【常考题】高三数学上期末一模试卷(及答案)
一、选择题
1．等差数列{}n a 中，已知70a >，390a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（ ） A ．4S
B ．5S
C ．6S
D ．7S
2．若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪-+≥⎩
，则2z x y =+的最大值为( )
A ．8
B ．7
C ．2
D ．1
3．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若,1,3
A b π
==ABC ∆的面积为
3，则a 的值为（ ） A ．2 B ．3
C ．
32
D ．1
4．已知在
中，，，分别为角，，的对边，为最小角，且，
，
，则
的面积等于（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
5．若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a R λλ+-+-=∈，则89a a λ+的最小值为（ ） A ．94
-
B ．
94
C ．
274
D ．274
-
6．已知数列{}n a 的通项公式是2
21
sin
2n n a n π+=（），则12310a a a a ++++=L A ．110
B ．100
C ．55
D ．0
7．已知数列{}n a 的首项110,211n n n a a a a +==++，则20a =（ ） A ．99
B ．101
C ．399
D ．401
8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1112n n a S a +＝，＝， 则n S ＝( )
A ．12n -
B ．1
3
()
2
n -
C ．1
2()
3
n - D ．
1
12n - 9．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－3，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A ． 31 B ． 31 C ．3＋2
D ．32
10．已知等差数列{}n a ,前n 项和为n S ,5628a a +=,则10S =( )
A ．140
B ．280
C ．168
D ．56
11．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1(1)()n n n S nS n N *
++∈＜.若
8
7
1a a <-，则（ ） A ．n S 的最大值为8S B ．n S 的最小值为8S C ．n S 的最大值为7S D ．n S 的最小值为7S 12．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=o ，22AB BC CD ==，则
cos DAC ∠=（ ）
A
B
C
D
．
10
二、填空题
13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .2
C A π
-=
，1sin 3
A =
，3a =，则b =______.
14．若变量,x y 满足约束条件12,
{20,20,
x y x y x y +≤-≥-≤ 则z y x =-的最小值为_________.
15．在等差数列{}n a 中，首项13a =，公差2d =，若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为 ．
16．已知数列{}n a 的前n 项和为21n
n S =-，则此数列的通项公式为___________．
17．在平面直角坐标系中，设点()0,0O
，(A ，点(),P x y
的坐标满足
0200y x y -≤+≥⎨⎪≥⎪⎩
，则OA u u u v 在OP uuu v 上的投影的取值范围是__________ 18．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差d =（___）．
19．已知x ，y 满足30
10510x y x y x y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪-+≤⎩
，则2z x y =+的最大值为______.
20．
设(
3
()lg f x x x =+，则对任意实数,a b ，“0a b +≥”是
“()()0f a f b +≥”的_________条件．（填“充分不必要”.“必要不充分”.“充要”.“既不充分又不必要”之一）
三、解答题
21．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，53A B =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）设1
1n n n n c b a a +=+
•，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：2
(1)n S n <+.
22．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且2cos 2a C c b +=. （1）求角A 的大小；
（2）若1a =，求ABC ∆面积的最大值。
23．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
，且
222sin sin sin sin A C B A C +-．
（1）求角B ；
（2）点D 在线段BC 上，满足DA DC =，且11a =
，cos()A C -=DC 的长．
24．在ABC ∆中,,A B C 的对边分别,,a b c ，若()2sin(2)()26
f x x f C π
=+
=-，
，
c =sin B =2sin A ，
（1）求C （2）求a 的值． 25．
已知{}n a 是递增数列，其前n 项和为n S ，11a >，且10(21)(2)n n n S a a =++，*n ∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；
（Ⅱ）是否存在*
,,m n k N ∈使得2()m n k a a a +=成立？若存在，写出一组符合条件的
,,m n k 的值；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设3
2
n n n b a -=-
，若对于任意的*n N ∈，不等式
12111(1)(1)(1)31n b b b ≤+++L m 的最大值． 26．已知角A ，B ，C 为等腰ABC ∆的内角，设向量(2sin sin ,sin )m A C B =-r
，(cos ,cos )n C B =r ，且//m n r r
，BC =（1）求角B ；
（2）在ABC ∆的外接圆的劣弧»AC 上取一点D ，使得1AD =，求sin DAC ∠及四边形
ABCD 的面积．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
