2019-2020学年山东省淄博市普通高中部分学校高二下学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年淄博市名校数学高二下期末考试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知ξ的分布列为设23ηξ=+，则()E η的值为（ ）A ．4B ．73C ．54D ．1【答案】B 【解析】 【分析】由ξ的分布列，求出1()3E ξ=-，再由()2()3E E ηξ=+，求得7()3E η=. 【详解】111111()(1)01236263E ξ=-⨯+⨯+⨯=-+=-，因为23ηξ=+，所以17()2()32()333E E ηξ=+=⨯-+=.【点睛】本题考查随机变量的期望计算，对于两个随机变量a b ηξ=+，具有线性关系，直接利用公式()()E aE b ηξ=+能使运算更简洁.2．设0ab >，下列不等式中正确的是（ ） ①a b a b +>- ②a b a b +>+ ③a b a b +<- ④a b a b +>- A ．①和② B ．①和③C ．①和④D ．②和④【答案】C 【解析】分析：利用绝对值三角不等式等逐一判断. 详解：因为ab>0,所以a,b 同号.对于①，由绝对值三角不等式得a b a b +>-，所以①是正确的；对于②，当a,b 同号时，a b a b +=+，所以②是错误的；对于③，假设a=3,b=2,所以③是错误的；对于④，由绝对值三角不等式得a b a b +>-，所以④是正确的. 故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查绝对值不等式，意在考查学生对该知道掌握水平和分析推理能力.(2)对于类似这样的题目，方法要灵活，有的可以举反例，有的可以直接证明判断.3．在边长为2的菱形ABCD 中，23BD =，将菱形ABCD 沿对角线AC 对折，使二面角B AC D --的余弦值为13，则所得三棱锥A BCD -的内切球的表面积为（ ） A ．43πB ．πC ．23πD ．2π【答案】C 【解析】 【分析】作出图形，利用菱形对角线相互垂直的性质得出DN⊥AC，BN⊥AC，可得出二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角为∠BND，再利用余弦定理求出BD ，可知三棱锥B ﹣ACD 为正四面体，可得出内切球的半径R ，再利用球体的表面积公式可得出答案． 【详解】 如下图所示，易知△ABC 和△ACD 都是等边三角形，取AC 的中点N ，则DN⊥AC，BN⊥AC．所以，∠BND 是二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角，过点B 作BO⊥DN 交DN 于点O ，可得BO⊥平面ACD ． 因为在△B DN 中，3BN DN ==，所以，BD 1＝BN 1+DN 1﹣1BN•DN•cos∠BND 1332343=+-⨯⨯=， 则BD ＝1．故三棱锥A ﹣BCD 为正四面体，则其内切球半径为正四面体高的14，又正四面体的高为棱长的63，故662R ==． 因此，三棱锥A ﹣BCD 的内切球的表面积为226244()3R πππ=⨯=． 故选：C ．【点睛】本题考查几何体的内切球问题，解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状，考查了二面角的定义与余弦定理，考查计算能力，属于中等题．4．阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出S 的值为( )A ．-10B ．6C ．14D ．18【答案】B 【解析】模拟法：输入20,1S i ==；21,20218,25i S =⨯=-=>不成立； 224,18414,45i S =⨯==-=>不成立 248,1486,85i S =⨯==-=>成立输出6,故选B.考点：本题主要考查程序框图与模拟计算的过程.5．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到两个数均为偶数”，则()|P B A =( ) A ．18B ．14C ．25D ．12【答案】B 【解析】 【分析】先求得()P A 和()P AB 的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率. 【详解】依题意()22322542105C C P A C +===,()22251=10C P AB C =,故()|P B A =()()1110245P AB P A ==.故选B. 【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，考查运算求解能力，属于基础题. 6．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足2()'(2)ln f x x f x =+，则'(2)f 的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C 【解析】 【分析】求出''1()2(2)f x x f x=+⋅，再把2x =代入式子，得到'(2)8f =. 【详解】因为''1()2(2)f x x f x =+⋅，所以'''1(2)4(2)(2)82f f f =+⋅⇒=.选C. 【点睛】本题考查对'(2)f 的理解，它是一个常数，通过构造关于'(2)f 的方程，求得'(2)f 的值.7．已知i 为虚数单位，则复数21ii-+对应复平面上的点在第（ ）象限． A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】D 【解析】分析：首先化简所给的复数，然后确定复数所在的象限即可. 详解：由题意可得：()()()()2121313111222i i i i i i i i ----===-++-， 则复数对应的点为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，该点位于第四象限， 即复数21ii-+对应复平面上的点在第四象限. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 的值为（ ）(参考数据：3 1.732≈，sin150.2588︒≈，sin7.50.1305︒≈）A ．12B ．24C ．48D ．96【答案】B 【解析】 【分析】列出循环过程中S 与n 的数值，满足判断框的条件即可结束循环. 【详解】解：模拟执行程序，可得：336,3sin 60n S ︒===， 不满足条件 3.10,12,6sin 303S n S ︒≥==⨯=，不满足条件 3.10,24,12sin15120.2588 3.1056S n S ︒≥==⨯=⨯=， 满足条件 3.10S ≥，退出循环，输出n 的值为24. 故选：B . 【点睛】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题.9．双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为60︒的直线与圆222x y b +=相交的3a ，则椭圆C 的离心率为( )A 21B 7C ．77D ．426【答案】B 【解析】【分析】求出直线方程,利用过过点1F 作倾斜角为60的直线与圆222x y b +=相交的弦长为列出方程求解即可.【详解】双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>的左焦点1(,0)F c -过点1F 作倾斜角为60的直线)y x c =+与圆222x y b +=,可得：222222,a b a b c ⎫+=+=⎪⎪⎝⎭, 可得:227a c =则双曲线的离心率为: ce a==故选:B. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用,直线与圆的位置关系的应用,考查离心率的求法,考查计算能力.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，若30FP FQ +=,则OPQ ∆的面积为( )A．3BC．3D．【答案】C 【解析】 【分析】设直线l 的方程为1x ky =+，联立24y x =，可得2440y ky --=，利用韦达定理结合3FP FQ +=0（3P Q y y =-），求得P y ，Q y 的值，利用1||2P Q S OF y y =⨯⨯-可得结果. 【详解】因为抛物线2:4C y x =的焦点为F 所以(1,0)F ，设直线l 的方程为1x ky =+， 将1x ky =+代入24y x =，可得2440yky --=，设(,)P P P x y ，(,)Q Q Q x y ，则4P Q y y k +=，4P Q y y =-，因为3FP FQ +=0，所以3P Q y y =-，所以6P y k =，2Q y k =-， 所以2124k -=-，即213k =，所以83|||8|3P Q y y k -==， 所以OPQ ∆的面积1431||23P Q S y y =⨯⨯-=，故选C ． 【点睛】本题主要考查抛物线的方程与几何性质以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题. 解答有关直线与抛物线位置关系问题，常规思路是先把直线方程与-抛物线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.11．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”.那么从长方体八个顶点中任取四个顶点，则这四个顶点组成的几何体是“鳖臑”的概率为（ ） A ．435B ．635C ．1235D ．1835【答案】C 【解析】 【分析】本题是一个等可能事件的概率，从正方体中任选四个顶点的选法是48C ，四个面都是直角三角形的三棱锥有4×6个，根据古典概型的概率公式进行求解即可求得． 【详解】由题意知本题是一个等可能事件的概率，从长方体中任选四个顶点的选法是4870C =，以A 为顶点的四个面都是直角三角形的三棱锥有：111111111111,,,,,A A D C A A B C A BB C A BCC A DCC DD C A ------共6个．同理以1111,,,,,,B C D A B C D 为顶点的也各有6个， 但是，所有列举的三棱锥均出现2次，∴四个面都是直角三角形的三棱锥有186242⨯⨯=个，∴所求的概率是24127035= 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了古典概型问题，解题关键是掌握将问题转化为从正方体中任选四个顶点问题，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 12．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”B ．命题“0x ∀≥，210x x +-<”的否定是“0x ∃<，210x x +-<”C ．样本的相关系数r ，||r 越接近于1，线性相关程度越小D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题 【答案】D 【解析】 【分析】利用四种命题之间的变换可判断A ；根据全称命题的否定变法可判断B ；利用相关系数与相关性的关系可判断C ；利用原命题与逆否命题真假关系可判断D. 【详解】对于A ，命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x ≠，则1x ≠”，故A 错误；对于B ，命题“0x ∀≥，210x x +-<”的否定是“00x ∃≥，20010x x +-≥”，故B 错误；对于C ，样本的相关系数r ，||r 越接近于1，线性相关程度越大，故C 错误； 对于D ，命题“若x y =，则sin sin x y =”为真命题，故逆否命题也为真命题， 故D 正确； 故选：D 【点睛】本题考查了判断命题的真假、全称命题的否定、四种命题的转化以及原命题与逆否命题真假关系、相关系数与相关性的关系，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题13．已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x =-+，x ∈R ．则函数f （x ）的最小正周期 _______ 【答案】π 【解析】 【分析】首先根据二倍角公式先化简以及辅助角公式化简，再根据2T Wπ=即可。

