②物理意义:揭示了沿某一根流线运动着 的流体质点速度,位移和压强、密度四者 之间的微分关系。 z 2 ) y t x y x y y y z y z fy 1 Leabharlann Baidup y (2y x2 2y y2 2y ) z 2 z t x z x y z y z z z fz 1 p z (2z x2 2z y2 2z ) z 2 1. 含有四个未知量(x, y,完z整, P的)方程组。 2. 描述了各种量间的依赖关系。 3. 通解、单值条件(几何条件、物理条件、边界条件、初始 条件)→特解。 vx 1 2 vx x dxdydz vx 1 2 vx x dxdydz vx x dxdydz 同理可得在单位时间内沿y,z方向流出与流入控制体的质 量差为 vy dxdydz 和 y vz dxdydz z 故单位时间内流出与流入微元体流体质量总变化为: x(x) ( y y) z(z) dxdydz ⑵控制体内质量变化: 因控制体是固定的,质量变化是因密度变化引起的,dt时间内: fz 1 p z dz dt 推导得: d 1 dp gdz Or gdz 1 dp d 0 ——伯努利方程微分形式。 说明: 流体质点在微小控制体dxdydz范围内,沿任意方向流线流动时的能量平衡关 系式。 ①适用范围:理想流体、稳定流体、质量 力只有重力且在微小控制体dxdydz范围内 沿某一根流线; a 流体质点加速度 在三个坐标轴上的分量表示成: ax dx dt x t x x x y x y z x z ay d y dt y t x y x y y y z y z az dz dt z t x z x y z y z z z ⑷代入牛顿第二定律求得运动方程: 得x方向上的运动微分方程: dx dt dxdydz p x dxdydz fxdxdydz 单位体积流体的运动微分方程: 即描述流体流动的 完整方程组+单值性条件→描述某一特定流动。 3. 伯努利方程 (Bernoulli) 伯努利(D.Bernouli 1700-1782)方程的提出和意义 理想流体稳定流动的伯努利微分方程 由理想流体欧拉运动微分方程 fx 1 p x dx dt fy 1 p y d y dt 是稳定流动,vx,vy,vz,p都只是坐标函数,与时间 无关,方程转换去除t项 理想和实际流体 稳态及非稳态流动 ⑵不可压缩性流体的连续性微分方程: x y z 0 or div 0 x y z 说明流体体变形率为零,即流体不可压缩。或流入 体积流量与流出体积流量相等。 ⑶稳定流动时:所有流体物性参数均不随时间而变, 0 t ( x x) ( y y) ( z z) 0 div() 0 ⑷二维平面流动: x y 0 dx dt p x fx 单位质量流体的运动微分方程: dx dt 1 p x fx 同理可得y,z方向上的: dx dt x t x x x y x y z x z 1 p x fx dy dt y t x y x y y y z y z 1 p y fy dz dt z t x z x y z y z z z 1 p z fz 向量形式: d f 1 gradp dt ——理想流体欧拉运动微分方程 式中: 即作F用 力之m合a力=动m量d随时间的d变(化m速率) dt dt ⑶分析受力: ① 质量力: dxdydzf 单位质量力:f fxi f y j fzk X方向上所受质量力为: f xdxdydz ② 表面力: 理想流体,没有粘性,所以表面力只有压力 X方向上作用于垂直x轴方向两个面的压力分别为: pM p 流体力学中的三大基本方程 刘颖杰 1 连续性微分方程 理论依据:质量守恒定律在微元体中的应用 数学描述: [单位时间流出的质量]-[单位时间流入的质量]+[单位时间 质量的累积or增量]=0 •公式推导: (1)单位时间内流入、流出微元体流体总质量变化 假定流体连续地 充满整个流场,从中 任取出以 ox,y,z gradp p i p j p k x y Z 适用条件:理想流体,不可压缩流体和可压缩流体 (5)连续性微分方程和运动方程在求解速度场中的应用 这里以不可压缩粘性流体稳定等温流动为例: 连续性方程: x y z 0 x y z 运动方程: x t x x x y x y z x z fx 1 p x ( 2x x2 2x y2 2x ( dt)dxdydz dxdydz dtdxdydz t t 单位时间内,微元体质量增量: dtdxdydz/ dt dxdydz t t (微团密度在单位时间内的变率与微团体积的乘积) ⑶根据连续性条件: t ( x x) ( y y) ( z z) 0 矢量形式: • 0 t ——三维连续性微分方程 ⑴适用条件: 不可压缩和可压缩流体 在x方向的分速度为 vx 1 2 vx x dx 通过控制体后表面中心点N的质点在x方向的分速度为 vx 1 2 vx x dx 因所取控制体无限小,故认为在其各表面上的流速均匀分布。 所以单位时间内沿x轴方向 流入控制体的质量为 vx 1 2 vx x dxdydz 流出控制体的质量为 vx 1 2 vx x dxdydz 于是,单位时间内在x方向流出与流入控制体的质量差为 p x dx 2 pN p p x dx 2 X方向上质点所受表面力合力: (pM pN)dydz p x dxdydz ③ 流体质点加速度 a 的计算方法: (x,y,z,t)x f(t) y f(' t)y f ( '' t) 流速a 的 全ddt导数应t是: x x y y z z 当地加速度:流场中某处流体运动速度对时间 的偏导数,反映了流体速度在固定位置处的时 间变化特性 迁移加速度:流场由于流出、流进某一微小区 域而表现出的速度变化率。 x y 2.理想流体的运动方程 3.4.1---欧拉运动微分方程 理论依据:是牛顿第二定律在流体力学上的具体应用,它建 立了理想流体的密度、速度、压力与外力之间的关系。 1775年由欧拉推出流体力学中心问题是流速问题,流体流速 与其所受到外力间的关系式即是运动方程。 推导过程: ⑴取微小六面控制体 ⑵推导依据: 牛顿第二定律or动量定理: 点为中心的微小六面 体空间作为控制体如 右图。控制体的边长 为dx,dy,dz,分别 平行于直角坐标轴x, y,z。设控制体中心点处流速的三个分量为 vx,vy,,液vz体密 度为 。将 各流速分量按泰勒级数展开,并略去高阶微量 ,可得到该时刻通过控制体六个表面中心点的流体质点 的运动速度。例如:通过控制体前表面中心点M的质点