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高量6--连续性方程

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高数函数极限与连续

高数函数极限与连续
表示方法
通常用符号"lim(x->x0) f(x) = f(x0)"表示函数f(x)在点x0处连 续。
间断点类型及判定方法
第一类间断点
左右极限都存在，包括可去间断 点（左右极限相等但不等于函数 值）和跳跃间断点（左右极限不 相等）。
第二类间断点
左右极限至少有一个不存在，包 括无穷间断点（极限为无穷大） 和震荡间断点（极限震荡不存 在）。
高数函数极限与连续
contents
目录
• 函数极限概念与性质 • 数列极限与收敛性判断 • 函数连续性概念与性质 • 闭区间上连续函数性质研究 • 极限与连续在实际问题中应用 • 总结回顾与拓展延伸
01 函数极限概念与性质
函数极限定义及表示方法
函数极限的定义
设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数 ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ时，对应的函 数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限。
数列极限的符号表示
若数列{an}的极限为a，则记作lim(n→∞)an=a。
收敛数列性质与判定定理
1 2 3
收敛数列的有界性
收敛数列一定是有界数列，但反之不一定成立。
收敛数列的保号性
若数列收敛于a，且a>0（或a<0），则存在正 整数N，使得当n>N时，数列的通项an也大于0 （或小于0）。
判定定理
洛必达法则
对于0/0型或∞/∞型的未定式极限，可通过 求导后求极限来解决。
因式分解法
通过因式分解简化数列的通项表达式，进而 求极限。

《高等流体力学》第2章 流体动力学积分形式的基本方程

《高等流体力学》第2章 流体动力学积分形式的基本方程
τ0
（φ 为广延量）
取τ= τ0(t)为控制体， A= A0(t)为控制面：
A2 ( A02 )
τ 03
′ A02
v∆t
A1 ( A01 )
′ A01
n
τ 02
v∆t
τ 01
dA0
τ = τ 0 (t )
A = A0 ( t )
n
′ ( t + ∆t ) = A′ A0
∆ = I I ( t + ∆t ) − I ( = t)
I在∆t内的增量为：
∫∫∫τ
01 +τ 02
φ ( r , t + ∆t ) dτ 0 − ∫∫∫
τ 01 +τ 03
φ ( r , t ) dτ 0
∫∫∫τ
φ ( r , t + ∆t ) − φ ( r , t ) dτ 0 + ∫∫∫ φ ( r , t + ∆t ) dτ 0 τ 02 01
D ∂φ Dφ φ dτ 0 = + ∇ φ= v + φ∇ ⋅ v ⇒ ∫∫∫ τ 0 Dt ∂t Dt Dt ∂t
( )
Dφ + φ∇ ⋅ v dτ ∫∫∫τ Dt
Dρ + ρ∇ ⋅ v = 0 （微分形式连续方程） 如果 φ = ρ ，则： Dt (2) D D ( ρφ ) ρφ dτ 0 ∫∫∫ = + ρφ∇ ⋅ v dτ ∫∫∫ τ τ 0 Dt Dt ρ Dφ ρ Dφ Dρ dτ = ∫∫∫ +φ + ρ∇ = ⋅ v dτ ∫∫∫ τ τ Dt Dt Dt
∂x′ ′ = ∇xα iβ α i′α = ∂xβ ∂φ ∂x′ ∂φ ∂φ ∴∇′φ = i′α = iβ α = iβ = ∇φ ′ ′ ∂xα ∂xβ ∂xα ∂xβ

流体力学 连续性方程

流体力学 连续性方程

第3章流体动力学基础教学要点一、教学目的和任务1、本章目的1）使学生掌握研究流体运动的方法2）了解流体流动的基本概念3）通过分析得到理想流体运动的基本规律4）为后续流动阻力计算、管路计算打下牢固的基础2、本章任务1）了解描述流体运动的两种方法；2）理解描述流体流动的一些基本概念，如恒定流与非恒定流、流线与迹线、流管、流束与总流、过水断面、流量及断面平均流速等；3）掌握连续性方程、伯努利方程、动量方程，并能熟练应用于求解工程实际问题动量方程的应用二、重点、难点1、重点：流体流动中的几个基本概念，连续性方程，伯努利方程及其应用，动量方程及其应用。

