山东省淄博市部分学校2021届高三阶段性诊断考试理科数学试题

高三阶段性诊断考试试题理科数学本试卷分第I卷和第II卷两部分，共5页．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡—并交回．注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．参考公式：1.如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P (B)；如果事件A,B独立，那么错误！未找到引用源。

.2.球的体积公式错误！未找到引用源。

，其中R表示球的半径.第I卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足错误！未找到引用源。

（其中i为虚数单位），则z的共轭复数是A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

2.设错误！未找到引用源。

，则A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

3.设命题错误！未找到引用源。

，则p是q的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知随机变量错误！未找到引用源。

A.0.477B.0.628C.0.954D.0.9775.已知不共线向量错误！未找到引用源。

的夹角是A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

高三复习阶段性诊断考试试题理科数学本试卷，分第I 卷和第Ⅱ卷两部分．共5页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．第II 卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}{}{},,,,,,,,,U U a b c d e M a d N a c e M C N ===⋃，则为 A.{},,,a c d eB.{},,a b dC.{},b dD.{}d2.已知i 是虚数单位，则32ii -+等于 A.1i -+B.1i --C.1i +D.1i -3.“a b c d a >>>且是“c bd?”成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.某程序框图如右图所示，若输出的S=57，则判断框内填 A.4k > B. k >5 C. k >6 D. k >75.设,a b r r 是两个非零向量，则下列命题为真命题的是A.若a b a b a b +=-⊥r r r r r r ，则B.若a b a b a b ⊥+=-r r r r r r ,则C.若a b a b +=-r r r r，则存在实数λ，使得a b λ=r r D. 若存在实数λ，使得a b λ=r r ，则a b a b +=-r r r r6.某几何体正视图与侧视图相同，其正视图与俯视图如图所示，且图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图中两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是 A.203B.6C.4D.437.下列函数是偶函数，且在[]0,1上单调递增的是 A.cos 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.212cos 2y x =- C.2y x =-D.()sin y x π=+8.二项式243x x ⎛+ ⎪⎝⎭展开式中，x 的幂指数是整数的项共有 A.3项 B.4项 C.5项 D.6项9.3名男生3名女生站成两排照相，要求每排3人且3名男生不在同一排，则不同的站法有A.324种B.360种C.648种D.684种10.如图，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1212,,4F F F F =，P 是双曲线右支上的一点，2F P y 与轴交于点A ，1APF ∆的内切圆在1PF 上的切点为Q ，若1PQ =，则双曲线的离心率是A.3B.2C.3D.2第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.已知3sin ,tan 25παπαα⎛⎫∈==⎪⎝⎭，，则________.12.已知等比数列{}3481298n a a a a a a a =⋅⋅⋅=若，则________. 13.若log 41,a b a b =-+则的最小值为_________.14.已知x ，y 满足2211,0x y x y z x y y ⎧+≤⎪+≤=-⎨⎪≥⎩则的取值范围是________.15.在实数集R 中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”.类似的，我们在平面向量集(){},,,D a a x y x R y R =∈∈r r上也可以定义一个称“序”的关系，记为“?”.定义如下：对于任意两个向量()()11122212,,,,a x y a x y a a ==u r u u r u r u u r?“”当且仅当“12x x >”或“1212x x y y =>且”.按上述定义的关系“?”，给出如下四个命题：①若()()()12121,0,0,1,00,0,0e e e e ===u r u u r r u r u u r r ??则；②若1223,a a a a u r u u r u u r u u r ??，则13a a u r u u r ?；③若12a a u r u u r ?，则对于任意12,a D a a a a ∈++r u r r u u r r ?；④对于任意向量()12120,00,0,a a a a a a a =⋅>⋅r r r u r u u r r u r r u u r??，若则.其中真命题的序号为__________.三、解答题：本大题共6小题，共75分 16.（本题满分12分）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若()(),2,1,2cos ,//m b c a n A m n =-=u r r u r r且.（I ）求B ；（II ）设函数()211sin 2cos cos sin cos 222f x x B x B B π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，求函数()04f x π⎡⎤⎢⎥⎣⎦在，上的取值范围.17.（本题满分12分）某学校组织了一次安全知识竞赛，现随机抽取20名学生的测试成绩，如下表所示（不低于90分的测试成绩称为“优秀成绩”）：（I ）若从这20人中随机选取3人，求至多有1人是“优秀成绩”的概率；（II ）以这20人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校全体学生中（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“优秀成绩”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望. 18.（本题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD//BC,PB ⊥AC,,AD CD AD⊥且22,2CD PA ===，点M 在线段PD 上.（I ）求证：AB ⊥平面PAC ；（II ）若二面角M-AC-D 的大小为45o，试确定点M 的位置.19.（本题满分12分）某市为控制大气PM2.5的浓度，环境部门规定：该市每年的大气主要污染物排放总量不能超过55万吨，否则将采取紧急限排措施.已知该市2013年的大气主要污染物排放总量为40万吨，通过技术改造和倡导绿色低碳生活等措施，此后每年的原大气主要污染物排放最比上一年的排放总量减少10%.同时，因为经济发展和人口增加等因素，每年又新增加大气主要污染物排放量()0m m >万吨.（I ）从2014年起，该市每年大气主要污染物排放总量（万吨）依次构成数列{}n a ，求相邻两年主要污染物排放总量的关系式； （II ）证明：数列{}10n a m -是等比数列；（III ）若该市始终不需要采取紧急限排措施，求m 的取值范围.20.（本题满分13分）已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C 的一个焦点在抛物线2y =的准线上，且椭圆C 过点1,2⎛ ⎝⎭. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）点A 为椭圆C 的右顶点，过点()1,0B 作直线l 与椭圆C 相交于E ，F 两点，直线AE,AF 与直线3x =分别交于不同的两点M,N ，求EM FN ⋅u u u u r u u u r的取值范围.21.（本题满分14分） 已知函数()()1 1.xf x x e =--（I ）求函数()f x 的最大值；（II ）若()()0ln 110xx g x e x λ≥=+--≤时，，求λ的取值范围.（III ）证明：111123n n n eee++++++ (12)eln 2n <+（n *N ∈）高三复习阶段性诊断考试数学试题参考答案2014.4一、选择题： BDDAC ADCCB二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11． 34-12． 512 ． 13． 1 14． ⎡⎤⎣⎦15．（文科） 7 15．（理科） ①②③ .三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）解：（Ⅰ）解法一：因为//m n u r r，所以 2cos 2b A c a =- …………………………………2分由余弦定理得222222b c a b c a bc+-⋅=-，整理得222=+ac a c b -所以222+1cos =22a cb B ac -=……………………………4分 又因为0B π<<，所以3B π=. ………………………………………6分解法二：因为//m n u r r，所以2cos 2b A c a =- ………………………………2分由正弦定理得 2sin cos 2sin sin B A C A =- 所以()2sin cos 2sin sin B A A B A =+- 整理得2sin cos sin 0A B A -=因为0A π<<，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B = ……………………4分 又因为0B π<<，所以3B π=. …………………………………………6分（Ⅱ）211()sin 2cos cos sin cos()222f x x B x B B π=+++11cos 2sin 242x x +=+1sin 224x x =+1sin(2)23x π=+ ………………8分因为 04x π≤≤，则52+336x πππ≤≤， ………………………10分 所以1sin 2+23x π≤≤（）1， 即()f x 在[0,]4π上取值范围是11[,]42. ……………………12分 17．（文科 本题满分12分）解：(Ⅰ)设该校总人数为n 人，由题意，得5010100300n =+，所以2000n = ………………3分 故2000(100300150450600)400z =-++++=． …………5分(Ⅱ)设所抽样本中有m 个女生．因为用分层抽样的方法在高一学生中抽取一个容量为5的样本，所以40010005m=，解得2m =． ………………………7分 也就是抽取了2名女生，3名男生，分别记作12123,,,,A A B B B ，则从中任取2个的所有基本事件为(12,A A )，(11,A B )，(12,A B )，(13,A B )，(21,A B )，(22,A B )，(23,A B )，(12,B B )，(13,B B )，(23,B B )，共10个； …………………9分 其中至少有1名女生的基本事件有7个： (12,A A )，(11,A B )，(12,A B )，(13,A B )， (21,A B )，(22,A B )，(23,A B ) …………………………11分 所以从中任取2人，至少有1名女生的概率为710P =． …………………12分 17．（理科 本题满分12分）解：（Ⅰ）由表知：“优秀成绩”为4人． ………………………………1分 设随机选取3人，至多有1人是“优秀成绩”为事件A ，则3211616433202052()57C C C P A C C =+=． ……………………………………………5分（Ⅱ）由样本估计总体可知抽到“优秀成绩”学生的概率15P =． ………6分 ξ可取0,1,2,3 ………………………………………………………7分00331464(0)()()55125P C ξ===；1231448(1)()()55125P C ξ===；2231412(2)()()55125P C ξ===；3303141(3)()()55125P C ξ===．ξ的分布列：……………………………………11分6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………………12分 或 1(3,)5B ξ:, 13355E ξ=⨯=． ………………………12分18．（文科 本题满分12分）证明：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，,AC AB ⊂平面ABCD所以 PA AC ⊥,PA AB ⊥ …………………………………2分 又因为PB AC ⊥，PA AC ⊥，,PA PB ⊂平面PAB ，PA PB P =I , 所以AC ⊥平面PAB …………………………………3分 又因为AC ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以AC ⊥AB …………………………………4分 因为AC ⊥AB ，PA AB ⊥，,PA AC ⊂平面PAC ，PA AC A =I , 所以 AB ⊥平面PAC ………………………6分 （Ⅱ）方法一取PC 的中点E ,连接QE 、ED . 因为Q 是线段PB 的中点，E 是PC 的中点，所以 QE ∥BC ,12QE BC =………8分 因为 AD ∥BC ,2BC AD =所以 QE ∥AD ,QE AD =所以 四边形AQED 是平行四边形，………………………………9分所以 AQ ∥ED , ………………………………10分 因为AQ ∥ED ,AQ ⊄平面PCD ,ED ⊂平面PCD所以 AQ ∥平面PCD . …………………………………………12分 方法二取BC 的中点E ,连接AE 、QE . 因为 2BC AD = 所以AD EC = 又 AD ∥EC ，所以 四边形ADCE 是平行四边形， 所以AE ∥CD因为AE ⊄平面PCD ,CD ⊂平面PCD ,所以AE ∥平面PCD ……………8分 因为Q ，E 分别是线段PB ，BC 的中点，所以QE ∥PC ，所以QE ∥平面PCD ……………………………10分 因为QE AE E =I ，所以平面AEQ ∥平面PCD ……………………11分 因为AQ ⊂平面AEQ ，所以AQ ∥平面PCD . ………………………12分 18．（理科 本题满分12分）解证：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，,AC AB ⊂ 平面ABCD 所以 PA AC ⊥,PA AB ⊥ …………………………………2分 又因为PB AC ⊥，PA AC ⊥，,PA PB ⊂平面PAB ，PA PB P =I , 所以AC ⊥平面PAB …………………………………3分 又因为AC ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以AC ⊥AB …………………………………4分因为AC ⊥AB ，PA AB ⊥，,PA AC ⊂平面PAC ，PA AC A =I , 所以 AB ⊥平面PAC ………………………6分 （Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，又由（Ⅰ）知BA AC ⊥， 建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz -.则()0,0,0A ,()0,4,0C ,()2,2,0D -，()0,0,2P ,()2,2,2PD =--u u u r ,()0,4,0AC =u u u r设(),,M x y z ，PM tPD =u u u u r u u u r,则 ()(),,22,2,2x y z t -=--，故点M 坐标为()2,2,22t t t --,()2,2,22AM t t t =--u u u u r………………8分设平面MAC 的法向量为1(,,)x y z =n ，则110,0.AC AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u u rn n ………………9分 所以()40,22220.y tx ty t z =⎧⎪⎨-++-=⎪⎩令1z =，则11(01)tt-=，，n . ………………………………10分 又平面ACD 的法向量2(0,0,1)=n 所以12122cos 452⋅==⋅on n n n , 解得1=2t故点M 为线段PD 的中点. ………………………………12分 19．(本题满分12分)解：（Ⅰ）由已知，1400.9a m =⨯+,10.9n n a a m +=+（1n ≥）.………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得：()1100.990.910n n n a m a m a m +-=-=-，所以数列{}10n a m -是以110369a m m -=-为首项、0.9为公比的等比数列.………6分 （Ⅲ）由（Ⅱ）得：()1103690.9n n a m m --=-⋅ ，即()13690.910n n a m m -=-⋅+ . ……………………8分 由()13690.91055n m m --⋅+≤ ，得1155360.9 5.540.9 1.541090.910.910.9n n n n nm ---⨯-⨯≤==+-⨯--恒成立（*n N ∈） …11分 解得： 5.5m ≤；又0m > ，综上，可得(]0,5.5m ∈. …………………………12分 20．（文科 本题满分13分）解：（Ⅰ）连接1AF ，因为2AF AB ⊥，211F F =，所以211F F AF =， 即c a 2=，则)0,21(2a F ，)0,23(a B -. ……………… 3分 ABC Rt ∆的外接圆圆心为)0,21(1a F -，半径a B F r ==221………4分由已知圆心到直线的距离为a ，所以a a =--2321， 解得2=a ，所以1=c ，3=b ，所求椭圆方程为13422=+y x . ………………6分 （Ⅱ）因为)0,1(2F ，设直线l 的方程为：)1(-=x k y ，),,(11y x M ),(22y x N .联立方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y ，消去y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k . ……………… 7分则2221438k k x x +=+，22121436)2(kkx x k y y +-=-+=+， MN 的中点为)433,434(222k kk k +-+. ………………8分 当0=k 时，MN 为长轴，中点为原点，则0=m . ………………9分当0≠k 时，MN 垂直平分线方程).434(1433222kk x k k k y +--=++ 令0=y ，所以43143222+=+=kk k m 因为032>k ，所以2344k +>，可得410<<m ， …………12分 综上可得，实数m 的取值范围是).41,0[ ………………13分20．（理科 本题满分13分）解：（Ⅰ）抛物线x y 342=的准线方程为：3-=x ……………1分设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，则c =依题意得⎪⎩⎪⎨⎧=++=143132222b ab a ，解得24a =，21b =. 所以椭圆C 的方程为2214x y +=. ………………………………3分 （Ⅱ）显然点)0,2(A .（1）当直线l 的斜率不存在时，不妨设点E 在x 轴上方，易得(1,E F，(3,M N ，所以1EM FN ⋅=u u u u r u u u r. ………………………………5分（2）当直线l 的斜率存在时，由题意可设直线l 的方程为(1)y k x =-，1122(,),(,)E x y F x y ,显然0k = 时，不符合题意.由22(1),440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2222(41)8440k x k x k +-+-=. …………………6分 则22121222844,4141k k x x x x k k -+==++.……………7分直线AE ，AF 的方程分别为：1212(2),(2)22y y y x y x x x =-=---， 令3x =，则1212(3,),(3,)22y yM N x x --. 所以1111(3)(3,)2y x EM x x -=--u u u u r ，2222(3)(3,)2y x FN x x -=--u u u r . ………9分 所以11221212(3)(3)(3)(3)22y x y x EM FN x x x x --⋅=--+⋅--u u u u r u u u r121212(3)(3)(1)(2)(2)y y x x x x =--+-- 2121212(1)(1)(3)(3)(1)(2)(2)x x x x k x x --=--+⋅--2121212121212()1[3()9][1]2()4x x x x x x x x k x x x x -++=-++⨯+⋅-++222222222222244814484141(39)(1)4484141244141k k k k k k k k k k k k k --+-++=-⋅+⋅+⋅-++-⋅+++ 22221653()(1)414k k k k +-=⋅++22216511164164k k k +==+++. …………………11分因为20k >，所以21644k +>，所以22165511644k k +<<+，即5(1,)4EM FN ⋅∈u u u u r u u u r . 综上所述，EM FN ⋅u u u u r u u u r 的取值范围是5[1,)4. ………………………13分21．（文科 本题满分14分）解：（Ⅰ）()xf x xe '=-， ……………………………………1分 当0x =时，()0f x '=；当0x <时，()0f x '>；当0x >时，()0f x '<； 所以函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减；………………………3分故max ()(0)0f x f ==． ………………………………………………4分 （Ⅱ）由2()(1)1xg x x e x λ=-+-，得()(2)xg x x e λ'=--．…………6分 当0λ≤时，由（Ⅰ）得2()()()0g x f x x f x λ=+≤≤成立； …………8分 当102λ<≤时，因为(0,)x ∈+∞时()0g x '<，所以0x ≥时， ()(0)0g x g ≤=成立； ……………………………………………………10分当12λ>时，因为(0,ln 2)x λ∈时()0g x '>，所以()(0)0g x g >=．…13分 综上，知λ的取值范围是1(,]2-∞． ……………………………………14分21．（理科 本题满分14分）解证：（Ⅰ）()xf x xe '=-， ……………………………………1分当0x =时，()0f x '=；当0x <时，()0f x '>；当0x >时，()0f x '<； 所以函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减；…………………3分故max ()(0)0f x f ==． ……………………………………………………4分（Ⅱ）解法一：(1)()11x xx e g x e x xλλ--'=-=--， …………………5分 当0λ≤时，因为(0,1)x ∈时()0g x '>，所以0x >时，()(0)0g x g >=；……………………………………………………………………………6分当01λ<<时，令()(1)xh x x e λ=--，()xh x xe '=-．当(0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，且(0)(1)(1)()0h h λλ=--<， 故()h x 在(0,1)内存在唯一的零点0x ，使得对于0(0,)x x ∈有()0h x >， 也即()0g x '>．所以，当0(0,)x x ∈时()(0)0g x g >=； ……………8分当1λ≥时，(0,1)x ∈时(1)(1)1()()0111x x x e x e f x g x x x xλ----'=≤=<---，所以，当0x ≥时()(0)0g x g ≤=． …………………………………9分 综上，知λ的取值范围是[1,)+∞． …………………………………10分解法二： (1)()11x xx e g x e x xλλ--'=-=--， ……………………5分 令()(1)xh x x e λ=--，()xh x xe '=-．当[0,1)x ∈时，()0h x '≤，所以()h x 单调递减． …………………6分 若在[0,1)内存在使()(1)0xh x x e λ=-->的区间0(0,)x ，则()g x 在0(0,)x 上是增函数，()(0)0g x g >=，与已知不符． ………8分 故[0,1)x ∈，()0h x ≤，此时()g x 在[0,1)上是减函数，()(0)0g x g ≤=成立． 由()(1)0xh x x e λ=--≤，[0,1)x ∈恒成立，而()0h x '≤， 则需()h x 的最大值(0)0h ≤，即()0100e λ--≤，1λ≥，所以λ的取值范围是[1,)+∞． ……………………10分 （Ⅲ）在（Ⅱ）中令1λ=，得0x >时，1ln(1)xe x <--． ……………11分 将1111,,,,1232x n n n n=+++L 代入上述不等式，再将得到的n 个不等式相加，得11111232ln 2n n n nee een +++++++<+L L ． ………………………14分。

