当前位置：文档之家 › 7.1-7.2Newton-Cotes求积公式

7.1-7.2Newton-Cotes求积公式

  • 格式：pdf
  • 大小：490.82 KB
  • 文档页数：54

下载文档原格式

  / 54

合集下载

7.1,7.2数值微分

7.1,7.2数值微分

( h) n ( n ) f n!
f x 1h f x h f x h Oh f x 2 h (7-4) f x f x h f x 2 h h Oh f x 2 h f x h f x h f 3 x 1h f 3 x 2 h 2 f x h Oh 2 12 2h
y ex
3.1267684 3.1581929 3.1899333 3.1550363 3.1581929 3.1613527 3.1578771 3.1581929 3.1585087 3.1581897 3.1581929 3.1581961
向前差商 D+
3.17403
中心差商D
f 1.15 D
分别代入 x0 , x1 , x2
得三点公式
1 3 f x0 4 f x1 f x2 f x0 2h 1 f x0 f x2 f x1 2 h f x 1 f x 4 f x 3 f x 2 0 1 2 2h
h 0.2
2)
三点公式
x0 2.6, x1 2.8, x2 3.0
1 f 2.8 f 2.6 f 3.0 2h 1 (12.182 18.174) 14.980 2 0.2 取 h 0.1
1) 两点公式 x0 2.7, x1 2.8 f x1 f x0 f x1 h
n 1 d f n 1 x x f x n x Rn dx n 1 ! n 1 n 1 x d f n 1 (7-7) f x n 1

复化求积公式

复化求积公式

h[ 2
f ( x0 )
n1
2
k 1
f ( xk )
f ( xn )]
复化梯形公式
Tn
h 2
[
f
(
x0
)
n1
2
k 1
f ( xk )
f ( xn )]
复化梯形公式
计算方法
2.复化辛浦生公式
计算方法
在每个小区间[xk1, xk ]上应用辛浦生公式得：
xk
xk 1
则
f
b
( x)dx h[ f 6
计算方法
在 每 个 小 区 间[ xk1, xk ]上 应 用 梯 形 公 式 得 ：
xk xk 1
f ( x)dx
h 2
[
f
(
xk1
)
f ( xk )]
则
b
n
f (x)dx =
xk f (x)dx
a
k 1 xk1
n k 1
h[ f 2
(xk1)
f
(xk )]
计算方法
x0 x1 x2 x3
2
三、区间逐次分半求积法
计算方法
复化求积公式可有效提高计算精度，但对给定 的误差限，如何确定节点的个数，即[a,b]应多少等 份？由截断误差可以估计步长的取值情况，但需要 给出各阶导数的最大值，这往往是比较困难的，且 估计值往往偏大.
接下来，我们将考虑步长的更为实用的选取方 法.
计算方法
若用Tn及T2n分别表示将[a, b]n等分及2n等分的复化 梯形公式，则
f(x) 1 0.997 0.9896 0.976 0.95 0.936 0.908 0.877 0.841 3978 158 7267 8851 1556 8516 1925 4709

牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式

牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
k =0
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )

7.1-7.2Newton-Cotes求积公式

7.1-7.2Newton-Cotes求积公式

第七章 微积分的数值计算方法⏹传统方法的困境⏹数值积分的基本思想⏹数值积分的一般形式⏹代数精度问题求函数 f (x ) 在区间 [a ,b ] 上的定积分是微积分学中的基本问题。

返回章7.1 基本概念§图7-0 矩形规则yxa=x 0x 1x 2x ix i +1x n-1x n =bf 0f 1f 2f if i+1f n-1f nf (x )(1)(2)()()(),[,]baI f x dx b a f a b ξξ==-∈⎰积分中值定理ξ但具体位置一般是不知道的，()f ξ 称为函数y=f(x)在区间[a, b]上的平均高度。

这样，只要对平均高度 提供一种算法，相应地便获得一种数值求积方法。

()f ξ一般地，我们取[a,b]内若干个节点处的高度的加权平均的方法近似地得出平均高度。

数值积分的一般形式数值积分的一般形式是：(3)其中，f i ----是函数f(x)在节点x i 上的函数值，它可能以列表形式给出，也可以是由函数的解析式计算出的函数值；A i ----称为节点x i 上的权系数，也称求积系数。

