．已知首项为正数的等比数列{a n }的公比为q ，曲线∁n ：a n x 2+a n +1y 2＝1，则下列叙述正确的有（ ）A ．q ＝1，∁n 为圆B ．q ＝﹣1，∁n 离心率为2C ．q ＞1，∁n 离心率为√1−1qD ．q ＜0，∁n 为共渐近线的双曲线12．如图，两个底面为矩形的四棱锥S ﹣ABCD ，S 1﹣ABCD 组合成一个新的多面体Γ，其中△SAD ，△S 1BC 为等边三角形，其余各面为全等的等腰直角三角形．平面α∥平面SAD ，平面α截多面体Γ所得截面多边形的周长为L ，则下列结论正确的有（ ）A ．SB ⊥BCB ．SC ⊥ABC ．多面体Γ有外接球D ．L 为定值三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．13．写出一个公差不为零，且满足a 1+a 2﹣a 3＝1的等差数列{a n }的通项公式a n ＝ ．14．若直线x ﹣ay +2a ＝0被圆x 2+y 2＝4截得的弦长为2，则实数a 的值为 ．15．若函数f （x ）＝cos2x +a cos x 在（0，π3）上是减函数，则实数a 的取值范围为 ．16．△ABC 的三条边分别为a ，b ，c ，若该三角形绕着三条边a ，b ，c 旋转一周所得几何体的体积分别为V a ，V b ，V c ．若V a =14，V b =13，V c =12，则cos A 的值为 ；若∠BAC =π6，V b V c ＝1，则V b 2+V c 2−1V a 2的值为 ．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知asin2B −√3bsinA =0．（1）求角B 的大小；（2）给出三个条件：①b =√3；②a +c =3+√3；③c sin C ＝sin A ，试从中选出两个条件，求△ABC 的面积．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a n＞0，2√S n=a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n•2a n}的前n项的和．19．（12分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，AB ＝2，PB ＝BC ＝4，P A ＝PC ＝AC ＝2√3．（1）平面P AC ⊥平面ABC ；（2）点D 是棱BC 上一点，BD →=λBC →，且二面角B ﹣P A ﹣D 与二面角C ﹣P A ﹣D 的大小相等，求实数λ的值．20．（12分）一学校办公楼共有10层，安装了两部电梯Ⅰ和Ⅱ．电梯运行方式如下：当某人在某层按键后，离他层距较小的电梯运行；当层距相同时，电梯Ⅰ先运行．设电梯在每一层运行时间为a．现王老师在第4层准备乘电梯，设等待电梯的时间为随机变量X．（1）求P（X＝0）；（2）为了响应国家节能减排号召，学校决定只运行一部电梯．求运行两部电梯比运行一部电梯，王老师在第4层乘电梯平均节省的时间．21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的两个顶点坐标为B （﹣2，0），C （2，0），直线AB ，AC 的斜率乘积为14． （1）求顶点A 的轨迹Γ的方程；（2）过点P （1，0）的直线与曲线Γ交于点M ，N ，直线BM ，CN 相交于点Q ，求证：OP →•OQ →为定值．22．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣ax2﹣sin x，e为自然对数的底数．（1）求f（x）在x＝0处的切线方程；（2）当x≥0时，f（x）≥1﹣x﹣sin x，求实数a的最大值；（3）证明：当a＜12时，f（x）在x＝0处取极小值．2021-2022学年江苏省泰州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填涂到答题卡相应区域．1．已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＜0}，B ＝{x |2x ＞1}，则A ∩（∁R B ）＝（ ）A ．（﹣1，0）B ．（0，3）C ．（﹣1，0]D ．（﹣1，3]解：由已知可得集合A ＝{x |﹣1＜x ＜﹣3}，集合B ＝{x |x ＞0}，则∁R B ＝{x |x ≤0}，所以A ∩（∁R B ）＝{x |﹣1＜x ≤0}，故选：C ．2．已知复数z 满足|z |+z ＝8+4i ，则z ＝（ ）A ．3+4iB ．3﹣4iC ．﹣3+4iD ．﹣3﹣4i解：设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），所以a +bi +√a 2+b 2=8+4i ，故{a +√a 2+b 2=8b =4，解得：{a =3b =4，故z ＝a +bi ，故选：A ．3．在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的终边上有一点P （﹣3，4），则tan2α＝（）A ．724B ．−724C ．247D ．−247解：因为在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边上有一点P （﹣3，4），所以tan α=−43，则tan2α=2tanα1−tan 2α=2×(−43)1−(−43)2=247．故选：C ．4．在（x 2+2）（1x +1）8的展开式中，常数项为（ ）A ．27B ．28C ．29D ．30解：（1x +1）8的展开式的通项公式为T r +1＝C 8r （1x ）8﹣r 1r，含1x 2的系数是C 86=28；常数项的系数是2C 88=2；∴（x 2+2）（1x +1）8的展开式中常数项为2+28＝30． 故选：D ．5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的准线为l ，l 与x 轴交于点A ，过点A 作抛物线的一条切线，切点为B ，则△OAB 的面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8解：由抛物线的方程可得准线方程为x ＝﹣1，所以A （﹣1，0），设过A 点的切线方程为x ＝my ﹣1，m ＞0，与抛物线的方程联立，可得y 2﹣4my +4＝0，由Δ＝16m 2﹣16＝0，得m ＝1，即y 2﹣4y +4＝0，解得y ＝2，即B 的纵坐标为2，所以S △AOB =12|OA |•y B =12×1×2＝1， 故选：A ．6．“双十二”网购狂欢节是继“双十一”之后的又一次网络促销日．在这一天，许多网商还会进行促销活动，但促销力度不及“双十一”．已知今年“双十二”期间，某小区居民网上购物的消费金额（单位：元）近似服从正态分布N （600，10000），则该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为（ ）（参考数据：P （|X ﹣μ|＜σ）＝0.683，P （|X ﹣μ|＜2σ）＝0.954，P （|X ﹣μ|＜3σ）＝0.997）A ．16B ．18C ．20D ．25解：∵小区居民网上购物的消费金额（单位：元）近似服从正态分布N （600，10000），∴P （X ＞800）=1−P(400＜X ＜800)2=1−0.9542=0.023， ∵该小区有800名居民，∴网购金额超过800元的人数大约为0.023×800＝18.4．故选：B ．7．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （2﹣x ）＝f （x ）．当0≤x ≤1时，f （x ）＝3x +a ，则f （2021）+f （2022）＝（ ） A ．﹣4B ．﹣2C ．2D ．4解：定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （2﹣x ）＝f （x ）， 所以f （2+x ）＝f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 所以f （4+x ）＝﹣f （x +2）＝f （x ）， 因为当0≤x ≤1时，（x ）＝3x +a ， 由奇函数性质，得f （0）＝1+a ＝0， 所以a ＝﹣1，所以，当0≤x ≤1时，（x ）＝3x ﹣1， 所以f （1）＝2，f （2）＝﹣f （0）＝0， 则f （2021）+f （2022）＝f （1）+f （2）＝2． 故选：C ．8．已知2a =√3，5b =2√2，c =45，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b解：∵2a =√3，5b =2√2，∴a ＝log 2√3=lg √3lg2，b ＝log 52√2=lg2√2lg5， ∵ab =√3⋅lg5lg2⋅lg2√2=lg3⋅lg53lg 22=lg3⋅lg532lg2⋅2lg2=√9⋅lg5lg √8⋅lg41，∴a ＞b ，∵35＜28，∴3＜285，∴log 23＜85，∴12log 23＜45，∴log 2√3＜45，即c ＞a ， ∴c ＞a ＞b ， 故选：C ．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．对于函数f （x ）＝sin x +cos x ，下列说法正确的有（ ） A ．2π是一个周期B ．关于（π2，0）对称C ．在[0，π2]的值域为[1，√2]D ．在[π4，π]上递增解：∵函数f （x ）＝sin x +cos x =√2sin （x +π），故它的周期为2π，故A 正确；令x =π2，求得f （x ）＝1，故f （x ）的图象不关于（π2，0）对称，故B 错误；在[0，π2]上，x +π4∈[π4，3π4]，f （x ）的值域为[1，√2]，故C 正确；在[π4，π]，x +π4∈[π2，5π4]，f （x ）单调递减，故D 错误，故选：AC ．10．在平行四边形ABCD 中，若AE →=12AB →，AF →=12AD →，则（ ）A ．