2、难点：连续性方程、伯努利方程以及与动量方程的联立应用。

三、教学方法本章讲述流体动力学基本理论及工程应用，概念多，容易混淆，而且与实际联系密切。

所以，必须讲清楚每一概念及各概念之间的联系和区别，注意讲情分析问题和解决问题的方法，选择合适的例题和作业题。

流体动力学：是研究流体运动规律及流体运动与力的关系的力学。

研究方法：实际流体→理想流体→实验修正→实际流体流体动力学:研究流体运动规律及流体与力的关系的力学。

3.1 流体运动要素及研究流体运动的方法一、流体运动要素表征流体运动状态的物理量，一般包括v、a、p、ρ、γ和F等。

研究流体的运动规律，就是要确定这些运动要素。

（1）每一运动要素都随空间与时间在变化；（2）各要素之间存在着本质联系。

流场：将充满运动的连续流体的空间。

在流场中，每个流体质点均有确定的运动要素。

二、研究流体运动的两种方法研究流体运动的两种方法：拉格朗日法和欧拉法。

（1，质点的运动要素是初始点坐标和时间的函数。

用于研究流体的波动和震荡等（2）欧拉法（“站岗”的方法）欧拉法是以流场中每一空间位置作为研究对象，而不是跟随个别质点。

其要点：分析流动空间某固定位置处，流体运动要素随时间的变化规律；分析流体由某一空间位置运动到另一空间位置时，运动要素随位置的变化规律。

连续性方程能量方程

连续性方程能量方程
28
∴流量 Q = v2 A2
=7×π×0.052 / 4=0.0137m3/s
由连续方程 v2 = v A = v ( D )2 4v
A2
d
解得水平管段：v =1.75m/s
确定测压管高度Δh：
以2-2断面为基准，建立3－3和2－2断面 的能量方程
29
H 3 Δh
3
h
0 22 0
z3=h=1m
E1=E2 +hw ， 即E1 > E2
——单位重量液体的总机械能
伯努利方程式表示单位重液体体所具有的位能、 压能及动能之和即总机械能沿程减小。不同断面的单 位重液体体总机械能差就是能量损失，伯努利方程式 是能量守衡定律在水力学中的应用，又称为能量方程。
请判断下列说法哪一个是正确的， 并说明为什么？
6.能量方程的主要应用： (a) 求解：平均流速，动水压强，
作用水头，水头损失，流向等
(b) 毕托管（流速仪） (c) 文丘里流量计 (d) 孔口出流，水泵与虹吸管 计算等
例2：输水圆管全管路 hw =3.5m。已知
H =5m，h =1m，D =0.1m，d =0.05m, 求
管中流量？若测压管到出口间的水头损失 hw’=0.2m，求测压管高度△h。
h
H
b
A1
M A2
[例]
7.能量方程的推广：
34
1）沿程有流量输入或输出的能量方程
（１）沿程有分流的：
q 1
q 2
q 3
q1 1
对断面1-2，1-3分别列
1
出伯努利方程式：
2 q2 32
3 q3
z
1
p1
2
α1 v1 2g

化工原理(华理)-流体流动- [考研大题]