正是由于权系数的构造方法不同，从而决定了数值积分的不同方法。

记数值积分公式为特点：把求积过程（极限过程）转化为有限次的乘法与加法的代数运算。

x i为节点，A i 为求积系数。

需要做的工作：1. 确定节点和求积系数；2. 估计余项；3. 讨论公式的算法设计及其数值稳定性。

最常用的一种方法是利用插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下:上取一组节点在积分区间],[b a bx x x a n ≤<<<≤ 10次插值多项式的作n x f )(∑==nk k k n x l x f x L 0)()()(为插值基函数其中：),,1,0)((n k x l k =不同的插值方法有不同的基函数,不同的表示形式插值型求积公式有的近似作为被积函数用,)()(x f x L n ⎰badx x f )(⎰≈ba n dx x L )(⎰∑==b ank kkdxx l x f 0)()(∑⎰==nk bak k dxx l x f 0)()(则，若记⎰=bak k dx x l A )(⎰=badx x f f I )(][n 0() =I (1)nk k k A f x =≈∑ (1)式为数值求积公式.A k 为求积系数, 且仅与积分区间和求积节点x k 有关.[][]()=[] (2)nk k n k R f I f A f x I f I ==--∑称为求积余项。

牛顿-柯特斯公式

牛顿-柯特斯公式

牛顿-柯特斯公式牛顿-柯特斯公式是一种用于数值积分的方法，是通过将积分区间分割成若干个子区间，在每个子区间上用一个多项式来逼近被积函数，然后通过对这些多项式进行求和来得到整个积分的近似值的方法。

牛顿-柯特斯公式的基本思想是将被积函数在每个子区间上进行插值近似。

首先，我们将积分区间[a, b]等分成n个相等的子区间，即h=(b-a)/n，其中n为等分的个数。

对于每个子区间，我们使用一个多项式来逼近被积函数。

对于每个子区间[xi, xi+1]，我们可以通过使用牛顿插值公式将被积函数在这个子区间上用一个多项式f(xi,x)=f(xi)+f[xi,xi-1]·(x-xi)+f[xi,xi-1,xi-2]·(x-xi)·(x-xi-1)+...来近似。

其中f(xi)代表被积函数在xi处的函数值，f[...]代表被积函数在对应节点处的高阶差商。

然后，我们将这个多项式进行积分。

根据牛顿插值多项式的性质，多项式的积分可以用其在区间上的若干个节点处的函数值和差商来表示。

因此，我们可以对多项式进行积分，得到在每个子区间上的近似积分值。

最后，我们将这些近似积分值求和，得到整个积分的近似值。

具体而言，牛顿-柯特斯公式的一种常见形式是梯形公式。

梯形公式的基本思想是将积分区间[a, b]等分成n个子区间，并在每个子区间上使用一个线性函数来近似被积函数。

这个线性函数由被积函数在两个节点上的函数值和斜率确定，因此得名“梯形”。

对于一个子区间[xi, xi+1]，梯形公式的积分近似值可以通过积分公式∫(xi,xi+1) f(x) dx ≈ (f(xi) + f(xi+1))·h/2来计算。

其中，f(xi)和f(xi+1)分别为被积函数在两个节点处的函数值，h=xi+1-xi为子区间的宽度。

最后，将所有子区间上的积分近似值求和，我们可以得到整个区间[a, b]上的积分值的近似值。

牛顿-柯特斯公式不仅仅包括梯形公式，还包括其他形式的多项式插值，如Simpson公式和Boole公式等。

Newton-Cotes求积公式

Newton-Cotes求积公式

n
推论1 求积系数满足: Aj b a j0
(可用此检验计算求积系数的正确性)
证：
b
b
n
a f (x)dx a Ln (x)dx Ak f (xk )
k 0
当节点为n 1个时，插值求积公式有n次代数精度,
对于f (x) xn ,上式严格相等,
所以取f (x) 1时，上式也严格相等，
解决方法：
4.2.1 插值型求积法
1、方法
插值多项式
插值基函数
已知 (xi,
f (xi ))，求得 Ln (x)
n i0
f
(xi )li (x)，其中li (x)
n l0
x xl xi xl
,
则
b
b
bn
a f (x)dx a Ln (x)dx a f (xi )li (x)dx
权Ak仅仅与节点xk的选取有关，而不依赖于被积函数f(x) 的具体形式。
使积分公式具有通用性
我们的目的就是根据一定原则, 选择求积节点xk和 系数Ak，使得求积一般公式(4.2.1)具有较高的精确度, 同 时又计算简单。
记
n
In[ f ] Ak f (xk )
k 0
(4.2.2)
b
n
R( f ) I[ f ] In[ f ] a f (x)dx Ak f (xk ),
数值求积法与代数精度 4.2.1 插值型求积法 4.2.2 Newton-Cotes求积公式 4.2.3 Newton-Cotes 公式的误差分析
总结
一、求积公式的代数精度
b
N
I[ f ]
a
f (x)dx
Ak f ( xk )