EF →=12BD →B ．AD →+CD →+BE →=0→C ．AC →+2DF →+2BE →=0→D ．若AC ⊥BF ，AB →•AD →=BC 2→−2CD 2→解：EF →=AF →−AE →=12AD →−12AB →=12BD →，故A 正确；在平行四边形ABCD 中，BA →=CD →，所以AD →+CD →+BE →=AD →+BA →+BE →=AD →−AB →+BE →=BD →+BE →=0→，故B 错误； 因为2BE →=BA →，2DF →=DA →=CB →，所以AC →+2DF →+2BE →=AC →+CB →+BA →=AB →+BA →=0→，故C 正确； 因为AC ⊥BF ，所以(AB →+AD →)⋅(AB →−12AD →)=0， 所以12AB →⋅AD →=12AD →2−AB →2，即AB →⋅AD →=BC →2−2CD →2，故D 正确； 故选：ACD ．11．已知首项为正数的等比数列{a n }的公比为q ，曲线∁n ：a n x 2+a n +1y 2＝1，则下列叙述正确的有（ ） A ．q ＝1，∁n 为圆 B ．q ＝﹣1，∁n 离心率为2 C ．q ＞1，∁n 离心率为√1−1qD ．q ＜0，∁n 为共渐近线的双曲线解：对于选项A ，当q ＝1时，a n ＝a 1＞0，所以曲线∁n ：a 1x 2+a 1y 2＝1，即x 2+y 2=1a 1表示圆，故A 正确；对于选项B ，当q ＝﹣1时，a n ＝a 1•（﹣1）n ﹣1，a n +1＝a 1•（﹣1）n ，当n 为奇数时，a n ＝a 1，a n +1＝﹣a 1，所以曲线∁n：a1x2﹣a1y2＝1，所以a2=b2=1a1，所以c2＝a2+b2=2a1，所以∁n离心率为e=c a=√2，故选项B错误；对于选项C，当q＞1时，a n＝a1•q n﹣1，a n+1＝a1•q n，所以曲线∁n：a1•q n﹣1x2+a1•q n y2＝1，所以a2=1a1q n−1，b2=1a1q n，所以c2＝a2﹣b2=1a1q n−1−1a1q n=q−1a1q n，所以曲线∁n的离心率为e=c a=√q−1q，故C正确；对于选项D，当q＜0时，a n＝a1•q n﹣1，a n+1＝a1•q n，当n为奇数时，a n＝a1•q n﹣1＞0，a n+1＝a1•q n＜0，所以曲线∁n：a1•q n﹣1x2﹣（﹣a1•q n）y2＝1，其渐近线的方程为x±qy＝0；当n为偶数时，a n＝a1•q n﹣1＜0，a n+1＝a1•q n＞0，所以曲线∁n：a1•q n y2﹣（﹣a1•q n﹣1）x2＝1，所以其渐近线的方程为√−q y±x＝0，故D正确，故选：ACD．12．如图，两个底面为矩形的四棱锥S﹣ABCD，S1﹣ABCD组合成一个新的多面体Γ，其中△SAD，△S1BC 为等边三角形，其余各面为全等的等腰直角三角形．平面α∥平面SAD，平面α截多面体Γ所得截面多边形的周长为L，则下列结论正确的有（）A．SB⊥BC B．SC⊥ABC．多面体Γ有外接球D．L为定值解：对于A选项，因为△SAB≌△SDC，且SA＝SD，AB＝DC，则SB＝SC，因为△SBC为等腰直角三角形，则SB⊥SC，A错；对于B选项，若SA⊥AB，因为△SAB为等腰直角三角形，则SA＝AB，设SA＝AB＝a，从而SB=√SA2+AB2=√2a，从而SC=√2a，因为BC＝AD＝a，则SB2+SC2＞BC2，故△SBC不为等腰直角三角形，矛盾，故SA≠AB，若SA＝SB，则SC＝SB＝AD＝BC，则△SBC为等边三角形，矛盾，故SB＝AB，因为△SAB为等腰直角三角形，则AB⊥SB，∵AB⊥BC，SB∩BC＝B，则AB⊥平面SBC，∵SC⊂平面SBC，∴SC⊥AB，B对；对于C选项，连接AC、BD交于点O，连接OS、OS1，因为SC⊥SB，SC⊥AB，SB∩AB＝B，则SC⊥平面SAB，∵SA⊂平面SAB，则SA⊥SC，故OS＝OA＝OB＝OC＝OD=12AC，同理OS1=12AC，因此，多面体Γ有外接球，C对；对于D选项，设截面α与多面体Γ各棱的交点如下图所示：因为平面α∥平面SAD，平面SAB∩平面α＝GF，平面SAD∩平面SAB＝SA，故GF∥SA，同理可证ET∥SD，EF∥BC，RH∥AD，GH∥S1B，RT∥S1C，将侧面SAD、SBC、SCD、S1AB、S1AD、S1CD延展成一个平面，如下图所示：由上图可知，四边形ABB′A′为平行四边形，且AA′＝3SA，且点G、F、E、T、G、H、G′共线，则L＝GG′，因为GF∥SA，从而GG′∥AA′，又因为AG∥AG′，故四边形AA′G′G为平行四边形，故L＝GG′＝AA′＝3SA，D对，故选：BCD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上． 13．写出一个公差不为零，且满足a 1+a 2﹣a 3＝1的等差数列{a n }的通项公式a n ＝ n +1 ． 解：设等差数列{a n }的公差为d ， 则a 1+a 2﹣a 3＝a 1+a 1+d ﹣（a 1+2d ）＝1， 即a 1﹣d ＝1，不妨记d ＝1，则a 1＝2，故此时等差数列{a n }的通项公式a n ＝n +1， 故答案为：n +1．14．若直线x ﹣ay +2a ＝0被圆x 2+y 2＝4截得的弦长为2，则实数a 的值为 ±√3 ． 解：设圆心到直线的距离为d ，则2√4−d 2=2，即d 2＝3， 从而：(√1+a 2)2=3，整理可得：a 2＝3，∴a ＝±√3．故答案为：±√3．15．若函数f （x ）＝cos2x +a cos x 在（0，π3）上是减函数，则实数a 的取值范围为 [﹣2，+∞） ．解：∵函数f （x ）＝cos2x +a cos x ＝2cos 2x +a cos x ﹣1在（0，π3）上是减函数，令t ＝cos x ，则t ∈（12，1），故函数f （x ）＝g （t ）＝2t 2+at ﹣1在（12，1）上单调递增，∴−a 4≤12，∴a ≥﹣2，则实数a 的取值范围为[﹣2，+∞）， 故答案为：[﹣2，+∞）．16．△ABC 的三条边分别为a ，b ，c ，若该三角形绕着三条边a ，b ，c 旋转一周所得几何体的体积分别为V a ，V b ，V c ．若V a =14，V b =13，V c =12，则cos A 的值为 −14 ；若∠BAC =π6，V b V c ＝1，则V b 2+V c 2−1V a 2的值为 √3 ．解：设a ，b ，c 边上的高分别为h a ，h b ，h c ，该三角形的面积为S ，则V a =13⋅πℎa 2⋅a =4π3a S 2=14，即a =16π3S 2，同理可知，b =12π3S 2，c =8π3S 2，所以a ：b ：c ＝4：3：2，所以cosA =b 2+c 2−a 22bc =−14；由上述过程可知，aV a ＝bV b ＝cV c ，因为cosA=√32=b2+c2−a22bc，所以1V b2+1V c2−1V a2=√3V b V c，因为V b V c＝1，所以V b2+V c2−1V a2=√3．故答案为：−14；√3．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin2B−√3bsinA=0．（1）求角B的大小；（2）给出三个条件：①b=√3；②a+c=3+√3；③c sin C＝sin A，试从中选出两个条件，求△ABC的面积．解：（1）在△ABC中分别a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足a sin2B−√3b sin A＝0．利用正弦定理和倍角公式得：2sin A sin B cos B=√3sin B sin A，∵sin B sin A≠0，∴cos B=√32，由于B∈（0，π），所以B=π6；（2）选①b=√3，②a+c＝3+√3时，由（1）得：B=π6，由余弦定理：b2＝a2+c2﹣2ac cos B，得，3＝（3+√3）2﹣（2+√3）ac，解得，ac＝3√3，所以S△ABC=12ac sin B=3√34．选：①b=√3；③c sin C＝sin A时，③由正弦定理得，c2＝a，利用余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，整理得：3＝a2+a﹣2a 32×√32，∴a2−√3 a 32=3﹣a，a 32（a12−√3）＝﹣（√3+a12）（a12−√3）故a 12=√3，∴a ＝3，c =√3， 所以S △ABC =12ac sin B =3√34． 选：②a +c ＝3+√3，③c sin C ＝sin A 时， ③由正弦定理得，c 2＝a ， 代入②得，c 2+c ＝3+√3， 故c =√3，a ＝3， 所以S △ABC =12ac sin B =3√34． 18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ＞0，2√S n =a n +1． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{a n •2a n}的前n 项的和．解：（1）∵2√S n =a n +1， ∴4S n =(a n +1)2，那么n ≥2时，4S n−1=(a n−1+1)2， 两式相减得：4a n =a n2+2a n −a n−12−2a n−1，即2（a n +a n ﹣1）＝（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1）， 因为各项为正的数列{a n }， 所以a n ﹣a n ﹣1＝2，又2√S 1=2√a 1=a 1+1，得a 1＝1， ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列， ∴a n =1+(n −1)×2=2n −1(n ∈N ∗)， 综上所述，a n =2n −1(n ∈N ∗)． （2）a n •2a n =（2n ﹣1）×22n ﹣1，设数列{a n •2a n }的前n 项的和为T n ，所以T n ＝1×21+3×23+5×25+……+（2n ﹣1）×22n ﹣1，①4T n ＝1×23+3×25+5×27+……+（2n ﹣1）×22n +1，② ①﹣②得，﹣3T n ＝2﹣（2n ﹣1）×22n +1+2（23+25+27+……+22n ﹣1）＝2﹣（2n ﹣1）×22n +1+2×8−22n+11−4=（53−2n ）×22n +1−103，所以T n ＝（23n −59）×22n +1+109．