淄博市名校2019-2020学年数学高二第二学期期末考试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．有10名学生和2名老师共12人,从这12人选出3人参加一项实践活动则恰有1名老师被选中的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】先求出从12人中选3人的方法数，再计算3人中有1人是老师的方法数，最后根据概率公式计算． 【详解】从12人中选3人的方法数为，3人中愉有1名老师的方法为，∴所求概率为．故选A ． 【点睛】本题考查古典概型，解题关键是求出完成事件的方法数． 2．已知集合{}1M x x =<，{}20N x x x =-<，则（ ） A ．{}1M N x x =<I B ．{}0M N x x =>U C ．M N ⊆ D ．N M ⊆【答案】D 【解析】 【分析】求解不等式20x x -<可得{}|01N x x =<<，据此结合交集、并集、子集的定义考查所给的选项是否正确即可. 【详解】求解不等式20x x -<可得{}|01N x x =<<， 则：{}|01M N x x =<<I ，选项A 错误；{}|1M N x x ⋃=<，选项B 错误； N M ⊆，选项C 错误，选项D 正确；故选：D.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集、并集、子集的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．已知i 为虚数单位，若复数11tiz i-=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（ ） A ．[1,1]- B ．(1,1)-C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞【答案】B 【解析】 由题()()()()1-ti 1-i 1-ti 1-t 1+t z===-i 1+i 1+i 1-i 22．又对应复平面的点在第四象限，可知110022t t且-+>-<，解得11t -<<．故本题答案选B ．4．点P 的直角坐标为()1,3，则点P 的极坐标为（ ） A ．2,3π⎛⎫⎪⎝⎭B ．42,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．2,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．42,3π⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】A 【解析】试题分析：()22132ρ=+=,3tan 3θ==,又点P 在第一象限, 3πθ∴=,P ∴点的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭.故A 正确. 考点：1直角坐标与极坐标间的互化.【易错点睛】本题主要考查直角坐标与极坐标间的互化,属容易题. 根据公式222,tan y x y x ρθ=+=可将直角坐标与极坐标间互化,当根据tan yxθ=求θ时一定要参考点所在象限,否则容易出现错误. 5．函数的单调减区间是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：令，故选A.考点：函数的单调区间.6．已知过点(1,1)P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C 【解析】 【分析】设切点为()00x ,y ，则300y x =，由于直线l 经过点()1,1，可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点0x 处的切线斜率，建立关于0x 的方程，从而可求方程． 【详解】若直线与曲线切于点()()000x ,y x 0≠，则32000000y 1x 1k x x 1x 1x 1--===++--， 又∵2y'3x =，∴200y'x x 3x ==，∴2002x x 10--=，解得0x 1=，01x 2=-， ∴过点()P 1,1与曲线3C :y x =相切的直线方程为3x y 20--=或3x 4y 10-+=， 故选C ． 【点睛】本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，求解曲线的切线的方程，其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 7．()52x x y ++的展开式中，33x y 的系数为（ ） A ．10 B ．20C ．30D ．60【答案】B 【解析】 【分析】将二项式表示为()()5522x x yx x y ⎡⎤++=++⎣⎦，利用二项展开式通项()525rr r C x x y -⋅+，可得出3r =，再利用完全平方公式计算出()22x x +展开式中3x 的系数，乘以35C 可得出结果.【详解】()()5522x x y x x y ⎡⎤++=++⎣⎦Q ，其展开式通项为()525rr r C x x y -⋅+，由题意可得3r =，此时所求项为()()222334323552C x xy C x x x y ⋅+=⋅++，因此，()52x x y ++的展开式中，33x y 的系数为35221020C =⨯=，故选B.本题考查三项展开式中指定项的系数，解题时要将三项视为两项相加，借助二项展开式通项求解，考查运算求解能力，属于中等题.8．在ABC △中，若AC BC ⊥，AC b =，BC a =，则ABC △的外接圆半径2r =，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S ABC -中，若SA 、SB 、SC 两两互相垂直，SA a =，SB b =，SC c =，则四面体S ABC -的外接球半径R =（ ）ABC D 【答案】A 【解析】 【分析】四面体S ABC -中，三条棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，则可以把该四面体补成长方体，长方体的外接球就是四面体的外接球，则半径易求. 【详解】四面体S ABC -中，三条棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，则可以把该四面体补成长方体，SA a =，SB b =，SC c =是一个顶点处的三条棱长.所以外接球的直径就是长方体的体对角线，则半径R =.故选A. 【点睛】本题考查空间几何体的结构，多面体的外接球问题，合情推理.由平面类比到立体，结论不易直接得出时，需要从推理方法上进行类比，用平面类似的方法在空间中进行推理论证，才能避免直接类比得到错误结论. 9．下面命题正确的有（ ）①a ，b 是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数； ②任何两个复数不能比较大小；③若12,z z ∈C ，且22120z z +=，则120z z ==. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【答案】A 【解析】 【分析】对于①③找出反例即可判断，根据复数的性质可判断②．①若0a b ==，则()()a b a b i -++是0，为实数，即①错误；②复数分为实数和虚数，而任意实数都可以比较大小，虚数是不可以比较大小的，即②错误；③若11z i =-，21z i =+，则2212220z z i i +=-+=，但12z z ≠，即③错误； 故选：A 【点睛】本题主要考查了复数的概念与性质，属于基础题．10．若直线2y kx =+和椭圆2221(0)9x y b b +=>恒有公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．[2,)+∞B ．[2,3)(3,)⋃+∞C ．[2,3)D ．(3,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆2229x y b+=1（b ＞0）得出b ≠3，运用直线恒过（0，2），得出24b ≤1，即可求解答案． 【详解】椭圆2229x y b+=1（b ＞0）得出b ≠3，∵若直线2y kx =+ ∴直线恒过（0，2）， ∴24b≤1,解得2b ≥ ，故实数b 的取值范围是[2,3)(3,)⋃+∞ 故选：B 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题． 11．两个线性相关变量x 与y 的统计数据如表：其回归直线方程是4ˆ0ˆybx =+，则相对应于点（11，5）的残差为（ ） A ．0.1 B ．0.2C ．﹣0.1D ．﹣0.2【答案】B【分析】求出样本中心，代入回归直线的方程，求得ˆ 3.2b=-，得出回归直线的方程 3.240ˆy x =-+，令11x =，解得ˆ 4.8y=，进而求解相应点(11,5)的残差，得到答案. 【详解】由题意，根据表中的数据，可得10,8x y ==，把样本中心(10,8)代入回归方程4ˆ0ˆybx =+，即81ˆ040b =⨯+，解得ˆ 3.2b =-， 即回归直线的方程为 3.240ˆyx =-+， 令11x =，解得 3.211448ˆ0.y=-⨯+=， 所以相应点(11,5)的残差为5 4.80.2-=，故选B. 【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及应用，其中解答中正确求解回归直线的方程，利用回归直线的方程得出预测值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 12．下列函数中，既是奇函数又在(0,)+∞内单调递增的函数是（ ） A ．3y x =- B ．cos y x =C ．1y x x=+D ．||y x x =【答案】D 【解析】 【分析】由基本初等函数的单调性和奇偶性，对A 、B 、C 、D 各项分别加以验证，不难得到正确答案． 【详解】解：对于A ，因为幂函数y ＝x 3是R 上的增函数，所以y ＝﹣x 3是（0，+∞）上的减函数，故A 不正确； 对于B ，cos y x =为偶函数，且在(0,)+∞上没有单调性，所以B 不正确； 对于C ，1y x x=+在区间（0，1）上是减函数，在区间（1，+∞）上是增函数，故C 不正确； 对于D ，若f （x ）＝x|x|，则f （﹣x ）＝﹣x|x|＝﹣f （x ），说明函数是奇函数， 而当x ∈（0，+∞）时，f （x ）＝x 2，显然是（0，+∞）上的增函数，故D 正确； 故选：D ． 【点睛】本题考查了函数奇偶性和单调性的判断与证明，属于基础题． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知双曲线221y x m-=的左右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线交双曲线右支于,A B 两点，若1ABF ∆是以A 为直角顶点的等腰三角形，则12AF F ∆的面积为__________．【答案】4-【解析】设11,AF AB t BF ===4t t a +-=，即4,t ==1AF t == 12222,2AF AF a AF -===，故三角形面积为()1242⋅=-点睛：本题主要考查双曲线的定义，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查数形结合的数学思想方法和化归与转化的数学思想方法.解答直线与圆锥曲线位置关系题目时，首先根据题意画出曲线的图像，然后结合圆锥曲线的定义和题目所给已知条件来求解.利用题目所给等腰直角三角形，结合定义可求得直角三角形的边长，由此求得面积.14．已知命题:p 任意x ∈R ，210ax ax ++…恒成立，命题:q 方程22121x ya a-=+-表示双曲线，若“p q ∧”为真命题，则实数a 的取值范围为_______. 【答案】[0,1) 【解析】 【分析】根据题意求出命题P ，Q 的等价条件，结合复合命题真假关系进行转化判断即可. 【详解】当0a =时，不等式210ax ax ++…即为10≥，满足条件， 若0a ≠，不等式210ax ax ++…恒成立，则满足240a a a >⎧⎨∆=-<⎩， 解得04a <<， 综上04a ≤<， 即:04P a ≤<；若方程22121x y a a-=+-表示双曲线，则(2)(1)0a a +->，得21a -<<，即:21Q a -<<；若“p q ∧”为真命题，则两个命题都为真， 则0421a a ≤<⎧⎨-<<⎩，解得01a ≤<；故答案是：[0,1). 【点睛】该题考查的是有关逻辑的问题，涉及到的知识点有复合命题的真值，根据复合命题的真假求参数的取值范围，在解题的过程中，注意对各个命题为真时对应参数的取值范围的正确求解是关键.15．设[0,1]()1,[1,0)x f x x x ∈=+∈-⎪⎩，则11()f x dx -⎰等于___________．【答案】124π+ 【解析】 【分析】根据微积分基本定理可得01111()()()f x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰，再结合函数解析式，根据牛顿莱布尼茨定理计算可得； 【详解】解：因为[0,1]()1,[1,0)x f x x x ∈=+∈-⎪⎩所以1111()()()f x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰()0220101111142x dx x x π--⎛⎫=++=⨯⨯++ ⎪⎝⎭⎰()21101142π⎡⎤⎛⎫=+--+⋅- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 1142π=+ 故答案为：1142π+ 【点睛】本题考查利用定积分求曲边形的面积，属于基础题.16．从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有________个.（用数字作答） 【答案】1 【解析】 【分析】题目要求得到能被5整除的数字，注意0和5 的排列，分三种情况进行讨论，四位数中包含5和0的情况，四位数中包含5，不含0的情况，四位数中包含0，不含5的情况，根据分步计数原理得到结果． 【详解】解：①四位数中包含5和0的情况：3113123322()90C C A A A +=g g g ．②四位数中包含5，不含0的情况：12333354C C A =g g ．③四位数中包含0，不含5的情况：21333354C C A =．∴四位数总数为905454198++=．故答案为：1． 【点睛】本题是一个典型的排列问题，数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏，属于中档题. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 2sin b A =. （1）求角B 的大小；（2）若b =5a c +=，求ABC ∆的面积.【答案】（1）3π；（2【解析】 【分析】(1)2sin sin A B A =，从而可得答案. (2)由余弦定理可得6ac =，再由面积公式可求答案. 【详解】解：（1） 2sin b A =2sin sin A B A =，sin 0A ≠，∴sin 2B =， 又因为ABC ∆为锐角三角形，∴3B π=.（2）由余弦定理可知，2222cos b a c ac B =+-， 即()223b a c ac =+-，解得6ac =，∴1sin 2S ac B ==. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用以及三角形的面积，属于基础题.18．如图所示，四棱锥P ABCD -中，,,AB AD AD DC PA ⊥⊥⊥底面ABCD ，112PA AD AB CD ====，M 为PB 中点.（1）试在CD 上确定一点N ，使得//MN 平面PAD ；（2）点N 在满足（1）的条件下，求直线MN 与平面PAB 所成角的正弦值.【答案】 (1)13. (2)25.【解析】【试题分析】（1）先确定点N 的位置为CD 的四等分点，再运用线面平行的判定定理进行证明//MN 平面PAD ；（2）借助（1）的结论，及线面角的定义构造三角形找出直线MN 与平面PAB 所成角AED ∠，再通过解直角三角形求出其正弦值25： 解：(1)证明: 1,//3CN ND MN =平面PAD.过M 作//EM AB 交PA 于E,连接DE. 因为13CN ND =,所以1142CN CD AB EM ===，又////EM DC AB ，故//EM DN ,且EM DN =，即DEMN 为平行四边形,则 //NM ED ,又ED ⊂平面PAD, NM ⊄平面PAD, //MN 平面PAD ； (2)解:因为//NM ED ，所以直线MN 与平面PAB 所成角等于直线DE 与平面PAB 所成角PA ⊥底面ABCD,所以 PA AD ⊥，又因为,AB AD AP AB A ⊥⋂=，所以AD ⊥底面PAB , AED ∠即为直线DE 与平面PAB 所成角.因为1,12AE AD ==，所以525,sin 25DE AED =∠=，所以直线MN 与平面PAB 所成角的正弦值为25。

淄博市名校2019-2020学年数学高二第二学期期末考试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观．样本容量1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在［6,14）内的频数为（ ）A ．780B ．680C ．648D ．460【答案】B 【解析】试题分析：频率分布直方图中每个小方块的面积就是相应的频率，因此所求结论为1000(0.0240.0342)1000680-⨯+⨯⨯⨯=.考点：频率分布直方图.2．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布2(105,)(0)N σσ>，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ） A ．150 B ．200C ．300D ．400【答案】C 【解析】 【分析】求出()39010510P X ≤≤=，即可求出此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数． 【详解】∵()()1901205P X P X ≤=≥=，()2390120155P X ≤≤=-=， 所以()39010510P X ≤≤=， 所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为3100030010⨯=． 故选C ． 【点睛】本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．3．已知集合{}|11A x x =-<，{}0,1,2B =，则A B =（ ）A ．{}0B ．{}0,1C ．{}1D ．{}1,2【答案】C 【解析】 【分析】先求解绝对值不等式得到集合A ，然后直接利用交集运算可得答案。

