流体力学7.1-连续性方程的推导

第3章流体动力学基础教学要点一、教学目的和任务1、本章目的1）使学生掌握研究流体运动的方法2）了解流体流动的基本概念3）通过分析得到理想流体运动的基本规律4）为后续流动阻力计算、管路计算打下牢固的基础2、本章任务1）了解描述流体运动的两种方法；2）理解描述流体流动的一些基本概念，如恒定流与非恒定流、流线与迹线、流管、流束与总流、过水断面、流量及断面平均流速等；3）掌握连续性方程、伯努利方程、动量方程，并能熟练应用于求解工程实际问题动量方程的应用二、重点、难点1、重点：流体流动中的几个基本概念，连续性方程，伯努利方程及其应用，动量方程及其应用。

2、难点：连续性方程、伯努利方程以及与动量方程的联立应用。

三、教学方法本章讲述流体动力学基本理论及工程应用，概念多，容易混淆，而且与实际联系密切。

所以，必须讲清楚每一概念及各概念之间的联系和区别，注意讲情分析问题和解决问题的方法，选择合适的例题和作业题。

流体动力学：是研究流体运动规律及流体运动与力的关系的力学。

研究方法：实际流体→理想流体→实验修正→实际流体流体动力学:研究流体运动规律及流体与力的关系的力学。

3.1 流体运动要素及研究流体运动的方法一、流体运动要素表征流体运动状态的物理量，一般包括v、a、p、ρ、γ和F等。

研究流体的运动规律，就是要确定这些运动要素。

（1）每一运动要素都随空间与时间在变化；（2）各要素之间存在着本质联系。

流场：将充满运动的连续流体的空间。

在流场中，每个流体质点均有确定的运动要素。

二、研究流体运动的两种方法研究流体运动的两种方法：拉格朗日法和欧拉法。

（1，质点的运动要素是初始点坐标和时间的函数。

用于研究流体的波动和震荡等（2）欧拉法（“站岗”的方法）欧拉法是以流场中每一空间位置作为研究对象，而不是跟随个别质点。

其要点：分析流动空间某固定位置处，流体运动要素随时间的变化规律；分析流体由某一空间位置运动到另一空间位置时，运动要素随位置的变化规律。

流体力学最基本的三个方程流体力学是研究流体运动及其相关物理现象的学科。

它的基础有三个最基本的方程，即连续性方程、动量守恒方程和能量守恒方程。

本文将详细介绍这三个方程的含义和应用。

一、连续性方程：连续性方程，也称为质量守恒方程，描述了流体运动中质量守恒的原理。

它的数学表达式为：∂ρ/∂t+∇·(ρv)=0其中，ρ是流体的密度，v是流体的速度矢量，∂/∂t表示对时间的偏导数，∇·表示向量的散度。

连续性方程的物理意义是说，质量在流体中是守恒的，即单位体积内的质量永远不会改变。

这是由于流体是连续的，无法出现质量的增减。

这个方程告诉我们，流体在流动过程中的速度变化与流体密度变化是相关的。

当流体流动速度较大时，密度通常会变小，反之亦然。

连续性方程的应用十分广泛。

在管道流动中，我们可以利用连续性方程来推导流速和截面积之间的关系。

在天气预报中，连续性方程被用来描述气象现象，如大气的上升和下沉运动，以及风的生成和消散等。

二、动量守恒方程：动量守恒方程描述了流体运动中动量守恒的原理。

它的数学表达式为：∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇p + ∇·(μ∇v) + ρg其中，p是流体的压强，μ是流体的黏度，g是重力加速度。

动量守恒方程可以理解为牛顿第二定律在流体力学中的推广。

它表示流体在外力作用下的加速度与压力梯度、黏性力、重力的平衡关系。

动量守恒方程的物理意义是说，流体的运动与施加在流体上的各种力密切相关。

当外力作用于流体时，会引起流体的加速度，也即速度的变化。

这个方程告诉我们，流体的加速度是与外力、黏性力和重力共同作用而产生的。

动量守恒方程的应用十分广泛。

在飞行器设计中，我们可以利用动量守恒方程来研究气动力的产生和改变。

在水力学中，动量守恒方程可以用来分析水流的运动、喷流和冲击等。

三、能量守恒方程：能量守恒方程描述了流体运动中能量守恒的原理。

它的数学表达式为：∂(ρE)/∂t + ∇·(ρEv) = -∇·(pv) + ∇·(κ∇T) + ρg·v +q其中，E是单位质量流体的比总能量（包括内能、动能和位能），T是流体的温度，κ是流体的热传导系数，q是单位质量流体的热源项。