山东省淄博市第一中学2021届高三下学期3月份质量检测考试数学〔理〕试题第一卷〔共60分〕一、选择题：〔本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1.设i 是虚数单位，那么复数i1i-+的虚部是〔 〕 A.i 2i 2 C.12 D.- 122.设全集U={n ∈N *| x ≤a},集合P={1，2，3}，Q={4，5，6}，那么a ∈[6，7〕是U P=Q 的〔 〕3.设两个正态分布N 〔滋１，滓12〕〔滓1＞0〕和N 〔滋2，滓22〕〔滓2＞0〕曲线如以下列图，那么有〔 〕A.滋１＜滋2，滓1＞滓2B. 滋１＜滋2，滓1＜滓2C. 滋１＞滋2，滓1＞滓2D. 滋１＞滋2，滓1＜滓24.公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，那么3253S S S S --的值为〔 〕A.2B.3C.155.设a,b 为两条直线，琢、茁为两个平面，以下四个命题中真命题是〔 〕 A.假设a,b 与琢所成角相等，那么a ∥∥琢，b ∥茁，琢∥茁，那么a ∥b 奂琢, b 奂茁，a ∥b ，那么琢∥⊥琢，b ⊥茁，琢⊥茁，那么a ⊥b6.向量a =(cos 2琢,sin 琢),b=(1,2sin 琢-1), 琢∈(π4,仔)，假设a ·b =25，那么tan(琢+π4)的值为〔 〕 A.13 B.27 C.17 D.237.在〔31x x+〕24的展开式中，x 的幂指数为整数的项共有〔 〕8.函数y=cos x-sin x 的图象可由函数y=2sin x 的图象π4个长度单位 B.向左平移3π4个长度单位 π43π4个长度单位1、F 2是双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且1PF ·2PF =0，那么|1PF |· |2PF |的值为〔 〕 A.2 B.2210.下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y 〔吨标准煤〕的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆy=0.7x+0.35，那么表中m 的值为〔 〕 A.4 B.3.15 C 11.程序框图如右：如果上述程序运行的结果为S=132，那么判断框中应填入〔 〕 ≤10 B. k ≤9 C. k ＜10 D. k ＜9 12.f(x)是定义在R 上的且以2为周期的偶函数，当0≤x ≤1时，f(x)=x 2,如果直线y=x+a 与曲线y= f(x)恰有两个不同的交点，那么实数a 的值为〔 〕 A.2 k 〔k ∈Z k 或2 k +14〔k ∈Z 〕 k 或2 k -14〔k ∈Z 〕 第二卷〔共90分〕二、填空题〔此题共4小题，每题4分，共16分〕13.某校有200人，男学生1 200人，女学生1 000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，从女生中抽取的人数为80，那么n 等于 .14.设x 、y 满足约束条件0,,4312,x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩那么2-3+1y x 的最大值是 .15.假设f(x)在R 上可导，f(x)=x 2+2 f ′(2)x+3,那么3()dx f x =⎰.22334422,33,44,33881515+=+=+=…，假设66a at t+=〔a ，t 均为正实数〕，那么类比以上等式，可推测a ，t 的值，a+t= .三、解答题〔本大题共6小题，共74分〕 17.〔本小题总分值12分〕 函数f(x)=32sin 2x-12(cos 2 x-sin 2x)-1, x ∈R ，将函数f(x)向左平移π6个单位后得函数g(x)，设△ABC 三个角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.(Ⅰ)假设c=7,f(C)=0,sin B=3sin A,求a 、b 的值；(Ⅱ)假设g(B)=0且m=〔cos A,cos B〕, n=(1,sin A-cos A tan B)，求m·n的取值范围.18．〔本小题总分值12分〕如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点.(Ⅰ)求证：AB1⊥平面A1BD；(Ⅱ)求二面角A-A1D-B的正弦值.19.〔本小题总分值12分〕数列{a n}的前n项和为S n，且对任意正整数n，有S n、a n、n成等差数列.(Ⅰ)求证：数列{a n+1}是等比数列，并求{a n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{21nnaa}的前n项和T n；(Ⅲ)数列{b n}满足b1=3, b n+1=姿b n + a n+1,假设{b n}为等比数列，求实数姿.20.〔本小题总分值12分〕≤1，那么销售利润为0元；假设1＜T≤3，那么销售利润为100元；假设TT≤1，1＜T≤3，T＞3这三种情况发生的概率分别为p1, p2, p3,又知p1, p2是方程25x2-15x+a=0的两个根，且p2= p3.(Ⅰ)求p1, p2, p3的值；(Ⅱ)记孜表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求孜的分布列；(Ⅲ)求销售两台这种家用电器的销售利润总和的期望值.21.〔本小题总分值12分〕圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1:x-y-22=0相切.(Ⅰ)求圆的标准方程；(Ⅱ)设点A〔x0,y0〕为圆上任意一点，AN⊥x轴于N，假设动点Q满足OQ=m OA+n ON，〔其中m+n=1,m,n≠0,m为常数〕，试求动点Q的轨迹方程C2；(Ⅲ)在(Ⅱ)的结论下，当C,问是否存在与l1垂直的一条直线l与曲线C交于B、D两点，且∠BOD为钝角，请说明理由.22.〔本小题总分值14分〕函数f(x)=x2-(2a+1)x+aln x.(Ⅰ)当a=1时，求函数f(x)的单调增区间；(Ⅱ)求函数f(x)在区间［1，e］上的最小值；(Ⅲ)设g(x)=(1-a)x,假设存在x0∈［1e，e］，使得f(x0)≥g(x0)成立，求实数a的取值范围.淄博一中高2021级高三教学质量检测(四)数学理科一、DCAAD CCBAD AD二、填空题〔本大题共4小题，每题4分，共16分.把答案填在题中的横线上〕13. 192 14. 5 15. -18 16. 41三、解答题〔本大题共6小题，共74分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤〕17. 〔12分〕解：〔Ⅰ〕31()sin 2cos2122f x x x =--πsin(2)16x =--………………………………………〔1分〕()sin[2()]1sin(2)1666g x x x πππ=+--=+-()0f c =由 sin(2)16c π∴-=0c π<< 112666c πππ∴-<-<262c ππ∴-= 3c π∴= ………………………………………〔3分〕sin 3sin B A =由 3b a ∴=222(7)2cos3a b ab π=+-由余弦定理222793a a a ∴=+- ∴a=1 b=3………………………………………〔6分〕〔Ⅱ〕()0sin(2)16g B B π=+=由得0B π<< 2666B B πππ∴<+<262B ππ∴+=6B π∴=………………………………………〔8分〕11cos cos (sin cos tan )m n A B A A B --∴⋅=+-⋅cos sin cos cos sin A A B A B =+-⋅31sin cos 22A A =+=sin()6A π+………………………………………〔10分〕56A C π+=506A π∴<< 5566A πππ∴<+< 0sin()16A π∴<+≤11m n --∴⋅的取值范围为(0,1]………………………………………〔12分〕18.(12分)分析：如图建系〔Ⅰ〕1(1,2,3)AB '=- 1(1,2,3)A B '=- (2,1,0)BD '=-111430AB AB ''∴⋅=-+-= 12200AB BD ''⋅=-++= 111,AB A B AB BD ∴⊥⊥ 11AB A BD ∴⊥面…………………………………………………〔4分〕〔Ⅱ〕11(1,2,3)ADB AB '=-面的一个法向量为 1(,,)AAD n x y z '=设面的一个法向量为100n AA n AD ⎧''⋅=⎪⎨''⋅=⎪⎩则 (,,)(0,2,0)0(,,)(1,1,3)0x y z x y z ⋅=⎧⎪∴⎨⋅--=⎪⎩2030y x y z =⎧⎪∴⎨-+-=⎪⎩ ∴令z=1 y=0 x=-3(3,0,1)n '∴=-…………………………………………………〔8分〕1336cos ,4222n AB --''∴<>==-⨯1A A D B θ--设二面角为6cos 4θ=即 610sin 1164θ∴=-= 1104A A DB --即二面角的正弦值为………………………………………〔12分〕19.(12分)解：〔Ⅰ〕依题意,2n n a S n =+1111,211n a a a ==+∴=当时 112,2(1)n n n a S n --≥=+-当时两式相减得,1122121n n n n n a a a a a ---=+∴=+1n n a d +=令 1112d a ∴=+=11112222111n n n n n n d a a n d a a ---++≥===-++时{1}2.2n a ∴+为以为首页以为公比的等比数列1222n n n d -∴=-= 21n n a =-从而……………………………〔4分〕〔Ⅱ〕122(21)12122n n n n n n a C a --===-+设 0211111(2)(2)(2)(2)2222n n T -∴=-+-+-++-02111111121()2222222n n n n --=-++++=-+〔Ⅲ〕113,12n n n n n b b b a b λλ+==++=+21232b b λλ'∴=+=+ 22322324b b λλλ=+=++{}n b 为等比 2213b b b ∴=⋅ 2291249612λλλλ∴++=++43λ∴=1423nn n b b +=+此时124,3,623b b q λ===∴=当时132n n b -∴=⋅1114432,23224223233n n n n n n n n n b b --+∴=⋅+=⋅⋅⋅+=⋅+=⋅1423n n n b b +=+满足 43λ=从而…………………………………………………………………〔12分〕20.(12分)解：〔Ⅰ〕212323121,,2515P P P P P PP x x a++==-+是该的根 12153255P P ∴+== 325P ∴= 从而12312,55P P P === …………………………………………………………〔3分〕〔Ⅱ〕0,100,200,300,400λ=111(0)5525P l ==⨯= ………………………………………………〔4分〕11214(10)555525P l ==⨯+⨯= 2212218(20)55555525P l ==⨯+⨯+⨯=22228(30)555525P l ==⨯+⨯=224(40)5525P l ==⨯= …………………………………………………………〔9分〕λ∴的分布列为…………〔10分〕〔Ⅲ〕E l =401002003004002402525252525⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ………〔12分〕解：〔Ⅰ〕2= ∴圆的标准方程为x 2+y 2=4 ……………………………………………〔2分〕 〔Ⅱ〕设Q 〔x,y 〕. 那么由A 〔x 0,y 0〕知N 〔x 0,0〕 ∴(x,y)=m 〔x 0,y 0〕+n(x 0，0)000x mx ny y my =+⎧∴⎨=⎩ 0220004x xx y y y m =⎧⎪+=⎨=⎪⎩代入得又m+n=1 ∴n=1-m∴动立Q 的轨迹和为C 2：x 2+24y m=4 ……………………………………………〔5分〕〔Ⅲ〕当m=312x y C +=22时. 曲线为:43∵L 1的斜率k=1∴L 的斜率为k 1=-1 设L 的斜率为y=-x+t 代入3x 2+4y 2=12 整理得： 7 x 2-8tx+4t 2-12=0△70 ∴77(0)t t -<<≠设B 〔x 1, y 1〕, D 〔x 2, y 2〕.那么12212874127t x x t x x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩………………………………………〔7分〕∵∠BOD 为钝角∴OB OD <0 ∴x 1x 2+y 1y 2<0 ……………………………………………………〔8分〕∴x 1x 2+〔- x 1+t 〕〔- x 2+t 〕<0 ∴2x 1x 2-t(x 1+x 2)+ t 2<0∴2228248077t t t --+< ∴t 2<247 ∴-24224277t <<且t ≠0 …………………………………〔12分〕满足条件的左线l,斜率为-1，在y 轴上的截距满足上述条件. 22.〔14分〕解：〔Ⅰ〕a=1时，f(x)=x 2-3x+ln x 议域〔0，+∞〕f ′(x)=2x-3+1x令f ′(x) ＞0∴2x2-3x+1＞0 (x＞0)∴0＜x＜12或x＞1∴ f (x)的单增区间为〔0，12〕，〔1，+∞〕………………………………………〔4分〕〔Ⅱ〕f (x)= x2-〔2a+1〕x+aln xf ′(x)=2x-〔2a+1〕+ax=22(21)x a x ax-++令f ′(x)=0 ∴x=a或x=12………………………………………………〔5分〕①当a≤12时，f(x)在〔0，a〕，〔12，+∞〕逆增∴f(x)在［1，e］≤逆增∴f(x)min=f(1)=-29 ……………………………〔6分〕②当12＜a≤1时，f(x)在［1，e］≤单增∴f(x)min=f(1)=-2 a ……………〔7分〕③当1＜a＜e时， f(x)在［1，a)，〔a，e〕∴f(x)min= f (a)=-a2-a+alna ………………………………………〔8分〕④e≤a时 f(x) ［1，e］上逆减∴f(x)min=f(e)=e2-(2a+1)e+a ……………………………………………〔5分〕综上所述：a≤1时 f(x)min=-2 a1＜a＜e时 f(x)min=-a2-a+alnaa≥e时 f(x)min=e2-(2a+1)e+a ………………………………………〔9分〕〔Ⅲ〕由题意：f(x)≥9〔x〕在［1e，e］上有解∴x2-(2a+1)x+alnx≥(1-a)x∴x2-2x+a(lnx-x)≥0在［1e，e］上有解令h(x)=lnx-x∴h ′(x)= 111xx x--= (1e≤x≤e)∴h (x)在〔1e，1〕，〔1，e〕∴h (x)min=h(1)=ln1-1=-1＜0 ∴x2-2x≥a(x-lnx)∴22ln x x a x x-≤- 在［1e ，e ］有解 ………………………………〔1分〕 设t(x)=22ln x x x x-- ∴t ′(x)=2(1)(22ln )(ln )x x x x x -+-- ∵x ∈［1e，e ］ ∴x+2＞2≥2lnx ∴x ∈(1e ，1)时t ′(x)＜0 x ∈(1，e)时t ′(x)＞0∴t(x)在(1e，1) ，〔1，e 〕 又∵t(1e )=11(2)011e e e-<+ t(e)=(2)01e e e ->- ∴t(x) min x=t(e)= (2)1e e e -- ∴a ≤(2)1e e e -- …………………………………………………………〔14分〕。

