山东省淄博市部分学校2020届高三6月阶段性诊断考试(二模)数学试题(带答案解析)

参照秘密级管理★启用并使用完毕前部分学校高三阶段性诊断考试试题数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合1{|1}A x x=<,{||1|2},B x x =-<则A B =I().1,3A -().1,1B -()()()().1,00,1.1,01,3C D --U U2．设复数z 满足z ()12,i i ⋅-=+则z 的虚部是 A ．32 B ．32i C ．-32 D. -32i3．在正项等比数列{}n a 中，若374,a a =则()52a-= A ．16 B ．8 C ．4 D ．24．当5,36ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，方22cos sin 1x y αα+=程表示的轨迹不可能是 A ．两条直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线5．已知1123411log 2,,23a b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.Aa c b <<.B a b c << .C c a b << .D c b a <<6．在平行四边形ABCD 中,3,DE EC =u u u r u u u r 若AE 交BD 于点M ，则→AM =A ．1233AM AB AD =+u u u u r u u u r u u u rB ．3477AM AB AD =+u u u u r u u u r u u u r21.33C AM AB AD =+u u u u r u u u r u u u r25.77D AM AB AD =+u u u u r u u u r u u u r7．某学校甲、乙、丙、丁四人竞选校学生会主席职位，在竞选结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对竞选结果做了如下预测：甲说：丙或丁竞选成功;乙说：甲和丁均未竞选上： 丙说：丁竞选成功;丁说：丙竞选成功若这四人中有且只有2人说的话正确，则成功竞选学生会主席职位的是 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁8．已知函数()f x 是定义在(-π2，π2)上的奇函数．当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()tan 0,f x f x x '+>则不等式()cos sin 02x f x x f x π⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集为A.(.π4,π2)B ．(-.π4,π2)C ．,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．设[x ]表示不小于实数x 的最小整数，则满足关于x 的不等式2120x x []+[-…]的解可以为 A．B ．3 C ．-4.5 D ．-510．已知动点P 在双曲线C ：2213y x -=上，双曲线C 的左右焦点分别为21,s F F 下列结论正确的是A ．C 的离心率为2B ．C的渐近线方程为y x = C ．动点P 到两条渐近线的距离之积为定值 D ．当动点P 在双曲线C 的左支上时，122||||PF PF 的最大值为1411．华为5G 通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：()()11212122122b b c c a a b b ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭,其中11112212112222,c a b a b c a b a b =+=+.已知定义在R 上不恒为0的函数(),f x 对任意,a b R ∈有：()()()12) 11(11b y y f a f b a -+⎛⎫=⨯ ⎪-⎝⎭且满足()12,f ab y y =+则()()().00.11.A f B f C f x =-=是偶函数 ().D f x 是奇函数12．向体积为1的正方体密闭容器内注入体积为()01x x <<的液体，旋转容器，下列说法正确的是 A ．当12x =时，容器被液面分割而成的两个几何体完全相同 ().0,1,B x ∀∈液面都可以成正三角形形状C ．当液面与正方体的某条对角线垂直时，液面面积的最大值为34 3 D ．当液面恰好经过正方体的某条对角线时，液面边界周长的最小值为25 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知()cos 2cos 2πααπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos2α= ▲14．设随机变量()~4,9,N ζ若实数a 满足()()3221,P a P a ξζ<+=>-则a 的值是 ▲15．已知抛物线C ：218y x =的焦点是F ，点M 是其准线l 上一点，线段MF 交抛物线C 于点N ．当23MN MF =u u u u r u u u r时，△NOF 的面积是 ▲16．用 M I 表示函数 y = s i n x 在闭区间I 上的最大值．若正实数a [][]0,,22a a a M …则[]0,a M = ▲a 的取值范围是 ▲ (本题第一空2分，第二空3分)四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．(10分)下面给出有关ABC V 的四个论断：ABC S =V ①222122a b ac a c c +=+=②；③或b =④ 以其中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：若 ▲ ,则 ▲ (用序号表示)并给出证明过程： 18．(12分)已知数列{}n a 为“二阶等差数列”，即当()*1n n n a a b n +-=∈N 时，数列{b n }为等差数列15325,67,101.a a a ===(1)求数列{}n b 的通项公式; (2)求数列{}n a 的最大值19．(12分)新生儿某疾病要接种三次疫苗免疫(即0、1、6月龄)，假设每次接种之间互不影响，每人每次接种成功的概率相等为了解新生儿该疾病疫苗接种剂量与接种成功之间的关系，现进行了两种接种方案的临床试验： 1 0 μg /次剂量组与 2 0 μg / 次剂量组，试验结果如下：(1)根据数据说明哪种方案接种效果好?并判断能否有99．9%的把握认为该疾病疫苗接种成功与两种接种方案有关? (2)以频率代替概率，若选用接种效果好的方案，参与该试验的1000人的成功人数比此剂量只接种一次的成功人数平均提高多少人. 参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中.n a b c d =+++参考附表：20．(12分)在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，112CD CB AB ===，M,N 分别是棱AB,B 1C 1的中点 (1)证明：直线MN ∥平面11ACC A ;(2)若1D C ⊥平面ABCD ，且13DC =,求经过点A ，M ，N 的平面1A MN 与平面11ACC A 所成二面角的正弦值.21．(12分)已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率是32，P 为椭圆上的动点．当12F PF ∠取最大值时12,PF F ∆的面积是 3 (1)求椭圆的方程：(2)若动直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，且恒有0,OA OB ⋅=u u u r u u u r是否存在一个以原点O 为圆心的定圆C ，使得动直线l 始终与定圆C 相切?若存在，求圆C 的方程，若不存在，请说明理由 22．(12分)已知函数()2.ln f x x x x ax =+-(1)若函数()f x 在区间[1,)+∞上单调递减，求实数a 的取值范围；(2)当) 2,(*n n ≥∈N 时，求证：222111111;23e n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L(3)若函数()f x 有两个极值点x 1，x 2，求证：212( 1e x x e >为自然对数的底数)。

参照秘密级管理★启用并使用完毕前部分学校高三阶段性诊断考试试题数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合1{|1}A x x=<,{||1|2},B x x =-<则A B =I ().1,3A -().1,1B -()()()().1,00,1.1,01,3C D --U U2．设复数z 满足z ()12,i i ⋅-=+则z 的虚部是A ．32B ．32iC ．-32 D. -32i3．在正项等比数列{}n a 中，若374,a a =则()52a -=A ．16B ．8C ．4D ．24．当5,36ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，方22cos sin 1x y αα+=程表示的轨迹不可能是 A ．两条直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线 5．已知1123411log 2,,23a b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.Aa c b <<.B a b c <<.C c a b <<.D c b a <<6．在平行四边形ABCD 中,3,DE EC =u u u r u u u r 若AE 交BD 于点M ，则→AM =A ．1233AM AB AD =+u u u u r u u u r u u u r B ．3477AM AB AD =+u u u u r u u u r u u u r 21.33C AM AB AD =+u u u u r u u u r u u u r25.77D AM AB AD =+u u u u r u u u r u u u r 7．某学校甲、乙、丙、丁四人竞选校学生会主席职位，在竞选结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对竞选结果做了如下预测：甲说：丙或丁竞选成功;乙说：甲和丁均未竞选上：丙说：丁竞选成功;丁说：丙竞选成功若这四人中有且只有2人说的话正确，则成功竞选学生会主席职位的是A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．已知函数()f x 是定义在(-π2，π2)上的奇函数．当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()tan 0,f x f x x '+>则不等式()cos sin 02x f x x f x π⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集为 A.(.π4,π2)B ．(-.π4,π2)C ．,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．设[x ]表示不小于实数x 的最小整数，则满足关于x 的不等式2120x x []+[-…]的解可以为AB ．3C ．-4.5D ．-510．已知动点P 在双曲线C ：2213y x -=上，双曲线C 的左右焦点分别为21,s F F 下列结论正确的是A ．C 的离心率为2B ．C的渐近线方程为3y x =± C ．动点P 到两条渐近线的距离之积为定值D ．当动点P 在双曲线C 的左支上时，122||||PF PF 的最大值为1411．华为5G 通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：()()11212122122b b c c a a b b ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭,其中11112212112222,c a b a b c a b a b =+=+. 已知定义在R 上不恒为0的函数(),f x 对任意,a b R ∈有：()()()12) 11(11b y y f a f b a -+⎛⎫=⨯ ⎪-⎝⎭且满足()12,f ab y y =+则 ()()().00.11.A f B f C f x =-=是偶函数 ().D f x 是奇函数12．向体积为1的正方体密闭容器内注入体积为()01x x <<的液体，旋转容器，下列说法正确的是A ．当12x =时，容器被液面分割而成的两个几何体完全相同 ().0,1,B x ∀∈液面都可以成正三角形形状C ．当液面与正方体的某条对角线垂直时，液面面积的最大值为34 3D ．当液面恰好经过正方体的某条对角线时，液面边界周长的最小值为2 5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知()cos 2cos 2πααπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos2α= ▲ 14．设随机变量()~4,9,N ζ若实数a 满足()()3221,P a P a ξζ<+=>-则a 的值是 ▲15．已知抛物线C ：218y x =的焦点是F ，点M 是其准线l 上一点，线段MF 交抛物线C 于点N ．当23MN MF =u u u u r u u u r 时，△NOF 的面积是 ▲ 16．用 M I 表示函数 y = s i n x 在闭区间I 上的最大值．若正实数a 满足[][]0,,22a a a M …则[]0,a M = ▲a 的取值范围是 ▲ (本题第一空2分，第二空3分)四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．(10分)下面给出有关ABC V 的四个论断：32ABC S =V ①；222122a b ac a c c +=+=②；③或 3.b =④ 以其中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： 若 ▲ ,则 ▲ (用序号表示)并给出证明过程：18．(12分)已知数列{}n a 为“二阶等差数列”，即当()*1n n n a a b n +-=∈N 时，数列{b n }为等差数列15325,67,101.a a a ===(1)求数列{}n b 的通项公式;(2)求数列{}n a 的最大值19．(12分)新生儿某疾病要接种三次疫苗免疫(即0、1、6月龄)，假设每次接种之间互不影响，每人每次接种成功的概率相等为了解新生儿该疾病疫苗接种剂量与接种成功之间的关系，现进行了两种接种方案的临床试验： 1 0 μg /次剂量组与 2 0 μg / 次剂量组，试验结果如下：(1)根据数据说明哪种方案接种效果好?并判断能否有99．9%的把握认为该疾病疫苗接种成功与两种接种方案有关?(2)以频率代替概率，若选用接种效果好的方案，参与该试验的1000人的成功人数比此剂量只接种一次的成功人数平均提高多少人.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中.n a b c d =+++参考附表：20．(12分)在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，112CD CB AB ===，M,N 分别是棱AB,B 1C 1的中点 (1)证明：直线MN ∥平面11ACC A ;(2)若1D C ⊥平面ABCD ，且13DC =,求经过点A ，M ，N 的平面1A MN 与平面11ACC A 所成二面角的正弦值.21．(12分)已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率是32，P 为椭圆上的动点．当12F PF ∠取最大值时12,PF F ∆的面积是 3(1)求椭圆的方程： (2)若动直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，且恒有0,OA OB ⋅=u u u r u u u r 是否存在一个以原点O 为圆心的定圆C ，使得动直线l 始终与定圆C 相切?若存在，求圆C 的方程，若不存在，请说明理由22．(12分)已知函数()2.ln f x x x x ax =+-(1)若函数()f x 在区间[1,)+∞上单调递减，求实数a 的取值范围；(2)当) 2,(*n n ≥∈N 时，求证：222111111;23e n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L (3)若函数()f x 有两个极值点x 1，x 2，求证：212( 1e x x e >为自然对数的底数)。