19．（12分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，AB ＝2，PB ＝BC ＝4，P A ＝PC ＝AC ＝2√3．（1）平面P AC ⊥平面ABC ；（2）点D 是棱BC 上一点，BD →=λBC →，且二面角B ﹣P A ﹣D 与二面角C ﹣P A ﹣D 的大小相等，求实数λ的值．解：（1）证明：∵在三棱锥P ﹣ABC 中，AB ＝2，PB ＝BC ＝4，P A ＝PC ＝AC ＝2√3， ∴AB 2+AC 2＝BC 2，AB 2+P A 2＝PB 2， ∴AB ⊥AC ，AB ⊥P A ，∵AC ∩P A ＝A ，∴AB ⊥平面P AC ，∵AB ⊂平面ABC ，∴平面P AC ⊥平面ABC ．（2）以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，过A 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2√3，0），P （0，√3，3），设D （a ，b ，c ），∵点D 是棱BC 上一点，BD →=λBC →，∴（a ﹣2，b ，c ）＝（﹣2λ，2√3λ，0），∴D （2﹣2λ，2√3λ，0），PA →=（0，−√3，﹣3），PB →=（2，−√3，−3），PC →=（0，√3，﹣3），PD →=（2﹣2λ，2√3λ−√3，﹣3），设平面P AB 的法向量n 1→=（x 1，y 1，z 1），则{n 1→⋅PA →=−√3y 1−3z 1=0n 1→⋅PB →=2x 1−√3y 1−3z 1=0，取y 1=√3，得n 1→=（0，√3，﹣1）， 设平面P AD 的法向量n 2→=（x 2，y 2，z 2），则{n 2→⋅PA →=−√3y 2−3z 2=0n 2→⋅PD →=(2−2λ)x 2+(2√3λ−√3)y 2−3z 2=0，取y 2=√3，得n 2→=（3λλ−1，√3，﹣1）， 平面P AC 的法向量n 3→=（1，0，0），∵二面角B ﹣P A ﹣D 与二面角C ﹣P A ﹣D 的大小相等， ∴|n 1→⋅n 2→||n 1→|⋅|n 2→|=|n 3→⋅n 2→||n 3→|⋅|n 2→|，∴2√4+(3λλ−1)2=3λ1−λ√4+(3λλ−1)2，解得λ=25．20．（12分）一学校办公楼共有10层，安装了两部电梯Ⅰ和Ⅱ．电梯运行方式如下：当某人在某层按键后，离他层距较小的电梯运行；当层距相同时，电梯Ⅰ先运行．设电梯在每一层运行时间为a ．现王老师在第4层准备乘电梯，设等待电梯的时间为随机变量X ． （1）求P （X ＝0）；（2）为了响应国家节能减排号召，学校决定只运行一部电梯．求运行两部电梯比运行一部电梯，王老师在第4层乘电梯平均节省的时间．解：（1）由题意可得，X ＝0的基本事件为：I 在4层II 在其它层，II 在4层I 在其它层，I ，II 都在4层，故P （X ＝0）=110×910+910×110+110×110=19100．（2）设X 为运行一部电梯时的等待时间，Y 为运行两部电梯时的等待时间， 当运行一部电梯时，X 所有可能取值为0，a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a ，故E （X ）=0×110+a ×15+2a ×15+3a ×15+4a ×110+5a ×110+6a ×110=2710a ， 当运行两部电梯时，Y 所有可能取值为0，a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a ， P （Y ＝0）=19100，P （Y ＝a ）=2×110×910+2×110×710=825， P （Y ＝2a ）=2×110×710+2×110×12=625， P （Y ＝3a ）=2×110×12+2×110×310=425， P （Y ＝4a ）=110×310+110×15=120， P （Y ＝5a ）=110×15+110×110=3100， P （Y ＝6a ）=110×110=1100， E （Y ）=0×19100+a ×825+2a ×625+3a ×425+4a ×120+5a ×3100+6a ×1100=169100a ， 故运行两部电梯比运行一部电梯，王老师在第4层乘电梯平均节省的时间为2710a −169100a =101100a ．21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的两个顶点坐标为B （﹣2，0），C （2，0），直线AB ，AC 的斜率乘积为14．（1）求顶点A 的轨迹Γ的方程；（2）过点P （1，0）的直线与曲线Γ交于点M ，N ，直线BM ，CN 相交于点Q ，求证：OP →•OQ →为定值． （1）解：设A （x ，y ），则yx+2⋅yx−2=14，即x 24−y 2=1(x ≠±2)，所以顶点A 的轨迹Γ的方程为x 24−y 2=1(x ≠±2)．（2）证明：设直线MN 方程为x ＝my +1， 与x 24−y 2=1联立得（m 2﹣4）y 2+2my ﹣3＝0，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则y 1+y 2=−2m m 2−4，y 1y 2=−3m 2−4， 所以2my 1y 2＝3（y 1+y 2）， 联立y =y 1x 1+2(x +2)，y =y 2x 2−2(x −2)得x Q =2(x 1y 2+x 2y 1)+2(y 2−y 1)x 1y 2−x 2y 1+2(y 2+y 1)， 因为（x 1y 2+x 2y 1）+2（y 2﹣y 1）＝（my 1+1）y 2+（my 2+1）y 1+2（y 2﹣y 1）＝2my 1y 2+3y 2﹣y 1， x 1y 2﹣x 2y 1+2（y 2+y 1）＝（my 1+1）y 2﹣（my 2+1）y 1+2（y 2+y 1）＝3y 2+y 1， 所以x Q =2×2my 1y 2+3y 2−y 13y 2+y 1=2×3(y 1+y 2)+3y 2−y 13y 2+y 1=4，所以OP →⋅OQ →=(1，0)⋅(4，y Q )=4为定值．22．（12分）已知函数f （x ）＝e x ﹣ax 2﹣sin x ，e 为自然对数的底数． （1）求f （x ）在x ＝0处的切线方程；第21页（共21页） （2）当x ≥0时，f （x ）≥1﹣x ﹣sin x ，求实数a 的最大值；（3）证明：当a ＜12时，f （x ）在x ＝0处取极小值．解：（1）∵f （x ）＝e x ﹣ax 2﹣sin x ，∴f （0）＝1，且f ′（x ）＝e x ﹣2ax ﹣cos x ，则f ′（0）＝0，所以f （x ）在x ＝0处的切线方程为y ＝1．（2）当x ≥0时，f （x ）≥1﹣x ﹣sin x ，即e x ﹣ax 2+x ﹣1≥0，当x ＝0时，e x ﹣ax 2+x ﹣l ＝0，当x ＞0时，e x ﹣ax 2+x ﹣l ≥0，即a ≤e x +x−1x 2， 因为x ＞0，所以e x ﹣1＞e 0﹣1＝0，当x ＞2时，g '（x ）＞0，g （x ）在（2，+∞）上单调递增；当0＜x ＜2时，g '（x ）＜0，g （x ）在 （0，2）上单调递减，所以g （x ）min ＝g （2）=e 2+14所以a ≤e 2+14，所以实数a 的最大值为e 2+14． （3）若a ＜12，当x ∈（−π2，π2），y ＝e x 和y ＝sin x 都单调递增， 所以h ′（x ）＝e x ﹣2a +sin x 单调递增，①当h '（−π2）＝e −π2−2a ﹣1≥0，即a ≤e −x 2−12时，则h ′（x ）＝e x ﹣2a +sin x ≥0（x ∈（−π2，π2），则h （x ）在x ∈（−π2，π2）上单调递增， 而h （0）＝0，所以当x ∈（−π2，0）时，h （x ）＜0，所以f （x ）在（−π2，0）上单调递减；当x ∈（0，π2）时，h （x ）＞0，所以f （x ）在（0，π2）上单调递增；所以f （x ）在x ＝0处取极小值； ②当h '（−π2）＝e −π2−2a ﹣1＜0，即e −x 2−12＜a ＜12时，h ′（0）＝1﹣2a ＞0，且x ∈（−π2，π2）， h '（x ）＝e x ﹣2a +sin x 单调递增，所以存在x 0∈（−π2，0），使得h ′（x 0）＝0，且x ∈（x 0，π2）时，h ′（x ）＞0， 则h （x ）在（x 0，π2）上单调递增，而h （0）＝0， 所以当x ∈（x 0，0）时，h （x ）＜0，所以f （x ）在（x 0，0）上单调递减；当x ∈（0，π2）时，h （x ）＞0，所以f （x ）在（0，π2）上单调递增； 所以f （x ）在x ＝0处取极小值．综上，当a ＜12时，f （x ） 在x ＝0处取极小值．。