2021届山东省淄博市高三三模数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合210A x x ⎧⎫=-<⎨⎬⎩⎭，{}1B x x =≤，则如图阴影部分表示的集合是（ ）A ．[)1,0-B ．[)[)1,01,2-C ．()1,2D ．()0,1【答案】C【分析】分别解不等式210x-<和1x ≤得{}02A x x =<<，{}11B x x =-≤≤，进而得阴影部分表示的集合是(){}12AA B x x ⋂=<<.【详解】解：解不等式210x -<得02x <<，故{}21002A x x x x ⎧⎫=-<=<<⎨⎬⎩⎭，解不等式1x ≤得11x -≤≤，故{}{}111B x x x x =≤=-≤≤ 所以AB {}01x x =<≤所以如图阴影部分表示的集合是(){}12AA B x x ⋂=<<.故选：C【点睛】本题考查分式不等式，绝对值不等式的求解，集合的韦恩图表示，考查数学结合思想，运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据韦恩图得阴影部分为()AA B .2．某个国家某种病毒传播的中期，感染人数y 和时间x （单位：天）在18天里的散点图如图所示，下面四个回归方程类型中最适宜作为感染人数y 和时间x 的回归方程类型的是（ ）A ．y a bx =+B ．e x y a b =+C ．ln y a b x =+D ．y a b x =+【答案】B【分析】根据散点图据曲线形状判断． 【详解】0b >，(0,)x ∈+∞，A 中y b '=是常数，B 中x y be '=是增函数，C 中by x'=是减函数，D 中2y x '=是减函数，散点图所有点所在曲线的切线的斜率随x 的增大，而增大，而四个选项中，A 斜率不变，CD 的斜率随x 的增大而减小，只有B 满足． 故选：B ．3．在正项等比数列{}n a 中，若2021a 是2019a ，2020a 两项的等差中项，则q =（ ） A ．1 B ．12C ．12-D ．1-【答案】A【分析】设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >，进而得2210q q --=，解方程即可得答案.【详解】设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >， 由题可知2021201920202a a a =+， 所以2020201820191112a qa q a q =+，即2210q q --=，解得1q =或12q =-（舍），所以1q =. 故选：A4．已知向量a 、b 满足1a b a b ==-=，则2a b +=（ ） A ．3B 3C ．7D 7【答案】D【分析】由已知条件求出a b ⋅的值，进而可求得()222a b a b +=+的值.【详解】由已知可得2222221a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅=，则12a b ⋅=， 因此，()22222447a b a ba ab b +=+=+⋅+=.故选：D.5．已知z C ∈，且1z i -=，i 为虚数单位，则1z -的最大值是（ ）A ．2B 1C 1D【答案】B【分析】利用复数模的三角不等式可求得1z -的最大值.【详解】由三角不等式可得()()1111z z i i z i i -=---≤-+-=，即1z -的1. 故选：B.6．已知锐角α、β满足3παβ-=，则11cos cos sin sin αβαβ+的最小值为（ ）A ．4B ．C ．8D ．【答案】C【分析】本题首先可根据3παβ-=得出1cos cos sin sin 2αβαβ+=，然后令cos cos x αβ=，sin sin y αβ=，则12x y +=，最后通过基本不等式即可求出11cos cos sin sin αβαβ+的最小值.【详解】因为3παβ-=，所以()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ-=+=， 令cos cos x αβ=，sin sin y αβ=，则12x y +=，因为α、β是锐角，所以0x >，0y >，则()1111112cos cos sin sin x y x y x y αβαβ⎛⎫+=+=⨯+⨯+ ⎪⎝⎭22224428y x y xx yx y，当且仅当x y =，即512πα=、12πβ=时等号成立，故选：C.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.7．算盘是一种手动操作计算辅助工具．它起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国古代的一项重要发明，算盘有很多种类．现有一种算盘（如图一），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下四珠，上拨每珠记作数字1（例如图二中算盘表示整数51）．如果拨动图一算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为（ ）A ．16B ．15C ．12D ．10【答案】C【分析】根据题意，分别列出十位拨动0枚，个位拨动3枚、十位拨动1枚，个位拨动2枚、十位拨动2枚，个位拨动1枚、十位拨动3枚，个位拨动0枚，4种情况下结果，即可得答案.【详解】由题意，拨动三枚算珠，有四种拨法： ①十位拨动0枚，个位拨动3枚，有2种结果：7和3；②十位拨动1枚，个位拨动2枚，有4种结果：12，16，52，56； ③十位拨动2枚，个位拨动1枚，有4种结果：21，25，61，65， ④十位拨动3枚，个位拨动0枚，有2种结果：30，70，综上，拨动图一算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为12.故选：C8．设双曲线22:1916x y C -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P （异于顶点）在双曲线C的右支上，则下列说法正确的是（ ） A ．12PF F △可能是正三角形 B ．P 到两渐近线的距离之积是定值 C ．若12PF PF ⊥，则12PF F △的面积为8D ．在12PF F △中，122112sin 5sin sin 4F PF PF F PF F ∠=∠-∠ 【答案】B【分析】A 选项，利用双曲线的定义，由1222PF PF a PF =+>判断；B 选项，设点()00,P x y ，双曲线C 的渐近线为430x y ±=，直接计算P 到两渐近线的距离之积判断；C 选项，由12PF PF ⊥，利用勾股定理结合双曲线定义，求得12,PF PF 判断；D 选项，设点()00,P x y ，利用三角函数的定义和12121201211sin 22PF F SPF PF F PF y F F =⋅⋅∠=⋅，分别求得211212sin ,sin sin ,PF F PF F F PF ∠∠∠判断.【详解】在双曲线C 中，可知3,4,5a b c ===，A 选项，由双曲线的定义可知，122122,PF PF a PF PF F =+>不可能是正三角形，故A 错误；B 选项，设点()00,P x y ，则22001916x y -=，即2200169144x y -=，双曲线C 的渐近线为430x y ±=，P到两渐近线的距离之积为22001691442525x y -==是定值，故B 正确； C 选项，由12PF PF ⊥，可得2221212PF PF F F +=，即()222222(2)PF a PF c ++=，解得23PF =，则13PF =，故12121162F PF SPF PF =⋅=，故C 错误； D 选项，设点()00,P x y ，则00122112sin ,sin y y PF F PF F PF PF ∠=∠=，在12PF F △中，12121201211sin 22PF F SPF PF F PF y F F =⋅⋅∠=⋅，故0121212sin y F F F PF PF PF ⋅∠=⋅，则01212121221121221sin 25sin sin 23y F F F PF F F c PF PF y y PF F PF F PF PF a PF PF ⋅∠⋅====∠-∠--，故D 不正确．故选：B二、多选题9．已知正四棱台的上底面边长为1，侧棱长为2，高为2，则（ ） A ．棱台的侧面积为83 B ．棱台的体积为132C ．棱台的侧棱与底面所成的角4π D ．棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为33【答案】AC【分析】对于A ．在等腰梯形11ABB A 中解出其面积即可得出棱台的侧面积；对于B ．在等腰梯形11ACC A 中解出其高即为棱台的高，将其代入()13V h S S S S ''=+⋅+即可得出答案；对于C ．棱台的侧棱与底面所成角为1A AM ∠，在1Rt AA M 解出即可；对于D ．侧面与底面所成锐二面角的平面角为角1A HM ∠，在1Rt A HM 解出即可． 【详解】作正四棱台如图所示：对于A ，过1A 作1A H AB ⊥于H ，过1A 作1A M AC ⊥于M ，所以1A M ⊥平面ABCD ，AH MH ⊥AM ==AH MH =1AH ==，所以1A H ==213AB AH =+=所以棱台的侧面积为()1342+⨯=所以A 正确；对于B ， 上底面面积2=1=1S '，下底面面积239S ==，棱台的体积为()111333V h S S '=+==≠B 错误； 对于C ，因为AM 为1AA 在底面的投影，所以1A AM ∠为侧棱与底面所成角.11cos 2AM A AM A A ∠==，则14A AM π∠=，所以C 正确；对于D ，1A HM ∠为侧面与底面所成锐二面角的平面角，11cos 3HM A HM A H ∠===，所以D 错误． 故选：AC【点睛】关键点点睛：熟练掌握正四棱台的体积公式()13V h S S '=、侧面积、线面角与面面角的定义是解本题的关键点． 10．下列说法正确的是（ ）A ．某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本，已知该校高一、高二，高三年级学生之比为6:5:4，则应从高二年级中抽取20名学生B ．线性回归方程ˆˆˆybx a =+对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点 C ．命题“0x ∀>，()2lg 10x +≥”的否定是“0x ∃>，()2lg 10x +<"D ．方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小 【答案】ACD【分析】根据分层抽样计算公式即可判断A ；根据线性回归方程定义即可判断B ；根据全称命题的否定原理即可判断C ；根据方差定义即可判断D ． 【详解】对于A ，高二年级中抽取为56020654⨯=++，正确；对于B ，线性回归方程ˆˆˆy bx a =+对应的直线不一定经过其样本数据点中的点，故错误；对于C ，否定是“0x ∃>，()2lg 10x +<"正确；对于D ，方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小，正确． 故选：ACD11．已知圆221:230O x y x +--=和圆222:210O x y y +--=的交点为A ，B ，则（ ）A ．圆1O 和圆2O 有两条公切线B ．直线AB 的方程为10x y -+=C ．圆2O 上存在两点P 和Q 使得||||PQ AB >D ．圆1O 上的点到直线AB 的最大距离为2+ 【答案】ABD【分析】A ：判断两圆相交可得切线条数；B ：两圆相交，做差可得公共弦方程；C ：判断弦AB 经过圆心，则弦为最长弦，不再存在比AB 更长的弦；D ：求圆心到直线的距离加半径即为到直线AB 的最大距离.【详解】解：对于A ，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故正确；对于B ，将两圆方程作差可得2220x y -+-=，即得公共弦AB 的方程为10x y -+=，故B 正确；对于C ，直线AB 经过圆2O 的圆心(0,1)，所以线段AB 是圆2O 的直径，故圆2O 中不存在比AB 长的弦，故C 错误；对于D ，圆1O 的圆心坐标为(1,0)，半径为2，圆心到直线:10AB x y -+=的距离为=1O 上的点到直线AB 的最大距离为2+，D 正确. 故选：ABD.12．2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo ．设计师的灵感来源于曲线:1nnC x y +=．则下列说法正确的是（ ） A ．曲线C 关于原点成中心对称B ．当2n =-时，曲线C 上的点到原点的距离的最小值为2C ．当0n >时，曲线C 所围成图形的面积的最小值为πD ．当0n >时，曲线C 所围成图形的面积小于4 【答案】ABD【分析】根据曲线与方程的关系，利用方程研究曲线的性质，逐项分析即可求解. 【详解】因为用(,)x y --代替(,)x y 仍有1n nx y +=成立，故曲线关于原点成中心对称，A 正确；当2n =-时，曲线22:1C xy--+=，即22111x y +=，设(,)P x y 为曲线上任意一点，222222222211()()224y x x y x y x y x y ∴+=++=++≥+=，当且仅当x y =±时等号成立，min 2∴=，即曲线C 上的点到原点的距离的最小值为2，B 正确；当1n =时，:1C x y +=，曲线关于,x y 轴对称，关于原点对称， 当0,0x y ≥≥时，可得1x y +=，与坐标轴围成三角形面积为111122S =⨯⨯=，由对称性知曲线C 所围成图形的面积为42S π=<，故C 错误；当0n >时，曲线C 关于,x y 轴对称，关于原点对称，当0,0x y ≥≥时，1nnx y +=，所以01,01x y ≤≤≤≤，故在第一象限部分的面积111S <⨯=,所以曲线C 所围成图形的面积为44S <，故D 正确. 故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据曲线的方程可知曲线的对称性，利用对称性可研究曲线在第一象限的情形，即可得到曲线所围成图形面积问题，属于中档题.三、填空题13．请写出一个函数()f x =___________，使之同时具有如下性质：①x ∀∈R ，()(4)f x f x =-，②x ∀∈R ，(4)()f x f x +=.【答案】cos2x π【分析】根据①②可知函数是周期函数且关于2x =对称，即可求解. 【详解】性质①②分别表示()f x 关于直线2x =对称和以4为周期，答案不唯一，写出一个即可， 例如()cos2f x x π=，故答案为：()cos2f x x π=14．已知椭圆C 的左､右焦点分别为12,F F ，直线AB 过1F 与椭圆交于A ，B 两点，当2F AB 为正三角形时，该椭圆的离心率为___________.【答案】33【分析】根据椭圆的定义及2F AB 可知11AF BF =，由椭圆对称性知AB 垂直于x 轴，即可求解.【详解】不妨设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，根据椭圆定义，122AF a AF =-，122BF a BF =-，2F AB 为正三角形，22AF BF =，所以11AF BF =，即1F 为线段AB 的中点，根据椭圆的对称性知AB垂直于x 轴.设122F F c =，则1232tan 303c AF c =︒=，2243cos303c cAF ==︒. 因为122AF AF a +=，即232c a =， 所以33c e a ==. 15．已知函数()()4cos xx f ex ωϕ+=（0>ω，0ϕπ<<）的部分图像如图所示，则ωϕ+=______．【答案】32π；【分析】由奇偶性确定ϕ，再由函数零点得三角函数周期，从而求得ω． 【详解】由图象知函数为奇函数，所以,2k k Z πϕπ=+∈，又0ϕπ<<，所以2ϕπ=． 4cos()4sin 2()x xx x f x e eπωω+==-， 又由图象知函数sin y x ω=的零点是x k =，k Z ∈，因此周期为2T =，22πωπ==．所以32πϕω+=． 故答案为：32π． 【点睛】思路点睛：本题考查由函数图象确定函数式中参数值，解题可以从图象确定函数的性质：定义域，单调性，奇偶性，函数的零点，最值点，特殊值点等一步步判断求解． 16．如图，在33⨯的点阵中，依次随机地选出A 、B 、C 三个点，则选出的三点满足0AB AC ⋅<的概率是______．【答案】863【分析】先将9个点标号，对点A 的位置进行分类讨论，结合古典概型的概率公式可求得结果.【详解】由题意可知A 、B 、C 三个点是有序的，讨论点A 为主元， 对点A 分三种情况讨论，如下图所示： （1）第一类A 为5号点.①若180BAC ∠=，三点共线有4条直线，此时有2248A =种；②若135BAC ∠=，如点B 在1号位，则点C 在6号位或8号位，即确定第二号点有4种方法，确定第三号点有2种方法，此时有224216A ⨯=种；（2）第二类A 为1、3、7、9号点，此时，不存在这样的点；（3）第三类A 为2、4、6、8号点，以2号点为例，有三种情况如下图所示：故有()22122440A ++⨯=种.综上所述，满足0AB AC ⋅<共有8164064++=种. 因此，所求概率为3964863P A ==. 故答案为：863. 【点睛】方法点睛：求解古典概型概率的方法如下： （1）列举法； （2）列表法； （3）数状图法； （4）排列组合数的应用.四、解答题17．ABC 的内角A 、B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，3cos sin 364B B ππ⎛⎫⎛⎫-⋅+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2a c +=．（1）求角B 的大小；（2）求ABC 外接圆面积的最小值． 【答案】（1）6B π=或2B π=；（2）(23π或2π. 【分析】（1）利用诱导公式结合二倍角的降幂公式可求得1cos 232B π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，结合角B 的取值范围可求得角B 的值；（2）求得224sin b S Bπ=，利用余弦定理结合基本不等式求出b 的最小值，进而可求得结果.【详解】（1）因为362B B πππ-++=，则cos cos sin 3266B B B ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以23cos sin sin 3664B B B πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅+=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即131cos 2243B π⎡⎤⎛⎫-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故1cos 232B π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 因为()0,B π∈，则72333B πππ<+<， 所以，2233B ππ+=或4233B ππ+=，解得6B π=或2B π=； （2）设ABC 外接圆半径为R ，由正弦定理2sin bR B=可得2sin b R B =，所以ABC 外接圆面积2224sin b S R Bππ==.①当6B π=时，由余弦定理可得：()((22222cos2426b ac ac a c ac ac π=+-=+-+=-因为22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以(224222a c b +⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭ 因此ABC外接圆面积的最小值((min 2224sin6S πππ==-．②当2B π=时，由勾股定理可得()222222a cb ac +=+≥=，因此ABC 外接圆面积的最小值min 2224sin 2S πππ==．综上所述，ABC外接圆面积的最小值为(2π或2π. 【点睛】方法点睛：求三角形面积的最值是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.18．在图1所示的平面图形ABCD 中，ABD △是边长为4的等边三角形，BD 是ADC ∠的平分线，且BD BC ⊥，M 为AD 的中点，以BM 为折痕将ABM 折起得到四棱锥A BCDM -（如图2）．（1）设平面ABC 和ADM 的交线为l ，在四棱雉A BCDM -的棱AC 上求一点N ，使直线//BN l ；（2）若二面角A BM D --的大小为60︒，求平面ABD 和ACD 所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）N 为棱AC 的中点；（2）35． 【分析】（1）延长CB ，DM ，其交点为E ，则直线AE 为平面ABC 与AMD 的交线l ，依题可知B 为EC 的中点，当取AC 中点N 时，利用三角形中位线即可证明//BN l ； （2）取MD 的中点O 为坐标原点，建立坐标系，分别求出平面ABD 和ACD 的一个法向量，结合向量夹角公式即可求出二面角的余弦值．【详解】解：（1）延长CB ，DM ，其交点为E ，如图所示，因为点A ，E 既在平面ABC 内，又在平面AMD 内， 所以直线AE 为平面ABC 与AMD 的交线l ，因为BD 为是ADC ∠的平分线，且BD BC ⊥，所以B 为EC 的中点， 取AC 中点N ，连接BN ，则BN 为AEC ∆的中位线， 所以直线//BN AE ，即BN l //， 故N 为棱AC 的中点．（2）因为BM AM ⊥，BM MD ⊥，所以60AMD ∠=︒， 又因为AM MD =，所以AMD 为等边三角形，取MD 的中点O 为坐标原点，以OM 所在直线为x 轴，在平面BCDM 内过点O 且和MD 垂直的直线为y 轴，以OA 所在直线为z 轴，建立如图5所示的空间直角坐标系，所以：()1,0,0D -，(003A ,,，()5,43,0C -，()1,23,0B 所以(3DA =，()4,43,0DC =-，()2,23,0DB =，设平面ACD 的法向量为(),,m x y z =，则00m DA m DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即304430x z x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，令3z =3x =，3y = 所以(3,3,3m =-，设平面ABD 的法向量为(),,n a b c =，则00n DA n DB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即30230a c ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，令3c =-3a =，3b = 所以(3,3,3n =--，设平面ABD 和ACD 所成锐二面角的大小为θ，所以()()()()()()()2222223333333cos 5333333θ⨯+⨯-+-⨯-==++-⋅+-+-， 所以平面ABD 和ACD 所成锐二面角的余弦值为35． 【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设,m n 分别为平面,αβ 的法向量，则二面角θ 与,m n 互补或相等，求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．19．某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同.甲每道题自己有把握独立答对的概率为12，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p ，假设每道题答对与否互不影响. （1）当15p =时， （i ）若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率；（ii ）甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列和数学期望EX ；（2）乙答对每道题的概率为23(含亲友团)，现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于1536，求甲的亲友团每道题答对的概率p 的最小值.【答案】（1）（i ）56；（ii ）分布列答案见解析，数学期望：125；（2）最小值为23.【分析】（1）（i ）记事件A 为“甲答对了某道题”，事件B 为“甲确实会做”，分别求得(),()P A P AB 的概率，结合条件概率的计算公式，即可求解；（ii ）求得甲答对某道题的概率为3()5P A =，得到3~4,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，结合独立重复试验的概率计算公式和二项分布的期望公式，即可求解；（2）记事件i A 为“甲答对了i 道题”，事件i B 为“乙答对了i 道题”，求得()()()012,,P A P A B P ， 根据甲答对题数比乙多的概率列出不等式，即可求解.【详解】（1）（i ）记事件A 为“甲答对了某道题”，事件B 为“甲确实会做”，则1111(),()2252P A P AB =+⨯=，所以1()52()111()6225P AB P BA P A ===+⋅∣. （ii ）随机变量X 可取01234、、、、，甲答对某道题的概率为1113()2255P A =+⋅=，则3~4,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则4432()(0,1,2,3,4)55k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则随机变量X 的分布列为则312()455E X =⨯=. （2）记事件i A 为“甲答对了i 道题”，事件i B 为“乙答对了i 道题”，其中甲答对某道题的概率为111(1)222p p +=+， 答错某道题的概率为111(1)(1)22p p -+=-则()()1212111(1)(1)1222P A C p p p =⋅+⋅-=-，()22211(1)(1)24P A p p ⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦， ()201139P B ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()112214339P B C =⋅⋅=，所以甲答对题数比乙多的概率为()()()()102120102120P A B A B A B P A B P A B P A B ⋃⋃=++()()22221114111151(1)(1)31072949493636p p p p p =-⋅++⋅++⋅=⋅++≥ 解得213p ≤<，即甲的亲友团助力的概率P 的最小值为23.【点睛】方法点拨：记事件i A 为“甲答对了i 道题”，事件i B 为“乙答对了i 道题”， 分别求得()1P A ，()()20,P A P B ，根据独立事件的概率计算公式，根据甲答对题数比乙多的概率，列出不等式是解答的关键. 20．已知函数()()sin 0xf x x x=>． （1）判断函数()f x 在()0,π上的单调性；（2）证明函数()f x 在(),2ππ内存在唯一的极值点0x ，且()023f x π<-． 【答案】（1）函数()f x 在()0,π上的单调递减；（2）证明见解析． 【分析】（1）求导得()()2cos sin 0x x xf x x x-'=>，再令()cos sin g x x x x =-求导得在区间()0,π上， ()g x 单调递减且()00g =，故在区间()0,π上，()0f x <′，进而得答案；（2）结合（1）易得在区间(),2ππ上()g x 单调递增，再结合函数值的分布得()0,2x ππ∈，使得()00f x '=，且0x 为函数()f x 在(),2ππ上的唯一极小值，再结合43f π⎛⎫=⎪⎝⎭3223f ππ-⎛⎫= ⎪⎝⎭即可证明.【详解】解：（1）由于()()sin 0xf x x x=>， 得()()2cos sin 0x x xf x x x-'=>， 设()cos sin g x x x x =-，其导函数()sin g x x x '=-， 在区间()0,π上，()0g x '<，()g x 单调递减，且()00g =， 所以在区间()0,π上，()0g x <， 所以在区间()0,π上，()0f x <′， 所以函数()f x 在()0,π上的单调递减．（2）由第（1）问，在区间(),2ππ上，()0g x '>，()g x 单调递增， 且()0g ππ=-<，()220g ππ=>，所以存在唯一的()0,2x ππ∈，使得()00f x '=， 在区间()0,x π上，()0f x <′，()f x 单调递减， 在区间()0,2x π上，()0f x >′，()f x 单调递增， 所以0x 为函数()f x 在(),2ππ上的唯一极小值，其中2242301639f πππ-⎛⎫'=< ⎪⎝⎭，2231409294f πππ⎛⎫'==> ⎪⎝⎭， 所以043,32x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且43f π⎛⎫=⎪⎝⎭3223f ππ-⎛⎫= ⎪⎝⎭， 由于4332f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()023f x π<-． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调区间，函数的极值点问题，考查运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于适当的应用特殊点的函数值，结合零点的存在性定理求解.21．若存在常数m ∈R ，使得对于任意*n ∈N ，都有1n n a ma +≥，则称数列{}n a 为()Z m 数列.（1）已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，其前n 项和为n S ，若n S 为()1Z 数列，求1a 的取值范围；（2）已知数列{}n b 的各项均为正数，记{}n b 的前n 项和为n R ，数列{}2n b 的前n 项和为n T ，且234n nn T R R =+，*n ∈N ，若数列{}n c 满足1n n nc b b =+，且{}n c 为()Z m 数列，求m 的最大值；（3）已知正项数列{}n d 满足：()*1n n d d n +≤∈N，且数列{}2121k k dd-+为()Z r 数列，数列2221k k d d +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为()Z s 数列，若21d rs d =，求证：数列{}n d 中必存在无穷多项可以组成等比数列.【答案】（1）[)2,-+∞；（2）max 1710m =；（3）证明见解析. 【分析】（1）由已知可得出1n n S S +≥，可推导出12a n ≥-对任意的n *∈N 恒成立，由此可求得1a 的取值范围；（2）利用n b 与n R 、n b 与n T 之间的关系求得2nn b =，利用参变量分离法得出11122122n n nnm +++≤+，求得数列11122122n n n n ++⎧⎫+⎪⎪⎨⎬⎪⎪+⎩⎭的最小项的值，进而可求得实数m 的最大值； （3）根据题中已知条件推导出2123k k rd d -+≤，242k k sd d +≤，结合21d rs d =可推导出56b b =，进一步推导可得出1rs =，910d d =，依次类推得出41424+1434242=k k k k k k d d d rd drd ++-+-=⎧⎪⎨⎪=⎩，由此可证得结论成立.【详解】（1）由题意可得1n n S S +≥，即1120n a a n +=+≥，12a n ∴≥-对任意的n *∈N 恒成立， 所以，12a ≥-；（2）当1n =时，由题意可得211134T R R =+，即2211134b b b =+，可得21120b b -=，10b >，解得12b =；当2n =时，222234T R R =+，可得()()()2222234242b b b +=+++，可得22240b b -=，20b >，解得24b =；当2n ≥时，由234n nn T R R =+可得211134n n n T R R ---=+， 上述两式作差得()()()22211113444n n n n n n n n n n n n n b R R b R R R R b b R R b ----=-+=-++=++，所以，134n n n b R R -=++，可得1134n n n b R R ++=++， 上述两式相减得1133n n n n b b b b ++-=+，可得12n nb b +=且212bb =，所以，数列{}n b 是首项为2，公比也为2的等比数列，所以，2nn b =， 则1122n n n n n c b b =+=+， 由1n n c mc +≥，可得11112222n n n n m ++⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，所以，11122122n n n n m +++≤+， 而()12122121212131222232133172221222222221022n n n n n n n nn+++++++++-+===-≥-=+++++，1710m ∴≤， 因此，实数m 的最大值为1710； （3）因为数列{}2121k k d d -+为()Z r 数列，则21212123k k k k rd d d d -+++≤，可得2123k k rd d -+≤，另一方面，数列2221k k d d +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为()Z s 数列，则22222241k k k k s d d d d +++≤，可得242k k sd d +≤， 21d rs d =，且15rd d ≤，56d d ≤，6215sd d d rs sd ≤=≤， 可得56d d =且中间每个等号都需取等，即6215sd d d rs sd ===，第 21 页 共 21 页 21d rs d =，12d d ≤，1rs ∴≥， 又59rd d ≤，106sd d ≤，1056910rsd rd rd d d ∴≤=≤≤，可得1rs ≤，1rs ∴=， 所以，1056910d rd rd d d ≤=≤≤，则910d d =且中间每个等号都需取等.以此类推，可得出41424+1434242k k k k k k d d d rd d rd ++-+-=⎧⎪=⎨⎪=⎩.因此，数列{}n d 中必存在无穷多项可以组成等比数列.【点睛】方法点睛：本题主要考查数列的新定义问题，出列此类问题时，通常根据题中的新定义，结合已知结论进行推导.本题中，要结合“()Z m 数列”的定义得出不等关系，结合参变量分离法转化为不等式恒成立问题，在证明数列的有关结论时，要充分利用已知的结论进行推理论证，属于难题.。