参照秘密级管理★启用并使用完毕前部分学校高三阶段性诊断考试试题数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合1{|1}A x x=<,{||1|2},B x x =-<则A B =().1,3A -().1,1B -()()()().1,00,1.1,01,3C D -- 2．设复数z 满足z ()12,i i ⋅-=+则z 的虚部是A ．32B ．32iC ．-32D.-32i3．在正项等比数列{}n a 中，若374,a a =则()52a-=A ．16B ．8C ．4D ．24．当5,36ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，方22cos sin 1x y αα+=程表示的轨迹不可能是A ．两条直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线5．已知1123411log 2,,23a b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.A a c b <<.B a b c <<.C c a b <<.D c b a<<6．在平行四边形ABCD 中,3,DE EC = 若AE 交BD 于点M ，则→AM =A ．1233AM AB AD=+ B ．3477AM AB AD=+ 21.33C AM AB AD=+25.77D AM AB AD=+ 7．某学校甲、乙、丙、丁四人竞选校学生会主席职位，在竞选结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对竞选结果做了如下预测：甲说：丙或丁竞选成功;乙说：甲和丁均未竞选上：丙说：丁竞选成功;丁说：丙竞选成功若这四人中有且只有2人说的话正确，则成功竞选学生会主席职位的是A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．已知函数()f x 是定义在(-π2，π2)上的奇函数．当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()tan 0,f x f x x '+>则不等式()cos sin 02x f x x f x π⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集为A.(.π4,π2)B ．(-.π4,π2)C ．,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．设[x ]表示不小于实数x 的最小整数，则满足关于x 的不等式2120x x []+[- ]的解可以为AB ．3C ．-4.5D ．-510．已知动点P 在双曲线C ：2213y x -=上，双曲线C 的左右焦点分别为21,s F F 下列结论正确的是A ．C 的离心率为2B ．C的渐近线方程为3y x =±C ．动点P 到两条渐近线的距离之积为定值D ．当动点P 在双曲线C 的左支上时，122||||PF PF 的最大值为1411．华为5G 通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：()()11212122122b b c c a a b b ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭,其中11112212112222,c a b a b c a b a b =+=+.已知定义在R 上不恒为0的函数(),f x 对任意,a b R ∈有：()()()12) 11(11b y y f a f b a -+⎛⎫=⨯ ⎪-⎝⎭且满足()12,f ab y y =+则()()().00.11.A f B f C f x =-=是偶函数().D f x 是奇函数12．向体积为1的正方体密闭容器内注入体积为()01x x <<的液体，旋转容器，下列说法正确的是A ．当12x =时，容器被液面分割而成的两个几何体完全相同().0,1,B x ∀∈液面都可以成正三角形形状C ．当液面与正方体的某条对角线垂直时，液面面积的最大值为343D ．当液面恰好经过正方体的某条对角线时，液面边界周长的最小值为25三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知()cos 2cos 2πααπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 2α=▲14．设随机变量()~4,9,N ζ若实数a 满足()()3221,P a P a ξζ<+=>-则a 的值是▲15．已知抛物线C ：218y x =的焦点是F ，点M 是其准线l 上一点，线段MF 交抛物线C 于点N ．当23MN MF =时，△NOF 的面积是▲16．用M I 表示函数y =s i n x在闭区间I 上的最大值．若正实数a 满足[][]0,,22a a a M 则[]0,a M =▲a 的取值范围是▲(本题第一空2分，第二空3分)四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．(10分)下面给出有关ABC 的四个论断：2ABC S =①222122a b ac a c c +=+=②；③或b =④以其中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：若▲,则▲(用序号表示)并给出证明过程：18．(12分)已知数列{}n a 为“二阶等差数列”，即当()*1n n n a a b n +-=∈N 时，数列{b n }为等差数列15325,67,101.a a a ===(1)求数列{}n b 的通项公式;(2)求数列{}n a 的最大值19．(12分)新生儿某疾病要接种三次疫苗免疫(即0、1、6月龄)，假设每次接种之间互不影响，每人每次接种成功的概率相等为了解新生儿该疾病疫苗接种剂量与接种成功之间的关系，现进行了两种接种方案的临床试验：10μg /次剂量组与20μg /次剂量组，试验结果如下：(1)根据数据说明哪种方案接种效果好?并判断能否有99．9%的把握认为该疾病疫苗接种成功与两种接种方案有关?(2)以频率代替概率，若选用接种效果好的方案，参与该试验的1000人的成功人数比此剂量只接种一次的成功人数平均提高多少人.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中.n a b c d =+++参考附表：20．(12分)在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，112CD CB AB ===，M,N 分别是棱AB,B 1C 1的中点(1)证明：直线MN ∥平面11ACC A ;(2)若1D C ⊥平面ABCD ，且1D C =,求经过点A ，M ，N 的平面1A MN 与平面11ACC A 所成二面角的正弦值.21．(12分)已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率是32，P 为椭圆上的动点．当12F PF ∠取最大值时12,PF F ∆的面积是3(1)求椭圆的方程：(2)若动直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，且恒有0,OA OB ⋅=是否存在一个以原点O为圆心的定圆C ，使得动直线l 始终与定圆C 相切?若存在，求圆C 的方程，若不存在，请说明理由22．(12分)已知函数()2.ln f x x x x ax =+-(1)若函数()f x 在区间[1,)+∞上单调递减，求实数a 的取值范围；(2)当) 2,(*n n ≥∈N 时，求证：222111111;23e n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(3)若函数()f x 有两个极值点x 1，x 2，求证：212( 1e x x e >为自然对数的底数)。

绝密★启用前2020届山东省淄博市部分学校高三教学质量检测（二模）数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<解：由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．2．已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z 的共轭复数是（ ） A ．2i -B ．2i +C ．12i +D ．12i -解：由()1243i z i +=+，得43i2i 12iz +==-+，所以2z i =+． 故选：B3．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙解：若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ．4．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面解：由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件，由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件，故选B ．5．已知曲线11(0x y a a -=+>且1)a ≠过定点(),k b ，若m n b +=且0,0m n >>，则41m n+的最小值为（ ）. A ．92B ．9C ．5D ．52解：Q 定点为(1,2),1,2k b ∴==，2m n ∴+=41141()()2m n m n m n +=++∴149(5+)22m n n m =+… 当且仅当4m nn m =时等号成立，即42,33m n ==时取得最小值92. 故选：A点评：本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式(1的代换）求最值.6．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．解：设32()22x xx y f x -==+，则332()2()()2222x x x x x x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ． 7．“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 A 32 B 322 C ．1252D ．1272解：因为每一个单音与前一个单音频率比为122所以1212(2,)n n a a n n N -+=≥∈， 又1a f =，则1277712812)2a a q f === 故选D.8．已知点1F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A ．622B 21C ．622D 21答案：D解：根据抛物线的性质，设出直线方程，代入抛物线方程，求得k 的值，设出双曲线方程，求得2a ＝丨AF 2丨﹣丨AF 1丨＝（2-1）p ，利用双曲线的离心率公式求得e ． 解：直线F 2A 的直线方程为：y ＝kx 2p -，F 1（0，2p ），F 2（0，2p -）， 代入抛物线C ：x 2＝2py 方程，整理得：x 2﹣2pkx +p 2＝0， ∴△＝4k 2p 2﹣4p 2＝0，解得：k ＝±1，∴A （p ，2p ），设双曲线方程为：2222y x a b-=1，丨AF 1丨＝p ，丨AF 2丨222p p =+=p ，2a ＝丨AF 2丨﹣丨AF 1丨＝（ 2-1）p ，2c ＝p ， ∴离心率e 221ca ===+-1， 二、多选题9．某健身房为了解运动健身减肥的效果，调查了20名肥胖者健身前（如直方图（1）所示）后（如直方图（2）所示）的体重（单位：kg ）变化情况：对比数据，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（ ） A ．他们健身后，体重在区间[)90,100内的人数较健身前增加了2人 B ．他们健身后，体重原在区间[)100,110内的人员一定无变化 C ．他们健身后，20人的平均体重大约减少了8kgD ．他们健身后，原来体重在区间[]110,120内的肥胖者体重都有减少解：体重在区间[)90,100内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人，增加了2人，故A 正确；他们健身后，体重在区间[)100,110内的百分比没有变，但人员组成可能改变，故B 错误；他们健身后，20人的平均体重大约减少了()()0.3950.51050.21150.1850.4950.51055kg ⨯+⨯+⨯-⨯+⨯+⨯=，故C 错误；因为图（2）中没有体重在区间[]110,120内的人员，所以原来体重在区间[)110,120内的肥胖者体重都有减少，故D 正确. 故选：AD.点评：本题考查直方图的应用，考查频数以及平均数的计算与应用，考查计算能力，属于基础题.10．已知点P 在双曲线22:1169x y C -=上，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，若12PF F ∆的面积为20，则下列说法正确的有（ ） A ．点P 到x 轴的距离为203B ．12503PF PF += C ．12PF F ∆为钝角三角形D ．123F PF π∠=解：因为双曲线22:1169x y C -=，所以5c ==.又因为12112102022PF F P P S c y y ∆=⋅=⋅⋅=，所以4P y =，所以选项A 错误； 将4P y =代入22:1169x y C -=得2241169x -=，即203P x =. 由对称性，不妨取P 的坐标为20,43⎛⎫ ⎪⎝⎭，可知2133PF ==. 由双曲线定义可知1213372833PF PF a =+=+=， 所以12133750333PF PF +=+=，所以选项B 正确； 由对称性，对于上面点P ， 在12PF F ∆中，12371321033PF c PF =>=>=. 且2222121212125cos 0213PF F F PF PF F PF F F +-∠==-<⋅，则21PF F ∠为钝角，所以12PF F ∆为钝角三角形，选项C 正确；由余弦定理得222121212123191cos 22481PF PF F F F PF PF PF +-∠==≠⋅，123F PF π≠∠，所以选项D 错误. 故选：BC.11．如图所示，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，CDE ∆是正三角形，M 为线段DE 的中点，点N 为底面ABCD 内的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．若BC DE ⊥时，平面CDE ⊥平面ABCDB ．若BC DE ⊥时，直线EA 与平面ABCD 所成的角的正弦值为104C ．若直线BM 和EN 异面时，点N 不可能为底面ABCD 的中心D ．若平面CDE ⊥平面ABCD ，且点N 为底面ABCD 的中心时，BM =EN 解：因为BC CD ⊥，BC DE ⊥，CD DE D =I ，所以BC ⊥平面CDE ，BC ⊂Q 平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面CDE ，A 项正确；设CD 的中点为F ，连接EF 、AF ，则EF CD ⊥.Q 平面ABCD ⊥平面CDE ，平面ABCD I 平面CDE CD =，EF ⊂平面CDE .EF ∴⊥平面ABCD ，设EA 平面ABCD 所成的角为θ，则EAF θ=∠，223EF CE CF =-=225AF AD FD =+=222AE EF AF =+=则6sin EF EA θ==B 项错误；连接BD ，易知BM ⊂平面BDE ，由B 、M 、E 确定的面即为平面BDE ， 当直线BM 和EN 异面时，若点N 为底面ABCD 的中心，则N BD ∈， 又E ∈平面BDE ，则EN 与BM 共面，矛盾，C 项正确；连接FN ，FN ⊂Q 平面ABCD ，EF ⊥平面ABCD ，EF FN ∴⊥，F Q 、N 分别为CD 、BD 的中点，则112FN BC ==， 又3EF=故222EN EF FN =+=，227BM BC CM =+=则BM EN ≠，D 项错误. 故选：AC.12．已知111ln 20x x y --+=，22242ln 20x y +--=，记()()221212M x x y y =-+-，则（ ） A ．M 255B ．当M 最小时，2125x =C ．M 的最小值为45D ．当M 最小时，265x =解：由111ln 20x x y --+=，得：111ln 2y x x =-+，()()221212x x y y -+-的最小值可转化为函数ln 2y x x =-+图象上的点到直线242ln 20x y +--=上的点的距离的最小值的平方，由ln 2y x x =-+得：11y x'=-， 与直线242ln 20x y +--=平行的直线的斜率为12-， 则令1112x -=-，解得：2x =，∴切点坐标为()2,ln 2， ()2,ln 2∴到直线242ln 20x y +--=的距离22ln 242ln 22514d +--==+即函数ln 2y x x =-+上的点到直线242ln 20x y +--=上的点的距离的最小值为. ()()221212M x x y y ∴=-+-的最小值为245d =， 过()2,ln 2与242ln 20x y +--=垂直的直线为()ln 222y x -=-，即24ln 20x y --+=.由242ln 2024ln 20x y x y +--=⎧⎨--+=⎩，解得：125x =，即当M 最小时，2125x =. 故选：BC.三、填空题13．已知向量a v =（－4，3），b v =（6，m ），且a b ⊥v v，则m =__________.解：向量4,36,a b m a b =-=⊥r r r r（），（），，则•046308a b m m =-⨯+==r r，，.14．在1nx ⎫⎪⎭的展开式中，各项系数之和为64，则展开式中的常数项为__________________.解：1nx ⎫⎪⎭的展开式各项系数和为264n =，得6n =，所以，61x ⎫⎪⎭的展开式通项为63621661rrrrrr T C C x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令6302r-=，得2r =，因此，展开式中的常数项为2615C =. 故答案为：15.15．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .若sin sin b A a C =，1c =，则b =__，ABC ∆面积的最大值为___.解：因为sin sin b A a C =，所以由正弦定理可得ba ac =，所以1b c ==;所以111S 222ABC bcsinA sinA ∆==≤，当1sinA =，即90A =︒时，三角形面积最大. 故答案为(1). 1 (2). 1216．已知函数()f x 的定义域为R ，导函数为()f x '，若()()cos f x x f x =--，且()sin 02xf x '+<，则满足()()0f x f x π++≤的x 的取值范围为______.。