第1节 Cotes型求积公式


ik

n
0
f ( n1) ( )t (t 1)( t 2)(t n)dt
Ak yk Rn [ f ]
k 0
n
从而得到Newton-Cotes型求积公式：

b
a
f ( x )dx Ak f ( xk )
k 0
n
b a ( 1)n k n n Ak 0 (t i )dt n k! ( n k )! i 0
a a
b
b

(
b a k 0 i 0 ik
n
n
x xi ) yk dx xk xi
f ( n1) ( ) ( x x0 )( x x1 )( x xn )dx a ( n 1)! ba 由变换： x a th, xi a ih xk a kh , h n
(a , b)
为了估计误差限，设
M 2 max f ( x )
a x b
则得到
R1 f
M2 (b a ) 3 12
二、抛物线(辛普森-Simpson)公式（n=2）

b
a
f ( x )dx Ak f ( xk ) A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 )
则由
n
Π
i= 0 i¹ k
n n ti x - xi (a th) (a ih) ki xk - xi ii 0 (a kh) (a ih) ii 0 k k
xi=a+ih, xk=a+kh
得到

i 0 ik
n
n n x xi (a th) (a ih) t i xk xi i 0 (a kh) (a ih) i 0 k i i k ik

newton-cotes求积公式



f ( (a ~t h))
1
t(t 1)dt

f ()
0
0
6
其中 (a ~t h) (a,b) 。
因此，梯形公式
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
的截断误差为
R1
(b a)3 12
f (),
(a,b)


1 x2
1
ex
f
( x)

(
2 x3

1 x4
1
)e x
max f (x) f (1) 8.1548
1 x2
截断误差估计为
R1

(2 1)3 12
max
1 x2
f (x)
0.6796
用Simpson公式计算，得
2 1
e x dx

2
1 (e

1
4e1.5
b
f (x)dx (b a)
a
n
C (n) k
f
( xk
)
④
k 0
这就是一般的牛顿—科茨公式，
其中 C (n) k
称为科茨系数。
从科茨系数公式③可以看出，科茨系数
C (n) k
的值与积分区间及被积函数都无关。只要给出了
积分区间的等分数n，就能算出 C0(n) , C1(n) , , Cn(n)
在实际计算中，我们常用以下公式进行计算。
梯形公式
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
辛普森公式
b f (x)dx b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)]

数值分析 -牛顿-科特斯公式


故一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公式。
当 n 7 时，牛顿-科特斯公式是稳定的。
牛顿-科特斯公式的代数精度
定理 当 n 为偶数时，牛顿－科特斯公式至少有 n+1
阶代数精度。
证：只要证明当 n 为偶数时，公式对f (x)＝xn+1精确成立。
由插值型求积公式的误差公式得
R[ f ]
h
[f 4
(xk ) 2 f
( xk 1/ 2 )
f ( xk 1)]
1 梯形法的递推化
注意，这里h=(a+b)/n代表二分前的步长。 将每个子区间上的积分值相加得
n1
n1
T

h 4
[
f
(xk )
f
(xk1)]
h 2
f
(
xk

1 2
)
k 0
k 0
从而可导出下列递推公式
+
i
h，h

b
n
a
，i = 1, 2, …,
b
b
Ai a li (x)dx a
ji
x x j dx xi x j
n
0 ji
t j hdt i j
(b a)(1)ni n (t j)dt
n i!(n i)!
0 i j

2 3
,
C (2) 2
1 6
b a
f ( x)dx

b
6
a[
f
(a) 4 f
(
ab 2
)

f
(b)]
n = 4: 科特斯(Cotes)求积公式

牛顿-柯特斯求积公式

下页 返回
例2 确定求积公式中的待定系数，使其代数精 度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度.
Байду номын сангаас
I
2h
2 h
f ( x ) d x A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h)
解 令 f (x)=1, x, x2 代入公式两端并令其相等，得
A1 A0 A1 4h A1 ( h) A1h 0 A1 A1 0 2 16 2 2 3 A1 ( h) A1h (2h) A1 A1 h 3 3 8 4 解得 A1 A1 h, A0 h 3 3
1 f ( x) 4 1 x
上页
下页 返回
以上的 4种情况都不能用牛顿—莱布尼兹公 式方便地计算该函数的定积分，满足不了实际需 要，因此，有必要研究定积分的数值计算问题； 另外，对一些函数的求导问题，其求导、微分也 相当复杂，也有必要研究求导、微分的数值计算 问题。本章主要介绍数值求积分和数值求微分的 方法。
ba 右 [1 1] b a, 2 当 f(x)=x时，

