向前差分,中心差分,龙贝格求积公式,梯形公式,Gauss求积公式共59页

龙贝格积分1. 算法原理采用复化求积公式计算时，为使截断误差不超过ε，需要估计被积函数高阶导数的最大值，从而确定把积分区间[]b a ,分成等长子区间的个数n 。

首先在整个区间[]b a ,上应用梯形公式，算出积分近似值T1；然后将[]b a ,分半，对 应用复化梯形公式算出T2；再将每个小区间分半，一般地，每次总是在前一次的基础上再将小区间分半，然后利用递推公式进行计算，直至相邻两个值之差小于允许误差为止。

实际计算中，常用ε≤-n n T T 2作为判别计算终止的条件。

若满足，则取n T f I 2][≈；否则将区间再分半进行计算，知道满足精度要求为止。

又经过推导可知，∑=-++=ni i i n n x x f h T T 112)2(221，在实际计算中，取kn 2=，则k a b h 2-=，112)1*2(2++--+=+k i i ab i a x x 。

所以，上式可以写为∑=++--+-+=+kk i k k ab i a f a b T T 211122)2)12((2211k开始计算时，取())()(21b f a f ab T +-=龙贝格算法是由递推算法得来的。

由梯形公式得出辛普森公式得出柯特斯公式最后得到龙贝格公式。

根据梯形法的误差公式，积分值n T 的截断误差大致与2h 成正比，因此步长减半后误差将减至四分之一，即有21114n n T T -≈-将上式移项整理，知2211()3n n n T T T -≈-由此可见，只要二分前后两个积分值n T 和2n T 相当接近，就可以保证计算保证结果计算结果2n T 的误差很小，这种直接用计算结果来估计误差的方法称作误差的事后估计法。

按上式，积分值2n T 的误差大致等于21()3n n T T -，如果用这个误差值作为2n T 的一种补偿，可以期望，所得的()222141333n n n n n T T T T T T =+-=-应当是更好的结果。

romberg求积公式Romberg求积公式是一种广泛应用于数值积分方面的定积分计算方法，它在概数学天才Tobias D. Romberg发明，经常被称为Romberg 积分或Romberg积分法。

Romberg积分法是基于把定积分表达为Riemann积分和Simpson积分序列之和的结果，以及构建出一个更加精确的方程来求积。

Romberg求积公式通过把更大的积分划分成更小的积分去求解定积分，并且不断的将每一个小积分的计算值相加，从而不断的提高准确性和精确度。

这也是Romberg求积公式的关键特征，而它的优点是可以更精确地求解定积分，比其他求积方法更快。

Romberg求积公式的基本步骤是，在求解积分过程中，首先将求解的积分区间分成两个子区间，然后对每个子区间求Simpson积分，用每个子区间的计算结果来求出一个总结果，之后不断分割每个子区间，直到每个子区间的计算结果满足用户指定的精确度要求为止。

Romberg求积公式使用抽样去确定每一个子区间内函数值的大小，其中，抽样点的位置不是固定的，而是从左端到右端按一定的步长去抽样，比如，如果步长为2，则说明抽样的点位于积分区间的左端、中点以及右端。

每次抽样后，都会得到一个比较准确的定积分值，从而使得Romberg求积公式效率高且精确度高。

Romberg求积公式可以在多种情况下使用，比如，在以下四个情况下，Romberg求积公式可以工作的更好：1. 积分区间的计算结果的增加率很小时，Romberg求积公式可以有效的减少计算次数，从而提高效率；2. 积分函数在积分区间内是非常精确的时候，Romberg求积公式可以快速的求得准确的计算结果；3. 积分函数在积分区间上有某些间断点和断点时，Romberg求积公式可以通过分段求解，较好地解决求积问题；4. 积分函数运行速度比较快、且积分区间较大时，Romberg求积公式可以利用自我调整机制，来调整步长，以减少计算次数，以及解决积分平滑度问题。

龙贝格(Romberg ）求积法1。

算法理论Romberg 求积方法是以复化梯形公式为基础，应用Richardson 外推法导出的数值求积方法.由复化梯形公式 )]()(2)([2222b f h a f a f h T +++=可以化为)]()]()([2[212112h a f h b f a f hT +++=＝)]([21211h a f h T ++一般地，把区间［a,b]逐次分半k －1次，（k ＝1，2，……,n)区间长度（步长）为kk m a b h -=，其中mk ＝2k －1。