【详解】解：因为11x -<，所以111x -<-<，得02x <<，所以集合{}|02A x x =<<，又因为{}0,1,2B =，所以{}1A B ⋂=，故选C . 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式及交集运算，较基础.4．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，23ie π表示的复数位于复平面中的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】2πi 32π2π13cosisin i 3322e=+=-+ ,对应点13(,)22- ,位于第二象限,选B. 5．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，得0分的概率为0.5（投篮一次得分只能3分、2分、1分或0分），其中a 、b ，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab 的最大值为 A ．16B ．112C ．124D ．132【答案】D 【解析】 【分析】设这个篮球运动员得1分的概率为c ，由题设知 ，解得2a+b=0.5，再由均值定理能求出ab 的最大值． 【详解】设这个篮球运动员得1分的概率为c ，∵这个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，得0分的概率为0.5， 投篮一次得分只能3分、2分、1分或0分，他投篮一次得分的数学期望为1， ∴，解得2a+b=0.5， ∵a、b∈（0，1）， ∴ ==，∴ab，当且仅当2a=b= 时，ab 取最大值．故选D ．点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意均值定理的灵活运用．6．已知函数()2()ln f x xf e x '=+，则()f e =( ) A ．e - B ．eC ．1-D ．1【答案】C 【解析】 【分析】先求导，再计算出()f e '，再求()f e . 【详解】由题得111()2(),()2(),()f x f e f e f e f e x e e'''''=+∴=+∴=-， 所以1()2()ln 2()11f e ef e e e e=+=⨯+'-=-.故选：C. 【点睛】本题主要考查导数的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力，属基础题. 7．已知回归方程21y x =-，则该方程在样本(3,4)处的残差为（ ） A ．5 B ．2C ．1D ．-1【答案】D 【解析】分析：先求当x=3时，ˆy的值5，再用4-5=-1即得方程在样本()3,4处的残差.详解：当x=3时，235ˆ1y=⨯-=，4-5=-1，所以方程在样本()3,4处的残差为-1. 故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查残差的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)残差=实际值-预报值，不要减反了.8．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )A ．乙B ．甲C ．丁D ．丙 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，通过这一突破口，进行分析，推理即可得到结论. 【详解】在甲、乙、丙、丁四人的供词中，可以得出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙丁两人的供词应该是同真同假（即都是真话或都是假话，不会出现一真一假的情况）；假设乙、丁两人所得都是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话可推出丙是犯罪的结论； 由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是犯罪的结论；显然这两人是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙的供词可以断定乙是犯罪的，乙、丙、丁中有一人是犯罪的， 由丁说假话，丙说真话推出乙是犯罪的，综上可得乙是犯罪的，故选A. 【点睛】本题主要考查了推理问题的实际应用，其中解答中结合题意，进行分析，找出解决问题的突破口，然后进行推理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.9．袋中装有6个红球和4个白球，不放回的依次摸出两球，在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率是 A ．35B ．25C ．13D ．59【答案】D 【解析】 【分析】通过条件概率相关公式即可计算得到答案. 【详解】设“第一次摸到红球”为事件A ，“第二次摸到红球”为事件B ，而6()10P A =， 651()1093P A B ⋅=⨯=，故()5(|)()9P A B P B A P A ⋅==，故选D. 【点睛】本题主要考查条件概率的相关计算，难度不大.10．已知函数()f x 是定义在(),-∞+∞上的奇函数，若对于任意的实数0x ≥，都有()()2f x f x +=，且当[)0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，则()()20172018f f -+的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．1【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性以及函数的周期性转化求解即可． 【详解】因为f （x ）是奇函数，且周期为2，所以f （﹣2 017）+f （2 018）=﹣f （2 017）+f （2 018）=﹣f （1）+f （0）．当x ∈[0，2）时，f （x ）=log 2（x+1）， 所以f （﹣2 017）+f （2 018）=﹣1+0=﹣1． 故选：A ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性以及函数的周期性的应用，考查计算能力．11．直线l ：0mx ny +=，{},1,2,3,4,5,6m n ∈，所得到的不同直线条数是（） A ．22 B ．23 C ．24 D ．25【答案】B 【解析】 【分析】根据排列知识求解，关键要减去重复的直线. 【详解】当m,n 相等时，有1种情况；当m,n 不相等时，有266530A =⨯= 种情况，但123,246== 246,123==24,36=12,36=重复了8条直线， 因此共有130823+-=条直线.故选B. 【点睛】本题考查排列问题，关键在于减去斜率相同的直线，属于中档题. 12．设直线l 1，l 2分别是函数f(x)=图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(0,+∞) D ．(1,+∞) 【答案】A 【解析】 试题分析：设（不妨设），则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得切线的方程分别为，切线的方程为，即。

同步练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知高为3的正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的每个顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为21π，则此正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积为()A B ．272C D ．182．已知()()1f x f x x '+=+，且()01f =，()()21g x x f x x =⋅--.若关于x 的方程()()()()2110g x m g x +++=有三个不等的实数根1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m R ∈，2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数，则()()()()2123g x g x g x ⋅⋅的值为（ ）AB ．eC ．1D ．123．已知函数()()f x x R ∈满足()()=f x f a x -，若函数25y x ax =--与()y f x =的图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，且12mi i x m ==∑，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．用数学归纳法证明不等式“111212322n n ++++>（2n ≥，n *∈N ）”的过程中，由n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是（ ） A ．112k + B ．121k+ C ．11121222k k k k++++++D ．111121222k k k ++++++ 5．i 是虚数单位，若集合S={1,0,1}-，则 A ．i S ∈B ．2i S ∈C ．3i S ∈D ．2S i∈ 6．若|x ﹣1|≤x|x+1|，则（ ）A ．x ≥1B ．x ≤1C ．x ≤ 1D ．x ≥7．已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两焦点，以线段12F F 为边作正三角形12MF F ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A ．4+B 1C 1D 8．()32233f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是（ ） A ．2-B ．2C ．3-D ．39．给定下列两个命题：①“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分不必要条件；②“x R ∀∈，都有0x e x +>”的否定是“0x R ∃∈，使得000xe x +≤”， 其中说法正确的是（） A ．①真②假B ．①假②真C ．①和②都为假D ．①和②都为真10．从A ，B ，C ，D ，E 5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A 不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( ) A ．24 B ．48 C ．72D ．12011．已知35sin(),(,)4524πππαα-=∈，则sin =α（ ）A ．10B ．-C ．±D ．或1012．复数5(12ii i-是虚数单位)的虚部是( ) A ．2-B ．1C ．2i -D ．i二、填空题：本题共4小题13．曲线1()x f x x e -+=+在1x =处的切线方程为__________.14．已知复数z 满足()1213i z i +=-（i 是虚数单位），则z =______．15．将红、黄、蓝、白、黑5个小球分别放入红、黄、蓝、白、黑5个盒子里，每个盒子里放且只放1个小球，则红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的概率是______.16．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为 ．（以数字作答） 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

