第三章变量之间的关系导学案

第三章变量之间的关系第一节用表格表示的变量间的关系【学习目标】1．经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，获得探索变量之间关系的体验，进一步发展符号感。

2．在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量，并能举出反映变量之间关系的例子。

3．能从表格中获得变量之间关系的信息，能用表格表示变量之间的关系，并根据表格中的资料尝试对变化趋势进行初步的预测。

【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合．【学习重难点】重点：能从表格的数据中分清什么是变量，自变量、因变量以及因变量随自变量的变化情况。

难点：对表格所表达的两个变量关系的理解。

【学习过程】模块一预习反馈一、学习准备1.我们生活在一个变化的世界中,很多东西都在悄悄地发生变化.你能从生活中举出一些发生变化的例子吗？二、教材精读根据上表回答下列问题：（1）支撑物高度为70厘米时，小车下滑时间是多少？（2）如果用h表示支撑物高度，t表示小车下滑时间，随着h逐渐变大，t的变化趋势是什么？（3）h每增加10厘米，t的变化情况相同吗？（4）估计当h=110厘米时，t的值是多少，你是怎样估计的？(5)随着支撑物高度h的变化，还有哪些量发生变化？哪些量始终不发生变化？在“小车下滑的过程”中：支撑物的高度h和小车下滑的时间t都在变化，它们都是。

其中小车下滑的时间t随支撑物的高度h的变化而变化。

支撑物的高度h是，小车下滑的时间t是。

在这一变化过程中，小车下滑的距离（木板的长度）一直变化。

像这种在变化过程中的量叫做。

2.我国从1949年到1999年的人口统计数据如下（精确到0.01亿）：(1)如果用x 表示时间，y 表示我国人口总数，那么随着x 的变化，y 的变化趋势是什么？(2)X 和y 哪个是自变量?哪个是因变量?(3)从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口是怎样的变化？(4)你能根据此表格预测2009年时我国人口将会是多少？在“人口统计数据”中：时间和人口数都在变化，它们都是 。