化工原理(华理)-流体流动- [考研大题]
hf = ∆p l u2 = h1 − h2 = λ ρg d 2g Q u ↓⇒（h1 − h2 ) ↓
2、B阀关小，u↓，上游压力↑ 所以h1↑, h2↑
hf = ∆p l u2 = h1 − h2 = λ ρg d 2g Q u ↓⇒（h1 − h2 ) ↓
判断： 已知管道有阻塞 ①判断上游、下游？ ②判断阻塞位置？ 管道发生异常，应在P1 和P2之间。 管道阻塞，阻力增大， 上 游 P ↑ ,下 游 P ↓ 所以，流体流动从P1→P2
Pa + 65334.6 = Pa + ( 1.5 + 0.02 uB = 3.85 m / s
（1）阀门部分开，PB压力变化
35 + 1.5 1000 2 )× uB 0.1 2
ρ 2 u + ρΣh f1−2 2 2
p B '＝ Pa ＋13600 × 9 .81 × 0 . 4－1000 × 9 .81 × 1 .4＝ Pa ＋ 39632 . 4
判断：
ζ1 ↑ , qV__,qV1__, qV2__,qV3__ 阀门1关小，支管流量↓，总流量↓
平行管路h f 相等，h f 1 = h f 2 = h f 3 h f 1 ↑⇒ h f 2 = λ l u2 , h f 2 ↑⇒ u 2 ↑∴ qv 2 ↑ d 2
2
3
结论 ： 支路中 局部 阻 力 系数 ↑， 如 阀门 关 小 该 支 管内 流量↓， 总 管 流 量 ↓， 其余 支 路流 量 ↑， 阀门 上游 压力 ↑， 下 游压 力 ↓。 这个规 律具 有 普 遍性 。
流体在均匀直管内作定态流动，平均速度沿流程保持 定值，并不因内摩擦而减速
实际流体
He + z1 g +

化工原理 第一章 管内流体流动的基本方程式

化工原理 第一章 管内流体流动的基本方程式
丹尼尔的数学研究包含微积分、微分方程、概率、弦振动 理论，在气体运动论方面的尝试和应用数学领域中的许多其 它问题。丹尼尔被称为数学物理的奠基人。
伯努力家族的成员，有一半以上的天赋超越一般人的水准 ，至少超过120人以上的伯努力家族后裔，在法律、学术、科 学、文学、专门技术等方面享有名望。
2019/8/3
内的速度。
1
2
3a
3b 附图
2019/8/3
解： 管1的内径为
d1 89 2 4 81mm
则水在管1中的流速为：
u1
4qV
d12

9 103 0.785 0.0812
1.75m/s
管2的内径为： d2 108 2 4 100mm
则水在管2中的流速为：
u2

u1
(
d1 d2
)2
1.75 ( 81 )2 100
1.15m/s
2019/8/3
管3a及3b的内径为：
d3 57 2 3.5 50mm
又水在分支管路3a、3b中的流量相等，则有：
u2 A2 2u3 A3
即水在管3a和3b中的流速为：
u3

u2 2
(d2 d3
)2

质量流速：单位时间内流体流过管道单位面积的质量流量
用w表示，单位为kg/(m2.s)。
数学表达式为：w qm qV u
AA
对于圆形管道， A d 2
4
u

qV
d2
d 4qV
u
4
——管道直径的计算式
生产实际中，管道直径应如何确定？
2019/8/3
3、管径的估算 （1）管径的选择原则

第一章 流体流动


气体密度 一般温度不太低，压强不太高时气体可按理想气 体考虑，所以理想气体密度可由理想气体状态方程 导出： T0 p M pM m
v
RT
0
Tp 0
0 22.4 ，kg / m
3
混合气体密度
ρm= ρ1y1+ ρ2y2+ …+ ρnyn
MT0 p 22.4Tp 0
式 y1、y2……yn——气体混合物各组分的体积分数 ρ1、 ρ2、…、 ρn—气体混合物中各组分的密度，kg/m3; ρm——气体混合物的平均密度，kg/m3；
2.2 流体静力学基本方程的应用
1、压力的测量 (1) U型管压差计 构造： U型玻璃管内盛指示液A 指示液：指示液A(蓝色)与被测液B(白)互不相溶，且ρA＞ρB 原理：图中a、b两点在相连通的同一静止流体内，并且在 同一水平面上，故a、b两点静压力相等，pa=pb。 对a、b两点分别由静力学基本方程，可得 pa= p1+ρB· g(Z+R) pb= p2+ρB· gZ+ρAgR
三、流体的研究方法
连续介质假说：流体由无数个连续的质点组
成。﹠质点的运动过程是连 续的 质点：由许多个分子组成的微团，其尺寸比 容器小的多，比分子自由程大的多。 （宏观尺寸非常小，微观尺寸又足够大）
四、流体的物理性质
◆密度ρ 单位体积流体的质量，称为流体的密度，其表 m 达式为
V
式中 ρ——流体的密度，kg/m3; m——流体的质量，kg; V——流体的体积，m3。 流体的密度除取决于自身的物性外，还与其温 度和压力有关。液体的密度随压力变化很小，可 忽略不计，但随温度稍有改变；气体的密度随温 度和压力变化较大。
pA=p0+ ρgz pB=p0+ ρi gR 又∵ pA=pB