2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题 含答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 2. 已知集合，，则 .3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 .4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）.5. 不等式的解集是 .6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 .8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 .9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）.11. 若，是一二次方程的两根，则 .12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 13. 已知实数、满足，则的取值范围是 .14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D.16. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件17. 则表示复数的点是（ ）18. A. 1个 B. 4个三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2在锐角中，、、分别为内角、（1）求的大小；（2）若，的面积，求的值.B120.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由.23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中）（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由.静安区xx第一学期期末教学质量检测高三年级数学（文科）试卷答案（试卷满分150分 考试时间120分钟） xx.12一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 解：.2. 已知集合，，则 . 解：.3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 . 解：.4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）. 解：45.5. 不等式的解集是 . 解：.6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .解：256.7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 . 解：.8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 . 解：.9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 解：-2.10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）. 解：（或或）.11. 若，是一二次方程的两根，则 . 解：-3.12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 解：或.13. 已知实数、满足，则的取值范围是 . 解：.14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 . 解：.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D. 解：D.B 116. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件解：B.17. 则表示复数的点是（ ）解：D.18. A. 1个 B. 4个解：C.三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在锐角中，、、分别为内角、、所对的边长，且满足. （1）求的大小；（2）若，的面积，求的值. 解：（1）由正弦定理：，得，∴ ，（4分） 又由为锐角，得.（6分）（2），又∵ ，∴ ，（8分）根据余弦定理：2222cos 7310b a c ac B =+-=+=，（12分） ∴ 222()216a c a c ac +=++=，从而.（14分）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式. 解：（1）他应付出出租车费26元.（4分）（2）14,03() 2.4 6.8,3103.6 5.2,10x f x x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩　. 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.解：（1）∵ 点为面的对角线的中点，且平面，∴ 为的中位线，得，又∵ ，∴ 22MN ND MD ===（2分） ∵ 在底面中，，，∴ ，又∵ ，为异面直线与所成角，（6分） 在中，为直角，，∴ .即异面直线与所成角的大小为.（8分） （2），（9分）1132P BMN V PM MN BN -=⋅⋅⋅⋅，（12分）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由. 解：（1）∵ ，∴ 函数的定义域为，（1分）又∵ ()()log )log )0a a f x f x x x +-=+=，∴ 函数是奇函数.（4分） （2）由，且当时，， 当时，，得的值域为实数集. 解得，.（8分）（3）在区间上恒成立，即， 即在区间上恒成立，（11分） 令，∵ ，∴ ， 在上单调递增，∴ ， 解得，∴ .（16分）23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中） （1）求；（2）求数列的通项公式； （3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由. 解：（1）∵ ，令，得，∴ ，（3分）或者令，得，∴ .（2）当时，1111(1)()(1)22n n n n a a n a S ++++-+==，∴ 111(1)22n nn n n n a na a S S ++++=-=-，∴ ， 推得，又∵ ，∴ ，∴ ，当时也成立，∴ （）.（9分） （3）假设存在正整数、，使得、、成等比数列，则、、成等差数列，故（**）（11分） 由于右边大于，则，即， 考查数列的单调性，∵ ，∴ 数列为单调递减数列.（14分） 当时，，代入（**）式得，解得； 当时，（舍）.综上得：满足条件的正整数组为.（16分）（说明：从不定方程以具体值代入求解也可参照上面步骤给分）温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。

南通市、泰州市2020届高三上学期期末联考数学试卷2020.1.14一、填空题1.已知集合 A ＝ {-1，0，2}， B ＝ {-1，1，2}， 则 A ∩B =________.2.已知复数 z 满足(1+ i ) z ＝ 2i ， 其中i 是虚数单位，则 z 的模为_______.3.某校高三数学组有 5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为 35，35，41，38，51，则这5 名党员教师学习积分的平均值为_______.4.根据如图所示的伪代码，输出的 a 的值为_______.5.已知等差数列{a n } 的公差 d 不为 0 ，且 a 1，a 2，a 4 成等比数列，则1a d的值为_____. 6.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷 3 次，则恰好出现 2 次正面向上的概率为______.7.在正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， AA 1＝AB ＝2 ，则三枝锥 A 1 - BB 1C 1 的体积为______.8.已如函数.若当 x ＝6π时，函数 f (x ) 取得最大值，则ω 的最小值为______.9. 已 知 函 数 f (x ) ＝ (m - 2)x 2 + (m - 8)x (m ∈R ) 是 奇 函 数 . 若 对 于 任 意 的 x ∈ R ， 关 于 x 的 不 等 式f ( x 2 +1) < f (a ) 恒成立，则实数 a 的取值范围是______.10.在平面直角坐标系 xOy 中， 已知点 A ，B 分别在双曲线C : x 2 - y 2 ＝1 的两条渐近线上， 且双曲线C 经过线段 AB 的中点.若点 A 的横坐标为 2 ，则点 B 的横坐标为______.11.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量 E (单位:焦耳)与地震里氏震级 M 之间的关系为 lgE ＝ 4.8 +1.5M . 2008 年 5 月汶川发生里氏8.0 级地震，它释放出来的能量是 2019 年 6 月四川长宁发生里氏 6.0 级地震释放出来能量的______倍.12. 已知△ABC 的面积为 3 ，且 AB ＝ AC .若2CD DA =，则 BD 的最小值为______.13.在平面直角坐标系 xOy 中， 已知圆C 1 : x 2 + y 2 ＝ 8 与圆C 2 : x 2 + y 2 + 2x + y -a ＝ 0 相交于 A ，B 两点.若圆C 1 上存在点 P ，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数 a 的值组成的集合为______. 14.已知函数若关于 x 的方程 f 2 ( x ) + 2af (x )+1- a 2 ＝ 0 有五个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是______.二、解答题15. (本小题满分14 分)如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，PC ⊥AB ，D，E 分别为BC，AC 的中点。