a
此时公式精确成立。




上页
下页 返回
对于求积公式
I f ( x ) d x Ak f ( x k ) I n
b a k 0
n
给定n+1个互异的求积节点 x0 , x1,, xn-1, xn ,
令求积公式对 f(x)=1, x, , xn 精确成立,即得 A0 A1 An b a 2 2 b a A x A x A x 1 1 n n 0 0 2 n 1 n 1 b a n n n A x A x A x 0 0 1 1 n n n1 求解该方程组即可确定求积系数Ak, 所得到的求积公 上页 式至少具有n 次代数精度.
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

由积分中值定理知，在积分区间[ a , b ] 内存在一点ξ， 成立
∫
xi x i −1
f ( x ) d x = Δ x i f ( ξ i ),
Δxi=xi−xi−1
所以
I ( f ) = ∫ f ( x)dx =
a b
∑
n
i =1
f (ξ i ) Δ x i
6
问题在于点 ξ i 的具体位置一般是不知道的，因而难以 准确算出 f ( ξ ) 的值. 这样，只要对平均高度 f ( ξ ) 提供一种算法，相应地便 获得一种数值求积方法. The goal is to approximate the definite integral of f(x) by evaluating f(x) at a finite number of nodes.
b a
k =0
对任意次数不超过m次的代数多项式Pi ( x )(i ≤ m)都准确成立,即
∫ P ( x)dx = ∑ A P ( x )
b a i
k =0 k i k
n
i = 0 ,1 , L , m
但对m + 1次多项式却不能准确成 立 ,即只要
∫
b
a
m x m + 1 dx ≠ ∑ Ak xk + 1 k =0
数值积分的一般形式
The General formula
数值积分的一般形式是：
其中，
∫
b
a
f ( x )dx = ∑ Ai f i + Rn
i =0
n
(3)
fi ----是函数f(x)在节点 xi 上的函数值，它可能以
列表形式给出，也可以是由函数的解析式计算出 的函数值；
Ai ----称为节点 xi 上的权系数。
a
a
I ( f ) = ∫ f ( x)dx = ∫
a
b
b n
a
∑ f ( x )l ( x)dx + ∫ R ( x)dx
b k =0 k k a n b a
= ∑ Ak f ( xk ) + ∫ Rn ( x )dx
k =0
n
其中 Ak = ∫ lk ( x )dx = ∫
b a
b
a
0≤ j ≤n j≠k
若 f 为次数 ≤ n的多项式, 则 f ( n +1)(x )=0,从而 Rn [ f ] = 0 此时
∫
b
a
f ( x ) dx = ∑ Ak f ( xk )
k =0
n
因此定义代数精度的概念: The degree of precision 定义1. 若求积公式
n
I ( f ) = ∫ f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( xk ) = I n ( f )
作f ( x )的n次插值多项式
Ln ( x ) = ∑ f ( xk )lk ( x )
k =0 n
其中：lk ( x)(k = 0,1, L , n)为插值基函数
不同的 插值方法 有不同的 基函数
用Ln ( x )作为被积函数 f ( x )的近似 , 有
∫
b
a
f ( x )dx ≈ ∫ Ln ( x )dx = ∫
h I = ∫ x dx = 0 2 h h3 I = ∫ x 2 dx = 0 3 h3 1 2 I1 = + ah [0 − 2h] = ( − 2 a )h 3 2 2
h
1
2
h2 I1 = 2
令I = I 1
1 a= 12
对于 f ( x ) = x 3
I =∫
h
0
h4 x 3 dx = 4
b−a 其中h = 为步长 n
f ( x )的Lagrange插值多项式及余项分别为
Ln ( x ) = ∑ f ( xk )lk ( x )
k =0
n
f ( n + 1 ) (ξ ) Rn ( x ) = ω n + 1 ( x) ξ ∈ [a , b] ( n + 1)!
其中
lk ( x ) =
Ak = ∫ lk ( x)dx
a
16
b
注1 梯形公式具有一次代数精度，矩形公式具有0代数精度. 注2 能利用代数精度定义满足的条件，可以构造具有一定代数
精度的数值积分公式。 欲使求积公式 (1)具有 m 次代数精度，则只要令它 m 对 f ( x ) = 1, 2 , L , x 都准确成立，就得到
返回章
传统方法的困境 Difficulties