按秘密级事项管理★启用前部分学校高三教学质量检测数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则MN =A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x << 2．已知复数z 满足(1+2)43i z i =+，则z 的共轭复数是A ．2i -B ．2+iC ．1+2iD ．12i - 3．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙 4．设,αβ为两个平面，则//αβ的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．,αβ平行于同一条直线D ．,αβ垂直于同一平面 5．已知曲线11(0x y aa -=+>且1)a ≠过定点(,)kb ，若m n b +=，且0,0m n >>，则41m n +的最小值为 A ．92 B ．9 C ．5 D ．526．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图象大致为A ．B ．C ．D ．7．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于f ，则第八个单音的频率为A B C ．D ．8．已知点1F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1,F 2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A B 1 C 1 D 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．某健身房为了解运动健身减肥的效果，调查了20名肥胖者健身前（如直方图（1）所示）后（如直方图（2）所示）的体重（单位：kg ）变化情况：直方图（1） 直方图（2）对比数据，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是A ．他们健身后，体重在区间[)90,100内的人数较健身前增加了2人B ．他们健身后，体重原在区间[)100,110内的人员一定无变化C ．他们健身后，20人的平均体重大约减少了8kgD ．他们健身后，原来体重在区间[110,120]内的肥胖者体重都有减少10．已知点P 在双曲线22:1169x y C -=上，12,F F 是双曲线C 的左、右焦点，若12PF F 的面积为20，则下列说法正确的有 A ．点P 到x 轴的距离为203 B ．12||||PF PF +=503C ．12PF F 为钝角三角形D ．12=F PF ∠π311．如图所示，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，CDE ∆是正三角形，M 为线段DE 的中点，点N 为底面ABCD 内的动点，则下列结论正确的是A ．若BC DE ⊥时，平面CDE ⊥平面ABCDB ．若BC DE ⊥时，直线EA 与平面ABCD 所成的角的正弦值为104C ．若直线BM 和EN 异面时，点N 不可能为底面ABCD 的中心D ．若平面CDE ⊥平面ABCD ，且点N 为底面ABCD 的中心时，BM =EN12．已知111ln 20x x y --+=，22242ln 20x y +--=，记()()221212M x x y y =-+-，则A ．M 的最小值为255B ．当M 最小时，2125x =C ．M 的最小值为45D ．当M 最小时，265x =第Ⅱ卷（非选择题 90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量()()4,3,6,a b m =-=，且a b ⊥，则m =________________．14．在1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数之和为64，则展开式中的常数项为__________________．15．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．若sin sin b A a C =，1c =， 则b =________，ABC ∆面积的最大值为________．（第一个空2分，第二个空3分）16．已知函数()f x 的定义域为R ，导函数为()f x '，若()cos ()f x x f x =--，且sin ()+02xf x '<，则满足(+π)+()0f x f x ≤的x 的取值范围为______________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知数列{}n a 满足132a =，且1112,22()n n n a a n n *--=+≥∈N ． （1）求证：数列{2}n n a 是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．18．（12分）已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，cos 0A A +=．有三个条件：①1a =；②b =34ABCS． 其中三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件完成下面两个问题： （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD ∆的面积．19．（12分）图1是由矩形ADEB 、Rt ABC ∆和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中1AB =，2BE BF ==，60FBC ∠=︒，将其沿,AB BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2．（1）证明：图2中的,,,A C G D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的二面角B CG A --的大小．20．（12分）已知椭圆222:9C x y m +=(0m >)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M ． （1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （2）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，判断四边形OAPB 能否为平行四边行？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由． 21．（12分）某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x （单位：亿元）对年销售额y （单位：亿元）的影响．该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型： ①2y x αβ=+，②x t y e λ+=．其中,,,t αβλ均为常数，e 为自然对数的底数．现该公司收集了近12年的年研发资金投入量i x 和年销售额i y 的数据，1,2,,12i =，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧散点图及一些统计量的值．令2,ln (1,2,,12),i i i i u x v y i ===，经计算得如下数据：（1）设{}i u 和{}i y 的相关系数为1r ，设{}i x 和{}i v 的相关系数为2r ，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型； （2）（i ）根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（系数精确到0．01）；（ii ）若下一年销售额y 需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x 是多少亿元?附：①相关系数()()niix x y y r --=∑ˆya bx =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式为：()()()121ˆ,niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑ˆˆay bx =-． ②参考数据： 4.499830849.4868,90e =⨯≈≈．22．（12分）设函数()()22ln 11x f x x x =+++．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）如果对所有的x ≥0，都有()f x ≤ax ，求实数a 的最小值；（3）已知数列{}n a 中，11a =，且()()1111n n a a +-+=，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：11ln 2n n n na S a a ++>-．答案1． 答案C解析：由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22MN x x =-<<．故选C ．2．答案 B解析：由()1243i z i +=+，得43212iz i i+==-+，所以2z i =+．故选B ． 3． 答案 A解析：若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ． 4． 答案B解析：由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件，由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件，故选B ． 5．答案 A解析：因为定点为(1,2)，所以1,2k b ==，所以2m n +=，所以41141149()()(5)222m n m n m n m n n m +=++=++≥， 当且仅当4m n n m =时等号成立，即42,33m n ==时取得最小值．故选A ． 6． 答案B解析：设32()22x xx y f x -==+，则332()2()()2222xx x x x x f x f x ----==-=-++， 所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ； 36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ．7． 答案 D解析：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈，又1a f =，则7781a a q f ===，故选D ．8． 答案C解析：由题意，得120,,0,22p p F F ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设过2F 的抛物线C 的切线方程为2p y kx =-，联立222x pypy kx ⎧=⎪⎨=-⎪⎩， 2220x pkx p -+=，令222440p k p ∆=-=，解得21k =，即2220x px p ±+=，解得x p =±，不妨设,2p A p ⎛⎫⎪⎝⎭，由双曲线的定义得)2121a AF AF p =-=，122c F F p ==，则该双曲线的离心率为1e ==．故选C ．三、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．【答案】AD解：体重在区间[)90,100内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人，故人增加了2个，故A 正确；他们健身后，体重在区间[)100,110内的百分比没有变，但人员组成可能改变，故B 错误；他们健身后，20人的平均体重大约减少了()()0.3950.51050.21150.1850.4950.51055kg ⨯+⨯+⨯-⨯+⨯+⨯= ，故C 错误； 因为图（2）中没有体重在区间[)110,120内的人员，所以原来体重在区间[)110,120内的肥胖者体重都有减少，故D 正确． 10． 【答案】BC解：因为双曲线22:1169x y C -=，所以5c ==， 又因为12112102022P P F P F Sc y y =⋅=⋅⋅=，所以4P y =，所以选项A 错误； 将其代入22:1169x y C -=得2241169x -=，即20||3x =，由对称性，不妨取P 的坐标为20,43⎛⎫⎪⎝⎭，可知2133PF ==， 由双曲线定义可知1213372833PF PF a =+=+= 所以12||||PF PF +=133703353+=，所以选项B 正确； 由对称性，对于上面点P ， 在12PF F 中，12371321033PF c PF =>=>=，且24012020553PF k -==>-，所以12PF F 为钝角三角形，选项C 正确；因为122920tantan22PF F b Sθθ===，所以9tantan 2206θπ=<=， 即26θπ<，所以123F PF πθ∠=<，所以选项D 错误（余弦定理也可以解决）；11． 【答案】AC解：因为BC CD ⊥，BC DE ⊥，CDDE D =，所以BC ⊥平面CDE ，BC ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面CDE ，A 项正确；设CD 的中点为F ，连接EF ，则EF CD ⊥， 平面ABCD ⊥平面CDE ，平面ABCD平面CDE CD =，EF ⊂平面CDE ，EF ∴⊥平面ABCD ，设EA 与平面ABCD 所成的角为θ，则EAF θ=∠，EF =，AF ==A E ==sin EF EA θ==B 项错误．连接BD ，易知BM ⊂平面BDE ，由,,B M E 确定的平面即为平面BDE ，当直线BM 和EN 异面时，点N 不可在平面BDE 内，同时点N 不可在直线BD 上，点N 也不可为底面ABCD 的中心，选项C 正确； 连接FN ，FN ⊂平面ABCD ，EF FN ∴⊥，F 、N 分别为CD 、BD 的中点，则112FN BC ==，又EF =2EN ==，BM ==BM EN ≠，故D 项错误；12． 【答案】BC解：由111ln 20x x y --+=，得：111ln 2y x x =-+，()()221212x x y y -+-的最小值可转化为函数ln 2y x x =-+图象上的点到直线242ln 20x y +--=上的点的距离的最小值的平方，由ln 2y x x =-+得：11y x'=-， 与直线242ln 20x y +--=平行的直线的斜率为12-， 则令1112x -=-，解得：2x =，∴切点坐标为()2,ln 2()2,ln 2∴到直线242ln 20x y +--=的距离d =即函数ln 2y x x =-+上的点到直线242ln 20x y +--=上的点的距离的最小值， ()()221212x x y y ∴-+-的最小值为245d =， 过()2,ln 2与242ln 20x y +--=垂直的直线为()ln 222y x -=-， 即24ln 20x y --+=， 由242ln 2024ln 20x y x y +--=⎧⎨--+=⎩，解得：125x =，即当M 最小时，2125x =．第Ⅱ卷（非选择题 90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13． 答案 8解析：向量()()4,3,6,,a b m a b =-=⊥，则0a b ⋅=，所以，4630m -⨯+=， 解得8m =． 14． 答案 15解析：因为在1nx ⎫⎪⎭的展开式中，各项系数之和为64，所以将1x =代入，得264n =，所以6n =所以36321661rrr rr r T C C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭所以，令3302r -=，即2r =，则其系数为2615C = 故答案为15． 15．答案 1，12解析:因为sin sin b A a C =，所以由正弦定理可得ba ac =，所以1b c ==;所以111sin sin 222ABC S bc A A ∆==≤，当sin 1A =，即90A =︒时，三角形面积最大，最大值为12．16．解析：因为()cos ()f x x f x =--，所以()cos ()f x x f x -=- 令cos ()()2xg x f x =-，则cos()cos()cos ()()cos ()()()222x x xg x f x x f x f x g x ---=--=--=-=-()()g x g x =--，故函数()g x 为奇函数．cos sin ()()()022x x g x f x f x '⎡⎤''=-=+<⎢⎥⎣⎦，故函数()g x 在R 上单调递减， 则cos(π)cos (π)()0(π)()022x xf x f x f x f x +++≤⇒+-+-≤ (π)()0(π)()()g x g x g x g x g x ⇔++≤⇔+≤-=-，所以πx x +≥-，故π2x ≥-， 即x 的取值范围为π2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（1）证明：因为1222n n n a a -=+，所以112=2+2n n n n a a --，即1122=2n n n n a a ---， 所以数列{2}nn a 是等差数列，且公差2d ＝，其首项123a =，………………2分所以23121)2(nn n n a -=⨯++＝，解得2+12n n n a =． ………………5分 (2)231357212122222n n n n n S --+++⋯+++＝，① ………………7分23413572121222222n n n S n n +-+++⋯+++＝，② ………………8分 ①－②，得2313111212()222222n n n S n +++-+=+⨯⋯+111112(1)321421221255222n n n n n ++-⨯⨯-+=+--+=- 所以2525n nn S +=-． ………………10分 18．解：（1cos 0A A +=，所以2sin()06A π+=，即56A π=，……2分 A 为钝角，与1a =<b =故①②中仅有一个正确，③正确； ………………3分 显然13sin 24ABCSbc A ，得3bc ； ………………4分当①③正确时，由2222cos a b c bc A =+-，得2220b c +=-<（无解） ………………5分 当②③正确时，由于3bc，b =1c =； ………………6分（2）如图，因为5π6A =，π2CAD ∠=，则π3BAD ∠= ………………7分 则1sin 21sin 2ABD ACDAB AD BADSSAC AD CAD ⋅⋅∠=⋅⋅∠=12， ………………8分 13ADBABC SS =，………………10分故ABD的面积为12． ………………12分 19． 【解析】（1）由已知得//AD EB ，//CG EB ，所以//AD CG ，故,AD CG 确定一个平面，从而,,,A C G D 四点共面． ……………………………………2分 由已知得AB EB ⊥，AB BC ⊥，故AB ⊥平面BCGE ………………3分 又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ． …………………4分 （2）作EH BC ⊥，垂足为H ．因为EH ⊂平面BCGE ，平面BCGE ⊥平面ABC ， 所以EH ⊥平面ABC ． ……………………………………5分 由已知，菱形BCGE 的边长为2，60EBC ∠=︒，可求得1BH =，EH =……6分以H 为坐标原点， HC 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -，则()1,1,0A -，()1,0,0C，(G，(CG =，()2,1,0AC =-．……7分设平面ACGD 的法向量为(),,n x y z =，则020n CG x n AC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩令3x =，则(3,6,n =． …………………………9分又平面BCGE 的法向量可取为()0,1,0m =， …………………………10分所以3m n =cos ＜，＞． …………………………11分 因此二面角B CG A --的大小为30︒． …………………………12分 20． 【解析】（1）设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．将y kx b =+代入2229x y m +=得2222(9)20k x kbx b m +++-=， ………2分故12229M x x kb x k +==-+，299M M by kx b k =+=+． …………4分 于是直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-，即9OM k k ⋅=-． 所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． ………………5分 （2）四边形OAPB 能为平行四边形． 