苏州市2018-2019学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高三数学2019.1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．．▲ ．1.已知集合{1,2,3}A=，{3,4}B=，则集合A B=I▲ ．2.复数12iiz+=(i )为虚数单位的虚部是▲ ．3.某班级50名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则成绩在60:80分的学生人数是▲ ．4.连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和为8的概率为▲ ．5.已知3sin()cosαπα-=，则tan()πα-的值是▲ ．6.如图所示的流程图中，若输入的,a b分别为4，3，则输出n的值为▲ ．7.在平面直角坐标系xOy中，中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点(3,1)-，则该双曲线的离心率为▲ ．注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本调研卷共4页，包含填空题（第1题-第14题）、解答题（第15题-第20题）．本调研卷满分160分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回．2. 答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4. 如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．8.曲线2e xy x =+在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 ▲ ．9.如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为 ▲ ．10.在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,3)A ，(4,6)B ，且圆心在直线210x y --=上的圆的标准方程为 ▲ ．11.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若51013S S =，则52010+S S S = ▲ ． 12.设函数22,0()2,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨-<⎩若方程()3f x kx -=有三个相异的实根，则实数k 的取值范围是 ▲ ．13.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，,M N 分别是边,BC CD 上的两个动点，且BM DN MN +=，则AM AN u u u u r u u u rg 的最小值是 ▲ ．14．设函数22()||,f x ax x=-若对任意1(,0)x ∈-∞，总存在2[2,)x ∈+∞，使得21()()f x f x ≤，则实数a 的取值范围 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB BC ⊥，,E F 分别是11A C ，BC 的中点 （1） 求证:平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2） 求证：1//C F 平面ABE .▲ ▲ ▲16．（本题满分14分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，已知2cos 23b A c a =-. (1) 求B(2) 设函数3()cos sin()3f x x x π=+g，求()f A 的最大值 ▲ ▲ ▲如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上，离心率为12的椭圆E 的左顶点为A ，点A 到右准线的距离为6 （1） 求椭圆E 的标准方程； （2） 过点A 且斜率为32的直线与椭圆E 交于点B ，过点B 与右焦点F 的直线交椭圆E 于M 点，求M 点的坐标.▲ ▲ ▲18．（本题满分16分）如图，长途车站P 与地铁站O 的距离为5千米，从地铁站O 出发有两条道路12,l l ，经测量，12,l l 的夹角为45o，OP 与1l 的夹角θ满足1tan 2θ=（其中02πθ<<）,现要经过P修一条直路分别与道路12,l l 交汇于,A B 两点，并在,A B 处设立公共自行车停放点. (1) 已知修建道路,PA PB 的单位造价分别为2/m 元千米和/m 元千米，若两段道路的总造价相等，求此时点,A B 之间的距离；(2) 考虑环境因素，需要对,OA OB 段道路进行翻修，,OA OB 段的翻修单价分别为/n 元千米和22/n 元千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定,A B 点的位置.▲ ▲ ▲已知函数32()4(,R)f x ax bx a a b =+-∈ （1） 当1a b ==时，求()f x 的单调增区间；（2） 当0a ≠，若函数()f x 恰有两个不同零点，求ba的值; （3） 当0a =时，若()ln f x x <的解集为(,)m n ，且(,)m n 中有且仅有一个整数，求实数b 的取值范围.▲ ▲ ▲20．（本题满分16分）定义：对任意*N n ∈，21n n n x x x +++-仍为数列{}n a 中的项，则称数列{}n x 为“回归数列”.(1) 已知*2(N n n a n =∈），判断{}n a 是否为“回归数列”，并说明理由；(2) 若数列{}n b 为“回归数列”，393,9b b ==，且对于任意*N n ∈，均有1n n b b +<成立① 求数列{}n b 的通项公式② 求所有的正整数,s t ，使得等式2123131s s t ss b b b ++-=+-成立 ▲ ▲ ▲苏州市2018-2019学年第一学期学业质量阳光指标调研卷数学Ⅱ（附加题）2019.121.【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．．．．．．．．．内作答．．．，若多做题，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤 A.选修4-2,矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵723m M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵172n M m --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，求实数,m nB.选修4-4,坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C 的方程是=4cos ρθ，在以极点为原点，极轴为x 轴正半轴的平面直角坐标系中，直线l的参数方程为22x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数），若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值.C.选修4-5,不等式选讲（本小题满分10分） 设,,a b c 都是正数，求证：2221()2a b c a b c b c c a a b ++≥+++++【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分)已知正四棱锥S ABCD -的底面边长和高均为2，从其五个顶点中任取三个，记这三个顶点围城的三角形面积为ζ. (1) 求概率(2)P ζ=； (2) 求ζ的分布列和数学期望.23. (本小题满分10分)如图，四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 是边长为1的正方形，侧面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，PA 与平面PBC 所成角的正弦值为217（1） 求侧棱PA 的长;（2） 设E 为AB 中点，若PA AB ≥，求二面角B PC E --的余弦值.。

2023-2024学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合U ＝R ，集合M ＝{x |log 2x ＜1}，N ＝{x |x ＞1}，则集合{x |0＜x ≤1}＝（ ） A ．M ∪NB ．M ∩NC ．（∁U M ）∩ND ．（∁U N ）∩M2．设i 为虚数单位，复数z 满足（3﹣i ）z ＝4+2i ，则|z |＝（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．43．2023年9月28日，沪宁沿江高速铁路开通运营，形成上海至南京间的第二条城际高速铁路，沪宁沿江高速铁路共设8座车站（如图）．为体验高铁速度，游览各地风光，甲乙两人准备同时从南京南站出发，甲随机选择金坛、武进、江阴、张家港中的一站下车，乙随机选择金坛、武进、江阴、张家港、常熟中的一站下车．已知两人不在同一站下车，则甲比乙晚下车的概率为（ ）A ．320B ．14C ．120D ．384．已知函数f （x ）＝cos （ωx +π3）+1（ω＞0）的最小正周期为π，则f （x ）在区间[0，π2]上的最大值为（ ） A ．12B ．1C ．32D ．25．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =π2，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，以下底BC 所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（ ） A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．2π6．