四年级下册数学导学案-3.3 常见的数量关系丨苏教版一、知识点概述本部分的内容为四年级下册数学课本中第三章第三节的内容——常见的数量关系。

常见的数量关系指两个或者多个数之间的关系，包含了加、减、乘、除、比、倍数、约数等概念。

二、知识点详解1. 加法和减法的关系（1）加法的概念加法是指将两个或多个数相加，得到一个总和。

（2）减法的概念减法是指从一个数中减去另一个数，得到一个差。

（3）加减法的关系在加减法中，加法与减法是互逆运算，即a+b-b=a和a-b+b=a。

这个关系可以用于检验计算结果是否正确。

2. 乘法和除法的关系（1）乘法的概念乘法是指将两个或多个数相乘，得到一个积。

（2）除法的概念除法是指将一个数除以另一个数，得到一个商。

（3）乘除法的关系在乘除法中，乘法与除法也是互逆运算，即a×b÷b=a和a÷b×b=a。

同样的道理，这个关系也可以用于检验计算结果是否正确。

3. 比和倍数的关系（1）比的概念比是指用一个数除以另一个数得到的商。

常用于比较两个数之间的大小。

（2）倍数的概念倍数是指一个数是另一个数的几倍。

比如，6是3的2倍。

（3）比和倍数的关系两个数之间的比的大小关系等同于它们的倍数的大小关系，比如4:2=2:1=8:4=16:8。

4. 约数和倍数的关系（1）约数的概念约数是指能够整除一个数的数。

比如，6的约数有1、2、3、6。

（2）倍数的概念倍数是指一个数是另一个数的几倍。

比如，6是3的2倍。

（3）约数和倍数的关系一个数的一倍、二倍、三倍等等，都是这个数的倍数。

而这个数的因数（约数），则是这个数的因数的倍数。

比如，6是3的倍数，而6的因数2和3也是3的因数。

三、思考题1. 有一个数的三倍加4是19，这个数是多少？解题思路：设这个数为x，则由题意得3x+4=19，化简得x=5。

2. 检验计算结果计算12+183=195，195-183=12，计算结果正确。

第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念1．函数的概念对吗？(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？提示：(1)这种看法不对．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y 是自变量的函数，当x 允许取某一具体值时，相应的y 值为与该自变量值对应的函数值．y ＝f (x )仅仅是函数符号，不表示“y 等于f 与x 的乘积”．在研究函数时，除用符号f (x )外，还常用g (x )，F (x )，G (x )等来表示函数．(2)f (x )与f (a )的区别与联系：f (a )表示当x ＝a 时，函数f (x )的值，是一个常量，而f (x )是自变量x 的函数，一般情况下，它是一个变量，f (a )是f (x )的一个特殊值，如一次函数f (x )＝3x ＋4，当x ＝8时，f (8)＝3×8＋4＝28是一个常数．2．区间及有关概念 (1)一般区间的表示设a ，b ∈R ，且a <b ，规定如下：(2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示． (2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．1．函数y ＝1x ＋1的定义域是( ) A ．[－1，＋∞) B ．[－1,0) C ．(－1，＋∞) D ．(－1,0) 2．若f (x )＝11－x 2，则f (3)＝________. 3．用区间表示下列集合：(1){x |10≤x ≤100}用区间表示为________；(2){x|x>1}用区间表示为________．函数的概念【例1】(1)下列各组函数是同一函数的是()①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；②f(x)＝x与g(x)＝x2；③f(x)＝x0与g(x)＝1x0；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.A．①②B．①③C．③④D．①④(2)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．1．判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A，B必须是非空实数集．(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．2．判断函数相等的方法(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．1．下列四个图象中，不是函数图象的是()A B C D2．下列各组函数中是相等函数的是()A ．y ＝x ＋1与y ＝x 2－1x －1 B ．y ＝x 2＋1与s ＝t 2＋1C ．y ＝2x 与y ＝2x (x ≥0)D ．y ＝(x ＋1)2与y ＝x 2 求函数值【例2】 设f (x )＝2x 2＋2，g (x )＝1x ＋2， (1)求f (2)，f (a ＋3)，g (a )＋g (0)(a ≠－2)，g (f (2))． (2)求g (f (x ))．[思路点拨] (1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可； (2)把f (x )直接代入g (x )中便可得到g (f (x ))．函数求值的方法(1)已知f (x )的表达式时，只需用a 替换表达式中的x 即得f (a )的值. (2)求f (g (a ))的值应遵循由里往外的原则.3．已知f (x )＝x 3＋2x ＋3，求f (1)，f (t )，f (2a －1)和f (f (－1))的值． 求函数的定义域[探究问题]1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？ 提示：不可以．如f (x )＝x ＋1x 2－1.倘若先化简，则f (x )＝1x －1，从而定义域与原函数不等价．2．若函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y ＝f (x )的定义域是什么？提示：[1,2]是自变量x 的取值范围． 函数y ＝f (x )的定义域是x ＋1的范围[2,3]． 【例3】 求下列函数的定义域：(1)f(x)＝2＋3x－2；(2)f(x)＝(x－1)0＋2x＋1；(3)f(x)＝3－x·x－1；(4)f(x)＝(x＋1)2x＋1－1－x.[思路点拨]要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可．(变结论)在本例求函数定义域的常用方法(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零.(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零.(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.1．对于用关系式表示的函数．如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合．这也是求某函数定义域的依据．2．函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则，因此，判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算相同．3．函数符号y＝f(x)是学习的难点，它是抽象符号之一．首先明确符号“y＝f(x)”为y是x的函数，它仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”.1．思考辨析(1)区间表示数集，数集一定能用区间表示．()(2)数集{x|x≥2}可用区间表示为[2，＋∞]．()(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．()(4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应．()(5)函数的定义域和值域一定是无限集合．( ) 2．下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( )A ．y ＝(x )2B ．y ＝x 2C ．y ＝|x |D ．y ＝3x 3 3．将函数y ＝31－1－x的定义域用区间表示为________．4．已知函数f (x )＝x ＋1x ， (1)求f (x )的定义域； (2)求f (－1)，f (2)的值；(3)当a ≠－1时，求f (a ＋1)的值．3.1.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法函数的表示法思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗？ 提示：不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D (x )＝⎩⎨⎧0，x ∈Q ，1，x ∈∁R Q .列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．1．已知函数f (x )由下表给出，则f (3)等于( )2．二次函数的图象的顶点为(0，－1)，对称轴为y 轴，则二次函数的解析式可以为( )A ．y ＝－14x 2＋1B ．y ＝14x 2－1 C ．y ＝4x 2－16 D ．y ＝－4x 2＋16 3．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则其定义域是______．函数的三种表示方法【例1】 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x 与收款数y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．在用三种方法表示函数时要注意：①解析法必须注明函数的定义域；②列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；③图象法中要注意是否连线．1．(1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )A B C D(2)由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于()图象的画法及应用【例2】作出下列函数的图象并求出其值域．(1)y＝－x，x∈{0,1，－2,3}；(2)y＝2x，x∈[2，＋∞)；(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2)．描点法作函数图象的三个关注点(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图.(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象.(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心圈.提醒：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等.2．画出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y＝x2－2x(x>1，或x<－1)．函数解析式的求法[探究问题]已知f(x)的解析式，我们可以用代入法求f(g(x))，反之，若已知f(g(x))，如何求f(x)．提示：若已知f(g(x))的解析式，我们可以用换元法或配凑法求f(x)．【例3】(1)已知f(x＋1)＝x－2x，则f(x)＝________；(2)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，则f(x)＝________；(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，则f(x)＝________.[思路点拨](1)用换元法或配凑法求解；(2)用待定系数法求解；(3)用方程组法求解．1．(变条件求函数解析式的四种常用方法(1)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可.(2)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可.(3)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x 代替两边所有的“g(x)”即可.(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解.提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性.1．函数有三种常用的表示方法，可以适时的选择，以最佳的方式表示函数．2．作函数图象必须要让作出的图象反映出图象的伸展方向，与x轴、y轴有无交点，图象有无对称性，并标明特殊点．3．求函数解析式的主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)，注意有的函数要注明定义域.1．思考辨析(1)任何一个函数都可以用解析法表示．