连续性方程公式

连续性方程公式
连续性方程公式是一种基本的方程，它描述了不受外力影响，封闭系统中物质的连续流动。

连续性方程公式表明，物质的流动受到物质密度、流速和压力等物理量的影响。

这个方程公式为科学家提供了深入了解物质流动规律的重要方法。

连续性方程公式是微分方程的一种，它是高等数学中关于流体动力学的核心理论。

连续性方程的一般形式为：
T/t + VT=(λT)
其中，T代表一个物质的总数，t时间，V物质的流速，λ物质的导热系数，代表的是梯度算子。

连续性方程的特点是它表明物质的流动受到物质的产品因子（即流速）和物质之间的相互作用（即压力）的影响。

连续性方程公式在工程中同样重要，其用于解释流体系统中的动量和能量传输，以及热传导和物理过程中物质的流动。

解决连续性方程可以帮助科学家们更好地掌握物质流动的规律，例如连续性方程可以用来解释流体中的热传导及其作用。

在飞机设计方面，连续性方程也有重要意义。

在飞机翼的设计中，连续性方程被用来模拟气动流动，以保证飞机翼的低阻力性能、高抗性性能和低摩擦系数等。

当飞机在空中飞行时，连续性方程可以帮助飞行员准确地控制飞机的垂直和水平姿态，同时实现最佳油耗。

在热力学和化学方面，连续性方程也拥有重要的应用。

例如，连续性方程可以用来解释气体的扩散和流动，以及物质在某一温度压力
下的变化。

连续性方程还可以用来求解流体的稳定性，解释温度的变化以及流体环境中的热量传递。

总之，连续性方程是物理学、工程学和化学中一类重要的方程。

它具有丰富的实际应用，为研究物质流动提供了有力的支持。

《化工原理》课件—01流体流动(连续性方程+能量衡算)


1 2
u12
p1
Ws
gz2
1 2
u22
p2
W f ,12
gz1
1 2
u12
p1
gz2
1 2
u22
p2
1、计算输送流体所需的功Ws或功率P； 2、计算流体流速、压强、所处位置高度； 3、分析机械能之间相互转化的规律等。
应用举例
1、确定输送设备的功率 P
用泵将碱液池的碱液输送至吸收塔顶，经喷 咀喷出，泵的进口管为108×4.5mm的钢管， 流速为1.5m/s, 出口管为76×2.5mm，储 液池碱液深度1.5m，池底至喷咀的垂直距 离20m,流动阻力损失30J/kg，喷咀处表压 0的.3效k率gf为/c6m52%，。碱液密度ρ=1100kg/m3,泵
p2v2
p2
p2
pdv d( pv) vdp ( pv) vdp
v1
p1v1
p1
p1
即：
Q
Ws
U
gZ
1 2
u2
( pv)
U Q W
p2
Q (( pv) vdp W f 12 )
p1
两式合并，有：
Q Ws Q (( pv)
p2
vdp
p1
W
f
12 )
gZ
1 2
u2
(
pv)
gz1
1 2
u12
p1
gz2
1 2
u22
p2
gz为单位质量流体所具有的位能； p/ρ为单位质量流体所具有的静压能；
u2/2为单位质量流体所具有的动能。
gz1
1 2
u12
p1
gz2
1 2