在平面直角坐标系xOy 中，已知A 是圆C 1：x 2+（y ﹣3）2＝1上的一点，B ，C 是圆C 2：（x ﹣4）2+y 2＝4上的两点，则∠BAC 的最大值为（ ） A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π37．已知正实数a ，b ，c 满足2a+1a=2a ﹣a ，3b+1b =3b ﹣b ，4c+1c=4c ﹣c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．b ＜a ＜c8．若sin π10是函数f （x ）＝ax 3﹣bx +1（a ，b ∈N *）的一个零点，则f （1）＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省苏北四市（徐州市、淮安市、宿迁市、连云港市）2022届高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x|1＜x＜4}，集合B＝{x|0＜x＜2}，则集合A∩（∁U B）＝（）A．（1，2）B．（1，2〗C．（2，4）D．〖2，4）2．（5分）已知复数z满足z（1+i）＝4i，则|z|＝（）A．1B．C．2D．23．（5分）不等式成立的一个充分条件是（）A．x＜﹣1B．x＞﹣1C．﹣1＜x＜0D．0＜x＜14．（5分）某地元旦汇演有2男3女共5名主持人站成一排，则舞台站位时男女间隔的不同排法共有（）A．12种B．24种C．72种D．120种5．（5分）已知向量＝（x，1），＝（2，y），＝（1，﹣2），且∥，⊥，则|2﹣|＝（）A．3B．C．D．6．（5分）已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点F为椭圆C2：＝1（a＞b＞0）的右焦点，且C1与C2的公共弦经过F，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．7．（5分）如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点M，N到容器底部的距离分别是12和18，则容器内液体的体积是（）A．15πB．36πC．45πD．48π8．（5分）记〖x〗表示不超过实数x的最大整数，记a n＝〖log8n〗，则的值为（）A．5479B．5485C．5475D．5482二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．（5分）已知的展开式中共有7项，则（）A．所有项的二项式系数和为64B．所有项的系数和为1C．二项式系数最大的项为第4项D．有理项共4项10．（5分）将函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的图象向左平移个单位长度后得到y＝g（x）的图象如图，则（）A．f（x）为奇函数B．f（x）在区间上单调递增C．方程f（x）＝1在（0，2π）内有4个实数根D．f（x）的解析式可以是11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若对于曲线y＝f（x）上的任意点P，都存在曲线y＝f（x）上的点Q，使得＝0成立，则称函数f（x）具备“⊗性质”．则下列函数具备“⊗性质”的是（）A．y＝x+1B．y＝cos2x C．y＝D．y＝e x﹣212．（5分）如图，一张长、宽分别为，1的矩形纸，A，B，C，D分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体．则（）A．在该多面体中，B．该多面体是三棱锥C．在该多面体中，平面BAD⊥平面BCDD．该多面体的体积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022～2023学年高三年级模拟试卷数 学(满分：150分 考试时间：120分钟)2023．1一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中只有一个选项符合要求．1. 已知全集U ＝{x |－2＜x ＜3}，集合A ＝{x |－1＜x ≤1}，则∁U A ＝( ) A. (－1，1] B. (－2，－1]∪(1，3) C. [－1，1) D. (－2，－1)∪[1，3)2. 若复数z 在复平面内对应的点在直线y ＝1上，且z ＝i z ，则z ＝( )A. 1－iB. 1＋iC. －1＋iD. －1－i3. (x －1x)6的二项展开式中的常数项是( )A. －20B. －15C. 15D. 204. 经验表明，树高y 与胸径x 具有线性关系，为了解回归方程的拟合效果，利用下列数据计算残差，用来绘制残差图．胸径x /cm 18.2 19.1 22.3 24.5 26.2 树高的观测值y /m 18.9 19.4 20.8 22.8 24.8 树高的预测值y /m 18.6 19.3 21.5 23.0 24.4A. 0.4，－1.8B. 1.8，－0.4C. 0.4，－0.7D. 0.7，－0.4 5. 为测量河对岸的直塔AB 的高度，选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C ，D ，测得∠BCD 的大小为60°，点C ，D 的距离为200 m ，在点C 处测得塔顶A 的仰角为45°，在点D 处测得塔顶A 的仰角为30°，则直塔AB 的高为( )A. 100 mB. 1003 mC. (2003 －200)mD. 200 m 6. 已知圆心均在x 轴上的两圆外切，半径分别为r 1，r 2(r 1＜r 2)，若两圆的一条公切线的方程为y ＝24 (x ＋3)，则r 2r 1 ＝( )A. 43B. 2C. 54D. 3 7. 设G 为△ABC 的重心，则GA → ＋2GB → ＋3GC →＝( )A. 0B. AC →C. BC →D. AB →8. 设a ＝110 e 19 ，b ＝19 ，c ＝2ln 32，则( )A. a ＜b ＜cB. a ＜c ＜bC. c ＜b ＜aD. b ＜a ＜c 二、 选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AE → ＝13 AA 1，CF →＝23CC 1，则 ( )A. EF ⊥BDB. EC 1∥平面ABFC. EF ⊥平面B 1CD 1D. 直线EF 与直线BD 1异面10. 已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，点M ，N 均在C 上，若△FMN 是以F 为直角顶点的等腰三角形，则MN ＝( )A. 2－12B. 2 －1C.2＋12D. 2 ＋1 11. 已知等差数列{a n }中，当且仅当n ＝7时，S n 取得最大值．记数列{S nn}的前k 项和为T k ，则下列结论正确的是( )A. 若S 6＝S 8，则当且仅当k ＝13时，T k 取得最大值B. 若S 6＜S 8，则当且仅当k ＝14时，T k 取得最大值C. 若S 6＞S 8，则当且仅当k ＝15时，T k 取得最大值D. 若∃m ∈N *，S m ＝0，则当k ＝13或14时，T k 取得最大值12. 将样本空间Ω视为一个单位正方形，任一事件均可用其中的区域表示，事件发生的概率为对应区域的面积．在如图所示的单位正方形中，区域Ⅰ表示事件AB ，区域Ⅱ表示事件A B ，区域Ⅰ和Ⅲ表示事件B ，则区域Ⅳ的面积为( )A. P (AB )B. P (A ＋B )C. P (A |B )P (B )D. P (A )P (B )三、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知sin(π－x )＝13 ，x ∈(0，π2)，则tan x ＝________．14. 已知椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，若△PF 1F 2是以F 1为顶点的等腰三角形，且cos ∠F 1PF 2＝34，则C 的离心率e ＝________．15. 设过直线x ＝2上一点A 作曲线y ＝x 3－3x 的切线有且只有两条，则满足题设的一个点A 的纵坐标为________．16. 已知球O 的表面积为100π cm 2，P 是球O 内的定点，OP ＝10 cm ，过P 的动直线交球面于A ，B 两点，AB ＝45 cm ，则球心O 到AB 的距离为________cm ；若点A ，B 的轨迹分别为圆台O 1O 2的上、下底面的圆周，则圆台O 1O 2的体积为________cm 3.四、 解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17. (本小题满分10分)已知数列{a n }中，a 1，a 2，a 3，…，a 6成等差数列，a 5，a 6，a 7，…成等比数列，a 2＝－10，a 6＝2.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 记数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＞0，求n 的最小值．已知四边形ABCD内接于圆O，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝120°，AC平分∠BAD.(1) 求圆O的半径；(2) 求AC的长．如图，已知菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝60°，E 为AC 的中点，将△ACD 沿AC 翻折使点D 至点D ′.(1) 求证：平面BD ′E ⊥平面ABC ；(2) 若三棱锥D ′ABC 的体积为223，求二面角D ′ABC 的余弦值．20. (本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行乒乓球单打比赛，约定：随机选择两人打第一局，获胜者与第三人进行下一局的比赛，先获胜两局者为优胜者，比赛结束．