()(2)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．()2．已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)的解析式是()A．f(x)＝3x－1B．f(x)＝3x＋1 C．f(x)＝3x＋2 D．f(x)＝3x＋43．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．4．已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2)．(1)画出f(x)图象的简图；(2)根据图象写出f(x)的值域．第2课时分段函数分段函数如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．思考：分段函数是一个函数还是几个函数？ 提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数．1．下列给出的式子是分段函数的是( )①f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，1≤x ≤5，2x ，x <1.②f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋1，x ∈R ，x 2，x ≥2.③f (x )＝⎩⎨⎧ 2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1.④f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋3，x <0，x －1，x ≥5.A ．①②B ．①④C ．②④D ．③④ 2．函数y ＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0的值域是________．3．函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x >1，则f (f (4))＝________.分段函数的求值问题【例1】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52的值；(2)若f (a )＝3，求实数a 的值．1．分段函数求函数值的方法：(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值求字母取值的步骤： (1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．1．函数f (x )＝⎩⎨⎧x －3，x ≥10，f (f (x ＋5))，x <10，则f (7)＝________.分段函数的解析式【例2】 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为2 2 cm ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左边部分的面积y 关于x 的函数解析式，并画出大致图象．[思路点拨] 可按点E 所在的位置分E 在线段AB ，E 在线段AD 及E 在线段CD 三类分别求解．1．当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．2．通过本例让学生初步尝试用分段函数解决实际问题的意识，培养学生的建模素养．2．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里)，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)． 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．分段函数的图象及应用[探究问题]1．函数f (x )＝|x －2|能用分段函数的形式表示吗？能否作出其图象？ 提示：能．f (x )＝⎩⎨⎧x －2，x ≥2，2－x ，x <2.函数f (x )的图象如图所示．2．结合探究点1，你能说一下画含有绝对值的函数图象的方法吗？ 提示：含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．【例3】 已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)． (1)用分段函数的形式表示f (x )； (2)画出f (x )的图象； (3)写出函数f (x )的值域．[思路点拨] (1)分－2<x <0和0≤x ≤2两种情况讨论，去掉绝对值可把f (x )写成分段函数的形式；(2)利用(1)的结论可画出图象；(3)由(2)中得到的图象，找到图象最高点和最低点的纵坐标，可得值域．把本例条件改为“分段函数图象的画法作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.1．分段函数是一个函数，而不是几个函数．2．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．3．分段函数的图象分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意确定每段图象的端点是空心点还是实心点，各段函数图象组合到一起就可得到整个分段函数的图象．1．思考辨析(1)分段函数由几个函数构成．( )(2)函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x >1是分段函数．( )2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23 D.1393．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则其解析式为________．4．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x >1或x <－1.(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的定义域和值域．3.2 函数的基本性质 3.2.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性1．增函数与减函数的定义12提示：定义中的x1，x2有以下3个特征：(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1<x2；(3)属于同一个单调区间．2．函数的单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．思考2：函数y＝1x在定义域上是减函数吗？提示：不是．y ＝1x 在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y ＝1x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．1．函数y ＝f (x )的图象如图所示，其增区间是( ) A ．[－4,4] B ．[－4，－3]∪[1,4] C ．[－3,1] D ．[－3,4]2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是( ) A ．y ＝－1x B ．y ＝x C ．y ＝x 2 D ．y ＝1－x 3．函数f (x )＝x 2－2x ＋3的单调减区间是________． 求函数的单调区间【例1】 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．(1)f (x )＝－1x ；(2)f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1；(3)f (x )＝－x 2＋2|x |＋3.求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；(2)利用函数的图象，如本例(3)．提醒：若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)．1．(1)根据如图所示，写出函数在每一单调区间上函数是增函数还是减函数；(2)写出y ＝|x 2－2x －3|的单调区间． 函数单调性的判定与证明【例2】 证明函数f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数． [思路点拨] 设元0<x 1<x 2<1―→作差：f (x 1)－f (x 2) ――→变形判号：f (x 1)>f (x 2)――→结论减函数利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值：设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2.(2)作差变形：作差f (x 1)－f (x 2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子.(3)定号：确定f (x 1)－f (x 2)的符号.(4)结论：根据f (x 1)－f (x 2)的符号及定义判断单调性.提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式.2．试用函数单调性的定义证明：f (x )＝2x x －1在(1，＋∞)上是减函数．函数单调性的应用[探究问题]1．若函数f (x )是其定义域上的增函数，且f (a )>f (b )，则a ，b 满足什么关系．如果函数f (x )是减函数呢？提示：若函数f (x )是其定义域上的增函数，那么当f (a )>f (b )时，a >b ；若函数f (x )是其定义域上的减函数，那么当f (a )>f (b )时，a <b .2．决定二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 单调性的因素有哪些？ 提示：开口方向和对称轴的位置，即字母a 的符号及－b2a 的大小．【例3】 (1)若函数f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是________．(2)已知函数y ＝f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，且f (2x －3)>f (5x －6)，则实数x 的取值范围为________．[思路点拨] (1)分析f (x )的对称轴与区间的关系――→数形结合建立关于a 的不等式――→ 求a 的范围(2)f (2x －3)>f (5x －6)――――――――――――――――→f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数建立关于x 的不等式――→ 求x 的范围1．(变条件函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.(2)若一个函数在区间[a ，b ]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.1．定义单调性时应强调x 1，x 2在其定义域内的任意性，其本质是把区间上无限多个函数值的大小比较转化为两个任意值的大小比较．2．证明函数的单调性(利用定义)一定要严格遵循设元、作差、变形、 定号、结论的步骤，特别在变形上，一定要注意因式分解、配方等技巧的运用，直到符号判定水到渠成才可．3. 已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识， 如f (x )在D 上递增，则f (x 1)<f (x 2)⇔x 1<x 2.二是数形结合意识，如处理一(二)次函数及反比例函数中的含参数的范围问题.1．思考辨析(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．( )(2)若函数y ＝f (x )在区间[1,3]上是减函数，则函数y ＝f (x )的单调递减区间是[1,3]．( )(3)函数f (x )为R 上的减函数，则f (－3)>f (3)．( )(4)若函数y ＝f (x )在定义域上有f (1)<f (2)，则函数y ＝f (x )是增函数．( ) (5)若函数f (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，则f (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．( )2．如图是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )，则下列关于函数f (x )的说法错误的是( )A ．函数在区间[－5，－3]上单调递增B ．函数在区间[1,4]上单调递增C ．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D ．函数在区间[－5,5]上没有单调性 3．如果函数f (x )＝x 2－2bx ＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b 的取值范围为( )A ．b ＝3B ．b ≥3C ．b ≤3D ．b ≠3 4．证明：函数y ＝x x ＋1在(－1，＋∞)上是增函数．第2课时 函数的最大(小)值函数最大值与最小值提示：不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．