山东省淄博市2019-2020学年数学高二第二学期期末考试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．设i 是虚数单位，则复数22i i -的虚部是（ ） A ．2iB ．2C ．2i -D ．2-【答案】B【解析】【分析】利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，可得出复数的虚部.【详解】 2222112i i i i i-=--=-+Q ，因此，该复数的虚部为2，故选B. 【点睛】本题考查复数的概念，考查复数虚部的计算，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.2．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）A ．在数列|{}n a 中，()111111,22n n n a a a n a --⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭由此归纳出{}n a 的通项公式 B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质C ．某校高二共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B Ð是两条平行直线的同旁内角，则180A B ∠+∠=︒【答案】D【解析】分析：演绎推理是由普通性的前提推出特殊性结论的推理．其形式在高中阶段主要学习了三段论：大前提、小前提、结论，由此对四个命题进行判断得出正确选项．详解：A 在数列{a n }中，a 1=1，()111122n n n a a n a --⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，通过计算a 2，a 3，a 4由此归纳出{a n }的通项公式”是归纳推理．B 选项“由平面三角形的性质，推出空间四边形的性质”是类比推理C 选项“某校高二（1）班有55人，高二（2）班有52人，由此得高二所有班人数超过50人”是归纳推理；；D 选项选项是演绎推理，大前提是“两条直线平行，同旁内角互补，”，小前提是“∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角”，结论是“∠A+∠B=180°，是演绎推理.综上得，D 选项正确故选：D ．点睛：本题考点是进行简单的演绎推理，解题的关键是熟练掌握演绎推理的定义及其推理形式，演绎推理是由普通性的前提推出特殊性结论的推理．演绎推理主要形式有三段论，其结构是大前提、小前提、结论． 3．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()2f x f x -=，若()13f =，则()()()123f f f +++()()42019f f ++=L （）A ．-3B ．0C ．3D ．2019 【答案】B【解析】【分析】根据题意，由函数的奇偶性分析可得()()4f x f x +=，函数()f x 是周期为4的周期函数，据此求出()2f 、()3f 、()4f 的值，进而结合周期性分析可得答案.【详解】解：根据题意，()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()f x f x =-- ，又由()(2)f x f x =-，则有()(2)f x f x --=-，即(2)()f x f x +=-，变形可得：(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0,(2)(02)(0)0,(4)(0)0f f f f f f ==+=-===，又由(1)3f =，则(3)(12)(1)3f f f =+=-=-，故(1)(2)(3)(2019)f f f f +++⋯+504[(1)(2)(3)(4)]+(1)+(2)+(3)50403030f f f f f f f =+++=⨯++-=.故选：B.【点睛】本题考查函数的奇偶性周期性的综合应用，涉及函数值的计算，属于基础题.4．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为$0.70.35y x =+，那么表中t 的值为（ ）A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.5【答案】A【解析】【分析】 先求出这组数据的样本中心点，样本中心点是用含有t 的代数式表示的，把样本中心点代入变形的线性回归方程，得到关于t 的一次方程，解方程，得到结果．【详解】 ∵a y bx =- 由回归方程知0.350.7y x =-=2.54 4.534560.744t ++++++-⨯， 解得t=3，故选A ．【点睛】】本题考查回归分析的初步应用，考查样本中心点的性质，考查方程思想的应用，是一个基础题，解题时注意数字计算不要出错． 5．定义在{|,1}x x R x ∈≠上的函数()()11f x f x -=-+，当1x >时， ()12x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数()()11cos 22g x f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（35x -≤≤）的所有零点之和等于（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】D【解析】分析：首先根据()()11f x f x -=-+得到函数()f x 关于()1,0对称，再根据对称性画出函数()f x 在区间[]3,5-上的图像，再根据函数()f x 与函数()1cos π12y x =+图像的交点来求得函数()g x 的零点的和. 详解：因为()()11f x f x -=-+故函数()f x 关于()1,0对称，令()0g x =，即()11cos π22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，画出函数()f x 与函数()1cos π12y x =+图像如下图所示，由于可知，两个函数图像都关于()1,0对称， 两个函数图像一共有8个交点，对称的两个交点的横坐标的和为2，故函数()g x 的8个零点的和为428⨯=.故选D.点睛：本小题主要考查函数的对称性，考查函数的零点的转化方法，考查数形结合的数学思想方法.解决函数的零点问题有两个方法，一个是利用零点的存在性定理，即二分法来解决，这种方法用在判断零点所在的区间很方便.二个是令函数等于零，变为两个函数，利用两个函数图像的交点来得到函数的零点.6．设函数f （x ）＝222,1()log (1),1x x a x f x x x ⎧--+<=⎨-+≥⎩，若函数f （x ）的最大值为﹣1，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，﹣2）B ．[2，+∞）C ．（﹣∞，﹣1]D ．（﹣∞，﹣2]【答案】D【解析】【分析】考虑x ≥1时，f （x ）递减，可得f （x ）≤﹣1，当x ＜1时，由二次函数的单调性可得f （x ）max ＝1+a ，由题意可得1+a ≤﹣1，可得a 的范围．【详解】当x ≥1时，f （x ）＝﹣log 1（x+1）递减，可得f （x ）≤f （1）＝﹣1，当且仅当x ＝1时，f （x ）取得最大值﹣1；当x ＜1时，f （x ）＝﹣（x+1）1+1+a ，当x ＝﹣1时，f （x ）取得最大值1+a ，由题意可得1+a ≤﹣1，解得a ≤﹣1．故选：D ．【点睛】本题考查分段函数的最值求法，注意运用对数函数和二次函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．7．已知函数()()2ln 1f x a x x =+-，在区间()0,1内任取两个实数p ，q ，且p q <，若不等式()()111f p f q p q+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．()15,+∞B ．[)15,+∞C ．(),6-∞D ．[)6,+∞ 【答案】B【解析】分析：首先，由()()11f p f q p q +-+-的几何意义，得到直线的斜率，然后，得到函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，从而得到f′（x ）=21a x x -+＞1 在（1，2）内恒成立．分离参数后，转化成 a ＞2x 2+3x+1在（1，2）内恒成立．从而求解得到a 的取值范围．详解：∵()()11f p f q p q +-+-的几何意义为：表示点（p +1，f （p+1）） 与点（q +1，f （q+1））连线的斜率，∵实数p ，q 在区间（0，1）内，故p +1 和q +1在区间（1，2）内．不等式()()11f p f q p q +-+-＞1恒成立，∴函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，故函数的导数大于1在（1，2）内恒成立．由函数的定义域知，x ＞﹣1，∴f′（x ）=21a x x -+＞1 在（1，2）内恒成立． 即 a ＞2x 2+3x+1在（1，2）内恒成立．由于二次函数y=2x 2+3x+1在[1，2]上是单调增函数，故 x=2时，y=2x 2+3x+1在[1，2]上取最大值为15，∴a≥15∴a ∈[15，+∞）．故选A ．点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >.8．若函数()ln f x x =与()()()2424g x x a x a a R =-+-+-∈图象上存在关于点()1,0M 对称的点，则实数a 的取值范围是（）A ．[)0,+∞B ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,+∞D ．[),e +∞ 【答案】C【解析】【分析】首先求()g x 关于点()1,0M 的函数，转化为其与ln y x =有交点，转化为ln x a x x =-，这样a 的范围就是ln x y x x=-的范围，转化为利用导数求函数的取值范围的问题. 【详解】设(),P x y 关于()1,0M 的对称点是()2,P x y '--在()()2424g x x a x a =-+-+- 上，()()()2224224y x a x a y x ax -=--+--+-⇒=-，根据题意可知，ln y x =与()2y x ax a R =-∈有交点， 即2ln ln x x x ax a x x =-⇒=-， 设ln x y x x=- ()0x >， 221ln x x y x-+'=， 令()21ln h x x x =-+，()0x > ()120h x x x'=+>恒成立， ()h x ∴在()0,∞+是单调递增函数，且()10h =，()h x ∴在()0,1()0h x <，即0y '<，()1,+∞时()0h x > ，即0y '> ，ln x y x x=-在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增， 所以当1x =时函数取得最小值1，即1y ≥ ，a ∴的取值范围是[)1,+∞. 故选C.【点睛】本题考查了根据函数的零点求参数取值范围的问题，有2个关键点，第一个是求()g x 关于M ()1,0对称的函数，根据函数有交点转化为ln x a x x=-，0x >，求其取值范围的问题，第二个关键点是在判断函数单调性时，用到二次求导，需注意这种逻辑推理.9．已知a ，b R ∈，复数21i a bi i +=+，则a b ⨯=（ ） A ．2-B ．1C ．0D ．2【答案】B【解析】分析：先将等式右边化简，然后根据复数相等的条件即可.详解： 2(1)111{11i a bi i i i ia b ab +==-=++=⇒=⇒=故选B.点睛：考查复数的除法运算和复数相等的条件，属于基础题.10．在正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1AC 的一个平面交1BB 于E ，交1DD 于F 得四边形1AEC F ，则下列结论正确的是（ ）A ．四边形1AEC F 一定为菱形B ．四边形1AEC F 在底面ABCD 内的投影不一定是正方形C ．四边形1AEC F 所在平面不可能垂直于平面11ACC AD ．四边形1AEC F 不可能为梯形【答案】D【解析】对于A ，当与两条棱上的交点都是中点时，四边形1AEC F 为菱形，故A 错误；对于B, 四边形1AEC F 在底面ABCD 内的投影一定是正方形,故B 错误；对于C, 当两条棱上的交点是中点时，四边形1AEC F 垂直于平面11ACC A ,故C 错误；对于D ，四边形1AEC F 一定为平行四边形，故D 正确.故选：D11．已知定义在(1,1)-上的函数()f x 与函数1()ln 1x g x x-=+有相同的奇偶性和单调性，则不等式(1)(23)0f x f x -+-<的解集为（）A ．4(,)3-∞B ．4(1,)3C ．4(,)3+∞D ．4(,2)3【答案】D【解析】【分析】先判断()g x 的奇偶性及单调性，即可由()f x 为奇函数性质及单调性解不等式，结合定义域即可求解.【详解】函数1()ln1xg xx-=+，定义域为()1,1-；则11()ln ln()11xxg x g xx x+--==-=--+，即()g x为奇函数，12()ln ln 111xg xx x-⎛⎫==-+⎪++⎝⎭，函数21yx=+在()1,1-内单调递减，由复合函数的单调性可知1()ln1xg xx-=+在()1,1-内单调递减，由题意可得函数()f x为在()1,1-内单调递减的奇函数，所以不等式(1)(23)0f x f x-+-<变形可得(1)(23)f x f x-<--，即(1)(32)f x f x-<-，则1111321132xxx x-<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩，解不等式组可得021243xxx⎧⎪<<⎪<<⎨⎪⎪>⎩，即4,23x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：D.【点睛】本题考查了函数奇偶性及单调性的判断，对数型复合函数单调性性质应用，由奇偶性及单调性解抽象不等式，注意定义域的要求，属于中档题.12．古印度“汉诺塔问题”：一块黄铜平板上装着三根金铜石细柱，其中细柱上套着个大小不等的环形金盘，大的在下、小的在上.将这些盘子全部转移到另一根柱子上，移动规则如下：一次只能将一个金盘从一根柱子转移到另外一根柱子上，不允许将较大盘子放在较小盘子上面.若柱上现有个金盘（如图），将柱上的金盘全部移到柱上，至少需要移动次数为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】设细柱上套着个大小不等的环形金盘，至少需要移动次数记为，则，利用该递推关系可求至少需要移动次数.设细柱上套着个大小不等的环形金盘，至少需要移动次数记为. 要把最下面的第个金盘移到另一个柱子上，则必须把上面的个金盘移到余下的一个柱子上，故至少需要移动次. 把第个金盘移到另一个柱子上后，再把个金盘移到该柱子上，故又至少移动次，所以， ，故，，故选B.【点睛】 本题考查数列的应用，要求根据问题情境构建数列的递推关系，从而解决与数列有关的数学问题.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．如图所示，阴影部分为曲线sin ()y x x ππ=-≤≤与x 轴围成的图形，在圆O ：222x y π+=内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为___．【答案】34π【解析】分析：由题求出圆的面积，根据定积分求出曲线()sin y x x ππ=-≤≤与x 轴围成的图形的 面积，利用几何概型求出概率.详解：由题圆O ：222x y π+=的面积为23,πππ⋅= 曲线()sin y x x ππ=-≤≤与x 轴围成的图形的面积为sin 2sin 2cos 4,0xdx xdx x πππππ--⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰ 故该点取自阴影部分的概率为34π. 即答案为34π.点睛：本题考查几何概型，考查利用定积分求面积，是缁.14．高一、高二、高三三个年级共有学生1500人，其中高一共有学生600人，现用分层抽样的方法抽取30人作为样本，则应抽取高一学生数为_______．【答案】12【分析】 由题得高一学生数为600301500⨯，计算即得解. 【详解】 由题得高一学生数为60030=121500⨯. 故答案为：12【点睛】本题主要考查分层抽样，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.15．已知0π⎰cos 6x dx π⎛⎫+ ⎪⎝⎭,则二项式52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的系数为__________． 【答案】【解析】分析：由微积分基本定理求出a ，再写出二项展开式的通项1r T +，令x 的指数为1，求得r ，从而求得x 的系数．详解：02cos()2sin()2066a x dx x ππππ=+=+=-⎰， 二项式252()x x -展开式通项为251031552()()(2)r r r r r r r T C x C x x--+=-=-，令1031r -=，则3r =．∴x 的系数为335(2)C 80-=-． 故答案为－1．点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.16．已知函数32()6(0)f x ax ax b a =-+>，使()f x 在[1,2]-上取得最大值3，最小值-29，则b 的值为__________．【答案】3【解析】分析：求函数的导数，可判断()f x 在[]1,2-上的单调性，求出函数在闭区间上[]1,2-的极大值，可得最大值，从而可得结果.详解：函数的()f x 的导数()()2'31234f x ax ax ax x =-=-，0a >Q ，∴由()'0f x <解得04x <<，此时函数单调递减.由()'0f x >，解得4x >或0x <，此时函数单调递增. 即函数在[]1,0-上单调递增，在[]0,2上单调递减，即函数在0x =处取得极大值同时也是最大值，则()03f b ==，故答案为3.点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于难题.求函数()f x 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x '；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．设命题函数在单调递增； 命题方程表示焦点在轴上的椭圆.命题“”为真命题,“”为假命题,求实数的取值范围.【答案】【解析】分析：化简命题可得，化简命题可得，由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围. 详解：由于命题函数在单调递增所以命题方程表示焦点在轴上的椭圆.所以命题“”为真命题,“”为假命题，则命题一真一假①真假时：②：综上所述：的取值范围为：点睛：本题通过判断或命题、且命题的真假，综合考查二次函数的单调性以及椭圆的标准方程与性质，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”. 18．已知a b ，为实数，函数，函数()ln g x x =．（1）当0a b ==时，令()()()F x f x g x =+，求函数()F x 的极值；（2）当1a =-时，令()()()G x f x g x =⋅，是否存在实数b ，使得对于函数()y G x =定义域中的任意实数1x ，均存在实数2[1,)x ∈+∞，有12()0G x x -=成立，若存在，求出实数b 的取值集合；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()F x 的极小值为(1)1F =，无极大值．（2）12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（1）当0a b ==时，1()ln F x x x=+，定义域为(0,)+∞，由()0F x '=得1x =．列表分析得()F x 的极小值为(1)1F =，无极大值．（2）恒成立问题及存在问题，一般利用最值进行转化：1()()ln 11G x b x x =+≥-在(0,1)(1,)x ∈+∞U 上恒成立．由于min ()G x 不易求，因此再进行转化：当(0,1)x ∈时，1()()ln 11G x b x x =+≥-可化为(1)ln 10bx b x x +--+≤，令()(1)ln 1,(0,1)H x bx b x x x =+--+∈，问题转化为：()0H x ≤对任意(0,1)x ∈恒成立；同理当(1,)x ∈+∞时，1()()ln 11G x b x x =+≥-可化为(1)ln 10bx b x x +--+≥，令()(1)ln 1,(1,)H x bx b x x x =+--+∈+∞，问题转化为：()0H x ≥对任意的(1,)x ∈+∞恒成立；以下根据导函数零点情况进行讨论即可. 试题解析：（1）1()ln F x x x=+， 21()x F x x'-=，令()0F x '=，得1x =． 列表：x(0,1)1(1,)+∞()F x '-+()F x↘极小值↗所以()F x 的极小值为(1)1F =，无极大值．（2）当1a =-时，假设存在实数b 满足条件，则1()()ln 11G x b x x =+≥-在(0,1)(1,)x ∈+∞U 上恒成立．1）当(0,1)x ∈时，1()()ln 11G x b x x =+≥-可化为(1)ln 10bx b x x +--+≤， 令()(1)ln 1,(0,1)H x bx b x x x =+--+∈，问题转化为：()0H x ≤对任意(0,1)x ∈恒成立；（*）则(1)0H =，1()ln 1bH x b x b x'-=++-，(1)0H '=． 令1()ln 1b Q x b x b x -=++-，则2(1)1()b x Q x x '+-=． ①12b ≤时，因为11(1)1(1)121022b x x +-≤+-<⨯-=，故()0Q x '<，所以函数()y Q x =在(0,1)x ∈时单调递减，()(1)0Q x Q >=， 即()0H x '>，从而函数()y H x =在(0,1)x ∈时单调递增，故，所以（*）成立，满足题意；②当12b >时，221[(1)](1)1()b x b x b Q x x x '--+-==， 因为12b >，所以111b -<，记1110,1I b =-⋂（，）（），则当x I ∈时，1(1)0x b -->，故()0Q x '>，所以函数()y Q x =在x I ∈时单调递增，()(1)0Q x Q <=， 即()0H x '<，从而函数()y H x =在x I ∈时单调递减，所以，此时（*）不成立；所以当(0,1)x ∈，1()()ln 11G x b x x =+≥-恒成立时，12b ≤；2）当(1,)x ∈+∞时，1()()ln 11G x b x x =+≥-可化为(1)ln 10bx b x x +--+≥， 令()(1)ln 1,(1,)H x bx b x x x =+--+∈+∞，问题转化为：()0H x ≥对任意的(1,)x ∈+∞恒成立；（**） 则(1)0H =，1()ln 1bH x b x b x'-=++-，(1)0H '=．令1()ln1bQ x b x bx-=++-，则2(1)1()b xQ xx'+-=．①12b≥时，1(1)1212102b x b+->-≥⨯-=，故()0Q x'>，所以函数()y Q x=在(1,)x∈+∞时单调递增，()(1)0Q x Q>=，即()0H x'>，从而函数()y H x=在(1,)x∈+∞时单调递增，所以()(1)0H x H>=，此时（**）成立；②当12b<时，ⅰ）若0b≤，必有()0Q x'<，故函数()y Q x=在(1,)x∈+∞上单调递减，所以()(1)0Q x Q<=，即()0H x'<，从而函数()y H x=在(1,)x∈+∞时单调递减，所以，此时（**）不成立；ⅱ）若12b<<，则111b->，所以当11,1xb∈-（）时，221[(1)](1)1()0b xb x bQ xx x'--+-==<，故函数()y Q x=在11,1xb∈-（）上单调递减，()(1)0Q x Q<=，即()0H x'<，所以函数()y H x=在11,1xb∈-（）时单调递减，所以，此时（**）不成立；所以当(1,)x∈+∞，1()()ln11G x b xx=+≥-恒成立时，12b≥；综上所述，当(0,1)(1,)x∈+∞U，1()()ln11G x b xx=+≥-恒成立时，12b=，从而实数b的取值集合为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭．考点：利用导数求极值，利用导数研究函数单调性19．在四棱锥P ABCD﹣中，1//,12AD BC AD AB DC BC====，E是PC的中点，面PAC⊥面ABCD．（1）证明：//ED面PAB；（2）若2,3PC PA==A PC D--的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）63.【解析】试题分析：（Ⅰ）取PB的中点F，连接AF，EF，由三角形的中位线定理可得四边形ADEF是平行四边形．得到DE∥AF，再由线面平行的判定可得ED∥面PAB；（Ⅱ）法一、取BC的中点M，连接AM，由题意证得A在以BC为直径的圆上，可得AB⊥AC，找出二面角A-PC-D的平面角．求解三角形可得二面角A-PC-D的余弦值．试题解析：（Ⅰ）证明：取PB的中点F，连接AF，EF．∵EF是△PBC的中位线，∴EF∥BC，且EF=．又AD=BC，且AD=，∴AD∥EF且AD=EF，则四边形ADEF是平行四边形．∴DE∥AF，又DE⊄面ABP，AF⊂面ABP，∴ED∥面PAB（Ⅱ）法一、取BC的中点M，连接AM，则AD∥MC且AD=MC，∴四边形ADCM是平行四边形，∴AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上．∴AB⊥AC，可得．过D作DG⊥AC于G，∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴DG⊥平面PAC，则DG⊥PC．过G作GH⊥PC于H，则PC⊥面GHD，连接DH，则PC⊥DH，∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角．在△ADC中，，连接AE，．在Rt△GDH中，，∴，即二面角A﹣PC﹣D的余弦值法二、取BC的中点M，连接AM，则AD∥MC，且AD=MC．∴四边形ADCM是平行四边形，∴AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上，∴AB⊥AC．∵面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴AB⊥面PAC．如图以A为原点，方向分别为x轴正方向，y轴正方向建立空间直角坐标系．可得，．设P （x ，0，z ），（z ＞0），依题意有，，解得． 则，，．设面PDC 的一个法向量为，由，取x 0=1，得．为面PAC 的一个法向量，且，设二面角A ﹣PC ﹣D 的大小为θ， 则有，即二面角A ﹣PC ﹣D 的余弦值．20．小威初三参加某高中学校的数学自主招生考试，这次考试由十道选择题组成，得分要求是：做对一道题得1分，做错一道题扣去1分，不做得0分，总得分7分就算及格，小威的目标是至少得7分获得及格，在这次考试中，小威确定他做的前六题全对，记6分，而他做余下的四道题中，每道题做对的概率均为p (01)p <<，考试中，小威思量：从余下的四道题中再做一题并且及格的概率1P p =；从余下的四道题中恰做两道并且及格的概率22P p =，他发现12P P >，只做一道更容易及格.（1）设小威从余下的四道题中恰做三道并且及格的概率为3P ，从余下的四道题中全做并且及格的概率为4P ，求3P 及4P ；（2）由于p 的大小影响，请你帮小威讨论：小威从余下的四道题中恰做几道并且及格的概率最大？【答案】 (1) 23(32)P p p =-，34(43)P p p =-.(2) 102p <<时，恰做一道及格概率最大；12p =时，13P P =；112p <<时，恰做三道及格概率最大. 【解析】分析：（1）根据题意得到()32331P p p p =+-，()43441P p p p =+-；（2）根据题意得到选择概率较大的即可，分13 P P >且14P P >，31P P >且34P P >，41P P >且43P P >三种情况.详解：（1）()()32233132P p p p pp =+-=-，()()43344143P p p p p p =+-=-；（2）① 13P P >且14P P >，∴102p <<；② 31P P >且34P P >，112p <<； ③ 41P P >且43P P >，无解；综上，102p <<时，恰做一道及格概率最大；12p =时，13P P =；112p <<时，恰做三道及格概率最大.点 睛：这 个 题 目 考 查 的 是 概 率 的 计 算 以 及 多 项 式 比 较 大 小 的 应 用, 分 类 讨 论 的 思 想.。