已知每局比赛均无平局，且甲赢乙的概率为13 ，甲赢丙的概率为13 ，乙赢丙的概率为12.(1) 若甲、乙两人打第一局，求丙成为优胜者的概率； (2) 求恰好打完2局结束比赛的概率．已知双曲线C过点(3，2)，且C的渐近线方程为y＝±33x.(1) 求C的方程；(2) 设A为C的右顶点，过点P(－23，0)的直线与圆O：x2＋y2＝3交于点M，N，直线AM，AN与C的另一交点分别为D，E，求证：直线DE过定点．已知0＜a＜1，函数f(x)＝x＋a x－1，g(x)＝x＋1＋log a x.(1) 若g(e)＝e，求函数f(x)的极小值；(2) 若函数y＝f(x)－g(x)存在唯一的零点，求a的取值范围．2022～2023学年高三年级模拟试卷(海安)数学参考答案及评分标准1. B2. D3. C4. C5. A6. B7. B8. D9. AB 10. BD 11. BD 12. BC13. 24 14. 25 15. 2(答案不唯一，－6也正确) 16. 5 65103 π17. 解：(1) 设等差数列a 1，a 2，a 3，…，a 6的公差为d .因为a 2＝－10，a 6＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－10，a 1＋5d ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－13，d ＝3，所以a n ＝－13＋(n －1)×3＝3n －16(1≤n ≤5，n ∈N *).(3分)设等比数列a 5，a 6，a 7，…的公比为q ，则q ＝a 6a 5 ＝2－1＝－2，所以a n ＝－(－2)n －5(n ≥6，n ∈N *).综上，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n －16，1≤n ≤5，－（－2）n －5，n ≥6， n ∈N *.(5分) (2) 由(1)知，当n ≤5时，a n ＜0，要使S n ＞0，则n ≥6，(6分)此时S n ＝(a 1＋a 2＋…＋a 5)＋(a 6＋…＋a n )＝5×(－13)＋5×42 ×3＋2[1－（－2）n －5]1－（－2）＝－35＋2[1－（－2）n －5]3.(8分)由S n ＞0，得(－2)n －5＜－1032，所以(n －5)必为奇数，此时2n －5＞1032，所以n －5的最小值为7，所以n 的最小值为12.(10分)18. 解：(1) 设圆O 的半径为R .在△ABD 中，由余弦定理BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos ∠BAD ，得BD 2＝32＋52－2×3×5×(－12)＝49，所以BD ＝7.(3分)在圆O 的内接△ABD 中，由正弦定理，得2R ＝BD sin ∠BAD ＝7sin 120°＝1433 ，故R ＝733 ，所以圆O 的半径为733.(6分)(2) 因为四边形ABCD 内接于圆O ，所以∠BAD ＋∠BCD ＝180°. 又∠BAD ＝120°，故∠BCD ＝60°.因为AC 平分∠BAD ，所以∠BAC ＝60°.(8分)(解法1)因为AC 平分∠BAD ，所以BC ＝CD ，所以BC ＝CD .又因为∠BCD ＝60°，所以△BCD 为正三角形，所以BC ＝BD ＝7.(10分)(解法2)在圆O 的内接△ABC 中，由正弦定理，得BCsin ∠BAC＝2R .所以BC ＝2R ·sin 60°＝1433 ×32＝7.(10分)在△ABC 中，由余弦定理BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ， 得72＝32＋AC 2－2×3×AC ×cos 60°，即AC 2－3AC －40＝0，解得AC ＝8或AC ＝－5， 因为AC ＞0，所以AC ＝8，所以AC 的长为8.(12分)19. (1) 证明：由菱形ABCD 知，D ′A ＝D ′C ，又E 为AC 的中点，所以D ′E ⊥AC ， 同理，可得BE ⊥AC .(2分)因为D ′E, BE ⊂平面BD ′E, D ′E ∩BE ＝E ，所以AC ⊥平面BD ′E . 因为AC ⊂平面ABC ，所以平面BD ′E ⊥平面ABC .(4分)(2) 解：过点D ′作D ′H ⊥BE 交BE 于点H ，由(1) 知，平面BD ′E ⊥平面ABC .又平面BD ′E ∩平面ABC ＝BE ，D ′H ⊂平面D ′BE, 所以D ′H ⊥平面ABC .(6分)因为三棱锥D ′ABC 的体积为223 ，所以13 ×34 ×22×D ′H ＝223 ，解得D ′H ＝263 .(8分)在Rt △D ′EH 中，D ′E ＝3 ， 所以EH ＝33 ，于是BH ＝BE －EH ＝233. (解法1)如图，以E 为坐标原点，EA ，EB 分别为x 轴、y 轴，过点E 与平面ABC 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则A (1，0，0)，B (0，3 ，0)，D ′(0，33 ，263)，所以AB →＝(－1，3 ，0)，BD ′→＝(0，－233 ，263).设平面D ′AB 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则n ·AB → ＝0，n ·BD ′→＝0，即－x ＋3 y ＝0，－233y ＋263z ＝0，令x ＝6 ，得y ＝2 ，z ＝1，所以n ＝(6 ，2 ，1).(10分)又平面ABC 的一个法向量m ＝(0，0，1)，所以cos 〈n ，m 〉＝n·m|n |×|m | ＝19×1 ＝13，所以二面角D ′ABC 的余弦值为13.(12分)(解法2)过点H 作HF ⊥AB 交AB 于点F ，连接D ′F .因为D ′H ⊥平面ABC ，根据三垂线定理，得AB ⊥D ′F ， 所以∠D ′FH 是二面角D ′ABC 的平面角．(10分)在Rt △BFH 中，HF ＝BH sin 30°＝33.在Rt △D ′HF 中，D ′F ＝D ′H 2＋HF 2 ＝3 ，所以cos ∠D ′FH ＝HF D ′F ＝13 ，所以二面角D ′ABC 的余弦值为13.(12分)20. 解：(1) 记“第i 局甲胜、乙胜、丙胜”分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1，2，3，4，记“丙成为优胜者”为事件D ，则D ＝A 1C 2C 3＋B 1C 2C 3，(2分)所以P (D )＝P (A 1C 2C 3＋B 1C 2C 3)＝P (A 1C 2C 3)＋P (B 1C 2C 3) ＝P (A 1)P (C 2|A 1)P (C 3|A 1C 2)＋P (B 1)P (C 2|B 1)P (C 3|B 1C 2)(4分) ＝13 ×(1－13 )×(1－12 )＋(1－13 )×(1－12 )×(1－13 )＝19 ＋29 ＝13， 所以丙成为优胜者的概率是13.(6分)(2) 记“甲、乙打第一局“为事件A ，“甲、丙打第一局”为事件B ，“乙、丙打第一局”为事件C ，“恰打完2局比赛结束”为事件E ，其中A ，B ，C 两两互斥，且和为样本空间，依题意，P (A )＝P (B )＝P (C )＝13.所以P (E |A )＝P (A 1A 2＋B 1B 2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2|A 1)＋P (B 1)P (B 2|B 1) ＝13 ×13 ＋23 ×12 ＝49. 同理可得，P (E |B )＝13 ×13 ＋23 ×12 ＝49 ，P (E |C )＝12 ×23 ＋12 ×23 ＝23.(9分)根据全概率公式知，P (E )＝P (AE )＋P (BE )＋P (CE )＝P (E |A )P (A )＋P (E |B )P (B )＋P (E |C )P (C )＝49 ×13 ＋49 ×13 ＋23 ×13 ＝1427， 所以恰好打完2局结束比赛的概率为1427 .(12分)21. (1) 解：当x ＝3时，代入y ＝33x ，得y ＝3 ＞2 ，所以双曲线C 的焦点在x 轴上．(2分)不妨设双曲线C 的方程为x 23－y 2＝λ(λ＞0)，将点(3，2 )代入，得λ＝1，所以C 的方程为x 23－y 2＝1.(4分)(2) 证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，由(1)知A (3 ，0).(5分)因为P ，M ，N 三点共线，所以y 1x 1＋23 ＝y 2x 2＋23(不妨记为k ).则(x 1＋23 )y 2－(x 2＋23 )y 1＝0，即x 1y 2－x 2y 1＝23 (y 1－y 2).(6分)设直线AM 的方程为y ＝y 1x 1－3(x －3 ).由⎩⎨⎧y ＝y 1x 1－3（x －3），x23－y 2＝1 消去y 并整理，得(2x 21 －3 x 1－3)x 2＋33 y 21 x ＋3(x 21 ＋3 x 1－6)＝0.则3 x 3＝3（x 1－3）（x 1＋23）（x 1－3）（2x 1＋3） ，故x 3＝3（x 1＋23）2x 1＋3 ，y 3＝－3y 12x 1＋3.(8分)同理可得，x 4＝3（x 2＋23）2x 2＋3 ，y 4＝－3y 22x 2＋3.所以直线DE 的斜率＝－3y 12x 1＋3＋3y 22x 2＋33（x 1＋23）2x 1＋3－3（x 2＋23）2x 2＋3＝2（x 1y 2－x 2y 1）＋3（y 2－y 1）33（x 2－x 1）＝43（y 1－y 2）＋3（y 2－y 1）33（x 2－x 1）＝－y 2－y 1x 2－x 1 ＝－k .(10分)所以直线DE 的方程为y ＋3y 12x 1＋3 ＝－k [x －3（x 1＋23）2x 1＋3]，即y ＝－kx ＋3k （x 1＋23）2x 1＋3 －3y 12x 1＋3.又因为y 1＝k (x 1＋23 )，所以y ＝－kx .所以直线DE 过定点(0，0).(12分)22. 解：(1)由g (e)＝e ，得e ＋1＋log a e ＝e ，即log a e ＝－1，所以a ＝1e.