1．函数y＝f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A．－1,0B．0,2 C．－1,2 D.12，22．设函数f(x)＝2x－1(x<0)，则f(x)()A．有最大值B．有最小值C．既有最大值又有最小值D．既无最大值又无最小值3．函数f(x)＝1x，x∈[1,2]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．利用函数的图象求函数的最值(值域)【例1】 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5].(1)在直角坐标系内画出f (x )的图象；(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．利用图象求函数最值的方法 (1)画出函数y ＝f (x )的图象；(2)观察图象，找出图象的最高点和最低点；(3)写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值.1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1x ，x >1，求f (x )的最大值、最小值．利用函数的单调性求最值(值域)【例2】 已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1. (1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． 2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，则f (x )在区间[a ，b ]上的最小(大)值是f (a )，最大(小)值是f (b )．(2)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，在区间[b ，c ]上是减(增)函数，则f (x )在区间[a ，c ]上的最大(小)值是f (b )，最小(大)值是f (a )与f (c )中较小(大)的一个．提醒：(1)求最值勿忘求定义域．(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．2．求函数f(x)＝x＋4x在[1,4]上的最值．函数最值的实际应用【例3】一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资)(1)求y(万元)与x(件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？解实际应用题的四个步骤(1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系.(2)建模：建立数学模型，列出函数关系式.(3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围).(4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案.3．将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？二次函数的最值问题[探究问题]1．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的对称轴与区间[m ，n ]可能存在几种位置关系，试画草图给予说明？提示：2．求二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 在[m ，n ]上的最值，应考虑哪些因素？ 提示：若求二次函数f (x )在[m ，n ]上的最值，应考虑其开口方向及对称轴x ＝－b2a 与区间[m ，n ]的关系．【例4】 已知函数f (x )＝x 2－ax ＋1，求f (x )在[0,1]上的最大值． [思路点拨] f (x )＝x 2－ax ＋1――→分类讨论分析x ＝a 2与[0，1]的关系――→数形结合求f (x )的最大值1．在题设条件不变的情况下，求f (x )在[0,1]上的最小值．2．在本例条件不变的情况下，若a ＝1，求f (x )在[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值．二次函数在闭区间上的最值设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)，则二次函数f (x )在闭区间[m ，n ]上的最大值、最小值有如下的分布情况：1．函数的最大(小)值，包含两层意义：一是存在，二是在给定区间上所有函数值中最大(小)的，反映在函数图象上，函数的图象有最高点或最低点．2．求函数的最值与求函数的值域类似，常用的方法是：(1)图象法，即画出函数的图象，根据图象的最高点或最低点写出最值；(2)单调性法，一般需要先确定函数的单调性，然后根据单调性的意义求出最值；(3)对于二次函数还可以用配方法研究，同时灵活利用数形结合思想和分类讨论思想解题．3．通过函数最值的学习，渗透数形结合思想，树立以形识数的解题意识．1．思考辨析(1)任何函数都有最大(小)值．()(2)函数f(x)在[a，b]上的最值一定是f(a)(或f(b))．()(3)函数的最大值一定比最小值大．()2．函数y＝x2－2x，x∈[0,3]的值域为()A．[0,3]B．[－1,0] C．[－1，＋∞)D．[－1,3]3．函数y＝ax＋1在区间[1,3]上的最大值为4，则a＝______.4．已知函数f(x)＝2x－1(x∈[2,6])．(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；(2)求函数的最大值和最小值．3.2.2 奇偶性 第1课时 奇偶性的概念函数的奇偶性提示：定义域关于原点对称．1．下列函数是偶函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝2x 2－3 C ．y ＝1xD ．y ＝x 2，x ∈[0,1]2．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )A B C D3．函数y ＝f (x )，x ∈[－1，a ](a >－1)是奇函数，则a 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．无法确定4．若f (x )为R 上的偶函数，且f (2)＝3，则f (－2)＝________. 函数奇偶性的判断【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3＋x ；(2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (3)f (x )＝2x 2＋2xx ＋1；(4)f (x )＝⎩⎨⎧x －1，x <0，0，x ＝0，x ＋1，x >0.判断函数奇偶性的两种方法 (1)定义法：(2)图象法：1．下列函数中，是偶函数的有________．(填序号) ①f (x )＝x 3；②f (x )＝|x |＋1；③f (x )＝1x 2； ④f (x )＝x ＋1x ；⑤f (x )＝x 2，x ∈[－1,2]． 奇偶函数的图象问题【例2】已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题．巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称.(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题.2．如图是函数f(x)＝1x2＋1在区间[0，＋∞)上的图象，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据．利用函数的奇偶性求值[探究问题]1．对于定义域内的任意x，若f(－x)＋f(x)＝0，则函数f(x)是否具有奇偶性？若f(－x)－f(x)＝0呢？提示：由f(－x)＋f(x)＝0得f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．由f(－x)－f(x)＝0得f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．2．若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)的值可求吗？若f(x)为偶函数呢？提示：若f(x)为奇函数，则f(0)＝0；若f(x)为偶函数，无法求出f(0)的值．【例3】(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；(2)已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________.[思路点拨](1)f(x)是偶函数――→定义域关于原点对称求a的值――→图象关于y轴对称求b的值(2)令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx―→判断g(x)的奇偶性―→计算g(－3)―→代入求得f(3)利用奇偶性求参数的常见类型及策略(1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数.(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数即可求解.3．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.1．奇偶性是函数“整体”性质，只有对函数f(x)定义域内的每一个值x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说f(x)是奇函数(或偶函数)．2．函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用．1．思考辨析(1)函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数．()(2)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．()(3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．()(4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．()2．函数f(x)＝|x|＋1是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数3．已知函数f (x )＝ax 2＋2x 是奇函数，则实数a ＝______.4．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示．(1)请补出完整函数y ＝f (x )的图象； (2)根据图象写出函数y ＝f (x )的增区间； (3)根据图象写出使f (x )<0的x 的取值集合．第2课时 奇偶性的应用用奇偶性求解析式【例1】 (1)函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x >0时，f (x )＝－x ＋1，求f (x )的解析式；(2)设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝1x －1，求函数f (x )，g (x )的解析式．[思路点拨] (1)设x <0，则－x >0――→当x >0f (x )＝－x ＋1求f (－x )――→奇函数得x <0时f (x )的解析式――→奇函数的性质f (0)＝0――→分段函数f (x )的解析式(2)f (x )＋g (x )＝1x －1――→用－x 代式中x得f (－x )＋g (－x )＝1－x －1――→奇偶性得f (x )－g (x )＝－1x ＋1――→解方程组得f (x )，g (x )的解析式把本例(2)利用函数奇偶性求解析式的方法(1)“求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x 就应在哪个区间上设. (2)要利用已知区间的解析式进行代入.(3)利用f (x )的奇偶性写出－f (x )或f (－x )，从而解出f (x ).提醒：若函数f (x )的定义域内含0且为奇函数，则必有f (0)＝0，但若为偶函数，未必有f (0)＝0.函数单调性和奇偶性的综合问题[探究问题]1．如果奇函数f (x )在区间(a ，b )上单调递增，那么f (x )在(－b ，－a )上的单调性如何？如果偶函数f (x )在区间(a ，b )上单调递减，那么f (x )在(－b ，－a )上的单调性如何？提示：如果奇函数f (x )在区间(a ，b )上单调递增，那么f (x )在(－b ，－a )上单调递增；如果偶函数f (x )在区间(a ，b )上单调递减，那么f (x )在(－b ，－a )上单调递增．2．你能否把上述问题所得出的结论用一句话概括出来？提示：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．3．若偶函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，那么f (3)和f (－2)的大小关系如何？。