2021年山东省淄博市实验中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数是R上的偶函数，且在（-∞，上是减函数，若，则实数a的取值范围是A．b≤2 B．b≤-2或b≥2 C．b≥-2 D．-2≤b≤2参考答案：B略2. 已知均为单位向量，且它们的夹角为，那么（）A.1B.C.D.参考答案：【知识点】向量的数量积F3A因为，所以选A.【思路点拨】一般遇到求向量的模时，通常利用向量模的性质：向量的平方等于其模的平方进行解答.3. 如图，几何体的正视图和侧视图都正确的是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】简单空间图形的三视图．【分析】通过简单几何体的三视图的画法法则，直接判断四个选项的正误，即可推出结论．【解答】解：侧视图中，看到一个矩形且不能有实对角线，故A、D排除，而正视图中，应该有一条实对角线，且其对角线位置应为B中所示．故选B4. 已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则的取值范围是( ) A．（0，12） B．（4，16） C．（9，21） D．（15，25）参考答案：A考点：分段函数的应用．专题：计算题；数形结合；函数的性质及应用．分析：画出函数f（x）的图象，确定x1x2=1，x3+x4=12，2＜x3＜4，8＜x4＜10，由此可得的取值范围．解答：解：函数的图象如图所示，∵f（x1）=f（x2），∴﹣log2x1=log2x2，∴log2x1x2=0，∴x1x2=1，∵f（x3）=f（x4），∴x3+x4=12，2＜x3＜x4＜10∴=x3x4﹣2（x3+x4）+4=x3x4﹣20，∵2＜x3＜4，8＜x4＜10∴的取值范围是（0，12）．故选：A．点评：本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．5. 已知函数，若方程有两个实数根，则的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：B略6. 函数的大致图象是参考答案：C7. 在中，角A、B、C的对边分别为a,b,c,则等于A、 B、 C、 D、参考答案：【知识点】正弦定理，解三角形.C8【答案解析】B 解析：解：根据正弦定理可得【思路点拨】根据正弦定理可求出角B的正弦值，再根据边的关系可求出角的大小.8. 函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．参考答案：A略9. 已知集合集合则( ).A. B. C. D.参考答案：D略10. 已知复数满足，那么复数的虚部为（）A．2 B．－2 C． D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．参考答案：【考点】循环结构．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=+++…++的值，由裂项法即可求值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=+++…++的值．由于S=+++…++=1﹣+++…+=1﹣=．故答案为：．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了裂项法求数列的和，属于基础题．12. 已知点A（1，﹣2），B（5，6），直线l经过AB的中点M，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程是．参考答案：2x﹣3y=0，或 x+y﹣5=0【考点】直线的截距式方程．【专题】直线与圆．【分析】求出中点坐标，当直线过原点时，求出直线方程，当直线不过原点时，设直线的方程为x+y=k，把中点坐标代入直线的方程可得k值，即得所求的直线方程．【解答】解：点A（1，﹣2），B（5，6）的中点坐标公式（3，2），当直线过原点时，方程为 y=x，即 2x﹣3y=0．当直线不过原点时，设直线的方程为x+y=k，把中点（3，2）代入直线的方程可得 k=5，故直线方程是 x+y﹣5=0．综上，所求的直线方程为 2x﹣3y=0，或 x+y﹣5=0，故答案为：2x﹣3y=0，或 x+y﹣5=0．【点评】本题考查用待定系数法求直线方程，体现了分类讨论的数学思想，注意当直线过原点时的情况，这是解题的易错点．13. 四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1，2，3，4号位子上（如下图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2012次互换座位后，小兔的座位对应的是（）A．编号1 B．编号2 C．编号3 D．编号4参考答案：C14. 圆柱的内切球与圆柱的上下底面和周壁都相切．若圆柱内切球的体积为，则圆柱的表面积为.参考答案：15. 已知数列对任意的有，若,则.参考答案：4036令m=1,则可知∴为等差数列，首项和公差均为2。