山东省淄博市2019-2020年度数学高二下学期理数期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·怀仁期中) 满足的集合A的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 42. （2分） (2016高二下·广州期中) 在复平面内，复数1+i与1+3i分别对应向量，其中O为坐标原点，则 =（）A .B . 2C .D . 43. （2分） (2018高三上·静安期末) “抛物线的准线方程为”是“抛物线的焦点与双曲线的焦点重合”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） (2018高一上·岳阳期中) 已知，，，则A .B .C .D .5. （2分）用数学归纳法证明1﹣ + ﹣+…+ ﹣ = + +…+ ，则当n=k+1时，左端应在n=k的基础上加上（）A .B . ﹣C . ﹣D . +6. （2分） (2019高一上·儋州期中) 设，给出下列四个图形，其中能表示从集合到集合的函数关系的有（）．A . 个B . 个C . 个D . 个7. （2分）若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m的取值范围是（）A . （0，4]B . [,4]C . [,3]D . [,+)8. （2分）已知命题，命题，则是的（）A . 充分必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分而不必要条件D . 既不充分也不必要条件9. （2分）下列说法中正确的是（）A . 若为真命题，则均为真命题B . 命题“”的否定是“”C . “”是“恒成立“的充要条件D . 在中，“”是“”的必要不充分条件10. （2分）(2018·淮南模拟) 已知函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .11. （2分）已知定义在（﹣3，3）上的函数f（x）满足f（x﹣1）=﹣f（1﹣x），且x≥0时，f（x）=x3 ，则f（x）+27f（1﹣x）＞0的解集为（）A . ∅B . （﹣3，）C . （﹣2，）D . （， 3）12. （2分） (2019高二上·南宁月考) 设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上是关联函数，称为关联区间，若与在上是关联函数，则的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）(2017·青州模拟) 若的展开式中常数项为43，则 ________．14. （2分） (2020高三上·海淀期末) 用“五点法”作函数的图象时，列表如下：则 ________， ________.15. （1分） (2016高二下·揭阳期中) 函数f（x）=x3﹣3x的极小值为________．16. （1分）已知定义在R上的函数f（x）是满足f（x）﹣f（﹣x）=0，在（﹣∞，0]上总有＜0，则不等式f（2x﹣1）＜f（3）的解集为________．三、解答题 (共3题；共20分)17. （5分）解答题（Ⅰ）若圆x2+y2=4在伸缩变换（λ＞0）的作用下变成一个焦点在x轴上，且离心率为的椭圆，求λ的值；（Ⅱ）在极坐标系中，已知点A（2，0），点P在曲线C：上运动，求P、A两点间的距离的最小值．18. （5分）已知命题p：不等式|x|+|x﹣1|＞m的解集为R，命题q：f（x）=（5﹣2m）x是增函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．19. （10分）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为棱CC1上的动点．（1）若E为棱CC1的中点，求证：A1E⊥平面BDE；（2）试确定E点的位置使直线A1C与平面BDE所成角的正弦值是．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共3题；共20分)17-1、18-1、19-1、19-2、。

山东省淄博市2019-2020学年数学高二第二学期期末考试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ） A ．43- B ．1- C ．34- D ．12- 【答案】C【解析】试题分析：由已知得，抛物线22y px =的准线方程为2p x =-，且过点(2,3)A -，故22p -=-，则4p =，(2,0)F ，则直线AF 的斜率303224k -==---，选C ． 考点：1、抛物线的标准方程和简单几何性质；2、直线的斜率．2．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ）A ．12E E ξξ<，12D D ξξ<B ．12E E ξξ=，12D D ξξ>C ．12E E ξξ=，12D D ξξ<D ．12E E ξξ>，12D D ξξ>【答案】B【解析】【分析】分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系.【详解】 1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1，()1409P ξ==，()1129P ξ==，()141411999P ξ==--=， 故123E ξ=，22214144402199999D ξ=⨯+⨯+⨯-=. ()22110323P ξ⨯===⨯，()221221323P ξ⨯⨯===⨯， 故223E ξ=，2221242013399D ξ=⨯+⨯-=, 故12E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B .【点睛】离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.3．一个算法的程序框图如图所示，如果输出y 的值是1，那么输入x 的值是 （ ）A ．-1B ．2C ．-1或2D ．1或-2【答案】C【解析】【分析】 根据条件结构，分0x ≥，0x <两类情况讨论求解.【详解】当0x ≥时，因为输出的是1，所以2log 1x =，解得2x =.当0x <时，因为输出的是1， 所以21x -+=，解得1x =-.综上：2x =或1x =-.故选：C【点睛】本题主要考查程序框图中的条件结构，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于基础题. 4．在一次抽奖活动中，一个箱子里有编号为1至10的十个号码球(球的大小、质地完全相同，但编号不同)，里面有n 个号码为中奖号码，若从中任意取出4个小球，其中恰有1个中奖号码的概率为821，那么这10个小球中，中奖号码小球的个数n 为A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】C利用古典概型列出恰有1个中奖号码的概率的方程，解方程即可．【详解】依题意，从10个小球中任意取出1个小球，其中恰有1个中奖号码的概率为821， 所以1310410821n n C C C -⨯=， 所以n （10﹣n ）（9﹣n ）（8﹣n ）＝180，（n ∈N *）解得n ＝1．故选：C ．【点睛】本题考查了古典概型的概率公式的应用，考查了计数原理及组合式公式的运算，属于中档题． 5．某产品的销售收入1y （万元）关于产量x（千台）的函数为)10y x =>；生产成本2y （万元）关于产量x（千台）的函数为)2203y x =>，为使利润最大，应生产产品( ) A ．9千台B ．8千台C ．7千台D ．6千台【答案】B【解析】【分析】根据题意得到利润关于产量的函数式，再由导数求得使利润最大时的产量，即可求解出答案。