三章：一元一次方程课题 3.1.1从算式到方程（1）导学案(总１课时)一.根据课题预示本节时学习目标1.本节课我想知道；2.我还想知道方程与等式之间；3.会用设未知数的方法列；二．温故知新根据条件列出式子①比a大5的数：；②b的一半与8的差：；③x的3倍减去5：；④a的3倍与b的2倍的商：；⑤汽车每小时行驶v千米，行驶t小时后的路程为千米；1，x天完成这件工程的；⑥某建筑队一天完成一件工程的12⑦某商品原价为a元，打七五折后售价为元；⑧某商品每件x元, 买a件共要花元；⑨某商品原价为a元，降价20%后售价为元；⑩某商品原价为a元，升价20%后售价为元。

三．新知探究活动1.根据条件列出等式：①比a大5的数等于8：；：；②b的一半与7的差为6③x的2倍比10大3：；④比a的3倍小2的数等于a与b的和：；⑤某数x的30%比它的2倍少34：。

像上面这种含有未知数的等式叫做方程。

列方程时要先设字母表示未知数，再根据问题中的相等关系列出方程。

活动2．例1根据下面实际问题中的数量关系，设未知数列出方程：（1）用一根长为24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长为多少？（2）一台计算机已使用1700小时，预计每月再使用150小时，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小时？（3）某校女生人数占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？解：（1）设正方形的边长为x cm ，本题的等量关系:正方形的周长=铁丝的长. 列方程得： 。

（2）设x 月后这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小时；本题的等量关系:已使用的时间+后来使用时间=规定检修时间. 列方程得： 。