高三数学试题参考答案 第1页（共7页）高三教学质量摸底检测数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D ；2．B ；3．A ；4．D ；5．D ；6．C ；7．B ；8．C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．AC ；10．AB ；11．BD ；12．ABD ；三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．60；14．2；15．16．02a ≤<．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）解：（1）根据正弦定理，由sin sin a A b C =可得2=4a bc = …2分 因此ABC ∆的面积11=sin =4222S bc A ⋅⋅ …………………4分（2）法一：因为点D 为边BC 的中点，所以1BD CD ==根据余弦定理22415cos 2214c c ADB +−−∠==⋅⋅， …………………5分同理22415cos 2214b b ADC +−−∠==⋅⋅， …………………6分因为ADB ADC π∠=−∠，所以225544b c −−=−，可得2210b c +=， ……………………8分由2210=4b c bc ⎧+=⎨⎩可得()222218b bc c b c ++=+=解得b c += ………………………9分 所以ABC ∆的周长2L =……………………10分法二：因为点D 为边BC 的中点，所以1BD CD ==高三数学试题参考答案 第2页（共7页）在ABC ∆中，222244cos 224b c b c ACB b b +−+−∠==⋅⋅， ……………………5分 在ACD ∆中，22143cos 212b b ACD b b+−−∠==⋅⋅， ……………………6分 因为ACB ACD ∠=∠，所以2224342b c b b b +−−=，整理得2210b c +=， ……………………8分 由2210=4b c bc ⎧+=⎨⎩，可得()222218b bc c b c ++=+= 解得b c += ………………………9分 所以ABC ∆的周长2L = ……………………10分 18．（12分）解：（1）根据男生参加足球训练时间的频率分布直方图可得：(0.03020.0150.010.005)101a ，所以0.02a， ………………………………………2分设样本数据的80%分位数为x ，则由百分位数的概念可知，0.050.150.200.300.02(70)0.8x ，解得：75x. ………………………………………4分（2）由频率分布直方图可知，样本中爱好足球的男生人数为：(0.30.20.1)10060（人）所以爱好足球的女生人数为：1066046（人）……………………………6分可得22列联表如下：零假设为0:H 爱好足球与性别无关，由公式可得：高三数学试题参考答案 第3页（共7页）220.05200(60544640) 3.9343106940.84100011x χ⨯⨯−⨯=⨯⨯=≈> …………………10分根据小概率值0.05的独立性检验，我们推断0H 不成立，即爱好足球与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05. ………………………………………12分19．（12分）解：（1）因为211,01()(1),1x f x x x x ⎧−<<⎪=⎨⎪−⎩，所以()f x 在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数， 由0a b <<且()()f a f b =，可得01a b <<<且211(1)b a−=−， …………2分 故22211111b aaa+−=+−()()(). ……………………3分 令1u a=，则1u >，函数21y u u =+−在(1,)u ∈+∞上单调递增，所以1y >， 即2211b a+−()()的取值范围是(1,)+∞. ………………5分 （2）存在满足条件的实数,a b ，理由如下： 假设存在满足条件的实数,a b ，且0a b <<. ①当,(0,1)a b ∈时，1()1f x x=−在(0,1)上单调递减， 则由()1()1f a b f b a =−⎧⎨=−⎩，即111111b aa b⎧−=−⎪⎪⎨⎪−=−⎪⎩， ……………6分解得1ab =，因为,(0,1)a b ∈，故此时不存在符合条件的实数,a b . …………7分 ②当,[1,)a b ∈+∞时，2(1))(f x x =−在[1,)+∞上单调递增.高三数学试题参考答案 第4页（共7页）则由()1()1f a a f b b =−⎧⎨=−⎩，即22(1)1(1)1a a b b ⎧−=−⎨−=−⎩， ……………………8分 所以,a b 是方程2320x x −+=得1x =或2x =， 所以，此时存在符合条件的实数1,2a b ==.…………9分③当(0,1)∈a ，[1,)b ∈+∞时，由于10a −<，而()01f x a ≥>−，故此时不存在符合条件的实数,a b . ……………………………………11分 综上所述，存在符合条件的实数1,2a b ==． ………………12分 20．（12分）解：（1）由题设知X 的可能取值为0,1,2,3 所以()4311011154240P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==−−−=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；………………………………1分 ()431431431111111115425425425P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯−⨯−+−⨯⨯−+−⨯−⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭………………………………2分()43143143119211154254254240P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯−+⨯−⨯+−⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ………………………………3分()4313354210P X ==⨯⨯=， ………………………………4分 所以随机变量X 的分布列为：数学期望11193410123 2.05405401020EX =⨯+⨯+⨯+⨯== ……………5分高三数学试题参考答案 第5页（共7页）而4~33,Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以393 2.2544EY =⨯==， ……………………6分 所以EX EY <，小李的得分能力更强一些． ……………………………7分 （2）设“4X Y +=”为事件A ，“X Y >”为事件B ， 因为()213339114464P Y C ⎛⎫==−= ⎪⎝⎭； ………………………………8分()2233327214464P Y C ⎛⎫⎛⎫==⨯−=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ………………………………9分 ()30333327314464P Y C ⎛⎫⎛⎫==⨯−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………………………………10分 ()()()()()()()132231P A P X P Y P X P Y P X P Y ==⋅=+=⋅=+=⋅= 1271927399938375644064106464402560=⨯+⨯+⨯=⨯=， ()()()3927311064640P AB P X P Y ==⋅==⨯=，…………………………11分 所以()()()4|31P AB P B A P A ==，所以在4X Y +=的条件下，X Y >的概率是431．…………………………12分 21．（12分）解证：（1）由+1132(2,)n n n a a a n n *−=+≥∈N可得+1133(2,)n n n n a a a a n n *−−=−≥∈N 即()111(2,)3n n n n a a a a n n *+−−=−−≥∈N ， …………………2分 因此{}1n n a a +−是以213a a λ−=−为首项，13−为公比的等比数列……………4分（2）（i ）因为1111333n nn n a a λλ−+⎛⎫⎛⎫−=−⋅−=⋅− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭…………………5分高三数学试题参考答案 第6页（共7页）所以由()11n n n n b b a a λ++−=−可得2113nn n b b λ+⎛⎫−=⋅− ⎪⎝⎭…………………6分 因此111221()()+n n n n n b b b b b b b b −−−−=−+−+−……（）12222111333n n λλλ−−⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅−+⋅−++⋅− ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222111331143413n n λλλλ⎡⎤⎛⎫⋅−−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=⋅−=−−− ⎪⎛⎫⎝⎭−− ⎪⎝⎭即2231434nn b λλλ⎛⎫=−−+− ⎪⎝⎭． …………………8分（ii ）当n 为奇数时，2231434nn b λλλ⎛⎫=+−⎪⎝⎭单调递减，得24n b λλλ−<≤； ……………………………………9分当n 为偶数时，2231434nn b λλλ⎛⎫=−+−⎪⎝⎭单调递增，得2234n b λλλλ−≤<−； …………………………………………10分因为0λ≠，所以2234λλλλλ−<−<，因此{}n b 的最大值为1b λ=，最小值为223b λλ=−， …………………11分因为对任意正整数(),i j i j ≠，1i j b b −<都成立，所以121b b −<，即213λ<解得()()0,3λ∈． …………………12分22．（12分）解：（1）()2(1ln )af x x x'=−． ……………………2分 ①若0a >．当(0,)x e ∈时，有()0f x '>，()f x 在(0,)e单调递增；当(,)x e ∈+∞高三数学试题参考答案 第7页（共7页）时，有()0f x '<，()f x 在(,)e +∞单调递减． ……………………3分 ②若0a <．当(0,)x e ∈时，有()0f x '<，()f x 在(0,)e 单调递减；当(,)x e ∈+∞时，有()0f x '>，()f x 在(,)e +∞单调递增． ……………4分 （2）()221212112()ln 1(ln )a g x f x x a x x x ex x x ex x x e =−+=−−+=−−+ 令()12ln h x a x x x e=−−+，于是()0g x ≤在(0,)+∞上恒成立等价于()0h x ≤在(0,)+∞上恒成立． …………………………………………5分()221x ax h x x−−'=−，记2()1q x x ax =−−，由240a ∆=+>，知()q x 必有两个零点，且两个零点之积是1−，则两个零点一正一负，设其正零点为0(0,)x ∈+∞，则20010x ax −−=，即001a x x =−． …………………………………6分 由(0)1q =−，知0(0,)x x ∈时，()0q x <即()0h x '>， ()h x 在0(0,)x 上单调递增；0(,)x x ∈+∞时，()0q x >即()0h x '<，()h x 在0(,)x +∞上单调递减，故原问题等价于()max 0()0h x h x =≤， 即00000112()ln 0x x x x x e−−−+≤． ……………………8分 记000000112()()ln p x x x x x x e =−−−+，则00201()(1)ln p x x x '=+．当0(0,1)x ∈时0()0p x '<，0()p x 单调递减；当0(1,)x ∈+∞时0()0p x '>，0()p x 单调递增，且1()()0p e p e −==，故当10[,]x e e −∈时0()0p x ≤． ………………………10分又001a x x =−是关于0x 递增的函数，所以亦即当11[,]a e e e e −−∈−−时，00()()0h x p x =≤． ……………………………11分结合已知0a ≠，可得实数a 的取值范围为11[,0)(0,]e e e e −−−−． ………12分。

淄博实验中学高三年级第二学期第一次教学诊断考试试题数学(理科）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：的解集为，定义域为，故.考点：集合交集.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.2.设复数,则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数除法和加法的法则求解即可得到结果．【详解】∵，∴．故选D．【点睛】本题考查复数的运算，解题的关键是熟记运算的法则，在进行乘除运算时要注意把换为，属于基础题．3.已知角的终边经过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出点P到原点的距离，再用三角函数的定义依次算出正、余弦值，利用二倍角公式计算结果即可．【详解】角的终边经过点p（﹣1，），其到原点的距离r 2故cos，sin∴sin cos.故选：B．【点睛】本题考查了任意角三角函数的定义，考查了二倍角公式，属于基础题．4.已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形中随机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（）附：若随机变量，则，.A. 0.1359B. 0.7282C. 0.8641D.0.93205【答案】D【解析】【分析】根据正态分布密度曲线的对称性和性质，再利用面积比的几何概型求解概率，即可得到答案．【详解】由题意，根据正态分布密度曲线的对称性，可得：，故所求的概率为.故选D.【点睛】本题主要考查了几何概型中概率的计算，以及正态分布密度曲线的应用，其中解答中熟记正态分布密度曲线的对称性是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．5.已知函数，则“a =0”是“函数为奇函数的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：若，则，则，则，即是奇函数，即充分性成立，若函数是奇函数，则满足，即，则，即必要性成立，则“”是“函数为奇函数”的充要条件，故选：C．【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断以及充分条件和必要条件的判断，利用函数奇偶性的定义以及对数函数的运算性质是解决本题的关键．6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的表面积为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三视图知该几何体是棱长为4的正方体截去一个圆柱体，结合图中数据求出它的表面积．【详解】解：根据三视图知，该几何体是棱长为4的正方体，截去一个圆柱体，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的表面积为．故选：D．【点睛】本题考查了利用三视图求简单组合体的表面积应用问题，是基础题．7.若，，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据函数的性质得到的取值范围后可得结果．详解：由题意得，∵，∴，∴．∴．故选A．点睛：比较大小时，可根据题意构造出函数，然后根据函数的单调性进行判断．若给出的数不属于同一类型时，可先判断出各数的符号（或各数所在的范围），然后再比较大小．8.若将函数的图象向左平移个单位长度，平移后的图象关于点对称，则函数在上的最小值是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意得，故得平移后的解析式为，根据所的图象关于点对称可求得，从而可得，进而可得所求最小值．【详解】由题意得，将函数的图象向左平移个单位长度所得图象对应的解析式为，因为平移后的图象关于点对称，所以，故，又，所以．所以，由得，所以当或，即或时，函数取得最小值，且最小值为．故选C．【点睛】本题考查三角函数的性质的综合应用，解题的关键是求出参数的值，容易出现的错误是函数图象平移时弄错平移的方向和平移量，此时需要注意在水平方向上的平移或伸缩只是对变量而言的．9.已知变量满足约束条件，则目标函数的最大值是A. -6B.C. -1D. 6【答案】D【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，由得，然后平移直线并结合图形找到最优解，进而可得所求最值．【详解】画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．由由得．平移直线，由图形可得，当直线经过可行域内的点时，直线在轴上的截距最小，此时取得最大值．由题意得点坐标为，所以．故选D．【点睛】利用线性规划求最值体现了数形结合思想的运用，解题的关键有两个：一是准确地画出不等式组表示的可行域；二是弄清楚目标函数中的几何意义，根据题意判断是截距型、斜率型、还是距离型，然后再结合图形求出最优解后可得所求．10.等差数列的首项为1，公差不为0. 若成等比数列，则前6项的和为( )A. －24B. －3C. 3D. 8【答案】A【解析】∵等差数列{a n}的首项为1,公差不为0.a2,a3,a6成等比数列，∴a23=a2⋅a6，∴(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),且a1=1，d≠0，解得d=−2，∴{a n}前6项的和为 .本题选择A选项.点睛：(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．11.抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由抛物线定义得所以由得,因此所以，选D.点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．12.已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将不等式变形后，构造函数g(x)，结合选项对m讨论，利用导数分析函数的单调性及函数值的分布情况，对选项排除验证即可．【详解】原不等式转化为>0在上恒成立，记g(x)＝，由基本初等函数的图象及导数的几何意义可知，y=x+1与y=x-1分别为y=与y=的切线，即,(x=0时等号成立)，（x=1时等号成立），可得(x=0时等号成立)，∴m时，在上恒成立，又在上恒成立，∴在上恒成立，∴m时符合题意，排除A、B；当m>0时，验证C选项是否符合，只需代入m=3，此时g(x)＝，则，此时0，令)在上单调递增，且，∴在上恒成立，即在上单调递增，而0，∴在上恒成立，∴g(x)在上单调递增,又g(0)=0，∴g(x)在上恒成立，即m=3符合题意，排除D,故选C.【点睛】本题考查了导数的应用，考查了函数的单调性、最值问题，考查了分类讨论思想，注意小题小做的技巧，是一道综合题．二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。

一、单选题二、多选题1. 过棱锥的高的两个三等分点，分别作与底面平行的两个平行截面，则自上向下的两个截面与底面的面积之比是（ ）．A．B．C．D．2.设椭圆：（）的左、右焦点分别是，，离心率为，双曲线：（，）的渐近线交于点，，则双曲线的离心率是（ ）A．B．C．D．3. 已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆的右顶点，离心率为.过的直线上存在点，使得轴，且是等腰三角形，则直线的斜率为（ ）.A．B．C．D．4. 苗族四月八日“姑娘节”是流传于湖南省绥宁县的民俗活动，国家级非物质文化遗产之一.假设在即将举办的“姑娘节”活动中，组委会原排定有8个“歌舞”节目，现计划增加2个“对唱”节目.若保持原来8个节目的相对顺序不变，则不同的排法种数为（ ）A ．56B ．90C ．110D ．1325. 若，则（ ）A．B．C．D．6. 连掷两次骰子分别得到点数m ，n ，则向量与向量的夹角的概率是（ ）A．B．C．D．7. 已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A ．240，18B ．200，20C ．240，20D ．200，188. 从2022年北京冬奥会、冬残奥会志愿者的30000人中随机抽取10人，测得他们的身高分别为（单位：cm ）：162、153、148、154、165、168、172、171、170、150，根据样本频率分布估计总体分布的原理，在所有志愿者中任抽取一人身高在155.5cm －170.5cm 之间的人数约为（ ）A ．18000B ．15000C ．12000D ．100009. 已知函数（，，），满足：，恒成立，且在上有且仅有4个零点，则（ ）A ．，B．函数的单调递增区间为C．函数的对称中心为山东省淄博市部分学校2023届高三下学期4月阶段性诊断考试数学试题(2)山东省淄博市部分学校2023届高三下学期4月阶段性诊断考试数学试题(2)三、填空题四、解答题D．函数的对称轴为直线，10.已知二面角，不同的两条直线，，下列命题正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若二面角大小为钝角，，，则与所成角为D ．若平面，，，则11. 如图所示，外层是类似于“甜筒冰淇淋”的图形，上部分是体积为的半球，下面大圆刚好与高度为的圆锥的底面圆重合，在该封闭的几何体内倒放一个小圆锥，小圆锥底面平行于外层圆锥的底面，且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合，则该小圆锥体积可以为（）A．B．C．D．12. 若函数，值域为，则（ ）A．B．C．D．13. 关于函数，有以下四个命题：①函数的定义域为；②函数的值域为；③函数在区间上是单调递增函数；④函数的图象关于直线对称．其中所有正确命题的序号是________．14. 已知向量，．若向量与平行，则＝________.15. 在平面直角坐标系中，，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，则的内切圆半径的最大值为________；若为等腰三角形，则点的坐标为________．16. 已知的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，.（1）求角B ；（2）若的面积为1，，求.17.已知抛物线过点，O 为坐标原点.(1)求抛物线的方程；(2)直线l 经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，若弦AB 的长等于6，求的面积；(3)抛物线上是否存在异于O ，M 的点N ，使得经过O ，M ，N 三点的圆C 和抛物线在点N 处有相同的切线，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由.18. 如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，点E为棱的中点，O为边的中点.(1)求证：平面；(2)若侧面底面，且，，求与平面所成角的正弦值.19. 已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）证明：函数（为自然对数的底数）恒成立．20. 已知双曲线的左､右顶点分别为，右焦点为.过点的直线与双曲线相交于两点，点关于轴的对称点为，且直线的斜率之积为.(1)求双曲线的标准方程；(2)直线分别与直线相交于两点，求证：以为直径的圆经过轴上的定点，并求出定点的坐标.21. 在△中,角的对边分别为,已知.（1）求证:;（2）若△的面积为,求的大小.。

山东省淄博市2021届新高考数学第三次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()cos2xf x x =的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】先根据()f x 是奇函数，排除A ，B ，再取特殊值验证求解. 【详解】因为()()cos2cos2xxf x x x f x --=-==--，所以()f x 是奇函数，故排除A ，B ， 又()1cos20f =<， 故选：C 【点睛】本题主要考查函数的图象，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.2．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则（ ） A ．()()0.63(3)log 132f f f -<-<B ．()()0.63(3)2log 13f f f -<<-C ．()()0.632log 13(3)ff f <-<- D ．()()0.632(3)log 13ff f <-<-【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=，又由0.63322log 13log 273<<<=，结合函数的单调性分析可得答案．【详解】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=， 有0.63322log 13log 273<<<=，又由()f x 在()0,∞+上单调递增，则有()()()0.632log 133f f f <-<-，故选C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数奇偶性的应用，属于基础题．3．若将函数()2sin 16f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 在0 6π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增 B ．函数()g x 的周期是2π C ．函数()g x 的图象关于点 012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称 D ．函数()g x 在0 6π⎛⎫⎪⎝⎭，上最大值是1 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数伸缩变换特点可得到()g x 解析式；利用整体对应的方式可判断出()g x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，A 正确；关于点,112π⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，C 错误；根据正弦型函数最小正周期的求解可知B 错误；根据正弦型函数在区间内值域的求解可判断出最大值无法取得，D 错误. 【详解】将()f x 横坐标缩短到原来的12得：()2sin 216g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ sin x 在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 ()g x ∴在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，A 正确；()g x 的最小正周期为：22T ππ== 2π∴不是()g x 的周期，B 错误； 当12x π=-时，206x π+=，112g π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()g x ∴关于点,112π⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，C 错误；当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()()0,1g x ∴∈ 此时()g x 没有最大值，D 错误. 本题正确选项：A 【点睛】本题考查正弦型函数的性质，涉及到三角函数的伸缩变换、正弦型函数周期性、单调性和对称性、正弦型函数在一段区间内的值域的求解；关键是能够灵活应用整体对应的方式，通过正弦函数的图象来判断出所求函数的性质.4．已知{}n a 为等差数列，若2321a a =+，4327a a =+，则5a =( ) A ．1 B ．2C ．3D ．6【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出5a ． 【详解】∵{a n }为等差数列，2343a 2a 1,a 2a 7=+=+,∴()()1111a d 2a 2d 1a 3d 2a 2d 7⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩，解得1a ＝﹣10，d ＝3， ∴5a ＝1a +4d ＝﹣10+11＝1． 故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列通项公式求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5．如图所示程序框图，若判断框内为“4i <”，则输出S =（ ）A ．2B ．10C ．34D ．98【答案】C 【解析】 【分析】由题意，逐步分析循环中各变量的值的变化情况，即可得解. 【详解】由题意运行程序可得：4i <，122j =⨯=，0122s =+⨯=，112i =+=； 4i <，224j =⨯=，22410s =+⨯=，213i =+=； 4i <，428j =⨯=，103834s =+⨯=，314i =+=； 4i <不成立，此时输出34s =.故选：C. 【点睛】本题考查了程序框图，只需在理解程序框图的前提下细心计算即可，属于基础题.6．如图，在ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +=（ ）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】连接AO ，因为O 为BC 中点，可由平行四边形法则得1()2AO AB AC =+，再将其用AM ，AN 表示.由M 、O 、N 三点共线可知，其表达式中的系数和122m n+=，即可求出m n +的值. 【详解】连接AO ，由O 为BC 中点可得，1()222m nAO AB AC AM AN =+=+，M 、O 、N 三点共线，122m n∴+=， 2m n ∴+=.故选：C.【点睛】本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题. 7．对于函数()f x ，定义满足()00f x x =的实数0x 为()f x 的不动点，设()log a f x x =，其中0a >且1a ≠，若()f x 有且仅有一个不动点，则a 的取值范围是（ ）A ．01a <<或a e =B ．1a e <<C ．01a <<或1e a e = D ．01a <<【答案】C 【解析】 【分析】根据不动点的定义，利用换底公式分离参数可得ln ln xa x =；构造函数()ln x g x x=，并讨论()g x 的单调性与最值，画出函数图象，即可确定a 的取值范围. 【详解】由log a x x =得，ln ln xa x=. 令()ln xg x x=，则()21ln xg x x-'=， 令()0g x '=，解得x e =，所以当()0,x e ∈时，()0g x '>，则()g x 在()0,e 内单调递增； 当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 在(),e +∞内单调递减； 所以()g x 在x e =处取得极大值，即最大值为()ln 1e g e e e==， 则()ln xg x x=的图象如下图所示：由()f x 有且仅有一个不动点，可得得ln 0a <或1ln a e=， 解得01a <<或1e a e =. 故选：C 【点睛】本题考查了函数新定义的应用，由导数确定函数的单调性与最值，分离参数法与构造函数方法的应用，属于中档题.8．下列函数中，既是偶函数又在区间0,上单调递增的是（ ）A ．y x =B ．()sin f x x x =C ．()2f x x x =+ D ．1y x =+【答案】C 【解析】 【分析】结合基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可. 【详解】 A ：y x =B ：()sin f x x x =在()0,∞+上不单调，不符合题意；C ：2y xx =+为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，符合题意；D ：1y x =+为非奇非偶函数，不符合题意. 故选：C.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题. 9．函数()1log 1a x f x x x +=+（01a <<）的图象的大致形状是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】对x 分类讨论，去掉绝对值，即可作出图象. 【详解】()()()log 11log log 101log 0.a a a ax x x f x x x x x x x ⎧--<-+⎪==--<<⎨+⎪>⎩，，，，，故选C ． 【点睛】 识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．10．已知直线l ：310kx y k --+=与椭圆22122:1(0)x yC a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆2C ：()()22311x y -+-=交于C 、D 两点.若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围为（ ）A．⎣⎦B．3C．(0,3D．3【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知直线过定点即为圆心，由此得到,A B 坐标的关系，再根据点差法得到直线的斜率k 与,A B 坐标的关系，由此化简并求解出离心率的取值范围. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，且线:310l kx y k --+=过定点()3,1即为2C 的圆心，因为AC DB =，所以1212236212C D C D x x x x y y y y +=+=⨯=⎧⎨+=+=⨯=⎩，又因为2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，所以()()2222221212b x x a y y -=--， 所以2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，所以[]2232,1b k a=-∈--，所以2212,33b a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22212,33a c a -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()2121,33e ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以e ∈⎣⎦. 故选：A. 【点睛】本题考查椭圆与圆的综合应用，着重考查了椭圆离心率求解以及点差法的运用，难度一般.通过运用点差法达到“设而不求”的目的，大大简化运算.11．设过抛物线()220y px p =>上任意一点P (异于原点O )的直线与抛物线()280y px p =>交于,A B两点，直线OP 与抛物线()280y px p =>的另一个交点为Q ，则ABQ ABOS S=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】画出图形，将三角形面积比转为线段长度比，进而转为坐标的表达式。