山东省淄博市2019-2020学年高二第二学期期末考试数学试卷一、选择题（共8小题）.1．在复平面内，复数z＝对应的点位于（）A．第二象限B．第一象限C．第四象限D．第三象限2．若函数，则f'（0）＝（）A．B．C．D．3．某校高二期末考试学生的数学成绩ξ（满分150分）服从正态分布N（75，σ2），且P（60＜ξ＜90）＝0.8，则P（ξ≥90）＝（）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.14．二项式展开式中的常数项为（）A．28 B．﹣28 C．56 D．﹣565．已知离散型随机变量X的分布列为：X 1 2 3P缺失数据则随机变量X的期望为（）A．B．C．D．6．参加完某项活动的6名成员合影留念，前排和后排各3人，不同排法的种数为（）A．360 B．720 C．2160 D．43207．函数f（x）＝x2﹣sin|x|的图象大致是（）A．B．C．D．8．当调查敏感问题时，一般难以获得被调查者的合作，所得结果可能不真实，此时通常采用“瓦纳随机问答法”进行调查．为调查某大学学生谈恋爱的比例．提出问题如下：问题1：你现在谈恋爱吗？问题2：你学籍号尾数是偶数吗？设计了一副纸牌共100张，其中75张标有数字1，25张标有数字2．随机调查了该校1000名学生，每名学生任意抽取一张纸牌．若抽到标有数字1的纸牌回答问题1；若抽到标有数字2的纸牌回答问题2，回答“是”或“否”后放回．统计显示共有200名学生回答“是”，估计该大学学生现在谈恋爱的百分比是（）A．10% B．20% C．25% D．45%二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知函数，则（）A．f（0）＝1B．函数f（x）的极小值点为0C．函数f（x）的单调递减区间是（0，+∞）D．∀x∈R，不等式f（x）≥e恒成立10．下列说法正确的是（）A．对于独立性检验，随机变量K2的观测值k值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越小B．在回归分析中，相关指数R2越大，说明回归模型拟合的效果越好C．随机变量ξ～B（n，p），若E（x）＝30，D（x）＝20，则n＝45D．以拟合一组数据时，经z＝lny代换后的线性回归方程为，则c＝e4，k＝0.311．下列说法正确的是（）A．若|z|＝2，则B．若复数z1，z2满足|z1+z2|＝|z1﹣z2|，则z1z2＝0C．若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虛部相等D．“a≠1”是“复数z＝（a﹣1）+（a2﹣1）i（a∈R）是虚数”的必要不充分条件12．经济学中经常用弹性函数研究函数的相对变化率和相对改变量．一般的，如果函数f（x）存在导函数f'（x），称为函数f（x）的弹性函数，下列说法正确的是（）A．函数f（x）＝C（C为常数）的弹性函数是B．函数f（x）＝cos x的弹性函数是C．D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线y＝在点（0，1）处的切线方程为．14．用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻两面不同色，有种涂法．15．若复数z满足|z﹣3﹣4i|＝1，则|z|的最小值为．16．已知（ax﹣1）2020＝a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020（a＞0），得a0＝．若（a0+a2+…+a2020）2﹣（a1+a3+…+a2019）2＝1，则a＝．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，通过汇总数据得到下面等高条形图：（1）根据所给等高条形图数据，完成下面的2×2列联表：满意不满意男顾客女顾客（2）根据（1）中列联表，判断是否有99%的把握认为顾客对该商场服务的评价与性别有关？附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.82818．据某县水资源管理部门估计，该县10%的乡村饮用水井中含有杂质A．为了弄清该估计值是否正确，需要进一步验证．由于对所有的水井进行检测花费太大，所以决定从全部饮用水井中随机抽取5口水井检测．（1）假设估计值是正确的，求抽取5口水井中至少有1口水井含有杂质A的概率；（2）在概率中，我们把发生概率非常小（一般以小于0.05为标准）的事件称为小概率事件，意思是说，在随机试验中，如果某事件发生的概率非常小，那么它在一次试验中几乎是不可能发生的．假设在随机抽取的5口水井中有3口水井含有杂质A，试判断“该县10%的乡村饮用水井中含有杂质A”的估计是否正确，并说明理由．参考数据：93＝729，94＝6561，95＝59049．19．已知函数．（1）若a＝0，证明：当x∈（3，+∞）时，f（x）＞3x﹣8；（2）若过点M（﹣1，1）可作曲线y＝f（x）的3条切线，求a的取值范围．20．线上学习是有效的教学辅助形式，向阳中学高二某班共有10名学困生（独立学习有困难），为及时给学困生释惑答疑，每天上午和下午各安排1次在线答疑．因多种原因，每次只能满足6名学生同时登录参加在线答疑，且在上午和下午各有6名学生相互独立的登录参加在线答疑．（1）记“10名学困生每天每人至少参加一次在线答疑”为事件A，求P（A）；（2）用ξ表示该班每天上午和下午都参加在线答疑的学困生人数，求ξ的分布列及ξ的期望值Eξ．21．随着人民生活水平的日益提高，某小区拥有私家车的数量与日俱增，物业公司统计了近六年小区私家车的数量，数据如下：年份2014 2015 2016 2017 2018 2019 编号x 1 2 3 4 5 6 数量y（辆） 41 96 116 190 218 275（1）若该小区私家车的数量y与年份编号x的关系可用线性回归模型来拟合，请求出y 关于x的线性回归方程，并用相关指数R2分析其拟合效果（R2精确到0.01）；（2）由于该小区没有配套停车位，车辆无序停放易造成交通拥堵，因此物业公司预在小区内划定一定数量的停车位，若要求在2022年小区停车位数量仍可满足需要，则至少需要规划多少个停车位．参考数据：，，，．附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，相关指数，残差．22．已知函数．（1）若时，求函数f（x）的单调区间；（2）若x＞1时，不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的最大值．山东省淄博市2019-2020学年高二第二学期期末考试数学试卷参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．在复平面内，复数z＝对应的点位于（）A．第二象限B．第一象限C．第四象限D．第三象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得z的坐标得答案．解：∵z＝＝，∴复数z＝对应的点的坐标为（﹣1，﹣2），位于第三象限．故选：D．2．若函数，则f'（0）＝（）A．B．C．D．【分析】根据题意，求出函数的导数，令x＝0，计算即可．解：由，得f′（x）＝﹣×，则f′（0）＝﹣，故选：B．3．某校高二期末考试学生的数学成绩ξ（满分150分）服从正态分布N（75，σ2），且P（60＜ξ＜90）＝0.8，则P（ξ≥90）＝（）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1【分析】由已知求得正态分布曲线的对称轴，再由已知P（60＜ξ＜90）＝0.8，结合正态分布曲线的对称性得答案．解：∵数学成绩ξ服从正态分布N（75，σ2），则正态分布曲线的对称轴方程为x＝75，又P（60＜ξ＜90）＝0.8，∴P（ξ≥90）＝＝．故选：D．4．二项式展开式中的常数项为（）A．28 B．﹣28 C．56 D．﹣56【分析】写出二项式展开式的通项公式，令的指数为0，计算即可求得结果．解：二项式展开式的通项公式为T r+1＝x8﹣r＝（﹣1）r，令8﹣＝0，解得r＝6，∴二项式展开式中的常数项为＝28．故选：A．5．已知离散型随机变量X的分布列为：X 1 2 3P缺失数据则随机变量X的期望为（）A．B．C．D．【分析】利用分布列的性质求出缺失数据，然后求解期望即可．解：由分布列的概率的和为1，可得：缺失数据：1﹣﹣＝．所以随机变量X的期望为：＝．故选：C．6．参加完某项活动的6名成员合影留念，前排和后排各3人，不同排法的种数为（）A．360 B．720 C．2160 D．4320【分析】根据题意，分2步进行分析：①在6人中任选3人，安排在第一排，②将剩下的3人全排列，安排在第二排，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①在6人中任选3人，安排在第一排，有C63A33＝120种排法；②将剩下的3人全排列，安排在第二排，有A33＝6种排法；则有120×6＝720种不同的排法；故选：B．7．函数f（x）＝x2﹣sin|x|的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析可得f（x）为偶函数，可以排除B，结合解析式求出f（0）、f （）的值，排除A、D，即可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝x2﹣sin|x|，有f（﹣x）＝x2﹣sin|x|＝f（x），函数f（x）为偶函数，排除B，又由f（0）＝0﹣0＝0，排除A，f（）＝（）2﹣sin＝＜0，函数在x轴下方有图象，排除D；故选：C．8．当调查敏感问题时，一般难以获得被调查者的合作，所得结果可能不真实，此时通常采用“瓦纳随机问答法”进行调查．为调查某大学学生谈恋爱的比例．提出问题如下：问题1：你现在谈恋爱吗？问题2：你学籍号尾数是偶数吗？设计了一副纸牌共100张，其中75张标有数字1，25张标有数字2．随机调查了该校1000名学生，每名学生任意抽取一张纸牌．若抽到标有数字1的纸牌回答问题1；若抽到标有数字2的纸牌回答问题2，回答“是”或“否”后放回．统计显示共有200名学生回答“是”，估计该大学学生现在谈恋爱的百分比是（）A．10% B．20% C．25% D．45%【分析】由题意回答问题2的学生有250人，其中有125人回答是，由此得到回答问题的学生有750人，其中200﹣125＝75人回答是，从而能估计该大学学生现在谈恋爱的百分比．解：由题意回答问题2的学生有：1000×＝250人，∴回答问题2的学生有250×＝125人回答是，回答问题的学生有750人，其中200﹣125＝75人回答是，∴该大学学生现在谈恋爱的百分比是：＝10%．故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知函数，则（）A．f（0）＝1B．函数f（x）的极小值点为0C．函数f（x）的单调递减区间是（0，+∞）D．∀x∈R，不等式f（x）≥e恒成立【分析】在已知函数解析式中，取x＝0求得f（0）判断A；把f（0）代入函数解析式，利用导数求函数的单调性并求极值、最值判断BCD．解：在中，取x＝0，可得f（0）＝e0＝1．故A正确；则f（x）＝，f′（x）＝e x+x﹣1，f″（x）＝e x+1＞0．∴f′（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，∵f′（0）＝e0﹣1＝0，∴当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，则f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）的极小值为f（0）＝e0＝1，故B正确；C，D错误．故选：AB．10．下列说法正确的是（）A．对于独立性检验，随机变量K2的观测值k值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越小B．在回归分析中，相关指数R2越大，说明回归模型拟合的效果越好C．随机变量ξ～B（n，p），若E（x）＝30，D（x）＝20，则n＝45D．以拟合一组数据时，经z＝lny代换后的线性回归方程为，则c＝e4，k＝0.3【分析】直接利用独立性检测的关系式及回归直线方程的应用和均值和方差关系式的应用求出结果．解：对于选项A：对于独立性检验，随机变量K2的观测值k值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，故错误．对于选项B：在回归分析中，相关指数R2越大，说明回归模型拟合的效果越好，当R2＝±1时，说明回归直线为理想直线．正确．对于选项C：随机变量ξ～B（n，p），若E（x）＝30，D（x）＝20，所以，解得，故p＝，解得n＝90，故错误．对于选项D：，两边取对数，可得＝ln（ce kx）＝lnc+kx．令z＝，可得z＝lnc+kx，由于经z＝lny代换后的线性回归方程为，所以lnc＝4，k＝0.3，故c＝e4，k＝0.3．故正确．故选：BD．11．下列说法正确的是（）A．若|z|＝2，则B．若复数z1，z2满足|z1+z2|＝|z1﹣z2|，则z1z2＝0C．若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虛部相等D．“a≠1”是“复数z＝（a﹣1）+（a2﹣1）i（a∈R）是虚数”的必要不充分条件【分析】由|z|求得判断A；设出z1，z2，证明在满足|z1+z2|＝|z1﹣z2|时，不一定有z1z2＝0判断B；举例说明C错误；由充分必要条件的判定说明D正确．解：A．若|z|＝2，则，故A正确；B．