流体力学动量方程的积分推导理论说明1. 引言1.1 概述本文旨在探讨流体力学中的动量方程，并对其进行积分推导和理论说明。

流体力学是研究液体和气体运动规律的学科，对于各个领域都具有重要意义，如工程、地质等。

而动量方程是描述流体运动的基本方程之一，通过对其积分推导可以得到更加普适且应用广泛的形式。

1.2 文章结构本文主要由四部分组成：引言、流体力学动量方程的积分推导、理论说明和结论。

首先，在引言部分，我们将简要介绍文章的概述、目的以及结构安排，为读者提供一个整体的了解和预期。

然后，在流体力学动量方程的积分推导部分，我们将深入探讨动量守恒定律、Eulerian描述和Lagrangian描述，并详细介绍积分推导过程。

接下来，在理论说明部分，我们将解释动量守恒方程的意义和应用场景，并探讨积分形式与微分形式之间的关系以及考虑动量通量项和边界条件时所需注意的问题。

最后，在结论部分，我们将总结动量方程积分推导的过程，并讨论实际应用中可能遇到的局限性和改进方法，同时探讨流体力学研究的重要性和未来展望。

1.3 目的本文的目的在于提供读者对流体力学动量方程积分推导及其理论说明的全面了解。

通过对动量守恒定律、Eulerian描述和Lagrangian描述进行讨论，我们将详细探究动量方程的积分推导过程，并阐述其在实际应用中的意义和应用场景。

通过理论说明部分，我们将帮助读者理解积分形式与微分形式之间的关系以及考虑边界条件时需要注意的问题。

最后，我们将总结动量方程积分推导过程，并就实际应用中可能遇到的局限性提出一些改进方法，并强调流体力学研究在现实世界中所起到的重要性和未来展望。

通过阅读本文，读者将对流体力学动量方程有一个更加深入和全面的了解。

2. 流体力学动量方程的积分推导:2.1 动量守恒定律:在流体力学中，动量守恒是一个基本原理。

根据牛顿第二定律和质点的动能定理，我们可以得出流体力学中的动量守恒定律。

该定律表明，在一个封闭系统中，流体粒子总动量的变化率等于作用在其上的合外力矢量之和。

《流体力学》连续方程推导的巧方法施春华,高庆九,李忠贤(南京信息工程大学大气科学学院,江苏南京 210044)摘要:针对柱坐标系和球坐标系下《流体力学》中连续方程形式复杂、理解不便的特点,采用欧拉控制体方法,把“质量通量”整体作为一物理量,从而巧妙地推导了这两类连续方程,该过程物理意义明确、数学算法简单,有助于学生理解。

关键词:连续方程;柱坐标系;球坐标系在大学《流体力学》教学中,连续方程是最基本的内容之一,在很多相关专业课程中得到广泛应用。

相对而言,在直角坐标系中的连续方程形式简单,也易于理解,但在柱坐标系和球坐标系中,连续方程的形式却相对复杂,理解相对困难。

目前,很多参考书[123]对于后两类连续方程要么没有给出具体推导,要么推导过程较为复杂,使数理基础较薄弱的学生难以理解,在此,笔者结合教学中的实际经验,演示柱坐标系和球坐标系下一种物理意义明确、数学理解简单的连续方程的推导过程。

1 连续方程的一般算子形式流体运动的连续方程,是表示流体运动和其质量分布的关系式。

在拉格朗日方法中,某流体块在运动时其体积和形状尽管可发生变化,但它始终由这些流点构成,因此它的质量不变。

由此可见,连续方程实质上是质量守恒定律在“连续介质”(流体)中的应用。

一般的拉格朗日方法考虑,某个别流体微团(质量体)在运动过程中,其随体密度的变化,必然与其体积变化趋势相反,如体积膨胀,它的密度减小,体积收缩,则密度增大。

其算子形式的通用表达式[1](1)一般的欧拉方法考虑,对于某固定位置的空间单位体积元(控制体)来说,该体积元内单位时间的质量变化,与该体积元边界上的质量通量变化相联系,如质量往外流,它的密度减小,反之则增大。