山东省淄博市部分学校2021届高三数学5月阶段性检测（三模）试题文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先解不等式得集合A与B，再根据交集定义得结果.【详解】根据题意：集合，集合，故选：．【点睛】本题考查一元二次不等式与对数不等式解法以及交集的定义，考查基本分析求解能力，属基础题.2.在复平面内，已知复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出复数z,再求得解.【详解】由题得z=1-i ,所以.故选：C【点睛】本题主要考查复数的几何意义和复数除法的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.某工厂生产、、三种不同型号的产品，其数量之比依次是，现在用分层抽样的方法抽出样本容量为的样本，样本中型号产品有15件，那么等于（）A. 50B. 60C. 70D. 80 【答案】C【解析】【分析】求出A型号产品的占有的比例，列出等式，求解样本容量n.【详解】由分层抽样方法得，解之得.【点睛】本题考查了分层抽样，考查了运算能力.4.已知函数，，的图象如图所示，若函数的两个不同零点分别为，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据图象求三角函数解析式，再根据余弦函数性质得零点，最后求的最小值. 【详解】由图象可知，，，，，，，且，，，令，可得，解可得，，或，，或，则的最小值为，故选：．【点睛】本题考查三角函数解析式以及余弦函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.5.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（）注：90后指1990年及以后出生，80后指年之间出生，80前指1979年及以前出生．A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多【答案】D【解析】【分析】结合两图对每一个选项逐一分析得解.【详解】对于选项A, 互联网行业从业人员中后占56%，占一半以上，所以该选项正确；对于选项B, 互联网行业中90后从事技术岗位的人数占总人数的,超过总人数的，所以该选项正确；对于选项C, 互联网行业中从事运营岗位的人数后占总人数的，比前多，所以该选项正确.对于选项D, 互联网行业中从事运营岗位的人数后占总人数的，80后占总人数的41%，所以互联网行业中从事运营岗位的人数后不一定比后多.所以该选项不一定正确.故选：D【点睛】本题主要考查饼状图和条形图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三视图还原几何体可知为个圆柱，分别求解出几何体侧面积和底面积，加和得到结果. 【详解】由三视图可知几何体为个圆柱几何体侧面积几何体底面积几何体的表面积本题正确选项：【点睛】本题考查空间几何体表面积求解，关键是通过三视图能够准确还原几何体.7.已知双曲线的左焦点为，右顶点为，直线与双曲线的一条渐近线的交点为．若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】先求解B的坐标，再由求解离心率即可.【详解】由题意可得A（a，0），双曲线的渐近线方程为：ay±bx＝0，不妨设B点为直线x ＝a与的交点，则B点的坐标（a，b），因为AB⊥FA，∠BFA＝30°，所以，解得e＝2．故选：C．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．8.已知实数，满足线性约束条件，则的取值范围是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】根据条件画出如图可行域，得到如图所示的阴影部分．设，可得表示直线与可行域内的点连线的斜率，得到斜率的最小、斜率最大，即可得到的取值范围．【详解】作出实数，满足线性约束条件表示的平面区域得到如图所示的及其内部的区域，其中，，设为区域内的动点，可得表示直线、连线的斜率，其中运动点，可得当与点重合时，最大值，当直线的斜率为；综上所述，的取值范围为，．故选：．【点睛】本题给出二元一次不等式组，求的取值范围．着重考查了直线的斜率公式、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．9.已知，，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由函数的解析式确定函数的单调性和函数的奇偶性，然后结合函数的性质比较的大小即可.【详解】由函数的解析式可知函数为奇函数，当时，，此时函数为增函数，结合奇函数的性质可知函数是定义在R上的单调递增函数，由于,故.即故选：D.【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性，实数比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.数列满足点，在直线上，则前5项和为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据条件得，再利用和项与通项关系得，最后根据等比数列定义与与前n项和公式得结果【详解】数列满足点，在直线上，则，当时，，得，当时，，即，得，即，则数列是公比的等比数列，则前5项和为，故选：．【点睛】本题考查利用和项与通项关系求通项以及等比数列定义与与前n项和公式，考查基本分析求解能力，属中档题.11.在正方体中，点在侧面及其边界上运动，并且保持，则动点的轨迹为（）A. 线段B. 线段C. 的中点与的中点连成的线段D. 的中点与的中点连成的线段【答案】A【解析】【分析】先根据正方体性质得面，再根据条件确定点的轨迹.【详解】如图，连接，，，在正方体中，有面，因为，所以面，又点在侧面及其边界上运动，故点的轨迹为面与面的交线段．故选：．【点睛】本题考查正方体性质以及线面垂直关系应用，考查基本分析判断能力，属中档题.12.已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】本道题先绘制图像，然后将零点问题转化为交点问题，数形结合，计算a的范围，即可。