设z1＝a1+b1i（a1，b1∈R），z2＝a2+b2i（a2，b2∈R）．由|z1+z2|＝|z1﹣z2|，得|z1+z2|2＝（a1+a2）2+（b1+b2）2＝|z1﹣z2|2＝（a1﹣a2）2+（b1﹣b2）2，则a1a2+b1b2＝0，而z1•z2＝（a1+b1i）（a2+b2i）＝a1a2﹣b1b2＝2a1a2不一定等于0，故B错误；C．z＝1﹣i，z2＝（1﹣i）2＝﹣2i为纯虚数，其实部与虚部不等，故C错误；D．复数z＝（a﹣1）+（a2﹣1）i（a∈R）是虚数则a2﹣1≠0，即a≠±1，故“a≠1”是“复数z＝（a﹣1）+（a2﹣1）i（a∈R）是虚数”的必要不充分条件，故D正确．故选：AD．12．经济学中经常用弹性函数研究函数的相对变化率和相对改变量．一般的，如果函数f（x）存在导函数f'（x），称为函数f（x）的弹性函数，下列说法正确的是（）A．函数f（x）＝C（C为常数）的弹性函数是B．函数f（x）＝cos x的弹性函数是C．D．【分析】结合基本初等函数的求导法则、导数的乘除运算法则以及弹性函数的定义式，逐一判断每个选项即可．解：对A，＝C'•＝0，即A正确；对B，＝（cos x）'•＝﹣sin x•＝﹣x tan x，即B正确；对C，＝[f1（x）+f2（x）]'•＝f1'（x）•+f2'（x）•，而+＝f1'（x）•+f2'（x）•，即C错误；对D，＝•＝•＝•x＝f1'（x）•﹣f2'（x）•＝﹣，即D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线y＝在点（0，1）处的切线方程为x﹣2y+2＝0．【分析】求函数y的导数，然后求出切线的斜率，再求出切线方程．解：y＝的导数为y′＝，可得曲线在点（0，1）处的切线斜率为，则曲线在点（0，1）处的切线方程为y﹣1＝（x﹣0），即x﹣2y+2＝0．故答案为：x﹣2y+2＝0．14．用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻两面不同色，有72种涂法．【分析】先给底面涂色，有4种涂法，设4个侧面为A、B、C、D，然后给A、B面；给C面，分C与A相同色、C与A不同色，利用乘法原理可得结论．解：先给底面涂色，有4种涂法，设4个侧面为A、B、C、D，然后给A面涂色，有3种；给B面涂色，有2种；给C面，若C与A相同色，则D面可以涂2种；若C与A不同色，则D面可以涂1种，所以共有4×3×2×（2+1）＝72．故答案为：72．15．若复数z满足|z﹣3﹣4i|＝1，则|z|的最小值为4．【分析】根据条件可知，满足|z﹣3﹣4i|＝1的复数z在复平面内对应的点在以C（3，4）为圆心，以1为半径的圆上，然后求出|z|的最小值．解：满足|z﹣3﹣4i|＝1的复数z在复平面内对应的点在以C（3，4）为圆心，以1为半径的圆上，如图，则|z|的最小值为．故答案为：4．16．已知（ax﹣1）2020＝a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020（a＞0），得a0＝1．若（a0+a2+…+a2020）2﹣（a1+a3+…+a2019）2＝1，则a＝．【分析】令x＝0，可得a0的值；分别令x＝﹣1以及x＝1，即可求解a的值．解：已知（ax﹣1）2020＝a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020（a＞0），令x＝0，可得a0＝1．令x＝1得，（a﹣1）2020＝a0+a1+a2+…+a2020，令x＝﹣1得，（﹣a﹣1）2020＝a0﹣a1+a2﹣a3+…+a2020，而（a0+a2+…+a2020）2﹣（a1+a3+…+a2019）2＝（a0+a1+a2+…+a2020）（a0﹣a1+a2﹣a3+…+a2020）＝（a﹣1）2020（﹣a﹣1）2020＝[（a﹣1）（﹣a﹣1）]2020＝（a2﹣1）2020＝1，解得a＝（负值和0舍）．故答案为：1，．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，通过汇总数据得到下面等高条形图：（1）根据所给等高条形图数据，完成下面的2×2列联表：满意不满意男顾客女顾客（2）根据（1）中列联表，判断是否有99%的把握认为顾客对该商场服务的评价与性别有关？附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828【分析】（1）根据题意填写列联表即可；（2）由列联表计算观测值，对照临界值得出结论．解：（1）根据所给等高条形图数据，完成2×2列联表如下；满意不满意男顾客40 10女顾客30 20 （2）根据（1）中列联表，计算K2＝＝≈4.762＜6.635，所以没有99%的把握认为顾客对该商场服务的评价与性别有关．18．据某县水资源管理部门估计，该县10%的乡村饮用水井中含有杂质A．为了弄清该估计值是否正确，需要进一步验证．由于对所有的水井进行检测花费太大，所以决定从全部饮用水井中随机抽取5口水井检测．（1）假设估计值是正确的，求抽取5口水井中至少有1口水井含有杂质A的概率；（2）在概率中，我们把发生概率非常小（一般以小于0.05为标准）的事件称为小概率事件，意思是说，在随机试验中，如果某事件发生的概率非常小，那么它在一次试验中几乎是不可能发生的．假设在随机抽取的5口水井中有3口水井含有杂质A，试判断“该县10%的乡村饮用水井中含有杂质A”的估计是否正确，并说明理由．参考数据：93＝729，94＝6561，95＝59049．【分析】（1）利用独立重复试验与对立事件的概率求解；（2）利用二项分布求得在随机抽取的5口水井中有3口水井含有杂质A的概率，与0.05比较大小得结论．解：（1）假设估计值是正确的，即随机抽一口水井，含有杂质A的概率p＝0.1．抽取5口水井中至少有1口水井含有杂质A的概率P＝1﹣（1﹣0.1）5＝0.40951；（2）在随机抽取的5口水井中有3口水井含有杂质A的概率为＝0.0081＜0.05．说明在随机抽取的5口水井中有3口水井含有杂质A是小概率事件，它在一次试验中几乎是不可能发生的，说明“该县10%的乡村饮用水井中含有杂质A”的估计是错误的．19．已知函数．（1）若a＝0，证明：当x∈（3，+∞）时，f（x）＞3x﹣8；（2）若过点M（﹣1，1）可作曲线y＝f（x）的3条切线，求a的取值范围．【分析】（1）若a＝0，则f（x）＝x3﹣x2+1，令g（x）＝f（x）﹣（3x﹣8），求导，利用单调性求得g（x）＞0，即可得证；（2）设切点为N（x，x3﹣x2+ax+1），由k MN＝f’（x），可得关于x的方程x3﹣2x+a ＝0，由过点M（﹣1，1）可作曲线y＝f（x）的3条切线，可得方程有三个解，令h（x）＝x3﹣2x+a，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】（1）证明：若a＝0，则f（x）＝x3﹣x2+1，令g（x）＝f（x）﹣（3x﹣8）＝x3﹣x2﹣3x+9，则g′（x）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1），当x∈（3，+∞）时，g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，所以g（x）＞g（3）＝0，即f（x）＞3x﹣8，得证．（2）解：设切点为N（x，x3﹣x2+ax+1），又M（﹣1，1），则k MN＝f′（x）＝x2﹣2x+a＝，整理得x3﹣2x+a＝0，由题意可知此方程有三个解，令h（x）＝x3﹣2x+a，∴h'（x）＝2x2﹣2＝2（x+1）（x﹣1），由h'（x）＞0，解得x＞1或x＜﹣1，由h'（x）＜0解得﹣1＜x＜1，即函数h（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减．要使得h（x）＝0有3个根，则h（﹣1）＞0，且h（1）＜0，解得﹣＜a＜，即a的取值范围为（﹣，）．20．线上学习是有效的教学辅助形式，向阳中学高二某班共有10名学困生（独立学习有困难），为及时给学困生释惑答疑，每天上午和下午各安排1次在线答疑．因多种原因，每次只能满足6名学生同时登录参加在线答疑，且在上午和下午各有6名学生相互独立的登录参加在线答疑．（1）记“10名学困生每天每人至少参加一次在线答疑”为事件A，求P（A）；（2）用ξ表示该班每天上午和下午都参加在线答疑的学困生人数，求ξ的分布列及ξ的期望值Eξ．【分析】（1）上午与下午参加的学生只有5种情形有2人，3人，4人，5人，6人，有2人上下午均参加时，剩下的学生有4人选上午，4人选下午，共有种可能，有3人上下午均参加时，剩下的学生有3人选上午，3人选下午，共有种可能，在4人上下午均参加时，剩下的学生有2人选午，2人选下午，共有种可能，有5人上下午均参加时，剩下的学生有1人选上午，1人选下午，共有种可能，有6人上下午均参加时，剩下的学生有0人选上午，0人选下午，共有种可能，求出样本空间总数为n＝++++＝44100，事件A的基本事件数为：有2人上下午均参加时，剩下的学生有4人选上午，4人选下午，共有m＝＝3150，由此能求出P（A）．（2）ξ的可能取值为2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．解：（1）问题中要做的一件事：10位学生参加在线答疑，样本空间有三种情况：上午与下午均参加，上午参加下午不参加，上午不参加下午参加．而上午与下午参加的学生只有5种情形：有2人，3人，4人，5人，6人，有2人上下午均参加时，剩下的学生有4人选上午，4人选下午，共有种可能，有3人上下午均参加时，剩下的学生有3人选上午，3人选下午，共有种可能，在4人上下午均参加时，剩下的学生有2人选午，2人选下午，共有种可能，有5人上下午均参加时，剩下的学生有1人选上午，1人选下午，共有种可能，有6人上下午均参加时，剩下的学生有0人选上午，0人选下午，共有种可能，∴样本空间总数为n＝++++＝44100，事件A的基本事件数为：有2人上下午均参加时，剩下的学生有4人选上午，4人选下午，共有m＝＝3150，∴P（A）＝＝．（2）用ξ表示该班每天上午和下午都参加在线答疑的学困生人数，ξ的可能取值为2，3，4，5，6，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝4）＝＝，P（ξ＝5）＝＝，P（ξ＝6）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ 2 3 4 5 6Pξ的期望值Eξ＝＝3.6．21．随着人民生活水平的日益提高，某小区拥有私家车的数量与日俱增，物业公司统计了近六年小区私家车的数量，数据如下：年份2014 2015 2016 2017 2018 2019 编号x 1 2 3 4 5 6 数量y（辆） 41 96 116 190 218 275（1）若该小区私家车的数量y与年份编号x的关系可用线性回归模型来拟合，请求出y 关于x的线性回归方程，并用相关指数R2分析其拟合效果（R2精确到0.01）；（2）由于该小区没有配套停车位，车辆无序停放易造成交通拥堵，因此物业公司预在小区内划定一定数量的停车位，若要求在2022年小区停车位数量仍可满足需要，则至少需要规划多少个停车位．参考数据：，，，．附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，相关指数，残差．【分析】（1）由已知数据求得与的值，则线性回归方程可求，再求出残差平方和，代入相关指数公式求得R2，根据与1的接近程度分析拟合效果；（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取x＝9求得y值即可．解：（1），×936＝156．＝＝46，．∴y关于x的线性回归方程为．x＝1时，＝41，x＝2时，＝87，x＝3时，＝133，x＝4时，＝179，x＝5时，＝225，x＝6时，＝271．＝556．≈0.97，相关指数R2近似为0.97，接近1，说明拟合效果较好；（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取x＝9，可得．故若要求在2022年小区停车位数量仍可满足需要，则至少需要规划409个停车位．22．已知函数．（1）若时，求函数f（x）的单调区间；（2）若x＞1时，不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的最大值．【分析】（1）将代入函数解析中，求导，即可求得单调区间；（2）若x＞1时，不等式f（x）＜0恒成立，即为若x＞1时，不等式f（x）＜f（1）恒成立，转化为求f（x）在（1，+∞）单调递减时a的取值范围，即可求得a的最大值．解：（1）若，则f（x）＝lnx﹣＝lnx﹣+，求导得f′（x）＝﹣﹣＝﹣≤0，∴函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递减，即函数f（x）的单调递减区间为（0，+∞）．（2）因为f（1）＝0，∴若x＞1时，不等式f（x）＜0恒成立，即为若x＞1时，不等式f（x）＜f（1）恒成立，只需满足f（x）在（1，+∞）单调递减，即f′（x）≤0，即f′（x）＝﹣＝≤0，令g（x）＝x a+（a﹣1）x﹣a，则g（x）≤0＝g（1）（x＞1）恒成立，即g'（x）＝ax a﹣1+a﹣1≤0恒成立，若0＜a＜1，g'（x）＝ax a﹣1+a﹣1在（1，+∞）单调递减，只需满足g'（x）＜g'（1）＝2a﹣1≤0，解得0＜a≤；若a＝1，g（x）＝x﹣1＞0，不合题意；若a＞1，g'（x）＝ax a﹣1+a﹣1在（1，+∞）单调递增，g'（x）＞2a﹣1＞1，不满足g'（x）≤0恒成立，综上，可得若x＞1时，不等式f（x）＜0恒成立，则0＜a≤，所以实数a的最大值为．。