（3）设这个学校学生数为x ，则女生数为 ，男生数为 ，女生人数-男生人数=女生比男生多的人数 依题意得方程： 。

盘点提升老师语:上面的分析过程可以表示如下：分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。

3.1用表格表示的变量间的关系导学案学习目标、重点、难点【学习目标】1、在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量，并能举出反映变量之间相依关系的例子.2、能从表格中获得变量之间关系的信息，能用表格表示变量之间的关系，并能根据表格中的数据尝试对变化趋势进行初步的预测.【重点难点】重点：能从表格中发现变量之间存在的关系，并能用自己的语言描述出来难点：通过具体情境理解变量、自变量与因变量的概念，并能运用变量之间的思想描述我们所生活的世界中的变化. 知识概览图变量⎭⎬⎫⎩⎨⎧因变量自变量用表格表示两个变量之间的关系新课导引在现实生活中，我们通过观察可以知道许多量都与另外一个量或几个量有着密切的联系．如在行程问题中，路程与时间、速度的关系；在图形的周长、面积问题中，圆的周长、面积与半径的关系等．教材精华知识点1 常量与变量在某个变化过程中，保持同一数值的量叫常量，可以取不同数值的量叫变量．例如在圆的面积公式S ＝2r π中，圆周率π是保持同一数值的量，即常量，而半径r 和面积S 可以取不同的数值，所以r 和S 就是变量．【拓展】常量与变量往往是相对的，相对于某个变化过程．比如s ，v ，t ，三者之间，在不同的研究过程中，作为变量与常量的“身份”是可以相互转换的．知识点2 自变量与因变量在客观世界中，存在着各种各样的量，这些量几乎都是变化着的．例如在路程确定的情况下，不同运动员的奔跑速度决定他们各自所用的时间，所用的时间受速度的制约，所用时间随速度的变化而变化．我们就说速度是自变量，时间是因变量．(1)在一个变化过程中，主动发生变化的量是自变量，受其他变量的影响而发生变化的量是因变量．(2)自变量和因变量是相对的，在某个变化过程中是自变量，而在另一个变化过程中可能是因变量．知识点3 借助表格表示两个变量的关系我们可以借助表格表示因变量随自变量的变化而变化的情况，反映两个变量之间的关系，并从表格上获取一些信息，或对某些问题作出相关的预测．例如，表1是我国体育健儿在几届奥运会上所获奖牌总数的情况．表1我们可以把统计表1叫做是一个反映两个变量之间关系的表格，其中时间(年)是自变量，奖牌总数是因变量．课堂检测基本概念题1、下列各题中，哪些量在发生变化?其中的自变量与因变量各是什么?(1)用总长为60 m的篱笆围成一个边长为l(m)，面积为S(m2)的长方形场地；(2)正方形的边长是3，若边长增加x，则面积增加y．基础知识应用题2、小红帮助母亲预算4月份的用电量，小红记录了4月初连续8天每天早上电表显示的读数，列成的表格如下：（1)这个表格反映哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量? (2)4月5日早上电表的读数是多少?(3)这个月的前5天共用电多少?(小红家每天只在晚上用电) (4)估计在4月9日早上电表的读数是多少； (5)估计4月份的总用电量．3、某商店出售一种瓜子，数量x 与售价C 之间的关系如下表：表内售价栏中的0．05是塑料袋的价钱． (1)试用含x ，的代数式表示C ；(2)若一位顾客购买350克瓜子，请你帮他计算一下应付多少元钱．探索创新题4、下表记录了我国几个城市在夏季某月某日的最高气温．这不是表示两个变量之间关系的表格．请你根据影响气温的主要因素，把这个表格改为一个在一定程度上表示两个变量之间关系的表格，并回答下列问题．(1)自变量和因变量各是什么?(2)随着自变量逐渐变大，因变量的变化趋势是什么?体验中考1、（09·吉林）小敏家距学校1200米，某天小敏从家里出发骑自行车上学，开始她以每分钟V1米的速度匀速行驶了600米，遇到交通堵塞，耽搁了3分钟，然后以每分钟V2米的速度匀速前进一直到学校(V1<V2)，你认为小敏离家的距离y与时间x之间的关系图象大致是图6-1中的( )学后反思附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测1、【解析】变量比较容易找，关键是自变量的找法，审清题意，先找出发生变化的 那一个量．解：(1)边长l ，面积S 都在发生变化，其中l 是自变量，S 是因变量． (2)增加的边长x ，增加的面积y 都在发生变化，其x 是自变量，y 是因变量．2、【解析】(1)在表示变量之间关系的表格中，第一行是自变量的数值，第二行是因变量的数值．(2)表格中同一列上的两个数是自变量与因变量的一组对应值．(3)由于每天早上记录电表读数，所以要想知道5天共用了多少电，应该用第6天的读数减去第1天的读数．(4)为了估计第9天电表的读数，应该知道每天大约用多少电．(5)可以根据前7天的用电量估计这个月的用电量．【解题方法】 (1)所给表格实质上是反映了用电天数与用电量之间的关系．(2)上面估计4月份的用电量实际上是利用了求平均数的方法，也可以用其他方法求．解：(1)这个表格反映日期与电表读数这两个变量之间的关系，日期是自变量，电表读数是因变量．(2)4月5日早上电表的读数是35千瓦时．(3)39—21＝18，即这个月的前5天共用电18千瓦时． (4)估计4月9日早上电表的读数为49或50．(5)(46—21)÷7×30≈107(千瓦时)．3、【解析】 因在表中C 这一栏中的数是两部分的和，所以先看“+”号前的部分与x 的关系：==20080.110090.0…＝10009元，也就是说每卖1000克瓜子，售价为9元，因此，得前一部分是x 10009，再加上0．05，得C ＝x 10009+0．05． 解：(1)由图表可知每100克瓜子售价0．90元，所以每1000克售价9元．故C ＝x 10009+0．05． (2)当x = 350时，C ＝x 10009+0．05＝⨯10009350+0．05＝3．20(元)．答：这位顾客应付3．20元钱。