(1分)所以f (x )＝x ＋e 1－x ，则f ′(x )＝1－e 1－x ，令f ′(x )＝0，得x ＝1.(3分) 当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(－∞，1)上单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(1，＋∞)上单调递增， 所以函数f (x )的极小值为f (1)＝2.(5分)(2) 记p (x )＝f (x )－g (x )＝a x －1－log a x －1，因为0＜a ＜1，所以ln a ＜0，则p ′(x )＝a x －1ln a －1x ln a ＝xa x －1ln 2a －1x ln a.记q (x )＝xa x －1ln 2a －1，则q ′(x )＝(a x －1＋xa x －1ln a )ln 2a ＝(1＋x ln a )a x －1ln 2a .令q ′(x )＝0，得x ＝－1ln a，记其为t (t ＞0)，此时a ＝e －1t .当x ∈(0，t )时，q ′(x )＞0，故q (x )在(0，t )上单调递增；当x ∈(t ，＋∞)时，q ′(x )＜0，故q (x )在(t ，＋∞)上单调递减，所以q (x )在x ＝t 处取得极大值q (t )＝t (e －1t )t －1(－1t )2－1＝1te 1t －1－1.(7分)不难发现函数y ＝1t e 1t －1－1在t ∈(0，＋∞)上单调递减，且正数零点为1.当t ≥1，即1e≤a ＜1时，有q (t )≤0，故p ′(x )≥0, 所以p (x )单调递增．又p (1)＝0，所以函数p (x )有唯一的零点，所以1e≤a ＜1.(9分)当0＜t <1，即0<a ＜1e时，有q (t )>0，因为q (1)＝ln 2a －1＞0，q (1a )＝1a ·a 1a －1·ln 2a －1＜0(*)，所以q (x )在区间(1，1a)内存在唯一零点，记为x 0， 所以p (x )在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，1a)上单调递增．因为p (x 0)＜p (1)＝0，p (1a )＝a 1a －1＞0，所以函数p (x )在区间(x 0，1a)内存在唯一的零点，记为x ′0(x ′0＞x 0＞1)，这与p (1)＝0矛盾，所以0＜a ＜1e 不符合题意，故舍去．综上，a 的取值范围是[1e，1).(12分)附(*)：q (1a )＝1a ·a 1a －1·ln 2a －1＝a 1a －2·ln 2a －1＝(a 12a －1·ln a －1)(a 12a －1·ln a ＋1).易知a 12a －1·ln a －1＜0，又a 12a －1·ln a ＋1＝－(1a )1－12a ln 1a＋1.若－(1a )1－12a ln 1a ＋1＞0，则(1a )1－12a ln 1a ＜1.令t ＝1a，t ＞e ，则t 1－t 2 ln t ＜1，即ln (t 1－t2ln t )＜0，从而(1－t 2 )ln t ＋ln (ln t )＜0，又(1－t 2 )ln t ＋ln (ln t )＜(1－t 2 )ln t ＋ln t －1＝(2－t2)ln t－1.令φ(t )＝(2－t 2 )ln t －1，t ＞e ，则φ′(t )＝－12 ln t ＋(2－t 2 )1t ＝－12 ln t ＋2t －12 ，又φ″(t )＝－12t －2t2 ＜0，故φ′(t )在(e ，＋∞)上单调递减，所以φ′(t )＜φ′(e)＝－1＋2e ＜0，所以φ(t )在(e ，＋∞)上单调递减，所以φ(t )＜φ(e)＝1－e 2 ＜0，所以q (1a)＜0.注：缺少(*)式证明，扣1分。

2019-2020年高考（学业水平考试）数学试卷 含答案xx.1 一．填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1.复数3+4i （i 为虚数单位）的实部是 ；2.若=3，则x= ；3.直线y=x-1与直线y=2的夹角为 ；4.函数=的定义域为 ；5.三阶行列式121004531--中，元素5的代数余子式的值为 ； 6.函数的反函数的图像经过点（2,1），则实数a= ；7.在中，若A=，B=，BC=，则AC= ；8.4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为 。

（结果用数值表示）9.无穷等比数列的首项为2，公比为，则的各项和为 ；10.若2+i （i 为虚数单位）是关于x 的实系数一元二次方程的一个虚根，则a= ； 11.函数y=在区间[0,m]上的最小值为0，最大值为1，则实数m 的取值范围是 ； 12.在平面直角坐标系xOy 中，点A,B 是圆上的两个动点，且满足|AB|=，则的最小值为 ；二．选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分）13.满足且的角属于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限14．半径为1的球的表面积为 （ ）A. B. C.2 D.415.在的二项展开式中，的系数是（ ）A.2B.6C.15D. 2016.幂函数的大致图象是（ ）17.已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（ ）A.1B. 2C.（1，0）D.（0，2）18.设直线l 与平面平行，直线m 在平面上，那么（ ）A.直线l 平行于直线mB.直线l 与直线m 异面C.直线l 与直线m 没公共点D.直线l 与直线m 不垂直19.用数学归纳法证明等式)(223212*∈+=++++N n n n n 的第（ⅱ）步中，假设n=k 时原等式成立，那么在n=k+1时，需要证明的等式为（ ）A.)1()1(22)1(2232122+++++=++++++k k k k k kB.)1()1(2)1(223212+++=++++++k k k kC.)1()1(22)1(2)12(232122+++++=++++++++k k k k k k kD.)1()1(2)1(21223212+++=++++++++k k k k k ）（20.关于与的焦距和渐近线，下列说法正确的是（ ）A.焦距相等，渐近线相同B.焦距相等，渐近线不同C.焦距不相等，渐近线相同D.焦距不相等，渐近线不相同21.设函数y=的定义域为R ，则“f （0）=0”是“y=f （x ）”为奇函数的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件22. 下列关于实数a ，b 的不等式中，不恒成立的是（ ）A. B.C. D.23.设单位向量和既不平行也不垂直，则非零向量，，有结论：①若，则；②若，则；关于以上两个结论，正确的判断是（ ）A.①成立，②不成立B.①不成立，②成立C.①成立，②成立D.①不成立，②不成立24.对于椭圆：),0,(12222b a b a by a x ≠>=+，若点（）满足，则称该点在椭圆内，在平面直角坐标系中，若点A 在过点（2，1）的任意椭圆内或上，则满足条件的点A 构成的图形为（ ）A.三角形及其内部B.矩形及其内部C.圆及其内部D.椭圆及其内部三．解答题：（本大题共5小题，共8+8+8+12+12=48分）25.如图，已知正三棱柱的体积为，底面边长为3，求异面直线与AC 所成角的大小；26.已知函数=，求的最小正周期及最大值，并指出取得最大值是x 的值。

2023-2024学年江苏省连云港市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z 满足（1+i ）•z ＝i ，则此复数z 的虚部为（ ） A ．12B ．−12C ．12iD ．−12i2．已知集合S ＝{x |x ＝k −12，k ∈Z }，T ＝{x |x ＝2k +12，k ∈Z }，则S ∩T ＝（ ）A ．SB ．TC ．ZD ．R3．随机变量X ～N （2，σ2），若P （X ≤1.5）＝m ，P （2≤X ≤2.5）＝1﹣3m ，则P （X ≤2.5）＝（ ） A ．0.25B ．0.5C ．0.75D ．0.854．图1是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成．可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上．研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图2是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥（如图3），且平面ABCD 与平面ATBS 的夹角为45°，则cos ∠ASB ＝（ ）A ．√22B ．√32 C ．13D ．2√235．某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有（ ） A ．108种B ．90种C ．72种D ．36种6．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的左顶点为M ，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线交C 于A ，B 两点，若∠AMB 为锐角，则C 的离心率的取值范围是（ ） A ．（1，√3）B ．（1，2）C ．（√3，+∞）D ．（2，+∞）7．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝4，A =π3，且BE 为边AC 上的高，AD 为边BC 上的中线，则AD →•BE →的值为（ ）A ．2B ．﹣2C ．6D ．﹣68．已知a ＝ln 3，b ＝log 2e ，c =6(2−ln2)e，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。