高等数学函数的连续性

Dx Dx cos( x0 + ). 对应的函数增量为Dy = sin( x0 + Dx ) - sin x0= 2sin 2 2 Dx Dx 当Dx 0时， sin 0 因为 cos( x0 + ) 1 2 2
当Dx 0时，有Dy 0，
所以函数y = sin x在其定义域内是连续的。
2
例8、 x ( 2 + x - x) lim
x +
（有理化，去掉零因子）
= lim
x ( 2 + x 2 - x )( 2 + x 2 + x ) ( 2 + x 2 + x)
x +
= lim
2x ( 2 + x 2 + x)
x +
= lim
2 2 ( + 1 + 1) 2 x
= lim
x 0
x 0
sin x ~ x
x2 (1 - cos x) ~ 2
= lim
x 0
x x
2
2
2
( 1 + x sin x + 1)
2 = lim x 0 1 + x sin x + 1
=1
x 时，有理函数的极限
1 1 + 3 x3 + x lim 4 = lim x x =0 2 x x - 3 x + 1 x 3 1 1- 2 + 4 x x
定理的几何意义： 连续曲线f(x)与水平直线 y=c至少相交于一点。
[推论]（零点定理） 设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a) f(b)<0 则在 开区间(a b)内至少一点x 使f(x)=0
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5
i q * [ (r ' , t )' (r ' , t )] 2m i q * (r , t ) (r r ' ) (r , t ) d 3 r 2m
利用分部积分法，有 * (r , t ) (r r ' ) (r , t ) d3 r * (r r ' ) (r , t ) (r , t ) d 3 r * (r ' , t ) (r ' , t ) 所以 iq * * J [ (r ' , t )' (r ' , t ) (r ' , t )' (r ' , t )] 2m
I i A (t ) [ H 0I , A I (t )] t
式中
I S H0 H0 , H1I U0 1 (t )H1S (t )U0 (t )
以下两式
i | (t ) I H1I | (t ) I t
I i A (t ) [ H 0I , A I (t )] t
(x' ) q (X x' ) q j(x' ) [ ( X x' )P P ( X x' )]
2m
写成HP下的形式是
1
H (x' , t ) q (XH x' )
H q J (x' , t ) [ ( X H (t ) x' )P H (t ) P H (t ) ( X H (t ) x' )] 2m
IP中态矢量和算符的运动方程可以对以下两式
| (t ) I e AI (t ) e
i S H0 t
| (t ) S
i S H0 t
Ae
i S H0 t S
求导给出。 因为
i S I | (t ) H 0 e t
i S H0 t i S H0 t
Ae
i S H0 t S
所用的算符为
U 0 (t ) e
i S H0 t
注意与HP的区别
在指数上出现的不是系统的哈密顿H，而是H0。这 样一来，相互作用绘景中的态矢量和算符就都是随 时间演化的了。 当然如果没有微扰的话，算符的表示就与海森堡 绘景一样了。这一点很重要！
10
2. 运动方程
而态矢量随时间的变化规律则与 SP中的运动方程相 I 同, 但必须将那里的 H S 换成H1 。这也就是相互作用 绘景的优越性所在。
如果未加微扰的系统经过充分研究，而 HP 中各算 符之间的关系已经求得，则加上微扰后这些关系多数 要发生改变。
15
这时若采用IP, 则各算符在IP中的关系与未加微 扰系统的 HP 中的算符关系一样，因此可将那里的 公式直接移过来； 而对于态矢量来说，IP的运动方程中只有一个小 的微扰算符 H1I，便于近似求解。 2. 根据IP中态矢量随时间的变化规律，在SP中已经 清楚的有关态矢量的关系式, 只要把其中的 H S 换成 H1I就可以移过来成为IP中的公式。 例如在IP中，态矢量的演化关系为
i
i
利用
U 0 (t )U 0
1
(t ) 1, H | (t ) i | (t ) S t
S S
以及公式
i
U 0 (t ) e
i S H0 t
有
i
S S H0 t H0 t I S S i | (t ) e ( H 0 ) | (t ) e (i | (t ) S ) t t
6
3. 现在取连续性方程
H d H (t ) 'J (t ) 0 dt 在任意态中的平均值
d (r ' , t ) ' J (r ' , t ) 0 dt (r ' , t ) 和 J (r ' , t )的意义可知，连续性方程只是 从