《2.3变量间的相关关系》【知识链接】问题1：在学校里,老师对学生经常这样说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关关系.这种说法有没有根据呢? 请同学们如实填写下表（在空格中打“√” ）:好 中 差 你的数学成绩 你的物理成绩问题2： 某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍，有人经统计发现了一个有趣的现象，如果村庄附近栖息的天鹅多，那么这个村庄的婴儿出生率也高，天鹅少的地方婴儿的出生率低，于是，他就得出一个结论：天鹅能够带来孩子.你认为这样得到的结论可靠吗？如何证明这个结论的可靠性？【知识梳理】 1．相关关系(1)定义：如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的______性，那么这两个变量之间的关系，叫做相关关系．(2)两类特殊的相关关系：如果散点图中点的分布是从______角到______角的区域，那么这两个变量的相关关系称为正相关，如果散点图中点的分布是从______角到______角的区域，那么这两个变量的相关关系称为负相关． 2．线性相关(1)定义：如果两个变量散点图中点的分布从整体上看大致在一条______附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做__________．(2)最小二乘法：求线性回归直线方程y ^ ＝b ^x ＋a ^时，使得样本数据的点到它的______________最小的方法叫做最小二乘法，其中a ^，b ^的值由以下公式给出： ⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑ni ＝1 xi －x yi －y ∑n i ＝1 xi －x 2＝∑ni ＝1xiyi －n x y ∑n i ＝1x2i －n x 2，a ^＝ ，其中，b ^是回归方程的____________，a ^是回归方程在y 轴上的______．小结：线性回归分析涉及大量的计算，形成操作上的一个难点，可以利用计算机非常方便地作散点图、回归直线，并能求出回归直线方程．因此在学习过程中，要重视信息技术的应用． 自主小测1、下列图形中具有相关关系的两个变量是( )2、某单位为了解用电量y(千瓦时)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温/℃ 18 13 10 －1 用电量/千瓦时24343864由表中数据得线性回归方程y ^ ＝b ^x ＋a ^中b ^≈－2，则a ^≈__________.课 上 导 学 案 教师点拨1：两个变量间的关系分为三类：一类是确定性的函数关系，如正方形的边长与面积的关系；另一类是变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，这种关系就是相关关系，例如，某位同学的“物理成绩”与“数学成绩”之间的关系，我们称它们为相关关系；再一类是不相关，即两个变量间没有任何关系．教师点拨2：①相关关系与函数关系的异同 相同点：两者均是指两个变量的关系．不同点：函数关系是一种确定的关系．如匀速直线运动中时间t 与路程s 的关系；相关关系是一种非确定的关系．如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，可能是伴随关系． ②线性回归直线方程的性质(1)回归直线过样本数据的中心．所谓样本数据的中心，对于单变量样本数据而言，平均数是样本数据的中心；对于以(xn ，yn)为样本数据而言，(x ，y )为样本点的中心，根据最小二乘法原理，回归直线一定过样本点的中心．(2)回归直线的单调性与样本数据的相关性．如果样本数据对应的点具有线性相关关系，从回归直线方程来看，当系数b ＞0时，直线单调递增，此时这两个变量正相关；当b ＜0时，直线单调递减，此时这两个变量负相关． 【例题讲解】【例题1】 设对变量x ，y 有如下观察的数据：x 151 152 153 154156157158159 160 162 163 164 y40414141.5 4242.5 434445454645.5(1)画出散点图．(2)判断变量x ，y 是否具有相关关系？如果具有相关关系，那么是正相关还是负相关？【例题2】 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：x 3 4 5 6 y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^ ＝b ^x ＋a ^；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？ (参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)【例题3】 下列变量之间的关系属于相关关系的是( ) A ．圆的周长和它的半径之间的关系B ．价格不变的条件下，商品销售额与销售量之间的关系C ．家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势D ．正方形面积和它的边长之间的关系 【当堂检测】1．已知x ，y 的取值如下表：x 0 1 3 4 y2.24.34.86.7从散点图可以看出y 与x 线性相关，且回归方程为$y ＝0.95x ＋a ，则a ＝( )A ．3.25B ．2.6C ．2.2D ．0 2．某考察团对全国10个城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查，y 与x 具有相关关系，回归方程为$y ＝0.66x ＋1.562.若某城市居民人均工资为9 000元，则其居民人均消费水平为__________千元．3．某商店统计了最近6个月某商品的进价x 与售价y(单位：元)的对应数据如下：x 3 5 2 8 9 12 y46391214则x ＝________，y ＝________，621ii x=∑＝__________，61iii x y=∑＝__________，回归直线方程为__________．4．假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y2.23.85.56.57.0若由资料知y 对x 成线性相关关系．试求：(1)线性回归方程$y ＝$bx a $的回归系数b $与$a ；(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？【问题与收获】基础知识答案：1．(1)随机 (2)左下 右上 左上 右下2．(1)直线 回归直线 (2)距离的平方和 y －b ^x 斜率 截距自主小测答案：1、 C A 项中显然任给一个x 都有唯一确定的y 和它对应，是一种函数关系；B 项也是一种函数关系；C 项中从散点图可以看出所有点看上去都在某条直线附近波动，具有相关关系，而且是一种线性相关关系；D 项中所有的点在散点图中没有显示任何关系，因此变量间是不相关的．2、60 x ＝18＋13＋10－14＝10，y ＝24＋34＋38＋644＝40，则a ^＝y －b ^x ≈40＋2×10＝60. 例题答案：【例题1】 解：(1)画出散点图．(2)具有相关关系．根据散点图，左下角到右上角的区域，变量x 的值由小变大时，另一个变量y 的值也由小变大，所以它们具有正相关关系． 【例题2】 解：(1)散点图，如图所示．(2)由题意，得∑4i ＝1xiyi ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5， x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∑4i ＝1x2i ＝32＋42＋52＋62＝86， 则b ^＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81＝0.7，a ^＝y －b ^x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35， 故线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.(3)根据线性回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35， 故消耗能源减少了90－70.35＝19.65(吨)．【例题3】 正解：因选项A ，B ，D 中的两个变量间都有唯一确定的关系，因而它们都是函数关系；而选项C 中家庭收入会对消费支出产生一定的影响，但高收入未必有高消费，因而选项C 中的关系才是相关关系．故选C ．当堂检测答案：1．B 线性回归方程一定经过样本取值的平均数点(x ，y )，由取值表可计算x ＝01344+++＝2，y ＝2.2 4.3 4.8 6.74+++＝92，知回归方程为$y ＝0.95x ＋a ，又经过点(2，92)，代入得a ＝2.6.2．7.502 当x ＝9千元时，y ＝0.66×9＋1.562＝7.502.3．6.5 8 327 396 $y ＝1.14x ＋0.59 根据公式代入即可求得，也可以利用计算器求得，x ＝6.5，y ＝8，621ii x=∑＝327，61i ii x y=∑＝396，回归直线方程为$y ＝1.14x ＋0.59.。