因为直线l 过点(,)3mm ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠．由（1）得OM 的方程为9y x k=-． ………………6分 设点P 的横坐标为P x ．由2229,9,y x k x y m ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得2222981P k m x k =+，即P x = …………………………8分将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=， 因此2(3)3(9)M mk k x k -=+． …………………………9分四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x =．=2(3)23(9)mk k k -⨯+．解得14k =24k =11分因为0,3i i k k >≠，1i =，2，所以当l的斜率为44+四边形OAPB 为平行四边形． …………………………12分 21．附：①相关系数()()niix x y y r --=∑ˆya bx =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式为：()()()121ˆ,niii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑ˆˆay bx =-． ②参考数据： 4.499830849.4868,90e=⨯≈≈． 20. 解析：（1）()()12121500430.862500050iiu y r u y --=====∑．………………………………2分()()12214100.91770.211iix v x v r --====≈⨯∑．…4分则12r r <，因此从相关系数的角度，模型x ty e λ+=的拟合程度更好．……5分（2）（i ）先建立v 关于x 的线性回归方程． 由ln ln x ty ex t λλ+==+，得，即v t x λ=+．…………………………………6分由于()()()1112212140.018770iii i i x x v v x x λ==--==≈-∑∑…………………………………8分 4.200.01820 3.84t v x λ=-=-⨯=． …………………………9分 所以v 关于x 的线性回归方程为ˆ0.02 3.84vx =+， 所以0.02 3.84ˆˆln 0.02 3.84,=x yx y e +=+则． …………………………10分（ii ）下一年销售额y 需达到90亿元，即ˆ90y=， 代入0.02 3.84ˆ=x ye +得，0.02 3.8490=x e +，又 4.499890, 4.49980.02 3.84ex ≈≈+所以， ……………………………11分得， 4.4998 3.8432.990.02x -≈=．所以预测下一年的研发资金投入量约是32．99亿元．……………………………12分 22．解：（1）()f x 的定义域为()1-+∞，，()()22421x x f x x ++=+'……… 1分当12x -<<-+ ()0f x '<，当2x >-+()0f x '>．所以函数()f x在(12-，-上单调递减，在()2-+∞上单调递增． ………2分（2）设()()22ln 11x g x x ax x =++-+，则()()()()()22222121142112111x x x x g x a a a x x x +++-++⎛⎫=-=-=--+- ⎪+⎝⎭++'因为x ≥0，故211101x ⎛⎫-<--≤ ⎪+⎝⎭………………………………4分 ①当2a ≥时， 20a -≤， ()0g x '≤，所以()g x 在[)0,+∞单调递减，而()00g =，所以对所有的x ≥0， ()g x ≤0，即()f x ≤ax ； ………………………………5分②当12a <<时， 021a <-<，若20,1a x a ⎛-+∈ -⎝⎭，则()0g x '>， ()g x 单调递增，而()00g =，所以当20,1a x a ⎛-+∈ -⎝⎭时， ()0g x >，即()f x ax >，不合题意； …………………………7分③当1a ≤时， 21a -≥， ()0g x '>，所以()g x 在[)0,+∞单调递增，而()00g =，所以对所有的0x >， ()0g x >，即()f x ax >，不合题意．综上， 2a ≥满足题意，即a 的最小值为2． ……………………8分 （3）由()()1111n n a a +-+=得， 11n n n n a a a a ++-=⋅，由11a =得， 0n a ≠， 所以1111n n a a +-=，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项，1为公差的等差数列， 故1n n a =， 1n a n =， 111n a n +=+…………………………9分 11ln 2n n n na S a a ++>- ⇔ ()()111ln 112123n n n n++<+++++ 由（2）知2a =时， ()22ln 121x x x x ++<+， 0x >，高三数学试题 第21页（共21页） 即()()2ln 121x x x x ++<+，0x >． …………………………10分 令1x n=，得()111ln 21n n n n n ++<+， 即()1111ln 1ln 21n n n n n ⎛⎫+-+-< ⎪+⎝⎭ 因为()()()1111ln 1ln ln 12121nk n k k n k k n =⎡⎤⎛⎫+-+-=++ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦∑……………11分 所以()()111ln 112123n n n n ++<+++++ 故11ln 2n n n n a S a a ++>-……………………………12分。

2020届山东省淄博市部分学校高三教学质量检测（二模）数学试题一、单选题1．已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C【解析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2．已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z 的共轭复数是（ ） A ．2i - B ．2i +C ．12i +D ．12i -【答案】B【解析】根据复数的除法运算法则和共轭复数的定义直接求解即可. 【详解】由()1243i z i +=+，得43i2i 12iz +==-+，所以2z i =+． 故选：B 【点睛】本题考查了复数的除法的运算法则，考查了复数的共轭复数的定义，属于基础题. 3．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙【答案】A【解析】利用逐一验证的方法进行求解. 【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ． 【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．4．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 【答案】B【解析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断． 【详解】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件，由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件，故选B ． 【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ”此类的错误．5．已知曲线11(0x y a a -=+>且1)a ≠过定点(),k b ，若m n b +=且0,0m n >>，则41m n+的最小值为（ ）. A ．92B ．9C ．5D ．52【答案】A【解析】根据指数型函数所过的定点，确定1,2k b ==，再根据条件2m n +=，利用基本不等式求41m n+的最小值. 【详解】Q 定点为(1,2),1,2k b ∴==，2m n ∴+=41141()()2m n m n m n +=++∴149(5+)22m n n m =+… 当且仅当4m nn m =时等号成立，即42,33m n ==时取得最小值92. 故选：A 【点睛】本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.6．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果． 【详解】设32()22x xx y f x -==+，则332()2()()2222x x x x x x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ． 【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．7．“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 A ．32 B 322 C ．1252 D ．1272【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为122所以1212(2,)n n a a n n N -+=≥∈，又1a f =，则7781a a q f === 故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种： （1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1n n aq a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈）， 数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.8．已知点1F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A．B1CD1【答案】D【解析】根据抛物线的性质，设出直线方程，代入抛物线方程，求得k 的值，设出双曲线方程，求得2a ＝丨AF 2丨﹣丨AF 11）p ，利用双曲线的离心率公式求得e ． 【详解】直线F 2A 的直线方程为：y ＝kx 2p -，F 1（0，2p ），F 2（0，2p -）， 代入抛物线C ：x 2＝2py 方程，整理得：x 2﹣2pkx +p 2＝0， ∴△＝4k 2p 2﹣4p 2＝0，解得：k ＝±1，∴A （p ，2p ），设双曲线方程为：2222y x a b-=1，丨AF 1丨＝p ，丨AF 2丨==，2a ＝丨AF 2丨﹣丨AF 1丨＝（1）p ，2c ＝p ， ∴离心率e ca ===1，故选：D ． 【点睛】本题考查抛物线及双曲线的方程及简单性质，考查转化思想，考查计算能力，属于中档题．二、多选题9．某健身房为了解运动健身减肥的效果，调查了20名肥胖者健身前（如直方图（1）所示）后（如直方图（2）所示）的体重（单位：kg ）变化情况：对比数据，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（ ） A ．他们健身后，体重在区间[)90,100内的人数较健身前增加了2人 B ．他们健身后，体重原在区间[)100,110内的人员一定无变化 C ．他们健身后，20人的平均体重大约减少了8kgD ．他们健身后，原来体重在区间[]110,120内的肥胖者体重都有减少 【答案】AD【解析】根据直方图计算健身前后体重分别在区间[)90,100、[)100,110、[]110,120的人数以及平均数，进而可得出结论. 【详解】体重在区间[)90,100内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人，增加了2人，故A 正确；他们健身后，体重在区间[)100,110内的百分比没有变，但人员组成可能改变，故B 错误；他们健身后，20人的平均体重大约减少了()()0.3950.51050.21150.1850.4950.51055kg ⨯+⨯+⨯-⨯+⨯+⨯=，故C 错误；因为图（2）中没有体重在区间[]110,120内的人员，所以原来体重在区间[)110,120内的肥胖者体重都有减少，故D 正确. 故选：AD. 【点睛】本题考查直方图的应用，考查频数以及平均数的计算与应用，考查计算能力，属于基础题.10．已知点P 在双曲线22:1169x y C -=上，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，若12PF F ∆的面积为20，则下列说法正确的有（ ） A ．点P 到x 轴的距离为203B ．12503PF PF += C ．12PF F ∆为钝角三角形 D ．123F PF π∠=【答案】BC【解析】利用12PF F ∆的面积可求出点P 的纵坐标，可判断A 选项的正误；将点P 的纵坐标代入双曲线方程求得点P 的横坐标，即可求得12PF PF +的值，可判断B 选项的正误；计算21cos PF F ∠的值，可判断C 选项的正误；计算出12cos F PF ∠，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】因为双曲线22:1169x y C -=，所以5c ==.又因为12112102022PF F P P S c y y ∆=⋅=⋅⋅=，所以4P y =，所以选项A 错误； 将4P y =代入22:1169x y C -=得2241169x -=，即203P x =.由对称性，不妨取P 的坐标为20,43⎛⎫ ⎪⎝⎭，可知2133PF ==. 由双曲线定义可知1213372833PF PF a =+=+=， 所以12133750333PF PF +=+=，所以选项B 正确； 由对称性，对于上面点P ，在12PF F ∆中，12371321033PFc PF =>=>=. 且2222121212125cos 0213PF F F PF PF F PF F F +-∠==-<⋅，则21PF F ∠为钝角，所以12PF F ∆为钝角三角形，选项C 正确； 由余弦定理得222121212123191cos 22481PF PF F F F PF PF PF +-∠==≠⋅，123F PF π≠∠，所以选项D 错误. 故选：BC. 【点睛】本题考查焦点三角形有关命题的判断，涉及双曲线的定义、余弦定理的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.11．如图所示，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，CDE ∆是正三角形，M 为线段DE 的中点，点N 为底面ABCD 内的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．若BC DE ⊥时，平面CDE ⊥平面ABCDB ．若BC DE ⊥时，直线EA 与平面ABCD 10C ．若直线BM 和EN 异面时，点N 不可能为底面ABCD 的中心D ．若平面CDE ⊥平面ABCD ，且点N 为底面ABCD 的中心时，BM =EN 【答案】AC【解析】推导出BC ⊥平面CDE ，结合面面垂直的判定定理可判断A 选项的正误；设CD 的中点为F ，连接EF 、AF ，证明出EF ⊥平面ABCD ，找出直线EA 与平面ABCD 所成的角，并计算出该角的正弦值，可判断B 选项的正误；利用反证法可判断C 选项的正误；计算出线段BM 和EN 的长度，可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】因为BC CD ⊥，BC DE ⊥，CD DE D =I ，所以BC ⊥平面CDE ，BC ⊂Q 平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面CDE ，A 项正确；设CD 的中点为F ，连接EF 、AF ，则EF CD ⊥.Q 平面ABCD ⊥平面CDE ，平面ABCD I 平面CDE CD =，EF ⊂平面CDE .EF ∴⊥平面ABCD ，设EA 平面ABCD 所成的角为θ，则EAF θ=∠，223EF CE CF =-=，225AF AD FD =+=，2222AE EF AF =+=，则6sin EF EA θ==，B 项错误；连接BD ，易知BM ⊂平面BDE ，由B 、M 、E 确定的面即为平面BDE ， 当直线BM 和EN 异面时，若点N 为底面ABCD 的中心，则N BD ∈， 又E ∈平面BDE ，则EN 与BM 共面，矛盾，C 项正确；连接FN ，FN ⊂Q 平面ABCD ，EF ⊥平面ABCD ，EF FN ∴⊥，F Q 、N 分别为CD 、BD 的中点，则112FN BC ==， 又3EF=故222EN EF FN =+=，227BM BC CM =+=则BM EN ≠，D 项错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查立体几何综合问题，涉及面面垂直的判断、线面角的计算以及异面直线的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.12．已知111ln 20x x y --+=，22242ln 20x y +--=，记()()221212M x x y y =-+-，则（ ） A ．M 255B ．当M 最小时，2125x =C ．M 的最小值为45D ．当M 最小时，265x =【答案】BC【解析】将M 视为曲线ln 2y x x =-+上的点()11,x y 到直线242ln 20x y +--=上的点()22,x y 的距离的平方，利用曲线ln 2y x x =-+在点()11,x y 上的切线平行于直线242ln 20x y +--=可求得点()11,x y 的坐标，利用点到直线的距离公式可求得M 的最小值，联立过点()11,x y 且与直线242ln 20x y +--=垂直的直线与直线242ln 20x y +--=的方程，可求得2x 的值，综合可得出结论.【详解】由111ln 20x x y --+=，得：111ln 2y x x =-+，()()221212x x y y -+-的最小值可转化为函数ln 2y x x =-+图象上的点到直线242ln 20x y +--=上的点的距离的最小值的平方，由ln 2y x x =-+得：11y x'=-， 与直线242ln 20x y +--=平行的直线的斜率为12-， 则令1112x -=-，解得：2x =，∴切点坐标为()2,ln 2，()2,ln 2∴到直线242ln 20x y +--=的距离d ==即函数ln 2y x x =-+上的点到直线242ln 20x y +--=上的点的距离的最小值为. ()()221212M x x y y ∴=-+-的最小值为245d =， 过()2,ln 2与242ln 20x y +--=垂直的直线为()ln 222y x -=-，即24ln 20x y --+=.