山东省淄博市2021届新高考三诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|M x y =，2{|40}N x N x =∈-≥，则M N ⋂为( ) A ．[1,2] B ．{0,1,2}C ．{1,2}D ．(1,2)【答案】C 【解析】 【分析】分别求解出,M N 集合的具体范围，由集合的交集运算即可求得答案. 【详解】因为集合{}|1M x x =≥，{}{}220,1,2N x N x =∈-≤≤=， 所以{}1,2M N =故选：C 【点睛】本题考查对数函数的定义域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集运算，考查基本运算能力. 2．设集合U =R （R 为实数集），{}|0A x x =>，{}|1B x x =≥，则U A C B =（ ）A ．{}1|0x x <<B ．{}|01x x <≤C ．{}|1x x ≥D ．{}|0x x >【答案】A 【解析】 【分析】根据集合交集与补集运算,即可求得U A C B ⋂. 【详解】集合U =R ,{}|0A x x =>,{}|1B x x =≥ 所以{}1U C B x x =<所以{}{}{}0101U A C B x x x x x x ⋂=⋂<=<< 故选:A 【点睛】本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题.3．若复数21z m mi =-+（m R ∈）在复平面内的对应点在直线y x =-上，则z 等于( )A ．1+iB ．1i -C ．1133i --D ．1133i -+【答案】C 【解析】 【分析】由题意得210m m -+=，可求得13m =，再根据共轭复数的定义可得选项.【详解】由题意得210m m -+=，解得13m =，所以1133z i =-+，所以1133z i =--，故选：C. 【点睛】本题考查复数的几何表示和共轭复数的定义，属于基础题.4．函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于,M N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 的图象关于点,034⎛⎫π ⎪⎝⎭成中心对称 C ．函数()f x 在2(,)36ππ--单调递增 D ．函数()f x 的图象向右平移512π后关于原点成中心对称【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的图象，求得函数()sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案． 【详解】根据给定函数的图象，可得点C 的横坐标为3π，所以1()2362T πππ=--=，解得T π=，所以()f x 的最小正周期T π=， 不妨令0A >，0ϕπ<<，由周期T π=，所以2ω=，又06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以3πϕ=，所以()sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令2,3x k k Z ππ+=∈，解得,26k x k Z ππ=-∈，当3k =时，43x π=，即函数()f x 的一个对称中心为4,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，即函数()f x 的图象关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称．故选B ． 【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题．5．已知向量a b (3,1),(3,3)=-=，则向量b 在向量a 方向上的投影为（） A ．BC ．1-D ．1【答案】A 【解析】 【分析】投影即为cos a b b aθ⋅⋅=，利用数量积运算即可得到结论.【详解】设向量a 与向量b 的夹角为θ，由题意，得331a b ⋅=-⨯+=-()312a =-+=，所以，向量b 在向量a 方向上的投影为23cos a b b a θ⋅-⋅===故选：A. 【点睛】本题主要考察了向量的数量积运算，难度不大，属于基础题.6．在声学中，声强级L （单位：dB ）由公式1210110I L g -⎛⎫= ⎪⎝⎭给出，其中I 为声强（单位：2W/m ）.160dB L =，275dB L =，那么12I I =（ ） A ．4510 B ．4510-C ．32-D ．3210-【答案】D 【解析】【分析】 由1210110I L g -⎛⎫= ⎪⎝⎭得lg 1210L I =-，分别算出1I 和2I 的值，从而得到12I I 的值. 【详解】 ∵1210110I L g -⎛⎫=⎪⎝⎭， ∴()()1210lg lg1010lg 12L I I -=-=+，∴lg 1210LI =-， 当160L =时，1160lg 121261010L I =-=-=-，∴6110I -=， 当275L =时，2275lg 1212 4.51010L I =-=-=-，∴ 4.5210I -=， ∴36 1.5124.5210101010I I ----===， 故选：D. 【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题.7．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：()()2262x m y m -+--=与圆2C ：()()22121x y ++-=交于A ，B 两点，若OA OB =，则实数m 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．-1D ．-2【答案】D 【解析】 【分析】由OA OB =可得，O 在AB 的中垂线上，结合圆的性质可知O 在两个圆心的连线上，从而可求. 【详解】因为OA OB =，所以O 在AB 的中垂线上，即O 在两个圆心的连线上，()0,0O ，()1,6C m m +，()21,2C -三点共线，所以62m m+=-，得2m =-，故选D. 【点睛】本题主要考查圆的性质应用，几何性质的转化是求解的捷径.8．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦距为2c ，焦点到双曲线C 的渐近线的距离为2c ，则双曲线的渐近线方程为（）A ．y =B ．y =C ．y x =±D ．2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>，求出a ，b 的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程． 【详解】双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦点(),0c 到渐近线0bx ay +=的距离为2c ，可得：=，可得2b c =，ba =C 的渐近线方程为y =．故选A ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，构建出,a b 的关系是解题的关键，考查计算能力，属于中档题. 9．已知函数()cos ||sin f x x x =+，则下列结论中正确的是 ①函数()f x 的最小正周期为π； ②函数()f x 的图象是轴对称图形；③函数()f x ； ④函数()f x 的最小值为1-． A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．②③④【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】因为(π)cos(π)sin(π)|cos ||sin (|)f x x x x x f x +=+++=-≠，所以①不正确； 因为()cos ||sin f x x x =+，所以 cos sin ()|()|(sin |22c )|os 2x x x f x x πππ+++==++，()2f x π-=cos sin sin |c |()|()|22os ππ++--=x x x x ，所以() ()22f x f x ππ+=-， 所以函数()f x 的图象是轴对称图形，②正确；易知函数()f x 的最小正周期为2π，因为函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，所以只需研究函数()f x 在3[,]22ππ上的极大值与最小值即可．当322x ππ≤≤时，()cos sin )4f x x x x π=-+=-，且5444x πππ≤-≤，令42x ππ-=，得34x π=，可知函数()f x 在34x π=，③正确；因为5444x πππ≤-≤，所以1)4x π-≤-≤()f x 的最小值为1-，④正确． 故选D ．10．i 是虚数单位，若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-，则乘积ab 的值是( ) A ．－15 B ．－3C ．3D ．15【答案】B 【解析】17(17)(2)1325i i i i i +++==-+-，∴1,3,3a b ab =-==-，选B ． 11．已知命题p ：,x R ∃∈使1sin 2x x <成立． 则p ⌝为（ ）A ．,x R ∀∈1sin 2x x ≥均成立B ．,x R ∀∈1sin 2x x <均成立C ．,x R ∃∈使1sin 2x x ≥成立 D ．,x R ∃∈使1sin 2xx 成立 【答案】A 【解析】试题分析：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即:p ⌝,sin 2xx x ∀∈≥R ． 考点：全称命题.12．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若32a =，12b =，则输出的n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】分析：根据流程图中的2a a a =+可知，每次循环a 的值应是一个等比数列，公比为32；根据流程图中的2b b =可知，每次循环b 的值应是一个等比数列，公比为2，根据每次循环得到的,a b 的值的大小决定循环的次数即可.详解： 记执行第n 次循环时，a 的值记为有n a ，则有3322nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；记执行第n 次循环时，b 的值记为有n b ，则有122nn b =⨯.令3321222n n ⎛⎫≤⨯ ⎪⎝⎭，则有3348n⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，故 4n ≥，故选B.点睛：本题为算法中的循环结构和数列通项的综合，属于中档题，解题时注意流程图中蕴含的数列关系（比如相邻项满足等比数列、等差数列的定义，是否是求数列的前n 和、前n 项积等）. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年山东省淄博市部分学校高考数学诊断试卷（二模）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|−2<x<1}，B={x|y=√x}，那么A∪(∁R B)=()A. (−2,1)B. (−2,0)C. (−∞,1)D. (−∞,0)2.若复数z−=1−2ii(i为虚数单位)，则|z|=()A. √5B. 2C. √3D. 13.已知{a n}为等比数列，S n为其前n项和.若2S3=a2+a3+a4，则公比q=()A. 1+√52B. 1−√52C. 1D. 24.若圆台的上、下底面面积分别为4，16则圆台中截面的面积为()A. 10B. 8C. 9D. 8√25.函数f(x)=(e x+e−x)tanx的部分图象大致为()A. B.C. D.6.若tanα>sinα>sin2α(−π2<α<π2)，则α∈()A. (−π2,−π6) B. (−π3,π3) C. (π3,π2) D. (π6,π2)7.已知a，b为正实数，则“aba+b≤2”是“ab≤16”的()A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 碳70(C 70)是一种碳原子簇，可高效杀灭癌细胞，它是由70个碳原子构成的，其结构是由五元环(正五边形面)和六元环(正六边形面)组成的封闭的凸多面体，共37个面，则其六元环的个数为( )A. 12B. 25C. 30D. 36二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，且m ，n ⊄α，m ，n ⊄β，给出下列四个论断：①α//β；②m//n ；③m//α；④n//β.以其中三个论断为条件，剩余论断为结论组成四个命题，其中正确的命题是( )A. ①②③⇒④B. ①③④⇒②C. ①②④⇒③D. ②③④⇒①10. 设椭圆C ：x 24+y 2=1的左、右焦点为F 1，F 2，P 是C 上的动点，则下列结论正确的是( )A. 离心率e =√32B. |PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为3C. △PF 1F 2面积的最大值为2√3D. |PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为211. 已知e 是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是( )A. ln2>2eB. ln3<3eC. lnπ>πeD. ln3lnπ<3π12. 记<x >表示与实数x 最接近的整数，数列{a n }通项公式为a n =1<√n>(n ∈N ∗).其前n 项和为S n .设k =<√n >，则下列结论正确的是( )A. √n =k −12B. √n <k +12C. n ≥k 2−k +1D. S 2021=88三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，|a ⃗ −b ⃗ |=√3，则向量a ⃗ −b ⃗ 和b ⃗ 的夹角为______ ．14. 某班40名学生，在一次考试中统计所得平均分为80分，方差为70，后来发现有两名同学的成绩有误，甲实得80分错记为60分，乙实得70分错记为90分，则更正后的方差为______ ．15. 已知(1+x)m +(1+3x)n (m,n ∈N ∗)展开式中x 的系数为11，当x 2的系数取最小值时，x 4的系数是______ ．16. 已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，c 是双曲线C 的半焦距，点A 是圆O ：x 2+y 2=c 2上一点，线段F 2A 交双曲线C 的右支于点B ，且有|F 2A|=a ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的离心率是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在①S5=50，②S1，S2，S4成等比数列，③S6=3(a6+2)这三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答本题．问题：已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，前n项和为S n，且满足_____．(1)求a n；}的前n项和T n．(2)若b n−b n−1=2a n(n≥2)，且b1−a1=1，求数列{1b n18.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos(A−C)+cosB=3，设m⃗⃗⃗ =(b,c)，n⃗=(a,b)，2且m⃗⃗⃗ //n⃗．(1)求角B的大小；(2)延长BC至D，使BD=5，若△ACD的面积S=√3，求AD的长．19.如图所示，已知在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，侧棱PA=PC=3，PB=PD，过点A的平面与侧棱PB，PD，PC相交于点E，F，M，且满足：PE=PF，PM=1．(1)求证：直线PC⊥平面AMF；(2)求平面MDB与平面AEMF所成二面角的正弦值．20.某市在司法知识宣传周活动中，举办了一场司法知识网上答题考试.要求本市所有机关、企事业单位工作人员均要参加考试.试题满分为100分，考试成绩大于等于90分的为优秀，考试结束后，组织部门从所有参加考试的人员中随机抽取了200人的成绩作为统计样本，得到样本平均数为82、方差为64.假设该市机关、企事业单位工作人员有20万人，考试成绩ξ服从正态分布N(82,64)．(1)估计该市此次司法考试成绩优秀者的人数有多少万人？(2)该市组织部门为调动机关、企事业单位工作人员学习司法知识的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加考试者，均可参与网上“抽奖赢手机流量”活动，并且成绩优秀者可有两次抽奖机会，其余参加者抽奖一次.抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数(10,11，…，99)，若产生的两位数的数字相同，则可获赠手机流量5G，否则获赠手机流量1G.假设参加考试的所有人均参加了抽奖活动，试估计此次抽奖活动赠予的手机流量总共有多少G？参考数据：若ξ～N(μ,σ2)，P(μ−σ<ξ<μ+σ)≈0.68．21.已知函数f(x)=|lnx|+ax(a<0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)恰好有三个零点，求a的取值范围．22.已知抛物线Ω的标准方程是x2=2py(p>0)，过点M(0,2p)的直线l与抛物线Ω相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，且满足y1⋅y2=64．(1)求抛物线Ω的标准方程及准线方程；(2)设垂直于l的直线l1和抛物线Ω有两个不同的公共点C，D，当C，D均在以线段AB为直径的圆上时，求直线l的斜率．答案和解析1.【答案】C【解析】 【分析】本题考查了集合的描述法和区间的定义，并集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 可求出集合B ，然后进行补集和并集的运算即可． 【解答】解：∵A ={x|−2<x <1}，B ={x|x ≥0}， ∴∁R B ={x|x <0}，A ∪(∁R B)=(−∞,1)． 故选：C ．2.【答案】A【解析】解：∵z −=1−2i i=(1−2i)i i⋅i=−(i +2)=−2−i ，∴z =−2+i ， ∴|z|=√4+1=√5， 故选：A ．求出z −，从而求出z 的模即可．本题考查了复数的运算，考查复数求模以及共轭复数，是基础题．3.【答案】D【解析】解：因为{a n }为等比数列，2S 3=2(a 1+a 2+a 3)=a 2+a 3+a 4， 所以2a 1+a 2+a 3=a 4，即2a 1+qa 1+q 2a 1=q 3a 1， 因为a 1≠0，所以q 3−q 2−q −2=0，即(q −2)(q 2+q +1)=0， 所以q =2． 故选：D ．由已知结合等比数列的通项公式即可直接求解．本题主要考查了等比数列的通项公式，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：根据题意知，圆台的上、下底面半径分别为2√π，4√π，所以圆台的轴截面是上底为4√π，下底为8√π的等腰梯形，因为圆台的中截面平行于上下底，且与上下底等距离，所以这个截面圆在圆台轴截面上截得的直径是等腰梯形的中位线，根据梯形中位线公式，得该截面圆的直径等于12×(4√π+8√π)=6√π，所以该中截面圆的半径为12×6√π=3√π，所以中截面面积为：π×(3√π)2=9，故选：C．由中截面是过圆台高的中点且与上下底面平行的截面，由此可得该截面与圆台轴截面相交所得的直径是轴截面等腰梯形的中位线，结合题中数据可算出该截面圆的面积．本题考查了圆台的结构特征与中截面面积的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．5.【答案】D【解析】解：当x→0+时，f(x)>0，由此可排除选项A．显然f(0)=0，故排除选项B；f(−x)=(e−x+e x)tan(−x)=−(e x+e−x)tanx=−f(x)，故函数f(x)为奇函数，由此排除选项C；故选：D．根据函数的奇偶性及特殊点的函数值，即可得出正确选项．本题考查利用函数的性质识别函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：∵tanα>sinα>sin2α，∴tanα>sinα>2sinαcosα，由tanα>sinα得sinαcosα>sinα，即sinαcosα−sinα=sinα(1cosα−1)=sinα⋅1−cosαcosα>0，∵−π2<α<π2，∴0<cosα≤1，当cosα=1时，不等式sinα⋅1−cosαcosα>0，不成立，∴0<cosα<1，则1−cosαcosα>0，即sinα>0，则0<α<π2，sinα>0，∵sinα>2sinαcosα，∴1>2cosα，即cosα<12，即π3<α<π2，故选：C．根据三角函数的取值范围，结合不等式分别进行求解即可．本题主要考查三角函数的性质，结合三角函数不等式以及角的范围关系进行转化是解决本题的关键，是中档题．7.【答案】B【解析】解：由题意，正实数a，b，可得a+b≥2√ab，当且仅当a=b时，等号成立，若ab≤16，可得aba+b ≤2√ab=12√ab≤12√16=2，故“aba+b≤2”是“ab≤16”的必要条件，反之，例如a=2，b=10，此时aba+b≤2，而ab=20，此时ab>16，故“aba+b≤2”是“ab≤16”的不充分条件，综上所述，“aba+b≤2”是“ab≤16”的必要不充分条件，故选：B．由a，b为正实数，利用基本不等式性质，根据充要条件的定义即可判断．本题考查了基本不等式的性质，充要条件的判断，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：顶点数就是碳原子数为70，每个碳原子被3条棱共用，故棱长数为70×3÷2=105， 由欧拉公式得面数为2+棱长数−顶点数=37， 设正五边形为x 个，正六边形为y 个， 则{x +y =375x +6y =210，∴{x =12y =25，则六元环的个数为25， 故选：B ．根据题意可知顶点数为70，可求得棱长数为105，结合欧拉公式得到面数为37，列出方程组即可． 本题考查学生阅读理解的能力，考查合情推理的能力，属于中档题．9.【答案】AC【解析】解：m ，n ⊄α，m ，n ⊄β．对于A ，由α//β，m//α，得m//β，又m//n ，∴n//β，故A 正确；对于B ，由α//β，m//α，n//β，可得m//n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故B 错误； 对于C ，由α//β，n//β，得n//α，又m//n ，则m//α，故C 正确； 对于D ，由m//n ，m//α，n//β，可得α//β或α与β相交，故D 错误． 故选：AC ．由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．10.【答案】AD【解析】解：由椭圆C ：x 24+y 2=1，得a =2，b =1，∴c =√a 2−b 2=√3，则e =ca=√32，故A 正确；由椭圆性质：到椭圆右焦点距离最大的点是左顶点，可得|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为a +c =2+√3，故B 错误； 当P 在椭圆短轴的一个端点时，△PF 1F 2面积的最大值为12⋅2c ⋅b =bc =√3，故C 错误； 设P(2cosθ,sinθ)(0≤θ<2π)，F 1(−√3,0)，F 2(√3,0)，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3−2cosθ,−sinθ)，PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3−2cosθ,−sinθ)，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4cosθ,−2sinθ)，|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√16cos 2θ+4sin 2θ=√4+12cos 2θ，∴当cosθ=0时，|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为2，故D 正确． 故选：AD ．由椭圆方程求得a ，c 的值，得到椭圆离心率判断A ；由到椭圆右焦点距离最大的点是左顶点判断B ；求出△PF 1F 2面积的最大值判断C ；设出P 的坐标，利用向量的坐标加法运算及向量模的求法判断D ． 本题考查椭圆的几何性质，考查向量的坐标运算及斜率模的求法，是中档题．11.【答案】ACD【解析】解：令f(x)=Inx −xe (x >0)，则f′(x)=1x −1e =e−x xe．当x ∈(e,+∞)时，e −x <0，f′(x)<0，∴f(x)单调递减； 当x ∈(0,e)时，e −x >0，f′(x)>0，∴f(x)单调递增；∴当x =e 时，f(x)取最大值，f(x)max =f(e)=Ine −ee =1−1=0． ∴f(x)的值域为(−∞,0]，∴f(x)≤0⇒Inx −xe ≤0⇒Inx ≤xe ，当且仅当x =e 时，等号成立．A ：In2−2e <0⇒In2<2e ，故A 错； B ：In3−3e <0⇒In3<3e ，故B 对； C ：Inπ−πe <0⇒Inπ<πe ，故C 错； D ：令g(x)=Inx x (x >0)，g′(x)=1−Inx x 2，当x ∈(e,+∞)时，g′(x)<0，∴g(x)单调递减； 当x ∈(0,e)时，g′(x)>0，∴g(x)单调递增． ∵e <3<π， ∴g(3)>g(π)，即In33>Inππ，∵Inπ>0，3>0， ∴In3Inπ>3π，故D 错． 故选：ACD ．利用函数单调性进行求解，所以需借助导函数判断函数的单调性．本题考查函数单调性的应用，属于基础题型．12.【答案】BC【解析】解：由题意设k =<√n >，当n =1时，√n =1，<√n >=1，故A 错误； 由|√n−<√n >|<12，即|√n −k|<12，解得−12<√n −k <12， 可得√n <k +12，故B 正确；由−12<√n −k <12，可得k −12<√n <k +12，两边平方可得k 2−k +14<n <k 2+k +14，因为n 为自然数，且k 2−k +14不是整数，其中k 2−k +1是k 2−k +14右侧的最接近的整数，所以n ≥k 2−k +1成立，故C 正确；当n =1，2时，<√n >=1，此时a 1=a 2=1；当n =3，4，5，6时，<√n >=2，此时，a 3=a 4=a 5=a 6=12；当n =7，8，9，10，11，12时，<√n >=3，此时，a 7=a 8=...=a 12=12； n =13，14，...，20时，<√n >=4，此时，a 13=a 14=...=a 20=13； ......，归纳可得，{a n }中，有2个1，4个12，6个13，8个14，...，又由2，4，6，8，...，构成首项为2，公差为2的等差数列，可得S n =n2(2+2n)=n 2+n ， 令n 2+n ≤2021，解得n 的最大值为44，则S 2021=1×2+12×4+13×6+14×8+...+122×44+123×41=44+4123，故D 错误． 故选：BC ．考虑n =1，计算√n =1，<√n >=1，可判断A ；由|√n−<√n >|<12，结合新定义，可判断B ；由|√n−<√n >|<12，两边平方，结合新定义，可判断C ；考虑n =1，2；3，4，...，6；7，8，...，12；...，结合等差数列的通项公式和求和公式，可得n 的最大值为44，再求和，可判断D ．本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及新定义<x >的理解和运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．13.【答案】150°【解析】解：根据题意，设向量a ⃗ −b ⃗ 和b ⃗ 的夹角为θ，若|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，|a ⃗ −b ⃗ |=√3，则(a ⃗ −b ⃗ )2=a ⃗ 2+b ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ =5−2a ⃗ ⋅b ⃗ =3，则a ⃗ ⋅b ⃗ =1，故(a ⃗ −b ⃗ )⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅b ⃗ −b ⃗ 2=1−4=−3， 则cosθ=(a ⃗ −b⃗ )⋅b ⃗ |a ⃗ −b⃗ ||b ⃗ |=2×√3=−√32， 又由0°≤θ≤180°，则θ=150°， 故答案为：150°．根据题意，设向量a ⃗ −b ⃗ 和b ⃗ 的夹角为θ，由数量积的计算公式可得(a ⃗ −b ⃗ )2=a ⃗ 2+b ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ =5−2a ⃗ ⋅b ⃗ =3，变形可得a ⃗ ⋅b ⃗ =1，由此求出(a ⃗ −b ⃗ )⋅b ⃗ 的值，由夹角公式可得cosθ的值，结合θ的范围分析可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．14.【答案】60【解析】 【分析】本题考查方差的运算，考查方差的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题． 先判断更正前后平均分没有变化都是80分，再根据方差的概念表示出更正前的方差和更正后的方差，比较其异同，然后整体代入即可求解． 【解答】解：∵甲实得分为80分，记为60分，少记20分，乙实得70分，记为90分，多记20分， ∴总分没有变化，∴更正前后的平均分没有变化，都是80分， 设甲乙以外的其他同学的成绩分别为a 3，a 4，⋅⋅⋅，a 40， ∵更正前的方差为70，∴(60−80)2+(90−80)2+(a 3−80)2+⋅⋅⋅+(a 40−80)2=70×40， ∴(60−80)2+(90−80)2+(a 3−80)2+⋅⋅⋅+(a 40−80)2=70×40， ∴(a 3−80)2+⋅⋅⋅+(a 40−80)2=2800−400−100=2300， ∴更正后的方差为：S 2=(80−80)2+(70−80)2+(a 3−80)2+(a 40−80)240=100+230040=60，∴更正后的方差为60． 故答案为：60．15.【答案】5【解析】解：(1+x)m +(1+3x)n (m,n ∈N ∗)展开式中x 的系数为C m 1+3C n 1=11，即m +3n =11，展开式中x2项的系数为C m2+9C n2=m(m−1)2+9n(n−1)2=(11−3n)2−(11−3n)+9n 2−9n2=9(n 2−4n)+110=9(n −2)2+74，当n =2时，展开式中x 2项的系数最小，此时m =5，所以(1+x)5+(1+3x)2展开式中x 4项的系数为C 54=5，故答案为：5．依题意，可求得m 、n 的值，从而可求得x 4的系数．本题考查二项式定理，考查组合数公式的应用考查数学运算能力，属于中档题．16.【答案】√62【解析】解：由|F 2A|=a ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得|AB|=23a ，|BF 2|=13a ，由双曲线的定义可得|BF 1|=2a +13a =73a ， 在直角三角形ABF 1中，|AF 1|2=|BF 1|2−||AB|2=499a 2−49a 2=5a 2，在直角三角形AF 1F 2中，|F 1F 2|2=|AF 1|2+|AF 2|2， 即为4c 2=5a 2+a 2=6a 2， 则e =ca=√62． 故答案为：√62．由向量共线定理和双曲线的定义，推得|BF 1|=2a +13a =73a ，再在直角三角形ABF 1中，在直角三角形AF 1F 2中，分别运用勾股定理，结合离心率公式，可得所求值．本题考查双曲线的定义和向量共线定理的运用，以及直角三角形的勾股定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)①S 5=50⇔5a 1+10d =50⇔a 1+2d =10，②S 1，S 2，S 4成等比数列⇔S 22=S 1S 4⇔(2a 1+d)2=a 1(4a 1+6d)⇔d =2a 1， ③S 6=3(a 6+2)⇔6a 1+15d =3(a 1+5d +2)，选①②，解得a 1=2，d =4，a n =2+4(n −1)=4n −2； 选①③，解得a 1=2，d =4，a n =2+4(n −1)=4n −2； 选②③，解得a 1=2，d =4，a n =2+4(n −1)=4n −2； (2)由b 1−a 1=1，a 1=2，可得b 1=3， 由b n −b n−1=2a n =8n −4，n ≥2，可得b n =b 1+(b 2−b 1)+(b 3−b 2)+...+(b n −b n−1)=3+12+20+28+...+(8n −4)=12n(4+8n −4)−1=4n 2−1，上式对n =1也成立，所以1b n=14n 2−1=12(12n−1−12n+1)，则T n =12(1−13+13−15+15−17+...+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．【解析】(1)由等差数列的通项公式和求和公式，化简①②③，选①②，①③，②③，解方程可得首项和公差，进而得到a n ；(2)由数列的恒等式求得b n ，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的恒等式和数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)∵cos(A −C)+cosB =32，∴cos(A −C)−cos(A +C)=32，得：sinAsinC =34．由m⃗⃗⃗ //n ⃗ 得b 2=ac ，由正弦定理得：sinAsinC =sin 2B . ∴sin 2B =34，又∵sinB >0∴sinB =√32，∴B =60°或120°．当B =120°时，cos(A −C)+cos120°=32，得：cos(A −C)=2>1，不成立． ∴只取B =60°． 故B 的大小为60°．(2)把B =60°代入cos(A −C)+cosB =32得：cos(A −C)=1，∴A =C ．由上可知△ABC 中是等边三角形，∴∠ACB =60°，∴∠ACD =120°．设AB =t ，∵△ACD 的面积S =√3，∴12t(5−t)sin120°=√3，解得：t =1或4． 当t =1时，AD =√12+52−2×1×5cos60°=√21， 当t =4时，AD =√42+52−2×4×5cos60°=√21． 故AD 的值为√21．【解析】(1)把cos(A −C)+cosB =32中的cos B 化成−cos(A +C)，得sinAsinC =34.由m ⃗⃗⃗ //n ⃗ 得b 2=ac ，得sinAsinC =sin 2B .从而求得B 的大小．(2)把B =60°代入cos(A −C)+cosB =32，得A =C ，从而得等边△ABC ，设AB =t ，通过△ACD 的面积S =√3，可得t 的值，从而求出AD 长．本题考查正余弦定理、三角形面积公式、两角和与差的三角函数、方程思想、分类讨论思想，考查数学运算能力，属于中档题．19.【答案】(1)证明：连接AC ，交BD 于O ，连接OP ，因为ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，OA =OC ，OB =OD ， 又因为PA =PC 、PB =PD ，所以OP ⊥AC 、OP ⊥BD ， 所以OA 、OB 、OP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， OA =2⋅sin60°=√3，OP =√PA 2−OA 2=√6，A(√3,0，0)，C(−√3,0，0)，B(0,1，0)，D(0,−1,0)，P(0,0，√6)，M(−√33,0，2√63)， AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4√33,0，2√63)，PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,0，−√6)， 因为PE =PF ，所以EF//BD ，于是EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,λ,0)， 因为PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以PC ⊥AM ， 因为PC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以PC ⊥EF ， 又因为AM 与EF 为平面AMF 内两相交直线， 所以直线PC ⊥平面AMF ；(2)解：由(1)知平面AEMF 的法向量为m ⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,0，−√6)， OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，0)，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√33,0，2√63)， 设平面MBD 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)，{OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =y =0OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−√33x +2√63z =0，令z =1，n ⃗ =(2√2,0，1)， 设平面MDB 与平面AEMF 所成二面角的大小为θ， |cosθ|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=3√63⋅3=√63，sinθ=√1−cos 2θ=√33， 故平面MDB 与平面AEMF 所成二面角的正弦值为√33．【解析】(1)只须证明PC 垂直于平面AEMF 内相交直线AM 和EF 即可；(2)用向量数量积计算二面角的余弦值，进而求解．本题考查了直线与平面的值位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题意知，μ=82，σ=8，所以P(ξ≥90)=1−P(74<ξ<90)2=1−0.682=0.16，故估计该市此次司法考试成绩优秀者的人数有20×0.16=3.2万人． (2)设抽奖一次获得手机流量为XG ，则P(X =5)=110，P(X =1)=910， 所以抽奖一次获得手机流量的期望值为E(X)=5×110+1×910=1410=1.4G ， 又由于20万人均参与抽奖，且优秀者抽奖两次， 所以抽奖总次数为20+3.2=23.2万次，故估计此次抽奖活动赠予的手机流量总共有23.2×1.4=32.48(万G)．【解析】(1)由题意知，μ=82，σ=8，再由P(ξ≥90)=1−P(74<ξ<90)2，得解；(2)设抽奖一次获得手机流量为XG ，先求出E(X)，而抽奖总次数为23.2万次，再计算23.2E(X)的值，即可． 本题考查正态分布的性质，数学期望的计算与实际应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)函数f(x)的定义域是(0,+∞)，由f(x)=|lnx|+ax ={lnx +ax,x ≥1−lnx +ax,0<x <1，得f′(x)={1x+a,x ≥1−1x +a,0<x <1，由于a<0，则−1x+a<0，即在区间(0,1)上，f′(x)<0，f(x)递减，当−1<a<0时，x，f′(x)，f(x)的变化如下：当a≤−1时，1x+a≤0，即在区间[1,+∞)上，f′(x)≤0，f(x)递减，综上：当−1<a<0时，f(x)在(0,1)递减，在区间(1,−1a )上递增，在(−1a,+∞)递减，当a≤−1时，函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减．(2)结合(1)得当−1<a<0时，函数f(x)可能存在3个零点，当−1<a<0时，f(1)=a<0，f(e a)=−ln(e a)+a⋅e a=a(e a−1)>0，(0<e a<1)，在区间(0,1)上恰好存在一个零点，在区间(1,+∞)上存在2个零点，需保证f(−1a )=ln(−1a)−1>0，即−1e<a<0，且此时f(1)=a<0，f(−1a)>0，在区间(1,−1a )上存在1个零点，同时1a2>−1a，f(1a2)=2ln(−1a)+1a，设t=−1a >e，对于函数y=2lnt−t，y′=2−tt<0，y<(2lnt−t)|t=e=2−e<0，故f(1a2)<0，且f(−1a)>0，在区间(−1a,+∞)上存在1个零点，综上：当−1e <a<0时，在区间(0,1)，(1,−1a)，(−1a,+∞)上各存在1个零点．【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(2)根据函数的零点存在性定理求出函数的实根零点，确定a的取值范围即可．本题考查了函数的单调性，零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是难题．22.【答案】解：(1)设直线l的方程为y=kx+2p，与抛物线方程x2=2py(p>0)联立，可得x2−2pkx−4p2=0，则x1x2=−4p2，所以y1y2=(x1x2)24p2=16p44p2=4p2=64，解得p=4，所以抛物线的方程为x2=8y，准线方程为y=−2；(2)设直线l的方程为y=kx+8，若k =0，直线l 1与抛物线只有一个交点，不合题意， 所以k ≠0，设C(x 3,y 3)，D(x 4,y 4)，则x 32=8y 3，x 42=8y 4，则直线l 1的斜率为y 4−y 3x 4−x 3=x 428−x 328x 4−x 3=x 4+x 38=−1k，即x 3+x 4=−8k ，因为C ，D 在以AB 为直径的圆上，所以AC ⊥BC ，AD ⊥BD ， 即AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 可得(x 3−x 1)(x 3−x 2)+(x 32−x 12)(x 32−x 22)64=0，(x 4−x 1)(x 4−x 2)+(x 42−x 12)(x 42−x 22)64=0，化简可得64+(x 3+x 1)(x 3+x 2)=0，64+(x 4+x 1)(x 4+x 2)=0， 由(1)可得x 1+x 2=8k ，x 1x 2=−64，则x 32+8kx 3=0，x 42+8kx 4=0，两式相减可得x 3+x 4=−8k ， 又x 3+x 4=−8k ，所以−8k =−8k ，解得k =±1． 即直线l 的斜率为1或−1．【解析】(1)设直线l 的方程为y =kx +2p ，与抛物线的方程联立，运用韦达定理，结合点A ，B 满足抛物线方程，解方程可得P ，进而得到抛物线的方程和准线方程；(2)推得k ≠0，设C(x 3,y 3)，D(x 4,y 4)，求得直线l 1的斜率，由C ，D 在以AB 为直径的圆上，所以AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，运用向量垂直的数量积为0，推得x 3+x 4=−8k ，结合x 3+x 4=−8k ，解方程可得所求直线的斜率．本题考查抛物线的方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．。