其算子形式的通用表达式[1](2)两种方法的区别:拉格朗日方法多从物理量的定义出发,模型简单容易理解,但数学解析在实际应用中有些困难;欧拉方法则通过适当的数学建模后,能在数学上给出方便的解析,有利于从数学角度更好地理解概念。

《流体力学》连续方程推导的巧方法施春华,高庆九,李忠贤(南京信息工程大学大气科学学院,江苏南京210044)摘要:针对柱坐标系和球坐标系下《流体力学》中连续方程形式复杂、理解不便的特点,采用欧拉控制体方法,把“质量通量”整体作为一物理量,从而巧妙地推导了这两类连续方程,该过程物理意义明确、数学算法简单,有助于学生理解。

关键词:连续方程;柱坐标系;球坐标系在大学《流体力学》教学中,连续方程是最基本的内容之一,在很多相关专业课程中得到广泛应用。

相对而言,在直角坐标系中的连续方程形式简单,也易于理解,但在柱坐标系和球坐标系中,连续方程的形式却相对复杂,理解相对困难。

目前,很多参考书[123]对于后两类连续方程要么没有给出具体推导,要么推导过程较为复杂,使数理基础较薄弱的学生难以理解,在此,笔者结合教学中的实际经验,演示柱坐标系和球坐标系下一种物理意义明确、数学理解简单的连续方程的推导过程。

1 连续方程的一般算子形式流体运动的连续方程,是表示流体运动和其质量分布的关系式。

在拉格朗日方法中,某流体块在运动时其体积和形状尽管可发生变化,但它始终由这些流点构成,因此它的质量不变。

由此可见,连续方程实质上是质量守恒定律在“连续介质”(流体)中的应用。

一般的拉格朗日方法考虑,某个别流体微团(质量体)在运动过程中,其随体密度的变化,必然与其体积变化趋势相反,如体积膨胀,它的密度减小,体积收缩,则密度增大。

其算子形式的通用表达式[1](1)一般的欧拉方法考虑,对于某固定位置的空间单位体积元(控制体)来说,该体积元内单位时间的质量变化,与该体积元边界上的质量通量变化相联系,如质量往外流,它的密度减小,反之则增大。

其算子形式的通用表达式[1](2)两种方法的区别:拉格朗日方法多从物理量的定义出发,模型简单容易理解,但数学解析在实际应用中有些困难;欧拉方法则通过适当的数学建模后,能在数学上给出方便的解析,有利于从数学角度更好地理解概念。

简单介绍流体的连续性方程
流体的连续性方程是流体力学中的一种基本方程，也可称为流体
守恒方程，它可以用来描述流体运行时的总量不变。

这个方程是由著
名斯特古特定律推导出来，其本质是描述流体受速度、密度等性质变
化所受到的作用和守恒相关的质量，可以表示成称为流体的压力的
函数。

该方程式的积分可以用来确定流体的特殊性质，如流量、温度、密度等。

将连续性方程作为子方程与动量方程以及能量守恒方程配合，可以构成流体力学的完整的解析解。

流体的连续性方程的研究始于十九世纪，在当时是用来解释热液
体流动规律，主要是推出了牛顿流体力学。

牛顿流体力学发展成为具
有机构形式的流体力学学科，其子物理概念包括特殊状态、 sound speed 、 entropy 、 viscosity 、 thermal expansion 。

19世纪末，在维护物理准则范畴内，费米、洛伦兹等人提出了另一种基本概念，
即物质守恒定律，提出了流体的连续性方程来描述流体的守恒。

20世纪，斯托克的定律得到普遍的认可，这为研究流体的流动建立了
基本的模型，流体的连续性方程及其拓展就成为了流体力学的重要组
成部分。

在传热、流体的传质等工程实践中，这一守恒方程经常利用
积分性质求解流体的流动特性，其直接影响着数值模拟和计算机模拟
及工程设计。

总之，流体的连续性方程是流体力学守恒方程，用来描述流体质
量变化，它以斯特古特定律为基础，守恒关系的积分可以用来求解流
体的流动特性。

这是利用工程数学方法模拟流体运动的重要依据，也
是流体力学重要的技术要素。

连续性方程是能量守恒定律在流体力学中的一种表达形式能量守恒定律（EnergyConservationLaw）是一个重要的物理定律，其原理是：总能量是定值，可以在系统内部流动，但不可以消失或者出现。