七年级下第六章变量之间的关系复习导学案班级_________姓名_______座号_________组号_________【学习目标】1.发现实际情景中的变量及其相互关系，并确定其中的自变量和因变量。

2.能从表格、图形中分析出某些变量之间的关系，并能用自己的语言进行表达，发展有条理的进行思考和表达的能力。

3.能根据具体问题，选取用表格或关系是来表示某些变量之间的关系，并结合对变量之间的关系的分析，尝试对变化趋势进行初步的预测。

解题中出现错误是难免的，但必须弄清产生错误的原因，掌握正确的解题方法．1．概念混淆致错例1．弹簧挂上物体后会伸长(1) (2) 当物体的质量逐渐增加时,弹簧的长度怎样变化?错解：（1）此表反映了物体的质量与弹簧的长度之间的关系，其中弹簧的长度是自变量，物体的质量是因变量；（2）物体的质量随弹簧的长度的增大而增大．正确解：（1）此表反映了____________________________之间的关系，__________是自变量，___________________是因变量；（2）______________________________________增长而增长．2．忽视横、纵轴的意义致错例2．如图１所示的图象中表示足球守门员用脚踢出去的球是（ ）．图１错解：选（C ）．正解：选（ ）．3．注意两种图象的区别“s----t ”型图象：这种类型的图象是s 随t 的变化而变化，如图２，①表示物体_____运动；②表示物体_____运动；③表示物体________________________，显然，线段（或射线）与横轴所夹的锐角越大，则速度越快；夹角越小，则速度越慢．“v----t ”型图象：这种类型的图象是v 随t 的变化而变化，如图３， ①表示物体________________运动；②表示物体_____运动；③表示物体__________________．不要混用．练习(1)下列说法其中正确的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 ①汽车行驶时间为40分钟； ②AB 表示汽车匀速行驶；③在第30分钟时，汽车的速度是90千米／时；④第40分钟时，汽车停下来了． (2)小明读七年级，他很想一个人郊外秋游，但妈妈不放心，让他将一天的时间安排做一个详细计划，于是小明绘制了下图交给妈妈，你能根据这幅图想象一下小明的秋游情况吗？三、典型例题分析1．观察表格分析问题、解决问题例3（1（2）根据表格你知道哪几个月的月产量保持不变？哪几个月月产量在匀速增长？哪个月产量最高？（3）试求2006年前半年的平均月产量是多少？解：tt2．根据题意，读懂图象，解决问题例4．汽车在行驶的过程中，速度往往是变化的，如图４表示一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况．（1）汽车从出发到最后停止共经过了多少时间？它的最高时速是多少？（2）汽车在哪些时间段内保持匀速行驶？时速分别是多少？（3）出发后8分到10分之间可能发生了什么情况？（4）用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况．解：四、练习1.明明从广州给远在上海的爷爷打电话，电话费随着时间的变化而变化，在这个过程中，因变量是（ ）A ． 明明 B.电话费 C. 时间 D.爷爷2.今年又是海南水果的丰收年，某芒果园的果树上挂满了成熟的芒果，一阵微风吹过，一个熟透的芒果从树上掉下来。