由242ln 2024ln 20x y x y +--=⎧⎨--+=⎩，解得：125x =，即当M 最小时，2125x =. 故选：BC. 【点睛】本题考查曲线上一点到直线距离最值的计算，考查导数几何意义的应用，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.三、填空题13．已知向量a v =（－4，3），b v =（6，m ），且a b ⊥v v，则m =__________.【答案】8.【解析】利用a b ⊥r r转化得到0a b •=r r 加以计算，得到m .【详解】向量4,36,a b m a b =-=⊥r r r r（），（），，则•046308a b m m =-⨯+==r r，，.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.14．在1nx ⎫⎪⎭的展开式中，各项系数之和为64，则展开式中的常数项为__________________. 【答案】15【解析】利用展开式各项系数之和求得n 的值，由此写出展开式的通项，令指数为零求得参数的值，代入通项计算即可得解. 【详解】1nx ⎫⎪⎭的展开式各项系数和为264n=，得6n =，所以，61x ⎫⎪⎭的展开式通项为63621661rr rrrr T C C x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令6302r-=，得2r =，因此，展开式中的常数项为2615C =. 故答案为：15. 【点睛】本题考查二项展开式中常数项的计算，涉及二项展开式中各项系数和的计算，考查计算能力，属于基础题.15．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .若sin sin b A a C =，1c =，则b =__，ABC ∆面积的最大值为___.【答案】112【解析】由正弦定理，结合sin sin b A a C =，1c =，可求出b ；由三角形面积公式以及角A 的范围,即可求出面积的最大值. 【详解】因为sin sin b A a C =，所以由正弦定理可得ba ac =，所以1b c ==;所以111S 222ABC bcsinA sinA ∆==≤，当1sinA =，即90A =︒时，三角形面积最大. 故答案为(1). 1 (2). 12【点睛】本题主要考查解三角形的问题，熟记正弦定理以及三角形面积公式即可求解，属于基础题型.16．已知函数()f x 的定义域为R ，导函数为()f x '，若()()cos f x x f x =--，且()sin 02xf x '+<，则满足()()0f x f x π++≤的x 的取值范围为______. 【答案】,2π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】构造函数()()cos 2xg x f x =-，再根据条件确定()g x 为奇函数且在R 上单调递减，最后利用单调性以及奇偶性化简不等式，解得结果. 【详解】 依题意，()()()cos cos 22x xf x f x --=--+， 令()()cos 2xg x f x =-，则()()g x g x =--，故函数()g x 为奇函数 ()()()cos sin 022x x g x f x f x '⎡⎤''=-=+<⎢⎥⎣⎦，故函数()g x 在R 上单调递减， 则()()()()()cos cos 0022x xf x f x f x f x πππ+++≤⇒+-+-≤ ()()()()()0g x g x g x g x g x ππ⇔++≤⇔+≤-=-，即x x π+≥-，故2x π≥-，则x 的取值范围为,2π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：,2π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性以及利用函数性质解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.四、解答题17．已知数列{}n a 满足132a =，且()1112,22n n n a a n n *--=+≥∈N .（1）求证：数列{}2nn a 是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S . 【答案】（1）证明见解析，212n n n a +=；（2）2552n nn S +=-. 【解析】（1）将等式11122n n n a a --=+变形为11222n n n n a a --=+，进而可证明出{}2nn a 是等差数列，确定数列{}2nn a 的首项和公差，可求得2nn a 的表达式，进而可得出数列{}n a 的通项公式；（2）利用错位相减法可求得数列{}n a 的前n 项和n S . 【详解】 （1）因为()1112,22n n n a a n n *--=+≥∈N ，所以11222n n n n a a --=+，即11222n n n n a a ---=，所以数列{}2nn a 是等差数列，且公差2d =，其首项123a =所以23(1)221nn a n n =+-⨯=+，解得212n nn a +=； （2）231357212122222n n n n n S --+=+++⋅⋅⋅++，① 42313572121222222n n n S n n +-+=+++⋅⋅⋅++，② ①-②，得23111112131112132142212222222212n n n n n S n n -++⎛⎫⨯⨯- ⎪++⎛⎫⎝⎭=+⨯++⋅⋅⋅+-=+- ⎪⎝⎭-152522n n ++=-， 所以2552n nn S +=-. 【点睛】本题考查利用递推公式证明等差数列，同时也考查了错位相减法求和，考查推理能力与计算能力，属于中等题.18．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，cos 0A A +=.有三个条件：①1a =；②b =4ABC S ∆=.其中三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件完成下面两个问题： （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD ∆的面积. 【答案】（1）1；（2【解析】（1）先求出角56A π=，进而可得出a b >，则①②中有且只有一个正确，③正确，然后分①③正确和②③正确两种情况讨论，结合三角形的面积公式和余弦定理可求得c 的值；（2）计算出BAD ∠和CAD ∠，计算出12AC B D A D S S ∆∆=，可得出13ABD ABC S S ∆∆=，进而可求得ABD ∆的面积. 【详解】（1cos 0A A +=10A +=，得tan A =， 0A π<<Q ，56A π∴=， A为钝角，与1a b =<=①②中仅有一个正确，③正确.显然1sin 24ABC S bc A ∆==，得bc =当①③正确时，由2222cos a b c bc A =+-，得222b c +=-（无解）； 当②③正确时，由于3bc =，3b =，得1c =；（2）如图，因为56A π=，2CAD π∠=，则3BAD π∠=，则1sin 1212sin 2A AC BDDAB AD BAD S S AC AD CAD ∆∆⋅⋅∠==⋅⋅∠，113333ABD ABC S S ∆∆∴==⨯=.【点睛】本题考查解三角形综合应用，涉及三角形面积公式和余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.19．图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°，将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2. （1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的二面角B−CG−A 的大小.【答案】(1)见详解；(2) 30o .【解析】(1)因为折纸和粘合不改变矩形ABED ，Rt ABC V 和菱形BFGC 内部的夹角，所以//AD BE ，//BF CG 依然成立，又因E 和F 粘在一起，所以得证.因为AB 是平面BCGE 垂线，所以易证.(2)在图中找到B CG A --对应的平面角，再求此平面角即可.于是考虑B 关于GC 的垂线，发现此垂足与A 的连线也垂直于CG .按照此思路即证. 【详解】(1)证：Q //AD BE ，//BF CG ，又因为E 和F 粘在一起.∴//AD CG ，A ，C ，G ，D 四点共面.又,AB BE AB BC ⊥⊥Q .AB ∴⊥平面BCGE ，AB ⊂Q 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCGE ，得证.(2)过B 作BH GC ⊥延长线于H ，连结AH ，因为AB ⊥平面BCGE ，所以AB GC ⊥ 而又BH GC ⊥，故GC ⊥平面HAB ，所以AH GC ⊥.又因为BH GC ⊥所以BHA ∠是二面角B CG A --的平面角，而在BHC △中90BHC ∠=o ，又因为60FBC ∠=o 故60BCH ∠=o ，所以sin 603BH BC ==o .而在ABH V 中90ABH ∠=o ,13tan 33AB BHA BH ∠===，即二面角B CG A --的度数为30o .【点睛】很新颖的立体几何考题．首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的．再者粘合后的多面体不是直棱柱，建系的向量解法在本题中略显麻烦，突出考查几何方法．最后将求二面角转化为求二面角的平面角问题考查考生的空间想象能力．20．已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，47-或47+．【解析】试题分析：（1）设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线OM 的斜率，再表示；（2）第一步由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ，直线OM 与椭圆方程联立求点P 的坐标，第二步再整理点的坐标，如果能构成平行四边形，只需，如果有值，并且满足0k >，3k ≠的条件就说明存在，否则不存在.试题解析：解：(1)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．∴由2229y kx b x y m=+⎧⎨+=⎩得2222(9)20k x kbx b m +++-=， ∴12229M x x kbx k +==-+，299M M b y kx b k =+=+． ∴直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-，即9OM k k ⋅=-． 即直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值9-． （2）四边形OAPB 能为平行四边形．∵直线l 过点(,)3mm ，∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠ 由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ．∴由2229,{9,y x k x y m =-+=得，即将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x = ∴239k =+2(3)23(9)mk k k -⨯+．解得147k =-，247k =+．∵0,3i i k k >≠，1i =，2，∴当l 的斜率为47-或47+时，四边形OAPB 为平行四边形． 【考点】直线与椭圆的位置关系的综合应用【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点是弦的中点，（1）知道中点坐标，求直线的斜率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线OM 斜率的关系时，也可以选择点差法，设,，代入椭圆方程，两式相减，化简为，两边同时除以得，而,,即得到结果，（2）对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次用坐标表示这些几何关系，本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分，即2P M x x ，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.21．某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型:①，②，其中均为常数，为自然对数的底数．现该公司收集了近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值．令，经计算得如下数据：（1）设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；（2）（i ）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）； （ii ）若下一年销售额需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；②参考数据：，，．【答案】（1）模型的拟合程度更好；（2）（i）；（ii）亿元. 【解析】（1）由相关系数求出两个系数，比较大小可得；（2）（i）先建立关于的线性回归方程，从而得出关于的回归方程；（ii）把代入（i）中的回归方程可得值．【详解】本小题主要考查回归分析等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、抽象概括能力及应用意识,考查统计与概率思想、分类与整合思想,考查数学抽象、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养,体现基础性、综合性与应用性．解：（1），，则，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好（2）（i）先建立关于的线性回归方程.由，得，即．由于，所以关于的线性回归方程为，所以，则（ii）下一年销售额需达到90亿元，即，代入得，，又，所以，所以，所以预测下一年的研发资金投入量约是亿元【点睛】本小题主要考查抛物线的定义、抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、导数几何意义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性与应用性22．（本小题满分12分）设函数()()22ln 11x f x x x =+++.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）如果对所有的x ≥0，都有()f x ≤ax ，求a 的最小值；（Ⅲ）已知数列{}n a 中， 11a =，且()()1111n n a a +-+=，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：11ln 2n n n na S a a ++>-. 【答案】（Ⅰ）函数()f x在(1-2-，上单调递减，在()-2+∞单调递增；（Ⅱ）2；（Ⅲ）证明见解析． 【解析】试题分析：（Ⅰ）先对函数()f x 求导，再对x 的取值范围进行讨论，即可得()f x 的单调性；（Ⅱ）设()()22ln 11x g x x ax x =++-+，先对函数()g x 求导，再对a 的取值范围进行讨论函数()g x 的单调性，进而可得a 的最小值；（Ⅲ）先由已知条件求出数列{}n a 的通项公式和前n 项和，再把11ln 2n n n na S a a ++>-转化为()()111ln 112123n n n n ++<+++++L ，由（Ⅱ）可得()()2ln 121x x x x ++<+，0x >，令1x n=，可得()1111ln 1ln 21n n n n n ⎛⎫+-+-<⎪+⎝⎭，进而可证()()111ln 112123n n n n ++<+++++L ，即可证11ln 2n n n naS a a ++>-．试题解析：（Ⅰ） ()f x 的定义域为()1-+∞，， ()()22421x x f x x ++=+'1分当12x -<<- ()0f x '<，当2x >-+ ()0f x '>2分所以函数()f x在(1-2-+，上单调递减，在()-2+∞单调递增. 3分 （Ⅱ）设()()22ln 11x g x x ax x =++-+，则 ()()()()()22222121142112111x x x x g x a a a x x x +++-++⎛⎫=-=-=--+- ⎪+⎝⎭++' 因为x ≥0，故211101x ⎛⎫-<--≤ ⎪+⎝⎭5分 （ⅰ）当2a ≥时， 20a -≤， ()0g x '≤，所以()g x 在[)0,+∞单调递减，而()00g =，所以对所有的x ≥0， ()g x ≤0，即()f x ≤ax ；（ⅱ）当12a <<时， 021a <-<，若0,x ⎛∈ ⎝⎭，则()0g x '>， ()g x 单调递增，而()00g =，所以当0,x ⎛∈ ⎝⎭时，()0g x >，即()f x ax >； （ⅲ）当1a ≤时， 21a -≥， ()0g x '>，所以()g x 在[)0,+∞单调递增，而()00g =，所以对所有的0x >， ()0g x >，即()f x ax >；综上， a 的最小值为2. 8分（Ⅲ）由()()1111n n a a +-+=得， 11n n n n a a a a ++-=⋅，由11a =得， 0n a ≠， 所以1111n n a a +-=，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项，1为公差的等差数列， 故1n n a =， 1n a n =， 111n a n +=+9分 11ln 2n n n na S a a ++>- ⇔ ()()111ln 112123n n n n ++<+++++L 由（Ⅱ）知2a =时， ()22ln 121x x x x ++≤+， 0x >， 即()()2ln 121x x x x ++<+， 0x >. 10分 法一：令1x n=，得()111ln 21n n n n n ++<+，即()1111ln 1ln 21n n n n n⎛⎫+-+-< ⎪+⎝⎭ 因为()()()1111ln 1ln ln 12121n k n k k n k k n =⎡⎤⎛⎫+-+-=++ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦∑11分 所以()()111ln 112123n n n n ++<+++++L 12分 故11ln 2n n n na S a a ++>-12分 法二： 11ln 2n n n na S a a ++>- ⇔ ()()1111ln 12321n n n n ++++>+++L 下面用数学归纳法证明．（1）当1n =时，令1x =代入()()2ln 121x x x x ++<+，即得11ln24>+，不等式成立（2）假设()*,1n k k N k =∈≥时，不等式成立，即()()1111ln 12321k k k k ++++>+++L 则1n k =+时， ()()111111ln 1231211k k k k k k +++++>++++++L 令11x k =+代入()()2ln 121x x x x ++<+，得()()121ln 11212k k k k k +>+++++ ()()()()()()121ln 1ln 1ln 211211212k k k k k k k k k k k ++++>++++++++++ ()()()()()()211ln 2ln 221222k k k k k k k k +++=++=+++++ 即()()111121ln 223122k k k k +++++>++++L 由（1）（2）可知不等式()()1111ln 12321n n n n ++++>+++L 对任何n *N ∈都成立.故11ln 2n n n na S a a ++>-12分 【考点】1利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的最值； 3、数列的通项公式；4、数列的前n 项和；5、不等式的证明．。