山东省淄博市部分学校高三教学质量检测
数 学
第Ⅰ卷（选择题 60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,5A =，集合{}1,3,4,6B =，则集合U A B ⋂
=（）（ ） A. {}3
B. {}2,5
C. {}1,4,6
D. {}2,3,5
【答案】B
【解析】 {}2,3,5A =,{}2,5U B =,则{}2,5U A B ⋂=（）,故选B.
考点：本题主要考查集合的交集与补集运算.
2.命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ）
A. 0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠-
B. 0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =-
C. (0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-
D. (0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-
【答案】C
【解析】 试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：
(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- 考点：全称命题与特称命题
3.设1i 2i 1i z -=
++，则||z =
A. 0
B. 12
C. 1
D. 【答案】C
【解析】
分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. 详解：()()()()
1i 1i 1i 2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=，。

山东省淄博市部分学校2021届高三数学6月阶段性诊断考试（二模）试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合1{|1}A x x=<,{||1|2},B x x =-<则A B = ().1,3A -().1,1B -()()()().1,00,1.1,01,3C D --2．设复数z 满足z ()12,i i ⋅-=+则z 的虚部是 A ．32 B ．32i C ．-32 D. -32i 3．在正项等比数列{}n a 中，若374,a a =则()52a -=A ．16B ．8C ．4D ．2 4．当5,36ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭时，方22cos sin 1x y αα+=程表示的轨迹不可能是 A ．两条直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线 5．已知1123411log 2,,23a b c ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.Aa c b <<.B a b c << .C c a b << .D c b a <<6．在平行四边形ABCD 中,3,DE EC =若AE 交BD 于点M ，则→AM =A ．1233AM AB AD =+ B ．3477AM AB AD =+21.33C AM AB AD =+25.77D AM AB AD =+7．某学校甲、乙、丙、丁四人竞选校学生会主席职位，在竞选结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对竞选结果做了如下预测：甲说：丙或丁竞选成功;乙说：甲和丁均未竞选上： 丙说：丁竞选成功;丁说：丙竞选成功若这四人中有且只有2人说的话正确，则成功竞选学生会主席职位的是 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁8．已知函数()f x 是定义在(-π2，π2)上的奇函数．当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()tan 0,f x f x x '+>则不等式()cos sin 02x f x x f x π⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集为 A.(.π4,π2)B ．(-.π4,π2)C ．,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．设[x ]表示不小于实数x 的最小整数，则满足关于x 的不等式2120x x []+[-]的解可以为 AB ．3C ．-4.5D ．-510．已知动点P 在双曲线C ：2213y x -=上，双曲线C 的左右焦点分别为21,s F F 下列结论正确的是A ．C 的离心率为2B ．C的渐近线方程为y x = C ．动点P 到两条渐近线的距离之积为定值 D ．当动点P 在双曲线C 的左支上时，122||||PF PF 的最大值为1411．华为5G 通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：()()11212122122b b c c a a b b ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭,其中11112212112222,c a b a b c a b a b =+=+.已知定义在R 上不恒为0的函数(),f x 对任意,a b R ∈有：()()()12) 11(11b y y f a f b a -+⎛⎫=⨯ ⎪-⎝⎭且满足()12,f ab y y =+则()()().00.11.A f B f C f x =-=是偶函数 ().D f x 是奇函数12．向体积为1的正方体密闭容器内注入体积为()01x x <<的液体，旋转容器，下列说法正确的是 A ．当12x =时，容器被液面分割而成的两个几何体完全相同 ().0,1,B x ∀∈液面都可以成正三角形形状C ．当液面与正方体的某条对角线垂直时，液面面积的最大值为34 3D ．当液面恰好经过正方体的某条对角线时，液面边界周长的最小值为2 5 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13．已知()cos 2cos 2πααπ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，则cos2α= ▲ 14．设随机变量()~4,9,N ζ若实数a 满足()()3221,P a P a ξζ<+=>-则a 的值是 ▲15．已知抛物线C ：218y x =的焦点是F ，点M 是其准线l 上一点，线段MF 交抛物线C 于点N ．当23MN MF =时，△NOF 的面积是 ▲ 16．用 M I 表示函数 y = s i n x 在闭区间I 上的最大值．若正实数a [][]0,,22a a a M 则[]0,a M = ▲a 的取值范围是 ▲ (本题第一空2分，第二空3分)四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．(10分)下面给出有关ABC 的四个论断：32ABCS=①；222122a b ac a c c +=+=②；③或 3.b =④ 以其中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： 若 ▲ ,则 ▲ (用序号表示)并给出证明过程： 18．(12分)已知数列{}n a 为“二阶等差数列”，即当()*1n n n a a b n +-=∈N 时，数列{b n }为等差数列15325,67,101.a a a ===(1)求数列{}n b 的通项公式; (2)求数列{}n a 的最大值19．(12分)新生儿某疾病要接种三次疫苗免疫(即0、1、6月龄)，假设每次接种之间互不影响，每人每次接种成功的概率相等为了解新生儿该疾病疫苗接种剂量与接种成功之间的关系，现进行了两种接种方案的临床试验： 1 0 μg /次剂量组与 2 0 μg / 次剂量组，试验结果如下：(1)根据数据说明哪种方案接种效果好?并判断能否有99．9%的把握认为该疾病疫苗接种成功与两种接种方案有关?(2)以频率代替概率，若选用接种效果好的方案，参与该试验的1000人的成功人数比此剂量只接种一次的成功人数平均提高多少人. 参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中.n a b c d =+++参考附表：20．(12分)在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，112CD CB AB ===，M,N 分别是棱AB,B 1C 1的中点 (1)证明：直线MN ∥平面11ACC A ;(2)若1D C ⊥平面ABCD ，且13D C =,求经过点A ，M ，N 的平面1A MN 与平面11ACC A 所成二面角的正弦值.21．(12分)已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率是32，P 为椭圆上的动点．当12F PF ∠取最大值时12,PF F ∆的面积是 3 (1)求椭圆的方程：(2)若动直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，且恒有0,OA OB ⋅=是否存在一个以原点O 为圆心的定圆C ，使得动直线l 始终与定圆C 相切?若存在，求圆C 的方程，若不存在，请说明理由22．(12分)已知函数()2.ln f x x x x ax =+-(1)若函数()f x 在区间[1,)+∞上单调递减，求实数a 的取值范围； (2)当) 2,(*n n ≥∈N 时，求证：222111111;23e n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(3)若函数()f x 有两个极值点x 1，x 2，求证：212( 1e x x e >为自然对数的底数)。

2021年山东省淄博市第二中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，若不等式对于任意恒成立，则的最小值是A.1B.C.0D. 2参考答案：D略2. 在△ABC中，，点P 是△ABC所在平面内一点，则当取得最小值时，( )A. －24B.C.D. 24参考答案：D以C为坐标原点，直线CB,CA分别为x,y轴建立直角坐标系，则，设当时取得最小值，，选D.点睛：(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.3. 命题P：将函数的图象向右平移个单位得到的图象；命题Q：函数的最小正周期是，则复合命题“P或Q”“P且Q”“非P”为真命题的个数是（）A．0个 B. 1个 C、2个 D、3个参考答案：C4. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：5. 点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A． B．C． D．参考答案：A【知识点】圆的方程H3设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则,代入x2+y2=4得（2x-4）2+（2y+2）2=4，化简得（x-2）2+（y+1）2=1．【思路点拨】设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够求出点P （4，-2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程．6. 如果存在正整数和实数使得函数（，为常数）的图象如图所示（图象经过点（1,0）），那么的值为A． B．C． 3 D. 4参考答案：B略7. 设，若函数在区间(0，4)上有三个零点，则实数a的取值范围是(A) (B) ( C) (D)参考答案：【知识点】函数的零点；数形结合法确定参数范围；导数的几何意义. B9 B12C解析：即方程区间(0，4)上有三个根，令，由h(x)在处切线过原点得，即曲线h(x)过原点得切线斜率为，而点与原点确定的直线的斜率为所以实数a的取值范围是，故选C.【思路点拨】根据函数的零点与方程的根的关系，方程的根与两函数图像交点的关系，采用数形结合法，结合导数的几何意义，确定参a 的取值范围.8. 函数f（x）=的大数图象为（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】由函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C、D项；再由当时，函数的值小于0，排除B，即可得到答案.【详解】由题知，函数满足，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C、D项；又由当时，函数的值小于0，排除B，故选A.【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和函数的取值范围，利用排除法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的主视图时，以平面为投影面，则得到主视图可以为（☆ ）A. B. C. D.参考答案：A 10. 函数的大致图象为参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数，若关于x 的方程f （x ）=k 有两个不同的实根，则实数k的取值范围是．参考答案：（0，1）【考点】函数的零点． 【专题】作图题．【分析】由题意在同一个坐标系中作出两个函数的图象，图象交点的个数即为方程根的个数，由图象可得答案．【解答】解：由题意作出函数的图象，关于x 的方程f （x ）=k 有两个不同的实根等价于函数，与y=k 有两个不同的公共点，由图象可知当k∈（0，1）时，满足题意， 故答案为：（0，1）【点评】本题考查方程根的个数，数形结合是解决问题的关键，属基础题．12. 设，集合，则．参考答案：213. 如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由整数的倒数组成的，第行有个 数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：…，则第行第3个数字是 ．参考答案：略14. 已知数列中，满足，且，则，．参考答案：15. 已知向量满足，与的夹角为135°，向量．则向量的模为 .参考答案：略16. 如图，在△ABC 中，已知，，，D 为边BC 的中点.若，垂足为E ，则的值为．参考答案：根据平面向量基本定理得到设EA=x,，两边平方得到AD，在三角形ABC中用余弦定理得到BC=，在三角形ACE和CDE中分别应用勾股定理，得到x=.17. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，，，则的值是．参考答案：令，，则，，，则，，，，，，则，，，由，可得，，因此，因此．三、解答题：本大题共5小题，共72分。