2019-2020学年淄博市名校数学高二(下)期末考试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1． “大衍数列”来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则此数列第20项为（ ）A ．180B ．200C ．128D ．162 【答案】B【解析】根据前10项可得规律：每两个数增加相同的数，且增加的数构成首项为2，公差为2的等差数列。

可得从第11项到20项为60，72,84,98,112,128,144,162,180,200.所以此数列第20项为200.故选B 。

【点睛】从前10个数观察增长的规律。

2．用数学归纳法证明11151236n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ） A ．111313233k k k +++++ B ．112313233k k k +-+++ C ．11331k k -++ D ．133k + 【答案】B【解析】分析：分析n k =，1n k =+时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果.详解：n k =时，左边为111123k k k++⋅⋅⋅+++, 1n k =+时，左边为111111233313233k k k k k k ++⋅⋅⋅++++++++++, 所以左边需添加的项是 11111123132331313233k k k k k k k ++-=+-+++++++，选B. 点睛：研究n k =到1n k =+项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.3．已知随机变量i ξ满足P （i ξ=1）=p i ，P （i ξ=0）=1—p i ，i=1，2.若0<p 1<p 2<12，则 A ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ<2D()ξB ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ>2D()ξC ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξD ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ【答案】A∵1122(),()E p E p ξξ==，∴12()()E E ξξ<，∵111222()(1),()(1)D p p D p p ξξ=-=-，∴121212()()()(1)0D D p p p p ξξ-=---<，故选A ．【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出X 取各个值时的概率．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．由已知本题随机变量i ξ服从两点分布，由两点分布数学期望与方差的公式可得A 正确．4．若542345012345(2)3(3)(3)(3)(3)(3)x x a a x a x a x a x a x --=+-+-+-+-+-,则3a =A ．－70B ．28C ．－26D ．40【答案】C【解析】【分析】 令t ＝x ﹣3，把等式化为关于t 的展开式，再求展开式中t 3的系数．【详解】令t ＝x ﹣3，则（x ﹣2）5﹣3x 4＝a 0+a 1（x ﹣3）+a 2（x ﹣3）2+a 3（x ﹣3）3+a 4（x ﹣3）4+a 5（x ﹣3）5， 可化为（t+1）5﹣3（t+3）4＝a 0+a 1t+a 2t 2+a 3t 3+a 4t 4+a 5t 5，则a 3＝215433C C -⨯＝10﹣36＝﹣1．故选C ．【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，指定项的系数，属于基础题．5．已知函数()()sin 0f x x ωω=>的图象关于直线34x π=对称，且()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上为单调函数，下述四个结论：①满足条件的ω取值有2个 ②3,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭为函数()f x 的一个对称中心 ③()f x 在,08π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 ④()f x 在()0,π上有一个极大值点和一个极小值点其中所有正确结论的编号是（ ）【解析】【分析】依照题意找出ω的限制条件，确定ω，得到函数()f x 的解析式，再根据函数图像逐一判断以下结论是否正确．【详解】因为函数()()sin 0f x x ωω=>的图象关于直线34x π=对称，所以3+k 42ππωπ= 41()0,32k k Z ω=+>∈，又()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上为单调函数，24ππω∴≤，即2ω≤， 所以23ω=或2ω=，即()2sin 3f x x =或()sin 2f x x = 所以总有3()02f π=，故①②正确； 由()2sin 3f x x =或()sin 2f x x =图像知，()f x 在,08π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故③正确； 当(0,)x π∈时，()2sin3f x x =只有一个极大值点，不符合题意，故④不正确； 综上，所有正确结论的编号是①②③．【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质，意在考查学生综合分析解决问题的能力．6．已知，则的大小关系是 A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】将、进行分子有理化，分子均化为，然后利用分式的基本性质可得出三个数的大小关系。

2019-2020学年山东省淄博市数学高二下期末考试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若函数12log,01()(1)(3),1x xf xx x x x≤⎧⎪=⎨⎪---⎩＜＞，函数()()g x f x kx=-有3个零点，则k的取值范围是() A．（0，1）B．()0,623-C．()0,623+D．()623,623-+【答案】A【解析】【分析】画出()f x的图像，()()g x f x kx=-有3个零点等价于()f x kx=有3个交点。

【详解】()()g x f x kx=-有3个零点等价于()f x kx=有3个交点记(1)(3())x xh x x---=则过原点作()h x的切线，()()g x f x kx=-有3个零点等价于()f x kx=有3个交点记(1)(3())x xh x x---=则过原点作()h x的切线，设切点为00(,)x y则切线方程为：000()()()y h x h x x x'-=-，又切线过原点，即000()()h x h x x'=，将000(1)(3)()x xh x x---=，2003()38xh xx'-+=-，代入解得2x=，所以切线斜率200(2)3831h x x+'--==所以01k<<【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查了函数零点个数的问题，属于中档题。

2．已知三棱锥A BCD-的每个顶点都在球O的球面上，AB⊥平面BCD，4AB=，5AD=，2BC CD==O的体积为（）A．105πB205πC．5πD105π【答案】B【解析】【分析】根据所给关系可证明BC CD ⊥，即可将三棱锥A BCD -可补形成长方体，即可求得长方体的外接球半径，即为三棱锥A BCD -的外接球半径，即可得球O 的体积.【详解】因为AB ⊥平面BCD ，所以AB BD ⊥，又AB=4，25AD =，所以2BD =，又2BC CD ==，所以222BC CD BD +=，则BC CD ⊥．由此可得三棱锥A BCD -可补形成长方体如下图所示：设长方体的外接球半径为R ， 则()()222222425R =++=，所以球O 的体积为3344205ππ5π33V R ===， 故选:B.【点睛】 本题考查了三棱锥外接球体积的求法，将三棱锥补全为棱柱是常用方法，属于中档题.3．已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为（ ）A ．0.75B ．0.6C ．0.52D ．0.48 【答案】A【解析】【分析】记事件:A 该元件使用寿命超过1年，记事件:B 该元件使用寿命超过2年，计算出()P A 和()P AB ，利用条件概率公式可求出所求事件的概率为()()()P AB P B A P A =.【详解】记事件:A 该元件使用寿命超过1年，记事件:B 该元件使用寿命超过2年，则()0.8P A =，()()0.6P AB P B ==，因此，若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为()()()0.60.750.8P AB P B A P A ===，故选A. 【点睛】 本题考查条件概率的计算，解题时要弄清楚两个事件的关系，并结合条件概率公式进行计算，考查分析问题和计算能力，属于中等题.4．若321()n x x -二项展开式中的系数只有第6项最小，则展开式的常数项的值为（ ） A ．-252B ．-210C ．210D ．10【答案】C【解析】 10n =，3103051101021()(1)rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令30506r r -=⇒=，所以常数项为6641010(1)C C -=210=，故选C ． 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.5．某公共汽车上有5名乘客，沿途有4个车站，乘客下车的可能方式（ ）A ．45A 种B ．45C 种 C ．45种D ．54种 【答案】D【解析】【分析】5名乘客选4个车站，每个乘客都有4种选法．【详解】每个乘客都有4种选法，共有54种，选D【点睛】每个乘客独立，且每个乘客都有4种选法6．已知集合{|2}M x x =>，集合{|13}N x x =<≤，则MN =（ ） A ．(2,3]B ．(1,2)C ．(1,3]D ．[2,3]【答案】A【解析】【分析】直接求交集得到答案.【详解】集合{|2}M x x =>，集合{|13}N x x =<≤，则(2,3]MN =. 故选：A .【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题.7．已知复数12z z ，在复平面内的对应点关于实轴对称，13z i =-（i 为虚数单位），则12z z =（ ） A ．4355i - B ．4355i -+ C ．4355i -- D ．4355i + 【答案】A【解析】【分析】由题意，求得13z i =-，则23z i =+，再根据复数的除法运算，即可求解．【详解】由题意，复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称，13z i =-，则23z i =+， 则根据复数的运算，得12343355z i i z i -==-+.故选A. 【点睛】 本题主要考查了复数的表示，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8．已知()()21cos f x x x =+-，则不等式()ln 11f x -<的解集为（ ）A ．()0,eB ．()1,+∞C ．()e,+∞D ．()1,e【答案】A【解析】【分析】利用导数判断出()f x 在R 上递增，而()01f =，由此将不等式()ln 11f x -<转化为()()ln 10f x f -<，然后利用单调性列不等式，解不等式求得x 的取值范围.【详解】由()2sin 0f x x '=+>，故函数()f x 在R 上单调递增，又由()02cos01f =-=，故不等式()ln 11f x -<可化为，()()ln 10f x f -<，得ln 10x -<，解得0e x <<．故选A.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查对数不等式的解法，属于基础题.9．100件产品中有6件次品，现从中不放回的任取3件产品，在前两次抽到正品的条件下第三次抽到次品的概率为（ ）A ．349B ．198C ．197D ．350【答案】A【解析】【分析】由已知可知100件产品中有6件次品，94件正品，设“前两次抽到正品”为事件A ，“第三次抽到次品”为事件B ，求出()P A 和()P AB ，即可求得答案.【详解】由已知可知100件产品中有6件次品，94件正品，设“前两次抽到正品”为事件A ，“第三次抽到次品”为事件B ； 则949394936(),()100991009998P A P AB =⨯=⨯⨯ ∴()63(|)()9849P AB P B A P A === 故选：A.【点睛】本题是一道关于条件概率计算的题目，关键是掌握条件概率的计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.10．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有（ ）A ．250个B ．249个C ．48个D ．24个【答案】C【解析】先考虑四位数的首位，当排数字4,3时，其它三个数位上课从剩余的4个数任选4个全排，得到的四位数都满足题设条件，因此依据分类计数原理可得满足题设条件的四位数共有3344243248A A +=⨯⨯⨯=个，应选答案C 。