表示平均来说电荷在空间中守恒，与电动力学中 d (r ' , t ) 'J (r ' , t ) 0 dt
分别是态矢量和算符的运动方程。 与海森堡方程作比较
H i A (t ) [ H H , AH (t )] t 在IP中，不论 H 1S是否含时，系统的哈密顿 H1I (t )都
是含时的，但 H 0I 仍是不含时的，它等于H 0S ( H0H )。
14
二、几点说明
1. 在相互作用绘景中，算符随时间的变化规律与HP I 绘景中运动方程相同,但必须将那里的 H H 换成 H 0；
| (t ) e
S
| (t ) S t
i e
i S H0 t
H | (t ) e
S 0 S
i S H0 t
| (t ) S t
11
S H0 t i H 0S t S I S S | (t ) e H 0 | (t ) e | (t ) t t
S (t ) | S | (t ) S * q (r , t ) ( R r ' ) (r , t ) d 3 r * q (r ' , t ) (r ' , t )
式中 r ' 是场点， 是场点的函数。
2.
iq * J (r ' , t ) (r , t )[ (r r ' ) 2m (r r ' )] (r , t ) d 3 r
﹟
8
§11.6 相互作用绘景
当系统的哈密顿HS可以分成两部分 S H S H0 H1S 其主要部分 H 0S不含时间而又经过充分研究，且微扰 部分 H1S只给出较小影响时, 可以建立一种新的绘景， 称为相互作用绘景（Interaction picture, IP），它是 Dirac提出的，因而又叫Dirac绘景.
U (t )(H H )[U0 (t )U (t )] | (t )
1 0 S 0 S 1 0
S
即
i | (t ) I H1I | (t ) I t
12
而由
AI (t ) e
i
i S H0 t
i
Ae
i S H0 t S
i i
S S S H 0 t A H0 t I i S H 0S t S H 0S t 得 A (t ) H 0 e A e e e t t i S i H0 t i S H 0S t e A S ( H 0 )e i S i S i S i S H0 t H0 t H0 t H0 t i i S S e H0 A e e AS H 0S e i S i S S H 0 t A H0 t e e t i i S i S i S S H0 t H 0 t A H0 t i H 0S t S S e ( H 0 A AS H 0S )e e e t AS 考虑到AS不显含时间t, 即 0 t I i A (t ) [ H 0I , A I (t )] 所以 13 t
H (t ) 对时间导数。利用Heisenberg方程，有 现在求
d H (t ) i [ H , H (t )] dt i 1 H [ [ P (t )] 2 , H (t )] 2m H H H i H H H P (t )[ P (t ), (t )] [ P (t ), (t )] P (t ) 2m i f ( x) 的三维形式，有 利用 [ f ( x), p ] x
当H 0时
I 1
H H0
| H 0 t i A H (t ) [ H H , A H (t )] t 17 i
一、 相互作用绘景中的运动方程 1. IP中的态矢量和算符 IP中态矢量 | (t ) I 和算符 A I (t ) 是由SP中的 | (t ) S 和 A S 经过下列变换得到的：
9
| (t ) I e AI (t ) e
i S H0 t
| (t ) S
i S H0 t


Байду номын сангаас

由此得
H d H (t ) 'J (t ) 0 dt
这就是电荷的连续性方程的算符形式，其意义可以
将方程在任意态 | H 下求平均值而看出。
4
H 二、 (t ) 和 J (t ) 在任意态中的平均值
H
由于平均值是与绘景无关的，故 (r ' , t )H | H (t ) | H 1.
§11.5 连续性方程 一、连续性方程的算符形式 我们知道，在经典力学中，带电粒子的电荷密度和 电流密度可以分别写为 ( x' ) q ( x x' ) q j j ( x' ) ( x x' ) p m 而在SP下采用Weyl规则(p70),二者相应的算符形式是
| (t ) I U I (t ,0) | (0) I
16
演化算符 U I (t0 )的公式可由级数解给出, 而且由于 H1I (t ) 较小，收敛很快。 3. 当系统未受微扰时，IP与HP是等价的。此时系统 的
| (t )
S
| i (t ) S e
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