试卷第1页，总4页绝密★启用前2020年山东省淄博市数学二模试卷与详细解析第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知集合11A x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，{}12B x x =-<，则A B =（ ） A ．()1,3-B ．()1,1-C ．()()1,00,1-D ．()()1,01,3-2．设复数z 满足()12z i i ⋅-=+，则z 的虚部是（ ） A ．32B ．32i C ．32-D ．32i -3．在正项等比数列{}n a 中，若374a a =，则5(2)a -=（ ）A ．16B ．8C ．4D ．24．当5,36ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，方程22cos sin 1x y αα+=表示的轨迹不可能是（ ） A ．两条直线 B ．圆C ．椭圆D ．双曲线5．已知4log 2a =，1212b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313c ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．c b a <<6．在平行四边形ABCD 中，3DE EC =，若AE 交BD 于点M ，则AM =（ ） A ．1233AM AB AD =+ B ．3477AM AB AD =+ C ．2133AM AB AD =+ D ．2577AM AB AD =+ 7．某学校甲、乙、丙、丁四人竞选校学生会主席职位，在竞选结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对竞选结果做了如下预测：甲说：丙或丁竞选成功； 乙说：甲和丁均未竞选上； 丙说：丁竞选成功； 丁说：丙竞选成功；若这四人中有且只有2人说的话正确，则成功竞选学生会主席职位的是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁8．已知函数()f x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数.当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()tan 0f x f x x '+>，则不等式试卷第2页，总4页()cos sin 02x f x x f x π⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,42ππ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．,04π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、多选题9．设[]x 表示不小于实数x 的最小整数，则满足关于x 的不等式[][]2120+-≤x x 的解可以为（ ） AB ．3C ． 4.5-D ．5-10．已知动点P 在双曲线22:13y C x-=上，双曲线C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，下列结论正确的是（ ）A ．C 的离心率为2B ．C 的渐近线方程为y = C ．动点P 到两条渐近线的距离之积为定值D ．当动点P 在双曲线C 的左支上时，122PF PF 的最大值为1411．华为5G 通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：()()111212122122b b c c a a b b ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，其中1111221c a b a b =+，2112222c a b a b =+.已知定义在R 上不恒为0的函数()f x ，对任意,a b ∈R 有：()()()()121111b y y f a f b a -+⎛⎫=⨯ ⎪-⎝⎭且满足()12f ab y y =+，则（ ）A ．()00=fB ．()11f -=C ．()f x 是偶函数D ．()f x 是奇函数12．向体积为1的正方体密闭容器内注入体积为()01x x <<的液体，旋转容器，下列说法正确的是（ ） A ．当12x =时，容器被液面分割而成的两个几何体完全相同 B ．()0,1x ∀∈，液面都可以成正三角形形状C D ．当液面恰好经过正方体的某条体对角线时，液面边界周长的最小值为第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明试卷第3页，总4页三、填空题13．已知cos 2cos()2πααπ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，则cos2=α______ 14．设随机变量()4,9N ξ，若实数a 满足()()3221P a P a ξξ<+=>-，则a 的值是______15．已知抛物线21:8C y x =的焦点是F ，点M 是其准线l 上一点，线段MF 交抛物线C 于点N .当23MN MF→→=时，NOF 的面积是______四、双空题16．用I M 表示函数sin y x =在闭区间I 上的最大值.若正实数a [][]0,,22a a a M ≥则[]0,a M =______a 的取值范围是______五、解答题17．下面给出有关ABC的四个论断：①2ABCS=；②222b ac a c +=+；③2a c =或12；④b =以其中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：若______，则_______（用序号表示）并给出证明过程：18．已知数列{}n a 为“二阶等差数列”，即当时()1n n n a a b n *+-=∈N，数列{}nb 为等差数列125a=，367a =，5101a =.（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的最大值19．新生儿某疾病要接种三次疫苗免疫（即0、1、6月龄），假设每次接种之间互不影响，每人每次接种成功的概率相等为了解新生儿该疾病疫苗接种剂量与接种成功之间的关系，现进行了两种接种方案的临床试验：10μg /次剂量组与20μg/次剂量组，试验结果如下：（1）根据数据说明哪种方案接种效果好？并判断能否有99.9%的把握认为该疾病疫苗接种成功与两种接种方案有关？试卷第4页，总4页（2）以频率代替概率，若选用接种效果好的方案，参与该试验的1000人的成功人数比此剂量只接种一次的成功人数平均提高多少人.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++参考附表：20．在四棱柱1111ABCD A BC D -中，已知底面ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，112CD CB AB ===，M ，N 分别是棱AB ，11B C 的中点（1）证明：直线//MN 平面11ACC A ；（2）若1D C ⊥平面ABCD，且1DC =，求经过点A ，M ，N 的平面1A MN 与平面11ACC A 所成二面角的正弦值.21．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上的动点.当12F PF ∠取最大值时，12PF F 1）求椭圆的方程：（2）若动直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，且恒有0OA OB ⋅=，是否存在一个以原点O 为圆心的定圆C ，使得动直线l 始终与定圆C 相切？若存在，求圆C 的方程，若不存在，请说明理由22．已知函数()2ln f x x x x ax =+-（1）若函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递减，求实数a 的取值范围；（2）当2n ≥，（n *∈N）时，求证：22211111123e n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （3）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，求证：2121e x x >（e 为自然对数的底数）答案第1页，总16页参考答案1．D 2．C 3．C 4．B 5．A 6．B【解析】 【分析】根据三角形相似的性质结合向量的运算，即可得出答案. 【详解】3DE EC =，E ∴为线段DC 靠近点C 的四等分点显然ABMEDM ∆∆，即43AM AB ME DE == 444334()777477AM AE AD DE AD AB AB AD ⎛⎫∴==+=+=+ ⎪⎝⎭ 故选：B【点睛】本题主要考查了用基底表示向量，属于中档题. 7．D 【解析】 【分析】分别讨论当选上的人为甲、乙、丙、丁时，判断每个人说的是否正确，即可得到正确答案. 【详解】若甲被选上，甲、乙、丙、丁说的均错误，故A 错误；若乙被选上，甲、丙、丁说的均错误，乙说的正确，故B 错误； 若丙被选上，甲、乙、丁说的正确，丙说的错误，故C 错误； 若丁被选上，甲、丙说的正确，乙、丁说的错误，故D 正确； 故选：D 【点睛】本题主要考查了推理与证明，考查学生逻辑推理的能力，属于基础题. 8．C 【解析】 【分析】令()()sin g x f x x =，()[()()tan ]cos g x f x f x x x '=+'，当(0,)2x π∈时，根据()()tan 0f x f x x +'>，可得函数()g x 单调递增．根据()f x 是定义在(2π-，)2π上的奇函数，可得()g x 是定义在(2π-，)2π上的偶函数．进而得出。

山东省淄博市2020届高三第二次模拟考试数学（理科）试题注意事项：1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题，共90分，满分150分，考试时间为120分钟。

2．第Ⅰ卷共2页，12小题，每小题5分；每小题只有一个正确答案，请将选出的答案标号（A 、B 、C 、D ）涂在答题卡上。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

１．复数i R y x iix z ,,(13∈-+=是虚数单位）是实数，则x 的值为（ ） Ａ．３B ．－3C ．０Ｄ．32．记者为4名志愿者和他们帮助的1位老人拍照，要求排成一排,且老人必须排在正中间，那么不同的排法共有 （ ） Ａ．120种 B ．72种 C ．56种 Ｄ．24种 3．已知a →=(tan θ,―1),b →=(1,―2)，若(a →＋b →)⊥(a →―b →)，则θtan ＝（ ）Ａ．2 B ．－ 2 C ．2或－2 Ｄ．04．已知数列｛a n ｝各项均为正数．若对于任意的正整数p 、q 总有a p ＋q =a p ·a q 且a 8=16，则a 10=（ ） A ．16 B ．32 C ．48 D ．645．从抛物线y 2=4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM|=5．设抛物线的焦点为F ．则△MPF 的面积为 （ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．15 6．下列命题中，正确的是 （ ） A ．直线l ⊥平面α，平面β∥直线l ,则α⊥β B ．平面α⊥平面β，直线m ⊥平面β,则m ∥αC ．直线l 是平面α的一条斜线,且l ⊂β,则α与β必不垂直D ．一个平面内的两条直线与另一个平面内的两条直线分别平行,则这两个平面平行 7．已知命题（—∞，0），2x<3x；命题x x x q sin tan 20〉∈∀），，（：π，则下列命题为真命题的是（ ）A ．q p ∧B ．)(q p ⌝∨．C ．q p ∧⌝)(D ．)(q p ⌝∧8．函数y=tan （24ππ-x ）（0<x<4）的图像如图所示，A 为图像与x轴的交点，过点A 的直线与l 与函数的图像交于A 、B 两点， 则 =•+→→→OA OC OB )( （ ）A ．―8B ．―4C ．4D ．89．若多项式10109910103)1()1()1(+++++++=+x a x a x a a x x Λ，则=9a（ ）A ．9B ．10C ．－9D ．－10 10．一空间几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m ）则该几何体的体积为（ ）3m ． （ ）A ．27 B ．29C ．37D ．49 11．已知函数f （x ）=Asin(ωx ＋ϕ)（A>0, ω>0）的图象与直线y=b （0<b<A ）的三个相邻交点的横坐标分别是2、4、8,则函数f(x)的单调递增区间是 （ ）A ．[6k π, 6k π＋3]，k ∈ZB ．[6k ―3, 6k]，k ∈ZC ．[6k, 6k ＋3]，k ∈ZD ．无法确定12．已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤+≥041c by ax y x x ，且目标函数3x ＋y 的最大值为7，最小值为1，则acb a ++=（ ）A ．31- B ．31C ．3D ．―3第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）注意事项： 1．第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题．2．第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置上． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．y=x1,x=1,x=2,y=0所围成的封闭图形的面积为________________． 14．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是_________________________。

2020年高考模拟高考数学二模试卷一、选择题1．已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3} 2．已知复数z满足（1+2i）z＝4+3i，则z的共轭复数是（）A．2﹣i B．2+i C．1+2i D．1﹣2i3．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙4．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（）A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面5．已知曲线y＝a x﹣1+1（a＞0且a≠1）过定点（k，b），若m+n＝b且m＞0，n＞0，则的最小值为（）A．B．9C．5D．6．函数y＝在[﹣6，6]的图象大致为（）A．B．C．D．7．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）A．f B．f C．f D．f8．已知点F1是抛物线C：x2＝2py的焦点，点F2为抛物线C的对称轴与其准线的交点，过F2作抛物线C的切线，切点为A，若点A恰好在以F1，F2为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B．﹣1C．+1D．二、多项选择题9．某健身房为了解运动健身减肥的效果，调查了20名肥胖者健身前（如直方图（1）所示）后（如直方图（2）所示）的体重（单位：kg）变化情况，对比数据，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（）A．他们健身后，体重在区间[90，100）内的人数较健身前增加了2人B．他们健身后，体重原在区间[100，110）内的人员一定无变化C．他们健身后，20人的平均体重大约减少了8kgD．他们健身后，原来体重在区间[110，120]内的肥胖者体重都有减少10．已知点P在双曲线C：﹣＝1上，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有（）A．点P到x轴的距离为B．|PF1|+|PF2|＝C．△PF1F2为钝角三角形D．∠F1PF2＝11．如图所示，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，△CDE是正三角形，M为线段DE的中点，点N为底面ABCD内的动点，则下列结论正确的是（）A．若BC⊥DE时，平面CDE⊥平面ABCDB．若BC⊥DE时，直线EA与平面ABCD所成的角的正弦值为C．若直线BM和EN异面时，点N不可能为底面ABCD的中心D．若平面CDE⊥平面ABCD，且点N为底面ABCD的中心时，BM＝EN12．已知lnx1﹣x1﹣y1+2＝0，x2+2y2﹣4﹣2ln2＝0，记M＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，则（）A．M的最小值为B．当M最小时，x2＝C．M的最小值为D．当M最小时，x2＝三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量＝（﹣4，3），＝（6，m），且⊥，则m＝．14．在的展开式中，各项系数之和为64，则n＝；展开式中的常数项为．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若b sin A＝a sin C，c＝1，则b ＝，△ABC面积的最大值为．16．已知函数f（x）的定义域为R，导函数为f'（x），若f（x）＝cos x﹣f（﹣x），且，则满足f（x+π）+f（x）≤0的x的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}满足a1＝，且a n＝+（n≥2，n∈N*）．