对于积分
I ( f ) = ∫ f ( x )dx
a b
b
如果知道f ( x )的原函数F ( x ), 则由Newton − Leibniz公式有
∫
a
f ( x )dx = F ( x ) a = F (b ) − F ( a )
b
但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象:
0≤ j ≤n j≠k
∏
x − xj xk − x j
ω n + 1 ( x ) = ∏ ( x − xi )
i =0
n
而
f ( x ) = Ln ( x ) + Rn ( x )
因此对于定积分
b
I ( f ) = ∫ f ( x )dx
a
b
b
有 I ( f ) = ∫ f ( x )dx = ∫ [ Ln ( x ) + Rn ( x )]dx
Ak的计算 :
b a
注意是等距节点
b
Ak = ∫ lk ( x )dx = ∫
假设x = a + th
a
0≤ j ≤n j≠k
∏
x − xj xk − x j
dx
由 x ∈ [ a , b]
可知 t ∈ [0, n]
⎛ ⎞ n⎜ b x − xj (t − j )h ⎟ Ak = ∏ ∫a 0 ≤ j ≤ n xk − x j dx = ∫0 ⎜ 0∏n (k − j )h ⎟ ⋅ h ⋅ dt ⎜ ≤≠j ≤ ⎟ j k j≠k ⎝ ⎠
h ⋅ ( − 1) n − k n = ∫0 0∏n(t − j )dt k !⋅( n − k )! ≤ j ≤
j≠k
n ( − 1) n − k = (b − a ) ⋅ ∫0 0∏n(t − j )dt n ⋅ k !⋅( n − k )! ≤ j ≤ j≠k
( Ak = (b − a ) ⋅ Ck n ) ˆ
第七章 微积分的数值计算方法
Numerical differentiation And Numerical integration
§
7.1
基本概念
b
Basic concepts
求函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的定积分
是微积分学中的基本问题。
I = ∫ f ( x)dx
a
传统方法的困境 数值积分的基本思想 数值积分的一般形式 代数精度问题
h4 h4 I1 = + ah 2 [0 − 3h 2 ] = 4 2
对于 f ( x ) = x 4
I =∫
因此
h
0
h5 x 4 dx = 5
h5 h5 I1 = + ah 2 [0 − 4h 3 ] = 6 2
j = 0,1,2,3
I ( x j ) = I1 ( x j )
I ( x 4 ) ≠ I1 ( x 4 )
正是由于权系数的构造方法不同，从而决定了 数值积分的不同方法。
插值型求积公式 The quadrature by interpolating
polynomial 最常用的一种方法是利用插值多项式来构造数值求 积公式, 具体步骤如下:
在积分区间[ a , b ]上取一组节点 a ≤ x0 < x1 < L < xn ≤ b
以上这些现象, Newton-Leibniz很难发挥作用! 只能建立积分的近似计算方法-------数值积分正是为解决这样的困难而提出来的， 不仅如此，数值积分也是微分方程数值解法的工具之 一。
数值积分的基本思想
The ideas of numerical integration 数值积分----是计算定积分的具有一定精度的 近似值的各种计算方法。 从几何上看，就是计算曲边梯形面积的近似值。
a
n b k =0 a
b
b n
a
∑ f ( x )l ( x)dx
k =0 k k
= ∑ f ( xk )∫ lk ( x )dx
若记 Ak = ∫ lk ( x)dx ， 则
a
b
I [ f ] = ∫ f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( xk )
b a
k =0
n
(1)
(1)为数值求积公式. Ak为求积系数,且仅与求积节(结)点xk有关.
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∑ ∑
n
Ak = b − a , 1 A k x k = ( b 2 − a 2 ), 2
k =0 n
k =0
LLLLLL n 1 m ∑0 A k x k = m + 1 ( b m + 1 − a m + 1 ). k=
17
例1. 试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高.
最简单的办法，是用许多小矩形之和近似曲边梯形 的面积，如图7-0所示，这就是----矩形公式：
7
y
f(x) f0
a=x0
(1)
f1
x1
f2
x2
fi
xi
fi+1