由于能量守恒定律的存在，在流体力学中有一种被称为“连续性方程”的表达形式，它描述了流体的性质和流动状态。

连续性方程的基本原理是：给定区域内的流体的质量、能量和动量都是保持不变的，因此流体的流动速度和性质随时间和空间变化受到限制。

这种性质称为“连续性”。

换言之，在特定空间和时间尺度内，流体质量、能量和动量的流动速度是恒定的。

理论上，连续性方程可以用来描述流体力学中众多类型的流体种类，例如热流体、冷流体、工艺流体、原子量流体等等。

它可以用来分析水力学、气力学、热力学、动力学中的绕流、湍流和振荡流等态势的发展和利用，为有效的流体控制和处理提供了重要的理论基础。

另外，连续性方程也可以用来描述流体的速度变化，用来研究流动的湍流和涡态等特性。

其中，湍流就是流体动力学中的一种不稳定流动状态，因为涡旋、分层、分支等不均匀性，而涡态则是一种稳定性流动状态，涡旋、分层、分支等不均匀性会导致流体边界处的局部流动状态发生变化。

连续性方程的另一个重要用途就是可以用来描述流体的流动效率。

在实践中，连续性方程可以帮助科学家计算准确的流体流动效率，帮助他们计算流动流体所承受的力学损失，以及在某种流体中，在特定时间和特定空间尺度内，物质的变化和物质流速的变化。

此外，连续性方程也可以用来研究流体动力学中的涡态现象，比如流体在升腾过程中是如何变化、流体的流动情况是如何受到空气的影响等等。

总之，连续性方程在流体力学的研究中是一种非常重要的表达形式，它可以用来描述流体动力学中的流动状态，涡旋、分层、分支等不均匀性，以及可以用来计算流体流动效率、流速变化和涡态现象等。

此外，连续性方程也由于其受能量守恒定律的支撑，使得它的理论基础更加稳固，从而得到了广泛的应用。

微分形式的连续性方程连续方程是流体力学的基本方程之一，流体运动的连续方程，反映流体运动和流体质量分布的关系，它是在质量守恒定律在流体力学中的应用。

重点讨论不同表现形式的流体连续方程。

用一个微六面体元控制体建立微分形式的连续性方程。

设在流场中取一固定不动的微平行六面体（控制体），在直角坐标系oxyz 中，六面体的边长取为dx ，dy ，dz 。

先看x 轴方向的流动，流体从ABCD 面流入六面体，从EFGH 面流出。

在x 轴方向流出与流入质量之差()()[]x x x x u u u dx dydzdt u dydzdt dxdydzdt x xρρρρ∂∂+-=∂∂用同样的方法，可得在y 轴方向和z 轴方向的流出与流入质量之差分别为()y u dxdydzdt y ρ∂∂()z u dxdydzdt z ρ∂∂这样，在dt 时间内通过六面体的全部六个面净流出的质量为：()()()[]y x z u u udxdydzdt x x x ρρρ∂∂∂++∂∂∂在dt 的时间内，六面体内的质量减少了 ， 根据质量守恒定律，净流出六面体的质量必等于六面体内所减少的质量()dxdydzdt t ρ∂-∂()()()[]y x z u u u dxdydzdt dxdydzdt x y z tρρρρ∂∂∂∂++=-∂∂∂∂()()()0y x z u u u x y z tρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂这就是直角坐标系中流体运动的微分形式的连续性方程。

这就是直角坐标系中流体运动的微分形式的连续性方程。

代表单位时间内，单位体积的质量变化代表单位时间内，单位体积内质量的净流出利用散度公式：得到利用矢量场基本运算公式和随体导数公式：得到 )()()()div(z y x u z u y u x u ρρρρ∂∂+∂∂+∂∂= 0)div(=+∂∂u tρρ()()()0y x z u u u x y z tρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂在连续方程中 div()div u u u ρρρ=+⋅∇ρρρ∇⋅+∂∂=u tDt D 0div =+u Dt D ρρdiv 0u u tρρρ∂++⋅∇=∂讨论*表明对不可压流体，体积在随体运动中保持不变。