（1）求证：数列{2n a n}是等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．18．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sin A+cos A＝0．有三个条件：①a＝1；②b＝；③S△ABC＝．其中三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件完成下面两个问题：（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．19．图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE ＝BF＝2，∠FBC＝60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的二面角B﹣CG﹣A的大小．20．已知椭圆C：9x2+y2＝m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．21．某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额y（单位：亿元）的影响．该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①y＝α+βx2，②y＝eλx+t，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数．现该公司收集了近12年的年研发资金投入量x i和年销售额y i的数据，i＝1，2， (12)并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值．令u i＝x i2，v i＝lny i（i＝1，2，…，12），经计算得如下数据：2066770200460 4.203125000215000.30814（1）设{u i}和{y i}的相关系数为r1，{x i}和{v i}的相关系数为r2，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）；（ii）若下一年销售额y需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元？附：①相关系数r＝，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝；②参考数据：308＝4×77，≈9.4868，e4.4998≈90．22．设函数f（x）＝2ln（x+1）+．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）如果对所有的x≥0，都有f（x）≤ax，求a的最小值；（Ⅲ）已知数列{a n}中，a1＝1，且（1﹣a n+1）（1+a n）＝1，若数列{a n}的前n项和为S n，求证：S n＞﹣lna n+1．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}【分析】利用一元二次不等式的解法和交集的运算即可得出．解：∵M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，∴M∩N＝{x|﹣2＜x＜2}．故选：C．2．已知复数z满足（1+2i）z＝4+3i，则z的共轭复数是（）A．2﹣i B．2+i C．1+2i D．1﹣2i【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简复数z，则z的共轭复数可求．解：∵（1+2i）z＝4+3i，∴，则z的共轭复数是2+i．故选：B．3．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙【分析】本题可从三人预测中互相关联的乙、丙两人的预测入手，因为只有一个人预测正确，而乙对则丙必对，丙对乙很有可能对，假设丙对乙错则会引起矛盾故只有一种情况就是甲预测正确乙、丙错误，从而得出结果．解：由题意，可把三人的预测简写如下：甲：甲＞乙．乙：丙＞乙且丙＞甲．丙：丙＞乙．∵只有一个人预测正确，∴分析三人的预测，可知：乙、丙的预测不正确．如果乙预测正确，则丙预测正确，不符合题意．如果丙预测正确，假设甲、乙预测不正确，则有丙＞乙，乙＞甲，∵乙预测不正确，而丙＞乙正确，∴只有丙＞甲不正确，∴甲＞丙，这与丙＞乙，乙＞甲矛盾．不符合题意．∴只有甲预测正确，乙、丙预测不正确，甲＞乙，乙＞丙．故选：A．4．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（）A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面【分析】充要条件的定义结合面面平行的判定定理可得结论解：对于A，α内有无数条直线与β平行，α∩β或α∥β；对于B，α内有两条相交直线与β平行，α∥β；对于C，α，β平行于同一条直线，α∩β或α∥β；对于D，α，β垂直于同一平面，α∩β或α∥β．故选：B．5．已知曲线y＝a x﹣1+1（a＞0且a≠1）过定点（k，b），若m+n＝b且m＞0，n＞0，则的最小值为（）A．B．9C．5D．【分析】令x﹣1＝0，求出曲线y＝a x﹣1+1（a＞0且a≠1）过定点为（1，2），所以m+n ＝2，再利用乘1法即可得到的最小值．【解答】解析：∵定点为（1，2）∴m+n＝2∴＝当且仅当，即m＝，n＝时取得最小值，故选：A．6．函数y＝在[﹣6，6]的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由y＝的解析式知该函数为奇函数可排除C，然后计算x＝4时的函数值，根据其值即可排除A，D．解：由y＝f（x）＝在[﹣6，6]，知f（﹣x）＝，∴f（x）是[﹣6，6]上的奇函数，因此排除C又f（4）＝，因此排除A，D．故选：B．7．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）A．f B．f C．f D．f【分析】利用等比数列的通项公式，转化求解即可．解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为：＝．故选：D．8．已知点F1是抛物线C：x2＝2py的焦点，点F2为抛物线C的对称轴与其准线的交点，过F2作抛物线C的切线，切点为A，若点A恰好在以F1，F2为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B．﹣1C．+1D．【分析】根据抛物线的性质，设出直线方程，代入抛物线方程，求得k的值，设出双曲线方程，求得2a＝|AF2|﹣|AF1|＝（﹣1）p，利用双曲线的离心率公式求得e．解：直线F2A的直线方程为：y＝kx﹣，F1（0，），F2（0，﹣），代入抛物线C：x2＝2py方程，整理得：x2﹣2pkx+p2＝0，∴△＝4k2p2﹣4p2＝0，解得：k＝±1，∴A（p，），设双曲线方程为：﹣＝1，|AF1|＝p，|AF2|＝＝p，2a＝|AF2|﹣|AF1|＝（﹣1）p，2c＝p，∴离心率e＝＝＝+1，故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．某健身房为了解运动健身减肥的效果，调查了20名肥胖者健身前（如直方图（1）所示）后（如直方图（2）所示）的体重（单位：kg）变化情况，对比数据，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（）A．他们健身后，体重在区间[90，100）内的人数较健身前增加了2人B．他们健身后，体重原在区间[100，110）内的人员一定无变化C．他们健身后，20人的平均体重大约减少了8kgD．他们健身后，原来体重在区间[110，120]内的肥胖者体重都有减少【分析】根据两个频率分布直方图，对选项中的命题分析、判断正误即可．解：体重在[90，100）内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人，增加了2人，所以A正确；他们健身后，体重在[100，110）内的百分比没有变，但人员组成可能改变，所以B错误；他们健身后，20人的平均体重大约减少了（0.3×95+0.5×105+0.2×115）﹣（0.1×85+0.4×95+0.5×105）＝5（kg），所以C错误；因为图（2）中没有体重在[110，120）内的人员，所以原来体重在[110，120）内的肥胖者体重都有减少，所以D正确．故选：AD．10．已知点P在双曲线C：﹣＝1上，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有（）A．点P到x轴的距离为B．|PF1|+|PF2|＝C．△PF1F2为钝角三角形D．∠F1PF2＝【分析】根据双曲线的图象和性质，结合三角形的面积求出P的坐标，分别进行计算判断即可．解：由双曲线方程得a＝4，b＝3，则c＝5，由△PF1F2的面积为20，得•2c•|y P|＝10|y P|＝20，得|y P|＝4，即点P到x轴的距离为4，故A错误，将|y P|＝4代入双曲线方程得|x P|＝，根据对称性不妨设P（，4），则|PF2|＝＝，由双曲线的定义知|PF1|﹣|PF2|＝2a＝8，则|PF1|＝8+＝，则|PF1|+|PF2|＝+＝，故B正确，在△PF1F2中，|PF1|＝＞2c＝10＞|PF1|＝，则＝＝＞0，则△PF1F2为钝角三角形，故C正确，cos∠F1PF2＝＝＝＝1﹣＝1﹣，则∠F1PF2＝错误，故正确的是BC，故选：BC．11．如图所示，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，△CDE是正三角形，M为线段DE的中点，点N为底面ABCD内的动点，则下列结论正确的是（）A．若BC⊥DE时，平面CDE⊥平面ABCDB．若BC⊥DE时，直线EA与平面ABCD所成的角的正弦值为C．若直线BM和EN异面时，点N不可能为底面ABCD的中心D．若平面CDE⊥平面ABCD，且点N为底面ABCD的中心时，BM＝EN【分析】利用直线与平面垂直判断选项A的正误；利用直线与平面所成角判断B的正误；利用平面的性质判断C的正误；利用距离公式求解即可判断D即可．解：取CD的中点F，AB的中点H连接EF，FH，EH，BC⊥DE时，易证CD与平面EFH垂直，所以平面CDE⊥平面ABCD，所以A正确；连接FA，若BC⊥DE时，平面CDE⊥平面ABCD，直线EA与平面ABCD所成的角的正弦值为：＝＝，所以B不正确；连接BD，AC，交点为N，此时EN与BM共线，所以若直线BM和EN异面时，点N 不可能为底面ABCD的中心，正确；若平面CDE⊥平面ABCD，且点N为底面ABCD的中心时，连接BD，则N在BD的中点，ED≠BD，所以BM≠EN所以D不正确．故选：AC．12．已知lnx1﹣x1﹣y1+2＝0，x2+2y2﹣4﹣2ln2＝0，记M＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，则（）A．M的最小值为B．当M最小时，x2＝C．M的最小值为D．当M最小时，x2＝【分析】根据条件可将M＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值转化为函数y＝lnx﹣x+2图象上的点到直线x+2y﹣4﹣2ln2＝0上的点的距离的最小值的平方，求出d的最小值为两直线平行时的距离，即可得到M的最小值，并可求出此时对应的x2解：由lnx1﹣x1﹣y1+2＝0，得y1＝lnx1﹣x1+2，M＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值可转化为函数y＝lnx﹣x+2图象上的点到直线x+2y ﹣4﹣2ln2＝0上的点的距离的最小值的平方，由y＝lnx﹣x+2得y′＝，因为与直线x+2y﹣4﹣2ln2＝0平行的直线斜率为﹣，所以＝﹣，解得x＝2，则切点坐标为（2，ln2），所以（2，ln2）到直线x+2y﹣4﹣2ln2＝0上的距离d＝＝，即函数y＝lnx﹣x+2上的点到直线x+2y﹣4﹣2ln2＝0上的点的距离最小值为，所以（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值为d2＝，又过（2，ln2）且与x+2y﹣4﹣2ln2＝0垂直的直线为y﹣ln2＝2（x﹣2），即2x﹣y+4+ln2＝0，联立，解得x＝，即当M最小时，x2＝．故选：BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量＝（﹣4，3），＝（6，m），且⊥，则m＝8．【分析】⊥则，代入，，解方程即可．解：由向量＝（﹣4，3），＝（6，m），且⊥，得，∴m＝8．故答案为：8．14．在的展开式中，各项系数之和为64，则n＝6；展开式中的常数项为15．【分析】各项系数之和为2n＝64，解得即可，先求出通项公式，令x的指数为0，即可求出展开式中的常数项为解：令x＝1，则在的展开式中，各项系数之和为2n＝64，解得n＝6，则其通项公式为C6r，令6﹣3r＝0，解得r＝2，则展开式中的常数项为C62＝15故答案为：6，1515．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若b sin A＝a sin C，c＝1，则b ＝1，△ABC面积的最大值为．【分析】利用正弦定理化简已知等式可得b sin A＝sin A，由于sin A≠0，解得b＝1，根据范围A∈（0，π），可得sin A∈（0，1]，利用三角形的面积公式即可计算得解．解：∵b sin A＝a sin C，c＝1，∴由正弦定理，可得：a sin C＝c sin A＝sin A，∴b sin A＝a sin C＝sin A，∵sin A≠0，∴解得：b＝1，∵A∈（0，π），sin A∈（0，1]，∴S△ABC＝bc sin A≤＝．即ABC面积的最大值为．故答案为：1，．16．已知函数f（x）的定义域为R，导函数为f'（x），若f（x）＝cos x﹣f（﹣x），且，则满足f（x+π）+f（x）≤0的x的取值范围为[﹣，+∞）．【分析】依题意令，易知函数g（x）为奇函数，求导知函数g（x）在R上单调递减，则⇔g （x+π）≤g（﹣x），于是可求得x的取值范围．解：依题意，，令，则g（x）＝﹣g（﹣x），故函数g（x）为奇函数，，故函数g（x）在R上单调递减，则⇔g（x+π）+g（x）≤0⇔g（x+π）≤﹣g（x）＝g（﹣x），即x+π≥﹣x，故，则x的取值范围为．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}满足a1＝，且a n＝+（n≥2，n∈N*）．（1）求证：数列{2n a n}是等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【分析】本题第（1）题先对递推式进行转化变形，然后将2n a n看作一个整体，即可计算得到数列{2n a n}是以3为首项，2为公差的等差数列．从而可得数列{2n a n}的通项公式，进一步计算可得数列{a n}的通项公式；第（2）题运用错位相减法计算出数列{a n}的前n项和S n．【解答】（1）证明：当n≥2时，由a n＝+，两边同时乘以2n，可得2n a n＝2n﹣1a n﹣1+2，即2n a n﹣2n﹣1a n﹣1＝2（n≥2）．∵21a1＝2×＝3，∴数列{2n a n}是以3为首项，2为公差的等差数列．∴2n a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1，∴a n＝，n∈N*．（2）解：由（1），可知，S n＝a1+a2+…+a n＝+++…++，S n＝++…++，两式相减，可得：S n＝+++…+﹣＝+﹣＝﹣，∴S n＝5﹣．18．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sin A+cos A＝0．有三个条件：①a＝1；②b＝；③S△ABC＝．其中三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件完成下面两个问题：（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．【分析】（1）先根据条件求出A＝，所以A为钝角，与a＝1＜b＝矛盾，所以①②中仅有一个正确，③一定正确，再分情况讨论，即可得到c的值．（2）利用得到，从而求出△ABD的面积．解：（1）∵sin A+cos A＝0．∴2sin（A+）＝0，又A∈（0，π），∴A＝，∵A为钝角，与a＝1＜b＝矛盾，∴①②中仅有一个正确，③一定正确，∴S△ABC＝＝，∴bc＝，当①③正确时，由cos A＝得：b2+c2＝﹣2，无解，故不符合题意，当②③正确时，∵bc＝，b＝，∴c＝1，经检验成立，综上所述，c＝1；（2）如图所示：∵，∠DAC＝，∴，∴＝，∴，∴S△ABD＝．19．图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE ＝BF＝2，∠FBC＝60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的二面角B﹣CG﹣A的大小．【分析】（1）推导出AD∥BE，CG∥BE，从而AD∥CG，由此能证明A，C，G，D四点共面，推导出AB⊥BE，AB⊥BC，从而AB⊥面BCGE，由此能证明平面ABC⊥平面BCGE．（2）作EH⊥BC，垂足为H，以H为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系H﹣xyz，运用空间向量方法求二面角B﹣CG﹣A的大小．【解答】证明：（1）由已知得AD∥BE，CG∥BE，∴AD∥CG，∴AD，CG确定一个平面，∴A，C，G，D四点共面，由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，∴AB⊥面BCGE，∵AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCGE．解：（2）作EH⊥BC，垂足为H，∵EH⊂平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，∴EH⊥平面ABC，由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC＝60°，∴BH＝1，EH＝，以H为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所求的空间直角坐标系H﹣xyz，则A（﹣1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，），＝（1，0，），＝（2，﹣1，0），设平面ACGD的法向量＝（x，y，z），则，取x＝3，得＝（3，6，﹣），又平面BCGE的法向量为＝（0，1，0），∴cos＜＞＝＝，∴二面角B﹣CG﹣A的大小为30°．20．已知椭圆C：9x2+y2＝m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P＝2x M，建立方程关系即可得到结论．