记k T ＝)1(k T 由)1(k T ＝]))12(([21211)1(1∑=---++km j k k k h j a f h T 从而⎰badxx f )(＝)1(kT－)(''122k f h a b ξ- (1)按Richardson 外推思想，可将（1）看成关于k h ,误差为)(2k h O 的一个近似公式,因而,复化梯形公式的误差公式为⎰badxx f )(－)1(k T ＝......4221++k k h K h K ＝∑∞=12i i k i h K （2）取1+k h ＝k h 21有 ⎰ba dx x f )(－)1(1+k T ＝∑∞=+121221i ik ii hK （3）误差为)(2jh O 的误差公式 )(j kT＝)1(-j kT＋141)1(1)1(------j j k j k T T2.误差及收敛性分析(1)误差，对复化梯形公式误差估计时，是估计出每个子区间上的误差，然后将n 个子区间上的误差相加作为整个积分区间上的误差。

(2）收敛性，记h x i =∆,由于∑=++=ni i i n x f x f h f T 01))]()([2)(＝))()((21101∑∑-==∆+∆n i ni i i i i x x f x x f上面两个累加式都是积分和，由于)(x f 在区间],[b a 上可积可知,只要],[b a 的分划的最大子区间的长度0→λ时，也即∞→n 时,它们的极限都等于积分值)(f I 。

龙贝格积分公式
龙贝格积分公式，是数学中常见的一种积分方法。

它通过分割区间，将被积函数转化为$Polynomial$（多项式）的形式，并通过加权平均的方式求出积分值。

这种方法被广泛应用于科学计算领域，如物理、化学等。

龙贝格积分公式是从重复使用$Simpson$和$Mid-point$公式推导而来的。

该公式基于分治思想，将整个区间分成若干个子区间，并对每个子区间进行逐层递推，最终得出整个区间的积分值。

在推导龙贝格积分公式时，需要利用“函数逼近”的思想，即将被积函数转化为多项式的形式。

这样可以大大简化计算，减小误差，并提高计算精度。

公式的具体计算过程如下：
假设被积函数为$f(x)$，积分区间为$[a,b]$，将积分区间均分成$2^n$个小区间，在每个小区间上做$Simpson$公式近似积分，得到$S_{2^n}$，即：
$$S_{2^n}=\frac{4^nS_{2^{n-1}}-S_{2^{n-1}}}{4^n-1}$$
其中，$S_{2^n}$为$n$级逼近值，$S_{2^{n-1}}$为$n-1$级逼近值。

根据上式，可得$S_{2^1}$，然后再计算$S_{2^2}$，$S_{2^3}$，以此类推，递归地计算$n$级逼近值，直到计算所得值与精确值的差别小于预先设定的精度要求为止。

龙贝格积分公式没有强制要求$f(x)$连续可微，又由于是基于函数逼近的方式进行积分，精度高且计算速度快，因此被广泛应用。

总之，龙贝格积分公式是一种有效的求解复杂积分问题的方法，在处理高维积分时，具有更大的优势。

gauss型求积公式一、Gauss型求积公式的基本概念。

1. 定义。

- 在数值积分中，Gauss型求积公式是一种高精度的求积公式。

对于积分∫_a^bf(x)ρ(x)dx（其中ρ(x)为权函数），Gauss型求积公式的形式为∫_a^bf(x)ρ(x)dx≈∑_i = 1^nA_if(x_i)。

这里x_i称为求积节点，A_i称为求积系数，n为求积公式的节点个数。

2. 特点。

- 高精度：Gauss型求积公式具有很高的代数精度。

对于n个节点的Gauss型求积公式，其代数精度为2n - 1。

这意味着对于次数不超过2n-1的多项式f(x)，该求积公式能精确成立，即∫_a^bP_m(x)ρ(x)dx=∑_i = 1^nA_iP_m(x_i)，其中m≤slant2n - 1，P_m(x)是m次多项式。

- 节点分布：Gauss型求积公式的节点x_i不是等距分布的。

这些节点是关于权函数ρ(x)正交的多项式的零点。

例如，当ρ(x) = 1，[a,b]=[- 1,1]时，对应的正交多项式是勒让德多项式P_n(x)，Gauss型求积公式的节点就是勒让德多项式的零点。

二、求积节点与求积系数。

1. 求积节点的确定。

- 以勒让德 - Gauss求积公式为例（ρ(x)=1，[a,b]=[-1,1]），求积节点x_i是勒让德多项式P_n(x)的零点。

勒让德多项式P_n(x)可以通过递推公式(n + 1)P_n +1(x)=(2n + 1)xP_n(x)-nP_n - 1(x)，P_0(x)=1，P_1(x)=x来计算。

通过求解P_n(x)=0得到求积节点x_i。

2. 求积系数的计算。

- 求积系数A_i可以通过多种方法计算。

一种常见的方法是利用正交性条件。

对于勒让德 - Gauss求积公式，求积系数A_i可以通过公式A_i=(2)/((1 -x_i)^2)[P_{n'(x_i)]^2}计算，其中P_n'(x)是勒让德多项式P_n(x)的导数。