解：（1）设直线l：y＝kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），将y＝kx+b代入9x2+y2＝m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2＝0，则判别式△＝4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，则x1+x2＝，则x M＝＝，y M＝kx M+b＝，于是直线OM的斜率k OM＝＝，即k OM•k＝﹣9，∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．（2）四边形OAPB能为平行四边形．∵直线l过点（，m），∴由判别式△＝4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，即k2m2＞9b2﹣9m2，∵b＝m﹣m，∴k2m2＞9（m﹣m）2﹣9m2，即k2＞k2﹣6k，即6k＞0，则k＞0，∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，由（1）知OM的方程为y＝x，设P的横坐标为x P，由得，即x P＝，将点（，m）的坐标代入l的方程得b＝，即l的方程为y＝kx+，将y＝x，代入y＝kx+，得kx+＝x解得x M＝，四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P＝2x M，于是＝2×，解得k1＝4﹣或k2＝4+，∵k i＞0，k i≠3，i＝1，2，∴当l的斜率为4﹣或4+时，四边形OAPB能为平行四边形．21．某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额y（单位：亿元）的影响．该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①y＝α+βx2，②y＝eλx+t，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数．现该公司收集了近12年的年研发资金投入量x i和年销售额y i的数据，i＝1，2， (12)并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值．令u i＝x i2，v i＝lny i（i＝1，2，…，12），经计算得如下数据：2066770200460 4.203125000215000.30814（1）设{u i}和{y i}的相关系数为r1，{x i}和{v i}的相关系数为r2，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）；（ii）若下一年销售额y需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元？附：①相关系数r＝，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝；②参考数据：308＝4×77，≈9.4868，e4.4998≈90．【分析】（1）由题意计算相关系数，比较它们的大小即可；（2）（i）先建立v关于x的线性回归方程，再转化为y关于x的回归方程；（ii）利用回归方程计算y＝90时x的值即可．解：（1）由题意，＝，…＝，…则|r1|＜|r2|，因此从相关系数的角度，模型y＝eλx+t的拟合程度更好；…（2）（i）先建立v关于x的线性回归方程，由y＝eλx+t，得lny＝t+λx，即v＝t+λx；…由于，…，…所以v关于x的线性回归方程为，所以，则；…（ii）下一年销售额y需达到90亿元，即y＝90，代入，得90＝e0.02x+3.84，又e4.4998≈90，所以4.4998≈0.02x+3.84，…所以，所以预测下一年的研发资金投入量约是32.99亿元…22．设函数f（x）＝2ln（x+1）+．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）如果对所有的x≥0，都有f（x）≤ax，求a的最小值；（Ⅲ）已知数列{a n}中，a1＝1，且（1﹣a n+1）（1+a n）＝1，若数列{a n}的前n项和为S n，求证：S n＞﹣lna n+1．【分析】（Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，通过解关于导数的不等式，从而求出函数的单调区间；（Ⅱ）设g（x）＝f（x）﹣ax，先求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调性，从而求出a的最小值；（Ⅲ）先求出数列是以为首项，1为公差的等差数列，，，问题转化为证明：，通过换元法或数学归纳法进行证明即可．解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣1，+∞），，当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在上单调递减，在单调递增．（Ⅱ）设，则，因为x≥0，故，（ⅰ）当a≥2时，2﹣a≤0，g′（x）≤0，所以g（x）在[0，+∞）单调递减，而g（0）＝0，所以对所有的x≥0，g（x）≤0，即f（x）≤ax；（ⅱ）当1＜a＜2时，0＜2﹣a＜1，若，则g′（x）＞0，g （x）单调递增，而g（0）＝0，所以当时，g（x）＞0，即f（x）＞ax；（ⅲ）当a≤1时，2﹣a≥1，g′（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）单调递增，而g（0）＝0，所以对所有的x＞0，g（x）＞0，即f（x）＞ax；综上，a的最小值为2．（Ⅲ）由（1﹣a n+1）（1+a n）＝1得，a n﹣a n+1＝a n•a n+1，由a1＝1得，a n≠0，所以，数列是以为首项，1为公差的等差数列，故，，，⇔，由（Ⅱ）知a＝2时，，x＞0，即，x＞0．法一：令，得，即因为，所以，故．法二：⇔下面用数学归纳法证明．（1）当n＝1时，令x＝1代入，即得，不等式成立（2）假设n＝k（k∈N*，k≥1）时，不等式成立，即，则n＝k+1时，，令代入，得＝，即：，由（1）（2）可知不等式对任何n∈N*都成立．故．。

高三阶段性诊断考试试题数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}11,12A xB x x x ⎧⎫=<=-<⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂= A ．()13-， B ．()11-，C ．()()1,00,1-⋃D ．()()1,01,3-⋃2．设复数z 满足()12z i i ⋅-=+，则z 的虚部是 A ．32B ．32iC ．32-D ．32i -3．在正项等比数列{}n a 中，若374a a =，则()52a -=A ．16B ．8C ．4D ．24．当5,36ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭时，方程22cos sin 1x y αα+=表示的轨迹不可能是 A ．两条直线 B ．圆C ．椭圆D ．双曲线5．已知1123411log 2,,23a b c ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 A ．a c b << B ． a b c << C ．c a b <<D ．a b a <<6．在平行四边形ABCD 中，3DE EC =，若AE 交BD 于点M ，则AM =A ．1233AM AB AD =+ B ．3477AM AB AD =+ C ．2133AM AB AD =+D ．2577AM AB AD =+7．某学校甲、乙、丙、丁四人竞选校学生会主席职位，在竞选结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对竞选结果做了如下预测：甲说：丙或丁竞选成功； 乙说：甲和丁均未竞选上； 丙说：丁竞选成功； 丁说：丙竞选成功；若这四人中有且只有2人说的话正确，则成功竞选学生会主席职位的是 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 8．已知函数()f x 是定义在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的奇函数．当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时， ()()tan 0f x f x x '+>，则不等式()cos sin 02x f x x f x π⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集为A ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．,42ππ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．,04π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．设【x 】表示不小于实数x 的最小整数，则满足关于x 的不等式【x 】2+【x 】120-≤的解可以为 AB ．3C ． 4.5-D ．5-10．已知动点P 在双曲线22:13y C x -=上，双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，下列结论正确的是A ．C 的离心率为2B ．C的渐近线方程为y x = C ．动点P 到两条渐近线的距离之积为定值 D ．当动点P 在双曲线C 的左支上时，122PF PF 的最大值为1411．华为5G 通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：()()()1122221212b b b b c c a a =⨯，其中11112212112222,c a b a b c a b a b =+=+.已知定义在R 上不恒为0的函数()f x ，对任意,a b R ∈有：()()()()()111211b a y y f a f b -+-=⨯，且满足()12f ab y y =+，则A ．()00f =B ．()11f -=C ．()f x 是偶函数D ．()f x 是奇函数12．向体积为1的正方体密闭容器内注入体积为()01x x <<的液体，旋转容器，下列说法正确的是 A ．当12x =时，容器被液面分割而成的两个几何体完全相同 B ．()0,1x ∀∈，液面都可以成正三角形形状CD．当液面恰好经过正方体的某条对角线时，液面边界周长的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知()cos 2cos 2πααπ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，则cos 2α=________． 14．设随机变量()~4,9N ξ，若实数a 满足()()3221P a P a a ξξ<+=>-，则的值是_________．15. 已知抛物线21:8C y x =的焦点是F ，点M 是其准线。

山东省淄博市部分学校2020届高三数学6月阶段性诊断考试（二模）试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合1{|1}A x x=<,{||1|2},B x x =-<则A B = ().1,3A -().1,1B -()()()().1,00,1.1,01,3C D --2．设复数z 满足z ()12,i i ⋅-=+则z 的虚部是 A ．32 B ．32i C ．-32 D. -32i 3．在正项等比数列{}n a 中，若374,a a =则()52a -=A ．16B ．8C ．4D ．2 4．当5,36ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭时，方22cos sin 1x y αα+=程表示的轨迹不可能是 A ．两条直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线 5．已知1123411log 2,,23a b c ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.Aa c b <<.B a b c << .C c a b << .D c b a <<6．在平行四边形ABCD 中,3,DE EC =若AE 交BD 于点M ，则→AM =A ．1233AM AB AD =+ B ．3477AM AB AD =+21.33C AM AB AD =+25.77D AM AB AD =+7．某学校甲、乙、丙、丁四人竞选校学生会主席职位，在竞选结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对竞选结果做了如下预测：甲说：丙或丁竞选成功;乙说：甲和丁均未竞选上： 丙说：丁竞选成功;丁说：丙竞选成功若这四人中有且只有2人说的话正确，则成功竞选学生会主席职位的是 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁8．已知函数()f x 是定义在(-π2，π2)上的奇函数．当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()tan 0,f x f x x '+>则不等式()cos sin 02x f x x f x π⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集为 A.(.π4,π2)B ．(-.π4,π2)C ．,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．设[x ]表示不小于实数x 的最小整数，则满足关于x 的不等式2120x x []+[-]的解可以为 AB ．3C ．-4.5D ．-510．已知动点P 在双曲线C ：2213y x -=上，双曲线C 的左右焦点分别为21,s F F 下列结论正确的是A ．C 的离心率为2B ．C的渐近线方程为y x = C ．动点P 到两条渐近线的距离之积为定值 D ．当动点P 在双曲线C 的左支上时，122||||PF PF 的最大值为1411．华为5G 通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：()()11212122122b b c c a a b b ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭,其中11112212112222,c a b a b c a b a b =+=+.已知定义在R 上不恒为0的函数(),f x 对任意,a b R ∈有：()()()12) 11(11b y y f a f b a -+⎛⎫=⨯ ⎪-⎝⎭且满足()12,f ab y y =+则()()().00.11.A f B f C f x =-=是偶函数 ().D f x 是奇函数12．向体积为1的正方体密闭容器内注入体积为()01x x <<的液体，旋转容器，下列说法正确的是 A ．当12x =时，容器被液面分割而成的两个几何体完全相同 ().0,1,B x ∀∈液面都可以成正三角形形状C ．当液面与正方体的某条对角线垂直时，液面面积的最大值为34 3D ．当液面恰好经过正方体的某条对角线时，液面边界周长的最小值为2 5 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13．已知()cos 2cos 2πααπ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，则cos2α= ▲ 14．设随机变量()~4,9,N ζ若实数a 满足()()3221,P a P a ξζ<+=>-则a 的值是 ▲15．已知抛物线C ：218y x =的焦点是F ，点M 是其准线l 上一点，线段MF 交抛物线C 于点N ．当23MN MF =时，△NOF 的面积是 ▲ 16．用 M I 表示函数 y = s i n x 在闭区间I 上的最大值．若正实数a [][]0,,22a a a M 则[]0,a M = ▲a 的取值范围是 ▲ (本题第一空2分，第二空3分)四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．(10分)下面给出有关ABC 的四个论断：32ABCS=①；222122a b ac a c c +=+=②；③或 3.b =④ 以其中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： 若 ▲ ,则 ▲ (用序号表示)并给出证明过程： 18．(12分)已知数列{}n a 为“二阶等差数列”，即当()*1n n n a a b n +-=∈N 时，数列{b n }为等差数列15325,67,101.a a a ===(1)求数列{}n b 的通项公式; (2)求数列{}n a 的最大值19．(12分)新生儿某疾病要接种三次疫苗免疫(即0、1、6月龄)，假设每次接种之间互不影响，每人每次接种成功的概率相等为了解新生儿该疾病疫苗接种剂量与接种成功之间的关系，现进行了两种接种方案的临床试验： 1 0 μg /次剂量组与 2 0 μg / 次剂量组，试验结果如下：(1)根据数据说明哪种方案接种效果好?并判断能否有99．9%的把握认为该疾病疫苗接种成功与两种接种方案有关?(2)以频率代替概率，若选用接种效果好的方案，参与该试验的1000人的成功人数比此剂量只接种一次的成功人数平均提高多少人. 参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中.n a b c d =+++参考附表：20．(12分)在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，112CD CB AB ===，M,N 分别是棱AB,B 1C 1的中点 (1)证明：直线MN ∥平面11ACC A ;(2)若1D C ⊥平面ABCD ，且13DC =,求经过点A ，M ，N 的平面1A MN 与平面11ACC A 所成二面角的正弦值.21．(12分)已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率是32，P 为椭圆上的动点．当12F PF ∠取最大值时12,PF F ∆的面积是 3 (1)求椭圆的方程：(2)若动直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，且恒有0,OA OB ⋅=是否存在一个以原点O 为圆心的定圆C ，使得动直线l 始终与定圆C 相切?若存在，求圆C 的方程，若不存在，请说明理由22．(12分)已知函数()2.ln f x x x x ax =+-(1)若函数()f x 在区间[1,)+∞上单调递减，求实数a 的取值范围； (2)当) 2,(*n n ≥∈N 时，求证：222111111;23e n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(3)若函数()f x 有两个极值点x 1，x 2，求证：212( 1e x x e >为自然对数的底数)。